• Introducción:• Como estudiamos en el plano,

una recta queda definida a través de dos puntos, y esta es única. Cuando estamos en el espacio diremos que una recta queda definida por un punto P0=(x0, y0, z0) y un vector no nulo que llamaremos vector director o direccional de la recta. La ecuación de la recta puede adoptar diferentes formas , que estudiaremos a continuación.

v

Ecuación en forma vectorial 

La recta que pasa por el punto P0=(x0, y0, z0)

y tiene por vector director ;es el conjunto

de puntos P del espacio que verifican la relación vectorial

•     con    

( , , )x y zV v v v��������������

0P P v

R

z

o y

x

rP0

V�������������� P

• Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica:

Donde λ es el numero de veces que el vector

0 0

0

, identificamos el punto P con el

vector que va desde el origen de coordenadas hasta

el punto P, se obtiene

Se denomina

ecuacion v

OP OP P P Si

OP

P P V

������������������������������������������

��������������

��������������

ectorial de la recta en el espacio

0 contiene al P P V����������������������������

Ecuación de la recta en forma paramétrica

• .

0

0 0

0 0 0

0

0

0

partiendo de P=P

, , , , , , ,

, , , , ,

Ecuacion en forma Parame

o x y z

x y z

y

z

V podemos escribir

x y z x y z v v v operando

x y z x v y v z v

x x v

igualandocomponentes r y y v

z z v

��������������

������������������������������������������

������������������������������������������

��������������

��������������

ntica

Ecuación de la Recta en Forma Continua

• .

0 0 0

0 0 0

0, 0, 0

, ,

igualando las expresiones tenemos

forma "continua de la ecuacion de la recta"

x y z

x y z

x y z

consideramos que v v v

x x y y z z

v v v

x x y y z z

v v v

Ecuación de la recta en forma cartesiana o implícita

• .

0 0 0 0

A partir de la ecuacion continua de la recta podemos

obtener las dos ecuaciones siguientes:

,

las que podemos escribir de la forma

. . . 0r

.́ '. '. ´ 0

Ecuacion

x y y z

x x y y y y z z

v v v v

a x b y c z d

a x b y c z d

implisita o carteciana de la recta

Ecuación del Plano

• Si N es un vector dado diferente del vector cero y P0

es un punto dado, entonces el conjunto de todos los puntos para los cuales y N son ortogonales

• definen al plano que pasa por y tiene a N como • Vector normal

0V PP��������������

0P

• .

Z

X

Y

,

0 0 0 0( , , )P x y z( , , )P x y z

N��������������

Teorema

• .

0 0 0 0

0 0 0

, , es un punto del plano

y (a,b,c) es un vector normal al plano,

entonces una ecuacion del plano es:

a. 0

Si P x y z

x x b y y c z z

• .

0

0

0 0 0 0

Refieranse a la figura anterior, donde N=<a,b,c>, sea

P(x,y,z) cualquier punto del plano. V( ) el vector

que tiene a una representacion; de modo que

V , , 1

de l

P P es

P P como

P P x x y y z z

��������������

��������������

��������������

0

0 0 0

a definicion anterior y la propiedad de que el producto

punto de dos vectores ortogonales es cero se tiene: V . , , 0

De 1 y de la ecuacion anterior se obtiene

a 0

P P a b z

x x b y y c z z

��������������

• Ejemplo 1: Obtenga una ecuación del plano que contiene al punto (2, 1, 3) y tiene al vector 3i-4j+k como vector normal.

• Solución : del teorema anterior , es el punto (2,1,3) y <a,b,c> es el vector <3,-4,1>, entonces la ecuación del plano será:

• 3.(x-2)-4(y-1)+(z-3)=0 3x - 4y + z – 5 = 0

0 0 0, ,x y z

• Ecuación Paramétrica del Plano

• z

o y

x

u

v

xP

Para que el punto P pertenezca al plano el vector

tiene que ser coplanario con es decir que

dependa linealmente de

PX u y v

u y v

PX u v

������������������������������������������

������������������������������������������

Ecuación Paramétrica del plano

• Por igualdad de las componentes de vectores la ecuación paramétrica resulta:

0 1 1

0 2 2

0 3 3

x x u v

y y u v

z z u v

Ecuación General del Plano• Un punto está en el plano π si tiene solución el

sistema:

0 1 1

0 2 2

0 3 3

x x u v

y y u v

z z u v

• Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

0 1 1

0 2 2

0 3 3

0

x x u v

y y u v

z z u v

• Desarrollando el determinante obtenemos:

• Damos los valores:

2 2 1 1 1 10 0 0

3 3 3 3 2 2

. . . 0u v u v u v

x x y y z zu v u v u u

2 2 1 1 1 1

3 3 3 3 2 2

u v u v u vA B C

u v u v u u

• Sustituimos:

• Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

• Obtenemos la ecuación general de plano:

0 0 0 0A x x B y y C z z

0 0 0D Ax By Cz

0Ax By Cz D