ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN

DE FORMAS PLANAS

4º ESO

La forma plasmada sobre una superficie para representar un objeto o comunicar una idea surgió mucho antes que la escritura, por lo que la representación gráfica constituye un medio de comunicación universal.

La forma es el elemento básico en la elaboración de cualquier imagen, puesto que cuando nuestra mente la perciba, lo primero que detectará es el volumen y el contorno exterior, y más tarde añadirá los detalles que le caracterizan.

Configuración: la observación y el análisis de las formas naturales nos permiten descubrir las pautas de crecimiento, a partir de las que es posible deducir las configuraciones o estructuras que las caracterizan.

Ramificación:división de una forma inicial

Traslación:repetición periódica de un módulo

Expansión:agregación a partir de un núcleo

Clases: las formas pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios; así describiremos formas naturales, artificiales, simples, complejas, simétricas…

Naturales

ArtificialesComplejas: difíciles de delimitar

Simples: formas básicas

Simetría radial

Asimétricas

Simetría axial

Representación: las formas que intervienen en los mensajes visuales pueden ser simbólicas, arbitrarias creadas por el ser humano a las que se atribuye un significado; abstractas, desconexas de la realidad o con unos componentes visuales elementales; o representacionales, que se reconocen.

-A) Formas simbólicas: para descifrar el significado de las formas que intervienen en las composiciones del arte visual, es necesario recurrir a la iconologíay a la iconografía.

ICONOLOGÍA: es la ciencia cuyo objetivo es el estudio de las imágenes bajo todos sus aspectos, clasificándolas; así, se pretende desentrañar la interpretación y la significación que encierran dichas formas.

La iconología religiosa analiza los símbolos de las imágenes de Dios, santos, ángeles…; la iconología pagana, comprende las imágenes propias de la idolatría o religiones no cristianas, como Venus, Apolo…; y la icolnología profana o civil, comprende las figuras de personajes históricos que no sean objeto de culto religioso.

ICONOGRAFÍA: es la ciencia cuyo objeto de estudio son las imágenes en sí mismas como representaciones gráficas que constituyen un documento histórico.

-B) Formas abstractas: surgen inspiradas en la realidad, como una reducción de todo lo que vemos a elementos visuales básicos; o de la mente del artista, y que a simple vista no pueden reconocerse como algo real.

-C) Formas geométricas: están regidas por trazados geométricos. Destacan las formas poligonales, regulares e irregulares.

Autor: Eduardo Chillida (1924). Técnica: Escultura abstracta en acero. Estilo: Informalismo.

Autor: Xavier Grau (2008).Técnica: pintura abstracta.Estilo: Expresionismo abstracto.

B) Formas abstractas

Autor: V. Vasarely (1969).

Técnica: Pintura.

Estilo: Op Art, abreviatura de "Optical-Art“. Es una evolución matemática del arte abstracto y se usa la repetición de las formas simples.

Autor: M.C.Escher (1953)Técnica: pintura.Estilo: Refleja gráficamente el pensamiento matemático moderno.

C) Formas geométricas

ANÁLISIS DE UNA OBRA DE ARTE

*Ver presentación de Nacimiento de Venus

_El nivel preiconográfico (análisis organoléptico), que supone la identificación de lo representado en términos puramente descriptivos, reconocimiento de acciones y objetos.

_El nivel técnico, en el que se detallan las características del estilo al que pertenece la obra; los rasgos más importantes de la técnica en esa etapa, y el estilo propio del autor. Además, se describe la técnica artística, composición, color, iluminación…

_El nivel iconográfico, que supone la identificación precisa del tema, generalmente en relación con un texto (historia, alegoría...), así como los elementos figurativos que cumplen una función simbólica en relación con este tema.

_El nivel iconológico, que supone ahondar en el significado conceptual o ideológico, con el fin de comprender la obra en el contexto cultural en el que fue concebida.

GEOMETRÍA PLANA

Polígonos generales

-Los polígonos regulares son porciones de espacio limitadas por líneas rectas, esdecir, se trata de figuras planas que, por el hecho de ser regulares, están formadospor lados que miden lo mismo.

-Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia, llamadacircunferencia circunscrita. También pueden construirse conociendo la medida dellado.

-Propiedades de los polígonos regulares:

• Suma de los ángulos interiores 180 (n-2). (n, número de lados del polígono).

• Suma de los ángulos exteriores 360 .• Suma de los ángulos centrales 360 .• Diagonales n ( n -3)/2.• Un polígono se puede descomponer en triángulos n-2.• Área de un polígono regular convexo p. a / 2. (Semiperímetro por

apotema).• Las bisectrices de los ángulos interiores y las mediatrices de los lados

coinciden en el centro.

CLASIFICACIONES DE LOS POLÍGONOS.

-EQUILÁTERO: lados iguales.-EQUIÁNGULO: ángulos iguales.

1. Según la disposición de lados o ángulos.-CONVEXO: Polígono que queda completo respecto de una recta coincidente con cualquiera

de sus lados.-CÓNCAVO: Polígono que queda dividido respecto de una línea coincidente con alguno de

sus lados.-CRUZADO: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más

interesante.

2. Según la disposición de lados o ángulos.-INSCRIPTIBLE: Polígono con sus vértices en la circunferencia.-CIRCUNSCRIPTIBLE: Polígono con sus lados tangentes a la circunferencia.

3. Según los segmentos que lo limitan.-RECTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos.-MIXTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos y curvos.-CURVILÍNEO: Polígono de segmentos curvos.

4. Según la igualdad de lados y de ángulos.-REGULAR: Polígono de lados y ángulos iguales. (Equilátero y equiángulo).-IRREGULAR: Polígono con algún lado o ángulo desigual.-SEMIRREGULAR: Polígono de lados iguales y ángulos alternativamente iguales, o

polígono de ángulos iguales y lados alternativamente iguales.-ESTRELLADO: Polígono de ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.

5. Según el número de lados.-TRIÁNGULO - CUADRILÁTERO - PENTÁGONO - HEXÁGONO - HEPTÁGONO - -

OCTÓGONO - ENEÁGONO - DECÁGONO - UNDECÁGONO - DODECÁGONO --13 LADOS - /.../ - CIRCUNFERENCIA.

Cruzado

Convexo

Cóncavo

Irregular

Regular

Estrellado

La suma de los ángulosinteriores de unpolígono de n lados es180(n-2).

En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.

Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2

Semirregular

Ángulo interiorÁngulo exterior

POLÍGONOS INSCRITOS. Tiene sus vértices en una circunferencia. Los lados son cuerdas de la circunferencia.

POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS. Los lados son tangentes a una circunferencia.

Elementos, puntos y líneas en los polígonos regulares.

-LADO: Cada uno de los segmentos de la línea poligonal que forma el polígono, l.

-VÉRTICE: Punto común de dos lados, v.

-PERÍMETRO: Suma de las magnitudes de los lados.

-CENTRO: Punto interior a igual distancia de los vértices, O.

-APOTEMA: Segmento perpendicular a cada lado desde el centro, a. En la circunferencia equivale al radio, r.

-RADIO: Segmento trazado del centro al vértice del polígono, r.

-DIAGONAL: Segmento que une dos vértices no consecutivos, d.

-ALTURA: Recta perpendicular desde el vértice al lado opuesto.

-ÁNGULO CENTRAL: Formado por dos radios consecutivos. Es igual al formado por dos apotemas consecutivas.

-ÁNGULO INTERIOR: Formado por dos lados consecutivos, suplementario del formado por dos apotemas consecutivas.

-ÁNGULO EXTERIOR: Formado por un lado y la prolongación del consecutivo, suplementario del interior.

-CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA: Circunferencia que contiene todos los vértices y tiene por radio el del polígono.

-CIRCUNFERENCIA INSCRITA: Circunferencia tangente a todos los lados y tiene por radio la apotema del polígono.

-CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO REGULAR DADO EL LADO.

1. Se traza la mediatriz del lado AB para determinar su punto medio M.

2. A partir de un extremo, p.e. el B, se traza una perpendicular y se lleva el lado AB.

3. Con centro en M y radio MN, se traza un arco.

4. Con radio MO se trazan arcos desde A y B. Se obtiene D.

5. Desde D, se traza un arco de radio AB. Se obtiene E y C.

6. Se unen los puntos A, B, C, D y E. Se obtiene el pentágono.

CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

1. Dibujamos una circunferencia de centro O, de cualquier radio y trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí, que cortan a la circunferencia en los puntos A, B, 1 y C, respectivamente.

2. Con el mismo radio de la circunferencia inicial trazamos un arco con centro en A, que cortará a la circunferencia en los puntos D y E, de cuya unión resultará el punto F, punto medio del segmento OA.

3. Con centro en F trazaremos un arco de radio F1, que determinará el punto G sobre la diagonal AB. La distancia 1G es el lado de pentágono inscrito.

4. Para la construcción del pentágono solo resta llevar dicho lado cinco veces a lo largo de la circunferencia.

CONSTRUCCIÓN DE UN HEXÁGONO REGULAR CONOCIENDO EL LADO

Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de radio igual al lado.

1. Desde un punto cualquiera de una recta r, se traza una circunferencia de radio AB.

2. Desde los puntos A y D se trazan arcos con el radio AB.

3. Se unen los puntos A, B, C, D, E y F obteniendo el hexágono regular.

CONSTRUCCIÓN DE UN HEPTÁGONO CONOCIDO EL LADO.

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB.

2. Con el radio AB se traza un arco desde A y otro desde B.

3. Por 1 y por B se trazan dos perpendiculares a r.

4. Se traza la bisectriz del ángulo 1AB. Corta a la perpendicular en 2.

5. Con el radio A2 se traza un arco hasta cortar a la perpendicular s.

6. Desde O, con un radio AO, se traza una circunferencia. A partir de B se lleva 7 veces el lado AB.

7. Se unen todos los puntos y se obtiene el heptágono.

CONSTRUCCIÓN DE UN OCTÓGONO CONOCIDO EL LADO

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB y se traza su mediatriz.

2. En el punto B, se traza una perpendicular y se coloca el lado AB.

3. Se une el punto A con 1. Corta a la mediatriz en 2.

4. Haciendo centro en 2 y con radio 2-2, se traza un arco. Se obtiene O.

5. Haciendo centro en O, y radio OA, se traza la circunferencia. Se ésta, se lleva el lado 8 veces.

6. Se unen todos los puntos y se obtiene el octógono.

CONSTRUIR UN ENEÁGONO CONOCIDO EL LADO

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB y se traza su mediatriz utilizando el lado.

2. Se traza la bisectriz del ángulo A. Corta a la mediatriz en el punto 2.

3. Se trazan dos rectas que salen de A y B, y pasan por el punto 1.

4. Con centro en 1 y radio 1-2, se traza un arco. Se obtiene 3 y 4.

5. Se unen 3 y 4, y se obtiene O, centro de la circunferencia donde se sitúa el eneágono.

6. Se lleva el lado 9 veces sobre la circunferencia y se unen los puntos.

CONSTRUCCIÓN DE UN DECÁGONO CONOCIDO EL LADO

1. Sobre una recta r cualquiera se realizan las operaciones para construir un pentágono.

2. El vértice superior del pentágono (O) es el centro de la circunferencia donde se sitúa el decágono.

3. Sobre la circunferencia se lleva 10 veces el lado.

4. Se unen todos los puntos y se obtiene el decágono.

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

A) Conociendo el lado.

Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.

Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexágono de lado AB. Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de un polígono de lado AB y nnúmero de lados.

B) Conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.

1. Se trazan los diámetros perpendiculares y la circunferencia.

2. Dividimos el diámetro vertical en el mismo nº de partes iguales que queremos dividir la circunferencia (en este caso 11).

3. Con centro en C y radio igual al diámetro de la circunferencia, trazamos dos arcos que se cortan el punto E.

4. Uniendo el punto C con la división 2 del diámetro vertical prolongando hasta que se corte a la circunferencia nos da el punto F.

5. La longitud CF es la onceava parte de la circunferencia.

*Polígonos dado el radio (inscritos) ver en el libro de Plástica, 1º ESO.

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS ESTRELLADOS

Si unimos los vértices de un polígono saltando rítmicamente un número dado de vértices hasta volver al primero, conseguiremos un polígono estrellado.

Dependiendo del número de vértices, podremos conseguir más o menos polígonos estrellados a partir de un polígono.

CONSTRUCCIÓN DE HILORAMAS

Curvas cónicas

LA ELIPSE

-Definición : La Elipse es el conjunto de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (F y F´) llamados focos es una cantidad constante (2a).

-Cuando un plano oblicuo corta a un cono recto de revolución.

-La elipse es una curva cónica cerrada y plana. Su contorno está formado por un conjunto de puntos cuya suma de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante.

-Los elementos que forman la elipse son: eje mayor (AB), eje menor (CD), centro (O) y focos (F - F'). Los ejes mayor y menor forman 90º entre sí.

-Elementos:

-Los Radios Vectores de un punto son los segmentos PF y PF´.

-Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos F y F´.

-Eje Secundario: Es la mediatriz del segmento FF´.

-Centro de la elipse: Es el punto O en el que se cortan los ejes.

-Distancia Focal: Es el segmento FF´ y su longitud es 2c.

-Vértices: Son los puntos A , A´, B , B´ en los que los ejes cortan a los ejes.

-Eje Mayor: Es el segmento AA´ y su longitud es 2a.

-Eje Menor: Es el segmento BB´ y su longitud es 2b.

Circunferencia Elipse

-Si el ángulo beta que forman el eje y el plano que corta a la superficie cónica es mayor que el semiángulo cónico alfa, la curva intersección es una curva cerrada, denominada elipse:

-Se dan elipses degeneradas (casos particulares de elipses):Si el plano es perpendicular al eje, en cuyo caso la elipse es una circunferencia.

-Si el plano pasa por el vértice, en cuyo caso la curva se degenera en un punto.

1- TENEMOS EL MARCO RECTILÍNEO. A Y B SON LOS PUNTOS DONDE EMPEZARÁ EL ARCO ELÍPTICO. SE PUEDE HACER A LA ALTURA QUE SE DESEE. C ES JUSTO LA MITAD ENTRE A Y B

2- CON CENTRO EN C, CON AYUDA DE UN COMPÁS O CON EL METRO, SE BUSCAN DOS PUNTOS. LA MEDIDA ES LA MITAD DE LA DISTANCIA ENTRE A Y B .

3- SALEN LOS PUNTOS D Y E EN LOS QUE HAY QUE CLAVAR DOS CLAVOS O CHINCHETAS COGER UN CORDEL CUYA LONGITUD SEA LA DISTANCIA ENTRE A Y B ENGANCHAR CON UN NUDO CADA EXTREMO UNO A D Y EL OTRO A E CON UN LÁPIZ TENSAR EL CORDEL TIENE QUE LLEGAR AL PUNTO C EL CORDEL SERIA LA LINEA VERDE .

4- SOLO HAY QUE IR DESPLAZANDO EL LÁPIZ, VIGILANDO QUE EL CORDEL ESTÉ TENSO, Y YA TENEMOS EL ARCO ELÍPTICO: LA LÍNEA MARRÓN QUE PASA POR LOS PUNTOS A, B Y C. DANDO LA VUELTA ENTERA TENEMOS LA ELIPSE COMPLETA .

-Construcción:-Para construir una elipse hay varios métodos, pero uno de los más conocidos y más sencillos es el método del jardinero. (A)

B) Método para dibujar una elipse dados sus dos ejes.

1- Se trazan el eje mayor AB y el eje menor CD, perpendiculares entre si por el punto medio de ambos ejes.

2- Haciendo centro en el punto medio “M”, se trazan dos circunferencias concéntricas con radios iguales a MA y MC.

3- Luego se dividen ambas circunferencias en un número par de partes iguales. En este caso fueron 12 partes iguales.

4- Por los puntos de la circunferencia grande, trazar líneas paralelas al eje CD.

5- Por los puntos de la circunferencia pequeña trazar líneas paralelas al eje AB.

6- Donde las líneas pertenecientes al mismo punto en ambas circunferencias se

corten esta un punto por el cual pasa la curva de la elipse.

7- Repetir esto con todos los puntos de ambas circunferencias.

8- Por último con una plantilla de curvas unir los puntos de la elipse.

C) Método para dibujar una elipse dado el eje mayor ab y los focos f y f’.

1- Se traza el eje mayor AB y se le busca el punto medio M y por él se traza una línea perpendicular a AB.2- Sobre el eje mayor AB se ubican los puntos F y F’. Se marcan varios puntos arbitrarios entre O y F’.3- Haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura OA marcamos unos arcos que corten la línea perpendicular a AB, consiguiéndose los puntos C y D, puntos del eje menor de la elipse.4- Luego haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura A1 marcamos unos arcos.5- Luego haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura B1 marcamos unos arcos.6- Donde se corten los arcos están los primeros puntos por donde pasa la elipse.7- Hacer lo mismo con los restantes puntos entre O y F’, hasta conseguir todos los puntos de la elipse.8- Por último con una plantilla de curvas unir los puntos de la elipse.

LA PARÁBOLA

-Cuando el plano secante es paralelo a una generatriz del cono, la sección que se produce es una parábola.

-Definición: La parábola es una curva cónica plana, abierta y de una rama. Su contorno está formado por un conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco (F), y de una recta fija llamada directriz (d).

-Elementos : toda parábola tiene un vértice (V) y un eje de simetría que pasa por el vértice y por el foco, siendo perpendicular a la directriz.

Construcción

Método para dibujar una parábola dados la directriz DC, el vértice A y el eje E-E’.

1- Se ubica el vértice A, se traza directriz DC y se traza el eje E-E’.

2- Haciendo centro en E y con abertura EA se traza

un arco que corte el eje y ubique el punto F que es

el foco de la parábola.

3- Se marcan varios puntos arbitrarios entre E y E’.

4- Se trazan rectas paralelas a la directriz por

cada uno de los puntos arbitrarios entre E y E’.

5- Haciendo centro en F y con abertura A1

se describen unos arcos que corten a la línea

que pasa por el punto 1 a ambos lados del eje

consiguiendo los puntos G y G’.

6- Hacer lo mismo con los restantes puntos

entre E y E’, hasta conseguir todos

los puntos de la parábola.

7- Por último con una plantilla de curvas unir

los puntos de la parábola.

LA HIPÉRBOLA

-Cuando el plano secante es paralelo al eje del cono la sección que provoca es una curva llamada hipérbola.

-Definición: La hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Su contorno está formado por un conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante.

-Elementos: 1-El eje real (AB). 2-El eje imaginario (CD). 3-Los focos (F -F'). 4-El punto de simetría de las dos ramas llamado centro (O).

Método para dibujar una hipérbola dadas las asíntotas BB’ y CC’ y el eje AA’.

1- Se traza el eje AA’ y se le busca el punto medio M. Por el punto medio M trazar las 2 asíntotas.

2- Por los puntos A y A’ trazar líneas paralelas a las asíntotas que corten a las asíntotas en su prolongación, consiguiendo los puntos D0, E0, F0 y G0.

4- Luego con abertura MD0 se copia esta distancia sobre cada una de las dos asíntotas a partir de los puntos D0, E0, F0 y G0.

5- Por cada uno de los puntos hallados se trazan paralelas a las asíntotas.

6- Luego se le busca el punto medio al segmento AD0 y se traza una paralela a la asíntota, consiguiéndose el punto A1.

7- Para conseguir los demás puntos que forman la parábola se hace lo mismo sucesivamente.

8- Luego se unen todos los puntos con una plantilla de curvas.

Construcción

Curvas técnicas

-Se utilizan frecuentemente en ingeniería y arquitectura. De entre todas

ellas cabe destacar óvalos, ovoides y espirales, que tienen en común el hecho

de estar formadas por arcos de circunferencias tangentes entre sí.

ÓVALO

- Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatro arcos de

circunferencia iguales dos a dos. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares

entre sí; el mayor suele coincidir con el eje horizontal y el menor, con el eje

vertical.

* CONSTRUCCIÓN EN DIAPOSITIVA SIGUIENTE.

OVOIDE

El ovoide es una curva plana y cerrada, simétrica sólo respecto a su eje mayor, y formada por cuatro arcos de circunferencia, de los que dos son iguales y los otros dos son desiguales.

ESPIRAL

De lejos, la forma geométrica más abundante en el universo es la espiral. Se puede encontrar en las plantas, en las conchas marinas, en las mareas, en las galaxias, en las nubes, las estrellas, las construcciones humanas, etc.

La espiral es una curva plana, abierta y continua que se configura en expansión por un punto que se desplaza de manera uniforme a lo largo de una recta, estando ésta fija en un punto por el cual gira con un valor angular constante. Una espiral se define por los siguientes elementos:

Paso: es la distancia longitudinal con que se desplaza un punto de la curva en una vuelta completa. Es decir, es la distancia entre dos espiras consecutivas.

Espira: es la parte de la curva descrita en cada vuelta.

Núcleo: es a partir de donde se genera, en expansión, la espiral. Los núcleos pueden ser lineales si los centros están situados en una línea, o poligonales si son los vértices del polígono los centros que generanla curva.

Radios vectores: son la prolongación, bien de la línea donde están situados los centros del núcleo, o bien de los lados del polígono que hace de núcleo.

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES

"Imaginaos una línea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral" ARQUÍMEDES Esa espiral recibe el nombre de ESPIRAL DE ARQUÍMEDES.Esta curva es generada por la combinación de dos movimientos uniformes: uno rectilíneo y otro rotacional, simultáneamente. Es la curva descrita por un punto M que se mueve con velocidad constante v por un rayo (OM) que gira alrededor del polo O con velocidad angularw.La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. Es muy fácil reconocerla: la anchura de sus espiras es siempre la misma. Por eso se la conoce con el nombre de espiral uniforme.

LA ESPIRAL LOGARÍTMICA

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es

áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen

hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas

vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantienen invariante. El ejemplo más visualmente

representativo es la concha del Nautilus.

ESPIRAL DE DURERO

Phi está intrínsecamente presente en los rectángulos y triángulos áureos, en el pentágonoregular y las líneas de su estrella, como en la espiral de Durero que podemos trazar sobreun rectángulo o un triángulo áureo.

Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir tiene las mismas proporciones.

O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los términos de la sucesión de Fibonacci.

Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva muy similar a una espiral logarítmica, es la famosa Espiral de Durero.

Esta espiral es casi una espiral logarítmica de salto angular 90 grados y razón geométrica el número de oro. La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de los rectángulos.

Bernoulli se interesó principalmente por un tipo de espiral llamada espirallogarítmica, esta fue la que pidió que se grabase aunque en el momento dehacerlo el que la talló no sabía mucho de geometría y confundió la espirallogarítmica con la espiral de Arquímedes, así que el pobre Bernoulli, que ya nose podía quejar, yació para siempre bajo una espiral equivocada.

La espiral de Arquímedes se diferencia de la logarítmica porque en esta últimalas distancias entre sus espiras o brazos se incrementan en progresióngeométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias sonconstantes. Además la espiral logarítmica cumple con una serie depropiedades que la convierten en una de las curvas más maravillosas, no esen vano que Bernoulli la llamase “espira mirabilis” (espiral maravillosa).