Leibniz - En El Laberinto -Escritos Sobre El Continuo

7/21/2019 Leibniz - En El Laberinto -Escritos Sobre El Continuo

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G. W. Leibniz

En el laberintoEscritos sobre el continuo

Introduccin, traduccin y notas

de Manuel Luna Alcoba

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Gottfried Wilhelm Leibniz

En el laberinto

Escritos sobre el continuo

Introduccin, traduccin y notas de Manuel Luna Alcoba

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A Beltrn,

que ni siquiera era un proyecto

cuando este proyecto comenz

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Al caer la noche, vuelvo a casa y entro en mi

estudio, en cuyo umbral me despojo de aquel traje de

la jornada, lleno de lodo y lamparones, para vestirme

con ropas de corte real y pontificia; y as ataviado

honorablemente, entro en las cortes de los hombres

de la antigedad. Recibido por ellos amablemente,

me nutro de aquel alimento que es privativamente

mo, y para el cual nac... Y por cuatro horas no

siento el menor hasto, olvido todos mis cuidados, no

temo la pobreza ni me espanta la muerte (carta

desde el exilio de Nicols Maquiavelo a Francesco

Vettori, diciembre de 1513)

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Indice

Introduccin general............................................................................................4

Consecuencia de la hiptesis general................ 10

Introduccin..........................................................................................11

Consecuencia de la Hiptesis general publicada hace algn tiempo

para explicar e l F e n m e n o d e l a a d h e s i n e n el

v a c o o e n un l u g a r d e l c u a l s e ha s a c a d o e la i r e ...... ................... 17

Notas del traductor...............................................................................23

Prefacio al opsculo sobre la cuadratura aritmtica.....................................32

Introduccin................ ..33

Prefacio al opsculo sobre la cuadratura aritmtica del .35

Notas del traductor............................................................................... 42

Principio enteramente general.........................................................................44

I ntroduccin....................................................................................... 45

Principio enteramente general, no slo til en matemticas sino en

fs ica, por medio del cual, a partir de la consideracin de la

sabidura divina, se examinan las leyes de la naturaleza. Se explica

habiendo surgido la ocasin en la controversia con el R. P.

Malebranche, y se advierten ciertos errores de los cartesianos....Al


Historia del problema del continuo.................................................................56

Introduccin...........................................................................................57

Historia del problema del continuo ...................................................59


Bosquejo de una geometra brillante ...............................................................79

Introduccin...........................................................................................80

Bosquejo de una geometra brillante.................................................86

Notas del traductor............................ 147

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INTRODUCCIN



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Optimista nacido en psima situacin histrica, escritor infatigable con

escasos lectores, lector infatigable con escasa vista, defensor de la libre circulacin

de los escritos que casi no publicaba, viajero que no pudo hacer el viaje de su vida,

doctor en derecho famoso como filsofo, filsofo inmenso que no vivi de la

filosofa, empleado de una biblioteca a la que le dedic un tiempo mnimo,

grandioso cultivador del gnero epistolar sin vida privada, Leibniz es una de las

personalidades ms ricas y sorprendentes del rico y sorprendente mundo del

Barroco. Godofredo Guillermo Leibniz naci en el peor de los mundos posibles, el

mundo devastado por la Guerra de los Treinta Aos, a la que an le faltaban tres

para finalizar. El futuro defensor de la unificacin de las religiones dio sus primeros

pasos en la muy protestante Leipzig, entre los ltimos rescoldos de odios religiosos y

el nacimiento de un nuevo orden. Lector voraz desde muy pronto, resulta casi

imposible determinar cundo y qu ley. Pero, en cualquier caso, sus lecturas no

tardaron en cristalizar. Su primer libro apareci a la luz pblica cuando contaba

apenas 20 aos. LaDissertatio de arte combinatoriano es una obra de juventud, es

un nuevo peldao en una vieja tradicin a la bsqueda de la mathesis universalis,del

lenguaje de los pensamientos, y, tambin, un proyecto sobre el que volvera con

insistencia a lo largo de su vida. De hecho, con esta tierna edad, ya manifestaba la

brillantez y originalidad de pensamiento que le caracterizara. A partir de este

momento sus escritos aumentan en progresin geomtrica. Llega un punto en que la

proliferacin de textos genera nuevos escritos, Leibniz declara que prefiere escribir

de nuevo un opsculo antes que ponerse a buscarlo en la montaa de papeles de su

despacho. Su legado ocupa miles de documentos sobre centenares de temas:

derecho, historia, metafsica, filosofa natural, lgica, religin, matemticas, fsica,

medicina, qumica, ingeniera, ajedrez, juegos en general, lingstica, poltica,

geologa, etc. Los especialistas con ms de treinta aos de leibnicianismo a sus

espaldas apenas han podido revisar una pequea parte de esta inmensidad. Nadie

sabe de qu trata la pila de textos dedicados a medicina, por ejemplo. Hay pliegos

que no han vuelto a ser ledos desde que fueron archivados... y siguen apareciendo

escritos. Los clculos sobre la tasa de escritura de Leibniz son espeluznantes. Deba

redactar ms de 20 folios diarios, aparte de mantener un vivo intercambio epistolar

con su millar largo de corresponsales. Comparado con esta tasa de produccin,

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Leibniz, el gran adalid de la Repblica de las Letras, no public nada. Dos grandes

escritos, los Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano y la Teodicea,adems

de un puado de artculos. Ni siquiera la punta del iceberg. Algunos textos se

quedaron por el camino de ser editados, la mayor parte, en fase de borrador. Otros

no llegaron a tanto. Anotaciones en hojas sueltas, pequeos estudios, clculos sin

concluir, reelaborados, tachados y vueltos a reelaborar, y libros, decenas de libros,

escritos y reescritos, inacabados, slo bosquejados, terminados y tal vez perdidos,

rechazados para su publicacin... Leibniz dedic la mayor parte de su vida a una

tarea que no estaba destinada a ver la luz ni trescientos aos despus de su muerte.

El ms incansable escritor entre los filsofos de todos los tiempos, slo encontrar

lectores de su obra completa, con suerte, a finales de este siglo. La ciclpea tarea de

editar las obras de Leibniz sigue en paales. Los volmenes publicados apenas dan

para cubrir muy parcialmente los aos iniciales. La inmensa mayora de lo

imprescindible sigue a la espera de una edicin de la academia y buena parte de lo

importante carece de una edicin de cualquier gnero. Continuamos mirando ese

gran universo que fue Leibniz por el ojo de una cerradura.

Lo nico comparable a la produccin leibniciana es su actividad en todos los

campos. Fundador de academias, recuperador de fondos bibliogrficos, consejero

poltico, diplomtico, viajero, mediador en un sin fin de gestiones ms o menos

relacionadas con la filosofa, educador, promotor de la cultura, editor, espa, jams

fue un filsofo encerrado en una torre de marfil y ni siquiera en el entorno de una

ciudad o un pas. Desde muy pronto sinti el magnetismo del poder y ya no dejara

de correr detrs de l. Su primera misin fue ante la corte de Luis XIV en la que

estuvo durante cuatro aos. Estos cuatro aos marcaron su eclosin intelectual.

Amparado por la vida en la corte, Leibniz entra en contacto con las figuras ms

destacadas de la poca. Como una esponja, asimila los conocimientos existentes en

tomo a las ms diferentes ramas del saber y, rpidamente, se pone a la vanguardia de

casi todas ellas. Apegado al poder permanecer con posterioridad en Hannover hasta

el nombramiento del Elector como rey de Inglaterra. Despus de esto, Leibniz ver

alejarse el poder para siempre y quedar, por primera vez en su vida, atrapado en

una ciudad provinciana de la que ya nunca se alejar por mucho tiempo. La

culminacin de su carrera, la llegada a Londres como filsofo oficial de la nueva

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familia real, se vio truncada por el nico viaje que no le permitieron hacer.

Si Leibniz slo hubiese sido un prolifico escritor sobre una pluralidad de

temas, ocupara un lugar destacado en la historia de la filosofa. Pero ni la

exuberante produccin leibniciana, ni la actividad febril de su vida, son tan notables

en l como la genialidad de sus ideas. Buena parte del mundo que estamos

empezando a descubrir figura en los textos de Leibniz. Nuestros ordenadores se

basan en el clculo binario que l promovi, los conjuntos de Mandelbrot estn

descritos en la Monadologia y los determinantes fueron inventados por l. Por

supuesto hay ms, clculos correctos de las primas de seguros, diseo de hlices,

necesidad de los estudios histricos, mquinas calculadoras... Todo ello sin dejar de

ser un hijo de su poca, un pensador barroco atrapado en la tridimensionalidad del

espacio, la monarqua como nico sistema poltico y la ficcin de los nmeros

negativos. sta es la naturaleza absolutamente fascinante de Leibniz, el que, con

frecuencia, fuera mucho menos leibniciano que sus textos. Estamos ante un sistema

filosfico tan o ms grandioso por los problemas que plantea que por los que

resuelve. Los textos leibnicianos son una excusa perfecta para pensar con y desde

ellos. Cualquiera de sus escritos nos induce a la reflexin ms que al asentimiento de

unas doctrinas presentadas como la verdad absoluta. No es de extraar que

metafsicos, matemticos, lgicos, juristas, lingistas y personas de las ms

diferentes reas del saber se acerquen a l buscando ideas nuevas, nuevos enfoques

que aporten luz, eso tan romntico y falso que suele llamarse inspiracin. ste no es

un fenmeno coyuntural de nuestra poca: de modo ms o menos indirecto Kant es

un leibniciano, como muestran sus escritos precrticos; Fichte no dud en decir de l

que, "bien entendido", tena razn; Napolen alab su proyecto sobre Egipto; son

cientos las citas leibnicianas que pueden hallarse en Heidegger; Russell le dedic un

libro al igual que Deleuze; Keynes es un caso muy poco estudiado de

leibnicianismo, aunque menos obsesivo que Gdel y de un modo menos expreso que

Robinson. No quiero prolongar la lista ms all de lo necesario.

Es el momento de hablar de una tarea poco espectacular, aunque sumamente

importante y reveladora desde un punto de vista terico. Ms arriba hemos sealado

dos aspectos de la maldicin leibniciana: era miope y escritor compulsivo. A ello

hay que aadir un tercero, sus necesidades ingentes de papel le hacan ser muy

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ahorrativo con tan preciado material. El resultado es que, cuando su letra no es

ilegible por pequea, lo es por convertirse en un garabato hecho a toda velocidad.

Cuando uno cree que es imposible escribir peor, siempre aparece una tachadura, un

borrn, una correccin que viene a rematarlo todo. Cuando uno piensa que el pliego

se est acabando, siempre aparece un rengln que se curva, que se enrolla o, peor

an, una anotacin metida en el ltimo rinconcito sin ninguna indicacin de dnde

debe ir colocada. Transcribir un texto de Leibniz es una tortura que puede

acompaar a una persona durante luengos aos. No hay que ser muy mal pensado

para darse cuenta de que la mayor parte de los textos de Leibniz publicados hasta

ahora, o lo haban sido en vida de Leibniz, o existe de ellos copia hecha por un

secretario o proceden de su propia mano excepcionalmente cuidadosa en ellos.

Encontrar un indito leibniciano entre los depositados en el Leibniz-Archiv de

Hannover no es especialmente complicado. Transcribirlo es una tarea de titanes.

Supone, en primer lugar, linealizar los textos. Las notas sin indicacin de dnde se

insertan, la enroscadura de ciertos renglones, exigen una decisin por parte del

transcriptor. Despus debe decidirse a qu se le va a prestar atencin. Cmo debe

transcribirse una frase incorrecta gramaticalmente? debe corregirse? qu tipo de

errores son enmendables? qu es una tachadura? cundo una tachadura es

significativa? y un signo? qu es un signo y qu es una mancha de tinta?

Comparados con stos los problemas de la traduccin son problemas de estilo.

Las ediciones de Gerhardt son fabulosas y difcilmente igualables, pero

tampoco se les puede pedir que fuesen perfectas en todo momento. Incurre en un

nmero mnimo de errores en comparacin con el tamao de sus ediciones, si bien

alguno de ellos reviste importancia. El problema fundamental de Gerhardt es que no

siempre transcribe del original manuscrito sino que, cuando le es posible, acude a las

ediciones de la poca de Leibniz, las cuales tampoco fueron perfectas. En buena

medida, hemos seguido sus transcripciones, si bien cotejndolas con el original

manuscrito.

Ya slo nos queda una ltima cuestin, la ms fcil. Si Leibniz escribi

tantas cosas como hemos dichos por qu traducir precisamente escritos en tomo al

continuo? La respuesta es simple, porque el problema del continuo es uno de los

pilares centrales del sistema leibniciano. El lector de estos textos podr apreciar

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cmo en tomo a l surgen las ms diversas cuestiones, el bien y el mal, el clculo

infinitesimal, la dinmica, Dios, los mundos posibles, las sustancias y sus conceptos,

el espacio y el tiempo, todos los grandes problemas a los que se enfrent Leibniz

estn anudados en tomo a este tema. Junto al de la libertad, el del continuo fue uno

de los dos grandes laberintos en los que, para beneficio de todos, quiso perderse

Leibniz y, junto con la armona preestablecida, fue uno de los logros por los que

quiso que se le recordara. El problema del continuo es, pues, capital en Leibniz.

Comprendida su solucin habremos comprendido multitud de cosas que,

inevitablemente, van enlazadas con ella. Pero aqu se plantea un problema.

Precisamente por ser tan importante, precisamente por servir de hilo conductor a

tantas cosas, el del continuo fue un tema al que Leibniz dedic una gran cantidad de

textos. Editarlos todos hubiese sido interesantsimo pero complejsimo. Nos hemos

contentado con una seleccin de los ms destacados, algunos de los cuales, como la

Carta sobre un principio general, resulta escandaloso que no estuviesen

traducidos. Hemos intentado, en cualquier caso, que nuestra seleccin incluya la

mayor variedad posible de perspectivas y fechas de redaccin.

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Consecuencia de la Hiptesis general

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Introduccin.

La Consequence de l'Hypothese generabiletiene una estructura muy definida.

En primer lugar, se enumeran un total de diez "fenmenos". Despus se extraen siete

consecuencias en las que se trata de dar explicacin de esos fenmenos. Finalmente,

se enuncia la ley de la continuacin. No estamos ante una mera nota de trabajo, sino

ante un proyecto de opsculo muy elaborado. A este respecto hay que destacar que,

mientras los "fenmenos" han sufrido varias alteraciones en su numeracin, no hay

ninguna correccin en la numeracin de las consecuencias, como si Leibniz tuviera

muy claro cules eran las consecuencias a sacar.

El material en el que debe contextualizarse la Consequence de

generala puede englobarse en cuatro grandes bloques: una serie de citas, ms o

menos detalladas, dispersas por su correspondencia, en especial con Oldenburg y

Fabri; un conjunto de escritos en latn con formato de opsculo y slo

incidentalmente referidos al problema de la adhesin (LH XXXVII, III, 69 f-114

v); tres folios (LH XXXVII, III, 115 r-118 r) redactados en latn sobre un tipo de

papel diferente, carente de cualquier estructura o ttulo y de una gran sobriedad

expositiva; y, finalmente, un grupo de escritos en francs que muestran unprogresivo desarrollo de la estmctura y las ideas que cuajan de modo ntido en la

Consequence de IHypothese generalle (LH XXXVII, III, 128 f-151 v). Diversos

indicios permiten datar los escritos en latn en los alrededores de 1682.

Pese a que el ttulo de esta obra aparece en el Bodemankatalog, y en el

propio manuscrito de la mano de Leibniz, el registro del Leibnizarchiv careca de

dato alguno al respecto. Por ello, para la correcta datacin del texto, hubo que

recurrir a la marca de agua del papel*2. sta se revel particularmente ntida. Se tratade una flor de siete ptalos por encima de un guante. Es una marca de agua bien

conocida tanto por los especialistas en Leibniz como por los especialistas en escritos

de finales del siglo XVII francs. Corresponde al perodo parisino de Leibniz, ms

concretamente, a los aos 1673/5. Los datos paleogrficos confirman esta datacin.

Cfr.: LH XXXVII, III, 150-1. Este texto ha sido editado en: Studia leibnitiana, Band XXVIII/1

(1996), pgs. 1-16.

2Debo manifestar mi profundo agradecimiento al Pr. Dr. H. Breger, Director del Leibnizarchiv,quien, personalmente, se encarg de atender mi peticin a este respecto.

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La correspondencia refleja claramente que el inters de Leibniz por los experimentos

de Boyle y Huygens est centrada en los alrededores de 1673, mientras que las

posteriores apariciones del tema de la adhesin a partir de la dcada de los 80 se

sita en tomo al problema de la cohesin de los cuerpos tal y como es tratada en los

escritos latinos. Hay adems toda una serie de rasgos temticos que pueden servir

para una datacin relativa. As, por ejemplo, las alusiones a los pliegues como

elementos explicativos comienzan a proliferar a partir de los aos 1675-6. Sin

embargo, hacia esos aos empieza a ser abandonada la teora del choque que

considera ste como resultado de una pluralidad de choques ms pequeos e

independientes, teora sta caracterstica de la Theoria abstracti. Ambos

elementos estn presentes en estos escritos. Tambin al perodo de 1670/1 pertenece

la utilizacin de la luz como factor homogeneizador de los movimientos de que har

gala la Consequence d'une Hypothese generalle.Aunque la referencia a otros textos

no abunda, la Recherche de la Raison de ces phenomenes, cita explcitamente el

artculo de Chr. Huygens de 1673 (cfr.: LH XXXVII, III, 143 v) y hay numerosos

detalles (indicados en las notas finales) que parecen remitir a las Propositiones

qucedam physiccede finales de 1672.

El contenido del opsculo es fcil de resumir. Galileo haba observado que

dos placas de mrmol o metal perfectamente pulidas se adheran fuertemente hasta el

punto de que tirando de una de ellas podemos alzarlas ambas. Por chocante que

parezca, Galileo explic el fenmeno por el horror vacui.En principio el problema

pareca resoluble apelando a la presin ejercida por el aire en la parte exterior de las

placas. Tal fue, en efecto, la solucin dada por R. Boyle. Pero en un artculo

publicado en el Journal de Savants de la edicin de Amsterdam el 25 de julio de

1673, pags. 112-3 y recensionado en Philosophical Translation, vol. 7, n 86, pags.

5027-9, cuatro das ms tarde, Chr. Huygens mostraba que el fenmeno se produca

incluso en ausencia total de aire. La solucin huygeniana planteaba la existencia,

tambin en el vaco, de algn tipo de presin externa a las placas que las haca

mantenerse unidas. Al parecer, Leibniz tuvo ocasin de leer la propuesta de Boyle

durante su viaje a Inglaterra a comienzos de 1673 y las de Huygens a su regreso de

tal viaje.

La serie de escritos de Leibniz mencionados anteriormente describen

reiteradamente los experimentos de Galileo, Guericke, Huygens, Boyle y Torricelli,

analizando y criticando las teoras propuestas por estos autores para explicarlos.

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Algunos incluyen tambin la propuesta de nuevos experimentos a hacer o ya hechos.

Los opsculos en francs dejan muy claro que para dar cuenta del fenmeno de la

adhesin habr de postularse algn tipo de causa o razn de ser, no bastando la mera

constatacin de un vnculo como algo ltimo y peculiar de la materia. En este

sentido, la unin es vista como un proceso, el resultado de una actividad y no el

principio del cual partir para explicar las cosas, algo que ocurre en los escritos

latinos. Entre los mecanismos propuestos, Leibniz tiene primero a mano el ya

sugerido en laHypothesis physica nova del invierno de 1670/71, a saber, la presin

ejercida por una materia sutil en virtud de su natural agitacin intema, que penetra

incluso en un recipiente vaco. Pero lo que los textos aqu analizados muestran es la

progresiva insatisfaccin que esa solucin genera en su propio autor. Poco a poco,

los escritos en francs, van mostrando que, para explicar la adhesin de las placas, es

necesario algo ms que la agitacin intema. El centro explicativo comienza as a

desplazarse al hecho mismo del movimiento general que busca disipar las

heterogeneidades. El movimiento que llena el universo tiene tendencia a aunar la

materia unificndola y homogeneizndola. Ahora bien, si identificamos la

Naturaleza con ese movimiento general, podemos afirmar que la Naturaleza tiene

tendencia a la uniformidad. La mejor manera de entender esta uniformidad es como

carencia de intersticios, de vaco, en su interior. En este sentido, la disolucin de los

cuerpos ser vista como un ejemplo de la ruptura de su continuidad interna. Por

tanto, puede afirmarse que la naturaleza trata de impedir la discontinuacin de los

cuerpos sensibles. La hoja 150 v se refiere a tal proposicin como "cette regle ou

cette loix de la Nature". El que la Naturaleza impida la discontinuacin es, pues, una

autntica ley natural, ms concretamente, la ley de la continuacin de los cuerpos

sensibles.No estamos, pues, ante la teora clsica que exiga la unidad de un cuerpo

para declarar su continuidad, ni en una teora de resabio cartesiano que exigiese la

repeticin uniforme para llegar a esta conclusin. Tampoco nos encontramos ante la

exigencia, para conformar un continuo, de una serie ordenadora externa a l como

ocurra en la Theoria motu abstraed. No obstante, an no nos enfrentamos a la

reciprocidad de orden y continuidad caracterstica del perodo de madurez. Lo que

aqu se afirma es una especie de paso previo, a saber, que unidad y continuidad

tienen una fuente comn: el movimiento general, la Naturaleza. No hay

coimplicacin y ni siquiera reciprocidad entre ellos, sino participacin en un

fundamento comn. Pero el problema no es de ndole estrictamente fsica, por ms

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que las discusiones se restrinjan a ese plano. Una breve nota marginal muestra que

los problemas de la condensacin y rarefraccin son analizados por Leibniz teniendo

delante la necesidad de explicar racionalmente el milagro de la Eucarista. El que la

Naturaleza impida la discontinuacin de los cuerpos sensibles permite entender su

continuidad y el mantenimiento de su unidad con independencia de lo que ocurra

con su espritu unificador. De este modo, servira de garante a la transubstanciacin.

El resultado, que podra parecer sorprendente (hay un hilo temtico que abarca desde

la preocupacin por la adhesin de placas en el perodo parisino hasta la teora del

vnculo substancial), no lo es tanto. El hecho de que ya en 1673/5 Leibniz tuviese en

mente el problema eucaristico al tratar el problema del continuo solo confirma el

entrelazamiento que existe entre ambas teoras.

El inters de la Consequence de VHgeneralle es mltiple. P

parte, muestra el modo que tena Leibniz de entender los experimentos sobre el vaco

durante su perodo parisino. Por otra, arroja una luz completamente nueva sobre el

problema del continuo en Leibniz. Naturalmente esto conlleva que la Consequence

de I'Hypothese generalley toda la temtica que la envuelve, abre ms preguntas de

las que cierra. Un censo sobre la base de la Edicin de la Academia, los escritos

filosficos y matemticos editados por Gerhardt, los opsculos publicados por

Couturat, alrededor de 4.000 hojas de manuscritos y algunos otros materiales, arroja

un cmputo de 49 ocurrencias de la ley de continuidad. Por supuesto, no pretendo

que este cmputo sea exhaustivo, pero s creo que esta muestra puede ser

suficientemente representativa. En ningn momento despus de 1675 se habla, como

hace la Consequence de l'Hypothese generalle de ley de la continuacin de los

cuerpos sensibles, ni se afirma literalmente que la naturaleza impida la

discontinuacin. Adems, no he encontrado ninguna "ley de continuidad" o "de la

continuacin" ni ninguno de sus enunciados en el perodo comprendido entre 1675 y

1687, si bien carecemos de la datacin de cinco textos. Es entonces la "ley de la

continuacin" un caso de la "ley de continuidad"? Ante todo, la ley de la

continuacin lo es de los cuerpos sensibles, precisamente, aquello que pasar a partir

de 1676 a formar parte de los entes por agregacin y, por tanto, algo

caractersticamente discontinuo. Slo la introduccin del vnculo substancial hubiese

permitido hacer de los cuerpos orgnicos un orden, convertirlos en algo continuo.

Ahora bien, el milagro de la Eucarista es precisamente uno de los temas presentes

en la preocupacin leibniciana por la adhesin de las placas.

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Un segundo elemento a tener en cuenta es la diferencia que pueda haber entre

"continuidad" y "la continuacin". Ciertamente, mientras la "continuidad de las

partes" es una expresin neutra en cuanto al sujeto que ejerce esa continuidad, "la

continuacin entre las partes" seala que el agente est en las partes mismas. No

obstante, esta diferencia tiende a esfumarse, pues lo que impide la discontinuacin

no son las partes sino la Naturaleza. Lo importante es esto: las partes poseen

continuidadporque estn ordenadas, son una continuacin de la otraporque estn

unidas. El trnsito de hacer nfasis en la unidad a hacerlo en el orden es el trnsito de

1675 a 1676. En cualquier caso, no se trata de una reedicin de la doctrina

escolstica. Unidad y continuacin no son premisa y consecuencia, sino resultados

ambos de un fundamento comn. Llegamos as al tercer elemento que pudiera

separar la ley de la continuidad de la ley de la continuacin. Desde luego no se

volver a afirmar tras 1675 que la Naturaleza impida la discontinuacin, pero debo

confesar mi impotencia para establecer matices significativos que separen esta

enunciacin de las caractersticas a partir de 1687. La "Naturaleza" identificada aqu

con el movimiento general, pasar a significar posteriormente la causa de las

apariencias. Es ms, definida ella misma como movimiento, la enunciacin

presupone ese elemento dinmico que luego se hara explcito en las enunciaciones

de la ley de continuidad posteriores. Queda distinguir entre "impedir" y "no actuar",

"no transitar", "no mutar", al cabo, la diferencia entre un verbo transitivo y otros que

no lo son, lo cual nos vuelve a remitir a la primera de las diferencias sealadas.

Finalmente, en lo que respecta a las relaciones de ambas con los sistemas en los que

se encuadran, sealemos que la ley de continuidad guarda con el principio general

del orden la misma relacin que la ley de la continuacin con un corolario de aqul:a

el equilibrio universal . En definitiva, la ley de la continuacin de los cuerpos

sensibles no es, estrictamente, la ley de continuidad, si bien su parentesco es algo

ms que un simple "parecido de familia". Resulta, pues, fuera de toda duda que,

mucho antes de 1687, el sistema posea ya una estructura capaz de distribuir

enunciados acerca del continuo identificable con una ley de continuidad. Por tanto, si

Leibniz dice que en 1687 enunci por vez primera la ley de continuidad, tal vez

hayamos de darle la razn, pero matizando que ya entre 1673 y 1675 haba

enunciado la ley de la continuacin de los cuerpos sensibles.

3Cfr.: Leibniz, Primee Veritates, 1689, en Opuscules et fragments indits de Leibniz, par Louis

Couturat (en lo sucesivo, C), Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1966, pag. 519.

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Este es el fin de nuestra presentacin y, a la vez, el comienzo de las

preguntas. Cmo puede explicarse el largo parntesis entre 1675 y 1687 sin una

sola enunciacin, cuando estaba claro que el sistema necesitaba una ley de

continuidad? por qu la ley de la continuacin o su inevitable anlogo, la ley de

continuidad, no aparecen en el Pacidius Philalethi por ejemplo? por qu

desapareci la ley de la continuacin pese a que el problema de la adhesin

reaparecer espordicamente en sus escritos? Ignoro en gran medida las respuestas a

estas preguntas, lo que s creo saber es que, el mero hecho de plantearlas, exige una

profunda transformacin del modo hasta ahora habitual de interpretar la teora

leibniciana del continuo.

Los dibujos de este texto son obra de quien suscribe.

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G. W. Leibniz, Consecuencia de la Hiptesis general publicada hace algn

tiempo para explicar e I F e n m e n o d e la a d h e s i n en e l v a c o o

e n un l u g a r d e l c u a l s e ha s a c a d o e l a i r e 1, 1 6 7 3 / 5 .

I ll Experiencias hechas: Los licores no fluyen de un tubo estrecho abierto slo

por un lado aunque se invierta (2) con tal que la altura del licor no sea muy grande,

pues hay alturas determinadas, segn el tipo del licor, (no siendo necesaria una muy

grande para los licores ms pesados) que lo hacen caer, como el agua, que necesita

de cerca de 30 pies y el mercurio de 27 pulgadas de altura.

Si la experiencia se hace en el aire libre, como por ejemplo, si un tubo de vidrio

abierto en la parte superior se tapa por la parte inferior, se llena de agua y se invierte

despus diestramente, el agua no podr fluir.

Fenmeno l.2 Los licores no fluyen de un vaso que est abierto slo por un

agujerof.]

Fen. 2.Siempre que la altura del licor no se aumente demasiado, segn el tipo de

licor, hasta cierta medida determinada, puesto que entonces caen.

Fenm. 3. Se ha observando que si el tubo est en un recipiente del cual se ha

sacado el aire con la bomba del Sr. Guericke, el licor fluye, como si hubiese un

agujero en lo alto del tubo[.]

Fenm. 4Pero cuando en el agua, o cualquier otro licor que haya permanecido en

el vaco, se purga de aire o se agota la materia propia para producir aire, haciendo

continuamente pequeas burbujas, se obtiene al fin que cuando se utiliza este agua

purgada de aire en el tubo, no fluye. Aunque la experiencia est hecha en el vaco y

hay quienes no aceptan del vaco [.]

Fenm. 5No obstante, cuando ha recibido un choque o cuando una nueva burbuja

de aire se engendra en el fondo del agua o cuando se la hace entrar, llegando a subir

a una cierta altura del tubo, entonces el licor se separa y cae como de ordinario.

/8/ Fenm. 6 Esta altura es justamente la misma que la altura a la que el licor

permanece todava suspendido (antes de caer como de ordinario).

Fenm. 7. Lo mismo ocurre con el mercurio fuera del recipiente. Pues, como el

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agua ordinaria, bien que de un peso pequeo, cae en el recipiente en el que se ha

hecho el vaco, puesto que el obstculo del aire ha sido superado, por lo mismo el

mercurio ordinario cae en el aire libre, porque su peso es grande. Pero como (por el

fenmeno precedente) el agua aunque sin aire, purgada, no cae en el recipiente, por

lo mismo el mercurio purgado no cae en el aire aunque su altura sea ms grande que

de ordinario y tenga hasta 70 pulgadas en lugar de 27.

Fenm. 8 Si un licor purgado permanece largo tiempo en el vaco en un cierto

lugar, es preciso que el choque sea ms fuerte para separarlo.

Fenm. 9.Se haba credo que dos placas bien unidas no se separaran a causa de

la presin del aire, pero se ha probado que la misma adhesin tiene lugar tambin en

el vaco o en un recipiente sin aire3.

Fenm. 10 El sifn de dos brazos desiguales produce su efecto tanto en el vaco

como en el aire.

De estos fenmenos se pueden sacar, en primer lugar, las siguientes

consecuencias:

Consecuencia 1. Que el temor al vaco no contribuye en nada. De otro modo, la

diferencia del recipiente lleno o vaco y del licor natural o purgado no cambiara los

fenmenos4.

Consec. 2 Que la resistencia del aire es la causa del fenmeno 1. como parece

segn los fenm. 2. y 3.

Consec. 3Que la adhesin de dos placas en el vaco no proviene ni de una cierta

cola insensible ni de ninguna otra razn que se pueda 191encontrar en los cuerpos

unidos mismos, sino de una presin exterior. La razn se halla en que, de otro modo,

la separacin transversal de dos poros correspondientes y adheridos juntos en las

placas sera tan difcil como la directa: contra el fenm. 9 pues se ha hallado que las

dos placas se deslizan fcilmente, la una perpendicular a la otra (igual en el vaco)

mientras resisten a la separacin5.

Consec. 4. Se sigue, pues que queda siempre cierta materia en la cavidad del

recipiente en el cual se saca el aire, que puede ejercer esta presin sobre los dos

cuerpos adheridos juntos. No digo, por tanto que haya poros en el vidrio para el paso

de esta materia, pues se puede explicar todo esto por la sola propagacin de la

presin, la cual pasa por todos los hasta lo indefinido6.

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Consecuencia de la hiptesis general

Es preciso tambin que la presin de esta materia no sea ms fuerte que la del aire,

pues, de otro modo, las placas no caeran venciendo la columna de aire, contra el

clculo. Y, sin embargo, parece ser ms fuerte, porque sostiene el mercurio a una

altura el doble que de ordinario. Digo el doble por no decir que basta con unir estas

dos presiones juntas. Pero es preciso examinar la presin de las placas, pues puede

ser que haya dos presiones y que haga falta ms fuerza que para vencer el aire, como

con el mercurio purgado.

Consec. 5.En fin es preciso tambin que esta presin se haga por un movimiento, o

por un esfuerzo de una materia menos gmesa que el aire sensible. /10/ Queda en este

momento dar Razn por una Hiptesis de la manera en que se produce esta presin7.

Y si se responde que esta presin no es igual a causa de que las partes del licor

purgado que corresponden a las partes continuas del vidrio entre los poros, no son

presionadas por los dos lados y que as hay ms materia presionante de un lado que

del otro, se sigue que hace falta considerar la cantidad de la apertura o de la materia

sutil que presiona, si es que esta desigualdad es la causa de la suspensin. Y, en

consecuencia, el poco de materia que se encuentra en la burbuja, no iguala toda la

presin de la materia sutil hacia la parte inferior del vidrio ni de la materia sutil que

entra libremente por la apertura del tubo hacia abajo. Se tiene, por tanto, la eleccin

o por [se interrumpe]

Si el lquido se separa cuando la burbuja no toca el vidrio, experiencia [se

interrumpe]

Cuando se pmebe con el mercurio: hasta la altura posible, a saber, si lo sobrante se

separar solamente y el resto permanecer suspendido en lo alto.

Experiencia a hacer sobre esta materia con las dos placas8.

*Cunta altura [alcanza] el mercurio purgado de aire.

Es preciso dejar las placas en el vaco en un licor como en el agua, para ver si

habr alguna diferencia.

Experiencia a hacer[:] sujetar el tubo en el vaco o romperlo en lo ms alto para

ver si cae entonces. Principalmente habiendo quedado un largo tiempo en reposo.

Experiencia a hacer con las placas agujereadas.

Si las placas son golpeadas juntas, cuando se aproximan una a otra.

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Experiencia con una bomba succionadora: si acaso el vaco purgado de aire puede

[hacer] burbujas, esto regulara el contenido, o si acaso pompas ms pesadas, si el

licor ha sido largo

/1 1/ Es preciso hacer la experiencia de si con el mercurio purgado de aire, el

mercurio no cae antes de que la burbuja haya llegado a 27 pulgadas de altura[.]

Consec. 6.Se puede explicar bien e\ fenmeno9 o la adhesin de dos placas en el

vaco por un licor o materia fluida en la cual se supone la existencia de un

movimiento en todos sentidos, por lo que las ondas golpean las superficies

exteriores de las placas[.]

Pero ser difcil explicar por este movimiento de una materia sutil en todos los

sentidos el fenmeno del licor purgado de aire. Pues el movimiento de esta materia

sutil continuar igualmente cuando se engendre aire en el licor y como es capaz de

presionar el licor hacia la superficie del vidrio, a pesar de su peso, ser tambin

capaz de impedir que una pequea burbuja de aire penetre entre los dos y se dilate

como vemos que hace. No basta con decir que esta materia sutil encuentra lugar en

la burbuja, golpea as el licor suspendido de ambos lados y lo hace reposar lo mismo

que lo ha presionado contra el vidrio. Pues, sin insistir sobre el que esta misma

presin impedir la generacin de la burbuja, y por tanto, que no bastar que la

burbuja se coloque entre el licor y la superficie interior del vidrio, es preciso

considerar que el pequeo golpe del movimiento en todos los sentidos de la materia

sutil insinuado en una pequea burbuja, no puede igualar ni destruir todos los otros

que el licor recibe de todos lados y por los que es empujado hacia la materia interior

del vidrio. Y es preciso observar que hay en esto una gran diferencia entre la presin

universal de una cosa, como la de la Atmsfera, y la presin del movimiento en

todos sentidos del licor. Pues la presin universal es igual aunque haya solamente un

pequeo paso, como cuando el Mercurio suspendido en el tubo de Torricelli cae si

se agujerea el tubo en la parte superior con una aguja, puesto que la Masa hace un

esfuerzo general de distribuir igualmente las fuerzas por todas partes. Pero el

Movimiento de un licor en todos sentidos, es particular a cada parte de la masa9. Si

ste no es un esfuerzo como el de la fuerza [el resto est tachado]... como nosotros

experimentamos en el aire, en el cual el /12/ movimiento no es en todos los sentidos

y en el cual no hay ondas para este efecto, aunque el esfuerzo sea en todos sentidos.

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Si se explica el movimiento en todos sentidos de esta manera, por un simple

esfuerzo, lo apruebo enteramente y me servir de l yo mismo posteriormente. Pero

creo no tener necesidad de otra cosa que del aire, del cual estamos persuadidos por

tantas experiencias, sin emplear una materia puramente supuesta que pasa por los

poros del vidrio. Creo igualmente que la Hiptesis supondra que el movimiento en

todos sentidos de la materia pasando por los poros del vidrio (para ocupar el lugar

cuando se saca el aire) y encerrado en la pequea burbuja no sera capaz de igualar

todos los otros golpes con que esta materia se combate a s misma. Pues si hay

poros, el susodicho movimiento en todos los sentidos atravesando el vidrio, har

caer el lquido purgado que est suspendido en el tubo a causa de que el licor

suspendido no es presionado por los dos lados, como ocurre cuando se da entrada al

aire pinchando el tubo de Torricelli en la parte superior.

Consec.7 Parece que se puede extraer de estos fenmenos juntos una observacin

general, a saber, que la Naturaleza trata de impedir la discontinuacin de los

cuerpos sensibles10. Pues igual en el vaco, donde no hay cuerpos /13/ sensibles, los

dos slidos no se separan simplemente, como se ve por el fenmeno 9 de las placas:

ni dos lquidos, por el fenmeno 9, 10 o sifn de brazos desiguales; ni un slido de

un lquido por los fenmenos 5 y 7 del licor purgado de aire.

Pero tan pronto como se interpone un cuerpo sensible que se puede extender o

tomar un mayor volumen entonces esta adhesin cesa, y los cuerpos adheridos se

separan, porque todo el lugar entre los dos puede ser rellenado por el aire que se

extiende por este efecto11. Por tanto lo que da razn de esta regla /14/ o de esta ley de

la Naturaleza, dara razn igualmente al mismo tiempo de todos estos fenmenos.

Para dar razn de un fenmeno de la Naturaleza es preciso siempre tratar de

explicarlo por otros fenmenos y evitar Hiptesis tanto como sea posible. Y por este

efecto he tratado de dar razn de todos los efectos de la naturaleza (al menos de un

modo general) sin utilizar una Hiptesis u otro principio que este fenmeno

incontestable del movimiento de la luz del Sol alrededor de la Tierra en el ecuador y

en los crculos paralelos al ecuador, de lo cual se saca la consecuencia de otro

movimiento hacia los polos por los meridianos porque la materia ms gruesa que la

de la luz, pero menos gruesa que los cuerpos sensibles, que son rechazados del

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ecuador y paralelos por el movimiento de la luz, no pudiendo ir hacia el centro, a

causa de los cuerpos ms gmesos, es apartada hacia los polos. Pues la luz, por su

rapidez, trata o de disipar o de rechazar todos los obstculos y todos los cuerpos

heterogneos o demasiado gruesos que perturban su movimiento hacia el lugar

donde el movimiento es menos rpido, es decir, hacia el centro y (en caso que no

puede hacia el centro), hacia el polo12. Pero en el caso de que los cuerpos no puedan

/15/ ser apartados ni disipados, el movimiento general le hace al menos ocupar el

lugar y la situacin ms propia segn la conveniencia universal, para ser impedido lo

menos que sea posible. Mediante estas consecuencias necesarias de un fenmeno

general incontestable, intento dar razn de los fenmenos ms particulares del peso

del resorte y del mismo im n13; y creo poder sacar igualmente alguna consecuencia,

sin hacer ninguna hiptesis nueva,para dar razn de estos fenmenos de la adhesin

en el vaco o de la ley de la continuacin de Cuerpos sensibles.

Pues segn lo que espero mostrar en otra parte ms ampliamente, se sigue de este

movimiento pblico, la Regla general del equilibrio universal, es decir, se

encuentran fuerzas iguales por todas partes. De suerte que el peso compensa el

resorte, la velocidad compensa la pequeez, /16/ la firmeza del obstculo el esfuerzo

superado. En consecuencia, si hay un lugar mal provisto de fuerzas y que no opone

mucha resistencia para equilibrar los cuerpos ambientes, toda la naturaleza se

esforzar para hacerle justicia y lo separar tanto como le sea preciso de todas las

otras partes del mundo y esto en un momento. Es fcil de aplicar esto a nuestro

propsito, pues tan pronto como se separan dos cuerpos, como dos placas, es preciso

que se encuentre un cuerpo con un esfuerzo cualquiera entre ellos. No a causa del

miedo al vaco, sino porque toda la masa acta contra un lugar donde no hay

esfuerzo. Pues hay [el resto de la frase est tachada], a saber, el del peso que trata de

separar los cuerpos y que bien puede igualar el del resorte de un poco de aire que se

introduce despus. Respondo a esta objecin bastante difcil en apariencia que la

fuerza del peso, o de un resorte (como de hierro) es finita. Y llega al reposo teniendo

su trmino. La del aire es infinita pues se abrira siempre; sera preciso, pues, en este

lugar, o aire o un cuerpo que resista a la presin general14.

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Notas del traductor

*La estructura y terminologa caractersticas de la Consequence de VHypothese gemmile va

componindose a travs de los sucesivos escritos en francs (cfr.: LH XXXVII, III, 128 r-149 v). El

opsculo por el fondo y la forma, ms directamente relacionado con la Consequence de VHypothese

gemm ile es el De Vunion des corps purges d'air qui se trouvent joint pa r une pression distente (sic)

de celle de Vatmosphere (LH XXXVII, III, 128 r-135 v). Escrito, como la Consequence de

VHypothese gemmile en 4, usa slo una columna a la izquierda y rellena el resto con notas o dibujos.

Est dividido en dos secciones bajo los encabezados: "Phenomenes, ou Experiences toutes faites" y

"De ces phenomenes on peut tirer premierement les Consequences suivantes". En total se enumeran

seis consecuencias de las cuales la quinta se prolonga en un largo discurso de cinco hojas. La hoja en

el que se recogen las otras cuatro consecuencias y el comienzo de la quinta aparece ostensiblemente

tachado.

2La enumeracin de los diferentes experimentos realizados en torno al problema del vaco o

de la adhesin de placas es una caracterstica de los textos que, siguiendo el catlogo de Bodemann

van del LH XXXVII, III, 91 r al 150 v. En la Recherche de la Raison de ces phenomenes avec des

Experiences projettes pou r s en claircir d'avantage; et une Hypothese Nouvelle (LH XXXVII, III,

136 r-148 v), una pretendida numeracin de prrafos termina en el nmero tres y posteriormente

resultan todos tachados. El De Vunion des corps purges, enumera hasta un total de 10 experimentos

de Galileo, Huygens, Pascal y Boyle. Pero los mismos experimentos, as como otros de Torricelli y

Guericke, sern de nuevo revisados en los escritos de los alrededores de 1682, tales como los escritos

sin ttulo LH XXXVII, III, 99 v, ss. (numerando un total de 19, con frecuentes tachaduras que a veces

abarcan folios enteros -en particular LH XXXVII, III, 101 v y 102 v-), el De Firmitate corpomm

(LH XXXVII, III, 69 r-70 v), la Propos itio Experimentomm Novorum qu itu s sumios omnes

controversies circa ris presionem videntur definiri po sse (LH XXXVII, III, 107 r-114 v), el De

Nova pressione eris subtilioris edam intro locum ere communi exhaustum deprehensa et in dere

libero pressionem cylindro eris crassi ortam longe superative, (LH XXXVII, III, 115 r-116 v) y

los escritos sin ttulo LH XXXVII, III, 91 r-99 v. Estos ltimos, carecen de numeracin interna de

los fenmenos estudiados y reinician, una y otra vez, el estudio de los mismos experimentos. Algunos

de ellos, tales como sumergir las placas adheridas en agua, parecen ser la realizacin de experimentos

propuestos en la Consequence de VHypothese gemmile. Adems, especialmente la Propos itio

Experimentomm Novorum , suele describir experimentos ideados por Leibniz referentes al tema (cfr.:

LH XXXVII, III, 113 r).

3

La primera de las citas del problema de la adhesin de placas que hemos podido localizar

en los escritos de Leibniz, es un prrafo tachado de las Propositiones qudam physic , (cfr.:

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G. W. Leibninz

comienzos/Otoo-1672, dritter Entwurf, prop. 22, AK VI, 3, 39), en donde se explica este fenmeno

por el movimiento universal que da lugar a la uniformidad de las partes de un cuerpo. En la

correspondencia, la primera mencin de este fenmeno se sita en una carta a Oldenburg de 8 de

marzo de 1673. En ella Leibniz sugiere a su interlocutor que indague la reaccin de Boyle ante una

comunicacin de Huygens que probablemente constitua un anticipo del artculo ms arriba

mencionado (cfr.: Ak III, 1, 41). Ante la carencia de una respuesta por parte de Oldenburg, Leibniz

insiste en los mismos trminos el 26 de abril de 1673 (cfr.: Ak III, 1, 86). Con fecha 5 de junio de

1673, Oldenburg le responde que Boyle asegura haber hecho el experimento en el vaco con el

resultado de la separacin de las placas. En una carta de 18/28 de noviembre de 1676, Leibniz da la

razn a Huygens frente a Boyle en el sentido de que las placas no se separan ni an en el vaco.

Tambin la proposicin 13 de la carta a Honorato Fabri de 17 de mayo de 1677 hace mencin del

problema de la adhesin de placas y se halla en el contexto de una serie de proposiciones que

recuerdan las que aparecen en la Consequence de VHypothese gem m ile (cfr.: Ak III, 2, 135).

ocupando progresivamente un segundo lugar. El De duabus tabulis plan i in loco clauso aqua pleno

dive llendis (LH XXXVII, III, 118), que posiblemente es un trabajo preparatorio a una carta a Edm

Mariotte de finales de julio, principios de agosto de 1682 (cfr.: Ak III, 3, 677), est dedicado

exclusivamente a la adhesin de placas, problema que se soluciona aludiendo a la plenitud del

recipiente incluso en el vaco, si bien no se aportan mayores explicaciones. El Pro pressione ris

contra Funiculum (LH XXXVII, III, 117 r-v), de los alrededores de 1680, aunque hace referencia a

la adhesin de placas, tiene por tema central la elasticidad del aire. Tambin aparece citado el

problema en el De Nova pressione eris , (habla de "marmora polita" en vez de placas, cfr.: LH

XXXVII, III, 116 r). Por su parte, el De Firmitate corporum (LH XXXVII, III, 69 r-70 v), segn la

edici n de la Academia un escrito preparatorio a la carta de Leibn iz a Edm Mariotte de 14-IX -1682

(cfr.: Ak III, 3, 712 ss.), da un pequeo giro al poner la adhesin de placas como ejemplo para

explicar la cohesin de los cuerpos. Se renuncia con ello a explicar el fenmeno mismo y el escrito se

limita a enumerar posibles soluciones: el peso, la elasticidad del aire o de otro cuerpo slido o lquido

que llene el recipiente en que se encuentran las placas. No hay decisin por una u otra alternativa,

aunque se asegura que la solidez de los cuerpos ha de explicarse tambin por la presin de un fluido

que lo llena todo. En los escritos sin ttulo LH XXXVIII, III, 91 r-106 v, la gravedad de la columna

de aire, solucin ligada al nombre de Guericke, es rechazada igualmente como va explicativa porque

el fenmeno se sigue produciendo en el vaco, asumindose sin ms que la adhesin de placas es un

ejemplo de la coherencia de los cuerpos. La discusin pasa entonces a la misma naturaleza de la

gravedad y el aire, as como a la presin ejercida por ste. Esto contrasta con la Recherche de la

Raison de ces phenomenesque, haciendo referencia a "un petit Essay imprim il y a deux ans" intenta

dar cuenta de la solidez de los cuerpos por la existencia de un esfuerzo interno. Ciertamente en el

En los escritos sobre el vaco de la dcada de los 80, el tema de la adhesin de placas va

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pargrafo 22 de la Hypothesis physica nova puede leerse: "omnia enim dura sunt motu quodam

intestino in se redeunte" (Leibniz, Hypothesis physica nova, Invierno-1670/71, 22, Ak VI, 2, 230).

*Una afirmacin semejante puede encontrarse en el escrito sin ttulo LH XXXVII, III, 98 v,

el cual concluye, que todo lo que vulgarmente se atribuye al horror al vaco y lo que los cientficos

adscriben al peso del aire (soluciones de Galileo y Guericke), se debe a un "conatum Naturce ad

uniformitatem".

5sta es la base del Pro pressione ris contra Funiculum (LH XXXVII, III, 117 r-v),

escrito contra la teora del funculo cuya alusin (cfr.: 117 v) a la carta de un jesuta del ao 1680

permite datarlo en los alrededores de esta fecha. D el mismo modo, los escritos sin ttulo LH X XXV II,

III, 91 r-106 v rechazan la posibilidad de que la unin de las placas sea resultado de un vnculo que

las una como lo demuestra su capacidad de deslizamiento horizontal. En efecto, desde la Recherche

de la Raison de ces phenomenes la unin es vista como algo activo, o bien resultado de una accin,

por parte de los cuerpos que la conforman, sean stos slidos o lquidos. Por ello se critica la teora de

Bacon segn la cual la simple substraccin del aire causa la unin de los cuerpos (cfr.: LH XXXVIII,

III, 143 r).

6Esto es un abandono, cuando menos parcial, de lo defendido en laRecherche de la Raison

de ces phenomenes (cfr.: LH XXXVII, III, 141 r) y de las prolijas explicaciones acerca de los poros

procedente del De Vunion des corps purges (cfr.: LH XXXVII, III, 130). Este escrito analizaba

detalladamente las consecuencias que para la teora se seguiran de la existencia de poros en los

cuerpos, y planteaba tres posibilidades. La primera es que un poro coincida con otro poro, lo cual,

razona Leibniz, no contribuye ni a la unin ni a la separacin de la placas. Una segunda posibilidad es

que un poro coincida con la parte slida de la placa, en cuyo caso la tendencia a separarse originada

por el aire que penetra en l se ve compensada por la tendencia a la unidad de la presin que se ejerce

desde fuera de la parte slida. Por ltimo, si coinciden dos partes slidas, hay entre ellas una tendencia

a la unidad debida a la presin externa. As pues, la presencia de poros no influye para nada en la

unin o no de las placas. En el seno de estas descripciones Leibniz se pregunta tambin si la

separacin de las placas produce sonido.

En elDe Vunion des corps purgesuna cruz de grandes proporciones serva para invalidar el

primer folio dedicado a la quinta consecuencia que, en esencia, era una explicacin del fenmeno de

adhesin de placas en virtud de la agitacin interna de una materia sutil que penetra incluso en el

recipiente vaco (cfr.: LH XXXVII, III, 129 r-v). Desde el momento en que, como vimos en la nota

anterior, se deja de lado la importancia para nuestros fenmenos de la existencia de poros, tambin las

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teoras que apelen a la presencia de una materia sutil deben ser rechazadas (cfr.: Leibniz, Recherche

de la Raison de ces phenomenes, LH XXXVII, III, 146 v ss y Propositiones qudam physic,

comienzos/Otoo-1672, prop. 22, Ak VI, 3, 39). De hecho, el De Nova pressione eris (cfr.: LH

XXXVII, III, 115 r-116 v) llega a presentar el experimento de las placas como refutacin de la

existencia de un aire sutil que penetra por los poros de los cuerpos. A partir del De Vunion des corps

purges se ha producido, en efecto, una importante matizacin. Las placas estn unidas, no por la

presin de una materia sutil que penetre por los poros del recipiente, sino en virtud de la presin del

aire que resta en el vaco (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r). Sin embargo, la Consequence de V.Hypothese

gem m ile , prefiere hacer recaer el peso explicativo sobre la presin universal, que se trasladara al

interior del recipiente por la elasticidad, siquiera sea mnima, de sus paredes.

8Tambin en el De l'union des corps purges se describen nueve experimentos bajo el

encabezado "Experiences faire en cette matire" (cfr.: LH XXXVII, III, 135 r). De ellos al menos

los cinco primeros han sido tachados.

9E1De l'union des corps purges marcaba, una notable diferencia entre el caso de la adhesin

de placas y el del tubo invertido en la cubeta. Pese a que ambos fenmenos se explican por la presin

de la atmsfera, el lquido del tubo cae en cuanto ste es pinchado. Por contra, las placas slo se

separan por una burbuja de aire que penetra entre ellas o por un pequeo golpe. La razn hay que

buscarla en la naturaleza de los lquidos, que, al plegarse, transmiten con mayor facilidad el aire de lo

que lo hacen las placas slidas (cfr.: LH XXXVII, III, 131 r). Con ello se introduce la nocin de

pliegue que ser vinculada estrechamente al problema del continuo, en especial a partir de 1675

(recurdese, por ejemplo, el Pacidius philalethi, 29-VIII/10-XI-1676, Ak VI, 3, 555). En la

Recherche puede advertirse un nuevo matiz en estos planteamientos. Tras aludir a una "regla general

demostrada en otra parte", aclara que en los lquidos ("continues") las partes superiores ejercen

presin sobre las inferiores en razn de la altura que los separa. Adems, los lquidos ("continues") se

empujan entre s en razn de su densidad ("de l'espece de leur consistence") sin que haya que tener en

cuenta la cantidad de los mismos en contacto. La combinacin de ambos hechos permitira explicar,

por una parte, el fenmeno del sifn de brazos de desiguales y, por otra, que la burbuja de aire pueda

separar dos placas compensando la presin ejercida por toda la atmsfera (cosa que se analiza

detenidamente en LH XXXVII, III, 144 r-145 r). Pero cuando se trata de dos placas adheridas, ya no

estamos ante dos lquidos, sino ante un slido presionado por el movimiento del ter. Aqu hemos de

vrnosla, pues, con un choque que no es tal, sino que oculta una pluralidad de pequeos choques

independientes unos de otros que se compensan entre s (cfr.: LH XXXVII, III, 145 r-v). La

innovacin que esto supone respecto del De l'union des corps purges , es la asociacin explicita del

carcter plegable de los lquidos con su continuidad y, a la vez, el mantenimiento de la existencia de

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pequeos choques independientes en el caso de dos slidos que interaccionan, algo caracterstico de la

Theoria motus abstracti. Esta diferencia entre cuerpos slidos y lquidos permite, adems, distinguir

entre una solidez primitiva y una sensible (cfr.: LH XXXVII, III, 137 v). La solidez primitiva tiene su

origen en el movimiento del ter y su descripcin coincide con ste tal y como apareca en los dos

escritos del invierno de 1670/71. Incluso se retoma la afirmacin de la divisin al infinito y la

existencia de mundos cada vez ms pequeos. Aunque esta solidez primitiva ha sido la base de la

solucin boyleana al problema de la adhesin de placas, se necesita algo ms, pues la simple agitacin

del ter es demasiado dbil. Leibniz contina con un anlisis crtico de diversas hiptesis sobre el

tema sin terminar de aclarar qu sea eso de la "solidez sensible". La pgina siguiente de laRecherche

de la Raison (LH XXXVII, III, 146 r), comienza anunciando que se ha terminado el estudio de las

hiptesis de los dems, todas ellas susceptibles de crtica, y se pasa a la elaboracin de las teoras

propias. Antes que ello ocurra, el texto se interrumpe en 146 v.

10Esta expresin no est aislada en el seno de lo s escritos franceses que engloban la

Consequence de VHypothese generalle. La consecuencia sexta del escrito De Vunion des corps

purges , posee el carcter de una observacin ms general, consistente en que "la nature tache

d'empecher la discontinuation des corps sensibles" (LH XXX VII, III, 131 v). Inmediatamente

despus el manuscrito se interrumpe sin que sea posible apreciar la existencia de un punto final.

Destaquemos de esta observacin general la universalidad de su enunciado. Aunque se mencionan los

fenmenos que la apoyan, de lo que se habla aqu no es ya de placas, tubos o sifones, sino de "la

naturaleza". Esto marca una cesura importante con las consecuencias anteriores, pues se abandona la

explicacin pormenorizada de los experimentos. A partir de su aparicin, se convierte en el eje

alrededor del cual gira todo el problema. Hasta una veintena de hojas del De Vunion des corps purgs

tratan de sistematizar, de explicar, de aclarar qu es la naturaleza, por qu trata de impedir la

discontinuacin y cmo lo hace. Por "Naturaleza" se entiende el movimiento general del pleno que

todo lo llena. La Naturaleza tiene un efectivo esfuerzo, una capacidad de actuar que se manifiesta

especialmente en el vaco. Esta tendencia natural afecta slo a los cuerpos sensibles, o, como dice en

otra parte "grossiers", no a las minsculas partes de que stos pudieran constar. Tal restriccin resulta

importante pues hace compatible los textos aqu analizados con, por ejemplo, la Demonstratio contra

Atom os suma ex Atomorum contactu de octubre de 1690. El eje de esta refutacin del atomismo era

pecisamente la idea de que si la cohesin de los cuerpos se originase por el simple contacto de sus

superficies no habra elasticidad ni disolucin. En efecto, si la coherencia se entiende como simple

contacto, todo choque ser inelstico o bien, dependiendo de la forma de los tomos, dar siempre

como resultado un compuesto. Es ms, imaginando los tomos delimitados por superficies lisas, la

unin de estas superficies habr de ser instantnea, en el momento en que su coincidencia sea total, el

compuesto ser coherente, pero nunca antes. En realidad, tampoco podr hablarse de un despus de

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los tomos individualmente. Una vez la cohesin entre ellos se ha establecido, no puede imaginarse un

movimiento que los separe (cfr.: GP VII, 287). La idea de que el movimiento general de la naturaleza,

afecte nicamente a los cuerpos sensibles, trata de impedir, precisamente, el dejar la puerta abierta al

atomismo.

1hiendo la materia movimiento o esfuerzo, la condensacin consistir en la concentracin

de los esfuerzos que constituyen la materia en un pequeo receptculo. La rarefraccin ser, por

contra, su dispersin por un gran espacio. As entendida la rarefraccin elimina toda la problemtica

en torno a la existencia del vaco. No hay verdadero vaco, a lo sumo, la cmara que contiene nuestras

placas adheridas poseer una baja concentracin de materia, quiero decir, una gran dispersin de una

escasez de esfuerzos. Por su parte, la condensacin nos ha preparado para explicar otros fenmenos

"sans qu'on doiue plus avoir peur de ces deux grands phantmes d'une philosophie peu fonde: de la

penetration des dimensions du Vuide que quelques uns ont cre impossible mme au Toutpuisant -la

question sstant chauff l'ocasion des controverses de l'Eucharistie- et du Vuide" (Leibniz,

Recherche de la Raison de ces phenomenes, LH XXXVII, III, 143 v). As pues, los problemas que

venimos discutiendo no son problemas estrictamente fsicos. Bajo una tal apariencia subyace un

importante problema teolgico. Siendo la materia puro esfuerzo, condensarla no implica cambiarla de

ningn modo esencial. Ahora bien, la Theoria motu abstraen estableca que aquello que recoge, que

"recuerda" los diferentes conatus es el alma. La ley de la continuacin de los cuerpos sensibles, el

mantenimiento de la continuidad por parte de la Naturaleza, es tambin un modo de explicar la unidad

de los cuerpos, aspecto esencial para entender lo que ocurre en la Eucarista. Pero, precisamente el

mantenimiento de la unidad del compuesto sustancial por el afianzamiento de su continuidad, el

racionalizar el milagro eucaristico, fue la tarea encomendada al vnculo substancial!. Los primeros

brotes de la teora leibniciana del continuo conducen directamente a la carta a des Bosses de 19 de

mayo de 1716!.

12Tambin la Recherche de la Raison de ces phenomenes, comienza la pgina 144 r

haciendo profesin de humildad. Afirma que, para poder dar cuenta de todos los fenmenos es preciso

guardarse de hacer hiptesis en la medida de lo posible. De esas hiptesis en la Recherche slo

quedaba libre el hecho de la presin del aire. Esta idea ya haba aparecido en el De l'union de corps

purges (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r), donde se enunciaba la tendencia a impedir la discontinuacin

por parte de la naturaleza. La pgina 132 r hace referencia a "un petit trait pas encor publi, ny

meme assez poli pour l'exposer l'hazard de la censure publique" el cual contiene la proposicin

segn la cual el movimiento general trata de amasar la materia heterognea para hacerla menos

heterognea (la referencia bien pudiera ser a las Propositiones qudam physic , comienzos/Otoo-

1672, especialmente las props. 23 y 24, Ak VI, 3, 39 ss.). Leibniz razona larga y detalladamente cmo

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el movimiento de una materia que llenase el espacio en torno a una esfera, terminara por agrupar los

cuerpos en sus polos. Nuestro autor lo ve tan claro que no duda en aadir al final del razonamiento

"Q.E.D.". Posteriormente se tachan las tres letras y se agrega que esta esfera rodeada de una materia

fluida en movimiento puede ser tomada a imagen de la tierra, concluyendo por fin que la naturaleza

(en minsculas ahora), se opone a la discontinuacin de los cuerpos sensibles. Leibniz mismo se da

cuenta de que est muy alejado de las cubetas, las bombas de vaco y el mercurio, por lo que seala

que la relacin entre esta proposicin y los fenmenos se aclarar a continuacin por el anlisis de las

objeciones que puedan hacerse a sus propuestas. En total son seis las objeciones que se analizan,

llegando a la poco concluyente afirmacin de que el esfuerzo de la naturaleza o movimiento general

tiende a unir los cuerpos heterogneos o a disgregarlos si son susceptibles de disgregacin. En

realidad es el propio vaco el que hace que los cuerpos se unan, pero la presencia de aire en el

recipiente pone de manifiesto "el esfuerzo que la naturaleza hace contra la discontinuacin de los

cuerpos sensibles". El resultado no puede estar ms alejado del matemtico "Q.E.D.". Ahora resulta

que el movimiento general puede tanto unir como disgregar, que el aire que resta en el recipiente

tiende tanto a unir los cuerpos como a separarlos y que el vaco es necesario para que se manifieste el

esfuerzo del pleno universal. La salvedad es que, en el presente escrito, se introduce la luz en lugar del

simple "movimiento general" que all apareca. Por qu introducir la luz en lugar del movimiento

general es algo que aclara la Hypothesis physica nova: "Lux nihil aliud, quam rei agitado instentina"

(Leibniz, Hypothesis physica nova , invierno-1670/71, 56, Ak VI, 2, 247). La luz corno agente

causal de la distribucin de cuerpos y materiales es un recurso frecuente de la Hypothesis physica

nova (cfr.: Invierno-1670/71, 5 y ss., Ak VI, 2, 224 ss. -pasaje en donde, por cierto, se enuncia la

infinita divisibilidad del continuo-), la Summa Hypotheseos physic nov (cfr.: segunda mitad de

1671, dritter Entwurf, 7 y 17, Ak VI, 2, 344 y 347), las Propositiones qudam physic (cfr.:

comienzos/Otoo-1672, props. 8-14, Ak VI, 3, 19-29) y la carta a Fabri de 1677 (cfr.: Prop. 17, Ak

III, 2, 138). En la pgina LH XXXVII, III, 98 v de los escritos sin ttulo, se establece el carcter no

violento y recproco de la tensin y la comprensin para afirmar como consecuencia que la

compresin ejercida sobre los cuerpos proviene de la luz del Sol. La luz ejerce una presin sobre los

cuerpos rechazando las partes de stos hacia el centro de la Tierra. Cuando los cuerpos son

rechazados por el centro, o bien chocan con otros que les impiden el movimiento o bien se produce

una tendencia a la disgregacin. De este modo, la luz provoca presin y comprensin en el ter

sometindolo a un flujo perpetuo, el cual, a su vez, tiende a la distribucin uniforme tanto del mismo

movimiento como de la materia.

13LaRecherche de la Raison de ces phenomenes (cfr.: LH XXXVII, III, 137 r) lanza como

hiptesis, aunque sin posterior anlisis, la idea de que la unin de los cuerpos en el vaco est

vinculada con la naturaleza de los imanes. Tambin el De l'union des corps purge s, postula que los

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G. W. Leibninz

problemas de la adhesion, la gravedad y la imantacin, tienen una naturaleza comn, la tendencia de

la luz a redistribuir homogneamente la materia (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r). Algo semejante se

deca en laHypothesis physica novaponiendo adems este fenmeno en conexin con el movimiento

del ter hacia los polos (cfr.: Invierno-1670/1, 3 4 bis y 35, Ak VI, 2, 238), en la Theoria motus

abstracti (cfr.: Invierno-1670/1, Def. 22 y Th. 20, Ak VI, 2, 264 y 270 respectivamente) y, muy

particularmente, en lasPropositiones qudam physic, que explica los fenmenos de la imantacin y

la gravedad por un "conatum presionum ad quilibrium" (comienzos/Otoo-1672, prop. 22, Ak VI, 3,

38 y prop. 29 Ak VI, 3, 54).

14Este prrafo final es particularmente enjundioso. El texto asume como natural la distincin

entre movimiento pblico o correspondiente al sistema (obsrvese que se ha tachado la palabra

"General") y movimiento puro o privado, que se establece en el Leges Reflexionis et refractionis

Demonstratce de la segunda mitad de 1671 (cfr.: Ak VI, 3, 314). Apenas tres lneas ms abajo de tal

distincin, prosigue diciendo: "Ita descensus gravium non minus a systematis quilibrio est, quam

ascensus liqui in agua ab quilibrio aqu alioquin turbato". Pero la idea de semejante equilibrio

aparece ya en laHypostesis physica nova, 20, (cfr.: Invierno-1670/71, Ak VI, 2, 228) y de un modo

que evoca la parte final de la Consequence de lHypothese generalleen el 57 de la misma obra (cfr.:

Ak VI, 2, 247 ss.). Las Propositione qudam physic, por una parte, afirman que todo medio

continuo tiende al equilibrio universal (cfr.: comienzos/Otoo-1672, dritter Entwurf, prop. 36, Ak VI,

3, 65 s.) y, por otra, pone en conexin el equilibrio con la armona (cfr.: Op. cit., prop. 30, Ak VI, 3,

57). Como es bien sabido, la reciprocidad de continuidad y armona es algo caracterstico del perodo

de madurez. De hecho, el Prim Veritates, de los alrededores de 1689, retoma el ejemplo de la

balanza y cita a Arqumedes como padre del postulado de que si "brachiis libr et ponderibus positis

qualibus, omnia sint in quilibrio" (C 519). Ahora bien, de qu es ejemplo este

postulado? es un ejemplo del principio segn el cual "omnia ab una parte se habent ut ab alia parte in

datis [determinatibus], etiam in qusitis seu consequentibus omnia se eodem modo habitura

utrinque" (loe. cit.). Esto es, el equilibrio de la balanza es un ejemplo del axioma "datis ordinatis

etiam qusita sunt ordinata", base del principio generai del orden (cfr.: Leibniz, Lettre de M. L sur un

principe generai utile l'explication de lois de la nature par la consideration de la sagesse divine ,

pour servir de replique la rponse du R. P. D. Malebranche , 1687, GP III, 51-2). Sobre la

vinculacin entre este principio y la ley de continuidad, puede verse el Specimen Dynamicum pro

admirandis Natur Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegentis et ad suas causas

revocandis, de 1695, (cfr.: Pars II, GM VI, 249-50). Es ms, esa "Regla del equilibrio universal"

recuerda bastante a una ley de conservacin y, de hecho, existe tambin un texto de madurez donde se

vincula la ley de continuidad y la ley de la conservacin de la fuerza (cfr.: Leibniz, Essay de

Dinamique sur les loix du mouvement,o il e st monstr, qu'il ne se conserve pas la mme Quantit de

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rAction motrice , 1695, GM VI, 229). En definitiva, hay un paralelismo casi perfecto entre las

relaciones que guarda la ley de continuidad con el principio general del orden y las leyes de

conservacin, de una parte, y la ley de la continuacin y ese corolario de aqullas que al cabo sera la

"Regla del equilibrio universal", de la otra.

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Prefacio al Opsculo sobre la Cuadratura aritmtica

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Introduccin.

El Prefacio al opsculo sobre la cuadratura aritmtica del crculo, tiene,

segn las fuentes, dos dataciones. Una es finales de 1675 y la otra otoo de 1676. A

nuestro entender, la ms probable es la primera, ya que guarda un profundo parecido

con la carta a Oldenburg de 30-II-167512y con la carta remitida a La Roque a finales

de 1675 . La lista de precursores que all se cita es muy semejante con la que

proporciona este texto. El original abarca tres pginas y tres cuartos de otra y ha sido

editado por Gerhardt3, aunque con algunos errores que hemos tratado de enmendar.

Como su propio nombre indica, estamos ante el prefacio al escrito De

Quadratura Arithmetica Circuli, Ellipseos et Hyperbol, cujus corollarium est

Trigonometria sine Tabulis,terminado en el ao 1675 y entregado primero a Saudry,

despus a Hansen y, tras diferentes avatares, a D. Elsevir, para que se encargara de

su edicin una vez Leibniz abandon Pars. En este opsculo, adems de la

cuadratura aritmtica del crculo se expona el mtodo para el desarrollo de series

que permitiesen hallar el arco a partir del seno o el seno a partir del arco, mtodo ste

que no perteneca al propio Leibniz. Comoquiera que la edicin sufri un sin fin de

retrasos, cuando estuvo preparada, Leibniz haba encontrado ya su propio mtodo

para el desarrollo de tales series. De aqu que acabase por descartar su publicacin e

indito permanece hasta nuestros das salvo una edicin parcial4. Afortunadamente,

el prefacio de dicho escrito ha corrido mejor suerte por tratarse de un breve, pero

conciso texto, en el que Leibniz hace un repaso, como dice l mismo, por sus

antecedentes, por lo que se ha hecho y se ha de hacer para, al fin, aportar su

aproximacin a la cuadratura del crculo o, lo que es lo mismo, al nmero n. Este

escrito presenta ligeras variaciones respecto a sus predecesores. As, en la carta a

Oldenburg anteriormente mencionada, las cuadraturas "aproximatorias" son

clasificadas en numricas o lineales. Las primeras son ejemplificadas por

'Cfr.: Ak III, 1, 202 y ss.

2Cfr.: Ak III, 1, 338.

3Cfr.: Die mathematischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, ed. von G. D. Gerhardt, 7

vols., Georg Olms Verlag, Hildesheim-New York, 1971 (en lo sucesivo GM), vol. V, pgs. 93-8.

4Cfr.: Scholtz, L.Die exakte Grundlegung der Infinitesimalrechnung bei Leibniz , Marburg, 1934.

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Arqumides, Ludolf de Colonia y Wallis, en tanto que las segundas son

ejemplificadas por Snell y Huygens. Las cuadraturas exactas, por su parte, sern

mecnicas o aritmticas. Estas son caracterizadas porque no vienen dadas por ciertos

nmeros, sino por una serie infinita de nmeros. Y en este momento, a diferencia del

Prefacio, se menciona a Mercator y a la cuadratura de la hiprbole de W.

Brounckers. Aparte se hallan la cuadratura analtica y la geomtrica, que se realiza

mediante constmcciones geomtricas. La cuadratura analtica se efecta a travs de

una expresin algebraica con un nmero finito de partes. Bsicamente sta es

tambin la clasificacin que aparece en la carta a La Roque, con la salvedad de que,

para la cuadratura geomtrica se propone tambin el nombre de "fsica".

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G. W. L.Prefacio a l opsculo sobre la cuadratura aritmtica del 1675.

/9 3/ Puesto que el problema de la Cuadratura del Crculo se encuentra en todos

los lugares y en brillantes estudios de investigacin, escritos adems por hombres

absolutamente expertos y clebres en Geometra, ser valioso exponer brevemente la

naturaleza de la cuestin (que parece haber sido buscada desde siempre), qu se

defendi antes de nosotros, qu rechazamos y qu quedar por hacer a la

posterioridad.

Cuando Pitgoras y sus discpulos expusieron los elementos de la Geometra

rectilnea, despus redactados en un cuerpo por Euclides, ya se demostr que, para

cualquier figura rectilnea plana dada, puede crearse un cuadrado igual, lo cual es

evidentemente muy simple y, en cierto modo, es una medida de lo que queda.

Empez entonces a pensarse si no podra crearse una figura rectilnea igual al crculo

y, por tanto, igualarlo al cuadrado. Y esto es lo que vulgarmente se llama la

cuadratura del crculo, pues si pudiera describirse cierto Tringulo, u otro Polgono

cualquiera, igual al crculo, en todo caso sera en potencia igual al cuadrado. Y

puesto que Arqumedes seal que un Tringulo rectngulo cuya altura sea de un

2

radio y la base como la circunferencia extendida en recta, sera el doble del crculo ,

si alguien encontrase alguna recta igual a la circunferencia del crculo, dara con

nuestra cuadratura.

Al llegar aqu, algunos que oyen la explicacin, se admiran al ver facilsimo

lo que tanto tiempo han buscado los Gemetras, pues qu ms fcil, que hallar una

recta igual a la circunferencia circundando el crculo con un hilo material y despus

extendindolo en lnea recta y midindolo? Con el mismo derecho pueden decir que

el crculo se cuadra fcilmente si una masa de cera, primero circular, despus se

vuelve una figura cuadrada, o si el agua de un cilindro cavado en madera se pasa a

uno excavado en forma cuadrada, pues, a partir de la altura del agua, aparece cmo

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G. W. Leibniz

es el crculo -que es la base del cilindro- al cuadrado -que es la base del madero o

prisma excavado- y si el agua se eleva el doble o triple ms alto en el prisma que en

el cilindro, el crculo ser la mitad del cuadrado o un tercio y, de tal modo, otro

cuadrado que sea el doble o el triple, ser igual al crculo, en lo cual no hay ningn

problema para la Geometra. Es sabido, en verdad, que no es tal cosa la que buscan

los Gemetras, sino un camino para su investigacin por el que, sin /9 4/el crculo

material o su transformacin o aplicacin al plano, pueda encontrarse y designarse la

recta igual a la circunferencia, o tambin el lado del cuadrado igual al crculo, con

cierto arte y regla o instrumento que tenga la capacidad de formar una lnea recta,

como son aqullos con los que se describen los Crculos, Elipses u otras lneas. Por

consiguiente, no se busca la cuadratura del crculo por el hilo extendido en recto, ni

tampoco por la rueda hecha rodar en el plano o la regla aplicada en contacto

sucesivo con las partes materiales de la circunferencia. De aqu, adems, que no sea

la que se busca la cuadratura del crculo mostrada por el contacto con la Hlice de

Arqumedes, ni por tal la vendi Arqumedes . Sin duda la Hlice es una lnea curva

que describe un recorrido avanzando por los radios alrededor del centro y de ste

hacia la circunferencia, tocando al plano subyacente con su vrtice inmvil y

dejando en l rastros de su movimiento, compuesto a partir de lo recto y lo circular.

En esta medida se entiende que el movimiento de los radios alrededor del centro y el

recorrido en el radio es uniforme o proporcional. Tal lnea no est en nuestro poder,

pues (sin un crculo material) hasta ahora no hemos podido hacer que los radios se

muevan siempre con velocidad igual o proporcional alrededor de los centros y a lo

D

largo del radio. Adems, si ya estuviese

descrita, debera aplicarse cierta regla

tangente a esta hlice sacada materialmente

del plano, por la cual se determinara

necesariamente la recta igual al crculo.

Por otra parte, con el Problema de la

Cuadratura del Crculo est conectado el

problema de la seccin universal del Angulo,

o Trigonometra Geomtrica, cuyos ngulos

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G. W. Leibniz

Elementos) inscribirse y circunscribirse otros dos con el doble nmero de lados o

ngulos que se tenan, y esto puede continuarse al infinito, cayendo siempre el

crculo entre los ltimos inscrito y circunscrito. Es decir, si comienzas por los

trgonos, se sigue por los hexgonos, dodecgonos, 24agonos, 48agonos, 96agonos,

inscritos y circunscritos de modo semejante, pudindose proceder de este modo

hasta donde quieras y, puesto que en estas bisecciones de los polgonos siempre

puede tenerse geomtricamente el rea con bastante exactitud numrica, siempre se

tendrn las reas entre las que cae el crculo, aproximndose siempre al mismo y, de

esta manera, puede hacerse que el error sea menor que cualquiera dado, esto es, si se

me pide un nmero que exprese la razn de la circunferencia al dimetro tan

aproximada que no difiera en verdad como la centsima a la milsima u otras partes

de la unidad, esto puede hacerse continuando la biseccin. Este mtodo lo comenz

Arqumedes, Metius lo llev ms lejos, pero mucho ms lo prolong la increble

labor producida por Ludolfo de Colonia, quien, si hubiese conocido los compendios

nacidos hoy da, al menos habra visto aliviado su trabajo en gran parte. A partir de

las proporciones halladas, para el uso en los muy pequeos, basta la Arquimdica, a

saber, que la circunferencia es al dimetro como 22 a 711; en las medianas, la de

Metius, que es como 355 a 113; en las grandes basta con que se use la fraccin de

Ludolpho, que es como ... /96/a ... Hallada la razn del dimetro a la circunferencia,

puede medirse con facilidad cualquier otro arco por medio de la Tabla de Senos.

Pues, si alguien extrae de la tabla el seno de medio minuto y lo duplica, tendr la

cuerda de un minuto o el arco mismo, que es la 21600ava parte de la circunferencia.

La cuerda que se desea puede suponerse, con mediocre exactitud, igual a su arco y,

de este modo, para encontrar la longitud correspondiente, por ejemplo, a siete

grados, puesto que contiene 420 minutos, basta encontrar la longitud de la cuerda de

un minuto a partir de la Tabla y multiplicarla por 420. Si alguien quiere proceder

an con mayor exactitud, puede usar del mismo modo los minutos y segundos del

seno.

Y, ciertamente, esta cuadratura del Crculo por partes, aunque sea Racional,

se llama no obstante Mecnica. Es exacta tambin la que muestra la magnitud

buscada del Crculo o arco exactamente, y sta es Linealo Numrica,es decir, o por

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Prefacio al opsculo de la cuadra tura a ritmtica del crculo

el trazado de lneas o por la expresin de los valores. El valor puede expresarse

exactamente por la cantidad o por la progresin de la cantidad, cuya naturaleza y

modo de continuacin se conoce. Por la cantidad, por ejemplo, si se da algn

nmero racional o irracional o tambin Algebraico, incluido en cierta ecuacin, por

el que se expresa el valor del arco del crculo. Por progresin, si se muestra cierta

progresin, de la cual se da la regla de continuacin al infinito, que expresa

exactamente, tomada toda a la vez, el valor del arco o del crculo. La primera

expresin la llamo Analtica, la posterior, en fin, com

Leibniz - En El Laberinto -Escritos Sobre El Continuo

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