Lógica de Primer Orden (FOL o LPO)

Cuantificadores

Listado de tópicos

• Proposición abierta / Proposición cerrada.

• Variables en una proposición

• Predicado

• Cuantificadores: Universal y existencial• Variables libres y atadas.

• Cuándo son ciertas?

• Algunas equivalencias

Proposiciones abiertas

• Una oración declarativa es una proposición abierta si:– Contiene una o más variables.

– No es una proposición, pero

– Se puede convertir en una proposición cuando las variables se sustituyen por ciertos valores permisibles especificados en un Universo de Discurso.

Ejemplos

• El universo de discurso es el conjunto de todos los numeros enteros.

• q(x): El número x+2 es un entero impar• r(y): 2y es un entero par

• s(x, y): (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

• t(x, y): x2 + y2 = 25

Proposiciones cuantificadas

• Cuantificador Universal:� ∀

ξ ... Παρα τοδα ξ ... Παρα χαδα ξ ... Παρα χυαλθυιερ ξ ... � ∀ξ ∀ψ ... ∀ξ,ψ ...

Παρα τοδα ξ ψ τοδα ψ ...

– Ejemplo: ∀ψ ρ(ψ)

Proposiciones cuantificadas

• Cuantificador Existencial:� ∃

ξ ... Παρα αλγυνα ξ ... Παρα αλ µενοσ υν ϖαλορ δε ξ ... Εξιστε υνα ξ ταλ θυε ... � ∃ξ ∃ψ ... ∃ξ,ψ ...

Παρα αλγυνα ξ ψ αλγυνα ψ ...

– Ejemplo: ∃ξ,ψ τ(ξ,ψ)

Ejemplo

• Universo de discurso:

–Toda x tal que x es un número real.

• Sea p(x): x ≥ 0• Sea q(x): x2 ≥ 0

∀∀ξ [p(x) ∧ q(x)]

∀∃ξ [p(x) → q(x)]

Equivalencias e implicaciones

• Se dice que q(x) y q(x) son lógicamente equivalentes (∀ξ [p(x) ⇔ q(x)]) para un universo dado, cuando p(a) ↔ θ(α) εσ ϖερδαδερα παρα τοδα � α� εν εσε υνιϖερσο.

• Se dice que p(x) implica lógicamente a q(x) (∀ξ [p(x) ⇒ q(x)]) para un universo dado, cuando p(a) → θ(α) εσ ϖερδαδερα παρα τοδα � α� εν εσε υνιϖερσο.

Ejemplo

• Universo de discurso: – Todos los triángulos del plano.

• p(x): x es un equilatero.

• q(x): x es equiangular.

Implicaciones, contrapositivas, recíprocas e inversas

∀∀ξ [p(x) → q(x)]

∀∀ξ [~q(x) → ~p(x)]

∀∀ξ [q(x) → p(x)]

∀∀ξ [~p(x) → ~q(x)]

Ejemplo

• Universo de discurso: – Todos los cuadriláteros del plano.

• r(x): x es un cuadrado.

• s(x): x es equilatero.

Valores de verdad

• Cuándo es verdad? ... ...Cuándo es metira?� ∃ξ p(x)

� ∀ξ p(x)

� ∃ξ ~p(x)

� ∀ξ ~p(x)

Ejemplo

• Universo de discurso: – Todos los números enteros.

• t(x): 2x + 1 = 5.

• u(x): x2 = 9.

∀∃ξ [τ(ξ) ∧ υ(ξ)] ... ?

Distribución de cuantificadores

• Para cualesquiera proposiciones abiertas de una sola variable p(x) y q(x) y un universo dado:

∀∃ξ [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃ξ p(x) ∧ ∃ξ q(x)

∀∃ξ [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃ξ p(x) ∨ ∃ξ q(x)

∀∀ξ [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀ξ p(x) ∧ ∀ξ q(x)

∀∀ξ p(x) ∨ ∀ξ q(x) ⇒ ∀ξ [p(x) ∨ q(x)]

Ejemplo

• Universo de discurso:– Todos los números reales.

• p(x): x es un número racional.

• q(x): x es un número irracional.

∀∀ξ [p(x) ∨ q(x)]

Ejemplos

• Sean p y q proposiciones abiertas para algún Universo dado.

∀∀ξ ~ ~ p(x) ⇔ ∀ξ p(x)

∀∀ξ ~ [p(x)∧q(x)] ⇔ ∀ξ [~p(x)∨~q(x)]

Negación de cuantificadores• Para cualesquiera proposicion abierta con un quatificador y un universo dado:

• ~[∀ξ p(x)] ⇔ ∃ξ ~p(x)

• ~[∃ξ p(x)] ⇔ ∀ξ ~p(x)

• ~[∀ξ ~p(x)] ⇔ ∃ξ p(x)

• ~[∃ξ ~p(x)] ⇔ ∀ξ p(x)

Ejemplo

• Universo de discurso:– Todos los números enteros.

• p(x): x es impar.

• q(x): x2 - 1 es par.

• Si x es impar, entonces x2 - 1 es par.

Ejemplo re-visitado

• Universo de discurso: – Todos los números enteros.

• t(x): 2x + 1 = 5.• u(x): x2 = 9.

∀∃ξ [ρ(τ) ∧ υ(ξ)] ... ?

Más de un cuantificador!

• Una proposición abierta puede contener más de un cuantificador!

Ejemplos

• Universo de discurso: – Todos los números reales.

∀∀ξ ∀ψ [ξ + ψ = ψ + ξ]∀∃ξ ∃ψ [ξ + ψ = 6]

Conmutación de cuantificadores

• Cuando tenemos proposiciones con únicamente cuantificadores del mismo tipo:

∀∀ξ ∀ψ π(ξ,ψ) ⇔ ∀ψ ∀ξ π(ξ,ψ) ∀∃ξ ∃ψ π(ξ,ψ) ⇔ ∃ψ ∃ξ π(ξ,ψ)

Mezclando cuantificadores!

• Cuando la proposiciones lleva ambos cuantificadores al mismo tiempo ...

¡¡¡ CUIDADO !!!

Ejemplo

• Universo de discurso:

–Todos los números enteros.

• Sea p(x, y): x + y = 17

∀∀ξ ∃ψ π(ξ,ψ) ∀∃ψ ∀ξ π(ξ,ψ)

... Bailamos?• Universo de discurso:

–Todos los seres humanos.

• p(x): x es hombre.

• q(y): y es mujer.• R(x, y): x baila con y.

∀∀ξ ∃ψ {[π(ξ) ∧ θ(ψ)] → ρ(ξ,ψ)}∀∃ψ ∀ξ {[π(ξ) ∧ θ(ψ)] → ρ(ξ,ψ)}

Simplificando• Universo de discurso: todos los números reales.

• Refute y simplifique la siguiente proposición:

∀∃ ξ ∃ ψ [(ξ > ψ) ∧ (ξ − ψ > 0)]