Lgica Proposicional

Lgica Proposicional La lgica es la rama del conocimiento que trata los modelos de razonamiento, mediante reglas y tcnicas, con el fin de determinar si un argumento dado es vlido. El tema que nos ocupa es el de la lgica usada en matemticas. Aqu trabajamos con elementos bsicos llamados Proposiciones. Enunciado: Es toda expresin lingstica, que constituye una frase u oracin. Proposicin: Enunciado que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica. La verdad o falsedad de una proposicin es lo que se llama su valor de verdad.

ContenidoLgica Proposicional

Simbolizacin y valoracin de proposiciones

Ejercicios aplicativos

ObjetivoPresentar los conceptos bsicos de la lgica proposicional.

Analiza y resuelve problemas matemticos de su entorno aplicando reglas, principios e inferencias relacionados a la Lgica Proposicional .CapacidadEjemplos Son proposiciones lgicas:Orlando y Ana van a estudiar en la USS. Orlando llam a Ana para salir. El autobs pasa a las siete. Maana llover. Chimbote est entre Trujillo y Casma. El IFB forma profesionales para desempearse en las entidades bancarias.

No son proposiciones lgicas:Sintate! Cundo sale el autobs? Fueron a pescar Orlando y Ana finalmente?Las creencias, mitos o leyendas. As como:Dios es un ser misericordioso Manco Cpac y Mama Ocllo fueron enviados por el solLas metforas o refranes. As como: El Per es un mendigo sentado en un banco de oro. Has el bien, sin mirar a quinLas supersticiones. As como: Hoy da me ir muy mal por ser Martes 13 Pase por debajo de una escalera

SIMBOLIZACIN Y VALORACIN DE PROPOSICIONESSegn los datos histricos, Aristteles introdujo las letras como:p, q, r, etc., con la finalidad de representar a cada proposicindeclarativa. Las variables proposicionales slo pueden asumir losvalores de verdad (V) o falsedad (F).As tenemos: Para dos proposiciones: p, q se tiene la siguiente tabla de verdad:pq..pq..VV11VF10FV01FF00SIMBOLIZACIN Se denominan conectivos lgicos a aquellas palabras o trminos funcionales que ligan, juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones compuestas. Los operadores o conectores bsicos son: CONECTIVOSMBOLONOMBRE DE LA PROPOSICIN No~Negacin Y^Conjuncin oDisyuntiva inclusiva o. . . o. . .Disyuntiva exclusiva Si entonces...Condicional si y slo si Bicondicional Es un conectivo singular. Se denomina proposicin negativa aquella que cambia el valor de la proposicin original. Se denota por: ~p, -p, p y se lee: no p. La negacin, puede traducirse como: Es falso que... No es el caso que ... Jams ...Ejemplo: p = La luna es un satlite. ~p = No es cierto que la luna es un satlite.

Conectivos Lgicos: Negacin (~): Dadas las proposiciones p, q. La conjuncin es el resultado de unir estas proposiciones con el conectivo lgico y. Se denota con el smbolo: , , se escribe p q, p q y se lee: p y q. La proposicin conjuntiva es verdadera. Cuando las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje podemos emplear: Sin embargo An cuando No obstante Pero, etc.Ejemplo: Consideremos las siguientes proposiciones:p: La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque q: Tiene corriente la bateraEntonces:p q: La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batera

Conjuncin: Es una proposicin compuesta formada por p y por q relacionadas por el conectivo lgico o. Segn el sentido del conectivo o, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva.Disyuncin Inclusiva o Dbil: Se denota por p q, p + q y se lee: p o q. La disyuncin inclusiva es falsa slo en el caso que ambas proporciones sean falsas. Se conoce como la suma lgica. Otras formas de conexin que nos indican una disyuncin inclusiva son:A menos que, Excepto que, O en todo caso, A no ser que, etc.

Ejemplo: Consideremos: p : La USS es privada q : La USS es estatalEntonces: p q: La USS es privada o en todo caso la USS es estatal

Disyuncin: Disyuncin Exclusiva o Fuerte: Se denota por: p q, p V q, p q, p q, p q y se lee: p o q pero no ambos. La disyuncin exclusiva es verdadera slo cuando una de las proposiciones es verdadera. Alguna formas de conectivos a emplear son: O ... o ... O bien ... o bien ... ... no equivale a ...No es cierto que...equivale a... O solo .... o solo ....

Ejemplo: Consideremos:

p : viajo a Espaa q : viajo a Brasil

Entonces: p q : O viajo a Espaa o viajo a Brasil10Proposicin compuesta que resulta de la combinacin de dos proposiciones simples, a travs del conectivo: Si ..., entonces ... y su smbolo es : , . La notacin p q, p q se lee Si p , entonces q ; proposicin p se llama antecedente o hiptesis y la proposicin q se llama consecuente o conclusin.

La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente (p q Implicacin directa), son las siguientes:

Si p, entonces q p implica q p por ende q

Puede tambin expresarse en el orden consecuente-antecedente (q p Implicacin inversa), son:

q siempre que p Slo cuando p, q q cada vez que p

Condicional: Ejemplo: consideremos: p : Llueva q : Mejorarn las cosechas De tal manera que la representacin del enunciado anterior usando simbologa lgica queda indicado por: p q : Siempre que llueva entonces mejoraran las cosechas q p : Mejoraran las cosechas siempre que llueva

Cuando dos proposiciones estn unidas por el conectivo lgico ... si y slo si ..., cuyo smbolo es: , , . La proposicin compuesta se denota por: p q, p q, p q y se lee: p si y slo si q. La proposicin bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.Tambin se suele emplear expresiones como:

siempre y cuando por lo cual y segn lo cual Si y slo si p, q es lo mismo que

Bicondicional: Ejemplo: Consideremos: p : Los bancos dan crdito q : Mirta labora en el IFBDe tal manera que la representacin del enunciado anterior usando simbologa lgica queda indicado por: p q : Los bancos dan crdito siempre y cuando Mirta labora en el IFB.

RESUMEN DE TABLAS DE VERDAD

pq~pp qp qp qp qp qVVFVFVVFFFFVVFFVFFVVALORACIN DE PROPOSICIONESHasta el momento hemos conocido la simbolizacin de las proposiciones tanto atmicas como las proposiciones moleculares. Para determinar los valores de verdad a las segundas, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad de las proposiciones atmicas ya que, slo ellas pueden recibir directamente los valores de verdad. Considere los siguientes ejemplos: Si los alumnos aprueban todos los cursos, entonces obtienen su bachillerato o su titulo. Tenemos las proposiciones: p : Los alumnos aprueban todos los cursos q : Obtienen su bachillerato r : Su tituloSe simboliza: p (q r)

14La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:pqrp(q r)VVVVVVVVFVVVVFVVVVVFFVFFFVVFVVFVFFVVFFVFVVFFFFVFContingencia: Aquella expresin, que en su conectivo principal resulten valores verdaderos y falsos a la vez, para todas las posibles asignaciones de la tabla de verdad.La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:pq(p q) p q VV V V V V V VF F F V V FFV V F F V VFF V F F V FTautologa: Una expresin es tautolgica, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser verdaderos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Siempre que salga el sol entonces iremos a la playa, sin embargo sale el sol. Por tanto iremos a la playa.Tenemos las proposiciones: p : Sale el sol

q : Iremos a la playaSe simboliza: (p q) p qLa crisis mundial afecta a los pases de bajos recursos econmicos pero los analistas en economa buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los pases de bajos recursos.Tenemos las proposiciones:p : La crisis mundial afecta a los pases de bajos recursos econmicos q : Los analistas en economa buscan soluciones p : La crisis mundial no afecta a los pases de bajos recursos econmicos (p q) pSe simboliza:La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:pq (p q) p VV V F F VF F F FFV F F VFF F F VContradiccin: La expresin resulta ser una contradiccin, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser falsos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Ejercicios AplicativosNo es cierto que no me guste estudiarMe gusta bailar y leer libros de ciencia ficcin.Si los gatos de mi hermana no soltaran pelo, me gustara acariciarlos.Si y slo si viera un marciano con mis propios ojos, creera que hay vida extraterrestre.Cajamarca es una ciudad minera por excelencia de modo que invertir en minera es la mejor opcin.Cuando la produccin de una empresa aumenta, en consecuencia aumenta la productividad y en algunos casos la demanda.Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar al banco.Formaliza las siguientes proposiciones:SolucinSolucin (1): p = Me gusta estudiar Se simboliza: (p)Solucin (2): q = Me gusta bailar r = Me gusta leer libros de ciencia ficcinse Se simboliza: q rSolucin (3): u = Los gatos de mi hermana sueltan pelo t = Me gusta acariciar los gatos Se simboliza: u tSolucin (4):

p = Ver un marciano con mis propios ojos q = Creer en los extraterrestres

Se simboliza: p qSolucin (5): q = Cajamarca es una ciudad minera por excelencia p = Invertir en minera es la mejor opcin Se simboliza: q pSolucin (6): p = Cuando la produccin de una empresa aumenta q = Aumenta la productividad r = En algunos casos la demanda Se simboliza: p (q r)Solucin (7): s = Prefiero ir de vacaciones t = Sin hacer nada p = Tener tiempo para ello q = Ir a trabajar al banco Se simboliza: (p q ) (s v t )

GRACIAS