BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

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Matemáticas I

1 Lugares geométricos

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Hazlo tú 1. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A(0, 0) y B(6, 4).

X=(x,y)puntodelamediatriz.

( ) ( )x y x y6 4– –2 2 2 2+ = + →x2+y2=x2+36–12x+y2+16–8y

Mediatriz:–12x–8y+52=0→–3x–2y+13=0

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Hazlo tú 2. Halla la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por r1: 5x – 12y = 0 y r2: 12x + 5y = 0.

X=(x,y)puntodelabisectriz.

| | | |x y x y

135 12

1312 5–

=+

→|5x–12y|=|12x+5y|→

→( )

::8

x y x yx y x y

x yx y

BB

5 12 12 55 12 12 5

7 17 017 7 0

–– –

– ––

1

2

= += +

==

* *

Hazlo tú 3. Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a P(2, 5) y a Q(4, –1) es 40, es decir, XP 2 – XQ 2 = 40.

X=(x,y)puntodellugargeométrico.

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 5 4 1– – – –2 2 2 222

+ + +a ak k =40→ →(x–2)2+(y–5)2–((x–4)2+(y+1)2)=40→

→4x–12y+12=40→4x–12y–28=0esunarecta.

1 Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geo métricos:

a) Mediatriz del segmento de extremos A(–5, –3), B (7, 1). Comprueba que es una recta perpen-dicular al segmento en su punto medio.

b) Circunferencia de centro O (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordena-das.

c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas:

r1: 5x + y + 3 = 0

r2: x – 2y + 16 = 0

Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto en que se cortan las rectas r1 y r2.

a)LospuntosX(x,y)debencumplirdist(X,A)=dist(X,B):

( ) ( ) ( ) ( )x y x y5 3 7 1– –2 2 2 2+ + + = +

Elevamosalcuadradoydesarrollamos:

x2+10x+25+y2+6y+9=x2–14x+49+y2–2y+1

10x+14x+6y+2y+34–50=0→24x+8y–16=0

3x+y–2=0→y=–3x+2

•ElpuntomediodeABesM(1,–1)que,efectivamente,estáenlarecta(puesverificalaecuación).

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Matemáticas I

• Lapendientedelarectaesmr=–3,yladelsegmentoes:

mAB = ( )( )

7 51 3

124

31

– –– – = =

Cumplenquemr·mAB=(–3) 31c m=–1→AB2r

b)LospuntosX(x,y)sontalesque:

dist(X,O)=5→ ( ) ( )x y3 4–2 2+ + =5→x2+6x+9+y2–8y+16=25→

→x2+y2+3x–8y+25=25→x2+y2+3x–8y=0

c)SonlospuntosX(x,y):

dist(X,r1)=dist(X,r2)→| | | |x y x y

265 3

52 16–+ +

=+

Sedandoscasos: ( ) ( )x y x y5 5 3 26 2 16–+ + = +

( ) ( )x y x y5 5 3 26 2 16– –+ + = +

Sondosrectas: b1:( ) ( )x y5 5 26 5 2 26 3 5 16 26 0– –+ + + =

b2:( ) ( )x y5 5 26 5 2 26 3 5 16 26 0–+ + + + =

• Suspendientesson:

(

(

)

)·

··8 2

m

mm m b b5

5 5

55 5

2 2626

2 2626 5 4 26

25 5 269999 1 8

–

–

–

––

––

–1

2

1 2 1 2

=

=

++

= = =

_

`

a

bbb

bb

•Calculamoselpuntodecortedelasrectasinicialesycomprobamosqueestátambiénenambasbisectrices:

::

8r x y y xr x y

5 3 0 5 32 16 0

– ––

1

2

+ + = =+ =

4→x–2(–5x–3)+16=0→

→x+10x+6+16=0→11x=–22→x=–2

Luego:y=–5(–2)–3=7

Elpuntodecortees(–2,7),quesepuedecomprobarfácilmentequeestáenb1yb2sustituyendoensusecuacionesrespectivas:

b1:( ) · ( ) ( ) ·5 5 26 2 5 2 26 7 3 5 16 26– – –+ + + =

= 10 5 2 26 7 5 14 26 3 5 16 26 0– –+ + + + =

b2:( ) · ( ) ( ) ·5 5 26 2 5 2 26 7 3 5 16 26– –+ + + + =

10 5 2 26 7 5 14 26 3 5 16 26 0– – –= + + + =

• Portanto,b1yb2sondosrectasperpendicularesquesecortanenelmismopuntoquer1yr2.