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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE ILOBASCO INFORME FINAL TITULO: “DISEÑO Y ELABORACION DE GUIONES DE CLASES INNOVADORES DE MATEMÁTICA DE NOVENO GRADO, DE LAS PRIMERAS TRES UNIDADES (1, 2 y 3), PARA USO DE LOS DOCENTES EN LOS DEPARTAMENTOS DE CABAÑAS Y SAN VICENTE” EGRESADOS: PROFA. SOLEDAD IMELDA ESCOBAR NAVARRETE PROF. HÉCTOR JOSÉ ESCOTO PARA OPTAR AL GRADO DE: LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICA
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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE EL SALVADORFACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE ILOBASCO
INFORME FINAL
TITULO: “DISEÑO Y ELABORACION DE GUIONES DE CLASES INNOVADORES DE
MATEMÁTICA DE NOVENO GRADO, DE LAS PRIMERAS TRES UNIDADES (1, 2 y 3), PARA USO DE LOS DOCENTES EN LOS
DEPARTAMENTOS DE CABAÑAS Y SAN VICENTE”
EGRESADOS:PROFA. SOLEDAD IMELDA ESCOBAR NAVARRETE
PROF. HÉCTOR JOSÉ ESCOTO
PARA OPTAR AL GRADO DE:LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICA
ASESOR: MAESTRO ABEL ROJAS AGUIRRE
ILOBASCO, EL SALVADOR. C.A.
AUTORIDADES ACADÉMICAS
MONSEÑOR Y LICENCIADO FRAY ROMERO TOVAR ASTORGA
RECTOR
MAESTRO MOISÉS ANTONIO MARTÍNEZ ZALDIVAR
VICERRECTOR GENERAL
MONSEÑOR Y DOCTOR JOSÉ ELÍAS RAUDA GUTIÉRREZ
VICERRECTOR REGIONAL
MAESTRO CÁSTULO AFRANIO HERNÁNDEZ ROBLES
SECRETARIO GENERAL
MAESTRO JUAN ALFONSO TRIGUEROS CHÁVEZ
DECANO DE LA FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE ILOBASCO
NUESTRO MÁS SINCEROS AGRADECIMIENTOS
A Dios Todopoderoso:
Por sus bendiciones y por habernos permitido llegar con éxito
a esta fase académica profesional.
A nuestros Familiares:
Por su incondicional apoyo y comprensión.
A nuestros compañeros:
Por haber formado parte importante
en el desarrollo del presente proyecto.
INDICE DE CONTENIDO
INDICE DE FIGURAS...........................................................................5
INDICE DE ANEXOS.............................................................................6
INTRODUCCIÓN...................................................................................7
DESCRIPCION DEL PROYECTO DESARROLLADO........................9
PLAN DE EJECUCION........................................................................80
BIBLIOGRAFIA...................................................................................93
ANEXOS.............................................................................................100
GLOSARIO.........................................................................................155
INDICE DE FIGURAS
Figura # 1............................................................................................94
Figura # 2............................................................................................94
Figura #5.............................................................................................95
Figura # 6............................................................................................95
Figura #7.............................................................................................96
Figura # 8............................................................................................96
Figura # 9............................................................................................97
Figura # 10..........................................................................................97
Figura # 11..........................................................................................98
Figura # 12..........................................................................................98
Figura # 13..........................................................................................99
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INDICE DE ANEXOS
UNIDAD # 1 UTILICEMOS ECUACIONES CON RADICALES
ECUACIONES.................................................................................................................101
ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO, CON UNA ICÓGNITA................105
ECUACIONES LINEALES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN...........................................................110
ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES MONOMIOS....................................................................................................................111
ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO............................................................................................................113
DETERMINANTES........................................................................................................118
MATRICES................................................................................................................................118
GUIA DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD UNO...........................................................127
SOLUCIONARIO DE LA UNIDAD UNO.....................................................................128
SOLUCIONARIO DE LA UNIDAD DOS.......................¡Error! Marcador no definido.
UNIDAD # 3 CALCULEMOS LA DISPERCIÓN
Historia de la Estadística..................................................................................................137
MEDIA ARITMÉTICA.................................................................................................................140
MEDIDAS DE DISPERSIÓN.........................................................................................141
EL RANGO O RECORRIDO ( R ):................................................................................................142
DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS SIN AGRUPAR.....................................................................144
GUIA DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD TRES..........................................................147
SOLUCIONARIO DE LA UNIDAD TRES....................................................................148
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INTRODUCCIÓN
En el ámbito educativo, una gran cantidad de docentes no realizan la planificación didáctica de
las clases que van a impartir, existen muchas razones para ello, como: no tener la especialidad,
poca preparación de parte de las instituciones de formación superior, la falta de tiempo o el
simple hecho de no querer realizarlas.
Cualquiera que sea la razón para que el docente no realice sus planificaciones, los principales
afectados son los estudiantes, ya que por su misma naturaleza adolescente poco o nada exigen
o se dan cuenta si el docente está preparado para impartir una clase.
Las consecuencias se dan cuando se cambia de un nivel escolar a otro, incluso cuando se
cambia de una institución a otra, porque los niveles de exigencia suelen ser mayores y los
estudiantes no están preparados para enfrentarse con éxito a los nuevos planteamientos
matemáticos.
La matemática es una ciencia de difícil comprensión para muchas personas; sin embargo es de
mucha utilidad para resolver problemas cotidianos. Algunas veces aun hasta al más experto le
es difícil darse a entender, habrá que imaginarse entonces como será de difícil para una
persona que no conoce mucho de la materia explicar algo que apenas conoce o entiende.
Es precisamente uno de los grandes problemas del magisterio: la poca organización, pues hay
muchos docentes impartiendo la materia de matemática, cuando su especialidad es lenguaje,
parvularia, sociales u otra especialidad que eligieron porque “no tenía nada que ver con
números”; pero la necesidad de la persona y del sistema los tiene trabajando con la materia
que menos les gusta o que menos entienden.
Es loable que algunos de los docentes que se encuentran en la situación antes descrita “se
rebuscan” para desempeñar mejor su trabajo. Son ellos principalmente los que necesitan una
ayuda extra para no improvisar y mentir en su clase. Pues como ya se dijo lo que interesa es
que los alumnos aprendan y no paguen las consecuencias de la ineptitud del docente.
Existe material de consulta en el mercado, muchos libros de texto y de metodología; pero
siempre dejan vacios, no llevan un orden secuencial y no están adaptados a la realidad de los
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estudiantes. Muchos de estos libros son de difícil comprensión para el maestro y mucho más
para los estudiantes.
El presente proyecto pretende ayudar a los docentes proporcionándoles material bibliográfico
y didáctico de apoyo que sea más claro y comprensible, con lenguaje sencillo pero de calidad,
haciendo referencia a los antecedentes históricos y los presaberes que debe tener el alumno.
Solo se ha trabajado las tres primeras unidades (según el nuevo programa de estudio) de
Noveno grado, las cuales son importantes para tener una base sólida en el conocimiento de la
matemática, pues las ecuaciones se convierten en un cimiento fundamental en la resolución de
aplicaciones de la vida cotidiana.
Ningún material didáctico esta “terminado”, siempre puede mejorarse, agregarle nuevos
planteamientos y situaciones, adecuarse a otro tipo de contenido, o suprimir lo que no es tan
necesario, por estas razones y otras se puede decir que el trabajo realizado no es perfecto ni
acabado por completo y otros estudiantes egresados pueden retomar el presente proyecto
haciéndole las mejorías pertinentes.
Además aun queda pendiente llevarlo a la práctica, donde siempre cada docente deberá
realizar las adecuaciones curriculares conforme a su contexto.
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DESCRIPCION DEL PROYECTO DESARROLLADO
ANTECEDENTES DEL PROYECTO
Como lo planteado en la justificación del presente proyecto, el punto de partida de nuestro
principal objetivo en el trabajo de graduación ha sido el resultado arrojado por la encuesta
realizada a docentes que imparten la signatura de matemática en el Distrito 10-03, del
Municipio y Departamento de San Vicente. Dicha encuesta rindió los siguientes resultados:
Hay una significativa cantidad de docentes que están a cargo de impartir la asignatura de
matemática y que lamentablemente no son de la especialidad, definitivamente hacen un
esfuerzo por desarrollar su proceso de enseñanza aunque con muchas dificultades, dejando un
posible vacío en los estudiantes.
Hay una cantidad considerable de docentes que trabajan la doble sección, a su vez se
desplazan desde otros lugares para llegar a su lugar de trabajo, lo que les absorbe la mayor
parte de su tiempo y lamentablemente se les dificulta llevar en orden o al día sus
planificaciones.
Uno de los contenidos a los que les encuentran dificultad para desarrollar sus aplicaciones es
el cálculo de determinantes, por la estructuración de matrices y la razón de ser de las
ecuaciones lineales y cuadráticas, debido al uso de variables.
Las metodologías aplicadas por el grupo de docentes encuestados no reflejan dinamismo o
atracción para los intereses de los estudiantes.
La mayoría de docentes reconocen la muestra de apatía de sus estudiantes hacia la matemática.
El noveno grado es el re querible para desarrollar los guiones innovadores de matemática, con
el fin de preparar a los estudiantes para su próximo nivel de estudio (bachillerato).
El interés de los docentes por implementar guiones innovadores
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JUSTIFICACIÓN
En el distrito 10-03 del Municipio y Departamento de San Vicente, se realizó un muestreo por
medio de una encuesta (ver anexo), la cual iba dirigida a los docentes encargados de impartir
la asignatura de matemática en el nivel de tercer ciclo, de la recopilación de la información se
ha podido concluir que muchos docentes no son de la especialidad de matemática y aunque
sean de la especialidad, no planifican ni preparan guiones de clase, perdiendo la objetividad de
la clase y del proceso educativo, llegando lamentablemente al punto de improvisar las clases y
dejando a un lado el desarrollo de las competencias y el logro de los aprendizajes
significativos en cada estudiante, desmotivando y haciendo más tediosa la clase.
Otro de los resultados que arrojó la encuesta es que a los docentes que no son de la
especialidad de matemática, se les dificulta desarrollar los contenidos del primer trimestre en
noveno grado ya que son temáticas que antes se desarrollaban hasta el nivel universitario y
que por carecer de dichos antecedentes, desconocen sobre la facilidad algorítmica de dichos
contenidos; además se confirmó en la encuesta que para la mayoría de alumnos la clase de
matemática es considerada como la más desagradable y difícil de comprender por la supuesta
complejidad de los contenidos. Todo esto debido a las erróneas metodologías y poca
importancia que la mayoría de docentes muestran por hacer de la matemática un espacio
creativo y divertido para crear competencias y lograr aprendizajes significativos.
Teniendo después como consecuencias el rechazo hacia la matemática y a las carreras que en
su pensum la lleva incluida, todo esto por no tener claro que la matemática
independientemente de todos los factores, es parte y está inmersa en todo nuestro entorno.
Se decidió como equipo de trabajo, seleccionar el noveno grado porque requiere una mayor
preparación debido que es el grado culme de educación básica y el requerible para ingresar al
nivel de educación media, ya que la idea fundamental es crear una buena base en los
estudiantes y hacer de la matemática un espacio divertido para aprender.
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Se está haciendo un esfuerzo por atender a la diversidad y los diferentes estilos de aprendizaje;
pero se sabe que el resultado será gradual y no total, debido a la cantidad de factores que
rodean el entorno de cada centro educativo.
Por todas estas razones, se pretende desarrollar este proyecto, facilitando así una herramienta
más para la enseñanza innovadora y creativa de la matemática en el primer trimestre del
noveno grado de educación básica.
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EXPOSICION DE SOLUCIONES AL PROBLEMA O SITUACION PROPUESTA
Según lo estudiado en los antecedentes anteriores, las soluciones a las que nos conduciría la
elaboración y aplicación del presente proyecto estarían encaminadas a:
Orientar el proceso educativo a los docentes de los departamentos de Cabañas y San Vicente,
principalmente a los docentes que no son de la especialidad, facilitando su proceso y por ende
los aprendizajes significativos en sus estudiantes.
Contribuir con guiones innovadores de matemática a docentes que por laborar dobles
secciones carecen de tiempo para ir al día con sus planificaciones.
Dinamización de las actividades metodológicas a implementar en el desarrollo de cada guión
innovador, los cuales deben tomar en cuenta los intereses y el entorno de los estudiantes.
Inclusión de actividades ex-aula o atractivas para los estudiantes, con el fin de captar su
atención, haciendo de la matemática un espacio entretenido y divertido para aprender.
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Objetivos
General
Diseñar guiones de clases innovadores de matemática, correspondientes a las primeras tres
unidades (1, 2 y 3) de noveno grado, a través de la sistematización del proceso para mejorar la
enseñanza de los docentes y el aprendizaje de los estudiantes de tercer ciclo en los
departamentos de Cabañas y San Vicente.
Específicos
Seleccionar estratégicamente bloques de contenidos que dificulten la labor de los
docentes, no solo por su dificultad, sino que también por desconocimiento de procesos
novedosos e innovadores que conlleven al logro de aprendizajes significativos en los
estudiantes de noveno grado.
Diseñar guiones innovadores de matemática, que contengan las metodologías que más
se adecuan al desarrollo de los diferentes contenidos y material didáctico estratégico
para impartir las clases de una manera más motivadora para los estudiantes.
Sistematizar los guiones al servicio de los docentes, para lograr aprendizajes
significativos en los estudiantes de noveno grado de los departamentos de Cabañas y
San Vicente, con la realización de diversas actividades mejorando el rendimiento
escolar.
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ESTUDIO DE FACTIBILIDAD
El estudio de factibilidad del “Diseño y elaboración de guiones de clases innovadores de
matemática de noveno grado, de las primeras tres unidades, para uso de los docentes en los
departamentos de Cabañas y San Vicente”, está basado en decisiones que se tomen para su
introducción, por lo que deben ser lo suficiente precisas para evitar errores que tienen un alto
costo en dicho proyecto ya que se les facilitaran los guiones de clase, en cuanto a los recursos
materiales y humanos que se involucren; así como por la pérdida de tiempo en la utilización de
las variantes de desarrollo más eficiente. Esto sólo se puede asegurar mediante el empleo de
procedimientos y de análisis debidamente fundamentados.
Los docentes que imparten clases de matemática en tercer ciclo serán beneficiados, al
facilitarles los guiones de clases con adecuaciones estratégicas apegadas a la realidad del
entorno de los estudiantes, logrando así mejorar los resultados académicos y los aprendizajes
significativos en la población estudiantil.
Factibilidad se refiere a la disponibilidad de los recursos necesarios para llevar a cabo los objetivos o metas señalados, la factibilidad de este proyecto se apoya en 3 aspectos básicos:
Factibilidad Técnica.
Mejora del sistema actual del proceso enseñanza aprendizaje. Mediante el cimiento de las bases que los estudiantes llevarán al nivel de bachillerato, pues los mismos estarán mejor preparados y tendrán mayor facilidad de aprendizaje por el alcance de las competencias desarrolladas en la aplicación de los guiones de clase que serán diseñados estratégicamente durante el primer trimestre del noveno grado.
- Disponibilidad de tecnología que satisfaga las necesidades
Se proporcionara un CD con los guiones de clase, que será de mucha utilidad para facilitar la reproducción del material elaborado tanto en los departamentos de Cabañas y San Vicente.
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Factibilidad Económica.
Este proyecto tendrá un bajo costo en su reproducción porque se dará en CD a los diferentes
centros escolares.
Factibilidad Operativa.
- Operación garantizada.
Los docentes tendrán una mejor herramienta para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje, con la utilización de dichos guiones en noveno grado. Así desarrollar competencias en los estudiantes para sus estudios en bachillerato; también contribuirá a la disminución de la improvisación de las clases por parte de los docentes, a través de su preparación evitando así la práctica educativa tradicional y monótona que solo conlleva al aburrimiento de los estudiantes; lo que contribuirá en gran medida a desarrollar en los estudiantes interés por la asignatura de matemática reduciendo la inasistencia, la deserción y la reprobación por parte de los estudiantes indicadores que también son importantes que se pueden disminuir, actuando en contra de la apatía, el desinterés, la desestimación y aborrecimiento de la matemática, si los docentes utilizan metodologías innovadoras e interesantes para impartir sus clases. También ayudara a los docentes que no son de la especialidad en matemática, puesto que tendrán a su alcance un guión innovador que le facilite la didáctica magistral en su proceso formador.
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MARCO TEORICO
Como parte inicial del proceso del presente proyecto se ha especificado sobre la elaboración
de un instrumento de sondeo, el cual iba dirigido a los docentes encargados de impartir la
asignatura de matemática en el nivel de tercer ciclo, tomando la población encuestada, como
una notable e importante muestra de la realidad docente y educativa de nuestro país, de la
recopilación de la información se pudo concluir que muchos docentes no son de la
especialidad de matemática y aunque sean de la especialidad, no planifican ni preparan
guiones de clase, perdiendo la objetividad de la clase y del proceso educativo, llegando
lamentablemente al punto de improvisar las clases y dejando a un lado el desarrollo de las
competencias y el logro de los aprendizajes significativos en cada estudiante, desmotivando y
haciendo más tediosa la clase.
Otro de los resultados que arrojó la encuesta es que a los docentes que no son de la
especialidad de matemática, se les dificulta desarrollar los contenidos del primer trimestre en
noveno grado ya que son temáticas que antes se desarrollaban hasta el nivel universitario y
que por carecer de dichos antecedentes, desconocen sobre la facilidad algorítmica de dichos
contenidos; además se confirmó en la encuesta que para la mayoría de alumnos la clase de
matemática es considerada como la más desagradable y difícil de comprender por la supuesta
complejidad de los contenidos.
Comúnmente, se piensa que todo este tipo de situaciones se deben a la complejidad de la
materia, pero realmente es una situación que se deriva de las variables de cada comunidad
educativa, aunque las comunidades educativas son variadas y diversas, éste tipo de factores es
repetitivo, puesto que en muchas comunidades encontramos docentes que no siendo de la
especialidad de matemática, están a cargo de impartirla, docente que siendo de la especialidad,
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muestran poco o nada de interés por sistematizar, adecuar y dosificar sus procesos de
enseñanza, docentes que no llevan un registro de guiones de clase, debido a las multiples
ocupaciones que se derivan en su centro escolar que por ser de zonas rurales no tienen una
planta docente completa y hasta tienden a ofrecer secciones integradas y si abonamos las
erróneas metodologías y poca importancia que la mayoría de docentes muestran por hacer de
la matemática un espacio creativo y divertido para crear competencias y lograr aprendizajes
significativos.
Teniendo después como consecuencias el rechazo hacia la matemática y a las carreras que en
su pensum la lleva incluida, todo esto por no tener claro que la matemática
independientemente de todos los factores, es parte y está inmersa en todo nuestro entorno.
Lamentablemente, la matemática no tiene la culpa de ser en muchas ocasiones poco o nada a
fin a los intereses de los estudiantes, puesto que lo anterior solo es una consecuencia del
quehacer docente y las peculiaridades de cada centro escolar y de cada comunidad educativa.
¿Porqué en muchas comunidades, la matemática es una de las materias favoritas de los
estudiantes a diferencia de estudios sociales como comúnmente se cree, por asi decirlo?
Se decidió como equipo de trabajo, seleccionar el noveno grado porque requiere una mayor
preparación debido que es el grado culme de educación básica y el requerible para ingresar al
nivel de educación media, ya que la idea fundamental es crear una buena base en los
estudiantes y hacer de la matemática un espacio divertido para aprender
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Ecuaciones
En la unidad número uno de noveno grado los estudiantes deben resolver ecuaciones con
radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado, para ello necesitan tener claro cómo
resolver otro tipo de ecuaciones más sencillas. Dicho conocimiento debe ser adquirido en
octavo grado; pero la realidad salvadoreña es que el programa a desarrollar es demasiado
amplio, por lo que los docentes no logran abordar la unidad referente a las ecuaciones.
Por tal razón en el guión de clase se ha empezado por reforzar el contenido de las ecuaciones,
introduciendo con dos ejemplos prácticos:
Un pollo que se compra en el mercado y se coloca en una balanza y las pesas que
deben colocarse para llegar a un equilibrio, de tal manera que se cree una igualdad,
como se observa en la siguiente figura:
El número de fichas que debe contener un vaso para generar una igualdad
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En ambos se pretende iniciar y familiarizar al estudiante con el concepto de ecuación para
luego definirla con términos algebraicos y dar a conocer algunos tipos de ecuaciones.
También es importante dar a conocer al estudiante el grado de una ecuación y el nombre que
reciben de acuerdo a ese grado: lineal, cuadrática, cúbica, etc. Así como diferenciar los dos
miembros de una ecuación que están delimitados por el signo igual, aquí será muy
significativo marcar bien el papel del signo igual como frontera entre los dos miembros de una
ecuación para evitar que los estudiantes cometan errores más adelante en la resolución de
ecuaciones.
Al adentrarse en las ecuaciones se debe puntualizar otros conceptos básicos, como: Conjunto
solución, raíz, despejar, ecuación equivalente, entre otros, que forman parte del lenguaje
matemático que debe adquirir el estudiante para que al momento de recibir una explicación de
la solución de ecuaciones comprenda mejor el proceso.
Ecuaciones enteras de primer grado, con una incógnita.
Para introducirse en la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita es
indispensable empezar por las más sencillas para no “traumar de entrada” a los estudiantes,
estas son las de tipo a x=b, para que el alumno no sienta tan complicado el proceso y lo pueda
resolver fácilmente, por tal razón al traducir del lenguaje algebraico al lenguaje común se pide
observar la situación siguiente:
8 x=72 ¿Qué número al multiplicarlo por 8 da 72?
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Se pretende que el alumno trate de analizar la situación y dar la respuesta rápidamente: la
solución es 9. De esta manera llega a una conclusión pronta y le da mayor significado a las
ecuaciones.
Luego, siempre utilizando la balanza, se puede ejemplificar el proceso que se debe emplear
para resolver una ecuación un poco más larga:
Para luego conservar la igualdad y dejar la incógnita sola, vamos quitando de cada plato los
elementos que no se necesitan, pero procurando mantener el equilibrio:
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En la clase puede presentarse ilustrado el proceso o también se puede emplear una balanza y
piezas de madera debidamente señaladas previamente. De dicho proceso se derivan las
propiedades:
A + C = B + C A – C = B – C A (C) = B (C) A ÷ C = B ÷
C
Aunque estas propiedades resultan muy poco prácticas es importante que el estudiante
comprenda que aunque se realice un proceso más corto, abstractamente se están aplicando
dichas propiedades.
Resulta más sencillo utilizar la transposición de términos para resolver las ecuaciones lineales,
por lo que en esta unidad es el proceso que más se ha utilizado, siendo de manera general el
siguiente:
Se trasladan a un solo miembro los términos semejantes, teniendo en cuenta que si esta
sumando en un miembro pasa al otro a restar y viceversa.
Se reducen los términos semejantes.
El número que acompañe a la incógnita esta multiplicando por lo tanto pasará a dividir
al otro miembro.
Se simplifica la fracción obtenida y este será el resultado.
Otro tipo de fracciones que es indispensable saber solucionar son las que contienen signos de
agrupación, la diferencia radica en primero se debe eliminar dichos signos aplicando la ley
distributiva, en esta parte se debe tener cuidado al multiplicar los signos.
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Para mayor comprensión se ha tratado de detallar los pasos que se deben realizar, de la
siguiente manera:
2 (3x+5 )−7=5 x−(6−3 x)6 x+10=5 x−6+3 x
6 x−5 x−3 x=−6−10−2 x=−16
x=−16−2
x=8
Las ecuaciones con fracciones son de mayor dificultad para los estudiantes, por eso se debe
emplear un método que sea comprensible para los estudiantes, este consiste en:
Encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Luego multiplicar este valor por cada miembro de la igualdad.
Aplicando la propiedad distributiva se multiplica el m.c.m. por cada término.
Al quedar una ecuación sin fracciones ni signos de agrupación se resuelve igual que las
ecuaciones más simples.
En el siguiente ejemplo se pueden evidenciar los pasos descritos anteriormente, si se describe
detalladamente a los estudiantes el proceso, este no les costará; pero habrá que reforzar
conocimientos previos como: la forma de obtener el m.c.m, la multiplicación de fracciones y
su simplificación.
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Multiplicamos 2 por 3x+5 y el signo “-“por 6-
-2 estaba multiplicando, paso a dividir
Se reducen los términos semejantes
Se trasladan los términos semejantes en un solo miembro
x3+6=3
5−5 x
15( x3+6)=15( 3
5−5 x)
15 x3
+15 (6 )=455
−15 (5 x )
5 x+90=15−45 x5 x+45 x=15−90
50 x=−75
x=−7550
x=−32
Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado
En este contenido se inicia con la definición de ecuación con radicales, ya que anteriormente
ya se ha definido una ecuación normal, se presenta en la parte izquierda un cuadro con un
glosario de los términos más importantes de dicho tema, que se toman en cuenta a la hora de
resolver, explicar una ecuación con radicales y que son de mucha utilidad en este tema.
Se explican cada uno de los pasos a seguir para resolver ecuaciones con radicales, para que los
docentes que impartan este tema puedan guiarse para solucionar los ejercicios, a la vez se le
facilita la explicación de los ejemplos a los alumnos, llevando un orden.
Se inicia con la explicación de un ejemplo de los más sencillos, aplicando los pasos y en la
parte izquierda una curiosidad matemática de mucha ayuda en este tema, ya que se trabaja
mucho con raíces “las raíces extrañas deben prescindirse, es decir se desechan”.
Posteriormente se explica tres ejemplos más con un poco mas de dificultad en los cuales
aplicamos conocimientos previos como lo son los productos notables, al elevar al cuadrado de
ambos miembros de la ecuación para poder eliminar los radicales, nos resulta el cuadrado de la
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Multiplicamos la ecuación por el m. c. m.
Multiplicamos cada término por el m. c. m.
Se simplifican las fracciones
Se trasladan los términos semejantes y se reducen
50 estaba multiplicando pasa a dividir
suma o resta de dos cantidades, que en algunos ejercicios como el ejemplo cuatro hay que
aplicarlo dos veces para llegar a la solución, lo cual también es importante mencionar que hay
que tener mucho cuidado con los signos, ya que con un signo incorrecto todo el ejercicio esta
malo y no llegaremos a la respuesta.
Se menciona otra curiosidad matemática “las raíces de números negativos no tienen solución
en los reales”. Para que los alumnos lo tengan en cuenta a la hora de la resolución de
ejercicios.
Para que los docentes y los estudiantes le encuentren más importancia a las ecuaciones con
radicales y ver donde las podemos aplicar en nuestra vida cotidiana se explican dos ejercicios
de aplicación, en la cual utilizamos, tiempo, gravedad, altura, etc.
En el primer ejemplo se aplica para explicar “el tiempo para que un cuerpo, que se deja caer
libremente, caiga al suelo. En la resolución se presenta la figura para que los docentes tengan
una mejor idea de lo se trata el ejercicio y se le facilite mejor su comprensión.
En el segundo ejemplo se explica cómo encontrar la gravedad para un péndulo de un periodo
simple; de igual manera que en el primer ejemplo se presenta la figura del péndulo para una
mejor comprensión del ejercicio, en la parte izquierda se presenta también la definición de
péndulo por si el docente o el alumno no saben que es un péndulo.
Para finalizar el contenido de ecuaciones con radicales y ver si los estudiantes han
comprendido el tema, se dejan dos ejercicios para resolverlos en clases, aclarar dudas y poder
pasar al siguiente tema si el alumno ya comprendió y no tiene muchos problemas para resolver
ecuaciones con radicales.
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J. J. Sylvester
Aparte de los dos ejercicios para resolver en clases al finalizar la unidad se deja una guía de
ejercicios para resolverlos en casa, para los estudiantes y para facilitarle al profesor se presenta
el solucionario de todos los ejercicios de la guía, este solucionario es de mucha ayuda sobre
todo para los docentes que no son de la especialidad y se les dificulta la resolución de dichos
ejercicios; también le facilita a la hora de calificar y explicar los ejercicios a los alumnos
CONTENIDO: DETERMINANTES
Una particularidad del presente proyecto, es complementar cada contenido con una
fundamentación histórica, para que el estudiante conozca la razón de ser y el origen de cada
uno de los contenidos de estudio, el presente contenido no es la excepción, ya que en su inicio
presenta la historia de las matrices.
Sabemos que para trabajar con determinantes, es necesario conocer la estructura de una
matriz, para que exista una base de trabajo para el desarrollo del contenido.
Si bien es cierto la historia del uso de las matrices es larga, pero por el tiempo dispuesto para
este contenido, solo se presenta un bosquejo del contenido histórico del origen de las matrices,
los principales matemáticos que destacaron en el descubrimiento, uso y divulgación de las
mismas. Dando como innovación en el presente guión, las referencias fotográficas de dichos
matemáticos (a la izquierda del texto), ya que comúnmente, se conoce la teoría, pero se
desconoce a las personas que contribuyeron al desarrollo del conocimiento matemático.
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A. Cayley
En su contenido histórico, se hace una diferencia cronológica en el descubrimiento de
matrices, como en el cálculo de determinantes, ya que las primeras matrices fueron
descubiertas y conformadas según la literatura china hacia el 650 a. C.
Mientras que el concepto de determinantes aparece por primera vez por un matemático
japonés en el año 1683 y por un matemático alemán en 1693.
Luego, a manera de resumen, se presenta la siguiente cronología.
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Año Acontecimiento
200 a.C. En China los matemáticos usan series de números.
1848 d.C. J. J. Sylvester introduce el término "matriz".
1858 Cayley publica Memorias sobre la teoría de matrices.
1878 Frobenius demuestra resultados fundamentales en álgebra matricial.
1925 Werner Heisenberg utiliza la teoría matricial en la mecánica cuántica
Las matrices son una herramienta de mucha utilidad para expresar y resolver situaciones de la
vida real. Por ejemplo, en los negocios es frecuente estudiar la relación de precio de venta o
costos con el número de productos; así como la relación entre precio de venta y cantidades
vendidas, son las tablas; otra forma sería presentar los datos de forma rectangular en filas y
columnas.
La intencionalidad del contenido de determinantes es adentrar al estudiante en la historia de
matrices, explicar que pese a que son nuevos contenidos en el programa de estudio, son
temáticas que vienen siendo estudiadas desde hace mucho tiempo atrás; los diferentes campos
o áreas de explicación que vienen siendo desde las más sofisticadas como la informática,
constituyen una parte esencial de los lenguajes de programación, puesto que la mayoría de los
datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de
cálculo, bases de datos; así como las más prácticas en un mercado o en alguna tienda que lleva
el registro de venta por día (tal y como se muestra en los ejemplos planteados en el guión
innovador), el cual pretende adentrar al estudiante en un contexto acorde a sus características,
a su lenguaje práctico, que le contribuirá a afianzarse de una manera más sencilla y menos
complicada a la idea central de la intencionalidad del contenido.
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En el guión innovador cada ejemplo ha sido adecuado al ambiente escolar salvadoreño,
además se ha planteado su desarrollo de una manera detallada y dosificada paso a paso, para
que al momento de su aplicación, el docente pueda adecuar su clase al nivel de sus estudiantes,
ya que puede seguir todos los pasos detallados y planteados o bien, obviar algunos de ellos al
no considerar necesaria su especificación con su grupo de estudiantes.
Observemos que en el primer ejemplo se habla de Doña Conchita y su venta de refrescos en el
chalet del centro escolar y la venta obtenida el día lunes y el día martes que preparó refrescos
de ensalada y la famosa horchata.
Ejemplo planteado en el guión de clases:
Doña Conchita, tiene a cargo el chalet de la escuela, nos cuenta que el
día lunes vendió 80 refrescos de ensalada y 70 de horchata y el día
martes vendió 75 refrescos de ensalada y 90 de horchata. Presentar la
información utilizando una tabla.
Para proyectarle una idea más practica y comúnmente usada en el estudiante, comenzamos a
presentar la información de la venta de refrescos en una tabla de datos en la que se especifica
de forma sencilla los datos planteados en el ejemplo, de tal manera que el estudiante
comprenda el orden del planteamiento del ejemplo y pueda ver la forma de resumir el suceso.
Solución
Refresco Día
29
Lunes Martes
Ensalada 80 75
Horchata 70 90
Ahora que el docente está consciente de la asimilación de la tabla en sus estudiantes, les
explica que hay una forma más fácil de resumir la información de la tabla, y es la que se le
presenta al docente en el desarrollo del guión innovador, en donde se plantea el uso de los
corchetes
Columna 1 Columna 2
Lunes Martes
Fila 1 Ensalada 80 75
Fila 2 Horchata 70 90
30
Teniendo ahora el estudiante una forma más fácil de apreciar y representar los datos del
ejemplo que anteriormente apreciaba en una tabla, auxiliándose del uso de corchetes.
Haciendo a partir de este paso, la explicación de filas (arreglo horizontal) y columnas (arreglo
vertical), así como su relación de orden en el interior de una matriz.
A partir de este momento, se le plantea al docente dentro del diseño del guión innovador, la
primera definición de matriz, en la que se le relaciona al estudiante los términos que acaba de
conocer (filas y columnas).
Finalmente en el ejemplo se le explica al estudiante que cada matriz, se representa por
cualquier letra mayúscula del alfabeto y tomando como base el ejemplo, se define la matriz
conformada por las ventas de refrescos, como matriz A.
80 75
A =
70 90
La cual queda denominada como matriz A
De la misma forma se plantea el siguiente ejemplo, el de paquita y su trabajo en una zapatería
del mercado en donde nos cuenta del incremento que ha tenido el precio de las sandalias y los
zapatos más vendidos en esta temporada
Ejemplo planteado en el guión de clases:
31
Paquita trabaja en una zapatería del mercado y nos cuenta que los
zapatos más vendidos han incrementado de precio por sus niveles de
venta, los cuales son las sandalias marca “cenicienta” y los zapatos
marca “picapiedra”. Anteriormente tenían un precio de $15 y $20 y
ahora sus nuevos precios son $17 y $23.
Ahora de una vez se orienta al estudiante para poder ordenar los datos en forma matricial,
auxiliándose nuevamente de los corchetes y sus datos auxiliares a la izquierda.
Solución
Columna 1 Columna 2
Precio Anterior Precio Actual
Fila 1 Zandalias 15 17
Fila 2 Zapatos 20 23
Seguidamente y de manera secuencial se procede a representar la matriz, ya con su
denominación, quedando representada la matriz de la siguiente manera:
15 17
B =
20 23
32
La cual queda denominada como matriz B.
Seguidamente, pasamos dentro del guión a explicar el orden de las matrices.
Observe que tanto la matriz A y B, tienen dos filas y dos columnas, por lo que se dice que A y
B son matrices de orden 2 x 2 (2 filas x 2 columnas).
Todo esto, para explicar la definición de matriz cuadrada. Luego se explica la denotación
interna de cada matriz a nivel general, la notación Amxn indica que la matriz A tiene m filas y
n columnas. Definiendo que para denotar a un elemento de la matriz, se recurre a letras
minúsculas.
Así para nombrar un elemento de la matriz B, ubicado en la fila i y en la
columna j, tendríamos la siguiente notación:
El elemento bi j se encuentra ubicado en la fila i y en la columna j
15 17 b11 b12
B = B =
20 23 b21 b22
33
Donde,
b11 Denota el elemento de la primera fila y primera columna, es decir 15
b12 Denota el elemento de la primera fila y segunda columna, es decir 17
b21 Denota el elemento de la segunda fila y primera columna, es decir 20
b22 Denota el elemento de la segunda fila y segunda columna, es decir 23
Todo este proceso planteado para que los estudiantes puedan identificar y denotar cada
elemento de una matriz.
Dando como ejemplos dos matrices de diferente orden, en las que se pide (a manera de
ejemplo) que el estudiante identifique un elemento solicitado.
Ahora que prácticamente se le ha dado un tiempo prudencial al desarrollo de conocimiento
básico, en lo concerniente a matrices, se procede dentro del guión innovador a trabajar con el
cálculo de determinantes de una matriz, especificando dentro del mismo que se trabajará con
matrices cuadradas de orden 2x2.
Detallando de forma atractiva la fórmula o procedimiento general para la obtención del valor
del determinante de una matriz a nivel general.
|M| = m 1 1 m 2 2 - m 2 1 m 1 2
34
Iniciando su aplicación con el primer ejemplo de cálculo de determinantes, el cual se
detalla de la siguiente manera:
Ejemplo planteado en el guión de clases:
Calcular el determinante de la matriz P = [3 42 5]
Solución
|P|=|3 42 5|=¿ ( 3 x 5 ) - ( 2 x 4 ) = 15 - 8 = 7
∴ el |P|=¿7
Indicando que al hacer el proceso para calcular el determinante de la matriz, se sustituyen los
corchetes por rayitas verticales.
Prácticamente en este contenido, el cálculo de determinantes es sencillo, es más extensa la
teoría para llegar a la base que define una matriz, su notación interna y externa. Por lo mismo,
se plantean tres ejemplos de determinantes y luego se le expone al docente una propuesta de
tres ejercicios de repaso, en donde se pretende que el estudiante pueda armar una matriz a
partir de una situación práctica de su entorno, identifique algún elemento específico de una
matriz y que por supuesto obtenga el determinante que se le especifica.
35
Realmente el programa de estudio no especifica estos tres tipos de ejercicio como exigencia de
aprendizaje, pero como equipo de trabajo se considera necesario que el estudiante domine esos
aspectos que son importantes para que pueda llegar a la concreción específica de su contenido
de estudio.
Al finalizar cada unidad, se le presenta al docente una guía de ejercicios para que pueda
disponer de la misma y sepa adecuarla a sus estudiantes, con la gran ventaja didáctica, que ya
se le facilita con su respectivo solucionario, a diferencia de otros libros que solamente facilitan
las respuestas, para que pueda estudiar los ejercicios propuestos y vea la complejidad o
facilidad de los mismos, sin necesidad de irlos haciendo ya que en la mayoría de veces se tiene
como inconveniente el factor tiempo.
Línea recta
La línea recta se considera un concepto no definible en matemática por su sencillez como
elemento geométrico, sin embargo al iniciar el tema se ha tratado de demostrar porque
decimos que una recta:
Tiene una dimensión. Con ayuda de un rectángulo que al hacerse menos ancho cada
vez va perdiendo una de sus dos dimensiones, hasta quedarse solo con una: la
longitud, que es la única dimensión con la que consta la línea recta, como lo muestra
la figura siguiente:
36
Tumba de René DescartesRené Descartes
Es una sucesión de puntos. Al dibujar en una misma dirección varios puntos y
agregarle cada vez más y más en medio de ellos, se ve que van uniendose formando
un solo trazo, lo que llamamos línea recta, por tal razón se dice que la línea es una
unión de puntos y si siguen una misma dirección forman una recta, como lo muestra la
figura:
Sistema de coordenadas cartesianas
Antes de comenzar con este contenido presentamos una breve biografía de René Descartes, un
filósofo, matemático y científico francés, quien dio grandes aportes en esta área de la
matemática, y que al igual que muchos otros grandes personajes no solo se dedico a estudiar
un solo campo del saber y busco siempre darle respuesta a sus interrogantes por lo que gracias
a eso la humanidad ha logrado avanzar científicamente hasta la actualidad.
37
En honor precisamente de René descartes se nombra al plano cartesiano que es una
herramienta muy útil para el ser humano, ya que nos permite ubicarnos en el espacio donde
nos encontramos, por eso si el tiempo lo apremia al desarrollar la clase se pueden buscar
aplicaciones del plano cartesiano como por ejemplo: la nomenclatura de las ciudades.
Al igual que en otros contenidos es indispensable comenzar por conocer algunos conceptos y
elementos del plano cartesiano que serán muy útiles para este y futuros contenidos.
Por eso se presenta la siguiente ilustración, la cual indica los cuatro cuadrantes que forman los
dos ejes y los signos de las componentes en cada uno.
En este contenido el alumno debe aprender como ubicar puntos en el plano cartesiano, y para
evitar la tediosidad, se colocó como ejercicio la elaboración de dos gráficas en las que el
alumno debe colocar los puntos según la coordenada cartesiana que le dan y luego ir
uniéndolos para formar una figura, se espera que el alumno se motive a formar correctamente
la figura aprendiendo a la vez a ubicar pares ordenados en el plano.
38
Aunque en esta unidad no se profundiza mucho en el cálculo de distancias entre puntos, se ha
colocado una breve explicación de las fórmulas a emplear en dicho cálculo, con su respectiva
figura para mayor comprensión:
Pendiente de una recta
Con ayuda de algunas graficas se trata de representar las diferentes tipos de pendientes que
hay, explicando la relación que hay entre el desplazamiento de la abscisa y la elevación de la
ordenada para determinar la pendiente. De esta manera se obtienen la pendiente positiva,
negativa, cero e indefinida.
Pero la fórmula a utilizar en el cálculo de la pendiente será m=y2− y1
x2−x1 , la cual se obtiene,
como se muestra en la siguiente figura, de las distancias recorridas en la abscisa y la ordenada.
Al observar y analizar la gráfica el alumno puede comprobar que la fórmula a emplear tiene un
origen lógico y relacionado temas anteriores, por lo que queda evidente la correlación y
conexión de contenidos en la matemática.
39
Conociendo la fórmula de la pendiente, ahora se debe ejercitar su empleo, para eso se explican
primero algunos ejemplos. Iniciando con un sencillo: Calcular el valor de la pendiente de la
recta que pasa por los puntos p1 (−6,11) y p2 (4 ,−9 )
Para solucionarlo se explica cada paso que se debe seguir, empezando por la sustitución y después con
la realización de las operaciones indicadas:
m=y2− y1
x2−x1
¿ −9−114−(−6)
¿ −54+6
¿−2010
¿−2
Otro ejemplo más práctico es: encontrar el valor de la pendiente de una rampa para bicicletas,
que tiene sobre la tierra, una longitud de 5 metros, y una altura de 1.2 metros, donde solo se
debe dividir la elevación entre el desplazamiento para darle solución.
40
Sustituimos los valores de las componentes
Se realizan las operaciones indicadas en el numerador y denominador
Se simplifica la fracción
1.2 m
5m
m= elevacióndesplazamiento
¿1.20
5¿0.24
Con estos ejemplos los estudiantes podrán resolver los ejercicios que se plantean en el guión.
Gráfica: intersecto con el eje de las ordenadas
Para poder graficar las ecuaciones lineales con dos incógnitas es de utilidad conocer el
intercepto de la ecuación, que es el punto en el que la abscisa tiene un valor cero y la línea
intersecta con el eje “y”, para que el alumno identifique mejor donde se encuentra este valor se
muestra gráficamente, comparando cuando además cuando se trate de una pendiente positiva o
una pendiente negativa.
41
Ecuación de una recta y = mx + b
De la fórmula de la pendiente m=y− y1
x−x1 se deduce la ecuación de la recta que pasa por un
punto y tiene una pendiente determinada.
Asiendo un simple despeje, trasladando x−x1 que estaba dividiendo a multiplicar se obtiene la
ecuación: y− y1=m(x−x1), llamada punto pendiente.
Al sustituir por x=0 y p1(0 , b) se extrae la ecuación de la recta en forma pendiente intersecto:
y=mx+b, que será a la ecuación a la que se querrá llegar al final de cada ejercicio.
Se deberá en clase recapitular las tres fórmulas anteriores y determinar cuándo se va a utilizar
cada una de la siguiente manera:
m=y− y1
x−x1
Pendiente
Cuando se tienen dos puntos
por los que pasa la recta
como datos
y− y1=m(x−x1),
Punto pendiente
Cuando se tiene el valor de la
pendiente y al menos un
punto por los que pasa la
recta
y=mx+b
Pendiente intercepto
Cuando se tiene el valor de la
pendiente y el valor donde la
recta toca al eje “y” o sea el
intersecto.
Puntualizando como se muestra en el cuadro anterior los estudiantes sabrán determinar que
fórmula utilizaran dependiendo de lo que le pidan encontrar en el ejercicio y de los datos que
le proporcionen.
42
Como muestra se ha escrito como ejemplo: Se debe encontrar la ecuación de la recta que tiene
una pendiente m = 3 y pasa por p1(4,7) y además se pide graficar.
El estudiante deberá verificar los datos proporcionados, que son: la pendiente y un punto, por
lo tanto se utilizará la ecuación punto pendiente, y el proceso a realizar es el siguiente:
y− y1=m(x−x1)y−7=3(x−4)y−7=3 x−12y=3 x−12+7
y=3 x−5
Para hacer la gráfica se dibuja primero el plano cartesiano, y necesitamos dos puntos al menos
para poder trazar la recta, uno de ellos es p1(4,7) y el otro es el valor en el eje “y” – 5,
obtenido de la ecuación punto intersecto que dio como resultado.
Si se cuenta con centro de cómputo en la institución, se puede utilizar el programa para
graficar Graph, siguiendo los siguientes pasos:
1. Seleccionar en el menú función la opción insertar función
2. En la ventana escribir la ecuación que se desea graficar en el espacio f(x)= y luego dar clic
en aceptar y aparecerá en la pantalla la recta
43
Sustituimos los valores y1, m y x1
Se realiza la multiplicación indicada
Se despeja “y”
Se reducen los términos semejantes
3. Para configurar la grafica obtenida se debe dar clic en el icono para seleccionar en la
ventana que se abrirá los cambios que se desean realizar
Para el eje “x” en este caso se seleccionó un mínimo de – 5 y un máximo de 5, una escala de 1
en el Módulo entre dos marcas y Módulo de la cuadrícula. Además se seleccionó ver la
cuadrícula.
Para el eje “y” en este caso se seleccionó un mínimo de – 10 y un máximo de 5, una escala de
1 en el Módulo entre dos marcas y Módulo de la cuadrícula. Además se seleccionó ver la
cuadrícula.
44
En Colores y Fuentes se cambió solamente el color de la cuadrícula por gris, si se desea se
puede cambiar el color del fondo y de los ejes y cambiar el estilo de letra del rótulo, números y
leyenda.
Al dar clic en aceptar, obtenemos en la ventana:
45
4. Una vez configurada la gráfica se puede guardar en el menú Archivo con la opción Guardar
como imagen.
Y aparecerá la ventana donde se seleccionará la carpeta donde se desea almacenar y el nombre
que se le dará al archivo. Se da clic en Guardar.
46
En el guión de clase realizado se insertó la imagen para que el docente que utilice el
documento tenga la idea clara de cómo quedará la grafica de la ecuación y=3 x−5.
Como se debe aplicar a la realidad el uso de las ecuaciones, también se han colocado ejemplos
prácticos como el siguiente:
En el comedor de la niña Leonor, vendían cada almuerzo a $1.50 el plato, entonces asistían 100 clientes, pero la propietaria decidió aumentar el precio a $2.00 cada plato, por lo cual se le retiraron algunos clientes y solo atienden en promedio a 75. Determina la ecuación lineal de la demanda y represéntala en una gráfica.
En este ejemplo se puede verificar que se puede obtener dos pares ordenados: p1 (1.50,100 ) y
p2(2,75), por lo cual el primer paso será encontrar la pendiente y luego aplicar la ecuación
punto pendiente
m=y2− y1
x2−x1
¿ 75−1002−1.50
¿−250.50
¿−50
y− y1=m ( x−x1 )y−100=−50 ( x−1.50 )
y−100=−50 x+75y=−50 x+75+100
y=−50 x+175
Siguiendo el mismo procedimiento antes descrito con el programa Graph se ha dibujado la
gráfica de la ecuación y=−50 x+175, en la cual se puede verificar que entre más aumente el
precio del almuerzo menos clientes tendrá la niña Leonor.
47
f(x)=-50x+175
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-75
-50
-25
25
50
75
100
125
150
175
x
y
Sistemas de dos ecuaciones
En este contenido iniciamos explicando que es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, debido a que los estudiantes solo conocen sistemas de ecuaciones lineales con una
incógnita, explicamos que encontrar la solución de dichas ecuaciones es encontrar los valores
de las incógnitas “x” e “y”, las diferentes soluciones que estas tienen como “la solución única,
soluciones múltiples y las que no tienen solución”. También se explica cómo tiene que ser las
pendientes de cada una de las soluciones.
Explicamos que para la resolución de estos sistemas existen varios métodos como el método
grafico, método se sustitución, método de igualación, método de reducción y el método
grafico; y que aplicando cualquiera de estos métodos llegamos a la misma solución de las
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Comenzamos explicando el método gráfico
48
Se explicando dos ejemplos siguiendo los siguientes pasó:
Primero despejamos la variable “y” en ambas ecuaciones
Damos un valor cualquiera a la variable “x” en la primera ecuación ya despejada y
otro valor distinto al valor de la variable “x” de la segunda ecuación ya despejada.
Sustituimos los valores
Encontramos el valor de la variable “y” y los primeros puntos
Damos valores iguales a la variable “x” en ambas ecuaciones despejadas
Sustituimos los valores de “x”
Encontramos el valor de “y”
Si el valor de “Y” es el mismo en ambas ecuaciones encontramos la solución de dichas
ecuaciones, posteriormente graficamos con los cuatro puntos encontrados la solución es la
intersección de dichas pendientes.
En la parte izquierda se encuentra una curiosidad matemática “La división entre cero no
existe”.
Para la elaboración de la las graficas utilice el programa “Graph” es un programa muy útil
para hacer las graficas, el proceso a seguir es:
Se le da clic a el icono de Graph y aparece la siguiente pantalla
49
Le damos clic en la figura del plano cartesiano y nos aparece la siguiente ventana.
Cambiamos la escala en el eje de las “x” y en el eje de las “y” colocándole como
mínimo -5 y máximo 5, le doy clic en automarcado y le coloco 1, le doy clic en
autoajuste y también le coloco 1 y por ultimo clic en ver cuadricula y nos queda de la
siguiente manera.
50
Le damos clic en colores y fuente y nos aparece el siguiente cuadro
Le damos clic en ejes y le doy color negro
51
Le doy clic en cuadricula y selecciono el color cris
52
Doy clic en aceptar y aparece de la siguiente manera
Doy clic en insertar función y escribo la ecuación ya despejada
53
Le doy aceptar
Le doy clic nuevamente en insertar función
54
Doy clic en aceptar y queda de la siguiente manera
Finalmente le doy clic en archivo guardar como imagen en el escritorio y luego le en el
documento le doy insertar imagen y la grafica queda así.
f(x)=(-2x+16)/5
f(x)=(6x-8)/5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
55
Este es el proceso a seguir para la elaboración de todas las graficas, es una ventaja para los
docentes utilizar este programa, especialmente para los docentes que cuentan con centros crac,
se puede explicar el proceso a los estudiantes a seguir con lápiz y papel y luego llevarlos a las
computadoras para que vean lo fácil de graficar y encontrar la respuesta por medio de un
programa.
Se presenta la grafica de cada ejemplo explicado, para una mejor comprensión en los
alumnos, pueden ver que el intersecto de las dos ecuaciones coincide con la solución, O que la
grafica facilita encontrar la solución de las variables con solo encontrar dos puntos cualquieras
de cada ecuación.
Se explica un ejemplo de aplicación para que los estudiantes sepan donde aplicar el método
grafico para la solución de ecuaciones lineales con dos incógnitas, el ejemplo consiste en
encontrar el precio de unas camisas de marca y cuantas compran y venden, en una tienda si el
dueño sube y baja el precio de dichas camisas.
Se presenta en la solución del ejercicio las figuras de las camisas para llamar la atención en los
estudiantes y se forman los puntos colocándole “el precio” a la variable “x” y a “la cantidad” a
la variable “y”, de esta manera formamos cuatro puntos dos para la oferta y dos para la
demanda, con los puntos encontramos la pendiente en ambas ecuaciones para poder aplicamos
la ecuación punto pendiente, y encontrar la ecuaciones de la oferta y la ecuación de la
demanda.
Luego graficamos para ver el intersecto de las dos ecuaciones, ver el precio de cada camisa y
cuantas compran y venden en la tienda.
56
Para ver si el estudiante ha comprendido el primer método se presentan dos ejercicios para
resolverlos en clases, de esta manera el docente puede observar las dificultades de los alumnos
y aclarar las dudas que se presenten, para poder pasar al siguiente método.
Después de explicar el primer método, continuamos con el método de sustitución
Iniciando con los pasos a seguir para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas aplicando el método de sustitución, en este método se despejan la variable “y” en
una de las ecuaciones, para luego sustituir en la segunda ecuación “por eso se llama método de
sustitución”, luego se resuelve de la manera ya conocida y se encuentra la segunda incógnita
o variable “x”.
Se presentan tres ejemplos uno de aplicación, para ver, cómo podemos aplicar este método en
casos de la vida cotidiana, el ejemplo consiste en que un muchacho compra un plasma y una
computadora y luego las vende; la pregunta es ¿Cuánto costó cada artículo? Si en la venta de
cada uno obtuvo un porcentaje de ganancias.
Se toma a la variable “x” como el precio del plasma y a la variable “y” como el precio de la
computadora, de esta manera tendríamos dos ecuaciones diferentes y para encontrar la
solución aplicamos el método de sustitución.
Al lado izquierdo se presenta una imagen de dos ecuaciones divertidas, que consiste en que si
dos hombres cazadores casan a un animal esto es igual a dos hombres gorditos, pero si el
animal se come a los dos hombres cazadores este es igual a un animal gordito. Estas imágenes
se presentan con el objetivo de entretener al profesor y también al alumno a la vez que tiene
relación con los temas desarrollados.
57
Después de haber explicados tres ejemplos se presentan dos ejercicios a desarrollar en clases
para que el profesor observe y aclare las dudas en los estudiantes y poder pasar al siguiente
método.
El método siguiente es el de igualación, se inicia con los pasos a seguir para resolver los
ejercicios de ecuaciones lineales con dos incógnitas aplicando dicho método.
Este método consiste en despejar la variable “y” en ambas ecuaciones, posteriormente se
igualan ambos despejes “por esta razón se llama método de igualación”; luego se resuelven la
ecuación resultante y se encuentra la variable “x”, sustituimos el valor encontrado en
cualquiera de las dos ecuaciones y encontramos la variable “y”.
Luego de los pasos se resuelven dos ejemplos explicando cada paso a seguir para facilitarles a
los docente a la hora de la explicación a los estudiantes y a los docentes que no son de la
especialidad y no dominan estos temas.
En la parte izquierda se presenta una imagen de entretenimiento siempre referido a las
ecuaciones, con el objetivo de relajar y divertir a los docentes y alumnos que lo leen.
De igual forma que en los casos anteriores se presentan dos ejercicios para que los alumnos los
resuelvan en clases, para observar y aclarar las dudas y poder pasar al siguiente método.
Al finalizar la unidad se presenta una guía de ejercicios de cada método a resolver para
potenciar más en los estudiantes el desarrollo de estos ejercicios; a la vez se presenta el
solucionario de cada método, de igual forma explicando cada paso como en los ejemplos para
que a los docentes no les cueste calificar ni este resolviendo cada ejercicio tomando en cuenta
que el tiempo de los docentes es bien saturado este solucionario seria de muchísima ayuda aun
58
mas para los docentes que no son de la especialidad, no tienen que estar pensando cómo
desarrollar los ejercicios debido a que ya están resueltos todos y explicados.
MÉTODO DE REDUCCIÓN
Muchas personas a nivel general, tienden a pensar que el método de reducción y el de adición
o sustracción son diferentes; pero realmente es el mismo método, por eso iniciamos en el
guión innovador haciendo la siguiente aclaración:
Es llamado también método de eliminación de una variable por adicción o sustracción y
consiste en el eliminar primero una de las dos variables.
A partir de las dos ecuaciones dadas originalmente se obtiene una tercera, la cual debe constar
de una sola incógnita. La solución de esta última ecuación es uno de los valores buscados.
El valor encontrado se sustituye luego en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se
resuelve dicha ecuación, parea obtener el valor de la otra incógnita.
Desde el inicio del primer ejemplo y en cada uno de ellos, se hace referencia de cada ecuación
numerándola para que el estudiante pueda identificarlas por separado y pueda referirse a las
mismas en la explicación de cada ejemplo.
2 x + 5 y = 16 (1)
6 x - 5 y = 8 (2)
Así pueda identificar fácilmente tanto la ecuación 1, como la ecuación 2.
59
Como la idea principal de este método es eliminar una de las variables, para ello necesitamos
tener coeficientes iguales y con signo diferente en alguna de las variables, en el primer
ejemplo ubicamos un sistema que de entrada cumple con la característica para poder hacer
la reducción de la ecuación, resaltando con otros colores el dato que cumple con lo
mencionado anteriormente:
2 x + 5 y = 16
6 x - 5 y = 8
Dentro del guión y de manera explícita se hace mención del detalle observado, para luego
proceder a la eliminación de la variable, procurando resaltar estratégicamente y en otros
colores los datos del sistema:
2 x + 5 y = 16 (1)
6 x - 5 y = 8 (2)
8 x + 0 = 24
Quedándonos una ecuación con una variable
8 x + 0 = 24
El cual tiene como solución x = 3
Explicando en el guión innovador que ahora que ya se conoce el valor de una de las variables,
se puede sustituir x=3 en cualquiera de las dos ecuaciones dadas.
60
Pero para que el estudiante pueda verificar que se puede tomar cualquiera de las dos
ecuaciones, en este ejemplo hacemos sustituir el valor de x=3, en ambas ecuaciones (tanto
en la 1 como en la 2).
Sustituir x=3 en Sustituir x=3 en
Ecuación (1) Ecuación (2)
2 x + 5 y = 16 6 x - 5 y = 8
2(3) + 5 y = 16 6(3) - 5 y = 8
6 + 5 y = 16 18 - 5 y = 8
Teniendo nuevamente una ecuación de una variable
6 + 5y = 16 18 - 5y = 8
5y = 16 - 6 -5y = 8-18
5y = 10 -5y = -10
y = 105 y =
−10−5
y = 2 y = 2
La solución del sistema es x = 3 y = 2
61
Se puede observar que por ser el primer ejemplo, ha sido detallado minuciosamente, de tal
manera que haya una especificación del proceso desarrollado en el ejemplo, los siguientes
ejemplos presentan la misma adecuación, pero a manera de dosificación se van haciendo
menos menciones a medida se avanzan en el resto de ejemplos para ir soltando poco a poco
al estudiante o al docente que no es de matemática y que está impartiéndola asignatura en
noveno grado. Para que al final comprenda el proceso a seguir con menos explicaciones de
orientación docente.
En el segundo ejemplo, se aumenta un poco el grado de dificultad, ya que se presenta un
sistema que si tiene coeficientes comunes en sus mismas variables (en este caso en la “x”),
pero con el mismo signo cuando necesitamos que tenga signo contrario.
Explicando que para proceder con la eliminación necesitamos cambiar el signo a cada valor
de la segunda ecuación, es decir que haremos una resta (aplicando la ley de los signos) para
realizar la eliminación.
7 x + 3 y = 1 (1)
- ( 7 x + 5 y = -3 ) (2)
7 x + 3 y = 1 (1)
-7 x - 5 y = 3 (2)
62
Procediendo ahora, a hacer el proceso de reducción, tal y como se plantea en el ejemplo
anterior, con la variante que hoy se hace uso de menos pasos para que el estudiante vaya
sintiendo menos tedioso el proceso.
En el tercer ejemplo se le presenta al estudiante un sistema que no tiene coeficientes
comunes entre las mismas variables, por lo que se le explica el proceso que debe de seguir
cuando se le presenta este tipo de sistemas:
4 x + 3 y = 13 (1)
6 x + 2 y = 2 (2)
En este caso eliminaremos la variable “y”, para poder hacerlo, multiplicaremos toda la
ecuación (1) por el coeficiente de la variable “y” de la ecuación (2), que en este caso es 2. De
forma similar, haremos en la segunda ecuación, es decir, multiplicaremos toda la ecuación 2,
por el coeficiente de la variable “y” de la primera ecuación, en este caso es 3, pero con signo
contrario osea -3.
2 ( 4 x + 3 y = 13) (1)
-3 ( 6 x + 2 y = 2 ) (2)
8 x + 6 y = 26 (3)
-18x - 6 y = -6 (4)
63
Ordenando las nuevas ecuaciones, podemos observar que los coeficientes de la variable “y”
ahora si cumplen el requisito para poder eliminarse.
8 x + 6 y = 26 (3)
-18 x - 6 y = -6 (4)
-10x = 20
Después el ejemplo se le es desarrollado detalladamente, tal y como se siguió en los casos
anteriores.
Todo esto con el fin de adentrar al estudiante en las múltiples situaciones que dentro de este
método se le pudieran presentar para que observe y estudie las posibles soluciones que
podría utilizar al tener este sistema de ecuaciones.
Esta serie de ejemplos manifiestan los diferentes procesos a seguir, ahora es necesario
ejemplificar situaciones aplicables a la realidad del entorno del estudiante, para que pueda
darle solución a diversas cotidianidades que pudieran acontecer a su alrededor.
Para poder resolver dichas aplicaciones, es necesario comprender bien la situación que se
plantea, para ello si es necesario se recomienda leer repetidas veces el ejemplo; luego hay
que ver lo que exactamente nos pide el ejemplo, ¿qué es lo que se desconoce?, para poder
64
identificar lo que definiremos como “x” y como “y”; cuando ya definamos quien será cada
una de las variables, se procede a armar o darle forma a cada una de las dos ecuaciones para
conformar el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
En el primer ejemplo de aplicación se plantea la compra de quintales de frijol y arroz que hizo
un comerciante y pregunta claramente la cantidad de quintales que comerció de cada grano
básico.
Por lo que serían los valores que se plantearían para “x” y “y”
Sea “x” el número de quintales de frijoles
Sea “y” el número de quintales de arroz
Entonces x + y , es el total de quintales que comerció, o sea: x + y = 200
Además el precio de venta de cada quintal es:
$85 el de frijol y $70 el de arroz
Si los ingresos fueron $16,250 tenemos que 85 x + 70 y = 16,250
∴ e l s is tema a resolver es
x + y = 200
85 x + 70y = 16,250
65
A partir de esta parte, se comienza a explicar el proceso de solución del método de
reducción, tal y como se ha hecho en los ejemplos anteriores, llegando de esta manera a la
solución del sistema, el cual es:
Sea “x” el número de quintales de fri joles , o sea 150
Sea “y” el número de quintales de arroz, o sea 50
Ahora que ya se han planteado ejemplos de diferentes situaciones que se pudieran presentar en
este método y uno de aplicación, se plantea un repaso con dos ejercicios, para luego pasar al
siguiente método de estudio.
MÉTODO DE DETERMINANTES
En este método, acoplamos un poco de historia para que el estudiante pueda conocer el origen
del método, especificando también el nombre del matemático que lo creó, ya que a eso se debe
el nombre del método. Algunos creen que el método de determinantes es uno y el de Cramer
es otro, pero realmente es el mismo método y su nombre se debió al matemático Suizo Gabriel
Cramer.
Luego presentamos en forma dosificada y específica el proceso para llevar a cabo la aplicación
del método de determinantes, explicando que para poder aplicar dicho método necesitamos
tener tres matrices, las cuales obtendremos a partir del sistema dado, recalcando que la primera
matriz será el cociente para conocer el valor de ambas variables, la segunda matriz será el
numerador para encontrar el valor de x y la tercera matriz será el numerador para encontrar el
valor de y.
66
Explicando detalladamente el proceso a seguir para obtener cada matriz.
Como la primera matriz se obtiene con los coeficientes de las variables de ambas ecuaciones y
en el orden respectivo que se encuentran, ampliamos y especificamos dicho proceso con la
siguiente imagen, para lograr en el docente que no es de la especialidad de matemática y para
el estudiante una mayor claridad en lo planteado anteriormente, tal y como se presenta a
continuación.
a x + b y = c
d x - e y = f
Quedando la primera matriz de la siguiente manera:
Columna 1 Columna 2 Coef .de x Coef .de y
Fi la 1 Ecuación 1 a b
Fi la 2 Ecuación 2 d e
Denominando la matriz 1 como matriz P, para efectos de orden,
a b
P =
d e
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Haciendo el mismo procedimiento para obtener las dos matrices restantes, aplicando la misma
estrategia, de modo talque las imágenes auxiliares se plantearon de la siguiente manera:
a x + b y = c Términos independientes
d x - e y = f
Quedando ordenada la segunda matriz, de la siguiente manera:
Columna 1 Columna 2 Sus t i t uyendo los Coe f .de x po r l o s t é rm. inde pend . Coef .de y
Fi la 1 c b
Fi la 2 f e
Como dicha matriz, servirá para encontrar el valor de X, la denominaremos como matriz Q.
c b
Q =
f e
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De igual manera, nos auxiliaremos de la matriz P, como la tercera matriz servirá para
encontrar el valor de y, sustituiremos la columna de los coeficientes de y, por la columna de
los términos independientes, es decir “c” y “f”.
a x + b y = c Términos independientes
d x - e y = f
Quedando ordenada la tercera matriz, de la siguiente manera:
Columna 1 Columna 2 Sus t i t uyendo los Coe f .de y po r Coe f .de y lo s t é r m. inde pend .
Fi la 1 a c
Fi la 2 d f
Como dicha matriz, servirá para encontrar el valor de Y, la denominaremos como matriz R.
a c
R =
d f
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Ahora que ya se le ha explicado al estudiante y al profesor la forma de organizar las tres
matrices obtenidas a partir del sistema de ecuaciones, se procede a ejemplificar el proceso de
aplicación del método de determinantes o regla de Cramer.
Pero antes, haciendo uso de las letras con las que denominamos a cada una de las tres
matrices, planteamos el proceso a seguir de manera general, a manera de formula de la
siguiente manera:
Se tiene,
P=[a bd e ] Q=[c b
f e ] R ¿ [a cd f ]
La solución del sistema está dada de la siguiente forma (la cual ampliaremos en el siguiente
ejemplo)
X=|Q||P| Y=|R|
|P|
Después de forma estratégica se ejemplifica lo planteado en la notación anterior con un
sistema de ecuaciones, haciendo el mismo proceso pero ahora sustituyendo los respectivos
valores del sistema en lugar de las letras de las matrices.
Todo ello de modo tal que se ha dosificado el proceso, haciendo bien detallado el primer
ejemplo, y a medida se avanza con el resto de ejemplos, se va disminuyendo la cantidad de
pasos, para que el estudiante pueda asimilar de una mejor manera el proceso en estudio.
70
A modo de cierre de este método (determinantes y regla de Cramer), se plantea una guía de
repaso de con ejercicios prácticos y de aplicación.
Procurando un breve repaso, ya que al finalizar el contenido y la unidad de estudio, se plantea
una guía de ejercicios más amplia y diversa, en donde el docente podrá encontrar ejercicios
simples y de aplicación a situaciones prácticas del entorno de su comunidad educativa,
permitiéndole observar su nivel de complejidad y su desarrollo en el solucionario, para que
pueda adecuar a sus estudiantes, los que considere necesarios para el logro de los indicadores
planteados al inicio de es te contenido.
Importancia de las medidas estadísticas
Antes de iniciar con este contenido se muestra una breve historia de la estadística, donde se
describe como algunas civilizaciones antiguas como la egipcia ya utilizaban esta ciencia para
la recolección de datos, a ellos se le suman también los griegos y romanos que se sirvieron de
la estadística para cobrar impuestos y recolectar datos sobre la población. Hasta en la biblia se
menciona que el rey Herodes realizó un censo para conocer la población que habitaba en su
reino en el tiempo que nació Jesús.
Años más tarde grandes hombres como Leonardo de Vinci, Nicolás Copérnico, Galileo,
Neper, William Harvey, Sir Francis Bacon y René Descartes, hicieron grandes operaciones al
método científico, de tal forma que cuando se crearon los Estados Nacionales y surgió como
fuerza el comercio internacional existía ya un método capaz de aplicarse a los datos
económicos.
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Nicolás Copérnico Sir Francis Bacon
La historia permite visualizar al alumno que lo que se estudia actualmente no es algo nuevo y
que surgió como una necesidad, y por ende se ha ido transformando el conocimiento para
satisfacer las exigencias actuales.
Luego se dan algunas definiciones importantes como: estadística, población, muestra y
variable que son conceptos estudiados en octavo grado y que los estudiantes deben tener claro
al comenzar esta unidad.
La unidad uno se centra en el cálculo de las medidas de dispersión: desviación típica y
varianza; pero para calcularlas al primer paso es obtener la media aritmética, así que se
comienza con un pequeño recordatorio de cómo calcular la media, con el siguiente ejemplo:
Se desea determinar la temperatura media por día de la semana anterior en San Salvador, si los registros de la temperatura (en grados centígrados) son los siguientes, empezando desde el día domingo:
24.5, 27.5, 31.0, 28.7, 27.5, 29.0 y 28.6
Y aplicando la fórmula μ=∑ xN
se obtiene la solución.
72
Medidas de dispersión
Primero se debe crear la idea de dispersión ¿Qué significa?, para ello empezamos por
presentar el caso de Juan y Alberto:
Juan y Alberto visitan una feria. Una de las diversiones es el tiro al blanco. Los dos jóvenes participan, efectuando algunos disparos cada uno.
Al observar las figuras se deben realizar las interrogantes ¿Quién ganó? ¿Por qué? Estas preguntas se pueden contestar teniendo en cuenta la dispersión de los tiros realizados.
Rango
Se explica que el rango es la medida de dispersión más fácil de calcular para datos sin agrupar
se estable se la fórmula para encontrarlo “la diferencia entre el dato mayor y el dado menor”.
También para que los docentes tengan mayores herramientas para explicar esta medida se
establecen observaciones y características de este, como por ejemplo: cuanto menor es el
recorrido mayor es el grado de representatividad de los valores centrales, esta característica le
ayuda al docente a explicar que según el dato obtenido en el rango a si es la representatividad
de los datos si es menor o menor.
73
Se explica que a si como tiene ventajas también tiene desventajas como que esta medida solo
depende de valores externos, lo que afecta que si un valor está muy alejado de otro el recorrido
se vea sensiblemente afectado, ya que el dato no se representativo.
Se explican dos ejemplos uno de las edades de diez niños y otro de dos series en la cual los
datos no son iguales pero que casualmente el rango es el mismo para ambas series, pero están
desigualmente agrupadas, pues mientras la primera tiene una mayor concentración en el
centro, las segunda se distribuye uniformente a lo largo de todo el recorrido.
El objetivo de explicar un ejemplo como el anterior es para que el docente explique a sus
alumnos que no precisamente tienen que ser los mismos datos para que el rango sea el mismo,
si no que puede ocurrir lo del ejemplo dos.
También se explica algunas de las características que tiene una serie de datos agrupados, como
que en una serie se desconocen los valores máximos y mínimos de con esta información el
docente puede explicarle a los estudiantes algunas diferencias, para calcular el recorrido para
una serie simple y una serie de datos agrupados.
Para finalizar se presentan dos ejercicios para que los estudiantes calculen el rango de dos
series de datos y luego expliquen si el resultado es representativo o no, y también porque se
obtiene ese valor según la serie de datos haciendo la comparación entre ambas.
74
CONTENIDO: DESVIACIÓN TIPICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Comúnmente este tipo de contenidos se aprecia directamente con el manejo de la fórmula,
pero es necesario que el estudiante pueda apreciar la razón de ser de la desviación típica o
estándar, ya que siempre asimila este contenido mecánicamente, solo haciendo uso de la
fórmula, sin saber la razón del dato encontrado.
Primero es necesario resaltar que la desviación estándar o desviación típica (denotada con el
símbolo σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o
cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Esta conceptualización denotada de manera general, para luego ampliar el concepto con datos
más específicos.
Pero como es necesario definir el término “desviación” de una manera práctica, agregamos al
contenido, dentro del guión innovador una referencia más, definiéndola como la diferencia
entre el valor medido y la media aritmética. Especificando que cada dato tiene un valor de
desviación, que simbólicamente se expresa como xi - x.
Donde xi representa cada uno de los datos que en el ejercicio se dan a conocer, es decir cada
uno de los valores; y x es el valor de la media aritmética de los valores contenidos en el
planteamiento del ejercicio.
Por ello, se especifica que cada dato tiene su desviación ya que la diferencia (xi - x), es un
proceso que se lleva a cabo con cada uno de los datos contenidos en el ejercicio.
75
Luego para que el estudiante no tienda a confundirse con la fórmula a emplear, se plantea la
definición de la varianza (ya que es la media aritmética del cuadrado de la desviación de cada
dato respecto a la media) para que en su estudio pueda apreciar la similitud en la aplicación y
forma de la fórmula a emplear, pero sin confundirse y con la plena seguridad de denotar su uso
y aplicación en este campo.
Muchos piensan que basta con conocer la media aritmética de un conjunto de datos, pero
realmente es necesario obtener otros valores como la desviación típica, ya que no basta con
conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación
que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha
distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al
momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
Muchos conjuntos de datos pueden coincidir con su valor medio, pero siempre es necesario
conocer cuál es más representativo en cuanto a su aplicabilidad, por ello es la importancia de
este tipo de medidas.
Después de las respectivas referencias introductorias al contenido de estudio, le presentamos
la fórmula de la manera siguiente:
La desviación típica está dada por la fórmula
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
76
Pero por ser primera vez que el estudiante se adentra a este tipo de contenidos, consideramos
el uso de tablas para el desarrollo de la fórmula, puesto que lo que menos se pretende es hacer
tedioso su proceso de aprendizaje.
En dicha tabla, se lleva a cabo en forma ordenada cada diferencia planteada para cada uno de
los datos, en donde ya se ha calculado previamente el valor de la media aritmética.
Ejemplo planteado en el guión innovador
Obtener la desviación típica de las calificaciones de Carlos, las cuales fueron 7, 6, 6, 5,5 y 7.
Antes de hacer la tabla, hacemos énfasis que es necesario obtener primero el valor de la media
aritmética, proceso que detallamos como hacer su cálculo, del cual se obtuvo el valor de 6.
En la tabla, relacionamos una columna para cada proceso, en la primera columna organizamos
las notas de Carlos, en la segunda se va realizando una resta (al valor de esa fila, le resta el
valor de la media que en este caso es 6), es decir que a cada valor se le irá restando 6 y por
ultimo en la tercera columna se eleva al cuadrado el valor obtenido en la segunda columna.
Como en la fórmula pide la sumatoria de todas las diferencias elevadas al cuadrado, es
necesario que en la tabla lleve calculado el total en la tercera columna, ya que de esta manera,
obtendríamos el numerador de la fórmula; de esta manera, solo faltaría dividir el valor
encontrado entre el número de datos con el que se cuenta, para luego obtener su raíz cuadrada.
Esto es precisamente lo que se plantea en el ejemplo del guión innovador, para que se pueda
apreciar de una forma más fácil la obtención del numerador de la fórmula de la desviación
típica, que en este caso es 4.
77
CarlosCalificación
menos la media
Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
7 1 16 0 06 0 05 -1 15 -1 17 1 1
Total 0 4
Por ello, es que después de la información planteada y obtenida gracias a la tabla elaborada, se
plantea la relación de la fórmula de la siguiente manera:
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
σ=√ 46
σ=√0.667
σ=0.82
Haciéndole ver al estudiante que el numerador de la fórmula (aparentemente complicado de
calcular), ya lo obtuvo con el uso de la tabla y que lo único que le hace falta es dividir dicho
valor (4), entre el número de datos con que se cuenta en este ejemplo, que en este caso ya
habíamos dicho su valor (6).
Obteniendo como resultado 0.667 aproximadamente, pero si lo dejamos de esta manera
tendríamos el valor de la varianza, así que nada más necesitamos obtener su respectiva raíz
78
cuadrada, la cual es 0.82, para denotarlo como valor de la desviación típica, que es lo que en
este caso se está trabajando.
Como cierre del presente contenido, se plantean una serie de ejercicios que plantean el cálculo
de la desviación típica o estándar.
RECURSOS PARA EL PROYECTO
79
Tiempo
Según lo planteado en el cronograma de actividades a ejecutar durante el periodo del proyecto,
tomando en cuenta el diseño, ejecución y seguimiento, el mismo tendrá una duración de cinco
meses.
Dinero
El financiamiento del proyecto se pretende desarrollar con fondos propios, el cual asciende a
un costo total de $2,146.25
Personas
Por las características y alcances del proyecto, involucra a todos los miembros de la
comunidad educativa, partiendo con la participación de docentes del Distrito 10-03 del
Municipio y Departamento diseño, ampliando la extensión del proyecto para beneficiar a
docentes que imparten la asignatura de matemática en los Departamentos de Cabañas y San
Vicente y con su aplicación y desarrollo a sus respectivos estudiantes.
Equipo, Materiales, Instalaciones
En este rubro, se toma en cuenta todo el material y herramientas a utilizar durante el sondeo
muestral, la selección de contenidos, diseño y elaboración de guiones innovador y su
respectiva reproducción. Los cuales son descritos en la parte del presupuesto.
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PRESUPUESTO
CANTIDAD DESCRIPCIÓN UNIDADPRECIO
UNITARIO ($)
COSTO
TOTAL
($)
1500 Impresiones 1500 0.15 $200.25
4 Empastado 4 $60 $240
4 Anillados 1 $2 $8
25 Transporte25 galones de
combustible$4.60 $100
50 Comida 50 $3 $150
3 horas Tiempo 3 horas $4 $1,200
5 Internet 5 $40 $240
3 CD 3 $1 $3
1 Paquete de viñeta para CD 5 $1 $5
Total $2,146.25
81
PLAN DE EJECUCION
Actividades
Sondeo de campo
Como equipo de trabajo decidimos realizar como trabajo de graduación, el diseño de
guiones innovadores, para un trimestre de noveno grado, por lo que era necesario
determinar el bloque de unidades con las que pensábamos trabajar para llevar a cabo el
diseño del guión innovador, por lo que consideramos necesario realizar un sondeo con
docentes que imparten la asignatura de matemática, independientemente de la
especialidad que posea, ya que a partir de este proceso tendríamos un indicador que
nos permitiera seleccionar el bloque de contenidos a incluir en el proyecto. Para ello
tomamos como muestra a los docentes que imparten la asignatura de matemática en el
distrito 10-03 del municipio y departamento de San Vicente.
Análisis del sondeo de campo
Del sondeo realizado, hicimos un cruce de información, para identificar el bloque de
contenidos que consideran los docentes pueden tener algún grado de dificultad en los
estudiantes o aún en ellos mismos.
Además pudimos verificar que en algunos niveles se encuentran docentes de otras
especialidades impartiendo la asignatura de matemática.
82
Y que había contenidos que a lo mejor no presentaban dificultad alguna, pero que en
los anteriores programas de estudio se veían hasta llegar al nivel de educación superior,
y que por lo mismo les gustaría tener al alcance un proceso que les permitiera
desarrollar adecuadamente dichos contenidos.
Pero sobretodo, les gustaría tener al alcance una herramienta innovadora que
correlacione el proceso de enseñanza con los actuales programas de estudio,
atendiendo las nuevas exigencias del ministerio de educación y en especial el contexto
de sus estudiantes, para que los mismos puedan ser parte de un proceso de aprendizaje
menos engorroso y más al alcance de sus conocimientos previos y conocimientos
básicos, para que ese proceso se convierta en una manera más fácil y divertida de
aprender la matemática.
Selección de contenidos
Dentro del plan de estudios de noveno grado en la asignatura de matemática, según el
actual programa de estudio del ministerio de educación, se tienen los siguientes
contenidos, ordenados en las siguientes unidades:
Unidad 1: “Utilicemos ecuaciones con radicales”
Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado.
Eliminación de la raíz por la propiedad potencia de otra potencia.
Matrices
Determinantes
83
Unidad 2: “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Línea recta.
Sistema de dos ecuaciones lineales.
Métodos de solución de un sistema de dos ecuaciones lineales.
Unidad 3: “Calculemos la dispersión”
Importancia de las medidas estadísticas.
Medidas de dispersión.
Unidad 4: “Midamos ángulos”
Ángulos
Sistema de medición de ángulos.
Longitud de arco.
Área de un sector circular.
Unidad 5: “Resolvamos ecuaciones de segundo grado”
Ecuaciones de segundo grado.
Métodos de solución.
Unidad 6: “Apliquemos técnicas de conteo”
Principio de la multiplicación.
Factorial de un número.
Permutación.
84
Combinación
Unidad 7: “Resolvamos sistemas de ecuaciones”
Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Métodos de solución.
Unidad 8: “Utilicemos potencias algebraicas”
Potenciación.
Binomio de Newton.
Triángulo de pascal.
Unidad 9: “Utilicemos Radicales”
Radicación algebraica.
Regla de los radicales.
Métodos para cambiar la forma de un radical.
Operaciones con radicales.
Atendiendo los resultados del sondeo y la agrupación estratégica de las unidades por
trimestre, consideramos basar el proyecto en las primeras tres unidades del plan de
estudios, ya que contiene dos tipos de ecuaciones, las de segundo grado y el sistema de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; además medidas importantes como las de
tendencia central. Si bien es cierto todos los contenidos programados en noveno grado
son de suma importancia para promover al alumno al nivel medio, pero por la
85
extensión y del proyecto que abarca un trimestre consideramos a bien trabajar con las
primeras tres unidades.
Unidad 1: “Utilicemos ecuaciones con radicales”
Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado.
Eliminación de la raíz por la propiedad potencia de otra potencia.
Matrices
Determinantes
Unidad 2: “Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales”
Línea recta.
Sistema de dos ecuaciones lineales.
Métodos de solución de un sistema de dos ecuaciones lineales.
Unidad 3: “Calculemos la dispersión”
Importancia de las medidas estadísticas.
Medidas de dispersión.
Búsqueda de información
Teniendo ya seleccionadas las unidades y sus respectivos contenidos, iniciamos la
búsqueda de la información que enriquezca de manera estratégica la asimilación en los
estudiantes y le ofrezcan al docente las herramientas necesarias para desarrollar su
clase de una forma acorde al contexto de sus estudiantes.
86
Dicha información se buscó tanto en libros como en sitios de internet.
Selección de información
Después de tener una amplia referencia informativa de los contenidos a incluir en el
diseño del guión innovador, se seleccionó la información que se consideró necesaria e
importante, tomando y seleccionando las versiones que más se adecuaban al contexto
salvadoreño y al coloquio de nuestros estudiantes.
De tal manera que se pudiera diseñar el guión de manera novedosa, no por incluir
estrategias o juegos sofisticados, sino por tener información adecuada al contexto de
nuestros estudiantes.
Propuesta del proyecto
Teniendo ya el proyecto organizado, con los contenidos seleccionados, se le presentó a
la comisión de trabajo de graduación la propuesta del proyecto para su revisión y
aprobación, en la que llevaba implícita todas sus respectivas generalidades, enfatizando
la viabilidad de su respectivo desarrollo.
Correcciones de la propuesta
87
Se revisaron las observaciones hechas en la propuesta por la comisión de trabajo de
graduación las cuales se aceptaron y se corrigieron, para luego ser presentadas
nuevamente a la comisión de trabajo de graduación.
Aprobación del Plan de Trabajo
Se le presentará a la comisión de trabajos de graduación el documento para su revisión
y aprobación, la cual no se ha dado oficialmente, pero que se entiende por aprobada
por los requerimientos e incisos planteados en el presente anuario de la universidad.
Correcciones del plan de trabajo
Se atendieron las observaciones hechas en el plan de trabajo, para luego ser corregidas
y presentadas nuevamente dentro del plan de trabajo corregido para luego presentarlo
nuevamente a la comisión de trabajo de graduación.
Organización de los contenidos
Se hará un análisis de los contenidos incluidos en las unidades a planificar,
determinando la secuencia más lógica y contrastando que contenidos como pre saberes
se pueden agregar.
Organización y adecuación de estrategias y metodologías
88
Se determinaron las metodologías que más se adecuaban para el tipo de estudiante
salvadoreño, tomando en cuenta su contexto y el tipo de docente que le pudiera estar
atendiendo, ya que no todos los docentes que imparten la asignatura de matemática son
de la especialidad.
Realización de la planificación de la primera unidad
Determinado ya los elementos que contendrá el guión de clases se procedió a la
redacción de la primera unidad, cuidando que sea vistosa, bien organizada y que vayan
incluidas adecuaciones de contexto actual y nacional.
Presentación del primer avance
Se presentó al supervisor del proyecto el avance de la planificación de la unidad uno,
para su revisión, el asesor de proyecto revisó el trabajo e hizo las respectivas
valoraciones y sugerencia al diseño del mismo.
Correcciones del primer avance
Se hicieron las corrección que el asesor de proyecto hizo a la unidad uno lo bueno lo
continuamos y corregimos lo malo, a manera de ir mejorando la idea central del guión
innovador.
Búsqueda de información para la primera unidad
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Con las corrección que el asesor nos hiso buscamos más información en internet y
libros de diferentes autores, para nutrir y mejorar el trabajo.
Selección de información
De la información buscada anteriormente, seleccionamos lo más importante y lo más
llamativo, para el guion, desechando lo menos importante y poco adecuado al
contenido y forma del guión innovador.
Realización de la planificación de la segunda unidad
Ya terminada la unidad uno y corregido los errores y las observaciones del asesor, Se
prosiguió con el proyecto con la redacción del guión de clases de la unidad dos.
Presentación del segundo avance
Con una parte de la unidad dos digitada se presenta al asesor un avance de esta unidad,
para que él hiciera sus correcciones y poder mejorar la siguiente edición.
Correcciones del segundo avance
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Se hicieron las correcciones de las observaciones que el supervisor del proyecto haya
hecho de la segunda unidad mejorando lo que ya tenemos.
Búsqueda de información para la segunda unidad
Después de las correcciones buscamos mas información de igual manera que en la
unidad uno en internet y diferentes libros, recopilando información para luego
seleccionarla y adecuarla al desarrollo del guión innovador.
Selección de información
Seleccionamos la información buscada, para continuar elaborando la unidad dos.
Realización de la planificación de la tercera unidad
Una vez terminada la unidad uno y dos con sus correcciones. Se prosiguió el proyecto
con la redacción del guión de clases de la unidad tres, llevando el mismo proceso que
en la unidad uno y dos.
Presentación del tercer avance
Se presentará al supervisor del proyecto el avance de la planificación de la unidad tres.
Correcciones del tercer avance
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Se harán las correcciones de las observaciones que el supervisor del proyecto haya
hecho de la tercera unidad.
Elaboración del borrador del informe final
En la elaboración del borrador del informe final, detallamos todo el proceso que
utilizamos para realizar los guiones, a la vez explicando porque son innovadores y cada
detalle de estos.
También se explica los beneficios que este le brinda a los docentes sobre todo los que
no son de la especialidad en matemática y también los beneficios que estos les trae a
los alumnos.
Correcciones del informe final por el asesor de proyectos
Se corregirán las observaciones hechas al borrador, para una nueva entrega de manera
más formal.
Elaboración del informe final
Una vez terminados los guiones de clases, de las tres unidades descritas en la propuesta
del proyecto, presentado y corregido las observaciones del borrador del informe final
se continuará con su elaboración de manera más ordenada y formal para su entrega.
92
93
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
ACTIVIDADES
MESES Y SEMANASENERO FEBRE
ROMARZO ABRIL MAYO JUNIO
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5Sondeo de campoAnálisis del sondeo de campoSelección de contenidosBúsqueda de información Selección de información Elaboración y entrega propuesta del proyectoCorrecciones de la propuestaElaboración del Plan de TrabajoCorrecciones del plan de trabajoOrganización de los contenidosOrganización y adecuación de estrategias y metodologíasBúsqueda de información para la primera unidadSelección de información.Realización de la planificación de la primera unidad Presentación del primer avanceCorrecciones del primer avance Búsqueda de información para la primera unidad.Selección de información.Realización de la planificación de la segunda unidadPresentación del segundo avanceCorrecciones del segundo avanceBúsqueda de información para la segunda unidadSelección de información.
BIBLIOGRAFIA
Clements, Douglas H, Matemáticas en mi mundo, Primera edición, New York, Estados Unidos de América, McGraw Hill School y Glencoe(1999), 360-375
Galo de Navarro, Gloria & Mendoza, William, Elementos de Matemática Pre-universitaria, Tercera edición, San Salvador, El Salvador, Uca Editores 1997, 257-266
Figueroa Escalón, René Guillermo & Morán, David, Matemática 8° grado volumen 2, primera edición, San Salvador, El Salvador, Ediciones Servicios Educativos, 2010
Figueroa Escalón, René Guillermo & Morán, David, Matemática 9°, primera edición, San Salvador, El Salvador, Ediciones Servicios Educativos, 2010.
Matemática en acción MACMILLAN/ mcgraw – Hill, school publishing company
New York/ Chicago/ Columbus 1992.
Algebra Dr. Aurelio Baldor, primera reimpresión 2008 en Mexico, Grupo editorial patria S.A. de C.V.
94
FIGURAS DE LA UNIDAD UNO
FIGURAS DEL GUION
95
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x
96
Figura # 1
Figura # 2
Figura # 3 Figura # 4
97
x2
x2
A By1
p1
p2y2
y1y2 D
Cy1
Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3
Figura #5
98
3
32
2
1-1
1-1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x
Figura # 6
Figura #7
99
Intersecto b
Intersecto b
Pendiente positiva
Pendiente negativa
f(x)=3x-5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Figura # 8
Figura # 9
100
f(x)=-50x+175
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-75
-50
-25
25
50
75
100
125
150
175
x
y
Figura # 10
Figura # 11
101
f(x)=(-2x+16)/5
f(x)=(6x-8)/5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=(14x+29)/11
f(x)=(8x+30)/13
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Figura # 12
Figura # 13
f(x)=-4x+200
f(x)=8x-100
-200 -150 -100 -50 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
50
100
150
200
x
y
102
ANEXOS
103
Indicador de logro
Interpreta y explica con interés la ecuación algebraica a partir de operaciones con números reales.
Interpreta y explica con interés los elementos que forman una ecuación algebraica: variables, grado de la ecuación, raíz y conjunto solución.
Explica la relación y uso del lenguaje común con el lenguaje algebraico valorando su importancia, en la construcción de ecuaciones de primer grado.
Tiempo
Recurso Vasos, fichas
ECUACIONES
Historia
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por
la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase
encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra
geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
104
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una
nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de
dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos
simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de
los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros,
fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de
3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de
Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son
de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo,
encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún
objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones
con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones
GENERALIDADES
Mario compra en el mercado un pollo, el precio es de $ 1.30 cada libra. La vendedora del
mercado cuenta con una balanza para pesar dicho pollo, ella coloca en uno de los platillos el
pollo
Y luego va colocando las pesas en el otro platillo hasta tener un equilibrio, como se muestra en
la figura:
105
m
m
Lo anterior puede representarse simbólicamente como: p = 4
Aunque no nos damos cuenta todos resolvemos ecuaciones a diario, examinemos la ecuación
m+7=23
Podemos resolverla utilizando modelos: ¿Cuántas fichas deben haber en el vaso m para que se
verifique la igualdad?
Quitando en cada uno siete fichas, el vaso debe contener 16 fichas:
106Ecuación: Proposición que señala la igualdad de dos expresiones algebraicas
GLOSARIO
m=16
Una ecuación es una igualdad algebraica que se verifica o es cierta para algunos valores determinados de las letras o incógnitas.
Ejemplos: 6 x+7=9 y
y+6=15 8 m2−4=7+3m
El exponente mayor de la incógnita determina el grado de una ecuación.
De tal manera que:
x8+5 x5=x+8 Es una ecuación de grado 8
5 y4=5( y+4 ) Es una ecuación de grado 4
m3=m2+1 Es una ecuación de grado 3, también llamada cúbica
x2−4 x=8 Es una ecuación de grado 2, también llamada cuadrática.
Cuando aparece una sola letra, que no está elevada a ninguna potencia, es decir, que su exponente es 1, la ecuación se llama Ecuación lineal o Ecuación de Primer Grado.
5 x−7=9+8 x
El conjunto de todos los números que satisfacen la igualdad en una ecuación se llama conjunto solución de esa ecuación.
107
Ecuación: Proposición que señala la igualdad de dos expresiones algebraicas
Primer miembro
Segundo miembro
Ecuaciones equivalentes: Se les llama a las ecuaciones que tienen la misma solución
GLOSARIO Los elementos del conjunto solución se denominan raíces de la ecuación.
Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de las incógnitas para los que se satisface la ecuación, es decir, la raíz o raíces. Para ello es útil transformar la ecuación dada en otra equivalente y de más fácil
resolución.
Para resolver la ecuación es recomendable dejar sola a la incógnita en uno de los lados de la igualdad, a esto se le llama despejar la variable. Para despejar la variable se cambia la forma de la ecuación a una equivalente.
Indicador de
logro
Construye y explica con interés ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.
Soluciona con seguridad ecuaciones de primer grado con una incógnita, con y sin productos indicados.
Resuelve problemas utilizando ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita, en colaboración con sus compañeros.
Construye y explica con interés ecuaciones de primer grado con una incógnita con denominadores monomios.
Tiempo
Recurso Balanza, piezas de madera de diferentes tamaños
ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO, CON UNA ICÓGNITA
Son ecuaciones en las cuales sus términos tienen como denominador la unidad y también el exponente de las incógnitas es la unidad.
108
Observa la siguiente ecuación: x−10=6
La incógnita x representa un número que hace la ecuación verdadera. Respondiendo a la pregunta ¿Qué número al restarle 10 da 6?
La respuesta es 16, quiere decir que la solución o raíz de la ecuación es 16.
Observa esta otra ecuación: 8 x=72
¿Qué número al multiplicarlo por 8 da 72? La solución o raíz de la ecuación es 9.
Las ecuaciones más sencillas son las de tipo ax=b siendo a≠ 0
Su única solución es x=ba ó también
axa
=ba
Ejemplos:
−4 x=24
x= 24−4
x=−6
6 x=786 x6
=786
x=13
Cuando la ecuación es más complicada, es necesario transformarla en otras ecuaciones que sean equivalentes hasta despejar la variable.
Las ecuaciones pueden compararse con una balanza en equilibrio. Si se añade o se quita un mismo peso a ambos platillos, se mantiene el equilibrio, es decir, la igualdad entre ambos miembros.
109
X X
X
1
1
1
1
X 1 1
1 1
1 1
11
X X
X1
1
1
1
X 1
1
1
1
1
1
1
1
X X
X
1
1
1
1 X
Observa cómo podemos desarrollar el proceso de solución de una ecuación comparándolo con una balanza.
Tenemos la siguiente ecuación:
Para no perder la igualdad, empezaremos por quitar en ambos miembros cuadro unidades
Ahora quitamos una en cada miembro
110
3 x+4=x+8
3 x=x+4
1
X
X
X
1 1
11
Si A = B, entonces:
A + C = B + CA – C = B – C A (C) = B (C)
A ÷ C = B ÷ C
PROPIEDADES
Como tenemos dos a cada una le corresponde , es decir repartimos entre cada valor “x” (dividimos entre dos), obteniendo:
Lo anterior lo resumimos en la aplicación de las siguientes propiedades
Sumar o restar el mismo término o polinomio a ambos miembros de cada ecuación no altera la igualdad.
Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por la misma constante, exceptuando el cero, no cambia la igualdad.
Reemplazar cualquier miembro de una ecuación por una expresión equivalente mantiene la igualdad.
Elevar a una misma potencia o extraer una misma raíz en los dos miembros mantiene la igualdad.
111
2 x=4
X 1 11
x=2
Aplicando las propiedades anteriores:
Restamos 16 en ambos miembros
Sumamos 5x en ambos miembros
Dividimos entre 13 ambos miembros
En una ecuación, se puede cambiar los términos de un miembro a otro miembro. Para ello se pueden seguir algunas reglas básicas, a esta actividad de le llama transposición.
En la transposición de términos debemos tomar en cuenta lo siguiente:
Si un término esta sumando en un miembro pasa al otro a restar y viceversa.
Si un término está multiplicando en un miembro para al otro a dividir.
Si un miembro esta elevado a un potencia n-ésima pasa al otro miembro como raíz n-ésima y viceversa.
Resolviendo la ecuación anterior por medio de la transposición de términos:
112
8 x+16=3−5 x8 x+16−16=3−5 x−16
8x=−5x−138 x+5x=−5x−13+5x
13 x=−1313 x13
=−1313
x=−1
16 estaba sumando, pasa a restar y -5x estaba restando, pasa a sumar (transposición de términos)
Se reducen los términos semejantes
13 estaba multiplicando, pasa a dividir
Solución de la ecuación
ECUACIONES LINEALES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓNPara resolver ecuaciones con signos de agrupación se empieza por suprimir dichos signos aplicando la ley distributiva empezando por el más interno, luego se aplica la transposición de términos
E
2 (3x+5 )−7=5 x−(6−3 x)6 x+10=5x−6+3 x
6 x−5 x−3 x=−6−10−2 x=−16
x=−16−2
x=8
113
8 x+16=3−5 x8 x+5x=3−16¿13 x=−13
¿x=−1313
x=−1
Multiplicamos 2 por 3x+5 y el signo “-“por 6-3x
Se trasladan los términos semejantes en un solo miembro
Se reducen los términos semejantes
-2 estaba multiplicando, paso a dividir
−[2+(2 x−7 ) ]=7−(3 x−1 )+4 x− [2+2 x−7 ]=7−3 x+1+4 x−2−2 x+7=7−3x+1+4 x−2 x+3x−4 x=7+1+2−7
−3 x=3
x= 3−3
x=−1
Indicador de
logro
Soluciona con interés ecuaciones fraccionarias con denominadores monomios de primer grado con una incógnita.
Tiempo
Recurso
ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES MONOMIOS
Se dice que una ecuación es fraccionaria si algunos de sus términos o todos tienen denominadores distintos de la unidad.
Para resolver una ecuación fraccionaria, primero debe convertirse en una ecuación equivalente entera, suprimiendo los denominadores.
Para suprimir los denominadores se multiplica la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, luego se resuelve la ecuación entera obtenida.
114
x3+6=3
5−5 x
15( x3+6)=15( 3
5−5 x)
15 x3
+15 (6 )=455
−15 (5 x )
5 x+90=15−45 x5 x+45 x=15−90
50 x=−75
x=−7550
x=−32
x−94
+ 5 x+23
=12−2x−1
6
12( x−94
+5 x+23 )=12( 1
2−2x−1
6 )12( x−9
4 )+12(5 x+23 )=12( 1
2 )−12( 2x−16 )
3 ( x−9 )+4 (5 x+2 )=6 (1 )−2(2 x−1)3 x−27+20 x+8=6−4 x+23 x+20 x+4 x=6+2+27−8
27 x=27
x=2727
x=1
115
Multiplicamos la ecuación por el m. c. m.
Multiplicamos cada término por el m. c. m.
Se simplifican las fracciones
Se trasladan los términos semejantes y se reducen
50 estaba multiplicando pasa a dividir
Indicador de logroResolver ejercicios y problemas utilizando las ecuaciones con radicales transformables
en ecuaciones de primer grado
Tiempo 10 horas clases
Recursos Pizarra, pilot, borrador, páginas,etc.
ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Las ecuaciones con radicales son: ecuaciones en las que la incógnita aparece bajo el signo radical
Ecuación irracional, es aquella en la que la incógnita se encuentra dentro de un signo radical.
Como por ejemplo:
Para resolver ecuaciones con radicales se deben seguir los siguientes pasos:
1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros
3° Se resuelve la ecuación obtenida
4°. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
116
Radical: es roda raíz indicada de una cantidad
Término: es cada uno de los sumandos de un polinomio
Miembros: es cada uno de las dos expresiones algebraicas separado por el signo igual
Glosario
5°. Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.
Ejemplo #1 Resolver
Solución:
Ejemplo # 2 Resolver la ecuación
Solución
117
Las raíces extrañas deben prescindirse, es decir se desechan
Importante
Las raíces de un número negativo no tienen solución en los reales
Importante
Ejemplo # 3 Resolver
Ejemplo # 4 Resolver la siguiente ecuación
118
Se elevan al cuadrado ambos
miembros
Se elimina el radical
Se pasan a un miembro las letra y al
otro los números
Se despeja la incógnita
Se elevan al cuadrado ambos
miembros
Se eliminan los radicales y se multiplica
Se pasan a un miembro las letra y al
otro los números,
Se despeja la incógnita
Ejemplo de aplicación
El tiempo para que un cuerpo, que se deja caer libremente, caiga al cuelo esta dado por la
expresión
Donde h: es la altura desde donde es dejado caer
G: la gravedad
Se pide despejar “h”
119
Ejemplo # 2 El periodo de un péndulo simple: de T = despejar g
Ejercicios para resolver en clases
1) Electricidad: de despejar W
2) Cuerpo en caída: de , despejar g
120
Péndulo: Es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica
Glosario
Indicador de logro Explica con confianza el proceso de formación de un determinante.
Identifica con seguridad los elementos, filas, columnas, diagonales y orden de un determinante.
Construye con orden determinantes a partir de las ecuaciones.
121
Seki Kowa
Resuelve de manera ordenada ejercicios y problemas aplicando determinantes de segundo orden.
Tiempo 4 horas clases
Recurso Pilot, pizarra, borrador, guion, páginas .
DETERMINANTES
MATRICES
Historia
El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.[3] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
122
J. J. Sylvester
W. R. Hamilton
A. Cayley
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).[2]
El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.
Las matrices son una herramienta de mucha utilidad para expresar y resolver situaciones de la vida real. Por ejemplo, en los negocios es frecuente estudiar la relación de precio de venta o costos con el número de productos. Sabemos que es una forma de presentar información, por ejemplo, la relación entre precio de venta y cantidades vendidas, son las tablas; otra forma sería presentar los datos de forma rectangular en filas y columnas.
Cronología
123
A la representación de datos en forma rectangular (en filas y columnas) se llama Matriz.
Una Matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas encerrados en corchetes.
DEFINICIÓN
Si la información se presenta se dispone de forma rectangular, es decir en filas y columnas, entonces se dice que los datos se presentan de forma matricial.
Otro campo de aplicación de las matrices, entre muchos, es en informática. Las matrices constituyen una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los
ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.
Ejemplos:
1) Doña Conchita, tiene a cargo el chalet de la escuela, nos cuenta que el día lunes vendió 80 refrescos de ensalada y 70 de horchata y el día martes vendió 75 refrescos de ensalada y 90 de horchata. Presentar la información
utilizando una tabla.
124
Año Acontecimiento
200 a.C. En China los matemáticos usan series de números.
1848 d.C. J. J. Sylvester introduce el término "matriz".
1858 Cayley publica Memorias sobre la teoría de matrices.
1878 Frobenius demuestra resultados fundamentales en álgebra matricial.
1925 Werner Heisenberg utiliza la teoría matricial en la mecánica cuántica
Solución
Refresco Día
Lunes Martes
Ensalada 80 75
Horchata 70 90
Otra forma de representar la información contenida en la tabla , es la que se muestra entre corchetes en la f igura s iguiente:
Columna 1 Columna 2 Lunes Martes
Fi la 1 Ensalada 80 75
Fi la 2 Horchata 70 90
Tanto 80 como 75, están ordenados en forma horizontal (en el primer renglón) este orden conforma la primera fila, a cada renglón de toda matriz se le llama fila. Por lo tanto la segunda fila de la matriz, la conforman 70 y 90.
Si cada arreglo horizontal se denomina fila, entonces a cada arreglo vertical conforman las columnas como 80 y 70 que forma parte de la primera columna y 75 y 90 que integran la segunda columna.
125
Toda matriz está
ordenada en filas y
columnas.
Importante
Una matriz es un arreglo rectangular de números en f i las y columnas encerrados en corchetes .
Los elementos de las matrices se escriben entre corchetes (o entre paréntesis). Además las matrices se representan utilizando letras mayúsculas, por ejemplo A, B, C, ó cualquier otra letra del alfabeto.
Si tomamos como base el ejemplo anterior, la matriz podría representarse de la siguiente manera:
80 75
A =
70 90
La cual queda denominada como matriz A
2) Paquita trabaja en una zapatería del mercado y nos cuenta que los zapatos más vendidos han incrementado de precio por sus niveles de venta, los cuales son las sandalias marca “cenicienta” y los zapatos marca “picapiedra”. Anteriormente tenían un precio de $15 y $20 y ahora sus nuevos precios son $17 y $23.
Presentar la información del ejemplo por medio de una matriz (arreglo de filas y columnas)
Solución
Columna 1 Columna 2 Precio Anter ior Precio Actual Fi la 1 Zandalias 15 17
Fi la 2 Zapatos 20 23
Representada la matriz quedaría de la siguiente manera:
15 17
126
Cuando las matrices tienen igual número de filas y columnas se llaman Matrices Cuadradas.Importante
B =
20 23
La cual queda denominada como matr iz B.
Observe que tanto la matriz A y B, tienen dos filas y dos columnas, por lo que se dice que A y B son matrices de orden 2 x 2 (2 filas x 2 columnas).
En general, la notación Amxn indica que la matriz A tiene m filas y n columnas. Para denotar a un elemento de la matriz, se recurre a letras minúsculas.
Así para nombrar un elemento de la matriz B, ubicado en la f i la i y en la columna j , tendríamos la siguiente notación:
El elemento b i j se encuentra ubicado en la f i la i y en la
columna j
15 17 b11 b12
B = B =
20 23 b21 b22
Donde,
b11 Denota el elemento de la primera fila y primera columna, es decir 15
127
b12 Denota el elemento de la primera fila y segunda columna, es decir 17
b21 Denota el elemento de la segunda fila y primera columna, es decir 20
b22 Denota el elemento de la segunda fila y segunda columna, es decir 23
3) Indicar el valor que corresponde al elemento c 3 2 de la matriz C
12 8
C = 9 11
21 10
El elemento c 3 2 de la matriz C, está ubicado en la f i la 3 y columna 2 , cuyo valor es 10 .
Columna 1 Columna 2
12 8
C = 9 11
21 10 Fi la 3
Ahora que ya hay un panorama sobre matrices, estudiaremos el proceso para calcular sus respectivos determinantes.
Determinante
128
A cada matriz cuadrada le corresponde un número real llamado determinante y se denota como det A ó |A|1
Estudiaremos el cálculo de determinantes de matrices cuadradas de 2 x 2. Es decir matrices que posean 2 filas por 2 columnas.
Sea M una matriz cuadrada de orden dos, entonces
m 1 1 m 1 2
M =
m 2 1 m 2 2
En donde se define el determinante de M como
|M| = m 1 1 m 2 2 - m 2 1 m 1 2
Ejemplos:
1) Calcular el determinante de la matriz P = [3 42 5]
Solución
129
|P|=|3 42 5|=¿ ( 3 x 5 ) - ( 2 x 4 ) = 15 - 8 = 7
∴ el |P|=¿7
Observemos que al hacer el proceso para calcular el determinante de la matriz, se sustituyen los corchetes por rayitas verticales.
2) Calcular el determinante de la matriz Z = [−5 29 8]
Solución
|Z|=|−5 29 8|=¿ ( -5 x 8 ) - ( 9 x 2 ) = - 40 - 18 = -58
∴ el |Z|=−58
3) Calcular el determinante de la matriz Y = [7 −43 9 ]
Solución
|Y|=|7 −43 9 |=¿ (7 x 9) - (3 x -4) = 63 - (-12) = 63 + 12 = 75
∴ el |Y|=75
Ejercicios para resolver en clases
1) Jorge, llega a la escuela a vender paletas y sorbetes a la salida de clases de los estudiantes, muy alegre le cuenta a su hija Margarita que ayer vendió 30 paletas y 45
130
sorbetes y hoy terminó el día vendiendo 35 paletas y 50 sorbetes. Presentar la información ordenándola en una matriz.
2) Indicar el valor que corresponde al elemento d13 de la matriz D
D=[ 6 1 −83 4 7
−9 5 2 ]3) Obtener el determinante de la siguiente matriz:
F=[−6 82 7 ]
GUIA DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD UNO
I) Resuelve las siguientes ecuaciones
1) 5b−4=9 b+14 2) 16−7 y=3+ y3) 3m+101−4 m=−16m+3 4) –3 x−9+2x=3−6 x+75) 3−( y−2 )=3( y+3) 6) ( y+9 ) ( y−9 )=( y+3)2
7) 4 (2x−7 )=9 x− (5 x+1 ) 8) 2 [8−3 ( a+2 ) ]=3a−6
9) 6 (2 t+2 )=2 (t−7 )−t 10) 2 y−1
2+ 5 y+4
3= y+1
4
11) x6+5=2
3+x 12)
x4−1
5=5
4−3 x
20
13) 3 a−1
2−a+1
3=a+2
4 14) 2a+1a−1
= 11−7
15) 4 x+14 x−1
=4 x−14 x+1 16) √ x−10=7
17) −6−√3x−5=1 18) √5 x−1=4419) √ x2+10=6−x 20) 3√2x=2721) √ x+4=4 22)7−3√10 m−3=2
23) √4 x−9=√29−2x 24)
25) 26)
27) 28)
131
29) 30.
II) Calcular el determinante en cada una de las siguientes matrices.
31) Z = [−5 49 9] 32) A = [7 2
4 3]33) H = [9 4
1 −2] 34) J = [−2 −53 9 ]
35) E = [−3 17 2] 36) V = [2 1
3 4]37) Z = [ 7 2
−4 8 ] 38) G = [−5 2−9 −8]
39) I = [7 86 9] 40) B = [6 5
9 8]SOLUCIONARIO DE LA UNIDAD UNO
1.
5 b−4=9 b+145 b−9b=14+4
−4 b=18
b=18−4
b=−92
.
16−7 y=3+ y−7 y− y=3−16
−8 y=−13
y=−13−8
y=138
3 m+101−4 m=−16 m−43 m−4m+16 m=−4−101
15m=−105
m=−10515
m=−7
–3 x−9+2 x=4−6 x+7−3 x+2 x+6 x=4+7+9
5 x=20
x=205
x=4
132
5.
3−( y−2 )=3( y+3)3− y+2=3 y+9− y−3 y=9−2
−4 y=7
y= 7−4
y=−74
6.
( y+9 ) ( y−9 )=( y+3)2
y2−81= y2+6 y+9y2− y2−6 y=9+81
−6 y=90
y=90−6
y=−15
7.
4 (2x−7 )=9 x− (5 x+1 )8 x−28=9 x−5 x−18 x−9 x+5 x=−1+28
4 x=27
x=274
8.
2 [8−3 (a+2 ) ]=3 a−62 [ 8−3 a−6 ]=3a−616−6a−12=3 a−6
−6a−3a=−6−16+12−8a=−10
a=−10−8
a=54
9.
6 (2 t+2 )=2 ( t−7 )−t12 t+12=2t−14−t
12 t−2t +t=−14−1211 t=−26
t=−2611
2 y−12
+ 5 y+43
= y+14
12( 2 y−12 )+12( 5 y+4
3 )=12( y+14 )
6 (2 y−1 )+4 (5 y+4 )=3 ( y+1 )12 y−6+20 y+16=3 y+312 y−20 y−3 y=3+6−16
−11 y=−7
y= −7−11
y= 711
x6+5=2
3+x
6( x6 )+6 (5 )=6( 2
3 )+6(x)
x+30=4+6 xx−6 x=4−30−5x=−26
x=−26−5
x=5 15
133
12.
x4−1
5=5
4−3 x
20
20( x4 )−20( 1
5 )=20( 54 )−20 (3 x
20 )5 (x )−4 (1 )=5 (5 )−(3x )
5 x−4=25−3 x5 x+3 x=25+4
8 x=29
x=298
x=3 58
13.
3a−12
−a+13
=a+24
12( 3 a−12 )−12( a+1
3 )=12( a+24 )
6 (3 a−1 )−4 (a+1 )=3 ( a+2 )18 a−6−4 a−4=3 a+618 a−4 a−3a=6+6+4
11a=16
a=1611
a=1 511
14.
2 a+1a−1
= 11−7
−7 (2 a+1 )=11(a−1)−14 a−7=11a−11−14 a−11 a=−11+7
−25 a=−4
a= −4−25
a= 425
15.
4 x+14 x−1
=4 x−14 x+1
( 4 x+1 ) (4 x+1 )=(4 x−1 )(4 x−1)16 x2+8x+1=16 x2−8x+116 x2−16 x2+8 x+8 x=1−1
16 x=0
x= 016
x=0
16.
Sol.
134
17.
Sol.
18.
19.
Sol.
135
20.
Sol.
21.
Sol.
22.
Sol.
23.
Sol.
136
24.
Sol.
25.
Sol.
26.
Sol.
27.
137
Sol.
28.
Sol.
29.
Sol.
30.
Sol.
138
31. Z = [−5 49 9]
Sol.
|Z|=|−5 49 9|=¿ (-5 x 9) - (9 x 4) = -45 - 36 = - 81
∴ el |Z|=−81
32. A = [7 24 3]
Sol.
|A|=|7 24 3|=¿ (7 x 3) - (4 x 2) = 21 - 8 = 13
∴ el |A|=13
33. H = [9 41 −2]
Sol.
|H|=|9 41 −2|=¿ (9 x-2) - (1 x4) = -18 - 4 = -22
∴ el |H|=−22
34. J = [−2 −53 9 ]
Sol.
|J|=|−2 −53 9 |=¿ (-2 x 9) - (3 x -5) = -18 - (-15) = -18 + 15 = -3
∴ el |J|=−3
35. E = [−3 17 2]
139
Sol.
|E|=|−3 17 2|=¿ (-3 x 2) - (7 x 1) = -6 - 7 = -13
∴ el |E|=−13
36. V = [2 13 4]
Sol.
|V|=|2 13 4|=¿ (2 x 4) - (3 x 1) = 8 - 3 = 5
∴ el |V|=5
37. Z = [ 7 2−4 8 ]
Sol.
|Z|=| 7 2−4 8|=¿ (7 x 8) - (-4 x 2) = 56 - (-8) = 56 + 8 = 64
∴ el |Z|=64
38. G = [−5 2−9 −8]
Sol.
|G|=|−5 2−9 −8|=¿ (-5 x -8) - (-9 x 2) = 40 - (-18) = 40 + 18 = 58
∴ el |G|=58
39. I = [7 86 9]
Sol.
|I|=|7 86 9|=¿ (7 x 9) - (6 x 8) = 63 - 48 = 63 - 48 = 15
140
∴ el |I|=1 5
40. B = [6 59 8]
Sol.
|B|=|6 59 8|=¿ (6 x 8) - (9 x 5) = 48 - 45 = 3
∴ el |B|=3
141
Indicador de logro
Calcula con interés medias aritméticas.
Tiempo 2 horas clases
Recurso Tablero de tiro al blanco, flechas
Historia de la Estadística
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.
142
Nicolás Copérnico
Sir Francis Bacon
Estadística:Ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno
La :Se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio.
GLOSARIO
Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa.
Los reyes carolingios Pipino, el Breve, y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book.
Durante los siglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leonardo de Vinci, Nicolás Copérnico, Galileo, Neper, William Harvey, Sir Francis Bacon y René Descartes, hicieron grandes operaciones al
143
Población:Conjunto de los individuos de los que queremos estudiar una o varias características.
Muestra:Cualquier subconjunto de la población; si es representativa, inferimos de ella información para toda la población.
Variable: Cada una de las características que estudiamos en los individuos
RECUERDA
método científico, de tal forma que cuando se crearon los Estados Nacionales y surgió como fuerza el comercio internacional existía ya un método capaz de aplicarse a los datos económicos.
El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad.
En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información.
IMPORTANCIA DE LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS
La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.
Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias
144
sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad. Se usa para la toma de decisiones en áreas de negocios o instituciones gubernamentales, es decir, su uso es muy amplio.
La estadística se divide en dos grandes áreas:
La estadística descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, entre otros.
La estadística inferencial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones.
En esta unidad nos enfocaremos a algunos parámetros estadísticos de la estadística descriptiva.
Para comprender la información contenida en una serie de datos se tienen los gráficos y las medidas resumen de datos. Entre las medidas resumen de datos se tienen las de tendencia central (Media aritmética, Mediana, Moda) y las medidas de dispersión (Rango, Desviación Típica y Varianza).
145
MEDIA ARITMÉTICA
Se denota por medio de μ cuando se obtiene de datos poblacionales y por medio de X , cuando se obtiene de datos muestrales.
μ=∑ xN
Media aritmética para datos poblacionales
x=∑ xn
Media aritmética para datos muestrales
Donde:
∑ x: Suma de los valores de los que se quiere obtener la media.
N (n): Número de datos a los que se les quiere calcular la media
Ejemplo:
Se desea determinar la temperatura media por día de la semana anterior en San Salvador, si los registros de la temperatura (en grados centígrados) son los siguientes, empezando desde el día domingo:
24.5, 27.5, 31.0, 28.7, 27.5, 29.0 y 28.6
146
μ=∑ xN
=24.5+27.5+31.0+28.7+27.5+29.0+28.6
7
μ=196.87
μ=28.1 C10
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Juan y Alberto visitan una feria. Una de las diversiones es el tiro al blanco. Los dos jóvenes participan, efectuando algunos disparos cada uno.
Juan Alberto
¿Qué se puede decir acerca de los puntos de contacto de los disparos de las dos personas?
Los puntos de contacto de Juan están más cercanos entre sí que los de Alberto. Juan ha sido más regular en sus disparos en cuanto a distanciarse del centro del blanco. Los disparos de Alberto son más dispersos y más alejados del centro.
Las medidas de dispersión indican lo concentrado que están los datos alrededor del valor central (media aritmética).
A más alejamiento de los datos del valor central, mayor dispersión tienen los datos.
A mayor valor de la medida, mayor dispersión tienen los datos.
147
EL RANGO O RECORRIDO ( R ):
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango: se llama recorrido de una distribución a la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística
Rango para datos no agrupados;
Observaciones al recorrido
Cuanto menor es el recorrido mayor es el grado de representatividad de los valores centrales.
Cuanto mayor es, la distribución está menos concentrada o más dispersa. Tiene la gran ventaja de su sencillez de cálculo. Tiene gran aplicación en procesos de control de calidad, Tiene el inconveniente de que sólo depende de los valores extremos. De esta forma basta
que uno de ellos se separe mucho para que el recorrido se vea sensiblemente afectado.
Ejemplo # 1
Se tienen las edades de diez estudiantes universitarios de Ier año, estas son 19,23, 27, 33, 26, 28, 19,32 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:
Solución:
El promedio de las edades es 14 años
Ejemplo # 2
148
Obtén el rango de las dos series siguientes y compararlas
Serie1: 1, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 10,17
Serie 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18
Serie 1:
Serie 2:
Ambas series tienen rango igual a 16, pero están desigualmente agrupadas, pues mientras la primera tiene una mayor concentración en el centro, la segunda se distribuye uniformemente a lo largo de todo el recorrido.
Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase.
Ejercicios para resolver en clases:
1. Encontrar el rango de las siguientes calificaciones de los alumnos de 9° “A” y 9° “B”.
Calificaciones de 9° “A”: 9, 7, 5, 2, 1, 10, 2, 3,6
Calificaciones de 9°”B”: 4, 7, 5, 5, 3, 2, 10,10
2. Encontrar el rango des siguientes edades de un grupo de 6 jóvenes. 16,18,15,17,13,12.
149
El dato mayor es 17 y el dato menor 1
El dato mayor es 18 y el dato menor 2
El término desviación estándar fue incorporado a la estadística por en .
DEFINICIÓN
Karl Pearson
Indicador de logro
Resuelve con dominio y confianza ejercicios y problemas aplicando las formulas para el cálculo de la desviación típica de un conjunto de datos no agrupados.
Tiempo 10 horas clases
Recurso Paginas, pizarra, pilot, etc.
DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Desviación es la diferencia entre el valor medido y la media aritmética. Cada dato tiene un valor de desviación, que simbólicamente se expresa como xi - x.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Varianza es la media aritmética del cuadrado de la desviación de cada dato respecto a la media.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los
150
mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
La desviación típica está dada por la fórmula
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Ejemplo:
Obtener la desviación típica de las calificaciones de Carlos, las cuales fueron 7, 6, 6, 5,5 y 7.
El valor de la media aritmética resulta de sumar todas las notas y dividir el resultado entre la cantidad de valores que en este caso es 6.
En la sumatoria tenemos un resultado de 36 y al dividir este valor entre 6, tenemos como resultado 6 (valor de la media aritmética).
En la tabla, relacionamos una columna para cada proceso, en la primera columna organizamos las notas de Carlos, en la segunda se va realizando una resta (al valor de esa fila, le resta el valor de la media que en este caso es 6), es decir que a cada valor se le irá restando 6 y por ultimo en la tercera columna se eleva al cuadrado el valor obtenido en la segunda columna.
Para facilitar el proceso, nos auxiliaremos de la siguiente tabla:
CarlosCalificación
menos la media
Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
7 1 16 0 06 0 05 -1 15 -1 17 1 1
Total 0 4
151
Según el planteamiento de la fórmula,
N corresponde al número de datos,
en este caso son 6.
En cada fila de la tabla auxiliar se tiene ordenadamente el proceso de la fórmula, de tal manera que
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
σ=√ 46
σ=√0.667
σ=0.82
Obteniendo como resultado 0.667 aproximadamente, pero si lo dejamos de esta manera tendríamos el valor de la varianza, asi que nada más necesitamos obtener su respectiva raíz cuadrada la cual es 0.82, para denotarlo como valor de la desviación típica, que es lo que en este caso se está trabajando.
Obteniendo como resultados los siguientes:
Desviación típica = 0.82 y Varianza = 0.667
152
GUIA DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD TRES
1. Calcular la media aritmética, el rango y la desviación típica de 7, 5, 6, 10, 13, 10 y 12.
2. Calcular la media aritmética de 24, 36, 19, 32, 29, 31 y 25.
3. Encontrar la desviación típica de 4, 5, 9, 2, 9, 3, 3 y 5.
4. Encontrar la desviación típica de 124, 135, 200, 92, 159 y 160.
5. Cuatro compras de arroz en bolsas con la leyenda “Una libra exacta” contenían: 16.2, 15.9, 15.8 y 15.7. Calcular el rango y la desviación típica.
6. En 5 intentos un mecánico requirió de 11, 13, 10, 14 y 15 minutos para hacer el cambio de aceite de un tipo particular de vehículo. Calcular la desviación típica de los datos.
7. En 4 días una persona requirió de 50, 45, 58 y 55 minutos para trasladarse de su vivienda a su lugar de trabajo. Calcule el rango y determine la desviación típica.
8. Los siguientes datos se refieren a la cantidad de glucosa en miligramos encontrados en muestra de sangre de algunos pacientes, 14.2, 12.1, 15.6, 18.1 y 14.3. Obtener la media aritmética, el rango y la desviación típica.
9. Determinar la desviación típica de temperatura media por día de la semana en Ilobasco, si los registros de la temperatura (en grados Celcius) en cada día de la semana anterior fueron: 24.5, 27.5, 31.0 28.7, 27.5, 29.0, 28.6.
10. Raúl ordeña el ganado y durante 5 días obtiene las siguientes cantidades de leche: 40 botellas, 45 botellas, 50 botellas, 41 botellas y 49 botellas. Encontrar la media aritmética y determinar la desviación típica.
153
SOLUCIONARIO DE LA UNIDAD TRES
1. 7, 5, 8, 10, 13, 10 y 12.
Media aritmética
μ=∑ x
N=
7+5+6+10+13+10+127
μ=637
μ=9RangoR = 13 - 5 = 8
Desviación típica
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Valores Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
7 -2 45 -4 166 -3 910 1 113 4 1610 1 112 3 9
Total 0 56
σ=√ 567
154
σ=√8
σ=¿2.83
2. Calcular la media aritmética de 24, 36, 19, 32, 29, 31 y 25.
Media aritmética
μ=∑ x
N=
24+36+19+32+29+31+257
μ=1967
μ=28
3. Encontrar la desviación típica de 4, 5, 9, 2, 9, 3, 3 y 5.
Desviación típica
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Valores Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
4 -1 15 0 09 4 162 -3 99 4 163 -2 43 -2 45 0 0
Total 0 50
σ=√ 508
σ=√6.25
155
σ=¿2.5
4. Encontrar la desviación típica de 124, 135, 200, 92, 159 y 160.
Desviación típica
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Valores Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
124 -21 441135 -10 100200 55 302592 -53 2809159 14 196160 15 225
Total 0 6796
σ=√ 67966
σ=√1132.67
σ=¿33.66
5. Cuatro compras de arroz en bolsas con la leyenda “Una libra exacta” contenían: 16.2, 15.9, 15.8 y 15.7. Calcular el rango y la media aritmética.
Rango = 16.2 - 15.7 = 0.5
156
Media aritmética
μ=∑ xN
=16.2+15.9+15.8+15.7
4
μ=63.64
μ=15.9
6. En 5 intentos un mecánico requirió de 11, 13, 10, 14 y 15 minutos para hacer el cambio de aceite de un tipo particular de vehículo. Calcular la media aritmética de los datos.
μ=∑ xN
=11+13+10+14+15
5
μ=635
μ=12.6
7. En 4 días una persona requirió de 50, 45, 58 y 55 minutos para trasladarse de su vivienda a su lugar de trabajo. Calcule el rango y determine la desviación típica.
Rango = 58 - 45 = 13
Desviación típica
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Valores Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
50 -2 445 -7 4958 6 3655 3 9
Total 0 98
157
σ=√ 984
σ=√24.5
σ=¿4.95
8. Los siguientes datos se refieren a la cantidad de glucosa en miligramos encontrados en muestra de sangre de algunos pacientes, 14.9, 12.1, 15.6, 18.1 y 14.3. Obtener la media aritmética, el rango y la desviación típica.
Media aritmética
μ=∑ x
N=
14.9+12.1+15.6+18.1+14.35
μ=755
μ=15
Rango = 18.1 - 12.1 = 6
Desviación típica
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Valores Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
14.9 -0.1 0.0112.1 -2.9 8.4115.6 0.6 0.3618.1 3.1 9.6114.3 -0.7 0.49
Total 0 18.88
158
σ=√ 18.885
σ=√3.78
σ=¿1.94
9. Determinar la desviación típica de temperatura media por día de la semana en Ilobasco, si los registros de la temperatura (en grados Celcius) en cada día de la semana anterior fueron: 24.2, 27.5, 31.0, 28.4, 27.5, 29.0, 28.4.
Desviación típica
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Valores Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
24.2 -3.8 14.4427.5 -0.5 0.2531.0 3 928.4 0.4 0.1627.5 -0.5 0.2529.0 1 128.4 0.4 0.16
Total 0 25.26
σ=√ 26.267
σ=√3.61
σ=¿1.9
159
10. Raúl ordeña el ganado y durante 5 días obtiene las siguientes cantidades de leche: 40 botellas, 45 botellas, 50 botellas, 41 botellas y 49 botellas. Encontrar la media aritmética y determinar la desviación típica.
Media aritmética
μ=∑ x
N=
40+45+50+41+495
μ=2255
μ=45
Desviación típica
σ=√ ∑ ( x i−μ )2
N
Valores Desviación( x i−μ )
Desviación al cuadrado
( x i−μ )2
40 -5 2545 0 050 5 2541 -4 1649 4 16
Total 0 82
σ=√ 825
σ=√16.4
σ=¿4.05
160
GLOSARIO
Abscisa: Primera de las dos coordenadas con que se fija la posición de un punto en un plano.
Coordenada: Cada una de las líneas que sirven para determinar la posición de un punto.
Coordenadas cartesianas en el plano: Llámese así a la pareja ordenada de números reales que corresponde a cada punto del plano.
Determinante: Arreglo algebraico de valores que se disponen en columnas y filas.
Distancia: Longitud del segmento que une dos puntos o longitud mínima de los caminos posibles de un punto a otro.
Ecuación de primer grado: Es toda ecuación cuya variable o variables están afectadas del exponente uno. También llamada ecuación lineal.
Ecuación: Proposición que señala la igualdad de dos expresiones algebraicas
Ecuaciones equivalentes: Se les llama a las ecuaciones que tienen la misma solución
Ecuaciones simultáneas: Es un sistema de dos o más ecuaciones que se resuelven al mismo tiempo.
Eje de las “x”: Eje horizontal también llamado eje de las abscisas.
Eje de las “y”: Eje vertical también llamado eje de las ordenadas.
Ejes coordenados: Par de rectas orientadas perpendicularmente entre sí.
Ejes: Rectas que se cortan y en relación a las cuales se puede fijar la posición de un elemento variable.
Encuesta: Consulta de carácter científico llevada a opinión pública.
Espacio muestral: Población o muestra que se toma para un estudio estadístico.
161
Estadística descriptiva: Se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio.Estadística: Ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno
Grado de una ecuación: Llámese grado de una ecuación de una o más variables, al mayor de los grados de los términos que forman la ecuación.
Gráfica cartesiana: Es la representación de una relación por medio de puntos en el plano cartesiano.
Igualdad: Dícese de dos expresiones matemáticas que designan el mismo número y están relacionadas con el signo =.
Incógnita: magnitud que se propone encontrar
Indeterminado: Llámese a la ecuación o sistemas de ecuaciones de número infinito de soluciones.
Intersección: Punto común a dos líneas que se cortan.
Línea recta: Se considera generada por un punto en movimiento continuo que sigue la misma dirección.
Matrices Cuadradas: matrices que tienen igual número de filas y columnas
Matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas encerrados en corchetes.
Media: Media aritmética. Es una medida de tendencia central. Es el valor promedio del conjunto de valores de una muestra. Resulta de dividir la suma del total de valores de una muestra entre el número de ellos.
Mediana: Medida de tendencia central. Es el valor que en una muestra divide el número total de frecuencias en dos partes iguales
Miembros: es cada uno de las dos expresiones algebraicas separado por el signo igual
Moda: Medida estadística de tendencia central y se refiere al valor que se presenta con mayor frecuencia de una distribución de valores de una muestra.
162
Muestra: Cualquier subconjunto de la población; si es representativa, inferimos de ella información para toda la población.
Ordenada: Segunda coordenada cartesiana de un punto:
Par ordenado: Par cuyos elementos están clasificados en un orden determinado.
Péndulo: Es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica
Población: Conjunto de los individuos de los que queremos estudiar una o varias características.
Radical: es roda raíz indicada de una cantidad
Raíz: Solución de una ecuación.
Rango: Medida de variabilidad en estadística. Es la diferencia del valor mayor y el valor menor de una muestra.
Sigma: Letra griega (σ). Es usado para denotar la desviación estándar. Con exponente 2, denota la varianza (σ2).
Sistema de ecuaciones lineales: Colección de ecuaciones lineales.
Término: es cada uno de los sumandos de un polinomio
Variable: Cada una de las características que estudiamos en los individuos
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