ISSN 0041 - 6932

REVISTA DE LA

UNION

MATEMATICA ARGENTINA

Director: Daría J. Picco

Vicedirector: Rafael Panzone

Redactores: . M. Balanzat, A. Calderón, E. Gentile,

E. Marchi, J. Tirao, C. Treja'

Secretaria de Redacción: M. L. Gastaminza

VOLUMEN 31, NUMERO 4

1984

BAHIA BLANCA

1985

UNION MATEMATICA ARGENTINA·

JUNT~ OIRE~TIVA:. Presidente: Dr. C.' Segovia Fernández; Vicepresidente 19: Dr. J. A. Tlrao; Vicepresidente 29: Ing. R. G. Ovejero; Secretario: -Dr. M. Balanzat; Prosecre~ario:. Dr. E. Lami. Dozo; Tesorera: Dra. T. Caputti; Protesorera: Dra. S. Braunstem; Director de Publicaciones: Dr. D. J. Picco; Subdirector de Publicaciones: Dr. R. Panzone; Vocales Regionales: Buenos Aires - La Plata: N. Fava; Centro: C. Sánchez; Cuyo: M. R. Berraondo; Litoral: C. Meritano; Nordeste: F. Zibelman· Noroeste: M. C. Preti; Sur: A. Ziliani. . ,

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29 SEMESTRE 1984 l. Este fascículo se pUblica mediante un subsidio del Consejo Nacional de InvestigacIones Científicas y Técnicas (CONICET).

REVISTA DE LA

UNION

MATEMATICA ARGENTINA

Director: Darío J. Picco

Vicedirector: Rafael Panzone

Redactores: M. Balanzat, A. Calderón, E. Gentile,

E. Marchi, J. Tirao, C. Trejo

Secretaria de Redacción: M. L. Gastaminza

VOLUMEN 31, NUMERO 4

1984

BAHIA BLANCA

1985

Revista de la 167

Unión Matem~tica Argentina Volumen 31, 1984.

REDUCTION OF CODIMENSION OF ISOMETRIC IMMERSIONS BETWEEN

INDEFINITE RIEMANNIAN MANIFOLDS

Marcos Dajczer

1. I NTRODUCT I ON.

Let f: Mn ~ Qn+p(c) be an isometric immersion of a connected in-s t

definite Riemannian manifold of dimension n and signature (s,n-s) into an indefinite manifold of constant curvature c. If 5=1 or

s = n-l, we say that Mn is a Lorentz manifold. By changing the sign s

in the inner products we may assume that 5=1. We say that the imme~

sion f is m-reguZar if the kth normal space of the immersion Nk sa­

tisfies: dim Nk = constant for k = l, ... ,m (see Section 2 for fur­ther definitions). The aim of this paper is to extend the main re­sult of [1] to the indefinite Riemannian case. We prove the follo­wing result

1.1. THEOREM. Let f: M~ ~ Q~+P(c) be an isometria immersion.

Assume that the aurvature tensor of the normaZ aonneation satisfies

(V1)m R1 ¡ 1 = O and that the mean aurvature veator satisfies Nm

(V1)m H e N Then there exists a totany geodesia submanifoZd Q* of m

Q~+p(c) of dimension n+k, where k = dim Nm, suah that f(Mn) e Q*.

2. PRELIMINARIES.

We denote by Mn a differentiable manifold whose tangent spaces have s

a nondegenerate metric of signature (s ,n-s) . Let us consider an i-

sometric immersion, f: Mn ~~ Mf+t of one indefinite Riemannian s t'

manifold into another. Given p E M, we identify the tangent space T M to M at p with df(T M) . The normal space T M1 is the subspace p p p of T M consisting of all vectors i';(p) E T M which are normal to T M p p p

with respect to the metric < , > of M. Let V (resp. V) be the co-

168

variant differentiation of the Levi-Civita connection in M (resp.M)

and v1 the covariant differentiation in the normal bundle of f.

Given ~(p) E TpMl, we define the second fundamental form of f rela­

tive to ~(p)

by the Weingarten equation:

where X E T M and ~ is any normal extension of ~(p). p

We shall denote the curva ture tensor o f V by R and tha t of v1 by R1 ,

Le.

R(X,Y)

and

We define the bilinear symmetric form

a: TMxTM---+TM 1 p p p

by the Gauss equation:

VxY VxY + a(X,Y) .

Then, the condition

<CI.(X,Y),~>

is satisfied,

If the ambient space has constant curvature, the following rela­

tions hold:

and

1 <R (X,YH,n> = < [A~,AnlX,y>, Ricci's equation .

A basis X1"",Xn of an indefinite inner product space with signat~

re (s,n-s) is called orthonormal if <X.,X.> = -8 1 < i,j < s, ~ J ij

If the vector space is a Lorentz space, then.a pseudo-orthonormal basis is one of the form z,Z,x1 , ... ,Xn_2 , such that <Z,Z> = O =

<Z,Z>, <Z,Z> = 1, <X.,Y.> ~ J

<Z,X.> 1 < i < n-2. ~

8.. 1';;; i, j < n - 2 and < Z , X.; > = O = ~J •

We define the mean curvature vector as

169

where X1"",Xn is an orthonormal basis of TpM.

We say that the immersion is totaUy geodesia if At;,

t;, E TM I .

Given p E M, we definethe first normal. spaae as

N1(p) = Span {a(X,Y)(p): X,Y E TpM}

We define the k th normal. spaae as

Nk(p) Span {a(X,Y)(p), VI a(X,Y)(p), ... ,vl w1 wk_l

o for al1

VI a(X,Y)(p)} wl

for k

M. 2,3, ... , where X,Y,w1, ... ,wk_1 are vector fields tangent to

A normal. subbundl.e of dimension k is a family L(p), for all p E M,

of vector subspaces of T MI of dimension k with the property that, p

for all q E Mn , there are an open neighborhood U of q and k differen­tiable fields t;,l, ... ,t;,k defined in U such that, for all p E U,

t;,l(P), ... ,t;,k(P) generate 1(p).

An immersion is said to be m-regul.ar if each Nk(p), for k =l, ... ,m

and for all p E M, has constant dimensiono It is easily seen that if an immersion is m-regular, then each Nk for k = 1, ... ,m is a normal subbundle.

If L is a normal subbundle, by (VI)m R1IL = O it is to be understood

that

for all X1"",Xm+2 E TM and all t;, EL.

Finally, if n is a section of the normal subbundle L, then

evl)m n E L means that

v~ n EL for all X1"",Xm E TM. m

3. PROOF OF THEOREM 1-1.

First, we recall the following indefinite version of a theorem of

Al1endoerfer-Erbacher (see [2], (31).

3-1 PROPOSITION. Let f: M: 1---+- Q~+P(c) be an isometrÚ 1:mmersion of

a aonneated indefinite Riemannian manifol.d into a spaae formo Ifthe

170

re exfsts a k-dimensional paraZZeZ normal subbundZe L(p) whiah aon­

tairls the first normaZ spaae N¡(p) for aH p E M~, then there exists

a (n+k)-dimensionaZ totaZZy geodesia submanifoZd (possibZe degenerE.

te) Q* of Q:+p(c} suah that f(M:) e Q*.

The following result i~ the main part of the proof of Theorem 1.1.

3-2. PROPOSITION. Let f: M~ ~ Q:+t(c) be an isometria immersion

that is m-reguZar in an open neighborhood U of a point p of M~. Then

N~+¡(p) {~E N{(P): ((V1)k Rl(~)) = O , (V1)k H(p) 1 ~ for

O ~ k ~ m}.

The proof of the following four lemmas is the same as in the posi tive definite case (see [1]).

3-3. LEMMA. Let M be an indefinite Riemannian manifoZd and ~,T1 vea­

tor fieZds defined in an open neighborhood U of a point p of M. Then, we have that

i) «V)k ~,T1> O for O ~k~m if and onZy if

<~,(V)k n> O for O ~ k ~ m.

ii) <:(V)k ~,n> O for O~k~m { < (V)m+l ~,n>(p) = o. if and onZy if

{ <~, (V)k n> = O for O~k~m

<~,(V)m+¡ n>(p) O.

3-4. LEMMA. Let f: M r-+ M be an isometria immersion that is m-re­gu Zar in: an open set U of M. Then, in U, we have that for r = 1, ••• ,m

~ E N; if añd onZy if A(Vl)k~ = O for O ~ k ~ r-1.

3-5. LEMMA. Let f: M ~ M be an isometria immersion that is m-re-

guZar in an open neighborhood U of a point

n E ~ l(P) if and onZy if there exists a P m+

suah that i) A 1 k = O for O ~ k ~ m-1 (V ) n

p of M. Then,

ZoaaZ extension n of n P

and ii) A 1 m = O . (V) n(p)

3-6. LEMMA. Let f: M ~ M be an isometria immersion and n a nor­

maZ veator fieZd defined in an open neighborhood U of a point p of

M. Then', we have that

i) if and onZy if

1 71

R1 (('i)k n) = O fo1' O ';;k';;m-1.

ii) { ( (171 ) k R1) (n) O O .;; k .;; m-1

((V'l)m R1) (n(p)) O • if and only if

{ R1 ( (171 ) k n) = O fo1' 0';;k';;m-1

R1((V'l)m n(p)) = O

PROOF OF PROPOSITION 3-2. First of all, we note that if s E ~(p),

then R1 (s) = O and H(p) 1 S. The proof will be divided in two parts, each of them showing one of the inclusions.

i) Let n E ~ I(P). By Lemma 3-5, there exists a local extension p m+

n of n such that p

A 1 k. = O for O';; k .;; m-1 (V' ) n

and A 1 O. (V' )m n(p)

By the Ricci equation, we may write

R1((V'l)k n) = O for O.;; k.;; m-1 and R1((V'l)m n(P)) O.

By Lemma 3-6 it follows that

3-7 ((171 ) k R1) ( ) np O for O.;; k .;; m .

By definition, one has that H E NI' Therefore, it is immediate that

3-8 (V'l)k H(p) 1 n for O.;; k .;; m p

Then, the first inclusion follows from (3-7) and (3-8).

ii) For this part of the proof we shall use induction. Using i), we

may suppose that the proposition holds for N1 for 1 .;; j .;; h. Let j

1 np E NI(p), which satisfies

3-9 O for O.;; k .;; h

and

(V'l)k H(p) 1 n for O.;; k .;; h . P

3-10

By the induction hypothesis together with (3-9) and (3-10), we thus

have np E N~(p). Let n be a local extension of np in ~. Then,

3-11 ((V'l)k R1 )(n) = O for O.;; k .;; h-1

and

3 -12

From Lemma 3-6, (3-9) and (3-11), it follows that

172

But this means that

<R1 (X, Y) (I,l . zh

o for all X,Y,ZI"",Zh E TM,

~ E T M l. p

By Ricci's equation

< [A 1 1 ' A~l X,Y> O. V ••• V n (p)

zh zl

In particular,

3-13 [A 1 1 1 n (p)

O for al1 V ••• V n (p)

zh zl

On the other hand, by Lernma 3-4

3-14 A 1 = O for O.;;; r .;;; h-l . (V ) r n

By Codazzi's equation applied to the normal vector field

v1 v1 n, we obtain Xh _ l Xl

3-14 A 1 v1 1 y A 1 v1 1 Z for al1

Vz Vx n Vy Vx n Xh_ l l Xh_ l l

Z , y , Xl' ... , Xh E TM.

From Lemma 3-3 together with (3-10) and (3-12) , it is clear that

3-15 <H(p) , (V1 )h n(p» = O.

We shal1 show that (3-13), (3-15) and (3~16) imply that

A = O. Then, from (3-14) and Lernma 3-5, we obtain that (V1 )h n(p)

np E ~+I(P) and the proposition follows.

Let ZI"",Zn be an orthonormal basis and io a fixed indexo From

Codazzi's

o = v1 Xh _ l

so that

equation applied to the normal vector field

v1 n, we obtain Xl

Z. Ó J

Z. ~ o

173

n n ¿ <Z. ,Z.><A 1 Zj ,Zj> í <Z.,Z.><A 1

j=l J J V l'l j=l J J V l'l Z. Z. 10 J

Then n 1 n

l <~~,Z.><a(Z.,Z.),VZ l'l> = í <Z.,Z.><A 1 j=l ,J ~ J i j =1 J J V l'l o Zj

Thus

From (3-16), we obtain that, at p

(3-17). n í <Z.,Z.> Al Z.

J·=l J J V l'l J Z, J

o

Z; ,Z. > 10 J

Zj,Zio>

If Y1' ... 'Yn is a pseudo-orthonormal basis, put in (3-17):

and Z. J

for 3 < j < n. Then, it

follows that

(3-18)

By Theorem 0.4 and Proposition 0.5 of [3], we need to consider four cases.

CASE 1. There exists a pseudo-orthonormal basis Y1' •.• 'Yn such that

Al Aj bj j j c3· .• Ck, o o o

O Al O Aj O ••• 0 o o Al Ik O j

A A c3 Vil'l

o o Vi.l'l A~ 1 J J

O ck o

1 A~ J AR.1k ·A~ R.

J

An easy cómputation shows that [A~,A~] = O for 1 < i,j < n. Let us 1 J

consider the positive definite subspace V= span {Y3 ' ... 'Yk } and o

the symmetric linear transformations Ai = V -+ V for i = 3,." .. ,n,

defined by

174

x-:- (X) 1

Since A~ 1

Ai for 1 ~ i ~ n, thus there exists an orthonormal basis

Y3' ... 'Yk o of V which diagonalizes simultaneously the matrices Ai

for 1 ~ i ~ n. The matrix A does not change for the new basis 111 o Y1

Y1 'Y2 'Y3 ' ... 'Yk 'Yk +1'· .. ,Y , and for the other matrices, we have o o n

(dropping the bar)

Aj b j a j o o 3

O Aj O o

O a j 3

yj 3

A 1 I1 y .

a j J O ko

From (3-15) , we obtain

i) for Z = Y1 and Y = Y2

A2 = 1 o

ii) for Z Y1 and Y Y. J

, 3 ~ j

A3 o

iii) for Z Y2 and Y Y. , 3 ~ J

a~ 2 J

Yj

From (3-18) , we obtain

iv) y~ O 3 ~ j ~ k J o

ko a~ v) Z + L O

j=3 J

From (3-16), we have that

A A A A 111 o 111 o 111 o 111 o

YZ Y. Y. Y2 J J

o

~k o

A ko o

~ k o

A~ J

O

• JI, A.

J

3 ~ j ~ n .

In particular, comparing the j~ element of the first line of both

175 ".

matrix products, we obt.ain

vi) 2' 2' . 2 2' A a~ + a. Y~ = AJ a. + YJ' a~

J J J o J J

From i), ii), iii), iv) and vi), it follows that

• • 2' a~ = (a~) ,

which is a contradiction to v). So case 1 is not possible.

CASE 2. There exists a pseudo-orthonormal basis Y l' ., .', Yn such that

Al O llj bj j j o cI"'~ +1

Al llj o

O O O O ••• 0

O 1 Al O cj A o. A 1

VitS AII Vi.tS Aj o ko o 1 J j O ~o+l

1 A~ AR.IkR. J • . A~

J

From (3-15). we have

Thus

A! Y2 + Y3

which is not possible. So Case 2 can not occur.

CASE 3. There exists an orthonormal basis Y1 •.••• Yn such that

al SI a. Sj J

-SI al -S. J

a j

alIk A~ A A J o

Al .yl tS 1 V1 tS Yl AIIk l Y. s J

. AR. 1

AR.Ik s R.

where SI ,¡. O.

From (3-15). we obtain

i) for Z = YI and Y Y2

176

From (3-17), we obtain

ii)

Then SI = O, which is a contr~diction. So case 3 is not possib~e.

CASE 4. There exists an orthonormal basis Y1 ' ... 'Yn such that

A Ik o o

It is easy to see that the basis can be chosen in such a way that

for 2 O;;; j O;;; n

where Aj (a j ) is a k x k matrix. k~ o o

From (3-15), it follows that

Y~ = O if s # t and ko+1 O;;; s,t O;;; n .

Then (3-17) implies that

yS = O for k +1 O;;; s O;;; n . s o

Using (3-15) for Z = Y. , 1 O;;; j O;;; k J

we obtaiJi

A O and 171 /) . Y t

Then, from (3-17), it folLows that

ko

o ,

yj t

and

O

¿ <Y . , Y . > <A 1 Y j , Y 1 > O. j =1 J J 17' /)

Y. J

Thus

Y Yt , k +1 o

O;;; t o;;;n,

177

ka L <Y. ,Y. ><A I Y. ,Y.> O

j=l J J V 8 J J Y1

SO we obtain -A + (ka -1) A O a a

Therefore, A = O or k 2. a a

If A = O, from (3-15) for Z =Y 1 and Y Yk , 1 ..;k..; k a a we obtain

k a 1n = O .

But then, all the matrices can be simultaneously diagonalized and the same argument as in the beginning of this case shows that they must vanish.

If ka = 2 , we have

A VI 8

Yl

From (3-15), we obtain

A o

From (3-17), we obtain

A o

Thus

which concludes the prooi.

[a ll

-a 12

o .

o

PROOF OF THEOREM 1-1. From Proposition 3-2, we ha ve

Thus

~+l(P)

It follows that Nm is a párallel normal subbundle and we can apply Proposition 3.2 to complete the proof.

REMARK. In fact, we proved that

178

o Nm is parallel if and only if

REMARK. The Theorem 1-1 remains valid if the immersion is m-regular

in an open connected and dense subset of Mn . s

REFERENCES

[1] DAJCZER,M.:Redue~~on 06 ~he Cod~men~~on 06 Re9u!a~ l~ome~~~e Imme~~~on~. Math. Z. 179 (1982), 263-286.

[2] ERBACHER,J.: Redue~~on 06 Cod~men~~on 06 I~ome~~~e Imme~~~on~. J. Diff. Geometry (1971), 333-340.

[3] MAGID,M.: l~ome~~~c. Imme~~~o~ 06 Lo~en~z ~paee w~~h pa~a!!e! ~eeond 6undamen~a! 60~m~. Tsukaba, J.Math.8 (1984), 31-54.

IMPA - Instituto de Matem~tica Pura e Aplicada Estrada Dona Castorina, 110 CEP - 22 460 Rio de Janeiro, RJ - Brasil.

Recibido en diciembre de 1980. Versión final diciembre de 1984.

Revista de la UniSn Matemgtica Argentina Volumen 31, 1984.

LA VARIEDAD DE DISTANCIAS ENTRE PUNTOS

Patricia Fauring, Flora Gutiirrez y Angel Larotonda

179

En cuestiones vinculadas con las configuraciones centrales, intere­sa establecer las relaciones existentes entre n puntos distintos

xl"" ,xn en R3 y sus distancias mutuas t ij = I xi-x j I ([1], § 357) ;

esto suele hacerse utilizando recursos de geometr~a m~trica (como en [2], ch.IV mediante los "determinantes de Cayley-Menger").

En la presente nota se replantea el problema en t~rminos de espa­cios homog~neos bien conocidos.

1. FORMAS CUADRATICAS SEMIDEFINIDAS POSITIVAS.

Si E Y V son espacios de Hilbert reales, indicamos con L(V,E) al espacio de Banach de todas las aplicaciones lineales continuas V -+ E; Q(V) designará al grupo ortogonal de V (subvariedad cerra­da de L(V, V)), mientras que O(V,E) será la variedad de Stief,el de tipo V asociada a E, es decir, el conjunto de las aplicaciones li­neales u: V -+ E "isom~tricas", lu(x) I = Ixl para todo x E V.

Notemos que u E Q(V,E) equivale a decir que u E L(V,E) y que u*u .= Iv (donde u* indica el adjunto de u); se sabe que Q(V,E) es una

subvariedad cerrada de L(V,E), cuyo espacio tangente en uOEQ{V,E)

se identifica al subespacio {a: a*uo + uSa = O} de L(V,E).

La operación aizquierda (a,u) -+ ua de Q(V) sobre Q{V,E) da lugar al fibrado principal

Q{V) -+ Q(V,E) -+ Gv(E) (1)

donde Gv(E) es la variedad Grassmaniana de los subespacios de tipo

V de E.

En el subespacio cerrado H(V) e L(V,V) formado por las aplicaciones lineales autoadjuntas (es decir f = f*) consideramos el cono cerra­do H+(V) formado por las aplicaciones positivas, es decir las que verifican <f(x) ,x> ~ O para todo x E V. Vista la identificación de formas cuadráticas ~continuas sobre V- con ,elementos de H(V) , H+(V).

180

corresponde a las formas cuadráticas (semidefinidas) positivas.

También interesa el cono GH+(V) = GL(V) n H+(V) , que es un conjunto

abierto en H(V) -esto es evidente si dim V < 00, y en el caso gene­ral basta recordar que si h E GH+(V) entonces O f/:. Sp(h) e [m ,00) do!!.

de m = inf{<h(x) ,x>, Ixl = 1} Y por 10 tanto para un E > O conve-. +

niente será: IIh-fll < E, fE H(V) ~ fE GH (V)-.

Con Mono(V,E) designamos al subconjunto de L(V,E) formado por las

aplicaciones inyectivas con imagen c~rrada (es decir, los isomor­fismos de V sobre subespacios de E); se trata de un subconjunto abierto de L(V,E).

El producto (o composicion) permite definir una aplicaci6n

a: O(V,E) x GH+(V) ~ Mono(V,E) (2)

por a(u,h) uh.

1.1. LEMA. La apZicación a es un difeomorfismo COO

Demostración. Que a es COO es evidente; la inversa de a se obtiene

por el siguiente procedimiento: dado f E Mono(V,E), a-l(f) =

= (fh-l,h) donde h E GH+(V) es la única soluci6n de h2 = f*f. Note­

mos que f*f E H+(V) trivialmente; asimismo es evidente que f*f es

inyectiva, mientras que f(V) e Ker(f*) = E muestra que f*f es sur-

yectiva. Esta construccion muestra además que a- l es COO, por serlo

g -+ gl/2 de GH+(V) en GH+(V).

El lema 1.1 no es otra cosa que una reformulaci6n de la "descompo­

sici6n polar" de un monomorfismo. En particular si f: VI -+ V2 es

un isomorfismo continuo, la descomposici6n polar f = uh nos provee de una isometría u: VI -+- V2 , Usando esto se produce enseguida un

difeomorfismo COO de O(V2 ,E) sobre O(VI,E) -por composici6n de U-,

En consecuencia la variedad O(V,E) depende del espacio V más que

del producto interno específico que se utiliza en su definici6n: productos internos equivalentes en V dan variedades difeomorfas.

Por ello tiene sentido escribir O(k,E) = O(Rk,E) sin especificar ex

plícitamente el producto interno en Rk , que en general se supondrá

que es el canonico.

Ahora, si V y E son espacios de Hilbert, designamos con L(k,V,E) (k ~ O) al subconjunto de L(V,E) formado por las aplicaciones de

rango k, esto es: dim f(V) = k. Asimismo ponemos H:(V) = H+(V) n L(k,V,V) ("formas cuadráticas positivas de rango

k") .

181

El resultado siguiente es conocido (ver por ejemplo [3], 1.1):

1.2. PROPOSICION. Para todo k ~ O, L(k,V,E) es una subvariedad de

L(V,E);ademds, para aada p~ O eZ aonjunto UL(k,V,E) es aerrado k.,;p .

en L(V,E).

Demostraaión. Sea fo E L(Y,E) tal que dim fo(V) = k; si No = Ker(fo),

So = ~, Wo = fo(V) entonces fo(No) = O Y folSo: So -+ Wo es un

isomorfismo.

Por composici6n con los correspondientes proyectores e inclusiones se obtiene un isomorfismo

que representa a cada f por la matriz de transformaciones

(3)

Sea U el subconjunto de L(V,E) formado por las f para las cuales a f E Iso(So'Wo); como este conjunto es abierto en L(So'Wo)' y como

la aplicación (3) es un isomorfismo, resulta claro que U es abier­to en L(V,E). Adem~s es evidente que fO es un elemento de

U n L(k,V,E). Un argumento sencillo muestra que

(4)

Utilizando (4) se obtiene sin dificultad un mapa

dado por f -+ (af,bf,c f ), estableciendo la primera parte de la te­

sis. (Notemos que Iso(SO'WO) ~ GL(Rk)).

Para la segunda afirmaci6n basta probar que la aplicaci6n f -+ dim(f(V)) es semicontinua inferiormente, de L(V,E) en N U {oo}.

Pero si dim fo(V) ~ r y ~ = Ker(fo) hay entonces r vectores xi en

No tales que fo(x.). es linealmente independiente; sea S el sub-1 1Sr .

espacio generado por los xi' Es di~(S) = r, y el conjunto

U = {f E L(V,E): fls E Mono(S,E)} es abierto en L(V,E). Claramente fo E U Y dim f(V) ~ r para toda f E U lo que completa la demostra-

182

ción.

Análogamente resulta

1.3. PROPOSICION. Para cada k ~ O, H~(V) es una subvariedad de

+ H(V) y para cada p ~ O, el conjunto U Hk(V) es cerrado en H(V) . k.,;p

Demostración. El esquema es el mismo que el de la proposlclon an­

terior: si fo E H~(V) sean No = Ker(fO), So = ~ = fo(V); cierta­

mente folso E GH+(So)'

En la repr~sentación (3) se tendrá ahora

mediante

f ___

raf b*

. f

Consideramos U = {f E H(V): a f E GH+(So)}' entorno abierto de fo

en H(V); como en la proposición anterior se tendrá

+ y se obtiene un mapa para Hk(V) poniendo

U n H~(V) -+ GH+(So) x L(No'So) ( 6)

vía f -+ (af,b f ). El resto es idéntico a la proposición anterior.

Ahora para dos espacios de Hilbert V y E podemos definir una apli­

cación de clase COO mediante

s: L(k,V,E) --- H~(V) ( 7)

donde S(f) = f*f.

1.4. PROPOSICION. Si k ~ dim(E), la aplicación S es una fibración

localmente trivial cuya fibra tipo es O(k,E).

Demostración. Sea fo E H~(V), con So = fo(V) y No = S~ de acuerdo con la proposición anterior, el conjunto

~ = {f E H~(V): IToflSo: So -+ So es isomorfismo} es un entorno

abierto de fa en H~(V).

183

.Definimos una trivializaci6n de S sobre n mediante

donde T(g) = (g*g, ~(g)) con ~: s-len) -+ O(So,E) la única aplica­

ción eoo definida por el procedimiento siguiente:

como g = (gO,gl) con gO: So -+ E, gl: No -+ E, * S --+ So es gogo O elemento de + único GH+(So) un GH (So), luego hay un h E tal que

h2 = *-gogo· Entonces ~ (g) = goh -1

So --+E trivialmente iso-es una

metría de So en E.

Que T es un difeomorfismo es claro, ya que su inversa se obtiene haciendo

como sigue:

f c. Consideramos el único

1.5. COROLARIO. Si dim(E)

do p1'incipa l

r, la aplicación S deviene en el fib1'a-

O(E) -+ Epi(V,E) --+ H+(V) r

Mencionemos asimismo que si k = dim(V), 1.4 reproduce 1.1.

2. ALGUNOS FIBRADOS INTERESANTES.

En lo que sigue V y E serln espacios de Hilbert, V de dimensión fi

nita n-1, en el cual se supone fijada una base ortonormal

al,···,an_1 ·

Definimos una aplicación lineal

'11: En -+ L(V,E) ( 8)

n-l n-l poniendo W(x) (I tiai ) = I ti (xi-xn), y definimos también una

i= 1 i= 1

operación de E sobre En mediante

(9)

El siguiente hecho es trivial:

184

2.1. LEMA. a) La apZiaaaión ves un epimo.rfismo. auyo. ndaZeo. es eL

subespaaio. diago.naZ {(x,x, ... ,x): x E E} de En.

b) v(x) = v(x') equivaZe a a * x = x' para un aniao. a E E.

c) En/E se identifiaa mediante Vao.n L(V,E).

Ahora sea q: L(V,E) ->- H+(V) la aplicación cuadrática dada por q(f) = f*f; por composición con (8) se obtiene la aplicación cuadrá tica

(10)

Notemos que ~(x) tiene como matriz en la base a1, ... ,an_1

(1 .;;; i, j .;;; n-1) ( 11)

Si E~ e En indica el subconjunto de En formado por los xl'··· ,xn

tales que la variedad lineal afín [xl' ... ,xn] generada por ellos

tiene dimensión exactamente k, resulta de 2.1 (cf.l.2):

2.2. PROPOSICION. a) Para to.do. k ~ O. E o.pera (mediante (9)) so.bre

n Ek"

b) En es una subvariedad de En y V induae un difeo.mo.rfismo. k

~: E;¡E ::; L(k,V,E).

c) Para aada p ~ O eL ao.njunto. U E~ es ~errado. en En. kSp

Del mismo modo, usando 1.4 se obtiene:

2.3. PROPOSICION. Si k.;;; dim(E), Za apLiaaaión ~k: E~ ->- H~(V) de­

fine una fibraaión Zo.aaZmente triviaZ. ao.n fibra tipo. eZ espaaio.

E x O(k,E).

En partiauLar. si r = dim(E) se o.btiene un fibrado. prinaipaL

E x O (E) ->- E~ ->- H; (V) ao.n e Z grupo. E x O (E) o.perando. so.bre En m,e­

diante Za aaaión diago.naZ. (Nótese que en taZ aaso. En es abierto. en r

Ahora es muy fácil demostrar el teorema de Schoenberg ([2], 43.1):

2.4. PROPOSICION. Sea E un espaaio. de HiZbert. sea O .;;; k .;;; dim(E) y

sean t ij ~ O (1 .;;; i,j .;;; n) taZes que t ii = O, t ij = t jf para to.do.

i,j. Ento.naes so.n equivaZentes Zas siguientes afirmaaiones:

a) Existen xl' ... ,xn en E que verifiaan: i) La dimensión de Za va-

185

riedad lineal af{n [Xl' ... ,Xn1 es k;

i, j .

ii) Ix.-x.1 1 J '

t ij para todo

b) La matriz a () E R(n-l)x(n-l) d f· ·d por a ij i,j<n e ~n~ a

a .. 1J 1. (t~ + t~ 2 1n Jn (12 )

es semidefinida positiva de rango k.

c) La forma cuadrática v -+ Q(v) = 1: i,j

t~. v. v. (definida sobre Rn) 1J 1 J

es definida negativa de rango_k sobre el hip~rpZano de ecuación n 1:

i=l v. = O.

1

Demostración. La equivalencia de a) y b) resulta de 2.3 puesto que

2 a .. = Ix.-x.12 + Ix.-x 12 - Ix.-x.12 = 2<x.-x , X.-X > expresa 1J 1 J J n 1 J 1 n J n que la matriz a es de la forma <Pk(x) (cf.(l1), V = Rn-l).

La equivalencia de b) y c) es rutinaria: si M es el hiperp1ano en n

Rn de ecuación 1: i=l

aplicación de Rn- l

v. 1

O, se interpreta M como el gráfico de una

en R. Más precisamente, sea j: Rn-l -+ Rn , n-l

j(vl' ... 'vn_l ) = (vl' ... 'vn_l , - .1: vi)' así que j es un isomorfis 1=1

mo entre Rn- l y M.

Ahora si a = (aij)i,j<n es la matriz definida a partir de los t ij . n-l mediante (12) y Sl K: R -+ R es la forma cuadrática asociada (es

decir, K(v) = 1: aijvivj ), entonces un cálculo simple muestra que i,j

~(v) -t Q(j(v)) para todo v E Rn-l. Luego K es semidefinida posi-

tiva si y sólo si QIM es semidefinida negativa.

La afirmación correspondiente al rango es también inmediata, ya que j es un isomorfismo.

NOTA. Si se pretende que los puntos x1, ... ,xn de 2.4 a) sean todos

distintos hay que agregar hipótesis a las afirmaciones b) y c), ya sea: t .. > O para todo i ~ j, o bien utilizando el hecho que

1J a ij = <xi-xn ' xj-xn > = <Pk(X)ij' imponer las condiciones

a .. > O 11 a .. + a .. > 2 a .. 11 JJ 1J (1..:; i,j ..:; n-1).

De otra forma, si I:J. es la diagonal generalizada enEu :

186

En_~ es una subvariedad abierta de Rn , establece por la acción de

E; la proposición 2.2 subsiste si se reemplaza E~ por E~-~ y

L(k,V,E) por L(k,V,E)~ (subconjunto formado por las aplicaciones de

de rango k que verifican O # f(a.) # f(a.) si i < j). 1. J

En 2.3 se debe reemplazar H~(V) por el subconjunto abierto formado

por las formas cuadráticas q (positivas, de rango k) que cumplen las condiciones

q(a.-a.)>0 si 1.,;;i<j.,;;n-1. 1. J

REFERENCIAS

[1] Wintner A., The ana!yz~ca! 60undaz~on~ 06 ce!e~z~a! mechan~c~, Princeton Math. Ser. 5 (1947).

[2] Blumenthal, L., Theony and app!~caz~on~ 06 d~~zance geomezny, O xi o r d Un iv. P r e s s. (1953).

[3] Koschore, U., ln6~n~ze d~men~~ona! K-zheony, Proc. of Symp. in Pure Math. Vol.XV (1970), 95-135.

Departamento de MatemStica, FCEN Universidad de Buenos Aires Pabellón I, Cdad. Universitaria, Cap. Fed. (1428) Argentina.

Recibido en diciembre de 1981.

Versión final diciembre de·1984.

Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.

FI~ITE TETRAVALENT MODAL ALGEBRAS

Isabel Loureiro

187

ABSTRACT. We prove that a finite tetravalent modal algebra is deter­

mined, up to an isomorphism, by its determinant system, applyingthe results of [4] .

INTRODUCTION.

It is well known that a finite distributive lattice A is determined, up to an isomorphism, by the ordered set u of all its prime elemen~ [1] . Similarly, a finite De Morgan algebra A is determined by its d~ terminant system [5,6,8] . The aim of this paper is characterize the determinant system of a finite tetravalent modal algebra A and ob­

tain from it the structure of A.

Recalling from [3,4] we have:

1. DEFINITION. A tetravalent modal algebra <A;A,v ,-,í!, 1> or, simply A, is an algebra of type (2,2,1,1,0) satisfying the fo11owing axioms:

Al) xlI(xvy) = x A2) xlI(yvz) = (ZIIX) V (y IIX)

A3) --x = x A4) -(XllY) = -xv-y

AS) -Xví!x A6) XII-X -XIlí!X

Let A bea finite tetravalent modal algebra and <u,l> its prime spe~ trum [4]. In this case, it is well knownthat a prime filter P of A is a principal filter P = F(p) where p is a prime element of A [2]. Therefore we sha11 identify the set u with the family of a11 prime elements of A. We can also identify the Birula-Rasiowa transforma­tion associated with A [4] , 1, with a map 4> from the set u of a11

prime elements of A, into itself. If p E u, 4>(p) is the generator of the principal prime filter I(F(p)) = F(q), i.e., 4>(p) = q E u. Thus 4> has the following properties:

1) 4>(4)(p)) = p for each p E u.

2) If P1,P2 E u and P1 ~ P2 then 4>(P2) ~ 4>(P1)'

188

2. DEFINITION. The eouple <n,~> is the detepminant system of .the fi nite tetravalent modal algebra A .

. An immiediate eonsequenee of theorem 3.8 of [4] is the following re­sult, whieh gives us the eharaeterization of the determinant system of a finite tetravalent modal algebra:

3. THEOREM. The detepminant system <n,~> of a finite tetpavaZent

modaZ aZgebpa A, has ~-connected components of the thpee foZZowing

types:

Type I: !J p with Hp) p.

Type II: {X ~ with Hp) q and Hq) p.

Type III: pO~q with Hp) q and Hq) p.

Following the work of A.Monteiro in [5,6,8], let us show that it is possible to Tecover the operator V· from the·knowledge 0:1; the deter­minant system of a finite tetravalent modal algebra A.

From [4] we reeall the following lemma, that will simplify the proofs of next results:

4. LEMMA [4]. Let A be a tetpavaZent modaZ aZ'gebpo., a E A. If P is

a ppime fiZtep in A, then Va E P iff a E P op a E ~(P).,

We have then:

5. THEOREM. In a finite tetpavaZent modaZ aZgebpa A with detepmi­

nant system <n,~>, if p E n, then Vp = pv~(p).

Ppoof. Let us prove that we ha ve (a) pvHp) <; Vp. From [4] we know that (b) p<;Vp. 5inee p E n, P = F(p) is a prime fil­ter in A. Let us suppose that (e) Hp) .¡;;, Vp; it follows then (d) Vp ~ F(~(p)) = t{P), From (d), by lemma 4, it follows P ~ t{t{p)) = P, whieh is a eontradietion. 50 we get ~(p) <; Vp and we have (a) as wished •

. Let u's suppose that (e) pvHp) < Vp holds. It is well known, in lat tiee theory, that in this eondition, there is a prime filter Q=F{q) in A sueh that:

(f) Vp E Q and (g) pv~(p) ~ Q.

From (f) and lemma 4, it follows either eh) p E Q or (i) p E t(Q) . 5inee (h) eontradiets (g), we have (i), whieh is equivalent to O) P ~ t(Q). Applying lemma 2.4 of [4]' to eondition (j), we get either

189

(!) P = <ll (Q) or (m) <ll (P) = <ll (Q). From (l), we have p c' rp (q), thus

rp(p) = q and so rp(p) E Q, which contradicts (g). From (m) we get P = Q, so P E Q, that al so contradicts (g). Therefore we cannot ha­ve condition (e); hence, from (a) it follows that pvrp(p) = ~p.

From the aboye result, we then have:

6. THEOREM. Let A be a finite tetravalent modal algebra whose deter

minant system is <TI,rp>, If x E A , we have:

1) If x o then ~x O.

2) If x -F O then ~x V (pvrp(p)), where TI(x) {p E TI: p .;;; x}. pe:TI(x)

Proof. Let x E A. 1) If x=O, by definition O = -1 [3]. Using axiom

A6 ) we have O A 1 = 1 A ~O, thus O = ~O, so Vx = O.

2) Let X-FO. It is well known that: (a) x = V P [2] pe:TI(x)

Since ~(avb) ~a v ~b [3], from (a) i t follows: (b) ~x V ~p. pe:TI(x)

From (b) and theorem S, we finally have:

~x - V (pvrp(p)). pe:TI(x)

Now we can prove the main result of this paper, which justifies the

given name of determinant system of a finite tetravalent modal al­gebra:

7. THEOREM. Let <rr,rp> be a couple formed by a finite ordered set rr(';;;) and an anti-isomorphism rp from TI into rr which is an involution

of rr, such that its rp-connected components are of the three types

of theorem 3. Then, there is up to an isomorphism, a finite tetra­

valent modal algebra A whose determinant system is<rr,rp>.

Proof. In these conditions, from [1,5,6,8] we ha ve at once that the­re is, up to an isomorphism, a finite De Morgan algebra A whose de­terminant system is <TI,rp>. Define an operator V over A:

Let x E A:

~l) If x=O, let ~O O,

V (pvrp(p)), where TI(x) {p E TI: p .;;; x} , pe:rr(x)

These formulas make sense, because rr(x) is a finite seto From the definition of the operator V, we get at once (1) x .;;; Vx.

We must prove that this operator ~ satisfies the two axioms AS) and

A6) from the definition of a tetravalent modal algebra.

190

a) Axiom As) -xv'íJx = 1 is verified:

Let us suppose that we had (2) -xv'íJx ,¡, 1. By [7], from (2) it fol­lows that there is a prime filter P of A, such that (3) -xv'íJx ~ P. From (3) we get: (4) -x ~ P; (5) 'íJx ~ P. Condition (4) is equiva­lent to x ~ -P, which is equivalent to (6) x E ~(P). But, applying lemma 4 to condition (5), we obtain x ~ P and x ~ ~(P) which contr~ dicts (6). Thus, condition (2) cannot hold and so axiom AS) is ful­filled.

b) Axiom A6) XA-X = -xA'íJx is verified:

From (1) it follows at once (1) XA-X ";;-XII'íJx. Let us suppose that we had (7) -XA'íJX ~ x A -x. Then it should be a prime filter P of A such that (8) -XA'íJX E P and (9) XA-x: ~ P. From (8) it follows (10) -x E P and (11) 'íJx E P. Applying lemma 4 to (11) we get either (12J x E P or (13) x E ~(P). Conditions (10) and (12) imply XA-X E P, which is against (9), so (12) cannot hold and we have (13). But this one is equivalent to x ~ -P which is equivalent to -x ~ P, which contradicts(10). Therefore we cannot have (7) and we get (11) -XA'íJX .,;; XA-X.

From (1) and (II) it follows that axiom A6) XA-X fied.

-XA'íJX is veri-

Therefore the operator 'íJ gives to A the required structure of tetra valent modal algebra.

191

REFERENCES

[1] G.BIRKHOFF, R'¿ng.6 06 Se.t:.6, Duke Math.Jour., 3(1937) 443-454.

[2] G.BIRKHOFF, Lat:t:.ic.e. t:he.oJtlj, Am.Math.Soc., 1948.

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[4] I.LOUREIRO, PJt'¿me. Spe.ct:Jtum 06 a t:e.t:Jtava.te.nt: moda.t a.tge.bJta, No­tre Dame J. of Formal Logic. Vol.24, N°3 (1983) 389-394.

[5] A .. MONTEIRO, A.tge.bJta.6 de. MoJtgan, Curso de Algebra de la Lógica 111, Univ.Nac.del Sur (Bahía Blanca, Argentina) (1962) l°sem.

[6] A.MONTEIRO, Conjunt:o.6 gJtaduado.6 de. Zade.h, Técnica 449/450 Vol.XL (1978) p.II-34.

[7] A.MONTEIRO, F.¿.tt:Jto.6 e. lde.a'¿.6 11, Notas de Matemática N°S. Col. L.Nachbin, Rio de Janeiro, 1959.

[8] A.MONTEIRO, Mat:Jt'¿ce..6 de. MoJtgan caJtact:éJt'¿.6t:'¿que..6 pouJt .te. ca.tcu.t pJtopO.6.¿t:'¿onne..t c.ta.6.6'¿que., An.Acad.Bras.Cienc.32, N°l (1960), 1-7.

Recibido en febrero de 1982.

Versi6n final octubre de 1984.

C.M.A.F. 2, Av.Gama Pinto, 1699 Lisboa Codex, Portugal.

Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.

THE UNIQUENESS OF THE COVARIANT DERIVATIVE

Ricardo J. Noriega

1. I NTRODUCT I ON.

192

It is very well, known that with the components u i of a covector, its

partial derivatives u .. and the components of a linear connection 1.,J

i r jk we can form a 2-covariant tensor, the covariant derivative of

the covector relative to the connection, whose components are:

(1. 1)

It is also known (for instance, see [4], pp.308-312) that the ass~ tion of the product rule and (1.1) define univocally the covariant derivative of any tensor of any type. In the classicaltensor anal:r. sis, the covariant derivative is motivated by the requirement that it must be linear in u. and u .. , and the transformation rule for

1. 1. ,J

the connection is derived from the assumption that the covariant de rivative is a tensor of type (1.1).

In this paper we prove a sort of a reciprocal. We show that, assu­.ming linearity in the partial derivatives only and up to the order of the indices, the covariant derivative is the only 2-covariant tensor concomitant of a covector, its first partial derivatives and a symmetric connection. We do this essentially by working out the invariance identities [3] that tensorial concomitants must satisfy.

2. CONCOMITANTS OF A COVECTOR.

2. a) SCALARS

Let L be a scalar concomitant of a covector, i.e., L

for any change of coordinates

it must be:

L(u ) p

(2.1 )

(2.2)

193

where B~ axi/axP. Differentiating (2.2) with respect to B: and

l oa a °b °b slonce 10t eva uatlng at Bb = (\ we have L' ua = O, where L' = aL/all¡" and

must be satisfied for every covector, we deduce L;b = O. But then:

and so L is a constanto

2. b) TENSORS OF TYPE (1.1)

Let L~ be a concomitant of a.covector, i.e., L~

the change (2.1) it must be:

Lh(BP u ) = Bi Ah L~ (us ) k s P k j 1

(2 03)

where A~ is the inverse matrix of Bh i e B~ Aj óh . For the chan J j' o o, J P P

ge of coordinates given by xi = Axi (A # O) we have from (203):

Making A + O en (2.4) we see that L~ (us )

aLh _k_ = O aU i

L~ (O), and so:

No~ we differe·ntiate (2.3) with respect to B: and set B~ tain, from (2.5):

Contracting b z i, we have:

(2.4)

(2.5)

15 8 to ob b.

where a is a scalar concomitant of ui and so it is a constant, i.e.,

a isa real number. Making f3 = a/n we see t.hat it must be, forany (1,1)-tensor concomitant of a covector:

(2.6)

2. c) TENSORS OF TYPE (2.2)

Let L~~ be a concomitant of a covector ti i , i.e., L~~ L~~ (u i ) . 1J 1J

Then, for the change (2.1), it must be:

L~~ (BP u ) = P B~ Ah Ak Lst (u) (2.7) 1J S P Bi J s t pm

194

-i For the change of coordinates given by x Ax i (A # O), we have from (2.7):

L~~ (A u ) = L~~ (u ) 1.J P 1.J P

(2.8)

Making A ... O in (2.8), we see that L~~ (up ) 1.J L~~ (O), and so: 1.J

aL~~ ~

3u p

O (2.9)

Now we differentiate (2.7) with respect to B: and evaluate at B: o: to obtain, from (2.9):

O = o~ Lh~ + o~k L~~ - oh L~~ - Ok L~~ 1. aJ J 1.a a 1.J a 1.J

Contracting b i we have:

Since L~~ and L~~ are tensors of type (1,1) concomitants of a covec-1.J 1.J

tor, they must satisfy (2.6). Then:

(2.10)

CJ. and S being numbers. Changing h and a, we have a similar equation.

Multiplying (2.10) by n and substracting y the latter, we obtain

and so, for n # 1, the concomitant Lh~ must be of the form: aJ

(2.11)

with CJ. and S real numbers. From (2.10). the same is true for n = 1.

Others concomitants of a covector have been studied elsewhere [2],

but we will only need (2.11).

3. THE COV~RIANT DERIVATIVE.

Let L .. be a 2-covariant tensor concomitant of a covector, its first 1.J

partial derivatives and a syrnmetric connection, i.e.,

If we assume that L .. is linear in uk h' then it must be: 1.J ,

195

L. ~hk (U s ' r i ) 1.J S t

It is known (see [1), Theorem A.2) that then it is: L;hk

and so from (2.11) we see that

Integrating we obtain:

h L .. = a. u .. + i3 u .. + T1.'J' (uh ' r ko ) 1.J 1.,J J,1. ~

From the transformation rule for Lij it is easy to obtain:

(a.+i3) B!k u i + Thk (B! u i ' A! B~ t + A! B~ B~ r;m) =

= B! B~ Tij(us ' r!t) ,

L~~k (us), 1.J

(3.2)

(3.3)

where B~k

and setting

02xi/oxh oxk . Differentiating (3.3) with respect to Bb~ i i

Bj = OjO we have:

(a.+i3) 1 (·.ob .oe + .oe .ob) T ' be O 2 u h u k u h u k ua + hk a = , (3.4)

where Th~ b~ = oThk/or~e' From (3.4) we see that, if {b,c} # {h,k},

then it is . be Thk a = O. Also from (3.4) we have:

hk . kh 1 Thk ' a = Thk ' a = -2 (a.+i3) ua

(no summation convention here for h and k). Integrating ap.d taking into account the symmetry of the connection:

0.5)

Replacing (3.5) in (3.3) we obtain the following:

THEOREM. If Lij = Lij(ui;Ui,j; r!k) is a aonaomitant of a aoveator.

its first partiaZ derivatives and a symmetria aonneation. and if it

is Zinear in the u ..• then it must be 1.,J

where the vertiaaZ bar stands for the aovariant derivative reZative

to the given aonneation.

196

REFERENCES

[1] Mc KELLAR, A connec~~on app~oach ~o ~he E~n~~e~n-Maxwell 6~eld equa~~on~, Gen.Rel.Grav., vol.6, pp.467-488, 1979.

[2] NORIEGA,R.J., Ten~o~e~ deduc~do~ de o~~o~ ~en~o~e~ y de ~u~ de­n~vada~ dnd~na~~a~. Rev. Univ. Nac. Tucum~n, A, mat.fís"teor., vol.25, nOl-2, pp.89-112, 1975.

[3] RUND,H., Va~~a~~onal p~oblem~ ~~volv~ng comb~ned ~en~on 6~eld~. Abh.Math.Sem.Univ. Hamburg, 29, pp.243-262, 1966.

[4] SANTALO,L,A., Vec~one~ y ~en~one~ con ~u~ apl¿cac~one~, EUDEBA, Buenos Aires, 1961.

Departamento de Matem~tica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires.

Recibido en abril de 1982.

·Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.

A NOTE ABOUT THE CONSISTENCY OF AN INFINITE

LINEAR INEQUALITY SYSTEM

M.A .. Goberna, M.A. L6pez and J. Pastor

197

ABSTRACT. The consistency of an infinite linear inequality system

is formulated through an optimization problem which, in sorne parti­cular cases, is a simple nonlinear prográmming problem.

1. I NTRODUCT I ON.

Let {a~x ~ St' t E T} be a system, generally infinite, of linear

inequalities over Rn (a t E Rn , St E R). Let us denote by S the set

of solutions of this system. If S ~ 0, the system is said to be consistent.

A relation a'x ~ S is a "consequence" of the system {a~x ~ St' tE T}

if it is satisfied for all x E S.

We have proved the following characterization of the consequence r~

lations: "a'x ~ S is a consequence of the consistent

{a~x ~ St' t E T} if and only if [;] E cl Ke", where

Yt ~ St' t E T} denotes the convex cone generated by

system

Ke = K { [~~] , such vectors,

cl Ke being its closure. Different proofs of the last statement are gi ven in [2] and [3].

We have also obtained, for the homogeneous case, the following cha­racterization: "a'x ~ O is a consequence of the system {a~x ~ O , t E T} if and only if a E clK{a t , t E T}".

We shall consider sets included in sorne space RP, 11 xII being the cor . R2 1/2 responding euclidean norm of x, Le., 11 xII = [ L (x.)] .

i=1 1

Given a non empty set T e RP, we shall denote by int T, ri T and

bdry T the topological interior of T, the relative interior of T

and the boundary set of T, respectively.

198

2. THE CONSISTENCY AS AN OPTIHIZATION PROBLEH~

LEMMA 1. The system {a~x ~ St' t E T} is aonsistent if and onZy if

[~lJ ft el Ke·

Proof· Let us suppose that e~J be10ngs to el Ke. This means that

the relation O~x ~ -1 is a eonsequenee of the given system. if we

assume S ~ 0. But this eonstitutes a eontradietion.

Let us suppose now S = 0. Then. the system {a~x+StXn+1 ~ O • t E T}

xn+1 < O

is not eonsistent. Therefore -xn+1 ~ O is a eonsequenee re1ation of

{a~x+StXn+l ~ O, t E T}, or equiva1ent1y. [~~J E el K { [:~J. te T} e

e el Ke.

REMARK. By means of this resu1t. it is possib1e to give simp1er proofs of some properties of ineonsistent systems a1ready known, sueh as a theorem due to B1air [1] and the 1emma 1 of Jeros10w and Kortanek [4].

THEOREM 1. Let a be defined as inf{xn+1 ; x

Then S ~ 0 if and onZy if a > -~.

[X . ] E Ke' 11 xII Xn+1

1}.

Proof. Jf a = -~, then there is a sequenee ir. r = 1,2 •••.• ine1u

ded in Ke' sueh that IIxrll = 1 and l!m x~+1 = -~.

We ean admito with no 10ss of genera1ity. that x~+1 < O. r = 1,2, ...

. 1 r 1-1 - r S1nee xn+1 x. r = 1.2, ... is a1so eontained in Ke and eonver-

ges to [~~J, we ean assert that [~lJ E el Ke' i.e .• the system is not

eonsistent:

Let us suppose now that [~~J E el Ke. The set ri (el Ke) is non­

vaeuous. Jf the given system is not trivial there is a point y E ri (el Ke) sueh that y ~ 0n.

Sinee Ay + (l-A) [~lJ E Ke for a11 real number A. O < A ~ 1 (lemma

of aeeesibili ty). we have xr: = 11 yH -1 [y + (r-1) [~~J] E Ke' r = 1,2 ••• ;

But IIx~1I = 1 and xn+l = lIyll-l(Yn+1+1-r1. r = 1.2,... Henee a = -~

REMARK. We ean take K{ [:~J . te TJ instead of Ke in 1emma 1 and Th.l.

199

Z Z 2 l/Z Z EXAMPLE. Let S := {x E R ; (1+(t 1) +(t 2)) X1 +t 1X2 ';; t 2 , tER}.

It can be easi1y seen that K{[:~J, t E RZ} =

= {x E R3 ; -(x1 )Z+(xZ)Z+(x3 )Z.;; O}. Then IIxll- 1x3 ;;;' -1 for all

x E K{[::J, t E RZ} , x F O2, Hence cr ;;;. -1 and S F 0.

In sorne cases the near Prograrn (P):

optimization prob1ern can be reduced to a Non1i-

Inf. St }

S.t. a t = 0n' t E T

Let. v be the va1ue of P. As usua11y, v = +00 if P has not a feasib1e point.

LEMMA 2. If T is a aZosed aonvex set in Rm, with dirn T > O , there

are a aonvex funation f and a famiZy of Zinear funations.

{h i , i 1, ... ,p}, p = rn-dirn T, su ah that:

(1) T O , i 1 , 2 , ••• ,p-}, and

(2) feto) < O fop some tO E T.

Proof. We sha11 distinguish twocases in the proof.

(i) dirn T m. We can suppose, with no 1055 of genera1ity, that 0n E int T. Let us denote by q the Minkowsky functiona1 of T. Then,

by a wel1 known property of q, we have T = {t E Rm; q(t) .;; 1}. If we define f(t): q(t)-l, we obtain the desired representation of T.

(ii) dirn T = rn-p, p > O. Choosing a point tI E ri T and denoting

by L1 the linear subspace of Rm generated by T-t 1 we can write

Rm L1 al Lz' By (i) , there is a convex function g: L1 ---+ R such

that T-t 1 {t E L1 ; g(t) .;; O} and g(O ) < O. lf we define m-p

f: Rm --+ R such that f(t) = g(t~), where t ll is the projection of 1

t on L1 , we can easi1y obtain the desired representation.

THEOREM 2. Let {a~x .;; St' t E T} be a system suah that:

(i) T is a aompaat aonvex set in Rm.

(ii) St is aonvex and aontinuous on T.

(iii) a t

is Zinear.

Then, the system is aonsistent if and onZy if v ;;;. O.

Proof. First we shall prove that v < O irnp1ies S ,;, 0. Under the hy-pothesis, there is sorne t E T such that a O and v 8_ < O. If

t n t

there is a point XO E S, then a' XO = O .;; 8 < O. t t

200

Por the converse statement, let us assume S = 0 or, equivalently,

[~1] E el Kc· Then, we can find a sequence (xk) e Kc with l~m xk

being :xk 1: tET

( Ak) E R(T) and t tET +

~k ~ O. It follows that ll"m{ 1;'0 ,k[Oa t ] + (1 k) [OnJ} ¿ A +~ 1 = 0n+l· Since

S = 0 , i3 := min i3 t < tET

that, for all k ~ kE,

Hence 2 k 1-E At ~ m > ° tET

and

= 0n+l. Let us define

k tET t i3 t

O. For each E, ° <E < 1 , there is a kE such

( 1: A~)i3 + 1 .;;; 1: Ak i3 + 1 + ~k .;;; E. tET tET t t

, for all k ~ kE , and if we define

, we have lim{ 1: >:k[a t ] + a k [OlnJ} k tET t i3 t

1;' ~k t k := ¿ A t E T. As a consequence of the tET t

hypothesis on the functions, 1: >:~ a t = a t and ¿ >:k i3 t = i3 t +yk tET k tET t k

for a certain yk ~ O.

Taking 6k := ak+yk > 0, we obtain

Since (tk ) e T, let (t j ) be a subsequence converging to t o E T,

and, by continuity,

Therefore (6 j ) ~s convergent. Let 6° , 6° ~ O. It results

[:::] + 6° [~nJ = 0n+l' 1. e., ato

and i3 t = _6°.

°

0n (t o is a feasible point )f P)

If 0° is greater than zero, then v .;;; i3 t < O. If 0° = 0, then v';;; O.

° We have to consider just the case 0° = 0, v ~ O. In this case, for

t E T, a t = 0n implies i3 t ~ O. By lemma 2, the feasible set of pro­

blem P can be represented as follows: {t E Rffi: f(t) .;;; 0, a t = 0n'

h(t) ° } p where f is convex, h is linear and there is a feasible

point t such that fe!) < ° (Slater's qualification).

By the well known necessary optimality conditionsfor the non-diffe­

rentiable nonlinear programming problem, there are multipliers

201

y = (A ,x ,u ) '- E Kl +n+p , A ;;;. O, such that (t ,y ) is a saddle o o o o o o o

point for the lagrangean function W(t,y) = St + Af(t) + x'a t +

+ u'h(t).

The right hand side inequality, together with the complementarity

condition, give O

t E Km. If t E T, it follows O ~ St + x~at' i.e.,

tradiction completes the proof.

-x E S. This con o

ACKNOWLEDGEMENT. The authors are indebtedto the referee for having suggested a shorter proof of ·lemma 2.

REFERENCES

U) BLAIR,C.E. (1974): A Note on In6-(.n-ite SyJltem.s 06 L-i.nea.1L Inequa.­l-it-ieJl -in Rn • Israel J. Math.~, 150-154.

[2) GOBERNA,M.A., LOPEZ,M.A. & PASTOR,J. (1981): Fa.ILk.a.Jl-M-inkowJlky Sy.6temll -in Sem-i-In6-(.n-ite PlLOglLa.mm-ing. App1.Math.Optim.I, 295-308.

[3) GOBERNA,M.A. &PASTOR,J. (1981): Una. genelLa.l-iza.e-i6n del Lema. de Fa.lLka.Jl eon a.pl-iea.e-ioneJl a.l a.ndl-iJl-ill eonvexo y a. la. plLoglLa.­ma.e-i6n. Rev.Real Acad. de Ciencias LXXV, 1199-1208. Madrid.

[4) JEROSLOW,R.G. & KORTANEK,K.O. (1971): On Sem-i-In6-in-ite SyJltemJl 06 L-inea.1L Inequa.l¡t¡eJl. Israel J.Math.lQ, 252-258.

Recibido en abril de 1983. Versi6n final setiembre de 1984.

Fachltad de Ciencias Universidad de Alicante España.

Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.

ON THE €-SUBDIFFERENTIAL OF A CONVEX FUNCTION

Telma Caputti

1. I NTRODUCT I ON.

202

The €-subdifferential of a convex function has been proved to be a useful tool in convex analysis, from the theoretical viewpoint as

well as for practical purposes.

Throughout this paper, f is a lower-semicontinuous convex function

from Rn (the usual vector space of real n-tuples) into (_00,+00]

Given such a function and € > O the €-subdifferential of f at

X o E domf (domf is the set where f is finite) is denoted by d€ f(xo)

and defined by

wherce f* designates the Frenchel conjugate of f defined by

f*(x) = sup {~xo'x> - f(x o)} [1] Xo

and <xo'x> is the usual inner product of two vectors xo'x.

Let p be a non null vector in Rn ; throughout the sequel we shall as

sume that Xo E int(domf) (int(domf) is the interior of domf). Then

it is well known that d€f(xo) is a nonempty compact convex set so that we can denote

sup <p,x> x€d€f(xo)

f(x O +Ap) - f(xo) + € inf 1.>0 A

Moreover a major aim of research is to define a concept of second derivative for a nondifferentiable function. In this respect Nur­

minski [2] proved that the set-valued mapping d€f(.) is locally

Lipschitz when f is real-valued. More recently, Hiriart-Urruty [3,

Corollary 3.4] proved that this last assumption could be omitted

and that d€f(.) is locally Lipschitz on int(domf).

Hence v is locally Lipschitz on int(domf) and following Clarke [4]

the generalized directional derivative of v at Xo in direction d,

denoted vO(xo;d) is given by

203

V(XO+h+Ad) - v(xO+h) Um sup

h+O A A+O+

It follows from a fundamental theorem of Clarke [4, Proposition 1.4]

that

vO(xO;d) = sup <z,d> ze:ov(xo)

where (since v has at almost all points a derivative) ov(xo) is the

convex hull of the set of limits of the form Vv(xo + hn) when

hn -+ O as n -+ +00; ov(xo) is called the generalized gradient of v

at xO. We always have v' (.,.) < VO(.,.).

In the first part (Section 2) sorne properties of v(xo) and v' (xó;d)

are proved andin the second part (Section 3) p will be considered as

a variable. We shall denote

and we shall study the properties of the functions

p -+ f~(xo;p;p)

P -+ f~(xo;p) + t f~(xo;p;p) since one of the possible applications of the formula glvlng

f~(xo;p;p) would be to define a Newton type method for minimizing a

nondifferentiable convex function. Following this idea we propose a convergent algorithm similar to defined by Bertsekas-Mitter [5]. In this section we shall describe a descent algorithm for the minimiz~

tion of a convex function subject to convex constraints. Rather than considering explicity the constraints, however, we shall allow the

function to be minimized to take the value +00.

Thus the problem of finding the minimum of a function g over a set X is equivalent to finding the minimum of the extended real-valued

function f(x) = g(x) + o(x/X) where o(./X) is the indicator function of X, Le., o(x/X) = O for x in X; o(x/X) = 00 for x f/; X.

Stating the problern forrnally: Find inf f(x) where f: Rn -+ (-00,+00] X

is a convex function which is lower semicontinuous wi th inf f(x) >-co x

and f(x) < +00 for at least one x in Rn . With this assumption, the function f is a closed proper convex function as defined in [1].

A basic concept for the algorithm that we shall present is the no­tion of e:-subgradient. This notion was introduced in [6], [7] in

connection with investigations related to the existence and charac­

terization of subgradients of convex functions.

204

PRELIMINARIES AND NOTATIONS.

If we consider the optimization problem

'v(xo) = sup <p,x> xeaef(xO)

(P)

we can associate the usual dual problem

(D)

where

with

a(xo) = inf 8(xo ;U) u~O

8(xO;u) = sup L(x;xO;u) xeRn

= {<p,x> - u(f(xo) + f*(x) - <xO,x> - e) if x E domf* L(x;xo;u)

-oootherwise

(1 .1)

(1 .2)

(1 .3)

Denote by U(xo) the set of optimal solutions of (D), that is,

U(xo) = {u > o: a(xo) 8(XO;U)} and let M(xO) be the set of opti­

mal solutions of (P)

M(xO) = {x E aef(xO): v(xO) = <p,x>}.

Since aef(xO) is compact convex and nonempty, M(xO) is a nonempty

convex compact seto Furthermore, since aef(.) is locally Lipschitz

on int(domf) M(.) is closed and locally bounded on .int(domf) (the set-valued mapping M(.) is said to be

re exists a neighborhood V of Xo such

locally bounded at Xo if the­

that U M(z) is bounded). zeV

Also, U(xo) is a nonempty convex and compact set and since f = f**

it follows that

{U(f(XO +

sup <p,x> xedomf*

if u > O (1 .4) ,

if u = O (1 • S)

Now, using the methodology of Hogan [8, Theorem 2] we use the fol­lowing theorem, the Lemarechal-Nurminski theorem [9], deleting the coercivity assumption.

THEOREM 1.1. [9]. The direationaZ derivative of v at Xo in the di­

reation d is given as

max xeM(xO)

min - u(f'(xO;d) - <x,d» ueu(xO)

and the operators max-min aommute.

(1 .6)

205

2. PROPERTIES OF THE FUNCTIONS V(XO) ANO v'(xO;d).

According to the express ion of v' (xo;d) in the Lemarechal-Nurminski

theorem and considering p as a variable, we set

We can study very interesting properties of the following functions

is val id.

p -+ f~(xo;p;p)

P -+ f~(xo;p) + } f~(xo;p;p)·

U(xo)' Then for all A > O the 'relation

UE(xO;Ap) = AUE(xO;p)

(2 . 1 )

(2.2)

(2.3)

According to (1 .4) the following statements are equivalent for

u > O:

iii) A u(f(xo + ~) Au

PROPOSITION 2.1. a) f~(x0;P;P) ~ O for alt p.

Proof. From (1.6) in Theorem 1.1 we ha ve

min - u(f' (xo ;p) - f~ (xo ;p)) UEUE(XO;p)

(2.4)

(2.6)

from which we obtain inequality (2.4) since u ~ O and since f~ ~ f'.

The relation eb) is an immediate consequence of the aboye proposition

andformula (2.6). (q.e.d.)

Throughout the sequel we shall assume henceforth that f is real-va lued.

Suppose now that f is strongly convex, that is, there exists o > O

such that for each x, y and A E [0,1] we have

f(Ax + (l-A)y) .;; H(x) + (l-A)f(y) - A(1-A)ollx-yIl2

where 11.11 denotes the usual Euclidean norm in Rn .

It is very easy to establish the following property: If the func­tion A -+ ~(A) = f(xo + Ap) is strictly convex on R+, then U(xo) is

reduced to a single point u(xo)'

206

This property is an irnmediate consequence of the convexity of f and the properties of the subgradient of Seu) with Xo fixed. Then f is

strict1y convex and Ue(xO;p) is reduced to a single point ue(xo;p).

Moreover ue (.,.) is strict1y positive. So if we define lle(XO) =

= min {ue(xo;p): IIpll = 1} we have lle(') > O.

The set def(xO) has some interesting properties from the a1gorith­

mic point of view as shown by the fo110wing two propositions:

PROPOSITION 2.2. Let Xo be a veator suah that f(xo) < oo. Then

o < f(xO) - inf fez) < e if and onZy if O E def(xO)' z

Proof· By definition of e-subdifferentia1 of f at xo ' that

x E Rn is said to be an e-subgradient of f at Xo if

f (z) ~ f(xo) - e + <z - xO,x> for a11 z in Rn •

is,

In consequence, O E def(xO) if and on1y if fez) ~ f(x) - e for a11

z in Rn which is equiva1ent to the desired re1ation. (q.e.d.)

PROPOSITION 2.3. Let Xo be a point suah that f(xO) < 00 and

O ~ def(xO)' Let p be any Veator suah that

sup <p,x> < O. xedef(xo)

Then ",e have f(xO) - inf f(xo + Ap) > e. A>O

(2.7)

(2.8)

Proof. Assume the contrary, i.e., inf f(xo + Ap) - f(xo) + e ~ O , A~O

then we have

f(xO + Ap) - f(xo) + e --=-------=---- ~ O

A for a11 A > O.

Using the definition of v(xo) this implies that

sup <p,x> xedef(xo)

f(xO + Ap) - f(xo) inf --~----~~--~----- ~ O . A>O A

+ e

Since def(xO) is c10sed this imp1ies that O E def(xO) which contra-

dicts the hypotesis. (q.e.d.)

In the case O ~ dtf(xO), a possib1e method for finding a vector

y(xo) in Rn such that sup <y(xo) ,x> < O is the fo110wing: xedef(xO)

Let x*(xo) be the unique vector of minimum norm in def(xo)' Then

207

the vector ~(xo) = -x~(xo)/~x~(xo)~ (2.9)

sup <~(xo) ,x> = -~x~(xo)~ < O. xe:í\/ (xo)

sa tis fies

Propositions 2.2 and 2.3 form the basis for the algorithm that we shall present latero

PROPOSITION 2.4. If f is strongly convex, then the functions

and P --->- f' (x .p) + 1 f"(x 'p.p) e: o' 2 e: O' ,

satisfy the following relations

f~(xO;p;p) = keJxO) ~p~2 for all p

(f~(xO;p) + i f~(xO;p;p)) ;;"~p~ (-~x~(xo)~ + i ke:(xo)~pll)

Proof. We remark that

min max <z,d> ~ d~ ~l Ze:de: f (xO)

Moreover, if f is strictly convex, wehave

(2.10)

(2.11)

f(x O + \p) - f(xO) + e: 2 e: _......c.. ___ \ __ ----" ___ ;;.. f' (xO ;p) + \~p~ o + X- ' for a11 \ > O.

This inequality implies

inf \>0

f(xO + \p) - f(x O) + e: ----'--------=-----;;.. f' (xo;p) + min {A~p~ 2 + Í}

\ \>0

which is equivalent to

f~(xO ;p) - f' (xO ;p) ;;.. 218"6 ~.p~

and since Ue:(xO;p) is homogenous in p and is reduced to a single

point ue:(xo) we obtain the relations (2.10) and (2.11) respect-

ively. (q.e.d.)

REMARK 2.1. If O E de:f(Xo) then f~(xo;p) ;;.. O for each p and from

(2.4) we have f'(x .p) + 1 f"(x 'p.p) :;;. O for a11 p. e: o' 2 e: O" "'"

If O é de:f(Xo)' then there exists p such that f~(xo;p) < O. Conse-

quently, there exists p satisfying:

~ p~ .;;;; 1 (2.12)

Therefore,

208

If f is strongly convex from Proposition 2.4 we obtain the follo­

wing equivalence

REMARK 2.2. Dne can prove that UE(xO;') is 10cally bounded and clo­

sed at each p # O.

Then from (2.6) it follows that the function

p -+ f~(xo;p) + } f~(xo;p;p)

is 10wer semicontinuous.

3. APPLICATIONS IN ALGORITHMS.

In connection with Propositions 2.2 and 2.3 we can state that when­ever the value f(x) exceeds the optimal value by more than E, then

by a descent along a vector x satisfying (2.7) in Proposition 2~3 we can decrease the value of the cost by at least E.

Consider the following descent algorithm for the minimization of a convex function subject to convex constraints which is a descent nu

merical method for optimizationproblems with nondifferentiable cost functionals:

STEP 1. Select a vector Xo such that f(xo) < 00, a scalar EO > O

and'a scalar a, O < a < 1.

STEP 2. Given xn and En > O, set En+l ak E where k is the small n

est non-negative integer such that O ~ d f(xn). En+l

STEP 3. Choose a vector Yn that satisfies

fl (x;y) + 1 fE" (xn;Yn;Yn) < O • En+l n n 2 n+l

From Remark 2.1, such a vector exists if O ~ d f(x) and (2 7) En+l n' .

is valido

STEP 4. Set xn+l = xn + AnYn where An > O is such that

REMAR K 3.1. If xn is not a minimizing point of f there always exists

a non-negative integer k such that O ~ d k f(xn) since by Proposi a En

209

tion 2.2 we ha ve

k O <t:. dE: f(x ) if and only if f(xn) - inf f(x) > E: n+1 = a E: n+1 n x n

and by Proposition 2.3 there exists a scalar E: n such that

thus showing that Step 4 can always be carried out. One way of fin­

ding a scalar An satisfying (3.1) is by means of the one-dimensio-

nal minimization

assuming the minimum is attained. This in turn can be guaranteed

whenever the set of minimizing points of f is nonempty and compact, since in this case all the level sets are compact [1].

REMARK 3.2. We note that Steps 2 and 3 of the algorithm can be car­

ried out by means of the auxiliary minimization problem:

min 11 xII . XE:dakE: f(xn )

n

(3.2)

Now clearly we have O E d kE: f(xn ) if and only if (3.2) has a zero a n

optimal value and therefore Step 2 of the algorithm can be carried out by solving problem (3.2) successively for k = 0,1, .... There

exists an integer k for which the problem (3.2) has a nonzero opti­

mal value. Let x* be the optimal solution of problem (3.2) for the first such integer k. Then a suitable direction of descent Yn sati~

fying (2.7) in Step 3 of the algorithm is given by Y = -x*/II x*1I . n

REMARK 3.3. This algorithm is the same as defined by Bertsekas and

Mitter in their paper but the kind of choice for Yn is different.

However, the proof of convergence given in [5] is always valid with

this kind of choice. Certainly, a good choice of Yn would be a vec­

tor that minimizes the function

1 P -+ f' . (x;p) + -2 f" (xO;p ;p) E: n+1 O E: n+l

on the unit ball.

We are now attempting to implement such a choice.

After the release of the preprint of this article, the author has

been informed about the fact that a recent work along similar lines has been published by J.B.Hiriart-Urruty. Unfortunally she has not

210

been able to read it and verify the overlap between both papers.

REFERENCES

[1] R.T.ROCKAFELLAR, Conv~x Analy~~~, Princeton University Press, Princeton New Jersey, 1970.

[2] E.A.NURMlNSKl, Nond~66e~~n~~abl~ op~~m~za~~on w~~h E-~ubd~66~­~en~~al m~~hod~, Working Paper 78-55, I.l.A.S.A; Luxemburg, 1978.

[3] J-B.HlRlART-URRUTY, L~p~eh~~z ~-eon~~nu~~y 06 ~he app~ox~ma~e ~ubd~66e~en~~al 06 a eonv~x 6une~~on, Mathematica Scandinavica 47 (1980) p.p. 123-134.

[4] F.CLARKE, Neee~~a~y eond~~~on~ 60~ a non~moo~h p~oblem ~n op­~~mal eon~~ol and ~h~ ealeulu~ 06 va~~a~~on~, Dissertation, University of Washington, Seattle, W.A., 1973.

[5] D.P.BERTSEKAS-S.K .MlTTER, A d~~een~ num~~~eal m~~hod 60~ op~~m~­za~~on p~oblem~ w~~h nond~66~~~n~~able eo~~ 6une~~onal~, SlAM Journal of Control and Optimization 11 (1973) p.p. 637-652.

[6] R.T.ROCKAFELLAR, Cha~ae~~~~za~~on 06 ~he ~ubd~66e~en~~al~ 06 eonvex 6une~~on~, Pacific Journal of Mathematics 17 (1966), p.p. 497-510.

[7] A.BRONSTED-R.T.ROCKAFELLAR, On ~h~ ~ubd~66e~~n~~ab~l~~y 06 con vex 6une~~on~, Proc. Math. Soco 16 (1965), p.p. 605-611. -

[8] W.W.HOGAN, V~~~e~~onal d~~~va~~v~~ 60~ ex~~~mal value 6une~~on~ w~~h appl~ea~~on~ ~o ~h~ eompl~~~ly eonv~x ea~~, Operations Research 21 (1973) p.p. 188-206.

[9] C .LEMARECHAL-E.A .NURMlNSKI, Su~ la d~66l~~n~~ab~l~~€ d~ la 60ne ~~on d'appu~ du ~ou~ d~66€~en~~el app~oeh€, Comptes Rendus de -l'Académie des Sciences 290 A(1980), p.p. 855-858.

Recibido en marzo de 1984.

Departamento de Matemitica Facultad de Ciencias Exactas Universidad de Buenos Aires.

211

RESUMENES DE LAS COMUNICACIONES PRESENTADAS A LA XXXIV REUNION

ANUAL DE LA UNJON MATEMATICA ARGENTINA

ABAD,M. (U.N.Comahue): Sobpe Zas áZgebras de Post n-vaZentes.

Para desarrollar una versi6n algebraica de la operaci6n de cuantifi caci6n en la l6gica n-valente de Post se introducen las álgebras de Post n-va1entes monádicas. Se estudia el reticu1ado de las congruen­cias de un álgebra P. Si K(P) es el conjunto de las constantes de P y B(P) es el conjunto de los elementos complementados de P, enton­ces existe una correspondencia biunívoca entre las congruencias de P,las congruencias de K(P), ~as congruencias de B(P) y las co~­gruencias de K(P) n B(P). Esto proporciona una caracterizaci6n de las álgebras simples: P es simple si y s610 si P es subdirectamerite irreducible, y vía el teorema de representaci6n de Birkhoff se ob­tiene que toda álgebra "de Post n-va1ente monádica es subproducto di recto de álgebras simples. Se estudian las álgebras libres y se de­termina la estructura algebraica del álgebra de Post n-va1ente mo­

nádica con un número finito de generadores libres.

AGUILERA,N.E. (PEMA (INTEC)) y CAFFARELLI,L.A. (U.Chicago): ReguZa­

ridad de soZuaiones disaretas a probZemas eZ-íptiaos en eZ método de

eZementos finitos.

Se demuestran propiedades de regularidad como continuidad Holder y

desigualdades del tipo Harnack, clásicos en el caso continuo, don­de las cotas son independientes del ancho de la ma11a~ supuesto que ésta cumpla algunas condiciones de uniformidad.

AGUIRRE,M.A. (U.N. del Centro): EZ produato muZtipZiaativo entre

o(k)(m2+p) y Za distribuaión (m 2+p)l.

En esta nota se evaluará el producto multiplicativo distribuciona1 .e.

entre (m2+p) y o(k) (m2+p) , donde m2+p = m2 + x~ + ... + x~ -

- x2 - .;. - x2 ,con p+q = n dimensi6n del espacio y p+l p+q

a(k)(m2+p) es la derivada de orden k de la medida de Dirac.

En particular para .e. = 1, se obtendrá el producto:

(m2+P).a(k)(m2+p) + k O(k-l) (m2+p) = O, k = 0,1,2, ... que genera­

liza f6rmu1as que aparecen en el Gelfand and Shilov Vo1.1, pág.349 y son consideradas por ejemplo por Bol1ini, Giambiagi y Tiomno

212

para la teoría de regularización analítica en las ecuaciones clási­

cas de Yang-Mills y sus aplicaciones en el potencial singular.

Además el producto (m2+p{.oC k )(m2+p), generaliza fórmulas usadas

por D.W.Bresters las que permiten obtener la fórmula:

(m2+P±iO)-k = (m 2+p)-k:¡: (_l)k-l 'IT i oCk-l~(m2"+"p) . (k-1) !

AlMAR,H. (PEMA, INTEC (CONICET-UNL)): Desigualdades con pesos para

operadores erg6dicos.

En 1968 A.P.Calderón demostró que los resultados de acotación y cog

vergencia para ciertos operadores de tipo ergódico, pueden obtener­se de los correspondientes resultados para operadores invariantes

por traslaciones. En un trabajo reciente de E.Atencia y A.de la To­

rre se da un~ caracterización de los pesos W para los cuales el o­

perador maximal ergódico discreto es acotado en LP(W), adaptando

la técnica de Coifman y Fefferman.

En este trabajo se demuestra que el método de A.P.Calderón puede a­

plicarse para obtener desigualdades con pesos para operadores ergó­

dicos asociados a familias de transformaciones con parámetro en un

grupo localmente compacto G. El caso especial del operador maximal

ergódico, M, definido por una familia de Vitali de entornos de O,

es consecuencia de la caracterización de pesos para los cuales el

operador maximal de Hardy-Littlewood sobre espacios de tipo homogé­

neo es acotado en LP. De este modo obtenemos una condición suficien

te sobre un peso W, para la acotación de M en LP(W), que se reduce

a la de Atencia y de la Torre cuando G = Z.

ALVAREZ ALONSO,J.D. (U.B.A. - CONICET): "L{mite puntual de integra­

les seudodiferenciales.

En la construcción de un álgebra autoadjunta de operadores seudodi­

ferenciales con símbolos no indefinidamente derivables, continuos

en LP, se cae en el estudio de las siguientes integrales seudodife

renciales:

L f ex)

o <e:';;; 1 ,fES

donde:

1) Dados O .;;; o < 1, k = 1,2, ... , se define

N { k/l-o

[k/l-01 + 1

si es entero

si no lo es.

213

2) Pj(x,y,~) es una función continua en RnxRnxRn , con derivadas con

tinuas en las variables x,y,~ hasta los órdenes 2 [n/2]+N+k+2-j, 2 [n/2] +N+k+2-j, n+N+2-j, respectivamente.

Además

sup x,y,~ Cl,8,y

3) 11(0 es una función de truncación usual; o sea 11 E C:' 0';;;11 ';;;1,

{~ Se sabe, (ver [1]), que baj o es tas hip6tes is exis te C C(n,p) > O

tal que l<p<oo

Además existe lim LEf = Lf en L2 , independientemente de la fun­E-+-O

ci6n 11.

De aquí se deduce que también existe el límite en LP , 1 < p < oo.

El objeto de esta comunicaci6n es mostrar la existencia de límite

puntual, LE f(x) = Lf(x) E-+-O

pp en x E Rn .

[1] Alvarez Alonso, J. "An algebra of LP-bounded pseudo-differential operators". Journal of Math. Anal. and Appl., vol.94 nOl,(1983), pp.268-282.

APARICIO,L.V. y PALOSCHI,J.R. (PLAPIQUI (UNS-CONICET)): Métodos ro bustos en la resolución de ecuacionBs algebraicas no lineales.

Los métodos numéricos empleados en la resoluci6n de sistemas de e­cuaciones algebraicas no lineales son, en general, dependientes del punto inicial elegido, de su cercanía a la soluci6n o su condiciona­

miento numérico. Con el fin de reducir esta dependencia y aumentar la robustez de los métodos, surge el método de continuaci6n. Con­

siste en resolver la familia de problemas H(x,e) = O con

O .;;; e .;;; 1, que para e = O encuentra la soluci6n del problema origi

nal F(x) = O Y para e = 1 tiene una soluci6n conocida.

En este trabajo se analiza el rango de convergencia de dicho méto­do en base a S'l comportamiento frente a un conjunto de problemas considerado estandar. Se estudian distintas formas de H(x,e) encoª tradas en la literatura [1], [2] ,[3] Y se proponen otras nuevas.

El algo.ritmo implementado para las pruebas utiliza el método de

continuaci6n en combinaci6ncon los métodos propuestos en [4].

214

[1] Broyden,C.G. "A new method of solving nonlinear simultaneous equations" Comp. Journal, 12, 1969.

[2] Kubicek,M. and Hlavacek,V. "One parameter imbedding techniques for the solution of nonlinear boundary-value problems" Appl. Math. Computo 4,317, 1977.

[3] Rheinboldt,W.C. "An adaptive continuation process for solving systems of nonlinear equations" Banach Center Publications, 3, 1975.

[4] Paloschi,J.R. "The numerical solution of nonlinear equations re presenting chemical processes" Ph.D. Thesis Univ. of London, 1982.

ARAUJO,J.O. (U.N. del Centro): EZementos enteros y eZ discriminante

en característica 2.

El objeto de este trabajo es dar métodos para expresar el discrimi­

nante de un polinomio en función de los coeficientes del mismo cuan

do la característica del cuerpo es 2.

1 - ELEMENTOS ENTEROS.

Sea A un subanillo de un anillo conmutativo B, f Y g polinomios mó­

nicos en A[~ con gr(f) = n, gr(g) = m. Notemos con F y G las matr!

ces compañeras de fy g respectivamente. Definimos en Bnxm los mor-

fismos: Sfg(C) = tF~C+C.G

sean S(X) = det(x.I-S fg )

Pfg(C) = t F . C. G. (C en Bnxm) , y

P(X) = det(X.I-Pfg) los correspodien-

tes polinomios característicos. Con estas notaciones se tiene:

PROPOSICION.Sean x,y en B tales que f(x) = O = g(y), entonces S(x+y) = O

Y P(xy) = O.

PROPOSICION. Si B es íntegro, f y g poseen raíces simples x1, ... ,xn,

Y1'" ·'Ym respectivamente en B, entonces las n.m raíces de S(X) y

P(X) son xi + Yj y x i ' Yj respectivamente.

11 - EL DISCRIMINANTE EN CARACTERISTICA 2.

Sea K un cuerpo de característica 2, f un polinomio m6nico en K [xl con raíces simples x 1 , ... ,xn y E.= K(x 1 , ... ,xn) el cuerpo de descom

posición de f. Pongamos:

f(X) Xn + Xn- 1 + a n _ 1 •

g(X)

Y T Pfg definido como en 1. Sea 2k

x. x. H(X) TI (X - (2. + --.1.))

i<j x j x. l.

2 n -m y:

Xk + ... +

con b. l.

c 1 ·X + c o

a ./a n-l. o

215

El discriminante de f está dado por:

& (f) ¿ xi' x j

i<j x~ + x~ 1 J

- c Ic 1 o

TEOREMA. i) Los valores propios de T son todos los posibles cocien­

tes xi/x j .

ii) Sea E .. la base canónica de Enxn y M el subespacio generado por 1J

E .. +E ... M esT+T-1-invariante y si A es la matriz de T+T- 1 en una 1J J 1

base de M, entonces el polinomio característico de A es H(X).

iii) El polinomio característico de T puede calcularse como:

n n-l I n (X-1) .Q(X) con: Q(X) = det(Pn(F).X + ... +P 2(F).X + P1(F)) a o '

siendo F la matriz compañera de f y Pi(X) = an_i.xn-i+ ... +al'x +a o

COROLARIO. Sea A como en ii) del teorema y det(Ai ) los menores pri~ cipales de (n-1)x(n-1) de A, entonces

&(f) = _ E det(Ai ) det(A)

2k 2k-l COROLARIO. Sea Q(X) = X + d2k _ 1 .X + ... + dl.X + do como en

iii) del teorema, entonces:

BIRMAN,G. (U.B.A.): La f6rmuLa de Gauss-Bonnet en L 2 .

Si aD es el borde de una región D de una variedad riemanniana 2-dj­

mensional, es bien conocida la fórmula de Gauss-Bonnet

J aD kg ds + J J D K dA + I e i = 211

Es posible extender este resultado a una variedad de Lorentz de di­

mensión 2, donde, interviniendo los mismos elementos, la expresión de la fórmula es diferente de la expresada en el párrafo anterior.

BOUILLET,J.E. (I.A.M.(CONICET) y U.B.A.): Unicidad para soLuciones

de u t = ~a(u) con crecimiento exponenciaL.

TEOREMA. Sea a(.) monótona no decreciente, uniformemente Lipschitz,

a(O) = O. Sean u,~ E C(O,T; Lioc(R)) n L~oc(Rx(O,T)) soluciones dé­

biles de u t = ~a(u) en el sentido de ([1], fórm.(l ,2)), tales que

a(u),a(~) admitan traza en L1({x}x(O,T)), x E R. Entonces, de

216

u(x,O) ~ u(x,O) y lul , lul ~ exp(KlxI 2) surge u(x,t) ~ u(x,t) pp en Rx(O,T).

COROLARIO. El problema de Cauchy para ut la clase indicada.

&a(u) tiene unicidad en

COMENTARIOS. (1) Podría permitirse cierto crecimiento potencial de a(.), modificando el crecimiento de u, u; (2) Si u,~ E Loo(Rx(O,D) y u(x,O) = ~(x,O), x E (-L,L), u(x,O) = 0, Ixl ~ L, entonces u ~ u y

11 (u-~)(.,t)IIL1(_k,k) ~ e: si L-k es grande. Es decir, el comporta-

miento de ~(x,O) fuera de (-L,L) es de efecto despreciable en (-k,k)x(O,T) .

Idea de la demostraci6n: la Prop.(1.2) y la f6rm. (1.5) de [1] apli­

cadas a (u-u)t = &(a(u)-a(u)) en cualquier Q = (-L,L)x(t l ,t 2 ) ,

° ~ t 1 < t 2 ~ T permiten escribir t

J(U-U)fn (x,t 2)dX ~ J(U-U)+(x,tl)dX + IJ 2[(a(u)-a(U))fnx]~:~L dtl+o(n) tI

donde, siendo l/n ~ cn(x,t) ~ Cuna regularizaci6n de

(a(u)-a(u))/(u-u) y k «L, se obtiene fn(x,t) como soluci6n de

f + c &f = ° en Q con f(x,t 2) = regularizaci6n de sgn(u-~)+ si t n

Ixl ~ k, f(x,t 2) ° si k ~ Ixl ~ L, f(±L,t) = 0, tI ~ t ~ t 2 . 2 Se prueba que If (±L,t)1 ~ exp(-(L-k) /const.C.(t 2 -t)). nx

[1] D.G.Aronson, L.A.Caffarelli, Trans. A.M.S. 280(1), nov.1983, 351-366.

BRESSAN,J.C. (U.B.A.): TopoZogias compatibles en un sistema axiomá­

tico para la convexidad.

Para un operador de cápsula convexa K que cumple los cinco axiomas considerados por el autor en Rev. U.M.A. 26 (1972),131-142 yen Rev. U.M.A. 31 (1983),1-5, se desarrolla una teoría sobre topolo­gías localmente convexas compatibles con el operador K, siguiendo una idea de F.A.Toranzos expuesta en la XXXII Reuni6n Anual de la

U.M.A .. Ello permite obtener algunos resultados de la convexidad en espacios vectoriales topol6gicos dentro de este contexto axiom! tico. Análogamente se procede introduciendo una métrica compatible con el operador K, lo cual hace posible demostrar proposiciones de la convexidad en espacios vectoriales normados dentro de dicho con texto axiomático.

217

CABRELLI,C.A. (U.B.A.): El error en Shaping Filter.

En Teoría de Señales Digitales un resultado clásico sobre la acota

ci6n del error en Spiking Filter establece:

Sea w = (wo, ... ,wn), w F O, fk E Rl+1 tal que fk minimiza

l+1 ~ IIw * f - ekll z sobre fE R (donde ek = (0, ... ,0,1,0, ... ,0),

ek E Rn+l+1 y * denota convoluci6n) y sea Ek U) = 11 w * fk - ekll Z '

k = 0,1, ... ,n+l entonces

n+l Z 1) L EkU) = nO';;; Ek(l) ';;;1

k=O

2) Min Ek(l) -+ O para l ~ +00 k

3) EOU) -+ O para l ~ +00 si w es de fase mínima (o sea peZ) F O n

sil Z I .;;; con peZ) ¿ i=O

("The error in least-squares inverse filtering" J.F.Claerhout and

E.A.Robinson. Geophysics. V. 29 N°l, 1963).

En este trabajo se generaliza este resultado obteniéndose una aco­

tación del error en Shaping filter con output desplazado:

Sea w = (wo, ... ,wn), dE Rm+l, ek E Rn+l-m , m < n+l fk E Rl+1

tal que fk minimiza IIw * f - d * ekll z sobre fE Rl+l, Y sea Ek(l)

= IIw * fk - d * ekll z k O, ... ,n+l-(m+l)

n+l-(m-l) 1) L Ek(l) .;;; 11 dll l , In+l-m rn

k=O

2) Min Ek(l) -+ O para l ~ +00 k

3) EO(l) -+ O para l ~ +00 si w es de fase mínima.

CAPRI,O.N. (U.B.A.): Una desigualdad que satisface la transformada

de Fourier de una distribuci6n perteneciente a un espacio HP para­

b6lico.

Sea el espacio HP parab6lico relativo al grupo de transformaciones

lineales At = t P (O < t < 00), donde P es una matriz tal que

(Px,x) ;;;. (x,x).

Se prueba que si f E HP, O < p .;;; 2, Y si P .;;; q, l/p + l/q ;;;. 1 ,

entonces

(*)

donde c es una constante que depende de p y de q, y donde y es la

traza de la matriz P.

218

El presente resultado extiende un resultado de Calderón y Torchins­

ky (Advances in Math. 25 (1977), 216-225, Teorema 4.4) donde la fó~ mula (*) se prueba bajo hipótesis considerablemente más restricti­vas: O < p < q/q-1 < 2.

CAPRI,O.N. y FAVA,N.A. (U.B.A.): Una extensión del teorema de extra

polación de Yana.

Sea T un operador sublineal definido sobre las funciones simples integrables de un espacio de medida a-finita (X,~) con valores en la clase de las funciones medibles sobre X, que satisface a las con die iones

(i) ITf - Tgl < e IT(f~g)1

(ii) IITfll oo < 11 flloo

(iii) IITfIl <C IIfll (p>l), donde C p p p p

siendo a. > o.

O( 1 ) cuando p + 1+, (p_1)o.

Se demuestra que T admite una extensión a la clase Ro. formada por todas las funciones f, tales que la integral

es finita para todo A > O Y que T transforma Ro.+S en RS para todo S ;;;. O.

CAPUTTI,T. (U.B.A.): Análisis subdiferencial en espacios vectoria­

les parcialmente ordenados.

Así como el análisis convexo proporcionó la noción de subdiferen­ciabilidad permitiendo la extensi6n de resultados del cálculo dife­

rencial en el caso de aplicaciones a valores vectoriales no suaves la reciente teoría de gradientes generalizados de Frank H.Clarke

permite tal extensi6n en el caso no convexo. El prop6sito es, ento~

ces, estudiar tal extensión para aplicaciones a valores vectoriales no convexas. Para esto se introducen las nociones de aplicaciones localmente o-Lipschitz sobre espacios vectoriales localmente con­

vexos Hausdorff, subdiferenciales algebraicas y topol6gicas y gra­dientes generalizados de las mismas obteniéndose resultados relati­vos al cálculo subdiferencial.

CARBAJO,R., CISNEROS,E. y GONZALEZ,M.I. (PROMAR (CONICET-UNR)): EZ Radical Primo de un "skew" Anillo de Grupo.

Sea G un grupo totalmente ordenado representado por automorfismos

219

de un anillo K con unidad. Sea el 'skew' anillo de grupo

R = KG = {L Uo ao ' ao E K , ao = O sal va un número finito} oe:G

donde la suma se define naturalmente y la multiplicación por distri butividad a partir de la igualdad auo uoo(a).

Un ideal I de K es un G-ideal si 0(1) 1, para todo o E G.

Se define para todo ordinal a

ó

ó

Sea) L {I <J R/I es G-ideal nilpotente módulo

Sea) 1. S(y) si a es un ordinal límite y<a

N(a) L {I <l R/I es nilpotente módulo N(y)}

N(a) = L N(y) si a es un ordinal límite y<a

S (y)}

si a

Por inducción transfinita se prueba el siguiente:

TEOREMA. Para todo ordinal a

(a) Sea)

(b) N(a)

N(a) n K

S(a)G.

si a

y +1

y + 1

De acuerdo a la definición dada, para Sea) existirá un ordinal ~

tal que

S (~) S(~+l) = ••• S(K)

De la misma forma para N(a) existirá un ordinal n tal que ~R(n) ~

= NR(n+ 1)

mo de R).

P(R) (ideal que recibe el nombre de radical pri-

Se demuestra corno corolario dei Teorema anterior que:

COROLARIO. P(KG) = P(R) ~S(K)G.

Se logra además caracterizar el ideal S(K). En efecto, se define

corno ideal G-primo a todo ideal I de K, tal que si AB e r entonces

A CIó B e 1, para todo G-ideal A, B de K.

Se prueba luego el siguiente:

TEOREMA. El G-ideal S(k) puede caracterizarse de la siguiente for­

ma:

S(K) n {I/I es G-ideal G-primo de K}

S(K) n {I/I es G-ideal y K/I no tiene G-ideales nilpotentes no

nulos} .

CESCO,J.C. (IMASL, U.N. San Luis-CONICET): Expansi6n no uniforme

en un modelo de crecimiento .de Von Neumann.

220

En este trabajo se presenta una generalizaci6n del modelo de creci­

miento de v.Neumann, permitiendo que los factores de expansi6n y de interés sean diferentes para los distintos procesos y bienes res~ pectivamente. El resultado principal es el de existencia del cual

se dan dos demostraciones. Una usando un teorema de J.Los, sobre existencia de un modelo trimatricial y la otra utilizando un resul­

do de E.Marchi sobre máximos de funciones.

CIGNOLI,R. (U.B.A.): Sobre AZgebras de Nelson.

En este trabajo se caracterizan las álgebras de Nelson subdirecta­mente irreducibles y se dan algunas propiedades del reticulado de las subvariedades de la variedad de las álgebras de Nelson, que son aplicadas al estudio de cálculos proposicionales intermedios entre el cálculo trivalente de Lukasiewicz y el cálculo constructivo con negaci6n fuerte de Markov y Nelson.

COMPARINI,E. (U.de Florencia) y TARZIA,D.A. (PROMAR (CONICET-UNR)):

Sobre un problema de Stefan unidimensional a una fase sujeto a una

condición integral.

Se considera el siguiente problema de Stefan unidimensional a una

fase (J.R.CANNON-J. VAN DER HOEK, J.Math.Anal.Appl., 86 (1982),

281-291) :

(P)

u -u xx t o o < x < s (t)

seO) = b b > O

u(x,O) = ~(x) O ~ x ~ b

u(s(t),t) = O O < t < T

ux(s(t),t) = -s(t) O < t < T

o < t < T

fs<t) O u(x,t)dx=E(t) O<t<T

en el cual se consideran datos ~,E que verifican ciertas hip6tesis

pero sin especificaci6n de signo.

Utilizando el método integral de Friedman (J.Math.Mech., 8 (1959),

499-517), se prueba que existe T > O de manera que el problema (P) tiene una única soluci6n u = u(x,t) y s = s(t) en el intervalo de tiempo (O, T). Además, en el caso de un líquido superenfriado se es

tudia el comportamiento de la frontera libre s(t).

COTLAR,M. (U.Central de Venezuela) y SADOSKY,C. (U.B.A.): Procesos

estocdsticos estacionarios generaZizados y aZgunas aplicaciones.

221

Los procesos estocásticos estacionarios son aquellos procesos cuyos

núcleos de covarianza son invariantes o de Toeplitz. El estudio de

estos procesos a través de la representaci6n integral de sus núcleos ha dado lugar a diversas generalizaciones ya clásicas del concep­to de estacionariedad. Problemas en la teoría de integrales singula­

res nos han llevado a la introducci6n y al estudio de los núcleos de Toeplitz generalizados (GTK). [1] En el presente trabajo llamamos

procesos estacionarios generalizados a aquéllos cuyos núcleos de co­

varianza son GTK y los caracterizamos, así como a los nuevos proce­sos harmonizables que engloban a las generalizaciones antes mencio­nadas, mediante las representaciones integrales de ellos (Integrales estocásticas) y de sus núcleos.

Se dan aplicaciones a la existencia de soluciones estacionarias ge­neralizadas de ecuaciones diferenciales (o a diferencias, en el caso discreto), de acuerdo al enfoque iniciado por Bochner.

[1] Proc.Symp.Pure Math.l1., Amer.Math.Soc. (1979), pp.383-407.

DIAZ,D. y FIGALLO,A.V. (IN.MA.SJ., U.N.San Juan): Dos Conjuntos de

Axiomas para las Algebras de Lukasiewiez TrivaZentes.

En este trabajo damos dos caracterizaciones diferentes de las álge­bras de Lukasiewicz trivalentes en términos de los conjuntos de co­

nectivos {+,,} , {+,,}, donde +'7" reciben el nombre de implicaci6n de Lukasiewicz, negaci6n fuerte y negaci6n débil respectivamente.

1) AXIOMAS EN TERMINOS DE LA IMPLICACION DE LUKASIEWICZ y NEGACION

FUERTE. Sea B = (A,l,"':,,) un sistema donde (A,l,+) es un álgebra 13 [1] Y , es un operador unario definido sobre A de modo que los si-

.guientes axiomas son verif~cados para todo x,y E A.

Al) (,X+X)+77 X = 1 , A2) ,X+77 X = 77 X , A3) ,x+(x+y) = 1 ,

A4) 77(X+y) = X+(X+77Y) , A5) ,(((x+y)+y)+,l) = (,(X+,l))+,(y+,l))

+,(y+,l) .

Entonces si ponemos: -x = x+,l , Vx= 77X , X V Y = (x+y)+y , X 11 Y = - (-x v -y) , entonces el sistema (A,l, -, V,v, 11) es un álgebra de Lukasiewicz trivalente [2].

11) AXIOMAS EN TERMINOS DE IMPLICACION DE LUKASIEWICZ y NEGACION

DEBIL. Consideremos B = (A, 1,+,1.'1 donde (A,l ,+) es un álgebra 13 y ,

es un operador unario definido sobre A de modo que las siguientes

identidades son verificadas

B1) ,x+x = x , B2) \,x+y = x+(x+y) , B3) "x+(,x+y) = 1 ,

B4) ,,((x+y)+y) = ("x+"y)+"y , B5) ,((x+y)+,l) = "x+,(y+,1)

222

Si definimos7x = ~t(x""t1), entonces el sistema (A,1, .... ,7) verifica los axiomas A1), ... ,A5 ) de 1).

[1] Iturrioz,L. and Rueda,O.: AIg~bres implieatives trivalentes de Lukasiewiez Libres. Diserete Mathematiesj 18 (1977).

[2] Monteiro,A.: Sur la définition des algebres de Lukasiewiez tri­valentes. Bull. Math. Soe. Se. Math. Phys., R.P.Roum., 7(55) nO 1-2 (1963).

DICKENSTEIN,A.M. y SESSA,C.I. (U.B.A.): Representación de Ciclos A­

naliticos como Residuos Múltiples.

Todo ciclo analítico T en una variedad compleja X define una corrien

te global de integración [T] en X. En el caso particular en que

T = [f-1(O)] sea el ciclo imagen inversa asociado a una aplicación

holomorfa f = (f1 , ... ,fp )' es sabido que [T] puede representarse c~

1 p df 1 dfp mo una corriente residual: [T] = Res y[ (Z1Ti) --r-"" . "-f-] , do!!.

1 p

de Y = {Z(f 1), ... ,Z(fp )}' Usando una caracterización de los haces de

cohomología moderada desarrollada previamente, obtenemos el siguien­te

TEOREMA. Todo ciclo analítico es una corriente localmente residual.

Más explícitamente: Dado T un ciclo de codimensi6n p y x E X, para

toda familia Y ='{Y 1 , ... ,Yp } de hipersuperficies con intersección

completa tal que sop(T) ~ n Y cerca de x, existe una p-forma mero­

morfa A con polos sobre uy tal que [T] = Res y [A] .

DOBARRO,F. (U.B.A.) y LAMIDOZO,E. (U.B.A.-I.A.M.): Sobre la rela­

ción diferencial entre la curvatura escalar y el peso de un produc­

to ponderado.

Dadas dos variedades riemannianas (M,g) y (N,h) de dimensión m y n

respectivamente, el producto ponderado con peso f: M -+ R+\{O}, no­

tado MxfN, es la variedad producto MxN provista de la métrica g da­

da por

donde X,Y son vectores tangentes a MxN en x, 1T: MxN -+ M,

w: MxN -+ N las proyecciones canónicas.

Si notamos R la curvatura escalar en MxfN, R la de M, H la de N, de

mostramos que la relación diferencial entre éstas está dada por /'

2-2 2 f R = -n(n-1) IVfl + Znf ó f + f R + M g

donde I vfl 2 "

laplaciano en

gij:lif:l/ ' L'.g

(M, g)) con L'. u g

223

es el operador de Laplace-Beltrami (o

" -ViV.u. le

Dadas R Y H, nos interesamos en las ,posibles curvaturas escalares R, tomando el peso f como incógnita. En particular cuándo R puede ser constante y qué constantes puede valer.

DOTTI,I.G. (IMAF-CONICET): Métriaas aon aurvatura de Riaai ~ O en

produatos semidireatos.

Es un problema abierto la determinación de los grupos de Lie reales que admiten métricas invariantes a izqu1erda con Ric ~ O. Si nos restringimos a los grupos unimodularesel problema está resuelto para grupos Solubles y parcialmente para grupos semisimples.

Para el caso de un grupo de Lie con radical abeliano podemos probar:

i) Si G = RH, R subgrupo normal abeliano, H subgrupo compacto, ad­mite métrica con Ric ~ O entonces H es abeliano y la métrica en G es flato

ii) SiG = RS, R subgrupo normal abeliano, S subgrupo semisimple de tipo no compacto que admite métrica con Ric ~ O Y e ortogonal en tonces G admite métrica con Ric ~ O.

Cabe mencionar que salvo un número finito de excepciones todos los grupos de Lie simples complejos admiten métricas como las pedidas en ii).

DRQETTA,M.J. (FAMAF-,CIEM): Variedades homogéneas visibtes y sus pUl!

tos det infinito.

Sea H una variedad riemanniana homogénea simplemente conexa completa y sin puntos focales. (por ejemplo una variedad de curvatura seccio­nalK '~ O). HadnÍite un 'grupo de Lie soiuble G, simple y transitivo

de isometrlas, entonces se estudia la acci6n de G en He-), el con­junto de puntos del infinito de H.

Para el caso en que H satisface el axioma de visibilidad (por ejem­plo si K < O) se obtiene lo'sigUiente:

Sig es el álgebra de Lie de G y [G,G] es el subgrupo de Lie conexo de G con álgebra de Lie [g"g] " existe una geodésica y en H cuyo punto en el infinito y(-) es el conjunto limite L( OO,G]). Además y(-) es el único punto fijo de cada g ~ id en [G,G] , el único pun­to fijo común de G, y todas las 6rbitas [G,G] (x), G(x) con x ~ y(-) coincid~n con H(-) - {y(-)}~ Luego estas órbitas son densas en H(-).

En el caso particular H = G un grupo de Lie soluble con una métrica invariante a izquierda sin ~untos focales, ~,g] tiene codimensión

224

uno en 9 y ~a geodésica y cuyo punto en el infinito es L( [G,Gl) es

la geodésica exptX donde X es un vector unitario en el complemento

ortogonal de ~,gl en g.

DUBUC,E. (U.B.A.): Integración de Campos Vectoriales en Geometria

Diferencial Sintética.

Sea M --+ E un modelo bien adaptado de la Geometría Diferencial Si~

tética, donde M = categoría de las variedades Coo • Dada una variedad M E M Y un campo vectorial COO M ~ TM, se demuestra que el resul­tado clásico de la teoría de ecuaciones diferenciales orqinarias

que afirma la existencia en M de un flujo integral local es equiva­

lente a la existencia en E de un flujo integral infinitesimal defi­nido en el intervalo ~ e Reales, ~ = no (-e,e), donde (-e,e) indi-

e>

ca el intervalo abierto. (y donde la intersección es tomada en E. Notar que si es tomada en M da simplemente {O}). Se muestra luego que el pasaje de 10 ~-infinitesimal a 10 local, y en el caso de una

variedad compacta, de 10 local a 10 global, puede hacerse utilizan­

do la lógica interna del topos E sin recurso a la teoría clásica.

FAURING,P. (U.B.A.): Teorema de estabilidad para campos vectoriales

lineales complejos.

Sea Xt(Cn) el espacio de los campos vectoriales lineales en Cn con

la topología inducida por L(Cn,Cn).

DEFINICION. A E Xt(Cn) es estable si existe un entorno Q e Xt(Cn)

de A tal que para todo B E n hay un homeomorfismo f de Cn que apli­ca las órbitas de A en órbitas de B.

DEFINleION. Una transformación lineal L de Cn tiene la propiedad P

si i) L tiene n autovalores distintos

ii) Dados dos autovalores de L,Ai y Aj , Ai.Aj ~ R.

Con estas definiciones se obtiene una demostración constructiva del

siguiente

TEOREMA. A E Xt(Cn) es estable si y SÓlO si la transformación li­

neal asociada a A tiene la propiedad P.

FIGALLO,A.V. (IN.MA.SJ.,U.N.San Juan) y TOLOSA,J.J. (U.N.S.): Las

álgebras ID-K.

225

Llamaremos álgebras ln-K a toda álgebra (A,+,K,l) de tipo de simila­ridad (2,1,0) que verifica los siguientes axiomas para todo x,y E A:

Al) x+x =

A4) KKx+y

, A2) x+(y+z) = (x+y)+(x+z) , A3) (x+y)+x = x ,

, AS) Kx+(x+y) = 1 , A6) K(x+y)+Ky = 1 ,

A7) Ky+(x+K(x+y)) = 1 , AS) (x+y)+((y+x)+((Kx+Ky)+((Ky+Kx)+x)))

= (x+y)+ ((y+x)+ ((Kx+Ky)+ ((Ky+Kx)+y)))

Entonces se prueba:

TEOREMA 1. Toda álgebra 13-K simple es isomorfa a (T,+,K,l), donde

T = {0,1/2,1} y +,K están dados por las tablas:

o 1/2

o

o

1/2

1

1/2

x

o 1/2

Kx

o

o

Sea B = {0,1} la 1n-K subá1gebra no trivial de T. Entonces:

TEOREMA 2. Toda álgebra 1n-K no trivial es subproducto directo de

copias de T y B.

GATTO,A.E. (U.B.A.), GUTIERREZ,C.B. (U.B.A.) and WHEEDEN,R.L. (Rut­gers University, U.S.A.) : Fraationa7, Integra7,s on Weighted HP Spaaes.

We characterize the pairs of doub1ing weights (u,v) on Rn such that

11 la fll q .;;; C 11 fll O < p < q < "" , Hu He

where 1 , a > O, is the fractiona1 integral operator. We a1so consi­a der the behavior of an associated maxima1 function. ApPlications of

the resu1ts to Sobo1ev inequa1ities in weighted LP spaces are given.

A weight function u is said to be10ng to D , ~ ~ 1, if ~

1il(tQ) .;;;

.;;; C tn~ u(Q) for every t ~ 1 and every cube Q e Rn , where u(Q) deno-tes the u-measure of Q and tQ is a cube with the same center as Q but with t times the edge1ength. We wri te D"" = ~~l D Ana10gous1y,

~

u E RD v' v > O, if u(tQ) ~ C t nv u(Q) for every t ~ 1 and every cu-

be Q. 1f a ~ n, we write Na = u-n if a is an integer add ~-n-ll+1

otherwise, where Ixl denotes the integer part of x, and define So."

fox O < a < ti by So. = S and for a ~ n by S~ = {f E S: If(Y) ySdy=O,

Isl .;;; N }. For E,a E R, u a non-negative function ~nd f E S', we in a

troduce the fo110wing maxima1 function:

226

where Bt(x) denotes the ball with center x and radius t.

STATEMENT OF THE MAIN RESULTS.

THEOREM 1. Let 0< p';;;; q < ao, U E Dll n RDv ' v E Dao and E,a E R satis­

fy E > -a/ll if a > O and E > -a/v if a .;;;; O. Then

liMa u E (f)1I .;;;;C 11 fll " Lq HP u v

if and only if

IQl a / n u(Q)E/n+l/q .;;;; C v(Q) l/p for every cube Q.

THEOREM 2. Let a > O, O < P < q <ao , u,v E Dao' Then

11 1 a fll q .;;;; C 11 fll p Hu Hv

for every f E Sa

if and only if

IQl a / n u(Q)l/q .;;;; C v(Q)l/p for every cube Q.

The technique used to prove theorem 2 can be used to obtain a suf­ficient condition for the case p=q.

As an application of the results aboye we mention the following So­

bolev type inequality: If 1 < p .;;;; q < ao, then

for every f E cao with support disjoint o

from the origin if and only if

and 1 l.;;;; 1 . p q n

When l/q > -y/n , (1) is valid for every f E cao by passing to the o limi t.

GONZALEZ,R.L.V. (CONICET-UNR): DuaLidad y gradientes aonjugados en

eL tratamiento de probLemas de programaai6n LineaL.

Se muestra en este trabajo cómo el método de gradientes conjugados puede -ser utilizado (previo agregado de necesarias modificaciones) en la resolución de problemas de programación lineal (PPL).

En una primera etapa se transforma PPL en un problema coercivo equi valente. Esto se realiza introduciendo una transformación F(x): R -+ R, cuyo cálculo implica la solución de un problema coer­civo. Los puntos fijos de la transformación F son las soluciones

del PPL y se calculan a través de la iteración xn+l = F(xn). Se de-

227

muestra en este trabajo que siempre se alcanza un punto fijo al ca­bo de un número finito de iteraciones.

La transformación F se calcula resolviendo el problema coercivo aso ciado, por el método de dualidad, buscando los puntos deensi11adu­ra de un Lagrangiano L(y,p) obtenido del PPL original a través del agregado de multiplicadores para las restricciones y de una pertur­bación cuadrática de la· función lineal a ser minimizada.

El problema final a ser resuelto tiene la forma max(min L(y,p)), p:?:O y

que es la optimización de una funci6n cuadrática en el conjunto

p+ = {p E Rm / p ~ O}. Esta optimizaci6n se resuelve utilizando una modificación del método de Po1yak (1) de gradientes conjugados de optimizaci6n con restricciones. Este nuevo algoritmo, tal como el de Po1yak, conver~e en un número finito de pasos.

El algoritmo global obtenido de esta forma converge hacia la solu­ci6n buscada en un número finito de etapas.

La metodología desarrollada de esta forma permite resolver proble­mas de grandes dimensiones en minicomputadoras; en efecto, la pro­gramación del algoritmo es sencilla (menos de 100 líneas en BASIC) y los requerimientos de memoria son pequeños ya que además de los elementos no nulos de la matriz que define el PPL original se nece­sita reservar s610 2 vectores auxiliares de dimensi6n "n" (dimen­si6n de las variables prima1es) y 3 vectores de dimensión "m" (di­mensión de las variables duales).

(1) B.T.Polyak - USSR. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 9: 94-112 (1969).

GONZALEZ,R.L.V. (CONICET-UNR): SoLución num4rica de probLemas de

juegos diferenciaLes de suma nuLa con tiempo de detención.

Se estudia en este trabajo la soluci6n numérica de la inecuación de

Hamilton-Jacobi-I.saacs (inecuación variaciona1 bilátera) asociada a problemas de juegos diferenciales de suma nula con tiempos de de­tenci6n. Empleando elementos finitos lineales y discretizaciones que satisfacen un principio de máximo discreto, se obtiene un pro­blemaaproximado cuya soluci6n existe, es única y puede ser calcu­lada por un algoritmo iterativo de tipo relajaci6n. Se prueba asi­mismo la convergencia uniforme de las soluciones aproximadas hacia la funci6n V "valor del juego" y se da una acotaci6n de la veloci­dad de convergencia.

HANSEN,G. (U.B.A.): EL espacio af1:n ampLiado:· IV. EL teorema de aa-

228

cesibilidad y los teoremas de separaci6n por hiperplanos.

Se presentan versiones en el espacio afín ampliado de los teoremas clásicos de la convexidad relativos a los temas mencionados en el título.

HARBOURE,E. (PE,MA (INTEC-CONICET-UNL)): Desigualdades de Sobolev y

Poincaré con pesos y algunas aplicaciones.

Se demuestran aquí versiones locales y pesadas de las desigualdades

de Sobolev y Poincaré con dos pesos diferentes. Más concretamente,

se dan condiciones sobre los pesos w y W Pfra que valgan las desigual­dades

i) (JlflqW)i/q ~ C(JIVfIPw)i/P q ~ P , para toda f E C~,

ii) JQlf-fQIPw ~ C JQIVf lP w donde f Q denota el promedio de f

sobre el cubo Q.

Se exhiben dos aplicaciones de estos resultados. Por un lado se demuestra una desigualdad de Harnack débil para una clase de opera­

dores elípticos degenerados, y por otro se hallan estimaciones del menor autovalor de una ecuaci6n tipo Schroedinger.

MARANGUNIC,P.R. y TURNER,C.V. (PROMAR (CONICET-UNR)): Vinculación

del tipo de soluci6n de un problema de Stefan a dos fases con el

valor numérico de una integral de energía.

Se completan algunos resultados contenidos en el trabajo de A.FASA­

NO - M.PRIMICERIO (Quart.Appl.Mat,h., 38 (1981), 439-460), referidos al problema de Stefan a una fase, tanto en el caso clásico (líqui­do con temperatura inicial no negativa) como en el de un líquido

sobre-enfriado. Se estudia el comportamiento de la pendiente de la

frontera libre para el denominado caso B.

Posteriormente, se extienden ciertas propiedades al problema a dos

fases

u = u t O<x<s(t) ,0<t~T v =v set) < x < 1 0< t ~ T xx xx t

u(x,O) = ~ (x) O ~x ~a v(x,O) = 1jJ(x) a ~ x ~

ux(O,t) = O O <t ~ T vx (1,t) = O O < t ~ T

u(s(t) ,t) O O < t ~T v(s(t) ,t) O O < t <T

O<t<T,

en base a la f6rmula integral s(t) = Q - fS(t) u(x,t)dx - Ji v(x,t)dx O s (t)

229

con Q = a + f: ~(x)dx + f:W(X)dX, considerándose el casó del líqui­

do sobre- enfriado con sólido sobre-calentado (~ .;;; O ,W ;;. O), así como

las restantes situaciones (líquido sobre-enfriado con sólido clási­

co, etc.) Se relaciona la existencia de soluciones de tipo A, B ó C

con los posibles valores numéricos de Q.

MARANO,M.A. Y CUENYA,H.H. (U.N.Río Cuarto): Algunos resultados sobre

aproximación local en L 2 .

Sean xi' 1 .;;; i .;;; k, puntos de R, ~E

de polinomios de grado a lo sumo n.

k ~ (xi -E 'Xi +E) Y rrn la clase

Sea n+l = kq+r, O .;;; r < k. Si f está en L2 , existe un único polino­

mio PE en rrn que mejor aproxima a f con respecto a la norma

11 fll = ( f I f ( t) I 2 d t / I 1 1) 1/ 2 • E 1 E

E

Si f es suficientemente suave en los k puntos, existe Po = lím P E-+O E

y es un polinomio en rr n que coincide con las primeras q derivadas de

f en los k puntos. Si r=O esta condición caracteriza unívocamente a

Po' no así si r > O.

En este caso, se prueba que cuando q es impar o bien cuando k 2,

Po queda determinado por la condición adicional de minimizar k ¿ ((f-Po) (q) (xi)) 2 . 1

MARCHI ,E. (IMASL, U.N .San Luis-CONICET): Intercambiabilidad de puntos

de equilibrio en juegos extensivos con información completa.

En este trabajo se demuestra la intercambiabilidad de puntos de equi

librio en juegos extensivos con información completa.

MARTINEZ FAVINI-DUBOST,C. y OUBI~A,L. (U.N.La Plata): Homogeneidad

en hipergrafos.

Se generaliza para hipergrafos la noción de composición por sustit~

ción de grafos: se definen en forma natural las partes .homogéneas

restringidas de un hipergrafo, que constituyen un reticulado parti­

tivo. Se relaciona este concepto con el de comité de un hipergrafo

mediante la introducción de las partes F-homogéneas, para una fami­

lia F de partes del conjunto de vértices.

230

MELLEIN,B. (INIFTA): Cin~tica de reacciones de varios tipos en poZi

meros.

Se considera una cadena de n unidades (un polímero), cada una ini-

'cialmente (t=O) en el estado "no-reaccionado". Dado un número r;;' O

Y números vI ;;. O ' ... 'V r _1 ;;. O, Vr ;;. O se supone que cualquier se-

cuencia de k unidades no-reaccionadas al tiempo t ;;. O, puede sufrir

una "k-reacción" (es decir, todos los k sitios pasan irreversible­mente al estado reaccionado) en el intervalo de tiempo (t,t+h) con

probabilidad vkh + o(h), k = 1, ... ,r. Así, la cadena sufre secuen-

cial y aleatoriamente reacciones de tipo aleatorio, hasta quedarse

solamente secuencias de unidades no-reaccionadas de longitudes

1, ... ,q-1, donde q = 1,2, ... ,r es tal que vI = ... = vq _ 1 = O ,

V~ > o. Variables aleatorias de gran interés son K~(t), el número

de k-reacciones ocurridas hasta el tiempo t y L1 (t), el número de n

secuencias (máximas) de longitud 1 presentes en la cadena de n uni­

dades al tiempo t.

Las medias de estas variables aleatorias satisfacen, cada una a su

vez, un sistema de ecuaciones diferenciales. Este se transforma en

una ecuación diferencial parcial para la respectiva función genera­

triz. Las soluciones de estas ecuaciones dif. parciales permiten o~

tener la forma asintótica (n ~ 00) de las respectivas medias. Para n

la variable aleatoria N (t) = I lL!(t), el número total de unida-n 1';'1

des no-reaccionadas al tiempo t, se estudia también la varianza. Fi

nalmente, dejando tender r ~ 00, se hace contacto con el famoso mod~

10 continuo de Rényi (1958). El modelo bajo consideración constituye

una generalización de modelos de Cohen & Reiss (1963) y Boucher (1973) .

MIATELLO,R.J. Y WALLACH,N.R. (IMAF-CONICET): Series de Whittaker y

formas cuspidaZes.

Sea G = SL(2,R), r un subgrupo discreto de G tal que vol(r\G) < 00 y

con una única cúspide en id. Sea G = NAK una descomposición de Iwa­

sawá de G. Se generaliza la noción de serie de Poincaré por medio

de una familia W (g,A,<P1 ) = L w (g,A,<P1 ) m E N, g E G, A E e y m roo\r m

Re A > 1 ,lE Z donde wm(g,A,<P 1) es una entrada matricial de la se

rie principal con la propiedad

n E N , k E K

(la función Wm(g,A,<P 1), a E A está íntimamente ligada a la función

231

clásica de Whittaker (M_ 1/ 2 ,A(Y)'y > O). Se prueba

TEOREMA. (i) Wm(g,A'~l) admite una prolongaci6n meromorfa a C.

(ii) Se pueden calcular explícitamente los coeficientes de Fourier.

(iii) Se satisface la ecuaci6n funcional

con a1,b1,d 1 meromorfas y E(g,A'~l) la serie de Eisenstein.

(iv) Si 1 E N , 1 ;;;. 3, Wm(g,1-1'~1) corresponde a la serie de Poinca-

ré clásica Gm, 1 (z) ¿ e21Timyz

rOO\r (cz+d)l

NOTA. En parte el resultado se mantiene para cualquier grupo de Lie semisimple de rango 1.

MILASZEWICZ,J.P, (U.B.A.): Sobre redueeión e{eZiea pareiaZ.

Sea el sistema (1)x = Bx + b, donde B es una matriz de orden n con

coeficientes no negativos y diagonal nula, cuyo radio espectral r(B)

es menor que 1, b es un vector de datos y x es lasoluci6n a deter­minar. La sustituci6n de x j por su ecuaci6n en las restantes ecuar

ciones produce el sistema equivalente (1') x = B'x + b'. En "ImpTo­ving Jacobi and Gauss-Seidel iterations", a aparecer en Linear A[g~ bra and its Applications, hemos demostrado que r(B') es menor o i­gual que r(B), y que si B es irreducible, entonces vale la desigual dad estricta, lo cual implica que las iteraciones de Jacobi para (1') convergerán asint6ticamente más rápidamente que las correspon­dientes para (1). Si se llama L a la matriz cuya j-ésima columna es

la j-ésima de B y cuyas restantes coordenadas son nulas, poniendo U := B-L, se tendrá que B' = LB + U. Se plantea la cuesti6n sobre qué ocurre si consideramos en lugar de Luna submatriz S de B y, d~ finiendo T := B-S, planteamos el sistema (equivalente al (1))

(1") x = B"x + (I+S)b, donde B" := SB + T. La respuesta es que si

L .;;; S (desigualdad coordenada a coordenada), entonces r(B") .;;; r(B'); este resultado vale también si L, en lugar de ser la ya definida,

es una submatriz de B.

MILLAN DE ESCUDERO,Z. Y MORALES,E.E. (U.N.San Juan): ApZieaeión deZ

método de Zos eZementos finitos a un probZema de fiZtraeión en un

medio poroso anisotropo.

Mediante un programa de computadora basado en el método de los ele­mentos finitos se ha determinado la red de flujo y los caudales de

232

circulaci6n de un perfil de una Presa de tierra con características

anisotr6picas y variables de la permeabilidad del material.

Los elementos finitos utilizados son triángulos por lo cual la va~

riaci6n del potencial es lineal según las coordenadas de cada elemen

to y resultando una velocidad constante para cada uno de ellos.

La anisotropía de permeabilidad se define mediante dos ~irecciones

ortogonal'es que simulan una estratificaci6n y el ángulo de inclina­ci6n de una de ellas, que define la inclinaci6n de la estraficaci6n en cada elemento. En consecuencia se puede variar de elemento a e­lemento la anisotropía tanto en permeabilidad como en inclinaci6n.

El medio poroso se subdivide por medio de elementos triangulares re­sultando nudos 6 puntos que se denominan de fronteras e interiores. En los de fronteras el potencial H es conocido y deséonocido el cau­

dal, mientras que en los puntos internos es desconocido el potencial y conocido el caudal a través de la ecuaci6n de ~ontinuidad y las condiciones de sumidero 6 fuente.

A partir de la matriz de flujo de cada elemento y de las condiciones

de continuidad en cada punto se forma la matriz de flujo total. Es­

ta matriz se particiona para resolver los valores desconocidos de H y de Q.

Por último se da una breve explicaci6n del programa utilizado para

obtener los valores de los sobreniveles y de los caudales desconoci­dos.

MILLAN DE ESCUDERO,Z. y ORTIZ,S. (U.N.San Juan): Espeat~os de ~es­

puesta de aaeZe~aai6n s!smiaa absoZuta.

Se presentan espectros de respuesta de aceleraci6n absoluta de vi­braciones lineales amortiguadas sometidas a movimientos sísmicos.

Con el objeto de analizar sus particularidades se aplican acelero­

gramas de movimientos tipos, de duraci6n finita e infinita.

Se comparan estos espectros con los correspondientes espectros de respuestas de la aceleraci6n relativa o pseudo-aceleraci6n.

NEME,A. Y CESCO,J.C. (IMASL, U.N.San Luis-CONICET): La soZuaión nu­

aZeoZa~ pa~a eaonom!as de inte~aambio pu~o.

Nosotros ·introducimos un concepto de soluci6n para economías de in­

tercambio puro. Ella tiene su apoyo intuitivo basado en un importa~ te concepto en Teoría de Juego, introducida por D.Schmeidler: El Nu

cleolo.

La soluci6n también exhibe interesantes ~esultados analíticos tales

233

como existencia y unicidad, bajo condiciones débiles. Aún más, apa­rece como soluci6n de un muy simple programa no lineal. El concepto es altamente dependiente de las funciones utilidad usada como repr~ sentante de las preferencias de los consumidores.

Muchas caracterizaciones han sido presentadas incluyendo una generru

sobre los puntos Pareto.

NORIEGA,R.J. Y SCHIFINI,C.G.(U.B.A.): Densidades esaaZares aonaomi­

tantes de un aoveator, sus derivadas y una métriaa.

En este trabajo se determina la forma general de las densidades es­calares del tipo L L(g .. ;~.;~, .), donde g,. es una métrica Lo-

1J 1 1, J 1J

rentziana y ~i' es un covector. Se demuestra que existe una funci6n

f de cuatro variables reales tales que L = ¡g f(a,~,p,jJ), donde

a det(Fij)/det(gij)' ~ = FijFij , P = ~i~i'y jJ = ~i~jFkiFkj siendo

F .. =~ .. - ~ ..• Este resultado se aplica para probar que el Lagra~ 1J 1,J J,1

giano de Weyl es esencialmente el único que ~a lugar a las corres­pondientes ecuaciones de campo. Tomando la constante cosmo16gica i­gual a cero, se deduce un resultado análogo para el Lagrangiano de Einstein-Maxwell. Estos resultados extienden un teorema anterior de los autores (Gen.Rel.Grav. por aparecer, 1984).

PALOSCHI,J.R. (PLAPIQUl,UNS-CONICET) y p,ERKINS,J.D. (IMPERIAL COLLª GE, Londres): EsaaZado interno en Za resoZuaión numériaa de siste­

mas de eauaaiones aZgebraiaos no ZineaZes.

En la resoluci6n numérica de sistemas de ecuaciones algebraicos no lineales se pueden utilizar métodos que presentan teóricamente la propiedad de invariancia a cambios de escala. En la práctica, a pe­sar de ello, los c6digos que implementan dichos métodos son depen­dientes de la escala utilizada. Se han propuesto en el pasado mu­chas técnicas de escalado interno que tienen por objeto minimizar la 4ependencia de la escala, Estas técnicas han estado basadas ma­yormente en el equilibriQ de las variables o de ecuaciones.

En' este trabajo se propone un algoritmo de escalado interno basado en la optimizaci6n del condicionamiento numérico del problema no l! neal (en el sentido de RHEINBOLDT [1]). Para ello se propone el es­calado de variables y ecuaciones de manera tal que el número condi­ci6n de la matriz del Jacobiano sea 6ptimo· (considerando matrices de escalado diagonales). Se utilizan los resultados de BAUER [2].

El uso del algoritmo es ilustrado utilizando los métodos. propuestos en [3] mediante un conjunto de ej~mplos clásicos.

234

[1] Rheinboldt,W.C. "On measures of ill conditioning for nonlinear equations" Math. of Comp., Vol.30-1976.

[2] Bauer,F.L. "Optimally scaled matrices" Numer. Math. Vol.5-1963.

[3] Paloschi,J.R. "The numerical solution of nonlinear equations re presenting chemical processes" Ph.D.Thesis-University of Lon­don-1982.

QUINTAS,L.G. y MARCHI,E. (IMASL, U.N.San Luis, CONICET): Todos los

Puntos de Equilibrio a partir de un conjunto finito de Puntos Extre

males.

La noci6n de Punto de Equilibrio para juegos Standard fue introduci­

da por Nash en 1959, quien también prob6 la existencia de puntos de

equilibrio en la extensi6n mixta de un juego finito, usando teore­mas de punto fijo. Sin embargo no se conocen algoritmos efectivos que sirvan para computar tales puntos.

En este trabajo se da un algoritmo para computar todos los puntos de equilibrio de cualquier juego bi-personal finito en extensi6n mixta.

Esto se logra computando ciertos puntos de equilibrio extrema1es y

se consigue generar el conjunto de puntos de equilibrio por combi­

naciones convexas de dichos puntos extremales (existe un número fi­nito de puntos de 'equilibrio extremales).

Finalmente se da una formulaci6n que permite calcular todos los pu~ tos extrema1es y se da una condici6n que permite determinar cuáles

son puntos de equilibrio extremales .

. RUBIO SCOLA,H.E. (U.N.Rosario): La funci6n signo matricial en el a­

nálisis y diseño por ordenador de controles multivariables. Algori!

mo de cálculo y aplicaciones.

En el análisis de problemas de controles multivariables es necesa­rio ~eso1ver con frecuencia problemas de determinaci6n de estabili­dad y ecuaciones algebraicas de Lyapunov y Riccati. El uso de la funci6n signo matricial brinda un método de fácil programaci6n y tiempo de cálculo reducido, que permite tratar estos problemas con

una sola herramienta de c6mputo que se muestra superior a los méto­dos convencionales utilizados.

Presentaremos en este trabajo las siguientes aplicaciones de la

funci6n signo matricial.

a. Estabilidad de sistemas

b. Positividad de matrices simétricas

c. Ecuaci6n Matricial de Lyapunov

235

d. Ecuación matricial de Riccati

e. Simplificación de sistemas lineales de control multivariables.

Finalmente se analiza en detalle el cálculo de la función signo ma­

tricial y se comparan diferentes algoritmos de cómputo, mostrando la

conveniencia de usar el algoritmo de Barraud (Investigations Autour

de la Fonction signe d'une matrice . Application a l'équation de Ri­

catti. R.A.I.R.O. Automatique/Systems Analysis and Control, 1979,

vol.13, n04, p.335 a 368). Asimismo se han encontrado contraejemplos

que demuestran la no optimalidad del algoritmo presentado como "ópti­

mo" en Balzer (Accelerated convergence of the matrix sign function

method of solving Lyapunov, Riccati and other matrix equations. Int.

J. Control, 1980, vo1.32, n06, 1057, 1078).

SAAD, E. (IMASL, U.N.San Luis, CONICET): Pseudo-Punto de EquiZibrio

de Juegos GeneraZes de n-Personas.

Dado un juego general de n-personas r = {Li; Ai ; i E N} , donde los

conjuntos de estrategias L. son subconjuntos no-vacíos y compactos l.

de algún espacio Euclideo, las funciones de pago Ai son continuas,

definidas sobre X ~. a valores reales y N {1, ... ,n}. ie:N ¿l.

Se definen los "conjuntos máximos" W.(o {.}) como subconjuntos de J N- J

Lj donde la función ~e pago Aj es máxima, luego se asigna a cada j~

gadori E N un conjunto g(i) ~ N arbitrario.

Se define como un Pseudo-Punto de Equilibrio del juego r a una estra

tegia conjunta 0* (O*l,···,on*) E L = X Ll.' tal que: ie:N

E Wi (o~_{i})

min A.(s (')'ON* ('») U( ') l. g l. -g l.

Sg(i)e: l.

donde U(i) = {s ('): para todo j E g(i), s. E W'(ON* {.})} g l. . J J - J

Se da una interpretación intuitiva y estratégica de este nuevo con-

cepto como "regla de comportamiento", como así ·también el correspo!!.

diente teorema de existencia, que se relacioºa con la existencia de

puntos de Equilibrio de un juego generalizado ra asociado al juego

r bajo consideración.

Este concepto generaliza en cierto sentido el definido e introducido

por E.Marchi en "Pseudo-Saddle-Points for non-zero-sum two-person

simple and Generalized Games", Proc.Lond.Mathem.Soc.Vol.XVIII janua­

ry 1968.

236

SAAL,L. (IMAF-CONICET): El operador de Szego en el caso SU(1,1).

Sea SU(1,1) = KAN una descomposición de Iwasawa. En este caso

K T {z E e / Izl = 1} Y G/K = D = {z E e / Izl < 1}. Para

n E iN, n> 1, sea ~n la medida sobre D definida por ~n(d~)

2n;1 (1_1~IZ)Zn-Zm(d~), donde m es la medida de Lebesgue en RZ, y

sea H {f E LZ(D,~ ) / f es holomorfa n n en D}, El operador de Szego

S va de COO (K) en H n y est.á definido p·or n

Snf(z) - J: rr e-ine(1_ze-ie)Zn f(e/2) d8

El objeto del presente trabajo fue estudiar la continuidad de S n

TEOREMA. Para todo k entero no negativo, sea

= {f E LZ(T,de) / f(l), ... ,f(k) E LZ(T,d8)} donde f(ro) es la deriva­

da de orden m tomada en el sentido de las distribuciones. k Z ~ Z k A Z H (T,d8) es un espacio de Hilbert con IIfll k = ¿ (1+n ) If(n) I .

nEZ aa f Z

----~- E L (D'~n) para todo lal al a Z ax ay aaf Z

= III a allz lal~k a la Z L (D,~ ) x y n

donde

tomado en el sentido de distribuciones.

Por el método de interpolación cuadrático y dualidad definimos

HS(T) y HS(D,~ ) para todo s E R. Entonces el operador n

es

Sn: Hs+n-l/Z(T) ~ HS(D'~n) es continuo para todo s E R, n E i N,

n > 1.

SADOSKY,C. (U.B.A.): Desigualdades ponderadas para los coeficientes

lacunares (y otros) de funciones anallticas con condiciones de inte­

grabilidad en el contorno.

Un teorema clásico de Paley asegura que los coeficientes lacunares

de una función analítica definida en el círculo, de clase de Hardy

HI , pertenecen a t Z. El resultado dual, que vincula las normas de Z 00 t y de L puede obtenerse directamente y en forma constructiva me-

diante el teorema de momentos de Nehari. Este último resultado es consecuencia diiecta de la representación integral de los rtúcleos de

Toeplitz mayorados.

A partir de ese resultado, en el presente trabajo se obtienen desi­

gualdades ponderadas para los coeficientes lacunares de funciones

237

analíticas de clas~ de Nevanlinna N+, con valores en el contorno en

ciertos espacios de Lebesgue ponderados (que ho implican integrabi­

lidad). Estas desigualdades generalizan el teorema de Paley así co­

mo sus resultados duales. Desigualdades análogas son válidas para la

sucesión de todos los coeficientes o para las sucesiones correspon­dientes a índices Nr , para r fij o.

Estos resultados corresponden a pesos en rangos distintos a los tra­

tados en la teoría de continuidad de la transformada de Fourier.

SANCHEZ,C.U. (FAMAF-CONICET): Subvariedades k-Simétricas de RN, k

par.

Continuando el estudio realizado sobre las subvariedades k-simétri­

cas de RN en el cual se consideró el caso k = 2j+l, est~ trabajo se

centra en el caso k = 2j el cual requiere métodos nuevos para su es­

tudio. El caso k = 2 fue estudiado por D.Ferus sobre la base de sus

trabajos en subvariedades con segunda forma fundamental paralela,

pero estos métodos no son aplicables para k mayor que dos ya que es

tas subvariedades no tienen segunda forma paralela.

En este caso se obtiene un teorema de descomposición para estas sub­

variedades y resultados sobre su naturaleza intrínseca que, espera­mos, será de gran utilidad para completar uria clasificación similar

a la que obtuvimos en el caso impar.

SCARPARO,R.C. (PROMAR (CONICET-UNR)): Sobre el Relevamiento de Selec

ciones Medibles.

Se obtiene, entre otros, el siguiente resultado: Si X es un 'paved­

space', (k-a)-paracompacto para todo k,E y F espacios de Hilbert, n

un esfimorfismo de F en E, cp: X -+ E una multifunción y1/!: X -+ F

una multifunción medible tales que cp = no1/! entonces para cada selec­

ción medible f de cp y cada E > O existe una selección medible E-a­

proximada g respecto a 1/! que releva a f.

TARAZAGA,P.,CESCO.J.C. Y NEME,A. (IMASL, U.N.San LuIs-CONIeET): So­

bre la correspondencia insumo-producto en un modelo de transforma­

·ción en n-etapas.

En este trabajo se estudia un modelo de transformación de bienes co~ puesto de n-etapas, aunque por simplicidad, solo se han descripto dos. Cada etapa representa la transformación de un conjunto de bie­

nes en otro conjunto que servirá de insumosa la etapa siguiente. De

238

esta manera, el modelo determina las posibilidades de transformación

de un vector de bienes de salida o finales.

Como los esquemas de transformación en general no son únicos, un

vector de entrada da origen a un conjunto de posibilidades de vecto

res de salida. En la primera parte de este trabajo se estudia esta correspondencia.

Un análisis detallado de la misma, permite a su vez dar condiciones

necesarias para que, dado un vector de entradas, un vector determi­nado de salida pueda ser realizado. También permite generar condicio

nes suficientes.

Se aborda además el problema de selección de puntos en la menciona­da correspondencia. Para ello, se define un subconjunto de la co­

rrespondencia denominado frontera eficiente que representa vectores

de salida mejores en cierto sentido. Por analogfa se define la fron­

tera ineficiente.

Se obtienen puntos representativos en estas fronteras.

TlRAO,J. y BREGA,A. (IMAF): El anillo clasificante de SO(4,1).

Sea G un grupo de Lie conexo, semisimple y con centro finito, g la

complexificación del álgebra de Lie de G y G el álgebra universal de

g. Sea G = KAN una descomposición de Iwasawa de G, k Y a las com­

plexificaciones de las álgebras de Lie de K y A respectivamente y

GK el centralizador de K en G.

El estudio del álgebra de GK es de gran interés en la teorfa de re-

presentaciones de G. Para estudiar esta álgebra uno tiene un anti-homomorfismo inyectivo,

P: GK ~ KM ® A

donde M es el centralizador de a en K, K el álgebra universal de k

y A el álgebra universal de a.

En este trabajo determinamos explfcitamente la imagen P(GK) cuando

G = SO(4,1). Resultando ser un álgebra de polinomios en cuatro inde­

terminadas. La imagen de P es caracterizada de la siguiente manera:

se define una subálgebra B de KM ® A que contiene a P(GK) y es esta­

ble por la acción del grupo de Weyl W , entonces probamos que

BW. Cuando G = SO(4,1) la acción de W es triviaL, por 10

tanto uno obtiene P(G K) = B. Luego, uno prueba que B es un álgebra

de polinomios en cuatro indeterminadas.

TORANZOS,F.A. (U.B.A.): Soluci6n combinatoria del Problema de Syl-

239

vester generaZizado.

Sea P un conjunto finito de puntos del plano (con card P > n+l) tal

que no haya dos puntos de P en la misma vertical. Entonces existe un polinomio de grado a 10 sumo n, cuyo gráfico incluye a todo P o,

precisamente, a n+l puntos de P. Para n=l este enunciado es un pro­

blema clásico propuesto por Sylvester (1893) y resuelto por T.Gallai

(1933). Peter Boxwein ha obtenido recientemente (1983) una demostpa

ción· del enunciado generalizado en la. que utiliza la estructu;a mé~ trica del plano y l~ teoría d~ espacios unimodulares ~e Haar d~ ~uª ¿iones continuas. El objeto'de esta comunicación es vérificar que cl

problema de Syl~ester y sus generalizaciones ~on de carácter c~mbi­

natorio puro. Esta verificación se consigue demostrando el enuncia­

do generalizado del comienzo, sin emplear ninguna estructura métri­ca ni topológica.

URCIUOLO,M. (IMAF-UNC): IntegraZes singuZares sobre ciertas super­

ficies reatificabZes.

Se define, para todo k < n,

lIk {J.l medidas de Radon en Rn / existe c > O con J.l(B(x ,r)) ,¡;;; c r k . o

para todo x E Rn } o

¿k {a E lIk / existe y > O·con a(B(xo,r)) ;;. y r k para todo

Xo E Yo p a}

Si k es una función Coo(Rn - {O}) impar y homogénea de grado -k y

J.l E lI k , se define, para toda f E L2(dJ.l)

T~ f(x} = ~~B 11 J 1 k(x-y) f(y) dJ.l (y) 1 x-y ~e;

se obtiene el siguiente resultado

TEOREMA. Sea a E ¿k' J.l E lI k Y K E Coo(Rn_{O}) impar y homogénea de

grado -k, supongamos que para todo P E (1,00) T*' LP (da) -+ LP (da) a"

es acotado. Entonces para todo P E (1,00) se tiene T*: LP(da) --)- LP(dJ.l) a

Si S es una superficie de dim k en Rn dada por la gráfica de una

función de Lipschitz .p: Rk -+ Rn- k , se define una medida a sobre

Rn , con soporte en S, que generaliza. la noción de "elemento de área

sobre S" y se prueba que esta a E ¿k y que T~: LP(da) -+ LP(da) es

continuo y por tanto T~: LP(da) -+ LP(dJ.l) y

240

son continuos para todo ~ E ~k.

VARGAS ,J. (IMAF-CIEM): Horoesferas en espacios Pseudosimétricos.

Sea X = GIGa un espacio homogéneo donde G es un grupo algebraico se

misimple conexo y Ga una forma real de G. Una horoesfera en X es la

órbita de un subgrupo unipotente maximal de G en X.

TEOREMA 1. Las horoesferas en X son cerradas.

TEOREMA 2. El espacio de horoesferas es una variedad diferenciable,

unión disjunta de un número finito de espacios homogéneos.

VILLA,L.T. (U.N.Salta): Transformaciones de segundo orden y proble­

mas de Stefan con calor latente despreciable.

Se considera el siguiente problema de Stefan unidimensional con dos fases para la conducción del calor

CX1Vxx-V t O en Di - {(x,t) I O < x < s (t) , t > O}

cx 2Uxx -U t O en D2 - {(x,t) I s (t) < x < 00, t > O}

U(x,O) U para O ";X ";00 a

V(O, t) VI U(+oo,t) U t > O a

U(s (t) ,t) V(S(t) ,t) = W = cte. , t > O

K2 Ux(s(t),t) - KIVx(s(t) ,t) = .e. ds dt

Se concluye que el modelo anterior puede describir satisfactoria­

mente un proceso de cambio de estado con calor latente despreciable

en el caso particular pero de mucho interés tecnológico cual es el

de ciertos materiales que experimentan gelificación por aumento de

temperatura.

Se obtiene una desigualdad a priori para la temperatura W de cambio

de estado.

VIVIANI,B. (PEMA (INTEC (CONICET-UNL))): Operadores seudodiferenci~

les con homogeneidades generalizadas.

En el trabajo "Lecture notes on pseudo-differential operators and

elliptic boundary value problems, 1" de A.P.Calderón, se da un des­

cripción de la Transformada de Fourier de distribuciones que coinci

den fuera del origen con funciones homogéneas, la que es usada para

obtener una caracterización de las soluciones fundamentales de ecua

ciones diferenciales ~lipticas.

241

Estos resultados no abarcan a los operadores diferenciales parab6li

cos, como es el caso del operador relacionado con la ecuaci6n del

calor.

En el presente trabajo generalizamos los resultados mencionados pa­

ra el caso de distribuciones que son homogéneas en un sentido más

general. Esto nos permite obtener una descripci6n de las soluciones

fundamental'e.s de ecuaciones diferenciales parab61icas._

TEOREMA 1. Sea {una funci6n de c,lase" e"'(Rn-{O})" y homogénea ~e gr-ª­

do -a-klai - ... -keas ' con i, ... ,s: 1, ... ,n; {kr}~~l enteros no

n negativos y a = ¿

j=l a.

J un número real.

Sea K la distribuci6n que coincide con f en Rn-{O}. Si la única so n

E Nn luci6n de k¡a i + ... + k.eas ¿j=l CLa. para todo a es: J J

a. = kl,···,a s = k.e ' a. O para todo j # i, ... ,s; entonces K (x) = l. J

1 = P(x) + h(x) + Qk k (x) lag r(x) donde P(x) es un polinomio, 1 ' ..• , .e

h(x) E e"'(Rn-{O}) homogénea de grado kla i + ... + k.eas y Qk , ... , (x) 1 k.e

es un polinomio homogéneo de grado klai+ ... +k.eas de la forma:

k l + ... +ke f k l ko k l ko (2ni) "- "-x .... x y .... y f(y)

k ' k' r (y) = 1 l. S l. S 1 . . •. .e. dy ,

donde r(x) es una métrica de tipo parab6lica.

TEOREMA 2. Sea A E 1:, m E R, m < O Y K el núcleo de distribuci6n

asociado. Si kla i + ... + ktas se escribe de esa única manera como

combinaci6n lineal de {a.}~ 1 con coeficientes enteros no negativos l. l.=

{kr}~=l y para todo i, ... ,s E {1, ... ,n}; entonces existe un entero

N ;;. 1 tal que

N K ¿ ¿ (h~(x,x-y)+Q~(x,x-y,log (1 )) + RN(X,x-y) ,

j=O lal=j J J r x-y

n

donde h~(x,z) E e"'(x, Izl' > O) Y es homogéneo de grado -m-Ik=l akak-a,

lal = j en la segunda variable; Q~(x,z) es un polinomio con coefi-J

cientes e'" en x y homogéneo de grado -m-I:=l akak-a , lal = j en la

segunda variable. RN(x,z) es de clase e'" para Izl > O Y pertenece

a ek para algún k = k(N).

INDICE DEL VOLUMEN 31

Números 1 Y 2 (1983) Y Números 3 y 4 (1984)

E~~ellado~ y ~epa~ab~l~dad en un ~~~tema ax~omát~eo pa~a la eonvex~dad

Juan Carlos Bressan .••..•.•.....•........................

A two-~tep~ ~nte~ehange ma~ket model Ezio Marehi, Eduardo Saad y Pablo Tarazaga

On the ~elat~on between Va~l~ngton ~eal~zat~on~ 06 eont~aet~ve and j-expan~~ve mat~~x-valued 6unetionl.>

242

6

EIsa Cortina ..•......••..•••..•.......................... 17

Algeb~a~ eon no~ma mult~pl~eat~va he~m~t~ea Christoph Lübbert

Inne~ de~~vat~on~ w~th elol.>ed ~ange ~n the Calk~n algeb~a. 11: The nDn-~epa~able ea~e

Lawrenee A.Fialkow y Domingo A.Herrero

What Fa ~et~ can be nume~~eal ~ange~ 06 ope~ato~~?

25

32

Domingo A. He rre ro ..••.•••.........••..........•....•.... 4 O

Cl~660~d ~I.>omet~~e~ 06 eompaet homogeneou~ R~emann~an man~60ld~

Osear A. Campoli ••..•••.•......•...•••..........•..•..... 44

50

XXXIII Reun~6n Anual de la U.M.A. y VI Reun~6n

Conjunta de la Soe~edad Matemát~ea Pa~aguaya y la U.M.A ....... 51

Impl~e~t p~ed~eto~ eo~~eeto~ method~ 60~

PVE'~ w~th eonveet~on and d~66u~ún

52

Die,go A. Murio ........................................... 85

H.Dasgupta and B.K.Lahiri

Mapp~ng theo~em~ ~n pa~ano~med ~paee~

Mihai Turiniei

The ~elat~ve gene~al~zed jaeob~an mat~~x ~n the ~ubd~66e~ent~al ealeulu~

99

106

Telma Caputti ............................................. 116

A note on the exten~~on 06 L~p~eh~tz 6unet~on~

Telma Caputti •••••.••..••••••••••.•••.•.•••....•..•..•... 122

243

Compa~aQ~6n de ~oluQ~one~ de la~ eQuaQ~one~ de P~and:t.l en el Qa~o e~:taQ~ona~~o b~d~men~únal

Julio E. Bouillet •......•.••..••..•......•...•.•......••. 130

The holomo~ph~Q 6unQ:t~onal QalQulu~ A.Larotonda and I.Zalduendo .•••••.•.•......••.•..•.•..•.. 139

The gene~al 60~m 06 ~~o:t~OP~Q :ten~o~~

Ricardo J. Noriega .••••••.••••...••.•••.•........•..•..•. 149

ReduQ:t~on 06 Qod~men~~on 06 ~~ome:t~~Q ~mme~~~on~

be:tween ~nde6~n~:te R~emann~an man~60ld~

155

Marcos Dajczer ••••••••••.•••.••.......•••••.....•••...... 167

La va~~edad de d~~:tanQ~a~ en:t~e pun:to~

P.Fauring, F.Gutiérrez y A.Larotonda •••.•••••••...••....• 179

F~n~:te :te:t~avalen:t modal algeb~a~ Isabel Loureiro ••••••••.••••••••••....•..••.•.•••••••..•• 187

The un~qu.ene~~ 06 :the Qova~~an:t de~~va:t~ve Ricardo J. Noriega •••••.••••••.••.•.•.••.•••••.•...•.•.•. 192

A no:te abou:t :the Qon~~~:tenQy 06 an ~n6~n~:te l~nea~ ~nequal~:ty ~y~:tem

M.A.Goberna, M.A.López and J.Pastor ..•••••••....••.••.•.• 197

On :the E-~ubd~66e~en:t~al 06 a ~onvex 6unQ:t~on

Telma Caputt i ••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••••.. 202

Re~úmene~ de la~ Qomun~QaQ~one~ p~e~en:tada~ a la XXXIV Reun~6n Anual de la Un~6n Ma:temá:t~Qa A~gen:t~na 211

Ind~Qe del Volumen 31 ......................................... 242

NORMAS PARA LA PRESENTACION DE ARTlCULOS

Los artículos que se presenten a esta revista no deben haber sido publicados o estar siendo considerados para su publicación en otra revista.

Cada trabajo deberá ser enyiado en su forma definitiva, con todas las indica­ciones necesarias para su impresión. No se envían pruebas de imprenta a los autores.

Cada articulo debe presentarse por duplicado, mecanografiado a cfoble espacio. Es deseable que comience con un resumen simple de su contenido y resultados obte­nidos. Debe ponerse especial cuidado en distinguir índices y exponentes; distinguir entre la letra O y el número cero, la letra I y el número uno, la letra i y t (iota.), E y E etc. Los diagramas deben dibujarse en tinta china. Los sfmbolos manuscri­tos deben ser claramente legibles. Salvo en la primera página, deben evitarse en 10

posible notas al pie.

El artículo deberá acompañarse de una lista completa de los sfmbolos utiliza­dos en el texto.

La recepción de cada trabajo se comunicará a vuelta de correo y en su oportu­nidad, la aceptación del mismo para su publicación.

Los trabajos deben enviarse a la siguiente dirección:

Revista de la U.M.A. Instituto de Matemática Universidad Nacional del Sur 8000 Bahía Blanca Argentina.

NOTES FOR THE AUTHORS

Submission of a paper to this journal will be taken to imply that it has not been previously published and that it is not being considered elsewhere for publicatlon.

Papers when submitted should be in final formo Galley proofs are nol sent to the, authors ..

Papers should be submitted in duplicate, neatly typewritten, double spaced. It is desirable that every paper should begin with a simple bul explicit summary ot lts content and results achieved. Special carer- should be taken withsubcripts and superscripts;' lo show the difference between the letter O and the number zero, the letter I and the number one, the letter i and t (iota), E and E, etc. Diagrams should be drawn with black Indian ink. Symbols which have bee':' Inserted by hand should be well spaced and clearly written. Footnotes not on the tirst page should be avoided as 'tar as possible.

A complete list of the symbols used in the paper should be attached to :ha manuscript.

Receplion of a paper will be acknowledged by return mail and lts acceptance for publication will be communicated later on.

Papers should be addressed to the following address:

Revista de la U.M.A. Instituto de Matemática Universidad Nacional del Sur 8000 Bahía Blanca Argentina.

INOICE

Volumen 31, Número 4, 1984

Reduction of codimension of isometric immersions

between indefinite Riemannian manifolds

Marcos Dajczer ................................ 167

La variedad de distancias entre puntos

P. Fauring, F. Gutiérrez y A. Larotonda 179

Finite tetravalent modal algebras

Isabel Loureiro ................................. 187

The uniqueness of the covariant derivative .

Ricardo J. Noriega .............................. 192

A note about the consistency of an infinite linear

inequality system

M. A. Goberna, M. A. López and J. Pastor 197

On the E-subdifferential of a convex function

Telma Caputti .................................. 202

Resúmenes de las comunicaciones presentadas a la

XXXIV Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina 211

Indicedel Volumen 31 .................... :........... 242

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Reg. Nac. de la Prop. Int. !!' « NQ 288.259 o

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0 2 eo t::::J 0(1)-() >t! ar¡< 0« .. fii .g m.B~ -m '"---JI .c~ .. -mi

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TARIFA REDUCIDA . CONCES. N9 1/Dto. 21

FRANQUEO PAGADO CONeES. N9 25/Dto. 21

AUSTRAL IMPRESOS VILLARINO 739 BAHIA BLANCA