UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA .. SEDE MEDELLÍN

FACULTAD PE C1ENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS BÁSICAS

FERNANDO PUERTA ORTIZ

IVÁN F. ASMAR CHARRIS

ABRAHAM 1. ASMAR CHARRIS

Mayo de 2006

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MATEMÁTICAS BÁSICAS

FERNANDO PUERTA ORTIZ Profesor Asociado, Escuela de Matemáticas Universidad Nacional, Medellín

IV ÁN F. ASMAR CHARRIS Profesor Asociado, Escuela de Matemáticas Universidad Nacional, Medellín

ABRAHAM J. ASMAR CHARRIS Profesor Asociado, Escuela de Matemáticas Universidad Nacional, Medellín (Pensionado)

1 I \.

CONTENIDO

t:", LOS NÚMEROS REALES ...............................

ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES ............... .

DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABI

RAíz CUADRADA ....................................... .

TALLER NÚMERO l ................................................. .

VALOR ABSOLUTO.................................... ..

DESIGUALDADES EN VALOR ABSOLUTO........

MÁXIMO COMlJN DIVISOR y MÍNIMO COMÚN

FACTORIZACIÓN y ECUACIONES POLlNÓMIC

TALLER NÚMERO 2 ................................................. .

POTENCIACIÓN ...................................................... ..

RACIONALiZACIÓN........ ,,,.,., .... , ............................ ..

TALLER NÚMERO 3 ................................................ ..

EXPONENCIACIÓN y LOGARITMOS.. """"......... ..

TALLER NÚMERO 4.. " ............................................. .

RECTAS .............. , .. ,.................................. ..

RECTAS PARALELAS.................................. ..

RECTAS PERPENDICULARES ....................... ..

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CO

LAS CÓNICAS ........................................ ..

TALLER NÚMERO 5." ... "" .."""............................ " ..

ALGUNOS ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ......."" ..

TALLER Nl':IMERO 6 ................................... ..

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................. .

TALLER NÚMERO 7... .............................................. ..

I S:>1D ·lJ

CONTENIDO P'O~ E::¡·e

LOS NÚMEROS REALES . ... .... .. ... . . .. ....... . .. ... ..... ... .... ... ... .... ... ... ....... ........ .... .... ..... ........ ... .... .... .... ...... ... . 1

ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES .. ... . .... ... . . .. . . . .. ... .. . . .... . .. ..... .. . ... . ... ........ . ... .. . . ... . ......... .. 6

DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE .. ... . . . . . ... . . . ....... . .... ... .... . .. .. .. .. . . . .. .. ... . . . . . .. .. 8

RAÍZ CUADRADA ...... . ... . .. . . ... . ... . ... . .. ...... . .... . . .. . . .. .. .. .... .... .... .. .... .. .. .. .. ..... . .. ..... . .... . .. .. .. 13

TALLER NÚMERO l ... .. .. .... ... .. ... .... ... ... .. ..... .. .... .... .... .. ...... ...... .... ... .... ...... ..... .... .. .... .... ... ...... ... .... ....... ... ...... ... .14~AS VALOR ABSOLUTO .. . ... .. ..... . ... . .. . .... . . . ... . .. . .. .... . . ... .. . . .... . . . .... .... .. . . . . . . .. .. . . . .... .. . . ... . ... . .... . . 16

DESIGUALDADES EN VALOR ABSOLUTO ........ ... ..... . . . ..... ... ... . .. . ... ... ... . ... .. . . . . ... . . . ... ... ... .. . . 18

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO . . ..... . . . . . . . . .. .. . .. . .. .. . .. ... .... .. . ..... ... 24

FACTORIZACIÓN y ECUACIONES POLINÓMICAS .... .. ... ... .... ....... .... ......... ... .... .. .... ...... ... ..... ... .. ..... .... ....27

TALLER NÚMERO 2.. ... ........ ... .... ....... ... .. ........ ... ...... .... .. ..... .. ........... .. ... ... .... ..... .. ....... ... ..... ... ............ ....... .. .. ...35

POTENCIACIÓN.. .... .... ... ... .. ... ...... ... ..... .. .......... .. ....... ........ ... ... .. ... .... ... .. .... ... .... ... .. ..... .... ....... .. ....... ..... ........ ....39

RACIONALIZACIÓN.... .. .... .. ....... .......... ... ...... ... ....... .. ... .... ............. .. .. ..... .. .. ....... ......... .. ........ .... ..... .... ...... ..... .. .42

TALLER NÚMERO 3....... ...... .... .... ... .... .. ..... .... ........ ... ....... ...... .... .... ....... ...... _..... .. ... .. ........ ........ .. ..... ....... .... ....43

EXPONENCIACIÓN y LOGARITMOS... ..... ............ .. .... ..... ... ........ ........ .. ..... .. ... ... ... .... ... .... .... ...... .... ... .. ... .. .. .44

TALLER NÚMERO 4.... ... .. .. ..... ..... .. ........ ......... .... ... .. .. ...... ..... ........ ..... .......... ... .. ..... ... ..... ...... ... ...... ... .. ... .... .... . .47

RECTAS . . ... . ... . .. ... .. .. . . . .. .. .. . ... . . .... .. .. ... . .. ... . . . . .. ...... . .. ... ..... . ... . . . . .... . ... .. .... ... ............. ... ... 49

RECTAS PARALELAS . . . ... . . ... . .. . . ... . . . ..... . ..... . . . ...... . .. . . .. . . .. . . . . . . . .... .. ...... . ....... .. .. . .. . .... . ..... ..50

RECTAS PERPENDICULARES . . .... .. .. .. . ... . . . . . .. .. ..... ... ...... .. . .. .. ... . . ... .. .... . .. .... . . .. ... ...... . . ... ... . . 51

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS . .... .. . . .. . ... .. . . . . .. . . . . . ... . .... 52

LAS CÓNICAS ... . . . .. . ... . . . . ... .. . . . .. ... . .. ....... . .. ... .. .... .. . . . .. . ... ... . . .... . .. . ... . . . . . .. ... .. ... .. ... . .... . . .. ....54

TALLER NÚMERO 5...... ... ...... .... ..... ..... ... ....... ... .... ....... ... ... ..... .. ....... .... .... .. ... .. .... ..... .. ... .... .. ...... .. .. ..... ... ...... .... 63

. ALGUNOS ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ..... ... .. .... .... .. ...... .. ......... ... .. ... .. ...... .. ..... ..... .... ... .. ... .... ...... ... ....... . 64

TALLER NÚMERO 6.... ... ..... .. .. .... ... ...... ... ... .. ...... .. ..... .. ..... .... ... .. ...... ... .. .... ... . .. .. .. .... ... ... .. 83

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .... . . ... .. .. . ........... . .... . ........ .. ... .. ........ .. .. .. ...... .. ... .. .... ....... .. ...... .. .91

TALLER NÚMERO 7... .. .... ... .... ..... ... ..... .... .. ... .... .. ... ........ .. ... .... .... ..... ... .. ... ... ..... ... ...... ... ...... .. ..... ...... .... ..... ..... 105

Introducción

Uno de los objetivos principales de este trabajo es tratar de mejorar el nivel de formación matemática de los estudiantes de los grados 10 Y 11 de secundaria y de los del primer semestre de los pregrados en Ingenierías, Matemáticas y carreras afines. Otro de los objetivos es el de despertar un mayor interés por el estudio de las matemáticas en sí mismas.

Este material está basado esencialmente en las notas del "Curso de Nivelación" que inicialmente diseñamos los profesores Fernando Puerta O., Iván F. Asmar Ch. y Abraham 1. Asmar Ch., el cual ha sido dirigido a los estudiantes que ingresan al primer semestre en la Universidad Nacional de Colombia, sede MedeUín. Luego de varias correcciones, ampliamos algunos de los temas antes desarrollados y agregamos otros nuevos, además de ejemplos y ejercicios. Incluimos los temas: desigualdades, valor absoluto desde el punto de vista geométrico, rectas, y una visión somera, pero algo novedosa, sobre Geometría Analítica.

Esperamos que este resumen abreviado, pero preciso sobre matemáticas básicas, sea de gran utilidad para el público lector y satisfaga nuestras metas trazadas de contribuir a mejorar el nivel e interés por la Matemática.

Fernando Puerta O. - Iván F. Asmar Ch.

LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales se denota R.

OPERACIONES EN R

En R hay definidas dos operaciones: "+" (adición o suma) y "" (multiplicación o producto). Se cumplen los siguientes axiomas:

• Si a, b E R, entonces a + b E R Y a.b E R

• Si a,b,c,dER y a=b y c=d, entonces a+c=b+d ya.c=b.d

• Si a, b E R, entonces a + b = b + a y. a.b = b.a

• Si a,b,cER,entonces (a+b)+c=a+(b+c) y (a.b).c=a.(b.c)

• Existen en R dos elementos distintos, denotados O y 1, tales que a + O = a y a.l = a

para todo a E R • Dado a E R, existe un único número real denotado (- a) o - a, llamado inverso

aditivo de a u opuesto de a, tal que a + (- a) = o. Si a =t: O, existe un único número real

denotado a -1 , 1 o la, llamado inverso multiplicativo de a, tal que a.a - 1 = 1 . a

• Si a,b,c E R, entonces a.(b + c)= a.b + a.c

De los axiomas anteriores se deducen, entre otros, los resultados siguientes:

• O.b = O para todo bE R

• No existe el inverso de O, es decir, no existe 0- 1, porque si existiera, entonces dos

números reales cualesquiera serían iguales. En efecto: Si a y b son números reales cualesquiera, O.a = O, O.b = O, Y entonces O.a = O.b Y multiplicando a ambos lados por

0- 1 se tendría La = 1.b, o sea a = b. • Para a, bE R, a.b = O si y sólo si a = O o b = O

Notaciones: a + a = 2a , a + a + a = 3a , etc.; a.a = a 2, a.a.a = a 3 , etc.

Nota: Para a, bE R, el producto a.b podrá indicarse también ab o (a Xb).

• Dados a,bER,existeunúniconúmero xER talque a+x=b.Talxes b+(-a).

Sustracción o resta: Para a, bE R, b - a (que se lee "b menos a") denota al número

b+(-a).

• Dados a, b E R con a =t: O, existe un único número x E R tal que ax = b. Tal x es

b(a- I ).