MATEMATICAS FINANCIERAS

MATEMATICAS FINANCIERAS

MATEMATICAS FINANCIERAS

Introduccin

Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo -satisfaciendo alguna necesidad-, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro ms o menos prximo, segn se acuerde.

De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensacin econmica nos resulte suficiente. En este sentido el principio bsico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes ms cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos ms lejanos. La razn es el sacrificio del consumo.

Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiacin que se llama inters. El inters se puede definir como la retribucin por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un perodo de tiempo.

Esta compensacin econmica se exige, entre otras, por tres razones bsicas:

Por el riesgo que se asume.

Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.

Por la depreciacin del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificacin de esa compensacin econmica, de los intereses, depende de tres variables, a saber:

La cuanta del capital invertido,

El tiempo que dura la operacin, y

El tanto de inters al que se acuerda la operacin.

Por otra parte, cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuanta (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).

Finalmente, en una operacin financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantas y vencimientos), sino que siempre estaremos refirindonos a capitales equivalentes, cuya definicin se dar ms adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situacin u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un ao, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes.

De una manera ms general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se est de acuerdo en intercambiar uno por otro.

El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operacin. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o prdida que estamos dispuestos a asumir en una operacin concreta.

Para que una operacin financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantas que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un mtodo matemtico que permita dicha sustitucin: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemtico (una frmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipacin de un capital en el tiempo.

Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cmo funcionan se podrn sustituir unos capitales por otros, pudindose formalizar las diferentes operaciones financieras.

1. OPERACIN FINANCIERA

1.1. CONCEPTO

Se entiende por operacin financiera la sustitucin de uno o ms capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicacin de una ley financiera.

En definitiva, cualquier operacin financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantas que se suceden en el tiempo. As, por ejemplo, la concesin de un prstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este ltimo un cobro inicial (el importe del prstamo) y unos pagos peridicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operacin. Por parte del banco, la operacin implica un pago inicial nico y unos cobros peridicos.

La realizacin de una operacin financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos:

1. Sustitucin de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital (es) por otro(s).

2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicacin de una ley financiera.

3. Aplicacin de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operacin, resultado de la consideracin de los intereses generados.

1.2. ELEMENTOS

1.2.1. Personales

En una operacin financiera bsica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposicin de otra (deudor) uno o ms capitales y que posteriormente recuperar, incrementados en el importe de los intereses.

La accin de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerar la prestacin de la operacin financiera. La operacin concluir cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital (ms los intereses); a esta actuacin por ambas partes se le denomina la contraprestacin de la operacin financiera.

En toda operacin financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone la produccin de intereses que formarn parte de la operacin y que habr que considerar y cuantificar. Por tanto, prestacin y contraprestacin nunca son aritmticamente iguales. No obstante, habr una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valorsemos prestacin y contraprestacin en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces s se producira la igualdad numrica entre ambas.

Tanto la prestacin como la contraprestacin pueden estar formadas por ms de un capital que incluso se pueden solapar en el tiempo.

1.2.2. Temporales

Al momento de tiempo donde comienza la prestacin de la operacin financiera se le denomina origen de la operacin financiera. Donde concluye la contraprestacin de la operacin financiera se le llama final de la operacin financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le denomina duracin de la operacin financiera, durante el cual se generan los intereses.

1.2.3. Objetivos

La realizacin de la operacin financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuanta del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de inters (coste/ganancia) unitario acordado.

1.3. CLASES

1. Segn la duracin:

A corto plazo: la duracin de la operacin no supera el ao.

A largo plazo: aquellas con una duracin superior al ao.

2. Segn la ley financiera que opera:

Segn la generacin de intereses:

En rgimen de simple: los intereses generados en el pasadono se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, interesesen el futuro.

En rgimen de compuesta: los intereses generados en el pasado s se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro.

Segn el sentido en el que se aplica la ley financiera:

De capitalizacin: sustituye un capital presente por otro capital futuro.

De actualizacin o descuento: sustituye un capital futuro porotro capital presente.

3. Segn el nmero de capitales de que consta:

Simples: constan de un solo capital en la prestacin y en la contraprestacin.

Complejas (o compuestas): cuando constan de ms de un capital enla prestacin y/o en la contraprestacin.

2. RDITO Y TANTO DE INTERS

Se entiende por rdito (r) el rendimiento generado por un capital. Se puede expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno.

Si en el momento t1 disponemos de un capital Q y ste se convierte en un capital C2 en un determinado momento t2, el rdito de la operacin ser:

Sin embargo, aunque se consideran las cuantas de los capitales inicial y final, no se tiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, en cunto tiempo se ha generado ese rendimiento. Surge la necesidad de una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tanto de inters (i).

Se define el tipo de inters (i) como el rdito por unidad de tiempo, es decir:

Rdito y tanto coincidirn cuando el intervalo de tiempo es la unidad.

EJEMPLO

Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 dispo nible dentro de un ao. Cul es el rdito de la operacin? Y el tanto de inters anual?

Pero si la operacin dura 2 aos:

Por lo tanto, el rdito permanece constante ante variaciones del horizonte tem poral, no ocurriendo lo mismo con el tipo de inters que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la ope racin.

1. Operaciones en rgimen de simple

Las operaciones en rgimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en perodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada perodo se calculan siempre sobre el mismo capital -el inicial-, al tipo de inters vigente en cada perodo.

Este rgimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un ao).

1.1. Capitalizacin simple

1.1.1. ConceptoOperacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicacin de la ley financiera en rgimen de simple.

1.1.2. Descripcin de la operacin

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de determinar la cuanta final (Cn) que se recuperar en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operacin se contrata (tiempo -n- y tipo de inters -i-).

Este capital final o montante se ir formando por la acumulacin al capital inicial de los intereses que genera la operacin peridicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operacin, se aaden finalmente al capital inicial.

1.1.3. Caractersticas de la operacin

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producirnuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital inicial, altanto de inters vigente en dicho perodo.

Grficamente para una operacin de tres perodos:

1.1.4. Desarrollo de la operacin

El capital al final de cada perodo es el resultado de aadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho perodo. De esta forma, la evolucin del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0x i = C0x (1 + i)

Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0x i + C0x i = C0x (1 + 2 i)

Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0x i + C0x i + C0 i = C0x (1 + 3 i)

...

Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + ... + In = C0 + C0x i + ... + C0x i = C0 + C0x nx i

Cn = C0 x (1 + n x i)

Expresin aplicable cuando el tipo de inters de la operacin se mantiene constante todos los perodos.

A partir de la expresin anterior (denominada frmula fundamental de la capitalizacin simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podra despejar el cuarto restante.

Finalmente, hay que tener en cuenta que n lo que indica es el nmero de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de inters (no importando cul sea).

EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 aos en rgimen de capitalizacin simple.

C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640

EJEMPLO 2 Se quiere conocer qu capital podremos retirar dentro de 3 aos si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de inters anual para el primer ao y cada ao nos suben el tipo de inters un punto porcentual.

En este caso la frmula general de la capitalizacin simple no es aplicable al ser diferente el tipo de inters en cada perodo. El montante ser, igualmente, el resultado de aadir al capital inicial los intereses de cada perodo, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el perodo de que se trate.

C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180

1.1.5. Clculo del capital inicial

Partiendo de la frmula de clculo del capital final o montante y conocidos ste, la duracin de la operacin y el tanto de inters, bastar con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + n x i)

despejando C0 resulta:

EJEMPLO 3Cunto deber invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 aos de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de inters anual para ese plazo?

1.1.6. Clculo de los intereses totales

Bastar con calcular los intereses de cada perodo, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i1 + C0x i2 + ... + C0x in

C0 x (i1 + i2 + ... + in)

Si i1 = i2 = ... = in = i se cumple:

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i + C0x i + ... + C0x i

C0 x i x n

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencias entre ambos:

In = Cn - C0

EJEMPLO 4Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada perodo:

Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0x i + C0x i + C0x i + C0x i = C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84

Tambin se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:

C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384

In = 384 - 300 = 84

EJEMPLO 5 Qu inters producirn 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?

In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480

1.1.7. Clculo del tipo de inters

Si se conocen el resto de elementos de la operacin: capital inicial, capital final y duracin, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin simple y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + n x i)

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):

Despejar el tipo de inters, dividiendo por n la expresin anterior:

EJEMPLO 6Determinar el tanto de inters anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 aos se obtenga un montante de 1.500 euros.

1.1.8. Clculo de la duracin

Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial, capital final y tipo de inters, partiendo de la frmula general de la capitalizacin simple y despejando la variable desconocida.

Punto de partida:

Cn = C0 x (1 + n x i)

Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuacin anterior):

Cn--- = 1 + n x i

C0Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros):

Cn--- - 1 = n x i

C0Despejar la duracin n, dividiendo por i:

EJEMPLO 7Un capital de 2.000 euros colocado a inters simple al 4% anual asciende a 2.640 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

1.2. Tantos equivalentes

Normalmente los tipos de inters suelen venir expresados en trminos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayora de las ocasiones, la acumulacin de los intereses al capital inicial se hace en perodos ms pequeos (meses, trimestres, semestres, ...).

La cuestin es por el hecho de modificar la frecuencia de clculo de intereses me beneficiar o, por el contrario, me ver perjudicado? En este sentido, lo lgico es pensar que cualquiera que sea el nmero de veces que se calculen los intereses, al final el importe total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operacin no se vea afectado.

En consecuencia, si se cambia la frecuencia de clculo de los intereses habr que cambiar el importe del tanto de inters aplicado en cada caso. Surge el concepto de tantos equivalentes.

1.2.1. Concepto

Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo perodo de tiempo producen el mismo inters o generan el mismo capital final o montante.

1.2.2. Relacin de tantos equivalentes

Los tantos de inters equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin:

i = ik x k

donde k se denomina frecuencia de capitalizacin y se define como el nmero de partes iguales en las que se divide el perodo de referencia (considerando como tal el ao), pudiendo tomar los siguientes valores:

k = 2 -> semestre i2 = tanto de inters semestral

k = 3 -> cuatrimestre i3 = tanto de inters cuatrimestral

k = 4 -> trimestre i4 = tanto de inters trimestral

k = 12 -> mes i12 = tanto de inters mensual

EJEMPLO 8

Determinar el montante resultante de invertir 700 euros durante 3 aos en las siguientes condiciones:

a) Inters anual del 12%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,12) = 952

b) Inters semestral del 6%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,06 x 2) = 952

c) Inters mensual del 1%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,01 x 12) = 952

1.3. Descuento simple

Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento simple. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.



A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el mismo capital, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de inters aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Grficamente:

Elementos:D: Descuento o rebaja.Cn: Valor final o nominal.C0: Valor actual, inicial o efectivo.i d: Tanto de la operacin.

Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresin:

D = Cn C0Adems, el descuento, propiamente dicho, no es ms que una disminucin de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el inters total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple:

D = Capital x Tipo x Tiempo

Y, segn cul sea el capital que se considere para el cmputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la prctica:

Descuento racional, matemtico o lgico, y

Descuento comercial o bancario.

En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habr de calcular), para lo cual ser necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operacin supone.

1.3.2. Descuento racional

El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de inters efectivo (i).

Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operacin, igual que ocurra en la capitalizacin, resulta vlida la frmula de la capitalizacin simple, siendo ahora la incgnita el capital inicial (C0).

As pues, a partir de la capitalizacin simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional:

Cn = C0 (1 + n x i)

Clculo del capital inicial:

CnC0 = ------------- 1 + n x i

Clculo del ahorro de intereses (Dr):

Cn Cn x n x iDr = Cn C0 = Cn -------------- = -------------- 1 + n x i 1 + n x i

De otra forma:

Cn Cn x n x iDr = C0 x i x n = --------------- x i x n = ----------------- 1 + n x i 1 + n x i

1.3.3. Descuento comercial

Los intereses generados en la operacin se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

En este caso resulta ms interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los perodos descontados (n), y en cada perodo tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

Dc = Cn x d + Cn x d + + Cn x d = Cn x n x d

n veces

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn Dc = Cn Cn x n x d = Cn x (1 n x d)

C0 = Cn x (1 n x d)

EJEMPLO 9 Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 aos a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operacin.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

100C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30

C0 = 100 30 = 70

o bien:

C0 = 100 x (1 3 x 0,1) = 70

1.3.4. Tanto de inters y de descuento equivalentes

Si el tipo de inters (i) aplicado en el descuento racional coincide en nmero con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sera el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cmputo del clculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial ser mayor al descuento racional (Dc> Dr) como ocurre en el ejemplo 9.No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relacin entre tipos de inters y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Ser necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de inters, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc.

Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente:

Cn x n x i------------- = Cn x n x d1 + n x i

Y simplificando, dividiendo por Cn x n:

i------------ = d1 + n x i

Obtenindose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:

id = -------------1 + n x i

Anlogamente, conocido d se podr calcular el tanto i:

di = -------------- 1 n x d

La relacin de equivalencia entre tipos de inters y descuento, en rgimen de simple, es una funcin temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos de inters como valores tome la duracin (n) de la operacin y al revs (no hay una relacin de equivalencia nica entre un i y un d).

EJEMPLO 10 En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de inters es del 10% anual. Qu tipo de descuento anual deber aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten equivalentes?

Si i = 10%

Entonces se ha de cumplir:

0,1d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923%1 + 3 x 0,1

Comprobacin:

Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de inters del 10% (descuento racional):

100C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes calculado del 7,6923% (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08

C0 = 100 23,08 = 76,92

o bien:

C0 = 100 (1 0,076923 x 3) = 76,92

1.3. Descuento simple

Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento simple. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.



A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el mismo capital, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de inters aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Grficamente:

Elementos:D: Descuento o rebaja.Cn: Valor final o nominal.C0: Valor actual, inicial o efectivo.i d: Tanto de la operacin.

Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresin:

D = Cn C0Adems, el descuento, propiamente dicho, no es ms que una disminucin de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el inters total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple:

D = Capital x Tipo x Tiempo

Y, segn cul sea el capital que se considere para el cmputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la prctica:

Descuento racional, matemtico o lgico, y

Descuento comercial o bancario.

En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habr de calcular), para lo cual ser necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operacin supone.

1.3.2. Descuento racional

El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de inters efectivo (i).

Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operacin, igual que ocurra en la capitalizacin, resulta vlida la frmula de la capitalizacin simple, siendo ahora la incgnita el capital inicial (C0).

As pues, a partir de la capitalizacin simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional:

Cn = C0 (1 + n x i)

Clculo del capital inicial:

CnC0 = ------------- 1 + n x i

Clculo del ahorro de intereses (Dr):

Cn Cn x n x iDr = Cn C0 = Cn -------------- = -------------- 1 + n x i 1 + n x i

De otra forma:

Cn Cn x n x iDr = C0 x i x n = --------------- x i x n = ----------------- 1 + n x i 1 + n x i

1.3.3. Descuento comercial

Los intereses generados en la operacin se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

En este caso resulta ms interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los perodos descontados (n), y en cada perodo tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

Dc = Cn x d + Cn x d + + Cn x d = Cn x n x d

n veces

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn Dc = Cn Cn x n x d = Cn x (1 n x d)

C0 = Cn x (1 n x d)

EJEMPLO 9 Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 aos a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operacin.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

100C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30

C0 = 100 30 = 70

o bien:

C0 = 100 x (1 3 x 0,1) = 70

1.3.4. Tanto de inters y de descuento equivalentes

Si el tipo de inters (i) aplicado en el descuento racional coincide en nmero con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sera el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cmputo del clculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial ser mayor al descuento racional (Dc> Dr) como ocurre en el ejemplo 9.No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relacin entre tipos de inters y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Ser necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de inters, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc.

Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente:

Cn x n x i------------- = Cn x n x d1 + n x i

Y simplificando, dividiendo por Cn x n:

i------------ = d1 + n x i

Obtenindose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:

id = -------------1 + n x i

Anlogamente, conocido d se podr calcular el tanto i:

di = -------------- 1 n x d

La relacin de equivalencia entre tipos de inters y descuento, en rgimen de simple, es una funcin temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos de inters como valores tome la duracin (n) de la operacin y al revs (no hay una relacin de equivalencia nica entre un i y un d).

EJEMPLO 10 En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de inters es del 10% anual. Qu tipo de descuento anual deber aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten equivalentes?

Si i = 10%

Entonces se ha de cumplir:

0,1d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923%1 + 3 x 0,1

Comprobacin:

Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de inters del 10% (descuento racional):

100C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes calculado del 7,6923% (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08

C0 = 100 23,08 = 76,92

o bien:

C0 = 100 (1 0,076923 x 3) = 76,92

2. Equivalencia financiera de capitales

Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantas y situados en diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cul de ellos es ms interesante desde el punto de vista financiero (porque valga ms o menos que los dems). Para decidir habra que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantas, se tendra que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Adems, la comparacin debera ser homognea, es decir, tendran que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ah efectuar la comparacin.

Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o ms capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizar la capitalizacin o el descuento.

2.1. Principio de equivalencia de capitales: concepto

Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la misma cuanta.

Esta definicin se cumple cualquiera que sea el nmero de capitales que intervengan en la operacin.

Si dos o ms capitales se dice que son equivalentes resultar indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la equivalencia habr uno sobre el que tendremos preferencia y, en consecuencia, lo elegiremos.

Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto, no tiene por qu cumplirse en otro momento cualquiera (siendo lo normal que no se cumpla en ningn otro momento). Consecuencia de esta circunstancia ser que la eleccin de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectar y condicionar el resultado.

2.2. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitucin de capitales

La sustitucin de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantas diferentes a las anteriores, slo se podr llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.

Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrn que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantas. A este momento de tiempo donde se realiza la valoracin se le denomina poca o fecha focal o, simplemente, fecha de estudio.

Para plantear una sustitucin de capitales el acreedor y el deudor han de estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:

Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos.

Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar este dato vara el resultado del problema.

Tanto de valoracin de la operacin.

Decidir si se utiliza la capitalizacin o el descuento.

Casos posibles:

a. Determinacin del capital comn.

b. Determinacin del vencimiento comn.

c. Determinacin del vencimiento medio.

2.2.1. Determinacin del capital comn

Es la cuanta C de un capital nico que vence en el momento t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, , Cn, con vencimientos en t1, t2, , tn, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantas y tiempos.

Para su clculo se valorarn en un mismo momento al tanto elegido, por una parte, los capitales de los que se parte y, por otra, el capital nico desconocido que los va a sustituir.

Si la equivalencia se plantea en 0:

Realizando la valoracin con tipo de inters (i):

de donde se despejar C.

Realizando la valoracin a tipo de descuento (d):

C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d)

despejando finalmente C, queda:

Si el estudio se realiza en el momento t, habr que tener en cuenta que aquellos capitales que tengan un vencimiento inferior a t habr que capitalizarlos (empleando un tipo de inters i), mientras que aquellos capitales con vencimientos superiores habr que descontarlos, pudindose emplear bien un tipo de inters o bien de descuento.


Se despejar C, pues todo lo dems se conoce.

EJEMPLO 11 Un seor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente.

Propone sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 meses.

Se pide:

Calcular el importe a pagar si la operacin se concierta al 8% de inters simple anual.

1.er caso: fecha de estudio en 0:

C = 11.032,53

2. caso: fecha de estudio en 9:

C = 11.033,56

2.2.2. Determinacin del vencimiento comn

Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

Para obtener este vencimiento habra que proceder de la misma forma que en el caso del capital comn, siendo ahora la incgnita el momento donde se sita ese capital nico. As, por ejemplo, si la equivalencia se realiza en el origen a tanto de inters (i):


simplificando:

Realizando la valoracin a tipo de descuento (d):


se quitan los parntesis y queda:

C1 - C1 x t1 x d + C2 - C2 x t2 x d + ... + Cn - Cn x tn x d = C - C x t x d

reordenando en el primer miembro:

C1 + C2 + ... + Cn - d [C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn] = C - C x t x d

de donde se despeja t.


De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.200 euros.

Se pide:

Calcular el momento de pago si la operacin se concierta al 8% de inters simple anual. La fecha de estudio es el momento cero.

t = 11,41 meses

2.2.3. Determinacin del vencimiento medio

Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

C = C1+ C2 +... + CnEl clculo es idntico al vencimiento comn, lo nico que vara es la cuanta del capital nico que sustituye al conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma aritmtica de las cuantas a las que sustituye.

Realizando el estudio de equivalencia en el origen y empleando un tipo de descuento d, quedara as:


quitando los parntesis:

C1 - C1 x t1 x d + C2 - C2 x t2 x d + ... + Cn - Cn x tn x d = C - C x t x d

reordenando en el primer miembro:

dividiendo la ecuacin por d:

En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmtica ponderada de los vencimientos de los capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderacin.


De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.000 euros.

Se pide:

Calcular el momento de pago si la operacin se concierta al 8% de descuento simple anual. La fecha de estudio es el momento cero.

t = 8,55 meses

De otra forma:

3. Descuento de efectos

3.1. CONCEPTO

El descuento bancario es una operacin financiera que consiste en la presentacin de un ttulo de crdito en una entidad financiera para que sta anticipe su importe y gestione su cobro. El tenedor cede el ttulo al banco y ste le abona su importe en dinero, descontando el importe de las cantidades cobradas por los servicios prestados.

3.2. CLASIFICACIN

Segn el ttulo de crdito presentado a descuento, distinguimos:

Descuento bancario, cuando el ttulo es una letra de cambio.

Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestacin de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente. Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalizacin de un prstamo concedido por el banco a su cliente.

Descuento no cambiario, cuando se trata de cualquier otro derecho de cobro (pagars, certificaciones de obra, facturas, recibos ).

3.3. CLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO

El importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o lquido, y se obtiene restando del importe de la letra (nominal) el importe de todos los costes originados por el descuento (intereses, comisiones y otros gastos).

Intereses: cantidad cobrada por la anticipacin del importe de la letra. Se calcula en funcin del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de inters aplicado por la entidad financiera.

tIntereses = N x ------- x d360

siendo:

N: Nominal del efecto.t: Nmero de das que el banco anticipa el dinero.d: Tipo de descuento anual, en tanto por uno.

Comisiones: tambin denominado quebranto o dao, es la cantidad cobrada por la gestin del cobro de la letra que realiza el banco.

Se obtiene tomando la mayor de las siguientes cantidades:

Un porcentaje sobre el nominal.

Una cantidad fija (mnimo).

Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientes conceptos: el timbre, correspondiente al IAJD y el correo, segn la tarifa postal.

EJEMPLO 14 Se desea descontar una letra de 3.250 euros cuando an faltan 60 das para su vencimiento en las siguientes condiciones:

Tipo de descuento: 14% anual.

Comisin: 3 (mnimo 5 euros).

Otros gastos: 2 euros.

Se pide:

Conocer el efectivo recibido por el cedente.

Nominal 3.250,00

Intereses (3.250 x 0,14 x 60/360)Comisin protesto (3.250 x 0,003)Otros gastos 75,839,752,00

Total gastos 87,58

Efectivo ------------3.162,42

3.4. LETRA DEVUELTA

Es aquella que se devuelve al cedente al no ser atendido su pago a su vencimiento por parte del librado.

Si la letra haba sido descontada previamente, el banco se la cargar en cuenta del cliente, junto con los gastos originados por el impago.

Gastos de devolucin:

Comisin de devolucin. Correo.

Gastos de protesto:

Comisin de protesto. Coste del protesto.

Intereses:

Cuando el banco cobre con posterioridad a la fecha de vencimiento de la letra devuelta por impagada. Se calcularn sobre la suma del nominal de la letra impagada ms el importe de todos los gastos originados por el impago, por el perodo transcurrido entre vencimiento y cargo.

EJEMPLO 15 Llegado el vencimiento de la letra del ejemplo 14, sta es devuelta por impagada, cargndose en la cuenta del cedente por los siguientes conceptos:

Comisin de devolucin: 1.

Comisin de protesto: 2.

Correo: 2,50 euros.

Se pide:

Determinar el importe adeudado en la cuenta corriente del cedente.

Nominal ..3.250,00

Comisin devoluc. (3.250 x 0,001) .Comisin protesto (3.250 x 0,002) .Correo ..3,25 6,50 2,50

Total gastos .12,25

Adeudo en c/c .------------3.262,25

3.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIN

Se designa as a aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta, junto con los gastos que origin su devolucin.

Se trata de determinar cul ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal que todos los gastos se le repercutan a quien los origin (el librado).

Para su clculo se tratar como una letra que se emite y descuenta en unas condiciones normales, con la particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que se desea recuperar nominal impagado ms los gastos de la devolucin ms los gastos del giro y descuento de la nueva letra) y el nominal es desconocido (que hay que calcular).

EJEMPLO 16 Finalmente para recuperar la letra devuelta por impagada del ejemplo 15 se llega al acuerdo de girar una nueva letra con vencimiento a 30 das, en las siguientes condiciones:

Tipo de descuento: 15%.

Comisin: 3.

Otros gastos: 10 euros.

Se pide:

Determinar el importe de la nueva letra.

E = N (I + C + F)

3.262,25 = N N x 0,15 x 30/360 0,003 x N 10

N = 3.323,77

3.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS

En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco con un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por perodos temporales, para descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales.

El documento en el que se liquida el descuento de la remesa se denomina factura de negociacin.

Proceso de liquidacin:

Confeccionar la factura con todos los efectos que componen la remesa.

Sumar cada una de las tres siguientes columnas:

Importe nominal. Importe intereses. Importe comisiones.

Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarn aparte.

El importe lquido resultante de la negociacin se obtendr restando del nominal total de la remesa el montante de todos los gastos habidos.

EJEMPLO 17 Se presenta a descuento la siguiente remesa de efectos:

Efecto Nominal Das de descuento

ABC 30.00020.00015.000202530

Las condiciones del descuento son:

Tipo descuento: 12%.

Comisin: 5 (mnimo 90 euros).

Correo: 6 euros/efecto.

Se pide:

Descontar la remesa anterior.

Solucin:

EfectoNominal Das Tipo Intereses Porcentaje Comisin Correo

ABC30.00020.00015.000 202530 12%12%12% 200,00166,67150,00 55mnimo 15010090 666

65.000 516,67 340 18

Nominal 65.000,00

Inters .Comisin Correo ..516,67340,0018,00

Total gastos ..874,67

Efectivo .-------------64.125,33

4. Cuentas corrientes

4.1. DEFINICIN

Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha que sealen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, pero donde ms se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes.

Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depsito y de crdito.

Una cuenta corriente de depsito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso. En la cuenta corriente de crdito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de obtener financiacin hasta una cuanta establecida de antemano (lmite del crdito).

Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata ms de un instrumento de gestin en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de su cliente, cuantas operaciones son inherentes al servicio de caja, pueden llegar a convertirse en una fuente de financiacin (descubierto bancario).

4.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES

Las cuentas corrientes de depsito se pueden clasificar segn diversos criterios.

I. Segn sus titulares:

Individual: abierta a nombre de un solo titular.

Conjunta: cuando hay dos o ms titulares, exigindose que cualquier acto deba ser realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos.

Indistinta: cuando hay dos o ms titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los fondos utilizando nicamente su firma.

II. Segn el devengo de inters:

Cuentas corrientes sin inters: son aquellas en las que no se paga ningn tanto por el aplazamiento de los capitales.Para hallar la liquidacin bastar calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha cuenta.

Cuentas corrientes con inters: en este caso los capitales producen inters por el perodo que media entre la fecha valor de la operacin y la fecha de liquidacin de la cuenta.

En las cuentas corrientes con inters, ste puede ser:

Recproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto de inters.

No recproco: cuando el tanto aplicado a los capitales deudores no es el mismo que el aplicado a los capitales acreedores.

Para liquidar estas cuentas no bastar con calcular la diferencia entre las sumas del Debe y del Haber sino que deberemos hallar tambin el inters.

4.3. NORMAS DE VALORACIN

Valorar una operacin en una cuenta bancaria es adjudicarle una fecha a efectos del clculo de intereses. En este sentido hay que diferenciar entre la fecha donde tiene lugar la operacin (fecha operacin) y la que se considera para el cmputo de intereses (fecha valor).

La Circular 8/1990 del Banco de Espaa establece las condiciones mnimas de valoracin que deben aplicar las entidades financieras, distinguiendo entre operaciones de abono y de adeudo.

ABONOS

Clase de operaciones Fecha de valoracin a efectos del devengo de intereses

1. Entregas en efectivo.

1.1. Realizadas antes de las 11 de la maana.1.2. Las dems.El mismo da de la entrega.El da hbil siguiente a la entrega.

2. Entregas mediante cheques, etc.

2.1. A cargo de la propiedad entidad (sobre cualquier oficina).2.2. A cargo de otras entidades (1).El mismo da de la entrega.Segundo da hbil siguiente a la entrega.

3. Transferencias bancarias, rdenes de entrega y similares.

3.1. Procedentes de la propia entidad.3.2. Procedentes de otras entidades.El mismo da de su orden en la oficina de origen.El segundo da hbil siguiente a su orden en la oficina de origen (2).

4. Descuento de efectos.Fecha en la que comienza el clculo de intereses (3).

5. Presentacin de recibos de carcter peridico, cuyo adeudo en cuenta ha autorizado previamente el deudor.El mismo da del adeudo.

6. Venta de divisas.El da hbil siguiente al de la cesin de las divisas.

7. Venta de valores.El da hbil siguiente a la fecha de la venta en Bolsa.

8. Abono de dividendos, intereses y ttulos amortizados, de valores depositados.El mismo da del abono.

9. En cuentas de tarjetas de crdito, de garanta de cheques y similares.El mismo da.

10. Otras operaciones.Vanse notas.

(1) Incluido el Banco de Espaa.(2) A cuyo efecto esta fecha deber constar en la informacin referente a la transferencia.(3) En el clculo de intereses no se incluir el da del vencimiento del efecto.

ADEUDOS

Clase de operaciones Fecha de valoracin a efectos del devengo de intereses

1. Cheques.

1.1. Pagados por ventanilla o por compensacin interior en la oficina librada.1.2. Pagados en firme por otras oficinas o entidades.El mismo da de su pago.El mismo da de su pago, a cuyo efecto la oficina pagadora estampar su sello con indicacin de la fecha de pago. Si faltase este requisito se adeudar con valor del da de su cargo en cuenta.

2. Reintegros o disposiciones.El mismo da de su adeudo en la cuenta librada.

3. rdenes de transferencia, rdenes de entrega y similares.El mismo da de su orden (1).

4. Efectos devueltos.

4.1. Efectos descontados.4.2. Cheques devueltos.El da de su vencimiento.El mismo da de valoracin que se dio al abonarlos en cuenta.

5. Recibos de carcter peridico cuyo adeudo en cuenta ha autorizado previamente el deudor.

5.1. A cargo del deudor.5.2. Devolucin del cliente.Fecha del adeudo.La valoracin aplicada en el abono.

6. Compra de divisas.El mismo da de la entrega de las divisas.

7. Compra de valores.El mismo da de la compra en bolsa.

8. Efectos domiciliados.Los efectos cuyo pago se domicilie en una entidad de depsito, tanto en el propio efecto como en el aviso de cobro, sern adeudados en la cuenta de librado con valor da del vencimiento, tanto si proceden de la propia cartera de la entidad domiciliada como si le han sido presentados por entidades a travs de la Cmara de Compensacin o de una cuenta interbancaria.

9. Derivados de tarjetas de crdito y similares.Segn contrato de adhesin.

10. Otras operaciones.Vanse notas.

(1) En las transferencias ordenadas por correo se entender por fecha de la orden la de recepcin en la entidad.

Notas:

a) En todas las dems operaciones no contempladas expresamente, los adeudos y abonos se valorarn el mismo da en que se efecte el apunte, si no se produce movimiento de fondos fuera de la entidad. En caso contrario, los abonos se valorarn el da hbil siguiente a la fecha del apunte.b) La consideracin de los sbados como das hbiles o inhbiles deber estar en funcin de la clase de operacin de que se trate. Si su formalizacin hubiese de retrasarse por imperativos ajenos a la entidad (pagos a Hacienda, operaciones de bolsa, Cmara de Compensacin, etc.) ser da inhbil. En los restantes casos, en que la operacin pueda formalizarse en el da, ser considerado hbil. /

4.4. LIQUIDACIN DE CUENTAS CORRIENTES

Conocidos los capitales y el tanto de inters, que se fija de antemano, slo falta hallar el tiempo durante el cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir tres mtodos: directo, indirecto y hamburgus. A continuacin se comentar brevemente el funcionamiento de los dos primeros y se estudiar con ms detalle el mtodo hamburgus, que es el sistema que actualmente se emplea.

4.4.1. Mtodo directo

Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los das que median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidacin.

4.4.2. Mtodo indirecto

En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta una fecha fija denominada poca. Ello supone un clculo de intereses que no se corresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidacin deben rectificarse.

4.4.3. Mtodo hamburgus o de saldos

Este mtodo recibe el nombre de hamburgus porque se us por primera vez en Hamburgo. Y de saldos porque los nmeros comerciales se calculan en base a los saldos que van apareciendo en la cuenta (y no en funcin de los capitales).

Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este mtodo son los siguientes:

1. Se ordenan las operaciones segn fecha-valor.2. Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. Cada vez que hagamos una anotacin cambiar el saldo de la cuenta.3. Hallar los das, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del ltimo vencimiento a la fecha de cierre.4. Se calculan los nmeros comerciales multiplicando los saldos por los das y se colocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor.5. A partir de aqu terminaremos la liquidacin del siguiente modo:

a. Clculo del inters.

Intereses deudores = Suma de nmeros deudores x Multiplicador fijo del banco Intereses acreedores = Suma de nmeros acreedores x Multiplicador fijo del cliente El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de inters de liquidacin (anual) entre el total de das del ao (360 365).

b. Clculo del IRC (Impuesto de Rentas de Capital) sobre los intereses acreedores.

c. Clculo del saldo a cuenta nueva.

EJEMPLO 18 Liquidar por el mtodo hamburgus la siguiente cuenta, cuyo titular, scar de Lzar, ha realizado los siguientes movimientos:

Fecha Concepto Cuanta Signo

06-0514-0523-0511-06 Ingreso apertura Cheque a compensar a su favorCheque c/cIngreso en efectivo35.00020.0005.00010.000 HaberHaberDebeHaber

Las condiciones de liquidacin son las siguientes:

Fecha de liquidacin el 30 de junio

Por cada apunte una comisin de 3 euros

IRC: 15%

El inters anual aplicado es el 6%

Liquidacin del perodo 06-05 al 30-06.

Fecha Movimiento Cuanta Signo Saldos Signo Das Nmeros acreedores

06-05 14-05 23-05 11-06 Ingreso aperturaCh./ comp. s/fCheque c/cIngreso efectivo 35.00020.0005.00010.000HHDH 35.00055.00050.00060.000HHHH891919280.000495.000950.0001.140.000

30-06 55 2.865.000

Clculo de los nmeros comerciales acreedores:

35.000 x 8 =55.000 x 9 =50.000 x 19 =60.000 x 19 =

Total280.000495.000950.0001.140.000---------------- 2.865.000

Clculo de los intereses acreedores:

Retencin impuestos (15% de 470,96) = 70,64

Comisin de administracin (nmero de apuntes) = 3 x 4 = 12

Saldo despus de la liquidacin: 60.000 + 470,96 70,64 12 = 60.388,32

EJEMPLO 19Liquidacin por el mtodo hamburgus de la siguiente cuenta corriente, cuya titular es la seora Manuela Jimnez Orgaz, en la que se aplican las siguientes condiciones:

Tipo anual de inters para saldos acreedores: 1%

Tipo anual de inters para descubiertos: 12%

Comisin sobre mayor descubierto: 2% sobre el mayor saldo descubierto contable en el perodo de liquidacin.

Fecha de liquidacin: 30 abril.

La entidad bancaria utiliza 365 para calcular los intereses deudores y acreedores.

IRC: 15%

A lo largo del perodo se han producido los siguientes movimientos:

Fecha Concepto Cuanta Vencimiento

01-0314-0314-0327-0330-0310-04 Apertura Ingreso en efectivo Letra a su cargo Transferencia a su favor Recibo luz Entrega en efectivo 030.0006.00018.00045.00020.000 01 marzo15 marzo05 marzo28 marzo03 abril11 abril


Fecha Operac. ConceptoCuanta Signo Fecha Valor SaldosSignoDas Nmeros acreedoresNmeros Deudores

14-0314-0327-0330-0310-04Letra a s/cargoIngreso efectivoTransferencia s/fRecibo luzEntrega efectivo 6.00030.00018.00045.00020.000DHHDH05-0315-0328-0303-0411-046.00024.00042.0003.00017.000DHHDH10136819312.000 (1)252.000 (2)

323.000 (3) 60.000 (5)

24.000 (6)

30-0456887.000 (4) 84.000 (7)

Saldo antes de la liquidacin: 17.000.

Clculo de los nmeros comerciales acreedores:

(1) 24.000 x 13 =(2) 42.000 x 6 =(3) 17.000 x 19 =

Total312.000252.000323.000 ------------ 887.000

Clculo de los intereses acreedores:

Al mismo resultado habramos llegado aplicando la frmula de inters simple (carrete):

Intereses (15-03 a 28-03) = 24.000 x 13/365 x 0,01 =Intereses (28-03 a 03-04) = 42.000 x 6/365 x 0,01 =Intereses (11-04 a 30-04) = 17.000 x 19/365 x 0,01 =

Total8,556,908,85-------- 24,30

Clculo de los nmeros comerciales deudores:

(5) 6.000 x 10 =(6) 3.000 x 8 =

Total60.00024.000--------- 84.000

Clculo de los intereses deudores:

Al mismo resultado habramos llegado aplicando la frmula de inters simple (carrete):

Clculo de retenciones sobre los intereses acreedores (rendimiento de capital mobiliario):

15% x 24,30 = 3,65

Clculo de comisin sobre mayor descubierto:

La comisin se calcula sobre los saldos en fecha operacin, no en fecha valor. Por tanto, para ver si procede sta habr que ordenar los movimientos segn se han producido realmente (fecha operacin).

Fecha operac.Concepto Cuanta Signo Saldos Signo Das

14-03 14-03 27-03 30-03 10-04 Letra a s/cargoIngreso efectivoTransferencia s/fRecibo luz Entrega efectivo6.00030.00018.00045.00020.000DHHDH6.00024.00042.0003.00017.000 DHHDH0136819

30-04 46

Se podr cobrar una comisin sobre el mayor descubierto en fecha operacin (en el supuesto de que ocurriera ms de uno durante el perodo liquidado). Estando prohibidas las comisiones de apertura y similares en los descubiertos en cuenta corriente por valoracin. As pues, de acuerdo con las fechas operacin, slo se ha producido un descubierto provocado por el pago del recibo de la luz el 30 de marzo por importe de 3.000 sobre el que se aplicar el 2% establecido:

2% x? 3.000 = 60

Saldo despus de la liquidacin: + 17.000 + 24,30 27,62 3,65 60 = + 16.933,03

5. Crdito bancario: la pliza de crdito

Difcil es encontrar una empresa que no disponga de al menos una pliza de crdito contratada con una entidad financiera. Y ello es porque al mismo tiempo que como instrumento de financiacin (la ms usada) es la va a travs del cual se articula gran parte de los cobros y pagos de la actividad ordinaria.

En primer lugar, conviene diferenciar el crdito frente al conocido prstamo bancario. La diferencia est bsicamente en dos puntos:

El crdito permite la disposicin gradual de las cantidades necesarias, en la cuanta y por el tiempo que se desee. Mientras que en el prstamo se dispone de una sola vez de toda la cantidad prestada.

En la pliza se paga por la cantidad dispuesta y en funcin del tiempo de disposicin. Por el contrario, en el prstamo se paga por el total aunque no se haya usado.

Los crditos se formalizan en una pliza en la que se establecen las condiciones de funcionamiento: lmite del crdito, tipo de inters, comisiones, frecuencia de liquidacin, etc., instrumentndose a travs de una cuenta bancaria que funciona y se liquida de forma parecida a las cuentas corrientes y que permite cuantificar cmo se ha usado el dinero del banco y, en consecuencia, calcular el coste de la operacin.

5.1. COSTES DERIVADOS DEL USO DE UNA PLIZA DE CRDITO

Intereses: calculados sobre los diferentes saldos vigentes, en funcin del tiempo de su vigencia y del tipo contratado:

Intereses deudores (o normales), por aquella parte del crdito que se haya dispuesto, siempre que no haya superado el lmite contratado.

Intereses excedidos, por aquella parte dispuesta por encima del lmite de crdito acordado.

Comisin de apertura: en funcin del lmite de crdito concedido (cuanta que, en principio, podemos disponer como mximo), pagadera de una sola vez al principio.

Comisin de disponibilidad: en funcin del saldo medio no dispuesto, es lo que hay que pagar por la parte del crdito contratado (lmite) y no utilizado.

Comisin de excedido: sobre el mayor saldo excedido, es decir, sobre la parte utilizada por encima del lmite del crdito.

Se habla de comisin sobre el mayor saldo excedido, porque solamente se podr cobrar una comisin de excedido por cada perodo de liquidacin, por lo que calcular sobre el mayor habido en dicho intervalo de tiempo.

5.2. LIQUIDACIN DE LA CUENTA DE CRDITO

La liquidacin de estas cuentas se lleva a cabo por el mtodo hamburgus, sistema que realiza los clculos a partir de los saldos que va arrojando la cuenta a medida que se registran, por orden cronolgico, los movimientos que se vayan produciendo.

Los pasos para la liquidacin son:

1. Clculo del saldo de la cuenta cada vez que se realiza un nuevo movimiento.

2. Hallar los das que cada saldo est vigente.

3. Clculo de los nmeros comerciales, multiplicando cada saldo por los das que est vigente, clasificando los nmeros a su vez en: deudores, excedidos y acreedores, segn que los saldos sean deudores, excedidos o acreedores, respectivamente.

Esto debe hacerse as porque despus se aplica distinto tanto de inters al saldo deudor de los saldos excedidos del crdito (los que superan el lmite contratado), as como a los saldos acreedores (a favor del cliente), aunque tal situacin no es muy frecuente.

4. La suma de nmeros deudores, excedidos y acreedores.

5. Clculo de los intereses, que sern:

Intereses deudores = Nmeros deudores x Multiplicador deudorIntereses excedidos = Nmeros excedidos x Multiplicador excedidoIntereses acreedores = Nmeros acreedores x Multiplicador acreedor

El multiplicador fijo es el cociente entre el tipo de inters a aplicar (en tanto por uno) y el nmero de das que tiene un ao (360 365).Una vez calculados los intereses, se cargarn en cuenta los deudores y los excedidos y se abonarn los intereses acreedores.

6. Se calculan y se cargan en cuenta:

La comisin sobre saldo medio no dispuesto, teniendo en cuenta que:

Saldo medio no dispuesto = Lmite de crdito Saldo medio dispuesto

siendo:

Saldo medio dispuesto = Suma de nmeros deudores-------------------------------------Das que dura el crdito

7. La comisin sobre el saldo mayor excedido.8. Por ltimo se halla el saldo a cuenta nueva como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales.

EJEMPLO 20 El seor don Javier Casal de Blas ha contratado con su banco una pliza de crdito en las siguientes condiciones:

Lmite de crdito: 20.000 euros

Inters deudor (dentro del crdito concedido): 10%

Inters excedido: 22%

Inters acreedor: 1%

Comisin de disponibilidad: 5 trimestral

Comisin por mximo excedido: 1 trimestral

Liquidacin por trimestres vencidos.

A lo largo del primer perodo de liquidacin se han producido los siguientes movimientos:

15-04 Concesin de la pliza. Cargo de 400 euros por comisiones.20-04 Pago de una factura de 5.000 euros10-05 Pago de un taln de 10.000 euros

A lo largo del segundo perodo de liquidacin se han producido los siguientes movimientos:

08-08 Pago facturas varias 6.000 euros16-09 Ingreso en efectivo de 22.000 euros

A partir de estos datos se realizarn las siguientes liquidaciones:


FechaConceptoCuantaSignoSaldoSignoDasNmeros deudores Nmeros excedidosNmeros acreedores

15-0420-0410-05Comisin aper.Pago facturaPago taln4005.00010.000DDD4005.40015.400DDD520662.000108.0001.016.400

15-07911.126.400

Clculo de los nmeros comerciales deudores:

400 x 5 =5.400 x 20 =15.400 x 66 =2.000108.0001.016.400-------------

Total 1.126.400

Clculo de los intereses deudores:

Clculo de la comisin de disponibilidad:

Saldo medio no dispuesto = 20.000 12.378,02 = 7.621,98

Comisin por disponibilidad = 0,005 x 7.621,98 = 38,11

Saldo despus de la liquidacin: 15.400 312,89 38,11 = 15.751,00

Liquidacin del perodo 15-07 al 15-10

FechaConceptoCuantaSignoSaldoSignoDasNmeros deudores Nmeros excedidosNmeros acreedores

15-0708-0816-09LiquidacinPago facturaIngreso efectivo 3516.00022.000 DDH15.75121.751249 DDH243929 378.024780.00068.289

7.221

15-10921.158.02468.2897.221

Clculo nmeros deudoresClculo nmeros excedidos Clculo nmeros acreedores

15.751 x 24 = 378.024 20.000 x 39 = 780.000-----------------------------1.751 x 39 = 68.289

249 x 29 = 7.221

Total1.158.024

Clculo de los intereses

Clculo de la comisin de disponibilidad

Saldo medio no dispuesto = 20.000 12.587,22 = 7.412,78

Comisin por disponibilidad = 0,005 x 7.412,78 = 37,06

Clculo de la comisin por mximo excedido:

Comisin por nico excedido = 0,001 x 1.751,00 = 1,75

Saldo despus de la liquidacin: + 249 321,67 41,73 + 0,20 37,06 1,75 = 153,01

CAPTULO 2. Capitalizacin compuesta.

Las operaciones en rgimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en rgimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en perodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalizacin peridica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada perodo se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de perodos anteriores).

1. Capitalizacin compuesta

1.1. CONCEPTO

Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicacin de la ley financiera de capitalizacin compuesta.

1.2. DESCRIPCIN DE LA OPERACIN

El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulacin al capital inicial (C0) de los intereses que peridicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operacin (n), pudindose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.

1.3. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los perodos siguientes.

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital existente al inicio de dicho perodo.

Grficamente para una operacin de tres perodos:

1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIN

El capital al final de cada perodo es el resultado de aadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho perodo. De esta forma, la evolucin del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i) Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) == C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) == C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3Momento n:

Cn = C0 x (1 + i)n

Expresin que permite calcular el capital final o montante (Cn) en rgimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de inters (i) y la duracin (n) de la operacin.

Expresin aplicable cuando el tipo de inters de la operacin no vara. En caso contrario habr que trabajar con el tipo vigente en cada perodo.

A partir de la expresin anterior (denominada frmula fundamental de la capitalizacin compuesta) adems de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.

EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 aos en rgimen de capitalizacin compuesta.

C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78

Si se hubiese calculado en simple:

C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300

La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.

1.5. CLCULO DEL CAPITAL INICIAL

Partiendo de la frmula de clculo del capital final o montante y conocidos ste, la duracin de la operacin y el tanto de inters, bastar con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + i)nde donde se despeja C0:

EJEMPLO 2 Cunto deber invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 aos de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de inters anual compuesto para ese plazo?

C0 = 1.500----------------- (1 + 0,06)2= 1.334,99

1.6. CLCULO DE LOS INTERESES TOTALES

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencia entre ambos:

In = Cn C0

EJEMPLO 3Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% compuesto anual?300 I4?

C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24 In = 393,24 300 = 93,24

1.7. CLCULO DEL TIPO DE INTERS

Si se conoce el resto de elementos de la operacin: capital inicial, capital final y duracin, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin compuesta y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + i)nLos pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:Cn---- = (1 + i)nC0

Quitar la potencia (extrayendo raz n a los dos miembros):

Despejar el tipo de inters:

EJEMPLO 4

Determinar el tanto de inters anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 aos se obtenga un montante de 1.601,03 euros.

1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03

1.8. CLCULO DE LA DURACIN

Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial, capital final y tipo de inters, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin compuesta y despejar la variable desconocida.

Punto de partida:

Pasar el C0 al primer miembro:

Extraemos logaritmos a ambos miembros:

Aplicamos propiedades de los logaritmos:

Despejar la duracin:

EJEMPLO 5 Un capital de 2.000 euros colocado a inters compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202

n =log Cn log C0----------------------log (1 + i)log 3.202 log 2.000= ------------------------------log 1,04= 12 aos

1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACIN SIMPLE Y COMPUESTA

Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 aos, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al final de cada perodo en un caso y otro:

Aos123456

En simple.......... 1.100,001.200,001.300,001.400,001.500,001.600,00

En compuesta...1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 1.771,56

Donde se observa que el montante obtenido en rgimen de simple va aumentando linealmente, cada ao aumentan 100 euros (los intereses del ao, generados siempre por el capital inicial de 1.000 euros). Por su parte, en la operacin en compuesta, cada ao se van generando ms intereses que en el perodo anterior: la evolucin no es lineal sino exponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada ao mayor (los intereses generan nuevos intereses en perodos siguientes).

Grficamente:

Transcurrido un perodo (1 ao si se considera tipos anuales) el montante coincide en ambos regmenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores.

De la misma forma, se cumple que para perodos inferiores al ao el montante es mayor en rgimen de simple y, a partir del ao, es mayor en compuesta. ste es el motivo de la preferencia de la capitalizacin simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.

2. Tantos equivalentes

La definicin de tantos equivalentes es la misma que la vista en rgimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo perodo de tiempo producen el mismo inters o generan el mismo capital final o montante.

Como ya se coment cuando se hablaba del inters simple, la variacin en la frecuencia del clculo (y abono) de los intereses supona cambiar el tipo de inters a aplicar para que la operacin no se viera afectada finalmente. Entonces se comprob que los tantos de inters equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin:

i = ik x k

Sin embargo, esta relacin de proporcionalidad no va a ser vlida en rgimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el clculo de intereses se hace sobre una base cada vez ms grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalizacin antes se acumularn los intereses y antes generarn nuevos intereses, por lo que existirn diferencias en funcin de la frecuencia de acumulacin de los mismos al capital para un tanto de inters dado.

Este carcter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicacin de un tipo ms pequeo que el proporcional en funcin de la frecuencia de cmputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 ao en las siguientes condiciones:

a. Inters anual del 12%

Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

b. Inters semestral del 6%

Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60

c. Inters trimestral del 3%

Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalizacin de los intereses se est realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.

Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalizacin, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

2.1. RELACIN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA

Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relacin:

1 + i = (1 + ik)k

donde k es la frecuencia de capitalizacin, que indica:

El nmero de partes iguales en las que se divide el perodo de referencia que se tome (habitualmente el ao).

Cada cunto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cunto tiempo se acumulan los intereses, dentro del perodo, al capital para producir nuevos intereses.

Esta relacin se obtiene a partir de la definicin de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado perodo de tiempo (n aos) genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulacin de intereses (i o ik):Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido ser:

Cn = C0 x (1 + i)nUtilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido ser:

Cn = C0 x (1 + ik)nkSi queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operacin es la misma ya que lo nico que ha cambiado es la frecuencia de clculo de los intereses, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes:

C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nkSimplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n:

C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk

Quedando finalmente:

(1 + i ) = (1 + ik)k

Expresin que indica la relacin en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes.

El valor de i en funcin de ik ser:

i = (1 + ik)k 1

El valor de ik en funcin de i ser:

ik = (1 + i)1/k 1

EJEMPLO 6 Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 ao a un tanto del 12% efectivo anual, suponiendo:

a. Devengo anual de intereses:

i = 0,12Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

b. Devengo semestral de intereses:

Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de clculo es semestral, habr que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para despus calcular el montante.

i2 = (1 + 0,12)1/2 1 = 0,05830Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00

c. Devengo trimestral de intereses:

Igual que en el caso anterior, habr que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido.

i4 = (1 + 0,12)1/4 1 = 0,028737Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00

Los resultados son los mismos, debido a la utilizacin de intereses equivalentes.

3. Tanto nominal (Jk)

Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relacin anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idnticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresin de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fcilmente de su unidad habitual (en aos) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal.

El tanto nominal se define como un tanto terico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalizacin k por el tanto k-esimal:

Jk = ik x k

Expresin pensada para pasar fcilmente de un tanto referido al ao (el tanto nominal) a un tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional.

As pues, en compuesta, los tantos de inters pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (tambin conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de l se obtienen tantos efectivos con los que s se harn los clculos necesarios.

A continuacin se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantos efectivos anuales.

Tabla de conversin de tantos nominales a tantos anuales efectivos (TAE)La frmula de clculo es:

i = (1 + ik)k 1 = (1 + Jk/k)k 1

Frecuencia de capitalizacin

k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

Inters nominalAnual Semestral Trimestral Mensual

8% 8,000% 8,160% 8,243% 8,300%

9% 9,000% 9,202% 9,308% 9,381%

10% 10,000% 10,250% 10,381% 10,471%

11% 11,000% 11,303% 11,462% 11,572%

12% 12,000% 12,360% 12,551% 12,683%

El tipo de inters efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal est calculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y slo en sa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta, habr que volver a recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no cambie.

Tabla de conversin de tantos efectivos anuales (TAE) a tantos nominalesLa frmula de clculo es:

Jk = ik x k = [(1 + i)1/k 1] x k

Frecuencia de capitalizacin

k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

Inters efectivo anual Anual Semestral Trimestral Mensual

8%8,000% 7,846% 7,771% 7,721%

9%9,000% 8,806%8,711% 8,649%

10% 10,000% 9,762% 9,645% 9,569%

11% 11,000% 10,713% 10,573% 10,482%

12% 12,000% 11,660% 11,495% 11,387%

El tipo de inters nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones anuales.

Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto nominal, ste deber ser diferente en funcin de la frecuencia de capitalizacin para la cual se haya calculado.

4. Descuento compuesto

4.1. CONCEPTO

Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

4.2. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto.

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital del perodo anterior, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Al igual que ocurra en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial, segn cul sea el capital que se considera en el cmputo de los intereses que se generan en la operacin:

Descuento racional.

Descuento comercial.

4.3. DESCUENTO RACIONAL

Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un perodo el capital al inicio de dicho perodo, utilizando el tipo de inters vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

Grficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

Perodo n: CnPerodo n1:

Cn-1 = Cn In = Cn Cn-1 x i

Cn-1 x (1 + i) = CnCnCn-1 = ------------- (1 + i)

Perodo n2:

Cn-2 = Cn-1 In-1 = Cn-1 Cn-2 x i

Cn-2 x (1 + i) = Cn-1Cn-1 CnCn-2 = ------------ = ------------(1 + i)1 (1 + i)2Perodo n3:

Cn-3 = Cn-2 In-2 = Cn-2 Cn-3 x i

Cn-3 x (1 + i) = Cn-2

Cn-2 CnCn-3 = ----------- = ---------- (1 + i)1 (1 + i)3Perodo 0:

C0 = C1 I1 = C1 C0 x i

C0 x (1 + i) = C1C1 CnC0 = ---------- = ------------ 1 + i (1 + i)n

Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipacin del capital futuro. Se trata de la operacin de capitalizacin compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el capital actual.

De otra forma, partiendo de la expresin fundamental de la capitalizacin compuesta, Cn = C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0):

CnC0 = ----------(1 + i)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dr), o descuento propiamente dicho:

Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]

EJEMPLO7 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la operacin se concierta a un tipo de inters del 5% anual compuesto?Cunto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000C0 = -------------- = 20.732,10 1,053

Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90

De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90

4.4. DESCUENTO COMERCIAL

En este caso se considera generador de los intereses de un perodo el capital al final de dicho perodo, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

Grficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

Perodo n: Cn

Perodo n-1:

Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)

Perodo n-2:

Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2Perodo n-3:

Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)3Perodo 0:

C0 = Cn x (1 - d)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dc):

Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]

Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la operacin se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? Cunto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90

Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10

De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10

4.5. TANTOS DE INTERS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES

Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados sern diferentes segn se realice por un procedimiento u otro.

Sera conveniente encontrar la relacin que deben guardar los tantos de inters y los tantos de descuento para que el resultado de la anticipacin fuera el mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relacin de equivalencia entre tantos de descuento y de inters.

Esta relacin de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos Dr = Dc, por tanto:

simplificando, dividiendo por Cn:

Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por 1:

1---------- = (1 - d)n (1 + i)nFinalmente, extrayendo raz n a la ecuacin, queda la relacin de equivalencia buscada:

11 d = --------1 + i

El tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i ser:

id = --------- 1 + i

Anlogamente, encontraremos un tipo de inters equivalente a un d:

di = --------- 1 d

Hay que tener en cuenta que la relacin de equivalencia es independiente de la duracin de la operacin. Por tanto, se cumple que para un tanto de inters solamente habr un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la operacin.

EJEMPLO 9 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la operacin se concierta?

1.er caso: a un tipo de inters del 5% anual compuesto (descuento racional):

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000C0 = -------------- = 20.732,10 1,0532. caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial):

C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00

Por tanto, aplicando un tipo de inters y de descuento idnticos los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a que el capital productor de intereses es el capital inicial (ms pequeo) y en consecuencia menor el ahorro por la anticipacin.Para conseguir el mismo resultado habra que calcular el tipo de descuento equivalente al 5% de inters mediante la relacin de equivalencia:

0,05d = ------------ = 0,0476191 + 0,05

Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado ser:

C0 = 24.000 x (1 0,047619)3 = 20.732,10

5. Equivalencia de capitales en compuesta

Para comprobar si dos o ms capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales.

El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o ms capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.

Ya vimos en las operaciones en simple la definicin y utilidad de la equivalencia de capital

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