MATEMÁTICAS 3º ESO

TEMA 10 – PROBLEMAS MÉTRICOS EM EL PLANO-

1. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS

TIPOS DE ÁNGULOS DEFINICIÓN SUMA DE ÁNGULOS DE UN POLÍGONO

COMPLEMENTARIO SUMAN 90º

SUPLEMENTARIO SUMAN 180º

RECTO ÁNGULO DE 90º 180º (n-2)

LLANO ÁNGULO DE 180º CADA ÁNGULO DE UN POLÍGONO REGULAR

OBTUSO MAYOR DE 180º

n

2)-(n 180º

AGUDO MENOR DE 180º

EJEMPLO

En un pentágono tenemos que saber que sus ángulos suman 540º y cada ángulo del

pentágono son 108º.

180º (n-2) =180º (5-2) =180º ·3 =540º 540º / 5=108º

RECOMENDACIONES

MEDIATRIZ

La mediatriz de un segmento es la recta

perpendicular al segmento en su punto medio. La

mediatriz de un segmento es el lugar geométrico

de los puntos que equidistan de sus extremos. La

mediatriz de un segmento es la recta

perpendicular a éste que lo divide en dos partes

iguales. Los pasos a seguir para su trazado son:

1. Abre el compás algo más de la mitad del

segmento dado AB y, con centro en el extremo A

traza un arco. 2. Hacemos lo mismo, pero desde

el extremo B. 3. Unimos formando los dos puntos

que se han formado con los arcos.

BISECTRIZ

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus

lados, pues los puntos P de la bisectriz cumplen lo siguiente:

Dist (P,r) = dist (P,s)

1) Trazamos un ángulo de cualquier medida y lo

nominamos con tres letras en este caso tenemos el

ángulo AOB.

2) Con el compás hacemos centro en el vértice O

y trazamos un arco de cualquier radio que corta a

los lados a y b en los puntos P y Q.

3) Luego, con el compás hacemos centro en los

puntos P y Q y trazamos dos arcos de igual radio

que se cortarán en un punto A.

4) Con la regla trazamos una recta que una el

vértice O con el punto A, obteniendo así la

bisectriz del ángulo.

TIPOS DE RECTAS

RECTAS PARALELAS

ES CUANDO EXISTE LA

MISMA DISTANCIA

ENTRE CUALQUIER

PUNTO DE UNA RECTA

CON LA OTRA RECTA

RECTAS COINCIDENTES CUANDO HAY UNA RECTA

ENCIMA DE LA OTRA

RECTA PERPENDICULAR

CUANDO LAS RECTAS

FORMAN 90º

RECTAS SECANTES LAS RECTAS SE CORTAN

RECTA TANGENTE

LA TANGENTE A UNA

CURVA EN UNO DE SUS

PUNTOS, ES UNA RECTA

QUE TOCA A LA CURVA

EN EL PUNTO DADO, EL

PUNTO DE TANGENCIA

2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

RAZÓN DE SEMEJANZA

Ejemplo 1: Observa estas tres fotografías e indica si son

semejantes entre sí y por qué:

Ejemplo 2: Mide las dimensiones de este rectángulo y construye un

rectángulo semejante a él de forma que la razón de semejanza sea 3:

Solución:

1,5 · 3 = 4,5 cm

3 · 3 =9 cm

Ejemplo 3: Construye un triángulo semejante de forma que la razón

de semejanza sea 2, sabiendo que los lados de un triángulo miden

1,5 cm, 2 cm y 2,5 cm.

1,5 · 2 = 3 cm

2 · 2 = 4 cm

2,5 · 2 = 5 cm

3. ESCALAS

Es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano, maqueta) y

la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de

semejanza entre la reproducción y la realidad. Por ejemplo, una escala

1:200 significa que 1 cm del plano corresponde a 200 cm de la realidad.

Para calcular la escala se divide una longitud medida en el modelo, plano o

mapa, entre la longitud correspondiente a la realidad.

Ejemplo 1: En un mapa cuya escala es 1:1500000, la distancia entre

dos ciudades es de 2,5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.500.000 cm en la

realidad, es decir, 15 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades

se calcula multiplicando 2,5 por 15 km, es decir, en realidad hay 37,5

km de distancia.

¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya

distancia real es 360 km?

En este caso, la operación a realizar es una división. Pero antes

tenemos que pasar los 360 km a cm, que corresponde a 36.000.000 cm.

Dividimos 36.000.000 entre 1.500.000 y obtenemos 24 cm.

Ejemplo 2: En un mapa cuya escala es 1:300000, la distancia entre dos

ciudades es de 5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 300.000 cm en la

realidad, es decir, 3 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades

se calcula multiplicando 5 por 3 km, es decir, en realidad hay 15 km de

distancia.

Ejemplo 3: En un mapa cuya escala es 1:1800000, la distancia entre A

y B es de 5 cm. En otro mapa de escala 1:1200000, la distancia entre

C y D es también de 5 cm ¿Qué distancia es mayor en la realidad AB o

CD?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.800.000 cm en la

realidad, es decir, 18 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades

se calcula multiplicando 5 por 18 km, es decir, en realidad hay 90 km

de distancia. A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.200.000

cm en la realidad, es decir, 12 km. Entonces la distancia entre las dos

ciudades se calcula multiplicando 5 por 12 km, es decir, en realidad hay

60 km de distancia.

Así que hay más distancia entre la ciudad A y B.

Ejemplo 4: El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización

a escala 1:500. Sobre la maqueta se ha tomado las siguientes medidas:

Polideportivo: largo 30 cm y ancho 18 cm.

Depósito cilíndrico: diámetro 6 cm y altura 10 cm.

Carpa: diámetro 16 cm.

Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm2 de

tela. En el depósito de la maqueta caben 283 cm3 de arena. Hallar:

a) La superficie total del polideportivo.

b) El volumen del depósito.

c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad.

RESOLUCIÓN

DIMENSIONES EN REALIDAD:

Polideportivo:

Largo 30 cm x 500 =15000 cm =150 m

Ancho 18 cm x 500 =9000 cm =90 m

Depósito cilíndrico:

Diámetro 6 cm radio 3 cm x 500 =1500 cm = 15 m

Altura 10 cm x 500 =5000 cm = 50 m

Carpa:

Diámetro 16 cm radio 8 cm x 500= 4000 cm =40 m

a) La superficie total del polideportivo.

A= b· h = 150 · 90 = 13500 m2

b) El volumen del depósito.

V=π· r2 ·h= π· 152 ·50 = 35342,9 m3

c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad.

A= 2

1· 4 · π· r2 = 2· π· r2 =2· π· 402 = 10053,1 m2

4. TEOREMA DE TALES.

Si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los

segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los

segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Ejemplo 2: Hallar las medidas de los segmentos a y b.

5. TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES DE PITÁGORAS

a) TEOREMA DE PITÁGORAS

b) CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

RECTÁNGULO a2 = b2 + c2

OBTUSÁNGULO a2 > b2 + c2

ACUTÁNGULO a2 < b2 + c2

c) APLICACIÓN DE PITÁGORAS EN CIRCUNFERENCIAS

ENUNCIADO DIBUJO

Dadas dos circunferencias de radio

13 y 5 cm, con sus centros

alineados, trazamos una recta

paralela a la recta formada por los

centros de las circunferencias que

sea tangente a la circunferencia de

radio menor. Hallar la recta AB

secante a la circunferencia de radio

mayor.

X2= 132-52

X= cm12144

AB= 2·12=24 c

ENUNCIADO DIBUJO

Una circunferencia de radio 80 cm

está alineado a un punto P situado

fuera de la circunferencia que dista

130 cm al centro de la

circunferencia. Si trazamos una

tangente a la circunferencia desde el

punto P. ¿Cuál es la longitud del

segmento tangente, PT?

X2= 1302-802

X= cm47,10210500

PT= 102,47 cm

ENUNCIADO DIBUJO

Dos circunferencias con sus centros

alineados y de radios 9 cm y 5 cm

tienen sus centros separados a 20

cm. Hallar la longitud del segmento

tangente exterior común.

X2= 202-42

X2=400-16

X2=384

X= cm6,19384

t= 19,6 cm

ENUNCIADO DIBUJO

Dos circunferencias con sus centros

alineados y de radios 14 cm y 7 cm

tienen sus centros separados a 29

cm. Hallar la longitud del segmento

tangente interior común.

X2= 292-212

X2=841-441

X2=400

X= cm20400

x= 20 cm

d) APLICACIÓN ALGEBRAICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Para resolver estos problemas se tiene que hacer el teorema de

Pitágoras de cada triángulo y resolver el sistema de ecuaciones formado

por los dos triángulos. Se puede hacer también mediante un trapecio u

otras figuras geométricas.

o TRIÁNGULO

Hallar la altura sobre el lado mayor en un triángulo cuyos lados miden 6 cm, 8

cm y 10 cm.

x2+h2=62

(10-x)2+h2=82

x2+h2=62

100-20x+x2+h2=64

Resolviendo este sistema

obtenemos x=3,6 cm y h= 4,8 cm

o TRAPECIO

Hallar la altura de un trapecio de lados oblicuos 13 y 20 cm y de bases 38 y

17 cm.

132=x2+h2

202=(21-x)2+h2

169=x2+h2

400=441-42x+x2+h2

Resolviendo este sistema

obtenemos x=5 cm y h= 12 cm

6. ÁREAS DE POLÍGONOS Y FIGURAS CURVAS

NOMBRE DIBUJO (PITÁGORAS) ÁREA

CUADRADO

A=L2

RECTÁNGULO

O

PARALELOGRAM

O

A=b·h

ROMBO

2

·dDA

TRAPECIO

RECTÁNGULO

2

)·( hbBA

TRAPECIO

ISÓSCELES

TRIÁNGULO

EQUILÁTERO

2

·hbA

NOMBRE DIBUJO (PITÁGORAS) ÁREA

POLÍGONO

REGULAR

(HEXÁGONO

L=r)

2

·appA

CÍRCULO