Material de apoyo 8

Derivadas direccionales.

Derivada direccional.

La derivada direccional de una función 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en la dirección del vector unitario 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝒋

viene dado por 𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) = limℎ→0𝑓 𝑥 + ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑦 + ℎ𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑓(𝑥 ,𝑦)

ℎ

Gradiente: El gradiente de una función se define como un vector cuyas coordenadas son derivadas parciales

de todas las variables independientes

∇𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝒊 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝒋

Una forma análoga de calcular la derivada direccional es 𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝛻𝑓 ∙ 𝑢donde 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗

Ejemplo: Calcule la derivada direccional de la función 𝑓 𝑥 = 3𝑥𝑦3 − 2𝑥2𝑦 en

la dirección del vector cuyo con el ángulo x positivo es 𝜋

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