Material de Auto-Estudio

MATERIAL DE AUTO-ESTUDIO III

MÓDULO: “EXPRESIONES ALGEBRAICAS”

CURSO: MATEMÁTICA PROGRAMA PROPEDÉUTICO.

Estimado estudiante:

- El siguiente material de auto-estudio fue confeccionado para apoyar tu estudio de la

matemática involucrada en la tercera prueba del curso de matemática del propedéutico.

- Resuelve las actividades planteadas y compara tus respuestas con las señaladas al final

del documento.

- Al finalizar este material de auto-estudio III serás capaz de:

1. Utilizar letras para representar expresiones numéricas.

2. Evaluar expresiones algebraicas.

3. Expresar en forma algebraica categorías de números racionales.

4. Sumar y restar polinomios.

5. Reducir términos semejantes.

6. Aplicar la convención de uso del paréntesis.

7. Transformar expresiones algebraicas mediante productos.

8. Resolver problemas que involucren productos.

9. Desarrollar productos notables.

10. Interpretar geométricamente los productos notables.

11. Transformar expresiones algebraicas en productos.

12. Factorizar expresiones usando productos notables.

13. Simplificar expresiones algebraicas factorizadas.

14. Resolver problemas que involucren factorizaciones.

15. Asociar la notación de una potencia con exponente fraccionario con la notación de raíz enésima.

16. Transformar expresiones algebraicas racionales aplicando la racionalización.

Nombre: ________________________________________ Fecha: ____________

Prof: Marta Muñoz C.

Prof. Marta Muñoz C. 2

I. Valorización de expresiones: polinomios, multinomios.

Veamos algunos casos Si se necesita expresar:

Caso 1: El triple de x menos el doble de y entonces:

El triple de x se anota: 3x

El doble de y se anota: 2y

El triple de x menos el doble de y se expresa así: 3 2x y

Caso 2: Una madre tiene 35 años menos que su padre, y su hija 23 años menos que ella.

Observa que si designamos a la edad de la madre con la letra x, entonces escribiremos:

Edad del abuelo Edad de la madre Edad de la hija

35 añosx añosx 23 añosx

También podemos escribirlo designando a la edad de la hija como x, entonces:


58 añosx 23 añosx añosx

O bien, se puede designar a la edad del abuelo como x, entonces:


añosx 23 añosx 58 añosx

Actividad n°1 para practicar la transformación de expresiones

cuantitativas en expresiones algebraicas.

1. Expresa los siguientes enunciados en notación algebraica:

a) El triple de “x” multiplicado por la suma de “z” y “w”: __________________

b) La diferencia de “a” y el triple del cubo de “b”: _________________

c) El doble de “z” más el triple del cubo de “x”: _________________

d) Un número “m” disminuido en el cubo de la diferencia entre “b” y “c”: ________________

e) La tercera parte de “a” aumentada en la quinta parte de “b”: ________________

2. Expresa la notación algebraica como un enunciado:

a) 46

yx : ___________________________________________________________________

b) a b c : __________________________________________________________________

c) 5 c d : __________________________________________________________________

d) 2

3a b : _________________________________________________________________

e) 3

7 3 5j k : _____________________________________________________________

Mediante la notación algebraica se pueden expresar relaciones aritméticas que pueden corresponder a situaciones propias de la Matemática (Álgebra, Geometría, etc.), o de otras ciencias que estudian leyes de la Naturaleza (Física, Biología, Química, etc.).


Veamos algunos casos Caso 1: Si rqp 2 , q es el triple que p y 5p ¿Cuál es el valor de r?

Primero debemos escribir algebraicamente la frase “q es el triple que p” que se escribe: pq 3 .

Ahora se obtiene el valor de q valorizando la expresión pq 3 con 5p así 1553 qq .

Ahora teniendo los valores de p y q podremos encontrar el valor de r, donde de rqp 2 se tiene:

102202155 rrr . Por lo tanto el valor de r es 10.

Caso 2: Valorizar la distancia recorrida por un automóvil si la rapidez fue de 90 Km/hr y el

tiempo empleado fue de 3 horas. Distancia rapidez tiempo

Del enunciado se deduce que:

rapidez 90Km

hr; tiempo 3 horas.

Reemplazamos cada variable por los valores asignados:

Distancia rapidez tiempo 90Km

hr3 hr 270Km

Actividad n°2 para practicar valoración de expresiones.

1. Valora las siguientes expresiones algebraicas considerando que:

3

4a ;

2

5b ;

1

3c

i) a b c

ii) abc

iii) 2 3a c

2. Determina el volumen de una esfera (cuyo volumen V es 34

3r ) asumiendo que:

lo aproximaremos a 3,14, y que 9 r cm

3. Dados los polinomios: p( ) 4 1x x y q( ) 9 5z z , valorizar p(q(6)) .

Valorizar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico o literal a cada variable de los términos y resolver las operaciones que indica la expresión para establecer su valor final.


Veamos algunos casos Caso 1: Expresar algebraicamente la siguiente categoría de números:

2, 7, 12, 17, 22,...

Construiremos una tabla que contenga en una columna los números de la serie, y en otra la diferencia

entre uno de ellos y el anterior:

Números de la serie Primera Diferencia

2 27 5

712 5

1217 5

1722 5

7

12

17

22

Como la diferencia entre los números resultó ser constante (5) en la primera diferencia, el polinomio

será de grado uno:

baxxP )( , ahora para encontrar las constantes a y b basta resolver el siguiente sistema de

ecuaciones lineales:

Si 1 (1) (1) 2

Si 2 (2) (2) 2 7

x P a b a b

x P a b a b

El conjunto solución del sistema: 5a , 3b permite identificar el polinomio:

35)( xxP

Finalmente la expresión algebraica que define la serie 2, 7, 12, 17, 22,... es INxx ,35

Caso 2: Expresar algebraicamente la siguiente categoría de números:

;...6

35;

4

13;

3

4;

12

1

Procederemos de la misma forma, la tabla asociada será:

Números de la serie Primera Diferencia Segunda diferencia

12

1

12

15

12

1

3

4

12

23

3

4

4

13

12

31

4

13

6

35

3

2

12

8

12

15

12

23

3

2

12

8

12

23

12

31

3

4

4

13

6

35

Para representar una serie de números como una expresión algebraica, usaremos el método de diferencias finitas, calculando las diferencias entre los números que componen la serie hasta encontrar una diferencia constante, y luego definir un sistema de ecuaciones para encontrar el polinomio que rige dicha serie.


Como la diferencia entre los números resultó ser constante en la segunda diferencia (la constante es

3

2), el polinomio será de grado dos:

cbxaxxP 2)( , ahora para encontrar las constantes a y b basta resolver el siguiente

sistema de ecuaciones lineales:

2

2

2

1Si 1 (1) (1) (1)

12

4Si 2 (2) (2) (2) 4 2

3

13Si 3 (3) (3) (3) 9 3

4

x P a b c a b c

x P a b c a b c

x P a b c a b c

El conjunto solución del sistema: 3

1a ,

4

1b ,

2

1c permite identificar el polinomio:

2

1

4

1

3

1)( 2 xxxP

Finalmente la expresión algebraica que define la serie ;...6

35;

4

13;

3

4;

12

1 es

INxxx

xP ,2

1

43)(

2

Actividad n°3 para practicar el descubrimiento de patrones que permitan

expresar algebraicamente categorías de números.

Expresa algebraicamente las siguientes categorías de números:

1) 21, 28, 35, 42, 49,...

2) 8, 10, 14, 20, 28,...

3) 37 41 127 86 217

; ; ; ; ; ...10 5 10 5 10

4) 14 11 1 10

; ; 2; ; ; ...3 3 3 3

5) 1, 10, 33, 76, 145,...


II. Términos semejantes.

Recuerda que un término algebraico se compone de “Coeficiente numérico” y “Factor

literal”, así en el término dca 235 el coeficiente numérico es -5 y el factor literal es

dca 23.

Veamos algunos casos

Caso 1: Identificar los términos semejantes en la expresión: babaaxbba 2322 7635 ,

2 25 es semejante con 7a b a b .

Caso 2: Identificar los términos semejantes en la expresión:

32232

5

28 yxxyyx ,

2 3 2 32 es semejante con

5x y x y .

Actividad n°4 para practicar reducción y determinación de términos

semejantes. Reduce las expresiones de la segunda columna y luego relaciona los términos semejantes de las

columnas escribiendo el número en la línea que corresponda:

1) 2 37a b

____

7

2

3

2

m

m n

2) 5 16m n ____

2 3a b

3) 55

9n m ____

3 21

4a b

4) 3 24m n

____

8 2

46

a b

a

5) 25a b

____

5

2

3

4

m n

m

6) 77m n ____ 7aba

7) 4 21

4a b ____

3

2

6

7

m

n

8) 2 25ab a

____ 5

8m

n

Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal.


Veamos algunos casos Caso 1: Reducir la siguiente expresión algebraica de seis términos:

xyxyxyxy 54232

Observa que aparecen tres tipos de factor literal “ x ”, “ y ” y “ xy ”

Agrupemos los términos cuyo factor literal es x :

xxxx 64242 (Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en Z)

Agrupemos los términos cuyo factor literal es y :

yyyy 4133 (Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en Z)

Agrupemos los términos cuyo factor literal es xy :

xyxyxyxy 75252 (Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en Z)

Luego la expresión reducida es: 6 4 7x y xy

También se puede obtener directamente sumando los coeficientes numéricos de cada uno de ellos de

los términos semejantes involucrados.

Caso 2: Reducir la siguiente expresión algebraica de cinco términos:

abbaabba4

51

3

723 22

Observa que aparecen dos tipos de factor literal “ ba2”, “ ab ”, además la constante numérica 1 .

Agrupemos los términos cuyo factor literal es ba2:

babababa 2222

3

2

3

73

3

73 (Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en Q)

Agrupemos los términos cuyo factor literal es ab :

abababab4

13

4

52

4

52 (Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en Q)

Luego la expresión reducida es:

22 131

3 4a b ab

Actividad n°5 para practicar reducción de términos semejantes.

Reduce las siguientes expresiones algebraicas:

1) 2

2 3 4

m m mm

2) 2 3 4 2 3 42 3 4a a a a a a a a

3) 2 2 2 2 2 2 2 2x yz xy z xy z x y z

4) 2 2 2 2 23 2 1

34 3 2

a b ab a b ab ab

5) 1 3

0,7 0,04 0,37 4

m p m p p

Reducir términos semejantes consiste en transformar dos o más términos que tengan

igual factor literal reduciendo mediante la adición sus coeficientes numéricos.


Veamos algunos casos Caso 1: Reducir la siguiente expresión algebraica:

13 2 3 2 3x x x x y y y

13 2 3 2 3

13 2 4 3

13 2 2

13 2 2

11 2

x x x x y y y

x x x y y

x x y

x x y

x y

Caso 2: Reducir la siguiente expresión algebraica:

2b c d c d b d e b

2

2

3 2

3 2

2 3 2

2 3 2

3 2 3 2

b c d c d b d e b

b c d c d b d e b

b c d c b e b

b c d c b e b

b c d b e b

b c d b e b

b c d e

Actividad n°6 para practicar eliminación de paréntesis.

Elimina paréntesis y reduce los términos semejantes:

1. 2 3 2m n m n m n

2. 3 2 2 3 2 3 2x y x x y x x y

3. 1 1 2

5 2 3a a a a

4. Si 1 1 2

2 3 4P a b c y

2 3 2

3 2 4Q a b c encuentra Q P .

5. Si 3 22 3 2 5A x x x y

3 23 4A B x x x encuentra B.

¿Cómo reducir paréntesis? Si una expresión algebraica tiene términos semejantes agrupados en paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera, recordando que el signo menos delante de un paréntesis representa al inverso aditivo de ese polinomio y que

corresponde a los inversos aditivos de cada término.


III. Productos Notables.


Caso 1: Consideremos los polinomios p( ) 3 5x x ; 2q( ) 2 4 7x x x .

Para calcular el producto p( ) q( )x x escribimos:

2p( ) q( ) 3 5 2 4 7x x x x x

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en Z sucesivamente a cada

término del polinomio p( )x tenemos: 2 2p( ) q( ) 3 2 3 4 3 7 5 2 5 4 5 7x x x x x x x x x

3 2 26 12 21 10 20 35x x x x x

Y al reducir los términos semejantes, se obtiene:

3 2p( ) q( ) 6 22 35x x x x x

Caso 2: Consideremos los polinomios 2p( , ) 3 2h k h k ;

2q( , ) 5 9h k h k .

Para calcular el producto p( , ) q( , )h k h k escribimos:

2 2p( , ) q( , ) 3 2 5 9h k h k h k h k

Aplicando la propiedad distributiva la multiplicación sobre la adición en Z sucesivamente a cada

término del polinomio p( , )h k tenemos: 2 2 2 2p( , ) q( , ) 3 5 3 9 2 5 2 9h k h k h h h k k h k k

y reduciendo términos semejantes resulta 3 2 2 315 27 10 18h h k hk k

Actividad n°7 para practicar el uso de los productos notables

Encuentra el polinomio resultante simplificando:

1. 2 6 4 33 3 2 2 3x x x x x

2. 2 38 1 1

23 4 5

p q pq pq pq

3. 1 1x y

4. 2 22 3a ab b b b

5. 3 2 3x y z x y z

6. 1 2 3n n nx y x x x

El producto de dos polinomios en la misma una o más variables es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término de uno de ellos por cada uno de los términos del

otro polinomio y luego reduciendo términos semejantes.


En este módulo, estudiaremos tres productos que se llamarán “Productos Notables”:


Caso 1: Desarrollemos el producto entre 5 3x xy (el término común es x)

2

2

5 3 5 3 5 3

8 15

x x x x

x x

Caso 2: Desarrollemos el producto entre 2 64 4

a ab by (el término común es

4

a)

2

22

22

2 6 2 6 2 64 4 4 4

8 1216 4

2 1216

a a a ab b b b b b

a ab b

aab b


Caso 1: Desarrollemos 2

2 x :

2 2 2 22 2 2 2 4 4x x x x x

Caso 2: Desarrollemos

2

2 3 63 3

4 5a b ab :

2 2 2

2 3 6 2 3 2 3 6 6 4 6 3 9 2 123 3 3 3 3 3 9 9 92

4 5 4 4 5 5 16 10 25a b ab a b a b ab ab a b a b a b

Dentro de la multiplicación de polinomios existen algunos productos que pueden ser desarrollados en forma directa, es decir, sin multiplicar término a término primero, y luego reducir.

Multiplicación de dos binomios que tienen un término en común El producto de dos binomios con un término común, es un trinomio cuyos términos son: el cuadrado del término común, la suma de los términos distintos multiplicado por el término común, y el producto de los términos distintos. Simbólicamente:

2x a x b x a b x ab

Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es un trinomio cuyos términos son: el cuadrado del primer término, el doble producto del primer término por el segundo término, y el cuadrado del segundo término. Simbólicamente:

2 2 22a b a ab b



Caso 1: Desarrollemos 3 3a b a b :

2 2 2 23 3 3 9a b a b a b a b

Caso 2: Desarrollemos 5 2 5 213 1 13 1n p n p :

25 2 5 2 5 2 5 2 5 2 10 413 1 13 1 1 13 1 13 1 13 1 169n p n p n p n p n p n p

Actividad n°8 para practicar multiplicaciones de polinomios

I. Desarrolla las siguientes multiplicaciones de polinomios usando la técnica de los productos notables,

e identificando cada caso.

1. 5 2 5 3x x

2. 2 3 4 2 3 43 2 3 2

14 3 14 3a b b a b b

3. 2 23 2 3 5a b a b

4. 2

2 5a

5. 3 5 3 57 8 7 8c d c d

6. 2 3 3 25 6 6 5a b ab ab a b

7. 5 4 5 48a b a b

8. 2

0,2 0,3x y

9. 5 1 8 5 1 8x y y x y y

II. ¿Por qué 2 2

a b b a ? Fundamenta.

Al desarrollar los cuadrados de los binomios a b y b a resulta el mismo trinomio final.

¿Cómo podrías explicar este fenómeno?

Suma por diferencia El producto de la suma de dos términos por su diferencia, es un binomio formado por el cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término. Simbólicamente:

2 2a b a b a b


Veamos algunos casos Caso 1: Analicemos la interpretación geométrica del producto notable “Multiplicación de dos

binomios que tienen un término común”

Consideremos que x a es el largo de un rectángulo y que x b es su ancho.

2. Ahora veremos una interpretación geométrica del producto notable “Cuadrado de un

binomio”

Consideremos que x a es el lado de un cuadrado.

3. Finalmente estudiaremos una interpretación geométrica del producto notable “Suma por

diferencia”

Consideremos que x a y x a son las longitudes de los lados del rectángulo MNPQ .

2x

ax

ab

Algunos productos notables que involucran trinomios cuadráticos pueden

interpretarse geométricamente.

x

x

a

b

x

a

x a

ax2x ax 2a

x a

x a

a

x

b

a b

x

2 22x ax a

M

N P

Qa

x2 2 2 2x ax a ax x a

2x ax

2a ax


Actividad n°9 para practicar interpretaciones geométricas de productos

notables.

¿Qué producto representa el área achurada en cada caso?

1)

2)

3)

7 m

7

m

r

t

t r

7c

7c

d

e


Veamos algunos casos Caso 1: Calcular el área del triángulo ABC.

El área de un triángulo se calcula con mediante la expresión

longitud de la base longitud de la altura

2Á , entonces, según los datos de la

figura el área es 5 2 8

2

a aÁ

22 8 10 40

2

a a aÁ

22 2 40

2

2

a aÁ

Á

2 20

2

a a

2 20Á a a

El área del triángulo ABC en términos del parámetro a es 2 20a a

2. Según el teorema de Thales “si 1 2 3L L L entonces AB DE

BC EF”. Calcular la medida del

segmento EF de la figura:

Como 3AB x ; BC x ; 5DE x ; 1EF x la

proporción resulta:

3 5

1

x x

x x

2

3 1 5x x x x

x 23 3x x x 5

4 3 5

3

x

x x

x

Entonces la medida del segmento EF es 4.

Actividad n°10 para practicar el uso de productos notables en problemas

de naturaleza geométrica.

Determina el área de las siguientes figuras:

También existen situaciones geométricas que involucran productos notables.


IV. Factorización.

Estudiaremos los siguientes casos:


Caso 1: Factoricemos la expresión: 23 6b b

Vemos que el término 3b está contenido en ambos términos del binomio que queremos factorizar, por

lo tanto 3b es el factor común. El segundo factor se obtiene buscando los términos por los cuales hay

que multiplicar el factor común 3b para obtener los términos de la expresión original, por lo tanto

escribimos: 23 6 3 1 2b b b b .

Caso 2: Factoricemos la expresión:

6 2 3

2 4

5 10 20

3 21 9

a a a

b b b

El factor común de los numeradores es 25a y el de los denominadores es 3b , por lo tanto el factor

común de la expresión es

25

3

a

b y escribimos:

6 2 3 2 4

2 4 3

5 10 20 5 2 4

3 21 9 3 7 3

a a a a a a

b b b b b b


Caso 1: Factoricemos ac ad bc bd

Si observamos, vemos que el primer y el segundo término tienen el factor común “a” y el tercer y el

cuarto término tienen “b” como factor común. Asociamos y factorizamos por parte:

ac ad bc bd ac ad bc bd

a c d b c d

Ahora nos queda c d como factor común, por lo tanto, la expresión original queda factorizada

como sigue:

ac ad bc bd c d a b

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en

expresarla como producto de dos o más polinomios.

Factor común (monomio o polinomio) En este caso, todos los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el término común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica.

Factor común compuesto Muchas veces no todos los términos de una expresión algebraica contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación de ellos podemos encontrar factores

comunes de cada grupo.


Caso 2: Factoricemos ax bx cx ay by cy az bz cz

Asociamos en el orden natural, los tres primeros, los tres siguientes y los tres últimos:

ax bx cx ay by cy az bz cz

ax bx cx ay by cy az bz cz

x a b c y a b c z a b c

a b c x y z


Caso 1: Factoricemos 2 29 16m p :

29m es el cuadrado de 3m y 216 p es el cuadrado de 4p . Entonces

2 29 16 3 4 3 4m p m p m p .

Caso 2: Factoricemos 6 8

4 25

x y:

En la primera fracción 4 es el cuadrado de 2 y 6x es el cuadrado de

3x .

En la segunda fracción 25 es el cuadrado de 5 e 8y es el cuadrado de

4y . Por lo tanto:

6 8 3 4 3 4

4 25 2 5 2 5

x y x y x y


Caso “Cuadrado de binomio”

Factoricemos 2 216 24 9p pq q :

Observamos que el primer término 216 p y el último

29q son los cuadrados de 4p y 3q ,

respectivamente, y además el término central 24pq corresponde al doble del producto de 4p y 3q

pues 2 4 3 24p q pq , entonces la expresión es un cuadrado de binomio

22 216 24 9 4 3p pq q p q .

Diferencia de cuadrados Recordemos que el producto notable “suma por diferencia” nos decía que el producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de

los cuadrados de ambos términos. En la factorización haremos el proceso inverso.

Trinomios ordenados

Llamamos trinomio ordenado a una expresión de la forma 2ax bx c , donde

, 0; ,a IR a b c IR .

En general los trinomios pueden proceder de la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado de binomio), o de la multiplicación de dos binomios con un

término común, o de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes.


Caso “Multiplicación de binomios con un término en común”

Factoricemos 2 13 36y y :

Aquí vemos que tanto el primer término como el tercero corresponden a cuadrados exactos (de “y” y

de 6, respectivamente), pero el término central 13y no corresponde al doble producto entre “y” y 6 (es

decir, a 12y ) así que no es un cuadrado de binomio, en este caso, el trinomio puede corresponder al

producto de dos binomios con un término en común “y”.

Buscamos entonces dos números cuyo producto sea igual a 36 (el último término del binomio) y tales

que el producto del término común (y) por la suma de estos números sea igual al término central

(13y ). Estos números son 9 y 4 .

En efecto: 9 4 36 y 9 4 13 , entonces 2 13 36 9 4y y y y .

Caso “Multiplicación de dos binomios de términos semejantes”

Factoricemos la expresión 22 3 2x x :

En este ejemplo, ni siquiera el primer término es cuadrado de un término entero. Amplifiquemos por el

coeficiente numérico de 2x (en este caso, por 2) para obtener un primer término como en los ejemplos

anteriores, es decir, un cuadrado exacto (no olvidar dividir por 2 para no alterar la expresión). 2

2

2 3 2 / 2

4 6 4 (*)

2

x x

x x

Usaremos una variable auxiliar:

2u x , reemplazando en (*) se tiene:

2 22 2 3 2 4 3 4 4 14 6 4

2 2 2 2

x x u u u ux x

Volviendo a la variable inicial x se tiene:

4 1 2 4 2 1 2

2 2

u u x x 2 2 1

2

x x2 2 1x x

Por lo tanto 22 3 2 2 2 1x x x x .

Observaciones: La forma de asociar no es única, pero la factorización sí lo es. Por propiedad

conmutativa de la multiplicación no importa el orden en que se entregue el resultado.


Actividad n°11 para practicar factorizaciones.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas justificando cada paso como en el ejemplo:

Ejemplo:

23 5 2m m / caso multiplicación de dos binomios de términos semejantes.

29 15 6

3

m m / amplifiqué por 3 para dejar un cuadrado exacto y dividí por 3 para evitar alterar la expresión.

25 6

3

u u / usé una variable auxiliar 3u m

3 2

3

u u / factoricé por el caso multiplicación de dos binomios con un término común.

3 3 3 2

3

m m / volví a la variable inicial m

3 1 3 2

3

m m / factoricé por 3 el primer factor del numerador.

1 3 2m m / simplifiqué el 3.

Ahora te corresponde a ti:

1) 2 5 6n n

2)

2

14

xx

3) 23 7 2p p

4) 2 56y y

5) 6 32 1x x

6) 23 14 8j j



Caso 1: Se sabe que el área de un rectángulo es 2 3 6 9ab a b . Determinar los lados del

rectángulo.

El área de un rectángulo es la multiplicación de la longitud del largo por la longitud del ancho. Por lo

tanto debemos buscar los factores de 2 3 6 9ab a b .

Asociemos esta expresión de la siguiente forma:

2 3 6 9 2 6 3 9ab a b ab b a

En el primer paréntesis el término común es 2b y en el segundo paréntesis el término común es 3, por

lo que queda:

2 6 3 9 2 3 3 3ab b a b a a

Finalmente factorizamos por 3a :

2 3 3 3 2 3 3b a a b a

Los lados del rectángulo son 3a y 2 3b .

Caso 2: Otra aplicación de la factorización de polinomios es resolver ecuaciones cuadráticas sin

recurrir a la fórmula general.

Problema: El ancho de una piscina rectangular es 10 metros menos que el largo. La superficie de la

piscina es de 2600m . ¿Cuáles son las longitudes de los lados de la piscina?

Primero debemos escribir el problema en lenguaje algebraico. La superficie de un rectángulo es el

producto del largo por el ancho, de manera que si el largo lo denotamos como “l” el ancho será

10l , por lo tanto:

10 600l l , calculando el producto:

2

2

10 600

10 600 0

l l

l l

Factorizando:

20 30 0l l

Que el producto de dos números sea cero implica que uno o el otro factor es cero, es decir:

20 0 30 0l l

Si 20 0 20l l , pero una longitud no puede ser negativa, por lo tanto:

30 0 30l l .

Si el largo es 30 , entonces el ancho es 20 .

Las longitudes de los lados de la piscina son 30m de largo y 20 m de ancho.

También encontraremos problemas aplicados que involucren factorización de polinomios. Para resolverlos el primer paso es traducir el problema a lenguaje

algebraico, para después identificar qué tipo de factorización se puede hacer.


Actividad n°12 para practicar resolución de problemas.

Resuelve los problemas propuestos aplicando la factorización:

1. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres

números consecutivos.

2. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos es 365. ¿Cuáles son estos números?

3. ¿Cuál es el número que multiplicado por sí mismo es igual al doble del mismo número?

4. ¿Qué número multiplicado por 30 es 1.000 unidades menor que su cuadrado?

5. Determina dos números impares consecutivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 394.

6. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 728.


V. Simplificación.


1. Simplifiquemos la siguiente fracción algebraica: 3 3

5

24

21

a b

ab

En este primer caso descompondremos los monomios de la siguiente forma:

3 8 a a a b b b

3 7 a b b b b b

2

2

8 8

7 7

a a a

b b b

Por lo tanto

3 3 2

5 2

24 8

21 7

a b a

ab b

2. Simplifiquemos la fracción algebraica: 2

2

7 12

16

x x

x

Observa que podemos factorizar el numerador y el denominador de la fracción dada, ya que:

2 7 12 4 3x x x x (factorización de binomios con término común).

2 16 4 4x x x (factorización diferencia de cuadrados).

Luego:

2

2

47 12

16

xx x

x

3

4 4

x

x x

3

4

x

x

Por lo tanto

2

2

7 12 3

16 4

x x x

x x

Actividad n°13 para practicar la simplificación de expresiones

algebraicas.

Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas:

1)

4 5

3 7

7

21

mn p

m np 2)

8 16

24

a b 3)

14 21

50 75

x y

x y

4)

2x x

xy y 5)

2 22

3 3

a ab b

a b 6)

2

2

5 6

2

x x

x x

7) 2 2

4 2

8 8 2

p q

p pq q 8)

4 2 3

3 2 2

m n m n

m n m n 9)

2 3 2 3

ac ad bc bd

c bc d bd

Al estar en presencia de operaciones con expresiones algebraicas extensas, es conveniente reducirlas a su mínima expresión y así disminuir la complejidad de ésta. Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan un factor común. En el caso de los monomios, la simplificación se hace en forma directa; en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tiene dos o más términos, es necesario factorizar

primero y luego simplificar.


V. Racionalización.

Previamente:


Caso 1: Expresar la potencia

1

264 en forma de raíz.

Primero identificaremos las partes de la raíz:

64 es la cantidad subradical.

2 es el índice. 2 64 64 8

Caso 2: Expresar la potencia

2

38 en forma de raíz.

8 es la cantidad subradical.

3 es el índice. 2

23

32 2 2

33

1 1 1 1 18

8 2 488

Recuerda estudiar las propiedades de las potencias

Actividad n°14 “para practicar la expresión de potencias con exponente

fraccionario como raíz.

Relaciona los términos semejantes de las columnas escribiendo el número en la línea que corresponda:

1)

12 425 p ____

3

1

3a

2) 1

33a ____

1

x ya

3) 3 23 a b ____ 5 p

4) 2 2x y x ya ____ 5 p

5)

12 425p ____

x ya

6) 2 2x y x ya ____

2 1

3 33a b

7) 1

33a ____

2 1

3 33a b

8) 3 2

3

a b ____

3 3a

Si tenemos una potencia con exponente racional de la forma

m

na , con 0n , entonces podemos escribir:

mm

n m nna a a

Donde a es la cantidad subradical y n es el índice de la raíz.


En este módulo, estudiaremos tres formas de racionalización:

Veamos algunos casos Caso 1: Racionalizar la siguiente fracción:

4

5

Amplificaremos por 5 , quedando:

2

4 4 5 4 5 4 5

55 5 5 5, así eliminamos la raíz del denominador.

Por lo tanto 4 4 5

55

Caso 2: Racionalizar la siguiente expresión:

3 3

3

y x

x y

Recuerda que debemos racionalizar para eliminar la raíz del denominador, por lo tanto amplificaremos

por 3y , prescindiendo de x:

2

3 3 33 3 3

3 3 3

y y xy x y

x y y x y

por propiedad distributiva se tiene:

2

3 3 3 3 3 3

33

y y x y y x

xyx y

por propiedad de raíces se tiene:

33 3 3 3 3

3 3

y y x y xy

xy xy 3

y xy y xy

xyxy separando en dos fracciones:

Comúnmente encontramos expresiones fraccionarias que tienen denominadores irracionales, lo que complica las operaciones con dichas expresiones. Es más práctico operar con estas fracciones cuando los denominadores han sido transformados a números racionales. Para ello debemos amplificar la fracción por

un factor adecuado al denominador. Este proceso se llama RACIONALIZACIÓN.

Racionalización de fracciones de la forma

p

a

Para racionalizar este tipo de fracción, debemos amplificarla por un factor

adecuado al denominador, en este caso por a , ya que de esta forma se elimina

la raíz en el denominador.

2, ;

p p a p a p ap IR a IR

aa a a a


1y xy xy

xy x xy

Por lo tanto 3 3 1

3

y x xy

x xyx y


Caso 1: Racionalizar la siguiente fracción :

5 2

10

5

Amplificaremos por 5 35 , quedando:

5 5 53 3 3

5

5 5 5 52 2 3 5

10 10 5 10 5 10 52 125

55 5 5 5

Por lo tanto 5

5 2

102 125

5


3 2

bx

b

Como el exponente de la cantidad subradical es 2 y el índice es 3, la cantidad subradical del número

por el cual se amplificará la fracción debe ser b pues: 2 3b b b , así:

3 3

33 3 32 2 3

bx bx b bx b b

bb b b

3x b

b

3x b

Por lo tanto 3

3 2

bxx b

b


n k

p

a

Para racionalizar este tipo de fracción, debemos amplificarla por una raíz

adecuada al denominador, que podemos expresar como

k

na . Luego

1 1k x

n nk x

a a a x n kn n

Por lo tanto, debemos amplificar por

n k

n n kna a . Entonces:

, ; ; ,n nn k n k

n n nk k n k

p p a p ap IR a IR n k IN

aa a a



Caso 1: Racionalizar la siguiente fracción:

6

3 2

Amplificaremos por 3 2 , quedando:

2 2

6 3 2 6 3 2

3 2 3 2 3 2

/ se aplicó suma por diferencia en el denominador.

2 2

6 3 2 6 3 2 6 3 26 3 2

3 2 13 2

Por lo tanto 6

6 3 23 2


1

1

a a

a a

Amplificaremos por 1a a , quedando: 2

2 2

11 1

1 1 1

a aa a a a

a a a a a a / se aplicó suma por diferencia en el denominador.

2 2 2

2 2

1 1 1

1 11

a a a a a a

a aa a

2 2

1 2 1 1a a a a a a / se aplicó cuadrado de binomio.

2

2 1 1 2 1 1 2 1 2 1a a a a a a a a a a a


p

a b

Para racionalizar este tipo de fracción, debemos amplificarla por un factor adecuado al denominador respectivo.

2 2, ; ,

p a b p a bp p a bp IR a b IR

a ba b a b a b a b

2 2, ; ,

p a b p a bp p a bp IR a b IR

a ba b a b a b a b


Por lo tanto 1

2 1 2 11

a aa a a

a a.

Actividad n°15 “para practicar la racionalización de expresiones

algebraicas.

Racionaliza las siguientes expresiones:

1) 3 2

x y

x y

2) 2 8

2

x

3) 7

11

4) 6

7 2

5) 4

4

3 3

6) 4

a b

a ab


I. A continuación se presentan preguntas con 5 alternativas, marca con una la alternativa correcta.

(

1. Algebraicamente, el producto entre el

triple del cuadrado de “a”, y la quinta

parte de “b” es:

a) 5

32ba

b) ba2

5

3

c) ba215

d) ba245

e) 22

25

9ba

2. Al calcular el valor de la expresión

algebraica dcb

a5

22

3 , con 2a ,

3b a , 8c b , 2d c resulta:

a) 10

47

b) 10

103

c) 10

117

d) 10

7

e) Ninguna de las Anteriores.

3. Sea 2( ) 3 5P x x x y

623)( 2 xxxQ . El resultado de

)(6

1)(2 xQxP es:

a) 93

17

2

3 2 xx

b) 93

17

2

5 2 xx

c) 93

19

2

5 2 xx

d) 113

19

2

3 2 xx

e) 113

19

2

5 2 xx

4. Al reducir la expresión

2 22 3 4 5

3 5x y xy x xy y resulta:

a) 44

15xy

b) 14 12

23 5

x y xy

c) 10 12

23 5

x y xy

d) 10 12

23 5

x y xy

e) 14 12

23 5

x y xy

5. Al reducir la expresión

1 2 3

3 5 4x y x y resulta:

a) 5 7

12 5x y

b) 5 7

12 5x y

c) 13 3

12 5x y

d) 13 3

12 5x y

e) 13 7

12 5x y

6. El producto de 2x y x y es:

a) 3 2 2x xy x y y

b) 3 2 2x xy x y y

c) 3 2 2x xy xy y

d) 3 2 2x xy x y y

e) 3 2 2x xy xy y


(

7. Las longitudes de un rectángulo son 3x de ancho y 2 5x de largo. ¿cuál es el área

del rectángulo?

a) 22 15x x

b) 22 11 15x x

c) 22 15x x

d) 22 11 15x x

e) 22 15x x

8. La interpretación geométrica de la expresión 3 2 2x x es

a) b)

c) d)

e)

x

x

x 1 1

1

1

1

11

1

x

x

x

x

x

x

1

1 1

1

1

1

1

1 1

1

1

1 1

1

1

1

1

xx

x

x

x2

x


(

II. Desarrolla los siguientes ejercicios justificando que propiedad se utilizó en cada paso.

11. Expresar algebraicamente la siguiente categoría de números: 7, 10, 13, 16, 19, …

12. Desarrolla el siguiente producto notable: 2 21 1pm pm

9. La notación de 2

33x como raíz es:

a) 3

3x

b) 2

3 3x

c) 2

3 3x

d) 2

3

1

3x

e) 3

1

3x

10. Al racionalizar la expresión

2

3 2

3a b

a b

resulta:

a) 3 23ab ab

b) 32 23a b ab

c) 3 23a a b

d) 3 23ab a b

e) 3 23a ab


13. Factoriza la siguiente expresión algebraica:

2

2 2

7

3 7

x x

a b a ab

14. Factoriza la siguiente expresión algebraica e indica de qué producto notable proviene: 2 50 600p p

15. Simplifica la siguiente expresión algebraica:

2

2

8 7

9 8

c c

c c

16. El área de cierta figura plana es 24 12 9x x . Indica las longitudes de los lados de la

figura. ¿De qué figura se trata?


Soluciones “Verifica cuánto has aprendido”:

I. Ítemes con alternativas:

1) b 2) d 3) d 4) e 5) e

6) b 7) a 8) a 9) d 10) e

II. Ítemes de desarrollo:

11. 3 4x

12. 2 41 p m

13. 2

7

3 7

x x

a ab b

14. 60 10p p . Proviene de la multiplicación de binomios con un término en común.

15. 7

8

c

c

16. Se trata de un cuadrado pues la expresión algebraica proviene de un cuadrado de binomio. La

longitud del lado del cuadrado es 2 3x .

Soluciones actividades:

Actividad n°1

1)

a) 3x z w

b) 33a b

c) 32 3z x

d) 3

m b c

e) 3 5

a b

2)

a) El cuádruple de “x”, disminuido en la sexta parte de “y”

b) “a” multiplicado por la diferencia entre “b” y “c”

c) El quíntuplo de la suma entre “c” y “d”

d) El cuadrado de la diferencia entre “a” y el triple de “b”

e) 7 multiplicado por la diferencia entre el triple de “j” y el cubo del quíntuple de “k”


Actividad n°2

1)

i) 7

60

ii) 1

10

iii) 227

432

2)

Volumen de la esfera es 3052,08

3)

85

Actividad n°3

1) ( ) 7 14P x x

2) 2( ) 8P x x x

3) 9 4

( )2 5

P x x

4)

2

( ) 53

xP x

5) 3 2( )P x x x x

Actividad n°4

En orden descendente los números son: 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3

Actividad n°5

1) 11

12m

2) 2 3 44 3a a a

3) 2 2 2 2x yz x y z

4) 2 21 19

4 6a b ab

5) 33 83

50 140m p

Actividad n°6

1) 5 5m n


2) 5x y

3) 19

30a

4) 1 11

6 6a b c

5) 3 26 3 9x x x

Actividad n°7

1) 8 6 5 3 29 6 3 6 9x x x x x

2) 3 2 3 48

615

p q p q

3) 1 y x xy

4) 2 3 3 42 5 3ab ab ab b b

5) 2 2 23 5 10 2 7 3x xy xz y yz z

6) 1 2 1 2 3n n n n n nx x x x y x y x y

Actividad n°8

1) 225 5 6x x (multiplicación de dos binomios que tienen término común)

2) 4 6 89 4

196 9a b b (suma por diferencia)

3) 4 2 29 21 10a a b b (multiplicación de dos binomios que tienen término común)

4) 24 20 25a a (cuadrado de un binomio)

5) 10

6

4964d

c (suma por diferencia)

6) 4 2 3 4 2 625 60 36a b a b a b (cuadrado de un binomio)

7) 10 5 4 87 8a a b b (multiplicación de dos binomios que tienen término común)

8) 2 21 3 9

25 25 100x xy y (cuadrado de un binomio)

9) 10 2 16x y y (suma por diferencia)

Actividad n°9

1) 7 7m m

2) 2

t r

3) 249 7c c d e de

Actividad n°10

1) 2 2 2 218 3

65 10

triánguloÁ b c b c b

2)

2 27 4 6 7 4

2triángulo

b c b

Á


3) 3 5 27 45rectánguloÁ y yz z

Actividad n°11

1) 3 2n n

2)

2

12

x

3) 3 1 2p p

4) 8 7y y

5) 2

3 1x

6) 4 3 2j j

Actividad n°12

1) Se llega a la ecuación cuadrática: 2 2 3 0x x cuya factorización es 3 1x x . Las

soluciones son 3 y 1, pero una longitud siempre es positiva. Por lo tanto los lados del triángulo

rectángulo son 3, 4 y 5.


soluciones son 10 y 12 . Por lo tanto los números son 10, 11 y 12 o también -10, -11 y -12.

3) Se llega a la ecuación cuadrática: 2 2 0x x cuya factorización es 2x x . Las soluciones son

0 y2.

4) Se llega a la ecuación cuadrática: 2 30 1000 0x x cuya factorización es 20 50x x .

Las soluciones son 50 y -20.


soluciones son 6 y -8. Por lo tanto los números son 13 y 15 o -13 y -15.

6) Se llega a la ecuación cuadrática: 2 182 0x x cuya factorización es 13 14x x . Las

soluciones son 13 y -14. Por lo tanto los números son 26 y 28 o -26 y -28.

Actividad n°13

1)

3

2 23

n

m p 2)

2

3

a b 3)

7

25

4) x

y 5)

3

a b 6)

3x

x

7) 1

2 p q

8) m n 9)

2 3

a b

b


Actividad n°14

En orden descendente los números son: 7, 4, 1, 5, 6, 3, 8, 2

Actividad n°15

1) 3 2

9 4

x xy y

x y

2) 2 2 x

3) 7 11

11

4) 6 7 6 2

5

5)

344 3

9

6)

34

2

ab a b

a b

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