1. Primeros pasos con

Mathematica

Teoría

El aspecto de Mathematica

Al iniciar el programa, han de aparecer:

1) una barra arriba donde se lee "File, Edit, Cell, Format,..."

2) una ventana a la derecha con varios símbolos,

3) una ventana con comandos "Expand", etc.,

4) esta ventana que estás leyendo, llamada "Notebook" (libreta)

M1_P1.nb 1

Descripción de los Notebooks

Ya te encuentras dentro de un fichero Mathematica, denomina-

dos genéricamente "Notebooks". Este texto, delimitado por el corchete

de la derecha, es simplemente una información para el usuario.

En primer lugar, veamos como nos podemos mover por esta

práctica.

En el margen derecho hay dos flechas, una en la parte superior

indicando hacia arriba y otra abajo en sentido contrario y un botón en

mitad. Si situas la flecha del ratón en cualquiera de ellas y pulsas el

botón izquierdo te moverás en la correspondiente dirección. También

puedes pulsar con el ratón encima del botón y, dejándolo pulsado,

desplazarte arriba y abajo.

Otra forma es usando las flechas de cursor.

Practica un poco y después vuelve por aquí. Existen mandos

totalmente iguales en la parte inferior que sirven para moverse horizon-

talmente.

Celdas de entrada (In) y de salida (Out)

A lo largo de la práctica hay una serie de bloques señalados por

corchetes en la parte derecha de cada bloque. A cada bloque lo llamare-

mos CELDA.

Señala DENTRO de una celda con el ratón y pulsa una vez el

botón izquierdo. Esa operación la llamaremos "entrar en una celda".

M1_P1.nb 2

Entra en esta celda. Si te mueves con los cursores (flechas

arriba y abajo), verás que se mueven dentro de las celdas y que entre

celda y celda se forma una línea horizontal. Cuando veas esa línea

horizal, pulsa "Enter" y aparece una nueva celda donde se pueden

realizar cálculos, llamadas celdas "In" (entrada)

Los corchetes de más abajo delimitan una celda ejecutable;

cada uno muestra una simple operación que puede ser realizada con

Mathematica.

Para evaluar las celdas siguientes entra en la celda que quieras

y, a continuación, pulsa "Mayúsculas+Enter" (a la vez). El corchete de

la derecha aparecerá en doble trazo, indicando así que se encuentra en

ejecución por parte del ordenador, hasta que aparezca un resultado o

"salida" (Out), correspondiente a los datos que se introducen de

"entrada" (In). De hecho, deben aperecer las palabras "In" y "Out"

seguidas de un número.

La primera vez que se evalua una celda se carga el núcleo

(kernel), y puede llevar un tiempo. Cuando ya está cargado el núcleo,

las celdas se evaluan mucho más rápido. Evalua las siguientes celdas:

4´3 - 1

El espacio en blanco entre números significa producto.

4´3 + 4´5

4 H3 + 5L

4

2- 1

M1_P1.nb 3

Paletas

Todo esto está muy bien, pero ¿cómo se crean esas expre-

siones? Al lado tiene que haber una ventana con símbolos de raíz, inte-

gral, el número Π, el símbolo ¥ de infinito y otros muchos.

Si no está, señala con el ratón en la barra de menús la opción

"File" y pulsa el botón izquierdo. Se abre un menú. Elige con el ratón

"Palettes" y después "BASICINPUT". También necesitarás la paleta

"Algebraic Manipulation"

1) El teclado numérico se usa para escribir números y los símbolos + , -

, * , / de la suma, resta, producto y cociente respectivamente.

2) El producto de dos expresiones también se indica mediante un espa-

cio en blanco (que se hace con la barra espaciadora).

Crea una celda nueva debajo de esta. Para escribir una fracción,

señala con el ratón en la paleta el símbolo �� y pulsa una vez el botón

izquierdo. Si escribes ahí un número, se escribe el numerador: 35� Para

escribir el denominador, señala con el ratón justo encima del cuadrado

de abajo y pulsa el botón izquierdo. Ya puedes escribir: 3545

Nota: también se puede pasar del numerador al denominador pulsando

la tecla TAB. Para salir de la fracción, usa la flecha derecha de los

cursores. Evaluala. (May+Enter)

35

45

Cuando se usa alguna de las expresiones de la paleta, se puede

saltar de un cuadrado a otro pulsando en el teclado la tecla "tabulador"

(la que tiene dos flechas al lado de la "q", arriba a la izquierda)

Crea una celda nueva debajo de esta. Para escribir la raíz quinta

de 28, pulsa en la paleta sobre el símbolo ��

con el ratón. Si escribes

28 se escribe el radicando. 28�

Si pulsas encima del cuadrado

pequeño y pulsas 5 aparece el índice de la raíz. 285

Para salir de la

raíz, pulsa varias veces la frecha derecha de los cursores. Evaluala.

Crea una celda nueva debajo de esta. Para escribir una potencia,

señala con el ratón en la paleta el símbolo �� y pulsa el botón izqui-

erdo. Si escribes un número se escribe la base: 7� Pulsa la tecla TAB

o bien señala con el ratón el cuadrado de arriba y pulsa sobre él. Ya

puedes escribir el exponente: 7-3 Para salir de la potencia, usa la flecha

derecha de los cursores. Evaluala.

M1_P1.nb 4

Crea una celda nueva debajo de esta. Para escribir la raíz quinta

de 28, pulsa en la paleta sobre el símbolo ��

con el ratón. Si escribes

28 se escribe el radicando. 28�

Si pulsas encima del cuadrado

pequeño y pulsas 5 aparece el índice de la raíz. 285

Para salir de la

raíz, pulsa varias veces la frecha derecha de los cursores. Evaluala.

Crea una celda nueva debajo de esta. Para escribir una potencia,

señala con el ratón en la paleta el símbolo �� y pulsa el botón izqui-

erdo. Si escribes un número se escribe la base: 7� Pulsa la tecla TAB

o bien señala con el ratón el cuadrado de arriba y pulsa sobre él. Ya

puedes escribir el exponente: 7-3 Para salir de la potencia, usa la flecha

derecha de los cursores. Evaluala.

Se pueden anidar expresiones: Pulsa en la paleta �� y a continu-

ación �� , con lo que obtendrás I �

� M�. Si ahora vas escribiendo en cada

recuadro números u otras expresiones, puedes obtener expresiones más

complicadas. Ejemplo: I 3-24 M5

Mathematica maneja sin problemas números de cualquier

tamaño.

6200

En la paleta "Basic Input" también están los números Π, ã, ä . Por ejem-

plo, escribe en una celda nueva y evalua: Π + ãΠ ä2

M1_P1.nb 5

Cálculo simbólico

Podemos pedir a Mathematica que realice cálculos de expre-

siones formales. Escribe los siguientes ejemplos en celdas nuevas y

evalualas:

1) Exp[Log[x]]

2) 3 a-5 b-8 aa+b

3) Hx + 2L4

A veces las expresiones no se simplifican. Para obtener expre-

siones que sí nos convengan, podemos usar los comandos Expand,

Factor, Simplify, etc., de la paleta "Algebraic Manipulation". Hay tres

formas de usarlos:

a) Tecleando. Ejemplo: Expand[Hx + 2L4]

b) Escribiendo //Simplify después de la expresión. Ejemplo: Hx + 2L4//-

Simplify

c) Puede ser que tengamos ya la expresión y querramos simplificarla.

Pongamos que en una celda ya tenemos la siguiente fórmula:

3 a - 5 b - 8 a

a + b+ 4

Para simplificarla, debemos seguir los siguientes pasos:

i) Marcarla como en los procesadores de textos. Debe aparecer algo así:

3 a-5 b-8 aa+b

+ 4

ii) Pulsar en la paleta el comando "Simplify". Entonces desaparecerá la

expresión y Mathematica la sustituirá por otra más simple (bueno, tal

vez...) Esto significa que a veces es conveniente tener una copia de la

expresión en otra celda por si acaso.

M1_P1.nb 6

Ejercicios

En celdas nuevas, escribe y evalua las siguientes expre-

siones:

1) 42-1 2) 23

3) 67 4) 232

5) I23M26) 37

24

7) 25-78 H3+2L3

99 473 8) H3 + 2 äL4

En celdas nuevas, escribe y evalua las siguientes expre-

siones:

1) Expand[x(x-1)(x-3)(x-4)]

2) Expand[(x-y)(x+2y)(3x-y)]

Factor[%]

3) Simplify[ 5 13 - 183

]

FullSimplify[%]

4) TrigExpand[HCos@x + yDL2]

M1_P1.nb 7

3. Sistemas de ecuaciones

lineales

Antes de comenzar la práctica es conveniente

recordar algunos detalles.

1) La primera letra de los comandos se escribe

siempre en mayúscula.

2) Los comandos siempre tienen opciones que

se escriben entre corchetes o llaves. Al escribir, si abres

un corchete o una llave, siempre hay que cerrarlos.

3) Para evaluar una celda, pon el cursor dentro

de ella o señála en el borde con el ratón. Pulsa entonces

las teclas "mayúsculas + intro".

Teoría

Una capacidad relevante de Mathematica es la

de trabajar con fórmulas con igual facilidad que con

números, así como cálculo simbólico, cuya principal apli-

cación es la resolución de ecuaciones.

Un comando para resolver ecuaciones (sin

parámetros) es:

Solve[ fórmula1= = fórmula2 , variable ]

donde "fórmula" es una expresión cualquiera, y variable

es la variable en la que se resuelve la ecuación. Se escri-

ben DOS símbolos "=" para definir una ecuación. En la

paleta se pueden encontrar los dos símbolos en un solo

botón. En celdas nuevas, escribe y evalúa las siguientes

expresiones:

M1_P2.nb 1

donde "fórmula" es una expresión cualquiera, y variable

es la variable en la que se resuelve la ecuación. Se escri-

ben DOS símbolos "=" para definir una ecuación. En la

paleta se pueden encontrar los dos símbolos en un solo

botón. En celdas nuevas, escribe y evalúa las siguientes

expresiones:

Ejemplo 1) Solve[ x2 - 5 x + 6 == 0, x]

2) Solve[ x4 - 1 == 0, x]

Si se resuelve un sistema de ecuaciones, las

ecuaciones se encierran entre llaves, y las variables

también se encierran entre llaves. Evalúa la siguiente

expresión de un sistema de ecuaciones lineales en una

celda nueva:

Ejemplo 1) Solve[ {2 x + 3 y = = 0,

4 x - 7 y = = 4},

{x,y}

]

El problema del comando Solve es que tan solo

nos permite resolver ecuaciones y sistemas de ecua-

ciones para los que es posible aplicar un método algebra-

ico sencillo, como los sistemas de ecuaciones lineales,

pero en general no para cualesquiera ecuaciones.

Ejemplo Solve[x6 + x + 1 == 0,x]

El Solve nos devolverá la expresión {} cuando no haya

solución. Compruébalo usando el comando Solve para

el sistema x+y=1,2x+2y=1.

M1_P2.nb 2

El Solve nos devolverá la expresión {} cuando no haya

solución. Compruébalo usando el comando Solve para

el sistema x+y=1,2x+2y=1.

El comando Solve no sirve para resolver siste-

mas de ecuaciones con parámetros. Veamos ahora

cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con

parámetros.

El comando Reduce

Este comando se utiliza para resolver sistemas

de ecuaciones lineales con parámetros. La sintaxis es

como la de Solve:

Reduce[ { ecuación1, ... , ecuación m} , {var1, ... , var n} ]

Por ejemplo, queremos resolver el sistema, discutién-

dolo según los valores reales del parámetro a:

a x +y = 1,

x +a y = 1

Entonces escribimos

Reduce[

{a x + y == 1,

x+a y==1},

{ x,y}

]

Mathematica nos devuelve la siguiente solución: a � 1 && y � 1 - x ÈÈH-1 + aL H1 + aL ¹ 0 && x � 1

1+a && y � 1 - a x

Hay que interpretar el resultado:

i) Si a= 1 entonces y=1-x. Es decir, el sistema es compati-

ble indeterminado para a=1 con solución y=1-x.

ii) Si (-1 + a) (1 + a) ¹ 0, entonces x= 11+a

, y=1-a x. Es

decir, si a¹1 y a¹-1, el sistema es compatible determi-

nado y su solución es x= 11+a

, y=1-a 11+a

.

M1_P2.nb 3

Mathematica nos devuelve la siguiente solución: a � 1 && y � 1 - x ÈÈH-1 + aL H1 + aL ¹ 0 && x � 1

1+a && y � 1 - a x

Hay que interpretar el resultado:

i) Si a= 1 entonces y=1-x. Es decir, el sistema es compati-

ble indeterminado para a=1 con solución y=1-x.

ii) Si (-1 + a) (1 + a) ¹ 0, entonces x= 11+a

, y=1-a x. Es

decir, si a¹1 y a¹-1, el sistema es compatible determi-

nado y su solución es x= 11+a

, y=1-a 11+a

.

Es importante destacar que Mathematica solo devuelve

soluciones. Esto nos indica que en el ejemplo anterior

no hay ninguna solución para a=-1, es decir, si a=-1 el

sistema es incompatible.

Tampoco dice nada si una variable puede tomar cual-

quier valor. Es decir, si una incógnita no aparece en una

de las soluciones que Mathematica devuelve entonces

entenderemos que dicha incógnita toma cualquier valor

real. Por ejemplo, consideremos el sistema de ecua-

ciones lineales: x + a y = 0, 2x + a y=0. Si a=0, entonces

es fácil observar que las soluciones vienen dadas por

x=0, donde y puede tomar cualquier valor real. Observa

la solución que Mathematica devuelve para el sistema

anterior, escribiendo para ello en una celda nueva:

Reduce[ {x+a y ==0,2 x +a y==0}, {x,y} ] e interpreta el

resultado.

M1_P2.nb 4

Ejercicios

Cuidado con la notación. Deliberadamente, están bien o mal escritos, y tienes

que escribirlos bien.

1) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lin-

eales usando el comando Solve:

i) 2x+3y=1, -2x+6y =-1

ii) x-3y+4z=0, x+3y+5z=2, 3x+6y-3z =1

iii) 2x+y+z=0, x-3y+z=2

iv) x+y+z=1, 3x-2y+z=1, 2x-3y=1

2) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lin-

eales usando el comando Reduce e interpreta el resul-

tado:

i) x+a y=1, x- a y = 1

ii) 2x +a y+3z =0, -x + 3a y +5 z=a, x+6 a y +3z =

2a

iii) 2 x + a y + c z =0, b x +z =2

iv) a x + b y = c, x + y = 4

v) 4ax + y +5z =0, -x -2 a y + z=a, x+6 a y +3 a z

= 2a

M1_P2.nb 5

4. Vectores y matrices

Teoría

Vectores

En primer lugar, un vector es una fila de números separados

por comas y entre llaves:

v = {2,4,-5,0}

El producto por escalares es el usual: 3 v

Se pueden sumar y restar vectores que tengan la misma dimen-

sión (mismo número de coordenadas). Si w = {-3,-2,0,5}, cal-

cula v+w.

El producto escalar de dos vectores se indica con un punto: v.w

Matrices

Una matriz es un conjunto de varios vectores, separados por

comas. En una celda nueva, escribe y evalua las siguientes

expresiones.

X = { {2,4}, {-2,5} }

Y = { {2,4,6},{0,0,8},{3,0,8},{1,-1,1}}

La segunda fila de la matriz X se obtiene como sigue:

X[[2]]

Para obetener la segunda columna de la matriz X escribe

X[[All,2]]

Ejemplo:

M1_P3.nb 1

La segunda fila de la matriz X se obtiene como sigue:

X[[2]]

Para obetener la segunda columna de la matriz X escribe

X[[All,2]]

Ejemplo:

X = 881, 2<, 83, 4<<881, 2<, 83, 4<<X@@2DD83, 4<

M1_P3.nb 2

X@@All, 2DD82, 4<

Para escribir una matriz también se puede usar la paleta:

X = K 3 5-4 6

OPara obtener matrices más grandes:

i) Para añadir una columna: se deja pulsada la tecla "Ctrl" y sin

soltarla, se pulsa la coma ",".

ii) Para añadir una fila: se deja pulsada la tecla "Ctrl" y sin

soltarla, se pulsa "enter".

iii) Para saltar de una posición a otra, o bien se señala con el

ratón y se pulsa con el botón izquierdo, o se pulsa la tecla

"Tab".

Ejemplo: Y =

2 4 60 0 83 0 81 -1 1

* Para que aparezca la matriz en la notación usual, hemos de

escribir

MatrixForm[nombre de la matriz]

* La matriz identidad tiene un comando propio: Identity-

Matrix[n]

Por ejemplo: MatrixForm[IdentityMatrix[3]]

* La suma de matrices se indica con +. Por ejemplo,

K -2 35 7

O + 2 K 0 -13 4

O.

M1_P3.nb 3

* La suma de matrices se indica con +. Por ejemplo,

K -2 35 7

O + 2 K 0 -13 4

O.

* El producto de matrices se indica mediante un punto.

Por ejemplo, define las matrices

X = K 3 2-5 0

O, Y = K 0 -28 3

O y calcula su producto X.Y

Puedes usar el comando MatrixForm[X .Y] para que se vea

con la notación usual.

* La matriz traspuesta se calcula mediante el comando

Transpose[ matriz ]

* El determinante se calcula mediante el comando

Det[ matriz ]

* La matriz inversa (cuando existe) se calcula mediante el

comando

Inverse[ matriz ]

* El rango de una matriz se puede calcular usando el comando

Minors[ matriz , n ]

que nos da el valor de todos los menores de la matriz de orden

n

M1_P3.nb 4

Ejercicios

Cuidado con la notación. Deliberadamente, están bien o mal escritos, y tienes

que escribirlos bien.

1) Define los siguientes vectores, y calcula las operaciones

indicadas:

a = (3,9,-8), b= (0,8,24), c=(-7,5,-14), d=(0,3,-6).

i) a+b ii)a-3c

iii)5a + 7b iv)-4c+3d

v) a.c vi) b.d

vii) a.b - c.d

2) Define las siguientes matrices, y calcula las operaciones

indicadas:

X = 0 4 -37 -6 5

-1 -2 9, Y =

1 -4 32

9 -4 02 7 3

i) det(X) ii) det(Y)

iii) 2X-3Y iv) det(4Y-2X)

v) MatrixForm[X . Y] vi) det(Y. Transpose(X) )

vii) X.a viii) b.Y.c

ix) X -1=inversa de X

x) Comprueba que las matrices "X .Y" y "Y . X" son distintas.

xi) HX .Y L-1

xii) Comprueba si el resultado de la cuenta xi) es igual a "Y -1.

X -1"

3) Calcula el rango de las siguientes matrices:

A =

1 2 3 41 -4 1 21 -1 2 30 3 1 1

, B =

4 3 0 1 32 -1 2 1 11 -3 3 1 11 2 -1 0 13 1 1 1 2

M1_P3.nb 5

3) Calcula el rango de las siguientes matrices:

A =

1 2 3 41 -4 1 21 -1 2 30 3 1 1

, B =

4 3 0 1 32 -1 2 1 11 -3 3 1 11 2 -1 0 13 1 1 1 2

M1_P3.nb 6

5. Gráficos sencillos

Antes de comenzar la práctica es conveniente

recordar algunos detalles.

1) La primera letra de los comandos se escribe siempre

en mayúscula.

2) Los comandos siempre tienen opciones que se escri-

ben entre corchetes o llaves. Al escribir, si abres un cor-

chete o una llave, siempre hay que cerrarlos.

3) Para evaluar una celda, pon el cursor dentro de ella o

señála en el borde con el ratón. Pulsa entonces las

teclas "mayúsculas y enter".

Teoría

Definición de funciones

Un primer paso antes de empezar a representar gráficamente

una función es tener una manera cómoda de definirla. Siguiendo la

costumbre usaremos las letras f,g,... para nombrarlas. Para definir la

función seno escribimos en una celda nueva: f[x_]= Sin[x]. Normal-

mente nosotros escribimos f(x)=sen(x), pero Mathematica no entiende

esa notación. La que sí entiende es f[x_]= Sin[x].

Las funciones y comandos ya predefinidos por el ordenador

SIEMPRE empiezan por MAYÚSCULA: Sin, Cos, Tan, Exp, Log,

Clear, Plot, Simplify, etc. Además, sus argumentos siempre se escriben

entre corchetes. Cuando definimos una función, después de la variable

x aparece "_" (guión de subrayado) . No hay que olvidarlo o no funcio-

nará.

M1_P4.nb 1

Las funciones y comandos ya predefinidos por el ordenador

SIEMPRE empiezan por MAYÚSCULA: Sin, Cos, Tan, Exp, Log,

Clear, Plot, Simplify, etc. Además, sus argumentos siempre se escriben

entre corchetes. Cuando definimos una función, después de la variable

x aparece "_" (guión de subrayado) . No hay que olvidarlo o no funcio-

nará.

Ejemplo: f[x_]=Sin[x]. Reescribe la expresión anterior TAL CUAL en

una celda nueva y evalúala. Evalua en una celda "f[1]". Si quieres el

valor numérico debes escribir N[f[1]] o f[1]//N.

También podemos asignar un valor a la variable x y luego

evaluar.

x=0; f[x]. Observa que a la hora de evaluar una función que hayamos

definido no se usa el guión "_".

Pueden surgir problemas al redefinir una función o si la vari-

able que usamos tiene asignado un valor concreto. En este último caso,

la función sería constante. Para eliminar variables o funciones, se usa el

comando Clear. En nuestro caso, Clear[x,f]

FUNCIONES ELEMENTALES

El Mathematica incorpora la definición de un gran número de fun-

ciones. Veamos a continuación algunas de las de mayor uso. Para una

descripción más detallada se puede recurrir a un manual o a la ayuda de

Mathematica.

Funciones númericas Significado

Round[x] Redondea "x" a un entero

Floor[x] Mayor entero menor (o igual) que "x"

Ceiling[x] Menor entero mayor (o igual) que "x"

Sign[x] Signo de "x"

Abs[x] Valor absoluto de "x"

Funciones con enteros Significado

Divisors[n] Lista de divisores enteros de "n"

Factorial[n] o n! Factorial de "n"

Trigonométricas Significado

Sin[x] seno

Cos[x] coseno

Tan[x] tangente

Csc[x] cosecante

Sec[x] secante

Cot[x] cotangente

ArcSin[x] arcoseno

ArcCos[x] arcocoseno

ArcTan[x] arcotangente

ArcCsc[x] arcocosecante

ArcSec[x] arcosecante

ArcCot[x] arcocotangente

M1_P4.nb 2

Trigonométricas Significado

Sin[x] seno

Cos[x] coseno

Tan[x] tangente

Csc[x] cosecante

Sec[x] secante

Cot[x] cotangente

ArcSin[x] arcoseno

ArcCos[x] arcocoseno

ArcTan[x] arcotangente

ArcCsc[x] arcocosecante

ArcSec[x] arcosecante

ArcCot[x] arcocotangente

Hiperbólicas Significado

Sinh[x] seno hiperbólico

Cosh[x] coseno hiperbólico

Tanh[x] tangente hiperbólica

Csch[x] cosecante hiperbólica

Sech[x] secante hiperbólica

Coth[x] cotangente hiperbólica

ArcSinh[x] arco seno hiperbólico

ArcCosh[x] arco coseno hiperbólico

ArcTanh[x] arco tangente hiperbólica

ArcCsch[x] arco cosecante hiperbólica

ArcSech[x] arco secante hiperbólica

ArcCoth[x] arco cotangente hiperbólica

Funciones con Significado

números complejos

Abs[z] mólulo de "z"

Arg[z] argumento principal de "z"

Conjugate[z] conjugado de "z"

Re[z] parte real de "z"

Im[z] parte imaginaria de "z"

M1_P4.nb 3

Funciones con Significado

números complejos

Abs[z] mólulo de "z"

Arg[z] argumento principal de "z"

Conjugate[z] conjugado de "z"

Re[z] parte real de "z"

Im[z] parte imaginaria de "z"

La función exponencial Exp[x]

La función logaritmo neperiano Log[x]

También se pueden definir funciones "a trozos". Por ejemplo,

"g[t_]:= t /; t>0 && t<2

g[t_]:= -t+4 /; t<=0 || t>=2"

Para definir una función a trozos hay que seguir las siguientes reglas:

1) Has de escribir cada intervalo de definición en un renglón distinto

dentro de la misma celda. Para ello, escribe el primer intervalo en un

renglón, pulsa enter y escribe el segundo intervalo de definición.

2) Hay que escribir ' := ' después del nombre de la función ' g[t_] '.

3) El símbolo ' /; ' significa ' si ' (condicional).

4) El símbolo ' && ' significa ' y ' (lógico), el símbolo ' || ' significa ' o '

(lógico)

Ejercicio: En una celda nueva, borra la función g con el comando

Clear. Escribe la función g definida a trozos como en el ejemplo de más

arriba. Evalúala en los puntos x=1 y x=7.

Representación gráfica de funciones

Para representar gráficamente una función de una variable, el

comando que se utiliza es

Plot[función, {x, xmin, xmax}, opciones]

M1_P4.nb 4

Plot[función, {x, xmin, xmax}, opciones]

Donde:

1) funcion es el nombre de una función ya definida (f[x]) o una

expresión válida (ej: x2 - 4 Sin@xD)2) x es la variable independiente. Podemos usar otras letras, como t, y,

z, etc.

3) xmin y xmax son los extremos superior e inferior del intervalo que

vamos a representar.

La siguiente celda es un ejemplo. Evalúala pulsando "may+enter".

Clear@f, xDf@x_D = KCosBx

2FO

2

Plot@f@xD, 8x, -3 Π, 3 Π<D

Ejemplo: Escribe en una celda nueva

PlotA SinA 1x

E, 9x, 0.001, Π

4=, PlotPoints -> 8E

Escribe en otra celda otro número más grande y compara las dos

gráficas.

PlotStyle. Permite escoger el color y grosor del dibujo.

- RGBColor[cantidad de rojo, cantidad de verde, cantidad de azul]. Las

cantidades de cada color han de estar entre 0 y 1. Al variar las canti-

dades se obtienen distintos colores.

- Thickness[número]. El número ha de estar entre 0 y 1, y sirve para

fijar el grosor de las líneas. No es recomendable pasar de 0.1 en el

grosor.

Las dos opciones se pueden incluir a la vez, pero no siempre

funcionan bien juntas. Están pensadas para usarse cuando se dibujan

varias funciones a la vez en el mismo gráfico.

Ejemplo: Plot[ Tan[x], {x,0, 4 Π},

PlotStyle->{ RGBColor[0.2, 0.5,0],

Thickness[0.01]}

]

M1_P4.nb 5

Ejemplo: Plot[ Tan[x], {x,0, 4 Π},

PlotStyle->{ RGBColor[0.2, 0.5,0],

Thickness[0.01]}

]

PlotRange->{número1, número2}. Sólo se dibujan los valores de la función comprendidos entre ambos números.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4 Pi},PlotRange->{0,20}]

Axes->None. No incluye los ejes en el gráfico.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4Π}, Axes->None]

AxesLabel->{"Nombre del Eje X", "Nombre del Eje Y"}. Pone una etiqueta a los ejes.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4Π}, AxesLabel->{"Eje X","Eje Y"}]

Frame->True. Enmarca el gráfico.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4 Π},Frame->True]

PlotLabel->"Título". Pone un título al gráfico.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4Π}, PlotLabel->"Función tangente"]

M1_P4.nb 6

� Representación simultánea de funciones.Para dibujar varias gráficas a la vez en el mismo gráfico, se

escriben las funciones entre llaves separadas por comas. El intervalo de

definición ha de ser el mismo.

Ejemplo: Plot[ {Sin[x],Cos[x]} , {x,0,2 Π} ]

Si queremos pintarlas con diferentes opciones, hemos de escribir las

opciones diferentes de cada función entre llaves, separando cada

opción por comas.

Ejemplo: Al escribir este ejemplo en una celda, no escribir lo que

sigue a %

Plot[ {Sin[x],Cos[x]} , {x,0,2 Π}, %ahora vienen las opciones

PlotStyle->{ %esta llave es para las opciones

de dibujo

{Thickness[0.008], RGBColor[1,0,0] }, %Opciones

para seno

{Thickness[0.05], RGBColor[0,0,1] } %Opciones

para coseno

} %Cerramos la llave para las opciones de

dibujo

] %Cerramos el corchete del comando Plot.

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Ejercicios

Cuidado con la notación. Deliberadamente, están bien o mal escritos, y tienes

que escribirlos bien.

1) Define las siguientes funciones (en celdas nuevas) y evalúalas en los

puntos indicados.

a) f(x) = senHxLx , x=Π,

b) g(x)= 1 - x23

, x= -2

c) h(x)= HsenhHxLL3- cosHxL5

, x= Π4

2) Dibuja la función logaritmo neperiano, exponencial y f(x)=x2 con

colores y grosores diferentes en un mismo gráfico.

3) a) Elimina definiciones anteriores de las funciones f(x) y g(x) con el

comando Clear[f,g]. Define dos funciones f(x)= x2 + 13

, g(x)= x-1x2+2

.

b) Dibuja cada función por separado con el comando Plot en el inter-

valo [-5,5].

c) Dibuja las dos funciones en el mismo gráfico.

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6. Límites, derivadas e

integrales

Antes de comenzar la práctica es conveniente recordar algunos detalles. 1) La primera letra de los comandos se escribe siempre en mayúscula. 2) Los comandos siempre tienen opciones que se escriben entre corchetes o llaves. Al escribir,si abres un corchete o una llave, siempre hay que cerrarlos.3) Al definir una función, no olvides escribir el guión "_" a continuación del nombre de la variabley usar corchetes en vez de paréntesis.4) Para evaluar una celda, pon el cursor dentro de ella o señála en el borde con el ratón. Pulsaentonces las teclas "mayúsculas y retorno".

Teoría

Con el Mathematica es posible calcular límites de funciones no sólo cuando la variablese aproxima a un punto cualquiera del dominio de la función sino también cuando tiende a másinfinito o menos infinito. También calcula derivadas e integrales.

Límites

Para calcular los límites se usa la expresión:

Limit[ función[x], x->a ]

Ejemplo: 1) Limit[Tan@xD

x

, x->0]

2) Limit[Exp[x],x->Infinity]

Si se quiera calcular un límite lateral entonces se escribirá:

Limit[ función[x], x->a, Direction->1 ] (para el límite por la izquierda)Limit[ función[x], x->a, Direction->-1 ] (para el límite por la derecha)

Ejemplo: 1) Limit[Sin@xD

x2

, x->0,Direction->1]

2) Limit[Sin@xD

x2

, x->0,Direction->-1]

DERIVADAS DE FUNCIONES

Mathematica incorpora distintos formatos para el cálculo de derivadas. Así el comando"D[función,variable]" permite calcular la derivada de "función" respecto de "variable".También puede calcularse la derivada escribiendo una ( ' ) detrás del nombre de la fun-ción. La derivada de orden "n" de una función dada puede calcularse con el comando"D[función,{variable,n}]"

Ejemplos:

1) Elimina la función f con el comando Clear[f].

Define la función f(x)=sen(exp(x2)). Cuidado con la notación de Mathematica. Evalua f'[x], D[f[x],x], f''[x], D[f[x],{x,2}] en varias celdas.

2) Define la función g(x)= x2

+2 a x-3

x4

-2 a x3

-3 a x2

+a3

y calcula

la deriva segunda.

Podemos usar el comando "Simplify" para obtener una expresión más reducida de la derivadaanterior.

Simplify[%]

Simplify@D@f@xD, xDD

Simplify[D[f[x],{x,5}]]

Cabe observar que las órdenes anteriores realizan el cálculo formal de las derivadas de la funciónpero ello no asegura la derivabilidad de esta función.

Integración

Para calcular la integral de una función se pulsa en la paleta el signo integral. Notaque en la paleta hay un botón para las integrales indefinidas (o primitivas) y paralas integrales definidas. Sólo hay que rellenar los datos y evaluar las celdas.Si no quieres usar la paleta, puedes escribir el comando Integrate del Mathematica.Equivalen:

Ù f @xD â x º Integrate@f @xD, xDÙa

bf @xD â x º Integrate@f @xD, 8x, a, b<D

Ejemplos

à HSin@xD - Exp@xDL âx

à0

8 Ix5 - 5 x3 + 3M âx

Puede ser que Mathematica no sepa calcular la primitiva de una función. Por ejem-

plo: Ù ExpAx3 + xE â x

2 M1_P5.nb

Puede ser que Mathematica no sepa calcular la primitiva de una función. Por ejem-

plo: Ù ExpAx3 + xE â x

Por último, también está el comando NIntegrate que te da el valor numérico aproxi-mado de la integral definida. Ejemplo:

NIntegrate[x5 - 5 x3 + 3,{x,0, 8 }](Compara el resultado con el obtenido anteriormente).

Ejercicios.Cuidado con la notación. Deliberadamente, están bien o mal escritos, y tienes que escribirlos bien.

1) Calcula algunos límites de la relación de ejercicios.2) Calcula algunas derivadas de la relación de ejercicios.3) Calcula algunas integrales de la relación de ejercicios.

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