Matrices y determinantesNotas de clase de Algebra y Geometrıa Analıtica II (LCC)

Facultad de Ciencias Excatas, Ingenierıa y AgrimensuraExcuela de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematica

Silvio Reggiani

1 de noviembre de 2016

1. Matrices

En lo que sigue supondremos que F es el cuerpo de los numeros racionales, reales ocomplejos. O sea, F sera Q, R o C.

Definicion 1.1. Una matriz A de tamano m× n con coeficientes en F es una funcion

A : J1,mK× J1, nK→ F,

en donde J1,mK = {1, 2, . . . ,m} y J1, nK = {1, 2, . . . , n}. El conjunto de todas las matricesm×n con coeficientes en F se denotara por Fm×n. En algunos libros se denota el conjuntode matrices m× n tambien por Mm×n(F) o M(m,n,F).

Es comun representar a una matriz A : J1,mK×J1, nK→ F como un arreglo rectangular

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

en donde aij = A(i, j) son los llamados coeficientes de la matriz A. Tambien se dice queA tiene m filas y n columnas.

Notacion. Otras notaciones frecuentes, y que a menudo emplearemos son las siguientes.Una matriz A ∈ Fm×n se denota abreviadamente como A = (aij) o A = (aij)ij, o cuandohay dudas sobre el tamano de la matriz se suele escribir A = (aij)i=1,...,m, j=1,...,m, en dondelos coeficientes de la matriz A son aij. Otra notacion muy frecuente es la que nombra loscoeficientes de la matriz A con la misma letra (en mayuscula en este caso) indicando conun subındice la posicion fila-columna, es decir, A = (Aij). Esta notacion resulta muy utilcuando la matriz en cuestion no esta denotada con una letra del alfabeto latino.

Diremos que dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si tienen la misma cantidadde filas, la misma cantidad de columnas y aij = bij para todos i, j.

1

Ejemplo 1.2. Observemos que

(1 7 0−2 1 4

)6=

1 −27 10 4

.

En efecto, si bien ambas matrices nos dan la “misma informacion” (pues todo coeficientede una aparece en alguna posicion de la otra), la primera matriz es de tamano 2 × 3,en tanto que la segunda es 3 × 2. Mas generalmente, si A ∈ Fm×n y B ∈ Fn×m, conn 6= m, entonces A 6= B. Este hecho cobrara importancia en breve, cuando definamos lamultiplicacion de matrices.

Ejemplo 1.3. F1×1 = F, o sea, una matriz 1×1 es un escalar. A decir verdad, una matriz1 × 1 es una funcion A : {1} × {1} → F, pero en estas notas identificaremos A con suimagen, o sea A = A(1, 1) = a11.

Ejemplo 1.4. Consideremos la matriz A ∈ F3×3 dada por aij = i+ j. Entonces

A =

2 3 43 4 54 5 6

.

Observar que en esta matriz las antidiagonales (es decir las lıneas que se pueden trazaren direccion sudoeste) son constantes. ¿Se puede generalizar esto?

Ejemplo-Definicion 1.5. Diremos que v es un vector fila de tamano n si v ∈ F1×n, osea

v =(v1 v2 · · · vn

),

en tanto que v se dira un vector columna de tamano m si v ∈ Fm×1, o sea

v =

v1

v2...vm

.

Ejemplo-Definicion 1.6. Una matriz A se dice cuadrada si tiene la misma cantidad defilas y columnas. Es decir, si A ∈ Fn×n para algun n. En tal caso, el vector diagonal deA es

diag(A) = (a11, a22, . . . , ann).

Una matriz cuadrada A = (aij) se dice:

triangular superior si aij = 0 para i > j;

triangular superior estricta si aij = 0 para i ≥ j;

triangular inferior si aij = 0 para i < j;

triangular inferior estricta si aij = 0 para i ≤ j;

2

diagonal si A es triangular superior y triangular inferior.

Las matrices1 3 00 −1 40 0 0

,

0 2 −40 0 30 0 0

,

1 0 04 −6 01 2 2

,

1 0 00 7 00 0 −4

,

son triangular superior, triangular superior estricta, triangular inferior y diagonal, res-pectivamente.

Ejemplo-Definicion 1.7. La matriz nula 0 = 0m×n ∈ Fm×n es la matriz de tamanom× n que tiene todas sus entradas iguales a cero, o sea,

0m×n =

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0

︸ ︷︷ ︸

n columnas

m filas

Si bien hemos abusado de la notacion denotando por 0 a la matriz nula, con el mismosımbolo que usamos para denotar el elemento nulo en F, no debemos confundir estosconceptos. El significado de 0 deberıa ser claro del contexto. De todas formas, cuando sepresente alguna duda, preferiremos la notacion 0m×n.

Ejemplo-Definicion 1.8. La matriz identidad de orden n es la matriz I = In ∈ Fn×ntal que Iij = δij, en donde δij es la llamada delta de Kronecker

δij =

{1 si i = j

0 si i 6= j.

Es decir,

I =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

es la matriz diagonal con diag(I) = (1, 1, . . . , 1).

1.1. Operaciones entre matrices

La multiplicacion de la matriz A ∈ Fm×n por el escalar α ∈ F se define como la matrizC = αA ∈ Fm×n dada por cij = αaij. Por ejemplo,

2

(1 9−7 3

)=

(2 18−14 6

).

Si A,B ∈ Fm×n, la suma de A con B es la matriz C = A + B ∈ Fm×n dada porcij = aij + bij. Por ejemplo,(

2 1 0−2 3 15

)+

(0 0 12−3 −3 7

)=

(2 1 12−5 0 22

).

Observar que solo se pueden sumar matrices del mismo tamano.

3

Ejercicio 1.9. Dados A,B,C ∈ Fm×n y α, β ∈ F, verificar las siguientes propiedades.

0A = 0m×n.

α0m×n = 0m×n.

La suma de matrices es asociativa, o sea A+ (B + C) = (A+B) + C.

α(βA) = (αβ)A.

A + 0m×n = 0m×n + A = A, es decir, la matriz nula es el elemento neutro para lasuma de matrices.

(α + β)A = αA + βA, o sea, la suma en F es distributiva con respecto a la multi-plicacion de una matriz por un escalar.

α(A + B) = αA + αB, o sea, la multiplicacion por un escalar es distributiva conrespecto a la suma de matrices.

A continuacion definiremos la multiplicacion de matrices. Intuitivamente, uno querrıaque la multiplicacion de matrices respetara las formas que ya tenemos de multiplicarvectores, es decir, el producto escalar y el producto de sus coordenadas. Recordemos quetenemos dos formas matriciales de pensar un vector en Fn: a saber como un vector fila ocomo un vector columna. La multiplicacion de matrices impone ciertos requerimientos altamano de las matrices para poder calcular el producto, pero bajo tales condiciones seranvalidas las siguientes identidades, por ejemplo para n = 3, para vectores fila y vectorescolumna:

(a1 a2 a3

)b1

b2

b3

= a1b1 + a2b2 + a3b3 (producto escalar),

a1

a2

a3

(b1 b2 b3

)=

a1b1 a1b2 a1b3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 a3b3 a3b3

(producto de coordenadas).

Notar que en el primer caso, el producto de una matriz 1×3 por una matriz 3×1 nosda una matriz 1 × 1, en tanto que en el segundo caso, el producto de una matriz 3 × 1por una matriz 1× 3 nos da una matriz 3× 3.

Definicion 1.10. Si A ∈ Fm×n y B ∈ Fn×p definimos el producto de A con B como lamatriz C = AB ∈ Fm×p dada por

cij =n∑k=1

aikbkj.

En otras palabras, el lugar (AB)ij esta dado por el producto escalar entre la i-esima filade A y la j-esima columna de B.

4

Ejemplo 1.11. Sean

A =

(1 2 0−3 1 4

), B =

0 1 −5 32 1 0 −27 5 −2 10

.

Observar que como A es 2 × 3 y B es 3 × 4 esta definido el producto AB (¡y sera unamatriz 2× 4!):

AB =

(4 3 −5 −130 18 7 29

).

Una forma sencilla para recordar la formula del producto de matrices es la siguiente:se traza una cruz y se disponen los coeficientes de la matriz A en el cuadrante inferiorizquierdo, y los coeficientes de la matriz B en el cuadrante superior derecho. Para calcularel coeficiente (AB)ij, se calcula el producto escalar entre la fila i de A y la columna j deB. Observar que si uno traza una lınea horizontal segun la fila i de A y una lınea verticalsegun la columna j de B, entonces el lugar i, j de la matriz AB se encuentra justamentedonde se cortan estas lıneas

↓ ↓ ↓ ↓0 1 −5 32 1 0 −27 5 −2 10

→ 1 2 0 4 3 −5 −1→ −3 1 4 30 18 7 29

En el ejemplo anterior tenemos resaltado en negrita la fila 2 de A y la columna 3 de B,ası como el lugar (AB)23. Notemos que efectivamente

(AB)23 = (−3, 1, 4)× (−5, 0,−2) = (−3) · (−5) + 2 · 0 + 4 · (−2) = 15− 8 = 7.

Si bien este modo de calcular el producto de matrices es bastante intuitivo, resulta unpoco tedioso en algunas situaciones (por ejemplo cuando queremos calcular el productode tres o mas matrices). Sin embargo, con un poco de practica y para matrices razonables,el lector podra calcular los productos mentalmente.

Observacion 1.12. El producto de matrices no es conmutativo. En efecto, calculemos elproducto de las matrices

A =

(1 20 −1

), B =

(1 01 1

).

Observemos que tanto A como B son matrices 2×2, por lo tanto tiene sentido preguntarsesi AB es igual a BA. Por un lado

1 01 1

1 2 3 20 −1 −1 −1

AB =

(3 2−1 −1

),

5

y por el otro

1 20 −1

1 0 1 21 1 1 1

BA =

(1 21 1

),

de donde sigue que AB 6= BA.

Si bien acabamos de observar que el producto de matrices cuadradas del mismo ta-mano no es conmutativo, sı es cierto que este producto es asociativo. Mas aun, se tieneel siguiente resultado

Teorema 1.13. El producto de matrices es asociativo, o sea, si A ∈ Fm×n, B ∈ Fn×p yC ∈ Fp×q, entonces

A(BC) = (AB)C.

Observar que los dos productos mencionados en el teorema estan bien definidos. Enefecto como A es m× n y BC es n× q, entonces A(BC) es m× q. Asimismo, como ABes m× p y C es p× q, (AB)C tambien es m× q.

Demostracion. La prueba es por calculo directo usando la definicion. Sean 1 ≤ i ≤ m y1 ≤ j ≤ q. Entonces, por un lado

(A(BC))ij =n∑k=1

Aik(BC)kj =n∑k=1

Aik

p∑`=1

Bk`C`j

=n∑k=1

p∑`=1

AikBk`C`j (1.1)

y por el otro

((AB)C)ij =

p∑`=1

(AB)i`C`j =

p∑`=1

n∑k=1

AikBk`C`j

=n∑k=1

p∑`=1

AikBk`C`j. (1.2)

Como (1.1) coincide con (1.2) para todos i, j, concluimos que A(BC) = (AB)C.

El siguiente teorema dice que valen las leyes distributivas para el producto de matricescon respecto a la suma.

Teorema 1.14. 1. Si A ∈ Fm×n y B,C ∈ Fn×p, entonces

A(B + C) = AB + AC.

2. Si A,B ∈ Fm×n y C ∈ Fn×p, entonces

(A+B)C = AC +BC.

6

Demostracion. Para probar 1 observamos que para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p,

(A(B + C))ij =n∑k=1

Aik(B + C)kj =n∑k=1

Aik(Bkj + Ckj)

=n∑k=1

AikBkj +n∑k=1

AikCkj = (AB)ij + (AC)ij

= (AB + AC)ij.

La parte 2 queda como ejercicio.

Teorema 1.15. Sea A ∈ Fm×n, entonces

ImA = AIn = A.

En particular, la matriz identidad In es el elemento neutro para el producto en Fn×n.

Demostracion. Recordemos que (Im)ij = δij es la delta de Kronecker. Luego

(ImA)ij =m∑k=1

(Im)ikAkj =m∑k=1

δikAkj = Aij,

de donde sigue que ImA = A. Probar como ejercicio que AIn = A.

Ejemplo 1.16. Consideremos la matriz

A =

(1 11 0

)y calculemos las potencias sucesivas de A. Es decir, A2 = AA, A3 = AA2 = AAA,A4 = AA3 = A2A2 = AAAA, etc. En efecto,

A2 =

(1 11 0

)(1 11 0

)=

(2 11 1

)A3 = AA2 =

(1 11 0

)(2 11 1

)=

(3 22 1

)A4 = AA3 =

(1 11 0

)(3 22 1

)=

(5 33 2

)A5 = AA4 =

(1 11 0

)(5 33 2

)=

(8 55 3

)El lector quizas ya pueda intuir que el resultado general es

An =

(Fn+1 FnFn Fn−1

), (1.3)

en donde los numeros Fn son los numeros de la sucesion de Fibonacci, dada por F0 = 0,F1 = 1 y Fn+1 = Fn + Fn−1 para n ≥ 1. En efecto, probemos la formula (1.3) porinduccion. Es claro que (1.3) vale para n = 1, pues A1 = A (de hecho, ya lo probamos para

7

n = 1, 2, 3, 4, 5). Supongamos que dicha formula vale para un cierto n ≥ 2 y verifiquemosel resultado para n+ 1:

An+1 = AAn =

(1 11 0

)(Fn+1 FnFn Fn−1

)=

(Fn+1 + Fn Fn + Fn−1

Fn+1 Fn

)=

(Fn+2 Fn+1

Fn+1 Fn

),

con lo cual la formula (1.3) vale para todo n ∈ N.

Hay otro tipo de operacion que se puede aplicar sobre una matriz, la cual no involucraoperaciones algebraicas (como sumar o multiplicar) si no intercambios de lugar en loscoeficientes de la matriz.

Definicion 1.17. Dada A ∈ Fm×n se define la matriz transpuesta de A, como la matrizAt ∈ Fn×m dada por

(At)ij = Aji.

Es decir, At es la matriz cuyas columnas son las filas de A.

Ejemplo 1.18. Notemos si una matriz tiene tamano, digamos, 2× 3 entonces su trans-puesta tendra tamano 3× 2. Por ejemplo,(

2 −7 10 3 6

)t=

2 0−7 31 6

.

Ejemplo 1.19. Si A es una matriz diagonal, entonces At = A.

Proposicion 1.20. Sean A,B ∈ Fm×n, α ∈ F. Entonces:

1. (At)t = A;

2. (αA)t = αAt;

3. (A+B)t = At +Bt.

Demostracion. Observar que para todos 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n valen

((At)t)ij = (At)ji = Aij,

de donde sigue que (At)t = A;

((αA)t)ij = (αA)ji = αAji = α(At)ij = (αAt)ij,

de donde sigue que (αA)t = αAt; y

((A+B)t)ij = (A+B)ji = Aji +Bji = (At)ij + (Bt)ij = (At +Bt)ij,

de donde sigue que (A+B)t = At +Bt.

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Notar que la transposicion no es una operacion multiplicativa, es decir, no vale engeneral que (AB)t = AtBt, de hecho, quizas ni siquiera tenga sentido el producto dellado derecho de esta igualdad. Sin embargo, se tiene el siguiente resultado que relacionala transposicion con el producto de matrices.

Proposicion 1.21. Si A ∈ Fm×n y B ∈ Fn×p entonces

(AB)t = BtAt.

Demostracion. Por un calculo directo se tiene que

((AB)t)ij = (AB)ji =n∑k=1

AjkBki =n∑k=1

BkiAjk

=n∑k=1

(Bt)ik(At)kj = (BtAt)ij

para todos 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ m. Por tanto, (AB)t = BtAt.

Definicion 1.22. Sea A ∈ Fn×n. Decimos que A es:

simetrica si At = A;

antisimetrica si At = −A.

Ejemplo 1.23. La matriz

A =

1 4 64 2 56 5 0

es simetrica, At = A, en tanto que la matriz

B =

0 1 5−1 0 −7−5 7 0

es antisimetrica, Bt = −B. Observar que “simetrıa” o “antisimetrıa” para matrices,significa simetrıa o antisimetrıa con respecto a la diagonal. En particular, una matrizsimetrica queda determinada por los coeficientes ubicados de la diagonal para arriba.

Ejemplo 1.24. Si A es antisimetrica entonces diag(A) = (0, 0, . . . , 0).

Proposicion 1.25. Toda matriz A ∈ Fn×n puede escribirse como la suma de una matrizsimetrica y una matriz antisimetrica. Es decir,

A = Asim + Aanti,

con (Asim)t = Asim y (Aanti)t = −Aanti.

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Demostracion. Observemos que

A =1

2(A+ At) +

1

2(A− At).

Luego, si llamamos

Asim =1

2(A+ At), Aanti =

1

2(A− At),

entonces por la Proposicion 1.20, se tiene que

(Asim)t =

(1

2(A+ At)

)t=

1

2(At + A) =

1

2(A+ At) = Asim

y

(Aanti)t =

(1

2(A− At)

)t=

1

2(At − A) = −1

2(A− At) = −Aanti,

como se querıa probar.

Ejercicio 1.26. Probar que la descomposicion de la Proposicion 1.25 es unica. Es decir,si A = A′ + A′′ con (A′)t = A′ y (A′′)t = −A′′, entonces A′ = Asim y A′′ = Aanti.

Definicion 1.27. Dada A ∈ Fn×n, se define la traza de A como

trA =n∑i=1

Aii.

Ejemplo 1.28. Para la matriz

A =

2 −5 70 7 20 1 −9

tenemos que

trA = 2 + 7− 9 = 0.

Ejercicio 1.29. Dados A,B ∈ Fn×n, α ∈ F, probar que:

1. tr(A+B) = trA+ trB;

2. tr(αA) = α trA;

3. tr(AB) = tr(BA).

Proposicion 1.30. Si A ∈ Fn×n, entonces

tr(AAt) =n∑i=1

n∑j=1

A2ij.

10

Demostracion. Observemos que

(AAt)ii =n∑j=1

Aij(At)ji =

n∑j=1

AijAij =n∑j=1

A2ij,

de donde se obtiene que

tr(AAt) =n∑i=1

(AAt)ii =n∑i=1

n∑j=1

A2ij.

Comentario. 1. Si F = R, puede pensarse en el numero tr(AAt) como el “modulo” alcuadrado de la matriz A ∈ Rn×n, pues este numero se calcula sumando los cuadradosde todos los coeficientes de la matriz A. Esto introduce una nocion geometrica dedistancia en el conjunto Rn×n, es decir, la distancia entre dos matrices A,B ∈ Fn×nse define como el modulo de la diferencia B − A,

dist(A,B) = tr((B − A)(B − A)t

) 12 .

A partir de esta distancia, es posible definir muchas otras nociones geometricas.

2. El conjunto de todas las matrices A ∈ Rn×n tales que

trA = const.

puede pensarse como un “hiperplano” en Rn×n, pues dichas matrices satisfacenuna especie de “ecuacion general del plano”: una ecuacion lineal generalizada a n2

variables.

Ejemplo 1.31. El hiperplano de todas las matrices 2× 2 de traza cero, con coeficientesreales, esta dado por {(

x yz w

)∈ R2×2 : x+ w = 0

}.

2. Determinantes

Recordemos que para n ∈ N, se denota por J1, nK = {1, 2, . . . , n} el intervalo de todoslos enteros comprendidos entre 1 y n.

Definicion 2.1. Dado n ∈ N, denotaremos por

Sn = {σ : J1, nK→ J1, nK : σ es biyectiva}

el conjunto de permutaciones de n elementos.

Observacion 2.2. Ya hemos probado los siguientes hechos.

Hay n! permutaciones de n elementos, o sea |Sn| = n!.

Si σ, τ ∈ Sn entonces σ ◦ τ ∈ Sn, en donde σ ◦ τ es la composicion de σ con τ y estadefinida por (σ ◦ τ)(i) = σ(τ(i)) para todo i ∈ J1, nK.

11

La funcion identidad id : Sn → Sn se comporta como el “elemento neutro” de Sncon respecto a la operacion composicion, es decir,

id ◦ σ = σ ◦ id = σ

para toda σ ∈ Sn.

Toda σ ∈ Sn tiene una inversa, es decir, existe una permutacion σ−1 ∈ Sn tal que

σ ◦ σ−1 = σ−1 ◦ σ = id .

Se puede identificar una permutacion σ ∈ Sn con una n-upla de numeros entre 1 yn, todos distintos,

σ ←→ (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)).

Mas aun, en la presente unidad abusaremos de la notacion escribiendo

σ = (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)).

Por ejemplo, la n-upla (1, 2, . . . , n) representa la permutacion identidad, en tantoque (2, 1, 3, 4, . . . , n) representa la permutacion que intercambia el 1 con el 2 y dejafijos los demas elementos.

Las permutaciones que intercambian solamente dos elementos forman una familia muyimportante y llevan nombre propio.

Definicion 2.3. Una trasposicion es una permutacion que intercambia solo dos elemen-tos. O sea, τ ∈ Sn es una trasposicion si existen i, j ∈ J1, nK, i 6= j, tales que

τ(k) =

j si k = i,

i si k = j,

k si k 6= i, j.

Notacion. Denotaremos por τi,j la transposicion que intercambia i con j. Observemosque esta notacion es ambigua pues, por ejemplo, τ1,2 representa permutaciones distintassegun consideremos τ1,2 ∈ S2 o τ1,2 ∈ S3. En el primer caso τ1,2 = (2, 1) y en el segundoτ1,2 = (2, 1, 3). Por ende, para indicar una trasposicion τi,j tambien deberıamos indicar eln tal que τi,j ∈ Sn. Sin embargo, en lo que sigue siempre podremos deducir quien es n apartir del contexto. Observemos que para i < j, la transposicion que intercambia i con jse representa mediante la n-upla

τi,j = (1, . . . , i− 1, j, i+ 1, . . . , j − 1, i, j + 1, . . . , n).

Observacion 2.4. Es importante notar que si τ es una trasposicion, entonces τ ◦ τ = id,o sea, τ es su propia inversa, τ = τ−1.

Usando trasposiciones, uno puede calcular facilmente la inversa de una permutacionarbitraria σ ∈ Sn. En efecto, simplemente debemos reordenar de menor a mayor la n-upla(σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) intercambiando solo dos elementos en cada paso.

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Ejemplo 2.5. Sea σ ∈ S6 la permutacion representada por la 6-upla σ = (2, 4, 3, 1, 6, 5).En un primer paso podemos intercambiar 1 con 2 para obtener la 6-upla (1, 4, 3, 2, 6, 5),o mas formalmente

τ1,2 ◦ σ = (1, 4, 3, 2, 6, 5).

Luego podemos intercambiar 2 con 4 para obtener

τ2,4 ◦ τ1,2 ◦ σ = (1, 2, 3, 4, 6, 5).

Finalmente, para llegar a la identidad, debemos intercambiar 5 con 6,

τ5,6 ◦ τ2,4 ◦ τ1,2 ◦ σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6) = id .

Por lo tanto,σ−1 = τ5,6 ◦ τ2,4 ◦ τ1,2,

de donde se desprende que σ = (τ1,2)−1 ◦ (τ2,4)−1 ◦ (τ5,6)−1 y como cada trasposicion es supropia inversa, se obtiene que

σ = τ1,2 ◦ τ2,4 ◦ τ5,6,

es decir, logramos escribir σ como una composicion de trasposiciones. Este es un hechogeneral, como lo refleja el siguiente teorema.

Teorema 2.6. 1. Toda σ ∈ Sn se puede escribir como una composicion de trasposi-ciones,

σ = τ1 ◦ τ2 ◦ · · · ◦ τk,

con τi trasposicion.

2. Dada σ ∈ Sn, la cantidad k de trasposiciones τi usadas en una descomposicion σcomo la dada en el ıtem anterior es siempre par o siempre impar.

Ejemplo 2.7. Consideremos σ = (2, 4, 3, 1) ∈ S4. Razonando como en el Ejemplo 2.5obtenemos que

τ1,2 ◦ σ = (1, 4, 3, 2)

τ2,4 ◦ τ1,2 ◦ σ = (1, 2, 3, 4),

de donde σ = τ1,2 ◦ τ2,4 y logramos escribir σ como una composicion de k = 2 trasposicio-nes. Obviamente esta no es la unica manera de reordenar de menor a mayor los numeros(2, 4, 3, 1), uno podrıa hacer tambien

τ1,3 ◦ σ = (2, 4, 1, 3),

τ1,4 ◦ τ1,3 ◦ σ = (2, 1, 4, 3),

τ1,2 ◦ τ1,4 ◦ τ1,3 ◦ σ = (1, 2, 4, 3),

τ3,4 ◦ τ1,2 ◦ τ1,4 ◦ τ1,3 ◦ σ = (1, 2, 3, 4),

de donde sigue que σ tambien se puede escribir como la composicion σ = τ1,3◦τ1,4◦τ1,2◦τ3,4

usando k = 4 trasposiciones. Notemos que en ambos casos necesitamos una cantidad parde trasposiciones para descomponer σ.

13

Definicion 2.8. El signo de una permutacion σ ∈ Sn se define por

sg(σ) = (−1)k,

en donde σ = τ1 ◦ τ2 ◦ · · · ◦ τk con τi trasposicion (notar el signo esta bien definido por elTeorema 2.6). Diremos que σ es

una permutacion par si sg(σ) = 1,

o una permutacion impar si sg(σ) = −1.

Teorema 2.9. 1. sg(id) = 1.

2. sg(σ ◦ τ) = sg(σ) sg(τ) para todas σ, τ ∈ Sn.

3. sg(σ−1) = sg(σ)−1 = sg(σ) para toda σ ∈ Sn.

Demostracion. La primera parte es trivial. Para la segunda, usando el Teorema 2.6,podemos escribir σ = σ1 ◦ · · · ◦ σk y τ = τ1 ◦ · · · ◦ τ` con σi, τj trasposiciones. Luego

σ ◦ τ = σ1 ◦ · · · ◦ σk ◦ τ1 ◦ · · · ◦ τ`

es composicion de k + ` trasposiciones y por consiguiente

sg(σ ◦ τ) = (−1)k+` = (−1)k(−1)` = sg(σ) sg(τ).

Para probar la tercera parte podemos usar lo que acabamos de demostrar. En efecto,como σ ◦ σ−1 = id, sigue que

1 = sg(id) = sg(σ ◦ σ−1) = sg(σ) sg(σ−1),

con lo cual

sg(σ−1) =1

sg(σ)= sg(σ)−1.

Observar que si sg(σ) = 1, entonces sg(σ−1) = 1/1 = 1 y si sg(σ) = −1, entoncessg(σ−1) = 1/(−1) = −1. En cualquiera de los dos casos vale sg(σ) = sg(σ−1).

Con estos preliminares sobre permutaciones estamos ya en condiciones de definir eldeterminante de una matriz cuadrada.

Definicion 2.10. Sea A ∈ Fn×n, el determinante de A se define como

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i). (2.1)

En otras palabras, para calcular el determinante de A hay que sumar todos los posiblesfactores que se pueden armar con coeficientes de A, tomando un elemento en cada fila ycada columna, en donde el factor A1σ(1)A2σ(2) · · ·Anσ(n) debe ir multiplicado por el signode la permutacion de las columnas σ.

14

Es comun la notacion que indica el determinante de la matriz A = (aij) utilizandobarras verticales:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .A continuacion estudiamos algunos casos particulares que ayudaran a clarificar la

definicion del determinante.Para el caso de una matriz A = (a) ∈ F1×1 tenemos que S1 = {id} y por ende

detA = a.

Cuando n = 2 tenemos que S2 = {(1, 2), (2, 1)}, en donde sg((1, 2)) = sg(id) = 1 ysg((2, 1)) = −1, pues (2, 1) = τ1,2 es una trasposicion. Luego, si

A =

(a11 a12

a21 a22

)tendremos que

detA =∑σ∈S2

sg(σ)a1σ(1)a2σ(2)

= sg((1, 2)a11a22 + sg((2, 1))a12a21

= a11a22 − a12a21.

Esta formula a veces se escribe como

det

(a bc d

)= ad− bc.

Estudiemos ahora el caso de matrices 3 × 3. Notemos que para n = 3, la suma (2.1)tiene 6 sumandos pues |S3| = 3! = 6. Mas precisamente,

S3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}.

Pero para calcular el determinante de una matriz 3 × 3 no solo debemos conocer todaslas permutaciones de 3 elementos, sino tambien sus signos. Para hacer esto notemos que:

(1, 2, 3) = id⇒ sg((1, 2, 3)) = 1,

(1, 3, 2) = τ2,3 ⇒ sg((1, 3, 2)) = −1,

(2, 1, 3) = τ1,2 ⇒ sg((2, 1, 3))− 1,

(2, 3, 1) = τ2,3 ◦ τ1,3 ⇒ sg((2, 3, 1)) = 1,

(3, 1, 2) = τ1,2 ◦ τ1,3 ⇒ sg((3, 1, 2)) = 1,

(3, 2, 1) = τ1,3 ⇒ sg((3, 2, 1)) = −1.

15

Luego, si

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

entonces

detA =∑σ∈S3

sg(σ)a1σ(1)a2σ(2)a3σ(3)

= sg((1, 2, 3))a11a22a33 + sg((1, 3, 2))a11a23a32 + sg((2, 1, 3))a12a21a33

+ sg((2, 3, 1))a12a23a31 + sg((3, 1, 2))a13a21a32 + sg((3, 2, 1))a13a22a31.

Reemplazando los signos de las permutaciones por los calculados mas arriba y reorde-nando los sumandos, se obtiene la formula

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31. (2.2)

Nota 2.11. El determinante de una matriz 3 × 3 puede calcularse mediante una reglanemotecnica llama regla de Sarrus. El procedimiento es el siguiente: primero hay quedisponer un arreglo de cinco filas que consiste de las tres filas de la matriz A, agregandocomo cuarta y quinta filas la primera y la segunda fila de A respectivamente. O sea,

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

− ↙ a11 a12 a13 ↘ +− ↙ a21 a22 a23 ↘ +− ↙ ↘ +

y luego se suman los productos de los elementos en las diagonales (de izquierda a derechaen direccion sudeste) y se restan los productos de los elementos en las antidiagonales (dederecha a izquierda en direccion sudoeste). Ası se obtiene

detA = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.

Observar que esta formula coincide, reordenando sumandos e intercambiando factores,con la que dedujimos en (2.2).

A continuacion derivamos propiedades importantes de la funcion determinante.

Proposicion 2.12. Si I ∈ Fn×n es la matriz identidad, entonces det I = 1.

Demostracion. Por definicion tenemos que

det I =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Iiσ(i),

pero Iiσ(i) 6= 0 si y solo si σ(i) = i, y en tal caso se tiene Iii = 1. Luego, la suma anteriortiene un unico sumando no nulo, el correspondiente a σ = id, por tanto

det I = sg(id)n∏i=1

Iii = 1.

16

Ejercicio 2.13. Usando la misma idea que en la demostracion de la Proposicion 2.12,probar que si A ∈ Fn×n es una matriz diagonal entonces detA = A11A22 · · ·Ann.

Proposicion 2.14. Si A ∈ Fn×n entonces,

detA = detAt.

Demostracion. Para calcular detA se deben sumar todos los posibles factores que unopuede armar eligiendo un elemento en cada fila de A y cubriendo todas las columnas,multiplicando cada factor por el signo de la permutacion usada para elegir las columnas.Es claro que armar un factor que tenga un elemento de cada fila y cada columna es lomismo que armar un factor que tenga un elemento de cada columna y cada fila. Mas aun,la permutacion de las columnas que usamos para armar un factor dado, tiene el mismosigno que la permutacion de las filas con respecto a esas columnas. Mas precisamente,

sg(σ)A1σ(1)A2σ(2) · · ·Anσ(n) = sg(σ−1)Aσ−1(1)1Aσ−1(2)2 · · ·Aσ−1(n)n

= sg(σ−1)(At)1σ−1(1)(At)2σ−1(2) · · · (At)nσ−1(n).

Luego

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) =∑

σ−1∈Sn

sg(σ−1)n∏i=1

(At)iσ−1(i) = detAt.

Proposicion 2.15. Si A ∈ Fn×n tiene dos columnas (o filas) iguales, entonces

detA = 0.

Demostracion. Supongamos primero que A tiene dos columnas iguales, digamos la co-lumna k es igual a la columna j con k < j. Esto quiere decir que aik = aij para todoi = 1, . . . , n. Dada σ ∈ Sn, sea σ = τk,j ◦ σ. Se tiene que

A1σ(1)A2σ(2) · · ·Anσ(n) = A1σ(1)A2σ(2) · · ·Anσ(n),

pues σ(i) = k implica σ(i) = j y por tanto Aiσ(i) = Aiσ(i). Analogamente Ajσ(j) = Ajσ(j)

y Akσ(k) = Akσ(k) para k 6= i, j. Ademas

sg(σ) = sg(τk,j ◦ σ) = sg(τk,j) sg(σ) = − sg(σ).

Por ende

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) + sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) = 0.

Ası, los sumandos en la formula

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i)

se van cancelando de a pares, de donde se concluye que detA = 0. Para justificar este ulti-mo paso observemos que Sn se descompone como la union disjunta de las permutacionespares y las permutaciones impares: Sn = Spar

n ∪ Simparn . Mas aun, dada la transposicion

17

τk,j, los subconjuntos de transposiciones pares e impares se relacionan de la siguienteforma: σ ∈ Spar

n ⇐⇒ τk,j ◦ σ = σ ∈ Simparn . Ademas, es claro que τk,j ◦ σ1 = τk,j ◦ σ2 si y

solo si σ1 = σ2. Luego,

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i)

=∑σ∈Spar

n

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) +∑

σ∈Simparn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i)

=∑σ∈Spar

n

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) +∑σ∈Spar

n

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i)

=∑σ∈Spar

n

[sg(σ)

n∏i=1

Aiσ(i) + sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i)

]= 0.

Finalmente, si A tiene dos filas iguales, entonces At tiene dos columnas iguales. Por loque acabamos de ver, y usando la Proposicion 2.14, tenemos que detA = detAt = 0.

Notacion. En lo que sigue usaremos la siguiente convencion para describir una matriz enterminos de sus columnas o filas. En primer lugar si C1, C2, . . . , Cn ∈ Fn×1 son vectorescolumna, denotaremos por

A = (C1C2 · · · Cn)

la matriz cuyas columnas son C1, C2, . . . , Cn. En tanto que si F1, F2, . . . , Fn ∈ F1×n sonvectores fila, denotaremos por

A =

F1

F2...Fn

la matriz cuyas filas son F1, F2, . . . , Fn.

Proposicion 2.16. Sean A1, A2, . . . , An ∈ Fn×1 vectores columna y sea α ∈ F. Entonces

det(A1 · · · αAk · · · An) = α det(A1 · · · Ak · · · An).

En otras palabras, si A ∈ Fn×n y A′ es la matriz que se obtiene de A multiplicando lak-esima columna por α, entonces

detA′ = α detA.

Demostracion. Observemos que

A′ij =

{Aij si j 6= k

αAik si j = k.

18

Luego, dada σ ∈ Sn, se tiene

A′1σ(1)A′2σ(2) · · ·A′nσ(n) = αA1σ(1)A2σ(2) · · ·Anσ(n)

y por tanto

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

A′iσ(i) = α∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) = α detA.

Ejercicio 2.17. Usando la proposicion anterior, probar que:

1. si α ∈ Fn×n y α ∈ F, entonces det(αA) = αn detA;

2. si A ∈ Fn×n tiene una columna (o fila) nula, entonces detA = 0.

Corolario 2.18. Sean A1, . . . , An ∈ F1×n vectores fila y sea α ∈ F. Entonces

det

A1...

αAk...An

= α det

A1...Ak...An

.

En otras palabras, si A ∈ Fn×n y A′ es la matriz que se obtiene de A multiplicando lak-esima fila por α, entonces

detA′ = α detA.

Demostracion. Ejercicio (aplicar la Proposicion 2.16 a la matriz At).

Ejemplo 2.19. Se pueden usar los resultados anterior para calcular el determinante deuna matriz diagonal sin usar la definicion:

det

a 0 00 b 00 0 c

= a det

1 0 00 b 00 0 c

= ab det

1 0 00 1 00 0 c

= abc det

1 0 00 1 00 0 1

= abc.

Proposicion 2.20. Sea A ∈ Fn×n y sean A1, . . . , An ∈ Fn×1 las columnas de A. Supon-gamos que Ak = Bk + Ck y sean las matrices

B = (A1 · · ·Ak−1Bk Ak+1 · · ·An), C = (A1 · · ·Ak−1Ck Ak+1 · · ·An).

EntoncesdetA = detB + detC.

Demostracion. Denotemos

Bk =

B1k

B2k...

Bnk

, Ck =

C1k

C2k...

Cnk

,

19

de donde sigue que

Bij =

{Aij si j 6= k

Bik si j = k,Cij =

{Aij si j 6= k

Cik si j = k.

Luego, si σ ∈ Sn, tenemos que

A1σ(1)A2σ(2) · · ·Anσ(n) = B1σ(1)B2σ(2) · · ·Bnσ(n) + C1σ(1)C2σ(2) · · ·Cnσ(n)

pues siempre existe un ` ∈ J1, nK tal que σ(`) = k, y ası A`σ(`) = B`σ(`)+C`σ(`). Finalmente

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) =∑σ∈Sn

sg(σ)

[n∏i=1

Biσ(i) +n∏i=1

Ciσ(i)

]

=∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Biσ(i) +∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Ciσ(i) = detB + detC.

Corolario 2.21. Sea A ∈ Fn×n y sean A1, . . . , An ∈ F1×n las filas A. Supongamos queAk = Bk + Ck y sean las matrices B cuyas filas son A1, . . . , Ak−1, Bk, Ak+1, . . . An, y Ccuyas filas son A1, . . . , Ak−1, Ck, Ak+1, . . . An. Entonces

detA = detB + detC.

Demostracion. Ejercicio.

Corolario 2.22. Sean A1, . . . , An ∈ Fn×1, entonces

det(A1 · · · Aj︸︷︷︸columna i

· · · Ai︸︷︷︸columna j

· · ·An) = − det(A1 · · · Ai︸︷︷︸columna i

· · · Aj︸︷︷︸columna j

· · ·An).

En otras palabras, si A ∈ Fn×n y A′ es la matriz que se obtiene de A intercambiando lai-esima columna con la j-esima columna, con i 6= j, entonces

detA′ = − detA.

Demostracion. Consideremos la matriz

A = (A1 · · · (Ai + Aj) · · · (Ai + Aj) · · · An),

o sea, A es la matriz cuyas columnas i y j son iguales a Ai + Aj y por lo tanto tienedeterminante nulo. Ademas, usando las Proposiciones 2.20 y 2.15 obtenemos que

0 = det A = det(A1 · · · (Ai + Aj) · · · (Ai + Aj) · · · An)

= det(A1 · · · Ai · · · (Ai + Aj) · · · An) + det(A1 · · · Aj · · · (Ai + Aj) · · · An)

= det(A1 · · · Ai · · · Ai · · · An) + det(A1 · · · Ai · · · Aj · · · An)

+ det(A1 · · · Aj · · · Ai · · · An) + det(A1 · · · Aj · · · Aj · · · An)

= det(A1 · · · Ai · · · Aj · · · An) + det(A1 · · · Aj · · · Ai · · · An),

de donde se concluye que

det(A1 · · · Aj · · · Ai · · · An) = − det(A1 · · · Ai · · · Aj · · · An).

20

Ejercicio 2.23. Enunciar y demostrar el resultado analogo para el intercambio de filas.

Proposicion 2.24. Sea A ∈ Fn×n y sea A′ la matriz que se obtiene de A sumando a laj-esima columna un multiplo de la k-esima columna, con j 6= k. Entonces

detA′ = detA.

Demostracion. Supongamos sin perder generalidad que j < k. Denotemos por A1, . . . , Anlas columnas de la matriz A. Entonces

A′ = (A1 · · · Aj−1 (Aj + αAk)Aj+1 · · · Ak · · · An)

para cierto α ∈ F. Luego, usando las Proposiciones 2.15, 2.16 y 2.20 tenemos que

detA′ = det(A1 · · · Aj−1 (Aj + αAk)Aj+1 · · · Ak · · · An)

= det(A1 · · · Aj−1Aj Aj+1 · · · Ak · · · An)

+ det(A1 · · · Aj−1 αAk Aj+1 · · · Ak · · · An)

= detA+ α det(A1 · · · Aj−1Ak Aj+1 · · · Ak · · · An)

= detA.

Ejercicio 2.25. Enunciar y demostrar el resultado analogo para operaciones sobre lasfilas de la matriz.

Con los resultados anteriores el calculo del determinante se simplifica drasticamente.

Ejemplo 2.26. Calculemos el determinante de la matriz

A =

0 1 −2 01 4 0 32 1 −2 51 0 2 3

.

La idea es “mejorar” la matriz A aplicando las operaciones de intercambio de filas ocolumnas y sumando o restando a una fila/columna un multiplo de otra fila/columna.Como ya demostramos, al hacer intercambios de filas o columnas, el determinante cambiade signo, en tanto que si a una fila o columna le sumamos un multiplo de otra, el deter-minante no cambia. Para justificar las operaciones que usamos en cada paso usaremosla siguiente notacion. Para el intercambio de filas o columnas escribiremos, por ejemplo,f1 ↔ f2 para indicar que intercambiamos la fila 1 con la fila 2, en tanto que c2 ↔ c4

indica que intercambiamos la columna 2 con la columna 4. Por otro lado, la notacionf3 → f3− 2f1 significa que reemplazamos la fila 3 por la fila 3 menos 2 veces la fila 1.

21

Aclarado esto, tenemos que

detAf1↔f2

= − det

1 4 0 30 1 −2 02 1 −2 51 0 2 3

f3→f3−2f1= − det

1 4 0 30 1 −2 00 −7 −2 −11 0 2 3

f4→f4−f1

= − det

1 4 0 30 1 −2 00 −7 −2 −10 −4 2 0

c2↔c4= det

1 3 0 40 0 −2 10 −1 −2 −70 0 2 −4

f2↔f3

= − det

1 3 0 40 −1 −2 −70 0 −2 10 0 2 −4

f4↔f4+f3= − det

1 3 0 40 −1 −2 −70 0 −2 10 0 0 −3

Luego hemos mostrado que el determinante de A es igual al determinante de una matriztriangular superior, los cuales son muy faciles de calcular usando la siguiente proposicion.

Proposicion 2.27. Si A ∈ Fn×n es triangular superior, entonces

detA = A11A22 · · ·Ann.

Demostracion. Una matriz triangular superior tiene la forma

A =

A11 A12 · · · A1n

0 A22 · · · A2n...

.... . .

...0 0 · · · Ann

,

es decir Aij = 0 si i > j. Ahora bien, para σ ∈ Sn, σ 6= id, siempre existe un i talque i > σ(i). En efecto, si esto no sucediera, se tendrıa n ≤ σ(n) ≤ n, de donde sigueσ(n) = n. Luego n−1 ≤ σ(n−1) ≤ n−1, lo cual implica σ(n−1) = n−1. Ası siguiendo,se obtiene que σ(i) = i para todo i = 1, . . . , n. Absurdo, pues supusimos σ 6= id. Esto diceque en la definicion de detA todos los sumandos correspondientes a σ 6= id son nulos,por tanto

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) = sg(id)n∏i=1

Aii =n∏i=1

Aii

como querıamos probar.

Ejemplo 2.26 (continuacion). Usando el resultado anterior concluimos que

detA = − det

1 3 0 40 −1 −2 −70 0 −2 10 0 0 −3

= −(1 · (−1) · (−2) · (−3)) = 6.

Una de las propiedades mas importantes de la funcion determinante es la siguiente.

22

Teorema 2.28. Si A,B ∈ Fn×n, entonces

det(AB) = (detA)(detB).

Demostracion. La veremos mas adelante.

Definicion 2.29. Una matriz A ∈ Fn×n se dice invertible si existe B ∈ Fn×n tal queAB = BA = I. En caso de que exista una tal B, esta se llama la matriz inversa de A yse denota por B = A−1.

Observacion 2.30. Si A ∈ Fn×n es invertible, entonces la inversa es unica. En efecto,supongamos que existen B,C ∈ Fn×n tales que BA = AB = I = CA = AC. Sigue que

B = BI = BAC = IC = C.

Ejemplo 2.31. 1. La matriz identidad es invertible. ¿Por que?

2. La matriz nula no es invertible. ¿Por que?

Ejemplo 2.32. ¿Cuando es invertible una matriz 2 × 2? Si A =

(a bc d

)es invertible,

entonces existe una matriz B =

(e fg h

)tal que

(a bc d

)(e fg h

)=

(1 00 1

)lo cual es equivalente al siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas (lasincognitas son e, f, g, h):

ae+ bg = 1 (2.3)

af + bh = 0 (2.4)

ce+ dg = 0 (2.5)

cf + dh = 1 (2.6)

Si multiplicamos la ecuacion (2.3) por d y le restamos b veces la ecuacion (2.5) obtenemos

d(ae+ bg)− b(ce+ dg) = (ad− bc)e = d.

Trabajando analogamente con las ecuaciones (2.4) y (2.6) obtenemos que

d(af + bh)− b(cf + dh) = (ad− bc)f = −ba(ce+ dg)− c(ae+ bg) = (ad− bc)g = −ca(cf + dh)− c(af + bh) = (ad− bc)h = a,

de donde sigue que si detA = ad− bc 6= 0 entonces el sistema tiene solucion y la matrizinversa es

B =1

ad− bc

(d −b−c a

).

23

Corolario 2.33. Una matriz A ∈ Fn×n es invertible si y solo si detA 6= 0. Mas aun, siA es invertible, entonces detA−1 = (detA)−1.

Demostracion. Si A es invertible entonces existe la inversa A−1 de A y vale AA−1 = I.Luego por el Teorema 2.28 se tiene 1 = det I = detA detA−1, por ende, tanto detAcomo detA−1 deben ser no nulos. Notar que esta ecuacion tambien implica que detA−1 =(detA)−1.

La recıproca la probaremos en el proximo apartado, cuando exhibamos un metodopara calcular la matriz inversa de una matriz A tal que detA 6= 0.

2.1. Desarrollo del determinante por filas o columnas

En este apartado presentamos un metodo alternativo para el calculo del determinante.Dicho metodo no presenta ninguna ventaja sobre la Definicion 2.10 en lo que respecta ala complejidad de calculo, pero sı tiene importancia teorica como veremos en breve.

Definicion 2.34. Sea A ∈ Fn×n y sean i, j ∈ J1, nK. Se define A(i|j) como la matriz(n − 1) × (n − 1) que se obtiene suprimiendo la i-esima fila y la j-esima columna de lamatriz A.

Ejemplo 2.35. Si

A =

0 1 −2 01 4 0 32 1 −2 51 0 2 6

,

entonces

A(1|1) =

4 0 31 −2 50 2 6

, A(1|3) =

1 4 32 1 51 0 6

, A(3|2) =

0 −2 01 0 31 2 6

.

Mas aun, el proceso se puede repetir,

A(1|1)(2|3) =

(4 00 2

), A(1|1)(2|3)(2|2) = 4.

A continuacion presentamos una formula recursiva para el calculo de la funcion de-terminante.

Teorema 2.36 (Desarrollo del determinante por la primera fila). Si A ∈ Fn×n, entonces

detA =n∑j=1

(−1)1+jA1j detA(1|j).

Antes de hacer la prueba del teorema veamos, a modo de ejemplo, algunos casosparticulares.

24

Ejemplo 2.37. Calculemos, usando el Teorema 2.36, el determinante de

A =

(a11 a12

a21 a22

).

En efecto,detA = a11 detA(1|1)− a12 detA(1|2) = a11a22 − a12a21.

Tambien podemos calcular el determinante de una matriz 3× 3 usando determinantes dematrices 2× 2. Si

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

entonces

detA = a11 detA(1|1)− a12 detA(1|2) + a13 detA(1|3)

= a11

(a22 a23

a32 a33

)− a12

(a21 a23

a31 a33

)+ a13

(a21 a22

a31 a32

)= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.

Demostracion del Teorema 2.36. Observemos que el conjunto de todas las permutacio-nes de n elementos, puede describirse como la union disjunta de las permutaciones quemandan el 1 a un elemento especificado j ∈ J1, nK. Mas precisamente, si llamamos

Sjn = {σ ∈ Sn : σ(1) = j},

entonces se tieneSn = S1

n ∪ S2n ∪ · · · ∪ Snn

y esta union es disjunta, es decir, Sjn ∩Skn = ∅, si j 6= k. Ahora bien, un elemento σ ∈ Sjnpuede pensarse como una permutacion de n − 1 elementos, o sea, como un elemento deSn−1. En efecto, sabemos que todos los elementos de Sjn mandan 1 en j, luego, pode-mos pensar que los elementos de Sjn permutan los numeros {1, 2, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n}.Esto puede formalizarse diciendo que a cada elemento σ ∈ Sjn le corresponde un unicoelemento σj ∈ Sn−1. Esta identificacion puede resultar un poco difıcil de entender, puesσ ∈ Sjn permuta los elementos {1, 2, . . . , j−1, j+1, . . . , n}, pero σj permuta los elementos{1, 2, . . . , n− 1}. Veamos unos ejemplos para clarificar esta nocion. Consideremos la per-mutacion σ ∈ S3

7 dada por σ = (3, 2, 1, 6, 5, 4, 7). Luego σ(1) = 3 y σ reordena la 6-upla(1, 2, 4, 5, 6, 7) en (2, 1, 6, 5, 4, 7). O sea, el 1er elemento va al 2do lugar, el 2do elementova al 1er lugar, el 3er elemento va al 5to lugar, el 4to elemento va al 4to lugar, el 5toelemento va al 3er lugar y el 6to elemento va al 6to lugar. Luego, la identificacion en estecaso serıa

σ = (3, 2, 1, 6, 5, 4, 7)←→ σ3 = (2, 1, 5, 4, 3, 6).

Otro ejemplo: ¿que permutacion σ ∈ S37 corresponde a la permutacion id ∈ S6? En este

caso deberıa ser σ(1) = 3 pero σ tiene que mantener el orden de los restantes elementos(1, 2, 4, 5, 6, 7). Luego

σ = (3, 1, 2, 4, 5, 6, 7)←→ σ3 = (1, 2, 3, 4, 5, 6) = id .

25

La pregunta clave en la demostracion del teorema es: dada σ ∈ Sjn, ¿cual es el signo dela permutacion σj ∈ Sn−1? Para responder esta pregunta, observemos que para calcularsg(σ) uno debe expresar σ como una composicion de trasposiciones, o dicho de otramanera, necesitamos contar la cantidad de intercambios de dos elementos necesarios parallegar de (1, 2, . . . , n) a (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)). En tanto que, al ser σ(1) = j, para calcularel signo de σj uno tiene contar la cantidad de intercambios de dos elementos necesariospara pasar de (1, 2, . . . , j−1, j+1, . . . , n) a (σ(2), σ(3), . . . , σ(n)). Ahora bien, la relacionentre sg(σ) y sg(σj) viene dada como sigue: para pasar de (1, 2, . . . , n) a

(σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) = (j, σ(2), . . . , σ(n))

uno puede hacer primero j − 1 intercambios para pasar de (1, 2, . . . , n) a (j, 2, 3, . . . , n)y luego hacer los intercambios necesarios sobre los ultimos elementos para transformar(j, 2, 3, . . . , n) en (j, σ(2), σ(3), . . . , σ(n)). Por tanto

sg(σ) = (−1)j−1 sg(σj) = (−1)1+j sg(σj).

Hechas estas consideraciones, podemos completar la prueba del teorema. En efecto,

detA =∑σ∈Sn

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i) =n∑j=1

∑σ∈Sj

n

sg(σ)n∏i=1

Aiσ(i)

=n∑j=1

∑σ∈Sj

n

sg(σ)A1j

n∏i=2

Aiσ(i)

=n∑j=1

∑σj∈Sn−1

(−1)1+j sg(σj)A1j

n−1∏i=1

A(1|j)iσj(i)

=n∑j=1

(−1)1+jA1j

∑σj∈Sn−1

sg(σj)n−1∏i=1

A(1|j)iσj(i)

=n∑j=1

(−1)1+jA1j detA(1|j).

Observacion 2.38. En algunos libros de texto el determinante se define recursivamenteusando la formula del Teorema 2.36. Es decir, para matrices A ∈ F1×1 = F, se definedetA = A y luego, dado n ∈ N, se define el determinante de una matriz A ∈ F(n+1)×(n+1)

como

detA =n+1∑j=1

(−1)1+jA1j detA(1|j).

Como el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta yel determinante cambia de signo si en una matriz intercambiamos filas o columnas, sepueden deducir formulas para el desarrollo del determinante por cualquier fila o columnade la matriz. Queda como ejercicio hacer las demostraciones de los siguientes resultados.

Corolario 2.39 (Desarrollo del determinante por la i-esima fila). Sean A ∈ Fn×n, ei ∈ J1, nK. Entonces

detA =n∑j=1

(−1)i+jAij detA(i|j).

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Corolario 2.40 (Desarrolo del determinante por la j-esima columna). Sean A ∈ Fn×n,y j ∈ J1, nK. Entonces

detA =n∑i=1

(−1)i+jAij detA(i|j).

A continuacion mostramos un metodo para calcular la inversa de una matriz A (si esque esta existe).

Definicion 2.41. Sea A ∈ Fn×n, el escalar Cij = (−1)i+j detA(i|j) se llama el cofactori, j de A. La matriz C = (Cij) se llama matriz de los cofactores de A.

Definicion 2.42. La matriz adjunta de A ∈ Fn×n, denotada por adjA, es la matriztranspuesta de la matriz de los cofactores de A. Es decir, el lugar i, j de adjA esta dadopor el cofactor j, i de A:

(adjA)ij = (−1)i+j detA(j|i).

Teorema 2.43. Si A ∈ Fn×n, entonces

A adjA = (adjA)A = (detA)I

Demostracion. Debemos probar que (A adjA)ij = ((adjA)A)ij = (detA)δij, en donde δijes la delta de Kronecker (vale 1 si i = j y 0 si i 6= j). Probaremos que (A adjA)ij = δij,dejando como ejercicio el comprobar que ((adjA)A)ij = δij. Para ello, calculamos lamatriz producto A adjA por definicion. En primer lugar, si i 6= j tenemos que

(A adjA)ij =n∑k=1

Aik(adjA)kj =n∑k=1

(−1)k+jAik detA(j|k) = detA′n,

usando el Corolario 2.39, en donde A′ es la matriz tal que (A′)ik = (A′)jk para todok = 1, . . . , n y tiene todas sus otras entradas iguales a las entradas de A. Pero en A′,la columna i es igual a la columna j, luego, por la Proposicion 2.15, se tiene que 0 =detA′ = (A adjA)ij.

Finalmente,

(A adjA)ii =n∑k=1

Aik(adjA)ki =n∑k=1

(−1)i+kAik detA(i|k) = detA,

nuevamente por el Corolario 2.39, lo cual concluye la prueba del teorema.

Usando el teorema anterior podemos completar la prueba del Corolario 2.33. De hecho,podemos encontrar una formula para la matriz inversa de una matriz invertible.

Corolario 2.44. Sea A ∈ Fn×n tal que detA 6= 0. Entonces A es invertible y vale

A−1 =1

detAadjA.

Demostracion. Es inmediato del teorema anterior que si detA 6= 0, entonces(1

detAadjA

)A = A

(1

detAadjA

)= I.

27

Se dice que una matriz A ∈ Fn×n tiene una inversa a izquierda (resp. a derecha) siexiste B ∈ Fn×n tal que BA = I (resp. AB = I).

Corolario 2.45. Si A ∈ Fn×n tiene una inversa a izquierda (resp. a derecha) entoncesA es invertible.

Demostracion. Supongamos que existe B ∈ Fn×n tal que BA = I. Sigue que

1 = det(BA) = (detB)(detA)

y en particular detA 6= 0. Luego A es invertible por el corolario anterior. El caso en elque A admite una inversa a derecha es analogo.

Ejemplo 2.46. Consideremos la matriz

A =

(a bc d

).

La matriz de los cofactores de A es((−1)1+1 detA(1|1) (−1)1+2 detA(1|2)(−1)2+1 detA(2|1) (−1)2+2 detA(2|2)

)=

(d −c−b a

).

Luego, si ad− bc 6= 0, entonces A es invertible y su inversa viene dada por

A−1 =1

ad− bc

(d −b−c a

).

Ejemplo 2.47. Decidir si la matriz

A =

1 2 −10 2 52 −1 4

es invertible y calcular su inversa en caso afirmativo. Calculamos primero la matriz delos cofactores de A, para esto, necesitamos calcular detA(i|j) para todos i, j = 1, 2, 3.

detA(1|1) =

∣∣∣∣ 2 5−1 4

∣∣∣∣ = 13, detA(1|2) =

∣∣∣∣0 52 4

∣∣∣∣ = −10, detA(1|3) =

∣∣∣∣0 22 −1

∣∣∣∣ = −4,

detA(2|1) =

∣∣∣∣ 2 −1−1 4

∣∣∣∣ = 7, detA(2|2) =

∣∣∣∣1 −12 4

∣∣∣∣ = 6, detA(2|3) =

∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = −5,

detA(3|1) =

∣∣∣∣2 −12 5

∣∣∣∣ = 12, detA(3|2) =

∣∣∣∣1 −10 5

∣∣∣∣ = 5, detA(3|3) =

∣∣∣∣1 20 2

∣∣∣∣ = 2.

Luego la matriz de los cofactores de A y la matriz adjunta estan dadas por

C =

13 10 −4−7 6 512 −5 2

, adjA =

13 −7 1210 6 −5−4 5 2

.

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Para chequear si A es invertible deberıamos calcular detA, pero observemos que con loya obtenido, esta cuenta puede hacerse como

A(adjA) =

1 2 −10 2 52 −1 4

13 −7 1210 6 −5−4 5 2

=

37 0 00 37 00 0 37

.

Luego detA = 37 6= 0 y por lo tanto A es invertible con inversa

A−1 =1

37

13 −7 1210 6 −5−4 5 2

.

El metodo que desarrollamos para el calculo de la inversa de una matriz resulta muytedioso de aplicar y nada eficiente para matrices de tamano grande. En la proxima unidaddesarrollaremos un metodos mas eficientes, tanto para el calculo del determinante comopara encontrar la inversa de una matriz invertible.

Comentario. El permanente de una matriz A ∈ Fn×n se define de manera analoga aldeterminante, sumando todos los factores que se pueden armar eligiendo un elementoen cada fila recorriendo todas las columnas, pero sin tener en cuenta el signo de lapermutacion de las columnas, es decir,

permA =∑σ∈Sn

n∏i=1

Aiσ(i).

Por ejemplo,

perm

(a bc d

)= ad+ bc,

perm

a b cd e fg h i

= aei+ afh+ bdi+ bfh+ cdh+ ceg.

Con las mismas tecnicas que aprendimos en esta unidad, uno puede probar que elpermanente comparte algunas propiedades con el determinante, por ejemplo permA =permAt, o que si uno multiplica la columna k de A por el escalar α y llama A′ a estanueva matriz, entonces permA′ = α permA. Pero otras propiedades ya no son validas, porejemplo, si una matriz A tiene dos columnas iguales, no necesariamente vale permA = 0.Tampoco es cierto que perm(AB) = (permA)(permB) para todas A,B ∈ Fn×n. Enefecto,

4 = perm

(1 11 1

)perm

(1 11 1

)6= perm

((1 11 1

)(1 11 1

))= perm

(2 22 2

)= 8.

Es la falta de estas propiedades la que hace que el permanente, si bien tiene una defi-nicion similar al determinante, sea mucho mas difıcil de calcular. En efecto, si uno utilizala definicion, tanto para el permanente como para el determinante deben realizarse n!noperaciones sobre los coeficientes de la matriz (porque tenemos n! sumandos de productos

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de n elementos). Sin embargo, para calcular el determinante de una matriz uno puede rea-lizar operaciones por fila y columna para transformarla en una matriz triangular superior.Puede verse (como lo probaremos en la proxima unidad y quizas ya podamos intuirlo delos ejemplos en esta unidad) que la cantidad necesaria de operaciones para pasar de unamatriz arbitraria a una matriz triangular superior es del orden de n3. Es por esto que sedice que el calculo del determinante de una matriz es un problema que puede resolverseen tiempo polinomial, o que tiene complejidad O(n3), pues n3 es un polinomio de grado3 en el numero de operaciones necesarias para calcular el determinante. Estas considera-ciones no son ciertas para el calculo del permanente, de hecho se cree que el problema decalcular el permanente de una matriz no puede resolverse en tiempo polinomial.

Observar que n!n es mucho mas grande que n3 cuando n es suficientemente grande.

n n3 n!n1 1 12 8 43 27 184 64 965 125 6006 216 43207 343 352808 512 3225609 729 326592010 1000 3628800015 3375 1961511552000020 8000 48658040163532800000

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