FACULTAD DE INGENIERA

Escuela de Ingeniera Industrial

Matemtica II

Aplicacin Mximos y Mnimos

Lic. Elvis Soto Apolitano 1

PRCTICA DIRIGIDA

1) Un fondo de inversin genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero

invertida, segn la frmula () = 0.0022 + 0.8 5 donde () representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que

disponemos de S/. 500

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad.

b) Cunto dinero debemos invertir para obtener la mxima rentabilidad posible.

c) Cul ser el valor de dicha rentabilidad.

Solucin Matemtica:

1. Determinar los puntos crticos:

Calculamos la primera derivada de ():

() = 0.0022 + 0.8 5

() = 0.004 + 0.8

Luego, igualamos a cero y resolvemos para x, es decir:

() = 0.004 + 0.8 = 0

0.004 + 0.8 = 0

=0,8

0,004

= 200

En este punto = 200 la funcin puede alcanzar un mnimo o un mximo.

2. Determinar si en = 200 es un mnimo o un mximo:

Se evala la derivada en un punto menor a 200 (por ejemplo 100) y en un punto mayor

a 200 (por ejemplo 300). Veamos:

Se observa que la derivada cambia de mayor a menor, esto implica que en el punto =200 la funcin () alcanza un mximo.

200

100 300

(100) = 0,004(100) + 0,8 > 0 () > 0

(300) = 0,004(300) + 0,8 < 0 () < 0

200

() > 0 () < 0

X

2 Matemtica II

Lic. Elvis Soto Apolitano

3. Determinar el valor mximo en = 200:

() = 0.0022 + 0.8 5

(200) = 0.002(200)2 + 0.8(200) 5

(200) = 75

Por lo tanto, la funcin tiene un valor mximo en el punto (200,75) es decir, cuando

= 200 , = 75.

Interpretacin de los resultados:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

La rentabilidad aumenta hasta una inversin menor a S/.200 y la rentabilidad disminuye

cuando se invierte ms de S/.200.

b) Cunto dinero debemos invertir para obtener la mxima rentabilidad posible

Para obtener una mxima rentabilidad se debe invertir S/.200

c) Cul ser el valor de dicha rentabilidad

El valor de la mxima rentabilidad es S/.75, cuando se invierte S/.200

2) La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la

funcin () = 40 + 15 92 + 3, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde

que comenz el estudio (t=0). Indicar los instantes de mxima y mnima virulencia en las 6

primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.

3) Un coche de competencia se desplaza a una velocidad que , entre las 0 y 2 horas, viene dada

por la expresin () = (2 ), donde x es el tiempo en horas y () es la velocidad

mxima y calcular dicha velocidad. en qu periodos gano velocidad y en cuales redujo? se

detuvo alguna vez?

x

y

(200,75)

Mximos y Mnimos de una funcin 3

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4) Un fabricante de cajas de cartn quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares

de cartn con dimensiones de 10 pulgadas por 17 pulgadas cortando cuadrados en las cuatro

esquinas y doblando los lados hacia arriba. Se desea determinar la longitud del lado de los

cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga el mayor volumen.

Solucin Matemtica:

1. Construccin de la funcin:

El volumen del paraleleppedo ser:

=

() = (17 2)(10 2)

Esta ltima expresin ser la funcin a maximizar.

2. Determinar los puntos crticos:

Calculamos la primera derivada de ():

() = (17 2)(10 2)

() = 2(10 2) + (17 2)(2) + (17 2)(10 2)

() = 62 54 + 85

x

x x

x

x

x x

x

(17 2x)

(10 2x)

10

17

(17 2x)

(10 2x)

x

4 Matemtica II

Lic. Elvis Soto Apolitano

Luego, igualamos a cero y resolvemos para x, es decir:

62 54 + 85 = 0

=54 (54)2 4(6)(85)

2(6)

1 = 2,03 2 = 6,97

En estos puntos crticos la funcin alcanza un mnimo o un mximo.

3. Determinar el mnimo o el mximo en los puntos 1 = 6,97 2 = 2,03:

Resumiendo:

Se observa que alrededor del punto 1 = 2,03 la derivada cambia de mayor a menor, esto implica que en el punto 1 = 2,03 la funcin () alcanza un mximo.

Mientras que alrededor del punto 2 = 6,97 la derivada cambia de menor a mayor, esto implica que en el punto 2 = 6,97 la funcin () alcanza un mnimo.

4. Determinar el valor mximo en 1 = 2,03:

() = (17 2)(10 2)

(2,03) = [17 2(2,03)][10 2(2,03)](2,03)

(2,03) = 156,03

Por lo tanto, la funcin tiene un valor mximo en el punto (2.03; 156.03) es decir, cuando = 2,03 , = 156,03.

Interpretacin de los resultados:

La longitud de los cuadrados que se cortar es 2,03 pulgadas para obtener un volumen

mximo de 156,03 pulgadas cubicas.

2,03 2 3 6,97 6 7

(2) = 6(2)2 54(2) + 85

() > 0

(3) = 6(3)2 54(3) + 85

() < 0

(7) = 6(7)2 54(7) + 85

() > 0

(6) = 6(6)2 54(6) + 85

() < 0

() > 0 () > 0 () < 0

2,03 6,97

Mximos y Mnimos de una funcin 5

Lic. Elvis Soto Apolitano

5) Un terreno rectangular se encuentra en la orilla de un rio y se desea delimitar de modo que

no se utilice cerca a lo largo de la orilla. Si el material para la cerca de los lados cuesta 12

dlares por pie colocado y 18 dlares por pie colocado para el lado paralelo al rio. Determine

las dimensiones del terreno de mayor rea posible que pueda limitarse con 5400 dlares de

cerca.

6) En la planeacin de una cafetera se estim que la ganancia diaria es de 16 dlares por lugar

si se tienen de 40 a 80 lugares de capacidad. Sin embargo si se cuenta con ms de 80 lugares

la ganancia diaria disminuir en 0,08 dlares veces el nmero de lugares que exceden a 80.

Cul debe ser la capacidad de la cafetera de modo que se obtenga la mxima ganancia

diaria?

7) Los naranjos que crecen en california producen 600 naranjas por ao si no se plantan ms

de 20 rboles por acre. Por cada naranjo adicional plantado por acre el rendimiento por rbol

decrece en 15 naranjas. Cuntos arboles deben plantarse por acre en california de modo que

se obtenga el mayor nmero de naranjas?