Máximos y mínimos de funciones de varias variables

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO

INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS

MATEMATICA III

APLICACIONES DE LA DERIVADA

DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA

DERIVADALos máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad



DERIVADASea una función

Se dice que tiene un máximo absoluto en A si existe por lo menos un punto en A tal que:

Sea se dice que tiene un máximo relativo en si existe un intervalo abierto que contiene a tal que

RAf : RA

Axafxf

RAf : fAaI

AIx a

MÁXIMOS DE UNA FUNCIÓN



DERIVADADiremos que tiene un mínimo absoluto en A si existe tal que

MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

fAb

xfbfAx ,

Una función tiene un mínimo o un máximo relativo en un punto c cuando c es un valor crítico de f.


NINGUNO--

NINGUNO++

MÍNIMO +-

MÁXIMO -+

c, f(c)Signo de

f ‘ en (c,b)GRÁFICO

a c b

Signo de

f ‘ en (a,c)


1) Se deriva la función y = f( x ) y se iguala a cero la derivada.

2) Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior. Las raíces

encontradas se llaman valores críticos y son los que por tener

tangente con pendiente cero (tangentes horizontales), pueden

ser máximos o mínimos.

3) Para investigar cada valor crítico si es máximo o mínimo:

a) Se toma un valor un poco menor a ese valor crítico y se

sustituye en la derivada. Luego se toma un valor un

poco mayor y se sustituye en la derivada.

b) Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo,

el valor crítico en análisis es un máximo; si cambia de

negativo a positivo, es un mínimo.

REGLA PARA ENCONTRAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS


EJEMPLOS

Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función y=x2 −4x+7Graficando la función anterior se obtiene la parábola de la figura . Lo que deberá confirmarse aplicando el procedimiento.


Paso 1: Derivando la función e igualando a cero:

dy /dx = 2x – 4=0

Paso 2: Resolviendo 2x - 4 = 0, se llega a que

x = 2. - Este es el valor crítico.

Paso 3a: Dando primero un valor un poco más pequeño que x = 2, por ejemplo, con x = 1 y sustituyendo en la derivada: dy/ dx = 2(1) -4 =2

luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendo en la derivada: dy /dx = 2(3)- 4 =2

Paso 3b: Como la derivada cambió de signo de negativo a positivo significa que existe un mínimo en el valor crítico que se analiza, es decir, hay un mínimo en x = 2.

RESPUESTA: Tiene solamente un mínimo.

SOLUCIÓN


EJEMPLOS

Halla los extremos de la función

SOLUCIÓN

Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.


Resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es el único punto crítico de la función.Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,3).

Con lo cual tenemos H(0,3)=+3 luego hay extremo y como se trata de un mínimo.

El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.


INTEGRANTES

CABALLERO CRUZ, IVONNE CÁRDENAS GONZÁLEZ RAQUEL CORNEJO URBINA, ESTRELLA GALLARDO GABRIEL, FLAVIO LÓPEZ DOMINGUEZ, DONATILA SEVILLANO TALAVERA, RENATO TIRADO CUENCA, HENRY QUILICHE ZELADA, LUIS


GRACIAS

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