1. 11 GEOLOGIA ESTRUCTURALAVANZADADr. Luis Mariano Cerca MartnezConsultor Intercade2INDICE1. Introduccin2. Nociones fundamentales de mecnica de materiales geolgicos Continuum mechanics y esfuerzos3. Estados de esfuerzos en la corteza4. Reologa Elasticidad (66), plasticidad (70), Est. experimentales (116), viscosidad5. Introduccin a la deformacin Cinemtica6. Ejemplos de deformacin en la corte Deformacin frgil o quebradiza: fallas y diaclasas Deformacin dctil: pliegues y foliaciones Estructura general de zonas de acortamiento en la corteza Estructura general de zonas de extensin en la corteza Tcnicas y herramientas de cartografa estructural Cartografa geolgica, interseccin de planos, proyecciones estereogrficas Taller con software libre7. BibliografaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING

2. 23INTRODUCCIONDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade4 PRACTICAS MODERNAS EN GEOLOGIAESTRUCTURAL OBSERVACIONES DECAMPOMapasFotografasMediciones DescripcionesIdealizacinVISUALIZACION RelacionesGrficasfundamentales MapasEcuaciones que Animacionesgobiernan el sistema SOLUCIONAnalticaNumrica AnalgicaInversinDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 3. 3 51.erorden: MAPASYMBOLSUndifferential rocks Silicic and andesitic Miocene-Recent Volcanic centers2. orden: SECCIONMajor Strike-Stip FaultEocene-Olgacene Interred Strike-Slp FaultMajor Thrust Intrusives Undiferentiated in agel Inferred ThrustS - Stratification AnticlineContinental sedimentsAnd volcanic rocks Overtumed anidine Maastrichtian-Ecoene S - Foliation Telecingo Balsas and Oapan FmCamparian - EoceneArcelia-Palmar Chico Tejulpico AnticlinoriumPGM 18 00Reeal LimestoneAmabepac PetagicMezcala FlyshAnd redbeds Limestone Turonisn-MsastrichtianAptian-Cenomarian Aptian-CenomanianMorelos Plataform Limestone Teloloapan Arc San Lucas FlyshMetamorphic Aptian-CenomanianHuetamo-Arcelia Palmar Chico basinGuerrero-Morelos Platform Metamorphic Paleozoic Berriasian-BarrerrianVolcanic rocks99 45Early CretaceousZicapa Formation basement Massive and pilow lavasEarly CretaceousTejupilco AnticlinoriumMetamorphic With petagic limestone Volcanic lastic rocks Tecocoyunca Group Aptian-TuronianEarly Cretaceous ?JurassicSedimentary pelagic rocks TejupilcoSchist Acatilan complexVlanginian-HauterivianJurassic ?Paleozoic + restricciones geolgicas empricas (datos duros)3.er orden:CONCEPTUALTEORICO Cerca et al., 2007Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 6 El modelado matemtico (numrico) es necesario para generalizar nuestro conocimiento de procesos geolgicos y hacer predicciones bajo condiciones o circunstancias especficas.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 4. 47 El modelado analgico es un conjunto de experimentos fsicos controlados que sirven para explorar y observar sistemticamente fenmenos, y pueden servir como una base para el modelo geolgico y verificarlo. 17 cm25 cmd ffDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade8 Un buen modelo mecnico nos da informacin valiosa sobre la estructura geolgica.basin 2 basin 1weak zone 2weak zone 1 Model Laramide 04wide inversionnarrow inversioncratonic arealower crust detachmentand foreland transport ofThe inverted basinadvancing wallopposite vergenceof the narrow basinSimulated materials Brittle upper crustLower ductile crustWeak ductile lower crustBrittle upper lithospheric mantleWeak ductile lithosphere mantleLower ductile lithosphere mantle Fuente: Cerca et l., 2010, LithosphereDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 5. 5 9Un buen modelo mecnico nos da informacin valiosasobre la estructura geolgica.Algunas consideraciones Proceso mecnico (resistenciarelativade los materiales geolgicos). Geometra Cinemtica Dinmica (reolgico) No se consideran otros factores que pueden afectar el resultado de la deformacin. Evolucin trmica Cambios de fases Fuente: Cerca et l., 2010, LithosphereDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 10NOCIONES FUNDAMENTALES DE MECANICADE MATERIALES GEOLOGICOSDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 6. 6 11NOCIONES FUNDAMENTALESDE MECANICA Dimensiones y magnitudes del Sistema Internacional (SI) Escalares, vectores y tensores Fuerza, momento de una fuerza Diagramas de cuerpo libre Cuerpos rgidos y deformablesDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 12CANTIDADES FISICAS Y EL CONTINUUM Importancia de la cuantificacin Medir cantidades fsicas y expresarlas en nmeros El continuum, una idealizacin matemtica con cantidades de campo que se pueden medir en una roca Cantidades fsicas fundamentales: longitud (L), masa (M), tiempo (T) y temperatura Unidades de medicin: el sistema SIDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 7. 713 EL CONTINUUM Una idealizacin o abstraccin de la naturaleza Tiempo y espacio como continuos Material continuoDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade14GRAFICA DE DENSIDAD CONTRA ESCALAMass Density, kg/m3rock massdensity continuum mass density lattice defectporemoleculargrainrockcrustal Length ScaleDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 8. 8 15CANTIDADES FISICAS Y EL CONTINUUM Cuatro cantidades fundamentales para los sistemas mecnicos: Longitud Masa Tiempo Temperatura Estas estn asociadas con objetos o aparatos que tienen una metodologa establecida. No es til el nmero, sino el nmero asociado a una unidad de medicin apropiada.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 16DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BASICASKelvin (K). Temperatura termodinmica correspondientea la fraccin 1/273.15 de la temperatura termodinmicadel agua.Segundo (s). El segundo es la duracin de 9 192 631770 periodos de la radiacin correspondiente a latransicin entre los dos niveles hiperfinos del estadofundamental del tomo de cesio 133.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 9. 9 17DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BASICAS Metro (m). Un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaco por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Kilogramo (kg). Un kilogramo es una masa igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo cilindro de platino e iridio, almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 18DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BASICAS Amperio (A). Intensidad de una corriente constante que mantenindose entre dos conductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita, de seccin circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaco, producira una fuerza igual a 2 x 107 newton por metro de longitud. Mol (mol). Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como tomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplea el mol, es necesario especificar las unidades elementales, que pueden ser tomos, molculas, iones, electrones u otras partculas o grupos especficos de tales partculas.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 10. 10 19DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BASICAS Candela (cd). Una candela es la intensidad luminosa, en una direccin dada, de una fuente que emite una radiacin monocromtica de frecuencia 5401012 hertz y cuya intensidad energtica en dicha direccin es 1/683 vatios por estereorradin.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 20 Ejemplos de unidades derivadas del SI CantidadUnidad Nombre (smbolo) EquivalenciaSimbolo Angulo planongulo planoradianradinrad m/m=1 Angulo slidongulo slido estereorradin estereorradiansrm2/m2 =1 Velocidadm/s Aceleracinm/s2 Velocidad angular rad/s Aceleracin angular rad/s2 Frecuenciahertz Hzs-1 Fuerzanewton N kgm/s2 Presin, esfuerzopascal PaN/m2 Temperatura Celsiusgrado CelsiusCK Flujo luminoso lumenlmcdsr Iluminancialuxlxlm/m2 Radioactividadbecquerel Bqs-1Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 11. 11 Prefijos del SI 21 Factor Prefijo Smbolo SimboloFactor PrefijoSmbolo Simbolo 1024yottaY 10-1decid 1021zettaZ 10-2centic 1018 exa E 10-3milli m 1015peta P 10-6 micro 1012 teraT 10-9 nano n 109 giga G 10-12 picop 106 mega M 10-15femto f 103kilok 10-18 atto a 102 hectoh 10-21zepto z 101 deka da10-24yocto yDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 22Unidades aceptadas para uso con SICantidad UnidadNombreSimbolo Smbolo DefinicinTiempo minuto min 1 min = 60 shora h 1 h=60 min=3600 sdad 1 d=24 h=86 400 sngulo plano grado 1=(/180) rad minuto1 =(1/60)=(/10 800) rad 1 =(1/60) =( /648 000) segundo radVolumen litroL 1 L=1 dm3 =10-3 m3TonMasa t1 t=1000 kgmtricaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 12. 12 23 unit weight 1m= 26,670 N/m3Newton y pascalen contextostress on basegeolgico= 26,670 N/m21000m 998 999stress on base of column1000 27 MN/m2 = 27 MPaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 24ECUACIONES DIMENSIONALMENTEHOMOGENEASrea,A {=}L2Volumen, V {=}L3Desplazamiento,u {=} LVelocidad, v {=} LT-1Aceleracin, a {=} LT-2Densidad, {=}M L -3Fuerza,F {=}M L T -2Esfuerzo, {=}M L -1 T -2Expansin trmica, {=} -13.14159265, {=} 1Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 13. 1325 ANALISIS DIMENSIONALPaktatmosphere E:=.2(TW Ta( sea water: TW , PWPa PwECambio de elevacin: E {=} LDensidad: a y w {=} M L-3plateoceanic motionTemperatura: Ta y Tw {=} lithosphereExpansin trmica: {=} -1Difusividad trmica: k {=} L2 T-1 magma flowTiempo: t {=} T aesthenosphere: Ta , PaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade26MEDICIONES DE DESPLAZAMIENTO A LO LARGO DE UNA FALLA b)X100 m O W Y Offset, O, is exaggerated.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 14. 1427ECUACION DE DESPLAZAMIENTO RELATIVO 2D EN UN MATERIAL ELASTICO 1-v 22 u:= 2 a - xGu {=} L Coordenada: x {=} LDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade28 ECUACIONES Y GRAFICASADIMENSIONALES(a) (c) u/afault #3C3o(m)0.4fault #2C2 fault #1 a. Graficar datos de 0.2 C1 campo o laboratorio x(m) x/a 0.0 0 100200 300 400-1.00.0+1.0(b) u(m) (d) uG/2a(1 - v) 0.4 m+1.0 0.2 mx(m)x/a -192m 0.0 +192m -1.00.0+1.0Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 15. 15 29 ECUACIONES Y GRAFICASADIMENSIONALES(a) (c) u/ab. Establecer unafault #3C3o(m) fault #2 estrategia de graficado0.4 C2 para simplificar la fault #1 0.2 C1ecuacin x(m) x/a 0.0 0 100200 300 400-1.00.0 +1.0(b) u(m) (d) uG/2a(1 - v) 0.4 m+1.0 0.2 mx(m) x/a -192m 0.0 +192m -1.00.0 +1.0Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 30c. Generalizar dividiendo los desplazamientos entre la longitud media de la falla para poder comparar datos de diferentes fallas(a)(c)u/a fault #3 C3 o(m) 0.4fault #2 C2fault #1 0.2C1x(m) x/a 0.0 0 100200 300 400 -1.00.0+1.0 (b) u(m) (d)uG/2a(1 - v)0.4 m +1.00.2 m x(m) x/a-192m 0.0 +192m -1.00.0+1.0Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 16. 1631d. Construir el modelo ms genrico posible(a) (c)u/a fault #3 C3o(m) 0.4fault #2 C2fault #1 0.2C1x(m) x/a 0.0 0 100200 300 400 -1.00.0+1.0(b) u(m)(d)uG/2a(1 - v)0.4 m +1.00.2 m x(m) x/a-192m0.0+192m -1.00.0+1.0Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade32 ESTADOS DE ESFUERZOEN LA CORTEZADr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 17. 1733ESCALAR, VECTOR Y TENSORQu son?Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade34a) Fuerzab) Momento de una fuerza, torquec) Traccind) Tensor de esfuerzosa)b) yyy yFyxyz fxya zy zxxxzr x xzx m zz zTd) y pointvolumen c) t(n) nxzt(n)n areaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 18. 1835a) Fuerza de cuerpo, b) Secuencia de volmenes finitosy i =1a) b) i =2 bzi =3 dv zv Pz xyyx x f3 f2 f1 pb dv= ex pbx dv + e y pby dv + e z pbz dvV V VVz2 y2 x2 fn pb dx dy dz b := lim n PnVnz1 y1 x1Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade36Para la mayora de los problemas geolgicos, b = g.bx = 0by = 0bz = -g*g* = 9.80665 m/s2z2 y2 x2 pbZdx dy dz = -pgxyz = - Vz1 y1 x1 bx = 0, by =0, bz = -g*Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 19. 1937Fuerzas de superficie: traccin, t(n)x fAfnlimPP t (n) =-A n n nnP limA n = 0 n Rock massSDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade38a) Superficies con diferente curvatura, pero n y t(n) similarb) Superficies con diferentes n y diferentes tracciones sin importar su curvaturaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 20. 20 39TRACCIONES IGUALES EN MAGNITUD PERO DE SENTIDO OPUESTO: LA TERCERALEY DE NEWTONa) b)t[n(1)] part 2 Surface, S n(1)part 2P part 1Surface, S part 1 P n(2)t[n(2)] t[n(2)] = -t[n(1)]Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 40La conceptualizacin del vector de traccin es un granlogro en el desarrollo de la mecnica del continuum. Es un vector que acta en un punto en una superficie real o imaginaria de orientacin arbitraria, especificado por el vector normal, en el interior o exterior de un cuerpo. Mide la relacin restrictiva entre la fuerza resultante y la fuerza de superficie en un parche, cuando este parche se vuelve un punto. Diferentes superficies con la misma orientacin tienen el mismo vector de traccin en un punto comn, pero superficies con diferente orientacin tienen diferentes tracciones en el mismo punto comn.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 21. 2141La conceptualizacin del vector de traccin es un granlogro en el desarrollo de la mecnica del continuum. El vector de traccin puede variar en orientacin de normal a tangencial en la superficie. La traccin en un punto sobre una superficie es igual pero opuesto a la traccin que acta al mismo tiempo en la misma superficie, pero con vector normal opuesto Las dimensiones fsicas de traccin son fuerza por rea M L T-2 L-2= M L-1 T-2. Las unidades SI son N m-2 = Pa.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade42 EVIDENCIAS SOBRE EL ESTADO DE ESFUERZOS EN LA NATURALEZATEORIA Y PRACTICA Vertical stress,v (Mpa) 0 2040 60 800 Depth below surface, z (m)1000 v = 0.027z20003000 Hoek and Brown 1978Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 22. 2243 DESCRIPCION DE LOS ESFUERZOSINDUCIDOS POR LA EXCAVACIONDE UN TUNELVertical in situ stress v Maximum principal stress 1 / v4Horizontal in situ stress Horizontal in situ stress 3h28120h1 1.2 Horizontal tunnel0.6 1.0Induced principal stresses0.81.2 1.0Miximum principal stress 3 / vh1equal to 3vDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade44 EVIDENCIAS SOBRE EL ESTADODE ESFUERZOS EN LA NATURALEZALa presin demagma essuficiente parafracturar la rocaencajonante.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 23. 23 45EL TENSOR DE ESFUERZOS Cuando la t(a) empuja, el esfuerzo es compresivo (negativo). Cuando t(b) jala, el esfuerzo de tensin (positivo). El tensor tiene componentes normales de esfuerzo, cambio de direccin y magnitud de los esfuerzos. El elemento C tiene tracciones oblicuas.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 46RELACION ENTRE TRACCION Y ESFUERZO tx(c)=-tx(a), ty(c)=-ty(a), Componente normal de esfuerzo Sobre planos opuestos perpendiculares a x, en direccin paralela a x. Componente de cizalla Sobre planos opuestos perpendiculares a x, en direccin paralela a y. Tensin (+) Compresin (-)Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 24. 24 47TENSOR DE ESFUERZOS EN VOLUMEN El estado de esfuerzos est definido por nueve componentes, seis de los cuales son independientes. De los seis vectores de traccin, tres son independientes.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 48EQUILIBRIO DE FUERZASLas fuerzas en los tres ejescoordinados se balancean en unestado homogneo de esfuerzos.La condicin de equilibrio defuerzas norestringeloscomponentes de esfuerzo.Fuerzas en el lado -x Fuerzas en el lado x - xx y z - xy y z xx y zxy y z - xz y z x=-xxz y z x= xDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 25. 25 49 EQUILIBRIO DE MOMENTOSMomento alrededor deleje z:esfuerzo x rea x brazo. El momento es cero solo si los dos esfuerzos de cizallamiento son iguales.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 50 xx xy xz yx yy yzRepresentacin delestado de esfuerzos como zx zy zzmatriz simtricaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 26. 2651EL ESTADO DE ESFUERZOSTensor de segundo orden Se define completamente por los ij = ji nueve componentes, de los cuales solo seis son independientes. i=1,2,3 Debe incluir la unidad de medicinj=1,2,3 apropiada y las tres coordenadas del punto.1112 13 T, si el estado de esfuerzos es 2122 23 funcin del tiempo. 3132 33Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade52 FORMULA DE CAUCHY=0Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 27. 2753 VARIACION DE LA TRACCION RESPECTOA LA ORIENTACION DE LA SUPERFICIE Tetraedro de Cauchy Los ngulos de direccin son los menores respecto a los ejes.nx = cosxny = cosy nz = coszDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade54 VARIACION DE LA TRACCION RESPECTOA LA ORIENTACION DE LA SUPERFICIETetraedro de Cauchy Componentes de n(nx)2 +(ny)2+(nz)2 A = A .|nx| A = A .|ny| A = A .|nz|Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 28. 28 55 VECTORES DE TRACCION ACTUANDOPARALELOS A LOS EJES DE COORDENADAS (t1,0,0), (0,t2,0), (0,0,t3) En equilibrio esttico, la fuerza neta en cada direccin coordenada es cero (F = ma) y a = 0.fx = A . [tx . (n)]+ t1 . Afx = A . [tx . (n)]- t1 . ADr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 56 ELIPSE EN ESPACIO DE TRACCIONtx(n) = t1nxty(n) = t2nyty(n) = t3nzDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 29. 29 57 ELIPSE EN ESPACIO DE TRACCION Casos especiales t1 t2 = t3elipse prolata como cigarro t1 = t2 t3elipse oblata como tortilla t1 = t2 = t3esferaDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 58ELIPSOIDE DE LAMEDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 30. 3059RELACION 3D ENTRE T(N) Y N EN CUALQUIER SUPERFICIE ngulo menor () t = (t*n)n + nx(txn) Descompone t en normal y tangente a la superficie. Para calcular la componente normal de t, la componente paralela de cualquier vector paralelo a un vector unitario est dada por su producto escalar. |t*n| = |tn| cos = |t| cos = tnOjo: Puede ser positivo onegativo y dependiendo de susigno empuja o jala.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade60 COMPONENTE NORMAL DE T t*n = txnx +tyny +tznz Usando la frmula de Cauchy tn = x (nx) 2 + yy(ny)2 + zz(nz)2 + 2xynxny + 2yznynz = 2zxnztn = xx(nx)2 + yy(ny)2 + zz(nz)2 + 2xynxny +2yznynz + 2zxnznx Dado el estado de esfuerzos y la orientacin de una superficie en un punto, esta ecuacin se utiliza para calcular el componente normal del vector de traccin.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 31. 3161COMPONENTE DE CIZALLA DE T|t x n| = |t| |n| sen = |t | sen = |ts|Esta cantidad es siempre positiva, no podemos distinguirsignos positivos o negativos.|t x n| es perpendicular al plano definido por t y n, y estsobre el rea en la que acta t.t x n = (tynz-tzny)ex+(tznx-txnz)ey+(txny-tynx)ez n x (t x n) = [1-(nx)2]tx-nxnztz-nxnztz]ex+[-nxnytx+[1-(ny)2]ty-nynztz]ey+[-nznxtx-nznyty+[1-(nz)2]tz]ezSolucin de latraccin sobre lasuperficie convector normal n. |ts|= |t|2 - |tn|2Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade62SOLUCION 2Dtn = tx cosx + ty sen xts = -tx sen x + ty cos xtn = xxcos2 x + yy sen2 x + 2xysenxcosxts = -(xx-yy)senxcosx + xy(cos2x sen2x)Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 32. 3263VALORES Y EJES DE LOS ESFUERZOSPRINCIPALEStx(n) =nn nxty(n) = nn nytz(n) = nnnz(xx - nn)nx + yxny + zxnz = 0xynx + (yy- nn)ny + zynz = 0xznx + yzny + (zz- nn)nz =0 (nx)2 + (ny)2 + (nz)2 - 1Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade64TRES ESFUERZOS PRINCIPALES xx nn yxzxxy yy nnzyxz yz zz nn-(nn)3+(xx+ yy+ zz)(nn)2-[xxyy+yyzz+zzxx-(xy)2-(yz)2-(zx)2] nn+[xxyyzz+2xyyz zx-xx(yz)2-yy(zx)2-zz(xy)2] = 0 Tres races: S1>=s2>=s1Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 33. 3365 Qu pasa cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo, es posible que este se deforme (cambie de forma)?Change in relative displacement during deformation Undeformed u + uxu u x + x xDeformedDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade66 Las ecuaciones constitutivas nos dan la relacin entre los esfuerzos y las deformaciones. La relacin ms sencilla entre estos procesos es una relacin lineal. Esto nos lleva a lo que llamamos materiales linealmente elsticos. Si tenemos otro tipo de relacin, podemos referirnos a materiales plsticos, viscosos (newtonianos y no newtonianos), elastoplsticos, etc.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 34. 3467REOLOGIA DE LAS ROCAS(COMPORTAMIENTO MECANICO) Deformacin elstica. Es la deformacinrecuperable instantneamente al remover el esfuerzo.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade68Un material isotrpico homogneo elstico obedece la leyde Hooke. = EeStressdx E (mdulo de Young). Mide la firmeza del material en experimentos.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADEwww.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 35. 35 69Recordando otros mdulos elsticos de utilidadRazn de Poisson (). Es la cantidad que el material seabulta en una direccin, mientras se encoge en la otra:elat./elong. Un valor tpico para rocas es 0,25 y para el aguaes 0,5.Mdulo de rigidez (G). Resistencia al corte.Mdulo volumtrico ocompresibilidad(K).Resistencia al cambio de volumen.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 70 La relacin ms general para el caso de elasticidad lineal es la siguiente: ij = c ijkl e klDonde Es el tensor de deformacin (no nos preocuparemos de los elementos por ahora).Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 36. 3671 Las constantes c ijkl, nos dan la relacin de proporcionalidad; se conocen como mdulos elsticos y describen el comportamiento del cuerpo. Como los subndices van de 1 a 3, entonces tenemos en el caso ms general 34 o sea 81 constantes.Qu podemos hacer para operar con esto?(Y este es el caso ms simple)Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade72 Por fortuna como los tensores de esfuerzoy deformacin son simtricos, tenemos lo siguiente: c ijkl = c jiklc ijkl = c jilk Esto nos reduce el nmero de 81 a 36 constantes. Las condiciones de preservacin de la energa de deformacin nos lleva a otro tipo de simetra.c ijkl = c klij Lo cual reduce el problema a 21 constantes; este es el caso conocido como anisotropa general, pero notar que sigue siendo elstico lineal.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 37. 37 73Por ltimo, si consideramos que el medio tiene lasmismas propiedades sin importar la direccin, entoncesestamos en el caso de isotropa lineal. Esto nos reduce considerablemente el problema, ya que solo requerimos de dos constantes (mdulos elsticos) independientes. Estos mdulos pueden ser dos de varias posibilidades; de acuerdo a lo que podamos o queramos medir. Ejemplos , ; , G ; , Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 74 Si usamos las constantes de Lam (, ) Cijkl = ij kl + ( ik jl + il jk)jkl = ekk ij+ 2eij = ij +2 eij Por ejemplo, podemos calcular lo siguiente: 11 = + 2e11 and 12 = 2e12 se conoce como la rigidez del medio (resistencia al esfuerzo de corte). es la dilatancia (qu tanto se expande o se contrae el cuerpo).Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 38. 38 75Si queremos mdulos que podemos medir en ellaboratorio, entonces podemos usar y K.K es el mdulo de incompresibilidad que resulta sisometemos el cuerpo a una presin litosttica de formaque lo que medimos es la razn entre la presin y elcambio de volumen (dilatancia o ).dij = - dp jk Si - dp ij = d ij + 2deij Entonces Lo que nos daDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 76 RELACION ENTRE DIFERENTES MODULOS ELASTICOSDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 39. 39 77 ELASTICIDAD VS. PLASTICIDAD Elstico: Ley de Hooke, As the extension, so the StressXFracture force. Plastic region Plstico: Deformacin no recuperable en un material.Elastic region StrainDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 78 MODELOS REOLOGICOSDr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING 40. 40 79 COMPORTAMIENTO QUEBRADIZOUn material esquebradizo si tiendea la ruptura cuandose le aplica unesfuerzo.Dr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor Intercade 80 TRES TIPOS DE FRACTURADr. Luis Mariano Cerca Martnez - lcerca@expo.intercade.org Consultor IntercadeINTERCADE www.intercade.orgCONSULTANCY & TRAINING