Mecnica matricial

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Mecnica matricialLa Mecnica matricial es una formulacin de la mecnica cuntica creada por Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan en 1925. La mecnica matricial fue la primera definicin completa y correcta de la mecnica cuntica. Extiende el modelo de Bohr al describir como ocurren los saltos cunticos. Lo realiza interpretando las propiedades fsicas de las partculas como matrices que evolucionan en el tiempo. Es el equivalente a la formulacin ondulatoria planteada por Erwin Schrdinger y es la base de la notacin bra-ket de Paul Dirac para la formulacin ondulatoria.

IntroduccinA inicios del siglo XX la ruptura de los conceptos clsicos con los experimentos realizados era evidente. Los primeros modelos fueron propuestos por Albert Einstein, Niels Bohr, Arnold Sommerfeld y muchos otros; quienes fundaron las bases de lo que ahora se conoce como mecnica cuntica. Sin embargo, esta ruptura con la mecnica clsica a pesar de ser prometedora era evidente que muchos de los conceptos estaban siendo establecidos ad hoc. En la dcada de los veinte, un grupo de relativamente jvenes fsicos tomaron el liderazgo en la elaboracin de una teora acorde con los nuevos postulados encontrados; teora que, contraria a la formulacin clsica, deba ser basada en los experimentos y no en la intuicin. Adems de requerir un lenguaje matemtico ms preciso. En este sentido, Werner Heisenberg fue el primero completar una formulacin matemtica ms elaborada de la mecnica cuatica. Esta formulacin se basa en que los aspectos tericos de los sistemas estn fundados exclusivamente en las relaciones entre cantidades pertenecientes al sistema que, en principio, es observable. En mecnica cuntica, los observables son las cantidades que directa o indirectamente pueden ser experimentalmente medidas. Esta premisa lo condujo a una formulacin exitosa de la mecnica cuntica basado en la teora de matrices. Heisenberg trabajo con datos experimentales relacionados a la transicin atmica de las interacciones de los tomos con cuantos de luz, fotones, tratando de identificar los observables relevantes. De esta manera l argument que las cantidades relacionadas a las transiciones eran los objetos bsicos relevantes. En 1925 Heisenberg propuso la primera estructura matemtica coherente acerca de la teora atmica para los tomos. En la elaboracin de esta Mecnica Matricial fue importante el trabajo de Max Born y Pascual Jordan, quienes reconocieron que esas cantidades obedecan las reglas preestablecidas por el lgebra matricial.

Razomaniento de HeissenbergPrevio a la Mecnica Matricial, la teora cuntica anterior describa el movimiento de una partcula por medio de una orbita clsica con posicin y momento bien definido, con la restriccin que la integral temporal sobre un perodo T de momento por velocidad deba ser un mlplito entero positivo de la constante de Planck:

La teora cuntica anteior no describe procesos dependientes del tiempo, como la absorcin o emisin de radiacin, sin embargo esta restriccin empleada correctamente toma orbitas con energa . Cuando a una partcula clsica se la acopla dbilmente a un campo de radiacin, es decir cuando el amortiguamiento de la radiacin puede ser despreciado, este emitir radiacin en un patrn que se repite cada periodo orbital. Las frecuencias que componen la onda saliente son entonces son mltiplos enteros de la frecuencia orbital. Este es un sntoma que manifiesta que es peridico, lo que nos indica que las representaciones de Fourier nicamente tienen los valores de frecuencia :

Mecnica matricial donde los coeficientes . Por otro lado, una partcula mecanocuntica no puede emitir continuamente radiacin, solo puede emitir fotones. Asumiendo que esta partcula se encuentra en una rbita , emite un fotn y se traslada a una rbita . La energa del fotn es , que significa que su frecuencia es . Para y , pero con relativamente pequeos, stas son las frecuencias clsicas del principio de correspondencia planteado por Bohr: son complejos. Los que tienen frecuencias negativas deben ser los complejos conjugados es siempre real:

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de los que tienen frecuencias positivas, de esta manera

donde

es el perodo clsico de una de las orbitas o pequeos o si

o

cuando la diferencia entre ellas es de un orden mayor a

. Sin embargo para

es muy grande, las frecuencias no son mltiplos enteros de

ninguna de las frecuencias. Cuando las frecuencias de emisin de la partcula son las mismas frecuencias de la descripcin de Fourier de su movimiento, esto sugiere que algo esta oscilando en la descripcin dependiente del tiempo de la partcula con frecuencia . Heisenberg denomin a esta cantidad y exigi que sea reducido a los coeficientes clsicos de Fourier en el lmite clsico. Para valores muy grandes de y , pero con valores relativamente pequeos de , es el coeficiente de Fourier -simo del movimiento clsico en la rbita . Cuando . tiene frecuencias opuestas a , la condicin que sea real se convierte en:

Por definicin,

tiene solo las frecuencias .

, as que su evolucin temporal es simplemente:

que es la forma original de la ecuacin de movimiento de Heisenberg. Dadas dos matrices y que describen dos cantidades fsicas, Heisenberg pudo formar un nuevo arreglo , que oscilan con la frecuencia correcta. Como los coeficientes del mismo tipo al combinar los trminos

de Fourier del producto de dos cantidades es la convolucin de stos coeficientes de forma separada, la correspondencia con las series de Fourier permitieron a Heisenberg deducir la regla por la que stas matrices deban ser multiplicados:

Max Born not que esta es la ley de multiplicacin para matrices, por lo que la posicin, el momento, la energa y todos los observables son interpretados como matrices. Debido a la regla de multiplicacin el producto depende del orden, es decir . La matriz X describe completamente el movimiento de una partcula mecanocuntica. Debido a que las frecuencias en el movimiento cuntico no son mltiplos de una frecuencia comn, los elementos de la matriz no pueden ser interpretados como los coeficientes de Fourier de una trayectoria clsica. No obstante, como y son matrices, satisfacen las ecuaciones clsicas del movimiento.

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Formulacin MatemticaUna vez que Heisenberg introdujo las matrices y , pudo encontrar los elementos de la matriz en casos especiales guiado por el principio de correspondencia. Como los elementos de matriz son la analoga mecanocuntica de los coeficientes de Fourier de las rbitas clsicas, el caso ms simple es el oscilador armnico; donde y son sinusoidales.

Oscilador ArmnicoEn unidades donde la masa y la frecuencia de un oscilador son uno, la energa del oscilador es:

La rbita clsica con energa E es igual a:

La condicin que requera la antigua teora cuntica deca que la integral de

sobre una rbita, que es el rea

del crculo en el espacio de fases, debe ser un mltiplo entero de la constante de Planck. El rea del crculo de radio es , por lo que:

o en unidades donde

es uno, la energa es un entero. y son muy simples, mucho ms si se los combina con:

Las componentes de Fourier de

donde ambos Como

y

tienen una sola frecuencia y,

y

pueden ser encontrados de su suma o diferencia. es el

tiene una serie de Fourier clsica con una sola frecuencia mas baja y el elemento de matriz . La matriz para y

(m-n)-simo coeficiente de Fourier de la rbita clsica, la matriz para diagonal. En cuyo caso es igual a

no es cero solo en la lnea sobre la

es de la misma manera pero en la lnea de abajo de la de y obtenemos:

diagonal con los mismos elementos. Reconstruyendo

las cuales, dependiendo del sistema de unidades utilizado, son las matrices de Heisenberg para el oscilador armnico. Ambas matrices son hermticas debido a que son construidas a partir de los coeficientes de Fourier de cantidades reales. Para hallar y es simple una vez que conocemos que los coeficientes de Fourier en el caso cuntico son los que evolucionan en el tiempo:

Mecnica matricial El producto matricial de la expresin simtrica es y no es hermtico, pero tiene una parte real e imaginaria. La parte real es la mitad de , mientras que la parte imaginaria es proporcional al conmutador . Es fcil verificar explcitamente que en el caso del oscilador armnico

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, multiplicada por la matriz identidad. Adems tambis se puede verificar que la matriz:

es una matriz diagonal con valores propios Conservacin de Energa

.

El oscilador armnico es muy especial debido a que es fcil encontrar las matrices exactas y es muy difcil descubrir las condiciones generales de esas formas especiales. Por esta razn, Heisenberg investig al oscilador anarmnico de hamiltoniano:

En este caso las matrices

y

no son matrices diagonales debido a que las correspondientes rbitas clsicas

estn desplazadas y aplastadas; as se tiene los coeficientes de Fourier de cada frecuencia clsica. Para determinar los elementos de matriz, Heisenberg requiri que las ecuaciones de movimiento clsicas obedescan las ecuaciones matriciales:

Heisenberg not que si esto podra hacerse entonces el Hamiltoniano, considerado como una funcin matricial de y , tendra creo derivadas temporales:

donde

es el producto simtrico

.

Dados que todos los elementos de la diagonal tienen una frecuencia no cero, al ser H constante implica que H es diagonal. Era claro para Heisenberg que en este sistema la energa podra ser conservada exactamente en un sistema cuntico arbitrario, un signo muy estimulante. El proceso de emisin y absorcin de fotones parece demandar que la conservacin de la energa se mantenga por lo menos en promedio. Si una onda que contiene exactamente un fotn atravieza algunos tomos y uno de ellos lo absorbe, ese tomo necesita informar a los otros que ya no pueden absorber ms fotones. Pero si los tomos estn alejados cualquier seal no podr llegar a los otros tomos a tiempo, stos terminarn absorbiendo el mismo fotn de todas maneras y disipando la energa a su alrededor. Cuando una seal los alcanza, los otros tomos deben de alguna manera retomar esa energa. Esta paradoja indujo a Bohr, Kramers y Slater a abandonar la conversin de energa exacta. El formalismo de Heisenberg, cuando se quiere introducir el campo electromagntico, va a obviamente enfrentar este problema; una pista que la interpretacin de la teora involucrar el colapso de la funcin de onda.

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Tratamiento HamiltonianoEn la formulacin hamiltoniana, los corchetes de Poisson de las funciones de las coordenadas y momentos cannicos son:

esta definicin implica que:

Los corchetes de Poisson son invariantes respecto a cualquier transformacin cannica. Adems tiene otras importantes propiedades:

lo que implica que:

donde :

es el hamiltoniano. Mediante las ecuaciones de movimiento de Hamilton, las relaciones anteriores son:

La derivada temporal de una funcin general ecuaciones de movimiento de Hamilton:

de coordinadas y momentos cannicos se obtiene de las

es decir:

que es una ecuacin clsica. Para transformarla en una ecuacin cantica, Dirac formul la relacin:

donde

es el conmutador de operadores (o matrices) a y b. De esta manera la ecuacin de

movimiento mecanocuntica correcta es:

donde u y H son matrices infinitas en general, que tienen la condicin que son matrices hermticas. Esta ecuacin es conocida como la Ecuacin de movimiento de Heissenberg. Suponiendo que u no depende explicitamente del tiempo, esta ecuacin del movimiento es:

Esta ecuacin es una ecuacin matricial, y debido a esto representa a un conjunto infinito de ecuaciones:

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Por lo que el fundamental problema de la mecnica matricial de Heisenberg es el encontrar las matrices infinitas y donde se cumplan las condiciones (dadas por la condicin de Dirac):

y que el hamitoniano

se convierta en una matriz diagonal.

Vase tambin Mecnica cuntica Mecnica ondulatoria Principio de incertidumbre Werner Heisenberg

Referencias Heisenberg, Werner (1925). Quantum-theoretical re-interpretation of kinematic and mechanical relations. [1]. Z. Phys (33): pp.879-893. Consultado el 14 Febrero 2011. Lakshmibala, S. (2004). Heisenberg, Matrix Mechanics, and the Uncertainty Principle [2]. Resonance. Journal of Science Education 9 (8): pp.46-56. Consultado el 12 Febrero 2011. Lam, Kai S. (2009). Non-Relativistic Quantum Theory: Dynamics, Symmetry, and Geometry. World Scientific Publishing Company. pp.11-16. ISBN 978-981-4271-79-0.

Referencias[1] http:/ / fisica. ciens. ucv. ve/ ~svincenz/ SQM261. pd [2] http:/ / www. ias. ac. in/ resonance/ Aug2004/ Aug2004Contents. html

Fuentes y contribuyentes del artculo

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Fuentes y contribuyentes del artculoMecnica matricial Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44941192 Contribuyentes: Alefisico, Davius, 1 ediciones annimas

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