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MECÁNICA CLASICA. TEMARIO UNIDAD I 1 Conceptos Fundamentales…………………………………….....2 1.1 Cantidades físicas……………………………………………...11 1.2 Sistemas de unidades…………………………………………15 1.3 Vectores y leyes físicas……………………………………….33 1.4 Conceptos de espacio, tiempo y marco de Referencia…....41

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UNIDAD I

1 Conceptos Fundamentales.

Aceleración:

Aceleración, se conoce también como aceleración lineal, y es la

variación de la velocidad de un objeto por unidad de tiempo. La

velocidad se define como vector, es decir, tiene módulo (magnitud),

dirección y sentido. De ello se deduce que un objeto se acelera si

cambia su celeridad (la magnitud de la velocidad), su dirección de

movimiento, o ambas cosas. Si se suelta un objeto y se deja caer

libremente, resulta acelerado hacia abajo.

Si se ata un objeto a una cuerda y se le hace girar en círculo por

encima de la cabeza con celeridad constante, el objeto también

experimenta una aceleración uniforme; en este caso, la aceleración

tiene la misma dirección que la cuerda y está dirigida hacia la mano

de la persona.

Cuando la celeridad de un objeto disminuye, se dice que decelera.

La deceleración es una aceleración negativa. Un objeto sólo se

acelera si se le aplica una fuerza. Según la segunda ley del

movimiento de Newton, el cambio de velocidad es directamente

proporcional a la fuerza aplicada. Un cuerpo que cae se acelera

debido a la fuerza de la gravedad.

Aceleración angular:

La velocidad angular de un cuerpo que gira, es la variación del

ángulo descrito en su rotación en torno a un eje determinado por

unidad de tiempo. Una aceleración angular es un cambio de la

velocidad angular, es decir, un cambio en la tasa de rotación o en la

dirección del eje. Por lo tanto, la aceleración angular es diferente de

la aceleración lineal.

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Espacio:

En el concepto corriente es una extensión tridimensional, capaz de

contener los objetos sensibles. Durante muchos años se consideró

que el espacio tenía tres dimensiones: largo, ancho y alto. Este tipo

de espacio, coincide plenamente con la experiencia cotidiana y con

todas las formas habituales de medida de tamaños y distancias. Sin

embargo, las investigaciones modernas en matemáticas, física y

astronomía han indicado que el espacio y el tiempo forman en

realidad parte de un mismo continuo, al que los científicos

denominan espacio-tiempo o continuo espacio temporal.

Hay tres formas de representar el espacio. En una dimensión, en

dos o en tres. El espacio bidimensional se mide en metros

cuadrados (unidad de superficie).

Fuerza:

Fuerza, en física, cualquier acción o influencia que modifica el

estado de reposo o de movimiento de un objeto. La fuerza que

actúa sobre un objeto de masa m es igual a la variación del

momento lineal (o cantidad de movimiento) de dicho objeto respecto

del tiempo. Si se considera la masa constante, para una fuerza

también constante aplicada a un objeto, su masa y la aceleración

producida por la fuerza son inversamente proporcionales. Por tanto,

si una fuerza igual actúa sobre dos objetos de diferente masa, el

objeto con mayor masa resultará menos acelerado.

Las fuerzas se miden por los efectos que producen, es decir, a

partir de las deformaciones o cambios de movimiento que producen

sobre los objetos. Un dinamómetro es un muelle o resorte graduado

para distintas fuerzas, cuyo módulo viene indicado en una escala.

En el Sistema Internacional de unidades, la fuerza se mide en

newton: 1 newton (N) es la fuerza que proporciona a un objeto de 1

kg de masa una aceleración de 1 m/s 2.

Mientras más intensa es la fuerza, mayor es su efecto en un cuerpo.

La intensidad de una fuerza se mide en newton mediante un

instrumento llamado dinamómetro. Las fuerzas se miden por los

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efectos que producen, es decir, a partir de las deformaciones o

cambios de movimiento que producen sobre los objetos.

Para averiguar el efecto combinado de dos o más fuerzas sobre un

objeto, hay que considerar la intensidad y la dirección de las

mismas.

Si actúan en línea recta, sus efectos se suman o se resta. La fuerza

es una magnitud vectorial, y esto significa que tiene módulo,

dirección y sentido.

Al conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo se le llama

sistema de fuerzas. Si las fuerzas tienen el mismo punto de

aplicación se habla de fuerzas concurrentes. Si son paralelas y

tienen distinto punto de aplicación se habla de fuerzas paralelas.

Cuando sobre un objeto actúan varias fuerzas, éstas se suman

vectorialmente para dar lugar a una fuerza total o resultante. Si la

fuerza resultante es nula, el objeto no se acelerará: seguirá parado

o detenido o continuará moviéndose con velocidad constante. Esto

quiere decir que todo cuerpo permanece en estado de reposo o de

movimiento rectilíneo y uniforme mientras no actúe sobre él una

fuerza resultante no nula.

Fórmula de la fuerza

F=m*a

La fuerza se mide en newton (N), la masa en kilogramos (kg), y la

aceleración en metros por segundo al cuadrado (m/s2). El peso de

un cuerpo se calcula de forma análoga tomando la aceleración de la

gravedad (g) cuyo valor aproximado es 10 m/s2

F= fuerza

m= masa

a= aceleración

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Gravedad:

Fenómeno en virtud del cual todos los cuerpos son atraídos hacia el

centro de la Tierra con una fuerza F= m*g, siendo m la masa del

cuerpo en estudio y g la aceleración de la gravedad. La fuerza (F)

recibe el nombre de peso-fuerza o, para abreviar, peso del cuerpo.

La ley de la gravedad es un caso particular de la ley de gravitación

universal de Isaac Newton.

Toda la materia está sometida a la fuerza de gravedad. Para un

objeto, la atracción que sufre es su peso.

La fuerza de gravedad se mide en newtons (N). Su valor es 9,81 N,

por cada kg de materia en la superficie terrestre.

Centro de gravedad:

Es el punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo, y que es

siempre el mismo, sea cual sea la posición del cuerpo.

Para determinar el centro de gravedad hay que tener en cuenta que

toda partícula de un cuerpo situada cerca de la superficie terrestre

está sometida a la acción de una fuerza, dirigida verticalmente hacia

el centro de la Tierra, llamada fuerza gravitatoria.

Cuanto más bajo es el centro de gravedad, más estable es el

objeto. El centro de gravedad de un objeto simétrico se halla en el

centro del objeto. Si un objeto es irregular, el centro de gravedad

puede estar situado fuera de su perímetro.

Cada segundo, los objetos en caída libre, aumentan su velocidad en

9,81 m/s debido al efecto de la gravedad.

Gravitación:

Propiedad característica de la materia que consiste en el hecho de

que entre los cuerpos materiales se ejerce siempre una atracción

mutua proporcional a sus masas e inversamente proporcional al

cuadrado de sus distancias.

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La gravitación es la propiedad de atracción mutua que poseen todos

los objetos compuestos de materia. A veces se utiliza como

sinónimo el término gravedad, aunque estrictamente este último

sólo se refiere a la fuerza gravitacional entre la Tierra y los objetos

situados en su superficie o cerca de ella. La gravitación es una de

las cuatro fuerzas básicas que controlan las interacciones de la

materia; las otras tres son las fuerzas nucleares débil y fuerte, y la

fuerza electromagnética.

Masa:

La masa es la magnitud fundamental de la física. Masa (física),

propiedad intrínseca de un cuerpo, que mide su inercia, es decir, la

resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento. La masa no es lo

mismo que el peso, que mide la atracción que ejerce la Tierra sobre

una masa determinada.

Desde un punto de vista estático masa puede precisarse como: dos

cuerpos de la misma forma e igual volumen, constituidos por la

misma sustancia, se dice que tienen la misma masa, es decir, la

misma cantidad de materia

•Se mide en kilogramos (kg) y también en gramos, toneladas, libras,

onzas, etc.

•La masa es una propiedad intrínseca de un cuerpo, que mide su

inercia, es decir, la resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento.

•La masa inercial y la masa gravitacional son iguales.

•Dos masas iguales situadas en el mismo punto de un campo

gravitatorio tienen el mismo peso.

Un principio fundamental de la física clásica es la ley de

conservación de la masa, que afirma que la materia no puede

crearse ni destruirse. Esta ley se cumple en las reacciones

químicas, pero no ocurre así cuando los átomos se desintegran y se

convierte materia en energía o energía en materia

La teoría de la relatividad, cambió el concepto tradicional de masa.

La relatividad demuestra que la masa de un objeto varía cuando su

velocidad se aproxima a la de la luz, es decir, cuando se acerca a

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los 300.000 kilómetros por segundo; la masa de un objeto que se

desplaza a 260.000 km/s, por ejemplo, es aproximadamente el

doble de su llamada masa en reposo.

Cuando los cuerpos alcanzan estas velocidades, la masa puede

convertirse en energía y viceversa, como sugería la famosa

ecuación de Einstein, E=mc2 (la energía es igual a la masa por el

cuadrado de la velocidad de la luz).

Mecánica:

Mecánica es una de las ramas de la física que se ocupa del

movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Nuestra

experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo esta

influenciado por los cuerpos que lo rodean; esto es por sus

interacciones con ellos. Hay varias reglas generales o principios que

se aplican a todas las clases de movimiento, no importa cual sea la

naturaleza de las interacciones. Este conjunto de principios, y la

teoría que los sustenta, se denomina mecánica.

Hasta hace unos 400 años el movimiento se explicaba desde un

punto de vista muy distinto. Por ejemplo, los científicos razonaban -

siguiendo las ideas del filósofo y científico griego Aristóteles- que

una bala de cañón cae porque su posición natural está en el suelo;

el Sol, la Luna y las estrellas describen círculos alrededor de la

Tierra porque los cuerpos celestes se mueven por naturaleza en

círculos perfectos.

Newton es el principal responsable de la ciencia de la mecánica

como la comprendemos hoy en día. Sin embargo, muchas personas

más han contribuido a su avance. Algunos de los nombres más

ilustres son Arquímedes, Galileo, Kepler, Descartes, Huygens,

Hamilton, Mach y Einstein.

Peso:

Peso, medida de la fuerza gravitatoria ejercida sobre un objeto. En

las proximidades de la Tierra, y mientras no haya una causa que lo

impida, todos los objetos caen animados de una aceleración, g, por

lo que están sometidos a una fuerza constante, que es el peso.

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Si m es la masa del cuerpo y g la aceleración de gravedad, se tiene

P=m*g

Un cuerpo de masa el doble que otro, pesa también el doble. Se

mide en Newton (N) y también en kg-fuerza, dinas, libras-fuerza,

onzas-fuerza, etc.

El kg, es por tanto, una unidad de masa, no de peso. Sin embargo,

muchos aparatos utilizados para medir pesos (básculas), tienen sus

escalas graduadas en kg en lugar de kg-fuerza. Esto no suele

representar, normalmente, ningún problema ya que 1 kg-fuerza es

el peso en la superficie de la Tierra de un objeto de 1 kg de masa.

Por lo tanto, una persona de 60 kg de masa pesa en la superficie de

la Tierra 60 kg-Fuerza. Sin embargo, la misma persona en la Luna

pesaría sólo 10 kg-fuerza, aunque su masa seguiría siendo de 60

kg.

Tiempo:

Tiempo, periodo durante el que tiene lugar una acción o

acontecimiento, o dimensión que representa una sucesión de

dichas acciones o acontecimientos. El tiempo es una de las

magnitudes fundamentales del mundo físico, igual que la longitud y

la masa. En la actualidad se emplean tres métodos astronómicos

para expresar el tiempo. Los dos primeros se basan en la rotación

diaria de la Tierra sobre su eje, y se refieren al movimiento aparente

del Sol (tiempo solar) y de las estrellas (tiempo sidéreo). El tercer

método astronómico para medir el tiempo se basa en la rotación de

la Tierra en torno al Sol (tiempo de efemérides).

En la antigüedad las medidas de tiempo estaban basadas en la

periodicidad de algunos fenómenos naturales como el día y la

noche, las estaciones, las fases lunares y en general los fenómenos

de tipo astronómico. Luego se idearon algunos objetos como el reloj

de arena, el de agua y posteriormente el de péndulo, hasta llegar a

los relojes digitales que están basados en las oscilaciones de

corrientes eléctricas minúsculas y los más precisos relojes atómicos

basados en las propiedades radiactivas de algunos materiales.

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Velocidad:

La velocidad de un cuerpo es el espacio que recorre en un intervalo

de tiempo determinado. La unidad de medida universal es el m/s

(metros por segundo). Velocidad es una magnitud vectorial. Es la

variación de la posición de un cuerpo por unidad de tiempo. La

velocidad es un vector, esto quiere decir, que tiene módulo

(magnitud), dirección y sentido.

La magnitud de la velocidad, conocida también como rapidez o

celeridad, se suele expresar como distancia recorrida por unidad de

tiempo (normalmente, una hora o un segundo); se expresa, por

ejemplo, en kilómetros por hora o metros por segundo. Cuando la

velocidad es uniforme (constante) se puede determinar

sencillamente dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo

empleado.

Cuando un objeto está acelerado, su vector velocidad cambia a lo

largo del tiempo. La aceleración puede consistir en un cambio de

dirección del vector velocidad, un cambio de su magnitud o ambas

cosas.

Fórmula: V= d/t mts./seg o cm./seg

V= velocidad

d= distancia

t= tiempo

Longitud:

Es la magnitud física que expresa la distancia entre 2 puntos. El

sistema internacional establece que su unidad es el metro.

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ÁREA:

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada

en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies

planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de

lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como

suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el

término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe

confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la

magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

ENERGIA:

Es la capacidad para desarrollar un trabajo, es una actividad, una

acción, poner en movimiento; su unidad es el jule, el kilowatt.

PRESIÓN:

Magnitud física que expresa la fuerza ejercida por un cuerpo sobre

la unidad de superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el

pascal.

POTENCIA:

En física, potencia es la cantidad de trabajo efectuado por unidad

de tiempo, su unidad de medida es el watt.

DENSIDAD:

La densidad o densidad absoluta es la magnitud que expresa la

relación entre la masa y el volumen de un cuerpo. Su unidad en el

Sistema Internacional es el kilogramo por metro cúbico (kg/m3),

aunque frecuentemente se expresa en g/cm3.

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1.1 CANTIDADES FÍSICAS. Las leyes de la física se expresan en función de cantidades fundamentales: Longitud, masa y tiempo. La física es experimental. Los fenómenos observados deben ser medidos. Para medir una cantidad física se la compara con una unidad patrón adoptada convencionalmente. El resultado de una medición debe expresarse con un valor numérico y el símbolo de la unidad. El sistema adoptado internacionalmente es el S.I. (Sistema Internacional) que tiene siete unidades básicas.

Otras cantidades físicas como el volumen, fuerza, densidad, superficie, presión, etc. Se expresan en función de las anteriores y se llaman cantidades derivadas y sus unidades derivadas. (N, Pa, Watt, Joule, etc.)

Prefijos de potencia de 10 para las unidades

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

En el mundo físico se presenta una variedad de números grandes o pequeños. Por ejemplo: La velocidad de la luz 300.000.000 m/s 3.108 m/s Diámetro de un virus 0,00000001 m 1.10-8 m Su manejo se simplifica usando potencias de diez (10) o Notación científica.

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1.2 SISTEMAS DE UNIDADES. Sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades: Sistema Internacional de Unidades o SI: es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol. Las demás unidades son derivadas del Sistema Internacional. Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de medidas. Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo. Sistema técnico de unidades: derivado del sistema métrico con unidades del anterior. Este sistema está en desuso. Sistema anglosajón de unidades: aún utilizado en algunos países anglosajones. Muchos de ellos lo están reemplazando por el Sistema Internacional de Unidades. Además de éstos, existen unidades prácticas usadas en diferentes campos y ciencias. Algunas de ellas son: Unidades atómicas Unidades usadas en Astronomía Unidades de longitud Unidades de superficie Unidades de volumen Unidades de masa Unidades de medida de energía Unidades de temperatura Unidades de densidad

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Sistema Internacional de Unidades.

Se destaca en rojo los tres únicos países que no han adoptado el Sistema Internacional de Unidades como prioritario o único en su legislación; Birmania, Liberia y Estados Unidos.

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système International d'Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en todos los países y es la forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es conocido como «sistema métrico», especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima unidad básica, el mol. Una de las principales características, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional, es que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que está definida como «la masa del prototipo internacional del kilogramo», el cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las características de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad. Entre el 2006 y el 2009 el SI se ha unificado con la norma ISO 31 para formar el Sistema Internacional de Magnitudes (ISO/IEC 80000, con la sigla ISQ).

Unidades básicas

El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas . Son las unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como básicas, a partir de las cuales se definen las demás:1

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Magnitud física básica

Símbolo dimensional

Unidad básica

Símbolo de la

Unidad Observaciones

Longitud L metro m

Se define fijando el valor de la velocidad de la luz en el vacío.

Tiempo T segundo s

Se define fijando el valor de la frecuencia de la transición hiperfina del átomo de cesio.

Masa M kilogramo kg

Es la masa del «cilindro patrón» custodiado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sèvres (Francia).

Intensidad de corriente eléctrica

I amperio A

Se define fijando el valor de constante magnética.

Temperatura Θ kelvin K

Se define fijando el valor de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

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Cantidad de sustancia

N mol mol

Se define fijando el valor de la masa molar del átomo de carbono-12 a 12 gramos/mol. Véase también número de Avogadro

Intensidad luminosa

J candela cd

Véase también conceptos relacionados: lumen, lux e iluminación física

Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan mediante prefijos. Así, por ejemplo, la expresión «kilo» indica „mil‟ y, por lo tanto, 1 km son 1000 m, del mismo modo que «mili» indica „milésima‟ , por ejemplo, 1 mA es 0,001 A.

Equivalencia

Metro (m). Unidad de longitud.

Definición: un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Kilogramo (kg). Unidad de masa.

Definición: un kilogramo es una masa igual a la de un cilindro de 39 milímetros de diámetro y de altura, que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sèvres; Francia.

Segundo (s). Unidad de tiempo.

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Definición: el segundo es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Amperio o ampere (A). Unidad de intensidad de corriente eléctrica.

Definición: un amperio es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.

Kelvin (K). Unidad de temperatura termodinámica.

Definición: un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

Mol (mol). Unidad de cantidad de sustancia.

Definición: un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplea el mol, es necesario especificar las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Candela (cd). Unidad de intensidad luminosa.

Definición: una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 5,4•1014 hercios y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

Unidades derivadas

Con esta denominación se hace referencia a las unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar magnitudes físicas tomadas como básicas.

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El concepto no debe confundirse con los múltiplos y submúltiplos, los que son utilizados tanto en las unidades básicas como en las unidades derivadas, sino que debe relacionarse siempre a las magnitudes que se expresan. Si estas son longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia o intensidad luminosa, se trata de una magnitud básica, y todas las demás son derivadas.

Ejemplos de unidades derivadas

Unidad de volumen o metro cúbico, resultado de combinar tres veces la longitud, una de las magnitudes básicas.

Unidad de densidad o cantidad de masa por unidad de volumen, resultado de combinar la masa (magnitud básica) con el volumen (magnitud derivada). Se expresa en kilogramos por metro cúbico y no tiene nombre especial.

Unidad de fuerza, magnitud que se define a partir de la segunda ley de Newton (fuerza=masa × aceleración). La masa es una de las magnitudes básicas pero la aceleración es derivada. Por tanto, la unidad resultante (kg • m • s-2) es derivada. Esta unidad derivada tiene nombre especial, newton.2

Unidad de energía, que por definición es la energía necesaria para mover un objeto una distancia de un metro aplicándosele una fuerza de 1 Newton, es decir fuerza por distancia. Su nombre es el julio (unidad) (joule en inglés) y su símbolo es J. Por tanto, J= N • m.

En cualquier caso, siempre es posible establecer una relación entre las unidades derivadas y las básicas mediante las correspondientes ecuaciones dimensionales.

Definiciones de las unidades derivadas

Unidades con nombre especial

Hertz o hercio (Hz). Unidad de frecuencia. a

Definición: un hercio es un ciclo por cada segundo.

Newton (N). Unidad de fuerza.

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Definición: un newton es la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s2 a un objeto cuya masa es de 1 kg.

Pascal (Pa). Unidad de presión.

Definición: un pascal es la presión que ejerce una fuerza de 1 newton sobre una superficie de 1 metro cuadrado normal a la misma.

Watt o vatio (W). Unidad de potencia.

Definición: un vatio es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 julio por segundo. En términos eléctricos, un vatio es la potencia producida por una diferencia de potencial de 1 voltio y una corriente eléctrica de 1 amperio.

Coulomb o culombio (C). Unidad de carga eléctrica.

Definición: un culombio es la cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio de intensidad.

Volt o voltio (V). Unidad de potencial eléctrico y fuerza electromotriz.

Definición: la diferencia de potencial a lo largo de un conductor cuando una corriente con una intensidad de un amperio utiliza un vatio de potencia.

Ohm u ohmio (Ω). Unidad de resistencia eléctrica.

Definición: un ohmio es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 voltio aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de

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intensidad 1 amperio, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Siemens (S). Unidad de conductancia eléctrica.

Definición: un siemens es la conductancia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor que tiene un ohmio de resistencia.

Farad o faradio (F). Unidad de capacidad eléctrica.

Definición: un faradio es la capacidad de un conductor con una diferencia de potencial de un voltio tiene como resultado una carga estática de un culombio.

Tesla (T). Unidad de densidad de flujo magnético e intensidad de campo magnético.

Definición: un tesla es una inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de un metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de un weber.

Weber o weberio (Wb). Unidad de flujo magnético.

Definición: un weber es el flujo magnético que al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 voltio si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme.

Henry o henrio (H). Unidad de inductancia.

Definición: un henrio es la inductancia de un circuito en el que una corriente que varía a razón de un amperio por segundo da

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como resultado una fuerza electromotriz autoinducida de un voltio.

Radián (rad). Unidad de ángulo plano.

Definición: un radián es el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Estereorradián (sr). Unidad de ángulo sólido.

Definición: un estereorradián es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera

Lumen (lm). Unidad de flujo luminoso

Definición: un lumen es el flujo luminoso producido por una candela de intensidad luminosa, repartida uniformemente en un estereorradián.

Lux (lx). Unidad de iluminancia

Definición: un lux es la iluminancia producida por un lumen de flujo luminoso, en una superficie equivalente a la de un cuadrado de un metro de lado.

Becquerel o becquerelio (Bq). Unidad de actividad radiactiva

Definición: un becquerel (o becquerelio) es una desintegración nuclear por segundo.

Gray (Gy). Unidad de dosis de radiación absorbida.

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Definición: un gray es la absorción de un julio de energía ionizante por un kilogramo de material irradiado.

Sievert (Sv). Unidad de dosis de radiación absorbida equivalente

Definición: un sievert es la absorción de un julio de energía ionizante por un kilogramo de tejido vivo irradiado.

Katal (kat). Unidad de actividad catalítica

Definición: un katal es la actividad catalítica responsable de la transformación de un mol de compuesto por segundo

Grado Celsius (°C). Unidad de temperatura termodinámica.

La magnitud de un grado Celsius (1 °C) es igual a la de un kelvin.

Definición: , donde t es la temperatura en grados Celsius y T en kélvines.

Unidades sin nombre especial

En principio, las unidades de base se pueden combinar libremente para formar otras unidades. A continuación se dan las más importantes

Unidad de área.

Definición: un metro cuadrado es el área equivalente a la de un cuadrado de 1 metro de lado.

Unidad de volumen.

Definición: un metro cúbico es el volumen equivalente al de un cubo de 1 metro de lado.

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Unidad de velocidad o rapidez.

Definición: un metro por segundo es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre una longitud de un metro en 1 segundo.

Unidad de ímpetu lineal o cantidad de movimiento.

Definición: es la cantidad de movimiento de un cuerpo con una masa de 1 kilogramo que se mueve con una velocidad instantánea de 1 metro por segundo.

Unidad de aceleración.

Definición: es el aumento de velocidad regular que sufre un objeto, equivalente a un metro por segundo cada segundo.

Unidad de número de onda.

Definición: es el número de onda de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

Unidad de velocidad angular.

Definición: es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.

Unidad de aceleración angular.

Definición: es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.

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Unidad de momento de fuerza y torque.

Definición: es el momento o torque producido cuando una fuerza de un newton actúa a un metro de distancia del eje fijo de un objeto, impulsando la rotación del mismo.

Unidad de viscosidad dinámica

Definición: es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia.

Unidad de entropía

Definición: es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de calor de 1 julio, a la temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible.

Unidad de calor específico o capacidad calorífica

Definición: es la cantidad de calor, medida en julios, que, en un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.

Unidad de conductividad térmica

Definición: es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro

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cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 vatio.

Unidad de intensidad del campo eléctrico.

Definición: es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 culombio.

Unidad de rendimiento luminoso.

Definición: es el rendimiento luminoso obtenido de un artefacto que gasta un vatio de potencia y genera un lumen de flujo luminoso.

Normas ortográficas para los símbolos

Los símbolos de las unidades son entidades matemáticas y no abreviaturas, por lo que deben escribirse siempre tal cual están definidos (p. ej., «m» para metro y «A» para ampere o amperio) y acompañando al correspondiente valor numérico. Al dar magnitudes, deben usarse preferentemente los símbolos y no los nombres (p. ej., «50 kHz» mejor que «50 kilohertz» o «50 kilohercios») y los símbolos no deben pluralizarse. El valor numérico y el símbolo de las unidades deben ir separados por un espacio (por ejemplo: 50 m es correcto; *50m es incorrecto).

Los símbolos de las unidades SI se expresan con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula (W, de Watt, V, de Volta, Wb, de Weber, Ω (omega mayúscula), de Ohm, etc.). La única excepción es el litro, cuyo símbolo puede escribirse como L mayúscula para evitar confusiones con el número 1.5

Asimismo, los submúltiplos y los múltiplos, includio el kilo (k), también se escriben con minúscula; desde mega, se escriben con mayúscula.

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Los símbolos no se pluralizan, no cambian aunque su valor no sea la unidad, es decir, no debe añadirse una s. Tampoco debe escribirse punto (.) a continuación de un símbolo, a menos que sea el que sintácticamente corresponde al final de una frase. Por lo tanto, es incorrecto escribir, por ejemplo, el símbolo de kilogramos como *Kg (con mayúscula), *kgs (pluralizado) o *kg. (con el punto). La única manera correcta de escribirlo es «kg». Esto se debe a que se quiere evitar que haya malas interpretaciones: «Kg», podría entenderse como kelvin•gramo, ya que «K» es el símbolo de la unidad de temperatura kelvin. Por otra parte, ésta última se escribe sin el símbolo de grados «°», pues su nombre correcto no es «grado Kelvin» °K, sino sólo kelvin (K).7

El símbolo de segundos es «s» (en minúscula y sin punto posterior) y no *seg ni tampoco *segs. Los amperios no deben abreviarse Amps., ya que su símbolo es A (con mayúscula y sin punto). El metro se simboliza con m (no *Mt, ni *M, ni *mts.).

Normas ortográficas para los nombres

Al contrario que los símbolos, los nombres no están normalizados internacionalmente, sino que dependen de la lengua (así lo establece explícitamente la norma ISO 80000); según el SI, se consideran siempre nombres comunes y se tratan como tales.

Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No obstante lo anterior, son igualmente aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia Española (ejemplos: amperio, culombio, faradio, voltio, vatio, etc.

SISTEMA INGLES

El sistema inglés de unidades o sistema imperial, es aún usado

ampliamente en los Estados Unidos de América y, cada vez en

menor medida, en algunos países con tradición británica. Debido

a la intensa relación comercial que tiene nuestro país con los EUA,

existen aún en México muchos productos fabricados con

especificaciones en este sistema. Ejemplos de ello son los

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productos de madera, tornillería, cables conductores y perfiles

metálicos. Algunos instrumentos como los medidores de presión

para neumáticos automotrices y otros tipos de manómetros

frecuentemente emplean escalas en el sistema inglés.

El Sistema Inglés de unidades son las unidades no-métricas que se

utilizan actualmente en los Estados Unidos y en muchos territorios

de habla inglesa (como en el Reino Unido), pero existen

discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos e Inglaterra.

Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a

través de los siglos, y de los intentos de estandarización en

Inglaterra . Las unidades mismas tienen sus orígenes en la antigua

Roma. Hoy en día, estas unidades están siendo lentamente

reemplazadas por el Sistema Internacional de Unidades , aunque

en Estados Unidos la inercia del antiguo sistema y el alto costo de

migración ha impedido en gran medida el cambio.

EQUIVALENCIAS DE LAS UNIDADES INGLESAS.

LONGITUD

1 milla = 1,609 m

1 yarda = 0.915 m

1 pie = 0.305 m

1 pulgada = 0.0254 m

MASA

1 libra = 0.454 Kg.

1 onza = 0.0283 Kg.

1 ton. inglesa = 907 Kg.

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SUPERFICIE

1 pie 2 = 0.0929m^2

1 pulg 2 . = 0.000645m^2

1 yarda 2 = 0.836m^2

VOLUMEN Y CAPACIDAD

1 yarda 3 = 0.765 m^3

1 pie 3 = 0.0283 m^3

1 pulg 3 . = 0.0000164 m^3

1 galón = 3.785 l.

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1.3 VECTORES Y LEYES FISICAS

Cantidad escalar : es aquella que se especifica por su magnitud y una unidad o especie.

Ejemplos: 10 Kg., 3m, 50 Km./h. Las cantidades escalares pueden sumarse o restarse normalmente con la condición de que sean de la misma especie por ejemplo:

3m + 5m = 8m

10ft^ 2 – 3 ft^ 2 = 7ft^2

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR.

Cantidad vectorial o vector: Una cantidad vectorial o vector es aquella que tiene magnitud o tamaño, dirección u orientación y sentido positivo (+) o negativo (-) y punto de aplicación, pero una cantidad vectorial puede estar completamente especificada si sólo se da su magnitud y su dirección.

Ejemplos:

350 Newtons a 30° al norte del este, esto es nos movemos 30° hacia el norte desde el este.

Un vector se representa gráficamente por una flecha y se nombra con una letra mayúscula ej. A = 25 lb. a 120°. La dirección de un vector se puede indicar con un ángulo o con los puntos cardinales y un ángulo.

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No se debe confundir desplazamiento con distancia, el desplazamiento está indicado por una magnitud y un ángulo o dirección, mientras que la distancia es una cantidad escalar.

Por ejemplo si un vehículo va de un punto A a otro B puede realizar diferentes caminos o trayectorias en las cuales se puede distinguir estos dos conceptos de distancia y desplazamiento .

S1 y S2 Son las distancias que se recorren entre los puntos y son escalares. D1 y D2 son los desplazamientos vectoriales.

La distancia total será la cantidad escalar S1 + S2 en la cual se puede seguir cualquier trayectoria, y el desplazamiento total será la cantidad vectorial

R =D1 +D2

TIPOS DE VECTORES.

Vectores Colineales: Son aquellos que actúan en una misma línea de acción.

Ejemplos: En los instrumentos de cuerda, el punto donde está atada la cuerda (puente) se puede representar a la fuerza de tensión en un sentido y al punto donde se afina la cuerda (llave) será otra fuerza en sentido contrario. Otro ejemplo puede ser cuando se levanta un objeto con una cuerda, la fuerza que representa la tensión de la cuerda va hacia arriba y la fuerza que representa el peso del objeto hacia abajo.

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Vectores Concurrentes. Son aquellos que parten de un mismo punto de aplicación. Ejemplos: Cuando dos aviones salen de un mismo lugar, cuando dos o más cuerdas tiran del mismo punto o levantan un objeto del mismo punto.

Vector Resultante. (VR) El vector resultante en un sistema de vectores, es un vector que produce el mismo efecto en el sistema que los vectores componentes.

Vector Equilibrante. (VE) Es un vector igual en magnitud y dirección al vector resultante pero en sentido contrario es decir a 180°

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MÉTODOS GRÁFICOS PARA EL CÁLCULO DE LOS VECTORES RESULTANTE V R Y EQUILIBRANTE V E .

Introducción: Antes de entrar a la aplicación de los métodos gráficos es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones.

a) La convención de signos es : Para la "x" + a la derecha y - a la izquierda.

Para la "y" + arriba y - abajo.

b) Una escala para representar la magnitud vectorial por medio de una flecha. La fórmula que se utilizará es : Escala = Magnitud del vector x de referencia / Magnitud en cm. que se desea que tenga en el papel, o sea Esc. = Vx / cm. De Vx . por ejemplo si tenemos un vector A = 120 Km/h a 30° al norte del esteLa escala será:

Esc. = 120 Km/4cm , Esc.= 30 Km. / cm., es decir cada centímetro representará 30 Km. en el papel y los demas vectores para el mismo ejercicio o problema se les aplicará la misma escala.

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Método del paralelogramo.

Un paralelogramo es una figura geométrica de cuatro lados paralelos dos a dos sus lados opuestos. En este método se nos dan dos vectores concurrentes, los cuales después de dibujarse a escala en un sistema de ejes cartesianos se les dibujaran otros vectores auxiliares paralelos con un juego de geometría siendo la resultante del sistema la diagonal que parte del origen y llega al punto donde se intersectan los vectores auxiliares.

Ejemplo:

SI DOS CUERDAS ESTAN ATADAS EN UNA ARGOLLA DE METAL Y SE JALAN, LA PRIMERA CON UNA FUERZA DE 45 NEWTONS CON DIRECCION AL ESTE Y LA SEGUNDA DE 30 NEWTONS A 120°. ¿CUAL SERÁ LA DIRECCIÓN Y MAGNITUD DE LA FUERZA RESULTANTE VR.

Solución: Sea A el primer vector y B el segundo, entonces A = 45 N, dirección E. y B = 30 N, a 120°.

Escala = 45 N / 5cm. = 9 N/cm. o sea 1cm : 9 N

Se traza A´ paralela al vector A y B´ paralela a B, el vector resultante será el que sale desde el origen hasta la intersección con los vectores auxiliares A´ y B´ después la longitud de VR se multiplica por la escala para obtener la magnitud real de VR.

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COMPONENETES DE UN VECTOR Y VECTORES UNITARIOS.

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1.4 CONCEPTOS DE ESPACIO, TIEMPO Y MARCO DE

REFERENCIA.

ESPACIO Y TIEMPO

La observación y el estudio de los movimientos ha atraído la atención del hombre desde tiempos remotos. Así, es precisamente en la antigua Grecia en donde tiene su origen la sentencia «Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza», que refleja la importancia capital que se le otorgaba al tema. Siguiendo esta tradición, científicos y filósofos observaron los movimientos de los cuerpos y especularon sobre sus características.

Tal vez no haya en la naturaleza nada más antiguo que las observaciones acerca del movimiento de los cuerpos, son numerosos y extensos las teorías dadas por los filósofos. Aristóteles es considerado como el gran físico de la edad media, quien por medio de su pensamiento puro, mantuvo la idea en la que afirmaba que el estado natural de un cuerpo era estar en reposo y que este solo se movía si era empujado por una fuerza o un impulso.

Sin embargo, el estudio propiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei. A él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen recogidos en este capítulo, y que por consiguiente demuestra que las ideas de Aristóteles eran falsas, a través de su experimento y el estudiando del movimiento de los cuerpos, descubrió que ''un cuerpo que se mueve, y continuará en movimiento a menos que una fuerza sea aplicada y que lo obligue a detenerse.''

Galileo argumentó que el movimiento es tan natural como el reposo, esto es, un cuerpo que está en reposo permanece así a menos que sea sometido a una fuerza que lo haga moverse. Si un objeto ya se está moviendo, continuará moviéndose a menos que sea sometido a una fuerza que lo haga detener. También determino a través de sus observaciones, que al dejar caer bolas de diferentes pesos a lo largo de un plano inclinado, concluye, que una bola de plomo y una pluma, caerán con diferente rapidez, ya que, la resistencia del aire, hace que la pluma sea frenada.

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Las mediciones de Galileo sirvieron de base a Newton quien dio una explicación completa al movimiento y la forma en que las fuerzas actúan. La descripción está contenida en el resumen de sus 3 leyes:

Primera Ley: Inercia, está basada en la enunciada por Galileo, aunque Galileo no había realmente llegado al concepto de inercia. En ausencia de fuerzas externas, un objeto en reposo permanece en reposo, y un objeto en movimiento permanece en movimiento, quedando en movimiento rectilíneo y con velocidad constante. Esta propiedad de un cuerpo que se resiste al cambio, se llama inercia. La medida de la inercia de un cuerpo es su momento. Newton definió el momento de un objeto como proporcional a su velocidad. La constante de proporcionalidad, es su masa.

Segunda Ley: Ley de la Fuerza, relaciona el cambio de velocidad del objeto con la fuerza aplicada sobre él. ''La fuerza neta aplicada a un objeto es igual a la masa del objeto por la aceleración causada al cuerpo por esta fuerza. La aceleración tiene la misma dirección de la fuerza.

Tercera Ley: Acción y Reacción, establece que si el objeto ejerce una fuerza sobre otro objeto, este otro ejerce una fuerza igual y contraria.

Newton descubrió, además de las leyes del movimiento, la ley que describe la fuerza de la gravedad, esta ley, fue muy razonable al indicar, que todo cuerpo atrae a todos los demás cuerpos con una fuerza proporcional a la masa de cada uno de ellos. Así la fuerza entre dos cuerpos se duplicara si, uno de ellos dobla su masa. Esta ley de la gravedad, sostiene que también cuanto más separados estén los cuerpos menor será la fuerza gravitatoria entre ellos.

Newton pudo explicar el movimiento de los planetas en torno al Sol, asumiendo la hipótesis de una fuerza dirigida al Sol, que produce una aceleración que obliga a la velocidad del planeta a cambiar de dirección continuamente, considerando el movimiento de la Luna en torno a la Tierra, desde las leyes de Kepler. Obviamente la Tierra ejerce una atracción sobre los objetos que están sobre su superficie.

La gravitación universal, descubierta por Newton, implica que la Tierra no sólo atrae a los objetos que están en su superficie, sino

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también a la Luna y a cualquier cuerpo en su cercanía. Además, el Sol atrae a la Tierra y a todos los demás planetas, las estrellas se atraen entre sí, las galaxias también, y así toda la materia en el Universo.

Pero además Newton descubrió que la fuerza de gravedad obedece una ley muy sencilla. La fuerza gravitacional entre dos cuerpos es directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Los planetas se mantienen unidos al Sol en órbitas estables por el equilibrio de dos fuerzas: la atracción gravitacional de ese astro y la fuerza centrífuga debida al movimiento circular. La fuerza centrífuga no se debe a una interacción de la materia, sino a la tendencia que tienen los cuerpos a mantener su movimiento en línea recta (esta fuerza se manifiesta, por ejemplo, en un automóvil cuando toma una curva: los pasajeros sienten una fuerza que los empuja hacia la parte exterior de la curva).Todo se explicaba a la perfección en el esquema teórico desarrollado por Newton. El único pedazo que faltaba en el rompecabezas era la naturaleza de la fuerza de gravitación. En efecto ¿qué es lo que produce realmente la atracción gravitacional? Si jalamos una piedra con una cuerda, la atracción se da por medio de la cuerda; si soplamos para empujar una pluma, la fuerza de interacción se da mediante el aire. Toda transmisión implica un medio: el sonido se transmite por medio del aire, la energía eléctrica por medio de cables, el calor por cuerpos conductores, etc. ¿Qué medio transmite la gravitación? ¿Cómo "sabe" la Luna que la Tierra está ahí y la atrae? ¿Cuál es el origen de esa "acción a distancia"?.

Newton nunca estuvo enteramente satisfecho de su obra, pues no tenía una respuesta a las anteriores preguntas. Como una solución provisional propuso que el espacio está totalmente lleno de una sustancia invisible e impalpable, el éter, que permea todos los cuerpos materiales y sirve para transmitir, de algún modo aún desconocido, la atracción gravitacional. La misteriosa "acción a distancia" cuya naturaleza todavía desconocía, se ejercería mediante el éter. Empero, el problema habría de perdurar mucho tiempo en la física.

Y aun permanecían las ideas de Aristóteles en la que se creía en un estado preferente de reposo, en la que consideraba el movimiento como un proceso de cambio, en oposición al reposo que, siendo el

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fin y la meta del movimiento, debía ser reconocido como un estado. Según esto, todo movimiento es cambio y por eso afecta siempre al cuerpo que se mueve. Por consiguiente, si un cuerpo está provisto de dos movimientos, estos se entorpecen, se obstaculizan mutuamente y son a veces incompatibles uno con otro. Así mismo creyó que la tierra se encontraba en reposo. Pero se siguieron refutando estas ideas, afirmando, que el movimiento es solo un estado en el que un cuerpo se encuentra y es indiferente a su estado de movimiento o de reposo. El reposo no es distinto del movimiento, y además, puesto que somos indiferentes al movimiento podemos estar moviéndonos a una velocidad enorme sin percibirlo.

Para newton era una preocupación, por la falta de una posición absoluta o un espacio absoluto. Pero, sí, tanto para Aristóteles como Newton creían en un tiempo absoluto, pensaban que se podía medir el intervalo de tiempo entre dos sucesos, “el tiempo estaba totalmente separado y era independiente del espacio”.

Para dar un nuevo paso y comprender la gravitación se necesitaba una nueva teoría física que relevara la mecánica de Newton en los nuevos dominios del Universo que surgían. Afortunadamente, entra en contacto con sus ideas Albert Einstein, que había elaborado su teoría de la gravitación, también conocida como teoría de la relatividad general.

De acuerdo con Einstein el espacio y el tiempo no son conceptos independientes, sino que están estrechamente vinculados y forman un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, en el que el tiempo es la cuarta dimensión.

La conclusión más interesante que podemos sacar de esta discusión es que el campo gravitacional afecta los intervalos de tiempo. Pero, según ya vimos al enunciar la teoría especial de la relatividad, el tiempo y el espacio no pueden separarse. El verdadero escenario para los sucesos naturales es el espacio-tiempo. Lo que se afirme para el espacio o lo que se diga para el tiempo es una expresión verdadera sólo en un marco de referencia particular. Las cuestiones relativistas se expresan en el espacio-tiempo.

Vistos desde esta perspectiva, nuestros experimentos, pensados o reales, nos llevan a concluir que el campo gravitacional, al cambiar los intervalos de tiempo, altera la geometría del espacio-tiempo. La

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gravitación induce una curvatura; el espacio-tiempo deja de ser plano y se convierte en un espacio no-euclidiano, donde prevalece la geometría de Riemann.

Cuando la gravedad no es muy intensa, la curvatura es ligera y el espacio-tiempo aparenta ser plano. Las conclusiones de Einstein tienden entonces, como un caso límite, a las de Newton.