CÁLCULOS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

PARA DATOS AGRUPADOS

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

F.P.: I.Q. IGNACIO ROSALES ORTIZ

Al igual que en la distribución de los datos no agrupados, tenemos la moda, la mediana y el promedio; pero ahora, las medidas de tendencia central en algunas de ellas cambiaran de nombre; se llamaran:CLASE MODAL: La clase que más se repite, es la clase donde se

encuentra la mayor frecuencia. Puede haber como en el caso anterior, dos o más modas, llamándose clase bimodal o multimodal, según sea el caso.

MEDIANA: Es el dato que se encuentra exactamente a la mitad de los datos proporcionados en forma ordenada.

MEDIA: Es también conocido como PROMEDIO (también es conocida como Media Aritmética, -no confundirla con la media geométrica-).

Ahora, en este tipo de arreglo estadístico se ocupa cuando tenemos variables involucradas en gran cantidad, y además

cuando el Rango de distribución de los datos es muy grande. Con esto logramos síntesis e información.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALPARA DATOS AGRUPADOS

De la producción diaria de una máquina se eligió una muestra de 100 baterías que se probaron para ver cuánto tiempo operarían en una lámpara . Los resultados fueron los siguientes:◦ NOTA: El tiempo se midió en horas.

Ejercicio:

228 214 230 247 233 221 217 222 231 220

236 216 213 222 234 227 211 217 243 241

231 239 248 240 241 211 220 223 227 229

212 212 232 243 235 231 240 231 217 229

217 214 219 223 246 240 227 228 231 235

220 217 239 242 241 250 230 217 246 231

211 233 236 237 219 217 222 236 247 217

249 216 237 243 242 241 222 217 219 220

235 217 225 236 239 230 240 236 236 238

223 223 213 216 246 240 222 223 221 239

Los primeros cálculos para agrupar los datos y realizar la tabla de distribución de frecuencias, son:◦ 1º) El RANGO, R: También se conoce como

RECORRIDO. Es una forma de medir la variación en un conjunto de valores. Se calcula tomando el dato mayor y el dato menor, y se le saca su diferencia. Es decir:

R = D. mayor – D. menor

En nuestro ejercicio, será: R = 250 – 211 = 39

PRIMEROS CÁLCULOS

Nos vamos a nuestros datos, y buscamos el dato que tenga la mayor magnitud de los números dados, y ése

será el DATO MAYOR; y también, buscamos el de menor magnitud, y ése será el DATO MENOR. Y aplicamos la

fórmula.

Por tanto, el rango que tenemos es de 39 unidades

◦ 2º) El NÚMERO DE INTERVALOS DE CLASE, i: Se puede calcular de dos maneras: La primera es, utilizando la Regla de Sturges, que consiste

en:

k = 1 + 3.322 (log10 n) o Donde, k, es el número de intervalos de clase y n, el

número de datos. La segunda es, calculando por: √n , donde n es el número

de datos.o Para nuestro ejercicio, utilizaremos la segunda por razones

prácticas.

NOTA: Los dos métodos nos dan un acercamiento ante la distribución a realizar. Si después de hacer las operaciones, nos sobran datos por ejemplo, pues aumentamos el número de intervalos, es decir, ajustamos de acuerdo a nuestras necesidades.

En nuestro ejercicio es:

√100 = 10

Como tenemos 100 datos, le sacamos la raíz cuadrada y obtenemos 10 intervalos de clase

◦ 3º) La AMPLITUD DE CLASE, A.c. (vamos a simbolizarla así): Ésta se calcula dividiendo el Rango entre el número de intervalo de clase; es decir:

A.c. = R / i

Para nuestro ejercicio, será:

A.c. = 39 = 3.9 ≈ 4 10

Con esto, ya podemos empezar a trabajar en nuestra tabla de distribución de frecuencias.

Sustituimos los valores

ya encontrados en la fórmula y tenemos:

Para trabajar estos datos lo haremos llenando una tabla de distribución de frecuencias, para obtener los resultados e interpretarlos. Ésta consiste en::

Tabla de Distribución de frecuencias

i Clase L.R.C. Xi fi f. ac. f. rel. (%)

f. rel. ac. (%)

xi (fi)

Es el producto entre la

frecuencia absoluta y el

dato en cuestión.

Frecuencia

absoluta: Es el

número de veces con que

los valores que

consta el intervalo

se encuentre repetido.

Frecuencia

absoluta acumulada: Es el

ir sumando todos los

datos para corroborar

la cantidad de datos dados.

Frecuencia relativa: Es el dato

de la frecuencia absoluta,

representando en forma

porcentual (o

decimal).

Frecuencia relativa

acumulada: Es el ir sumando todos

los datos para corroborar la

cantidad de datos dados, nos tiene

que dar el 100% o la unidad.

Número de

intervalo

Clase, que

consta de un dato

inferior y un

superior

Límite real de clase, la intención es tener datos sin

dejar espacios

entre dato y dato

Marca de

clase, es el

promedio de los

números que tiene la clase, entre el límite

inferior y el

superior

Procedamos al llenado de la tabla de distribución de frecuencias.

Comenzamos a calcular LA CLASE.i Clase1 211 - 214

2 215 - 218

3 219 – 222

4 223 – 226

5 227 – 230

6 231 – 234

7 235 – 238

8 239 – 242

9 243 – 246

10 247 - 250

El número

de intervalo

s, lo ponemos

de acuerdo

a las operacio

nes primeras, cuando aplicamo

s la regla de Sturges

o por medio de la raíz

cuadrada; que

nos resultó

en nuestro ejercicio de 10.

Esta la calcularemos de la siguiente manera:* Como ya hicimos los cálculos acerca de la Amplitud de clase, que nos arrojó el valor de 4. * Ahora, vamos a contar las primeras cuatro cantidades de nuestros resultados, a saber: 211, 212, 213 y 214.• Lo vamos a representar como: 211 –

214; y lo colocamos en la primera celda de nuestra clase.

• NOTA: No caigamos en el error de decir: 211 + 4 = 215; y ponemos de 211 – 215. Esto es un error, porque aquí ya hay 5 y no 4 datos.

• En todo caso, lo que podemos hacer sería: 211 + 4 – 1 = 214; y llegamos al resultado.

• Una vez que ya tenemos el primero, continuamos con el siguiente número, que es el 215 y si hacemos lo anterior, tenderíamos: 215 + 4 – 1= 218; y sería 215 – 218.

• Y así sucesivamente, hasta completar la tabla.

Ahora calcularemos los Límites Reales de Clase (L.R.C.). Para esto, debemos identificar el LÍMITE INFERIOR DE CLASE (L.I.C) y el

LÍMITE SUPERIOR DE CLASE (L.S.C.). Lo podemos representar como: XL – Xs

Donde:XL : Es el Límite Inferior de ClaseXS : Es el Límite Superior de Clase

Ahora, una vez identificados, pasamos a calcular los L.R.C., haremos lo siguiente:

Tomamos el L.I.C. y tomamos el número anterior a él, y los promediamos. Es decir:

En nuestro ejemplo, tenemos como L.I.C. en el intervalo 1: 211 y el número anterior a él, es 210. Así, por tanto, el Límite Real Inferior de Clase (L.R.I.C.), será:

L.R.I.C. = 210 + 211 = 421 = 210.5

2 2Y Para calcular el Límite Real Superior de Clase (L.R.S.C.), se hace lo mismo; pero

ahora, tomamos el Límite Superior de Clase que, en nuestro ejemplo es 214, y ahora tomamos el número posterior a él, que es 215, y de igual manera los promediamos y obtenemos el L.R.S.C.:

L.R.S.C. = 214 + 215 = 429 = 214.5 2 2

i Clase L.R.C.1 211 - 214 210.5 – 214.5

2 215 - 218 214.5 – 218.5

3 219 – 222 218.5 – 222.5

4 223 – 226 222.5 – 226.5

5 227 – 230 226.5 – 230.5

6 231 – 234 230.5 – 234.5

7 235 – 238 234.5 – 238.5

8 239 – 242 238.5 – 242.5

9 243 – 246 242.5 – 246.5

10 247 - 250 246.5 – 250.5

Nos queda, por tanto, la tabla de distribución de frecuencias:

210 + 211 = 421 = 210.5 2 2

214 + 215 = 429 = 214.5 2 2

214 + 215 = 429 = 214.5 2 2

218 + 219 = 437 = 218.5 2 2

218 + 219 = 437 = 218.5 2 2

222 + 223 = 445 = 222.5 2 2

Esto se realiza para tener datos en forma

consecutiva, para que a la hora de graficar,

tengamos en caso del Histograma barras consecutivas y no

separadas

Y seguimos teniendo de amplitud de clase = 4. Por

tanto, no se han alterado las operaciones.

Ahora, calcularemos la Marca de Clase, Xi. La tabla queda así:

i Clase L.R.C. Xi1 211 - 214 210.5 – 214.5 212.5

2 215 - 218 214.5 – 218.5 216.5

3 219 – 222 218.5 – 222.5 220.5

4 223 – 226 222.5 – 226.5 224.5

5 227 – 230 226.5 – 230.5 228.5

6 231 – 234 230.5 – 234.5 232.5

7 235 – 238 234.5 – 238.5 236.5

8 239 – 242 238.5 – 242.5 240.5

9 243 – 246 242.5 – 246.5 244.5

10 247 - 250 246.5 – 250.5 248.5

Para calcular, la marca de clase, hacemos lo siguiente:Tomamos los Límites de Clase, tanto el Inferior como el Superior y los promediamos, y de esa manera encontramos la marca de clase. Es decir:En el intervalo 1, tenemos 211 (como L.I.C.) y 214 (como L.S.C.); los sumamos y los dividimos entre 2:

X1 = 211 + 214 = 425 = 212.5 2 2Para el intervalo 2, tenemos:

X2 = 215 + 218 = 433 = 216.5 2 2Y así, sucesivamente hasta completar los datos.

Ahora vamos a calcular la frecuencia absoluta, fi. 1º) Vamos a identificar los eventos (los datos) que están dentro del

rango de la clase y los colocamos en nuestra columna que le llamamos, fi.

2º) Contamos cuantas veces se repiten los eventos, en este caso son números.

i Clase L.R.C. Xi fi1 211 -

214210.5 – 214.5 212.5

2 215 - 218

214.5 – 218.5 216.5

3 219 – 222

218.5 – 222.5 220.5

4 223 – 226

222.5 – 226.5 224.5

5 227 – 230

226.5 – 230.5 228.5

6 231 – 234

230.5 – 234.5 232.5

7 235 – 238

234.5 – 238.5 236.5

8 239 – 242

238.5 – 242.5 240.5

9 243 – 246

242.5 – 246.5 244.5

10 247 - 250

246.5 – 250.5 248.5

Regreso a mis resultados obtenidos y

empiezo a contar cuántos números del 211 al 214 encuentro ( es decir, veo cuántos

211, 212, 213 y 214 hay, los junto y esa va a ser

la fi del primer intervalo) y coloco esa cantidad en la primera

celda; luego cuento cuantos 215 al 218 y lo pongo en la segunda

celda, y así sucesivamente hasta terminar de contar todos los datos. Así empiezo a vaciar los

resultados en la tabla.

Una forma de resolver el problema sería de la siguiente manera, reconocer todos los datos de una clase (los identifico de un

color) y los sumo; colocando el dato en la celda correspondiente al intervalo de clase al cual estamos trabajando y así hacerlo con cada una de las clases. O se puede ocupar otro recurso para diferenciar y agrupar, ya sea tachando con alguna

figura, una cruz los de un intervalo, con un círculo los de otro intervalo, etc.

Quedándonos así la tabla de distribución de frecuencias, hasta el momento:

i Clase L.R.C. Xi fi1 211 - 214 210.5 – 214.5 212.5 9

2 215 - 218 214.5 – 218.5 216.5 13

3 219 – 222 218.5 – 222.5 220.5 16

4 223 – 226 222.5 – 226.5 224.5 4

5 227 – 230 226.5 – 230.5 228.5 10

6 231 – 234 230.5 – 234.5 232.5 10

7 235 – 238 234.5 – 238.5 236.5 11

8 239 – 242 238.5 – 242.5 240.5 19

9 243 – 246 242.5 – 246.5 244.5 5

10 247 - 250 246.5 – 250.5 248.5 3

A partir de estos cálculos que vamos a realizar, serán de la misma manera como los hicimos con los datos no agrupados.

Una vez que tenemos estos datos, pasamos a corroborar nuestros datos con la frecuencia acumulada, además también nos es útil para verificar hacia donde vamos a encontrar la mediana.

i fi f. ac.

1 9 9

2 13 22

3 16 38

4 4 42

5 10 52

6 10 62

7 11 73

8 19 92

9 5 97

10 3 100

Para esto, tomamos el primer término de la

frecuencia absoluta, lo copiamos y lo ponemos en

la primera celda de la columna de la frecuencia

acumulada de nuestra tabla, después sumamos

ese número con el siguiente de la segunda frecuencia

absoluta y lo ponemos en la segunda celda de la

frecuencia acumulada y así sucesivamente, en la última debemos obtener el número

total de datos.

=

=

Quedándonos así la tabla de distribución de frecuencias, hasta el momento:

i Clase L.R.C. Xi fi f.ac.1 211 - 214 210.5 – 214.5 212.5 9 9

2 215 - 218 214.5 – 218.5 216.5 13 22

3 219 – 222 218.5 – 222.5 220.5 16 38

4 223 – 226 222.5 – 226.5 224.5 4 42

5 227 – 230 226.5 – 230.5 228.5 10 52

6 231 – 234 230.5 – 234.5 232.5 10 62

7 235 – 238 234.5 – 238.5 236.5 11 73

8 239 – 242 238.5 – 242.5 240.5 19 92

9 243 – 246 242.5 – 246.5 244.5 5 97

10 247 - 250 246.5 – 250.5 248.5 3 100

Ahora, calculamos la frecuencia relativa, como lo hicimos en Datos no agrupados:

F. rel (%) = fi . (100%) Σfi

Quedándonos de la siguiente manera: xi fi f. ac. f. rel.

%

1 9 9 9.0

2 13 22 13.0

3 16 38 16.0

4 4 42 4.0

5 10 52 10.0

6 10 62 10.0

7 11 73 11.0

8 19 92 19.0

9 5 97 5.0

10 3 100 3.0

F. rel (%) = 9 (100%) = 9.0 % 100

F. rel (%) = 13 (100%) = 13.0 % 100

F. rel (%) = 16 (100%) = 16.0 % 100

F. rel (%) = 4 (100%) = 4.0 % 100

F. rel (%) = 10 (100%) = 10.0 % 100

F. rel (%) = 10 (100%) = 10.0 %100

F. rel (%) = 11 (100%) = 11.0 % 100

F. rel (%) = 19 (100%) = 19.0 % 100

F. rel (%) = 5 (100%) = 5.0 % 100

F. rel (%) = 3 (100%) = 3.0 % 100

Pasamos a la penúltima columna, para el cálculo de la frecuencia relativa acumulada, vamos hacer lo mismo que hicimos en la frecuencia absoluta acumulada, nada más que ahora la suma nos tiene que dar 100% (o cercano a 100%, por los decimales tomados, -o si lo tomamos en decimales el total debe ser 1 o cercano a 1-):xi fi f. ac. f. rel. % f.rel.ac.

%

1 9 9 9.0 9.0

2 13 22 13.0 22.0

3 16 38 16.0 38.0

4 4 42 4.0 42.0

5 10 52 10.0 52.0

6 10 62 10.0 62.0

7 11 73 11.0 73.0

8 19 92 19.0 92.0

9 5 97 5.0 97.0

10 3 100 3.0 100.0100 %

¡Lo hicimo

s!

Quedándonos así la tabla de distribución de frecuencias, hasta el momento:

i Clase L.R.C. Xi fi f.ac. f. rel. %

f.rel.ac. %

1 211 - 214 210.5 – 214.5

212.5

9 9 9.0 9.0

2 215 - 218 214.5 – 218.5

216.5

13 22 13.0 22.0

3 219 – 222 218.5 – 222.5

220.5

16 38 16.0 38.0

4 223 – 226 222.5 – 226.5

224.5

4 42 4.0 42.0

5 227 – 230 226.5 – 230.5

228.5

10 52 10.0 52.0

6 231 – 234 230.5 – 234.5

232.5

10 62 10.0 62.0

7 235 – 238 234.5 – 238.5

236.5

11 73 11.0 73.0

8 239 – 242 238.5 – 242.5

240.5

19 92 19.0 92.0

9 243 – 246 242.5 – 246.5

244.5

5 97 5.0 97.0

10 247 - 250 246.5 – 250.5

248.5

3 100 3.0 100.0

Por último, pasamos a la última celda, que corresponde a la multiplicación de la marca de clase, Xi, por la frecuencia absoluta, fi, (tengan cuidado, no se vayan a equivocar con la acumulada).

Es decir:i Xi fi Xi(fi)

1 212.5 9 1912.5

2 216.5 13 2814.5

3 220.5 16 3528

4 224.5 4 898

5 228.5 10 2285

6 232.5 10 2325

7 236.5 11 2601.5

8 240.5 19 4569.5

9 244.5 5 1222.5

10 248.5 3 745.5

22905

Aquí vamos a multiplicar Xi (fi), es decir:212.5(9) = 1912.5216.5(13) = 2814.5220.5(16) = 3528...Hasta el último: 248.5(3) = 745.5Una vez, hecho esto, sumo la columna y pongo el valor de la suma en la celda de abajo.Quedándonos así:

i Clase L.R.C. Xi fi f.ac.

f. rel. %

f.rel.ac. %

Xi(fi)

1 211 - 214

210.5 – 214.5

212.5

9 9 9.0 9.0 1912.5

2 215 - 218

214.5 – 218.5

216.5

13 22 13.0 22.0 2814.5

3 219 – 222

218.5 – 222.5

220.5

16 38 16.0 38.0 3528

4 223 – 226

222.5 – 226.5

224.5

4 42 4.0 42.0 898

5 227 – 230

226.5 – 230.5

228.5

10 52 10.0 52.0 2285

6 231 – 234

230.5 – 234.5

232.5

10 62 10.0 62.0 2325

7 235 – 238

234.5 – 238.5

236.5

11 73 11.0 73.0 2601.5

8 239 – 242

238.5 – 242.5

240.5

19 92 19.0 92.0 4569.5

9 243 – 246

242.5 – 246.5

244.5

5 97 5.0 97.0 1222.5

10 247 - 250

246.5 – 250.5

248.5

3 100 3.0 100.0 745.5

22905

Quedándonos así la tabla de distribución de frecuencias:

¿Para qué hacer este último cálculo?◦ Es necesario, porque vamos a empezar a calcular las

llamadas “Medidas de Tendencia Central”, recordando: la Moda, la Media, y la Mediana.

Y de esta manera se facilitarán los cálculos.

CÁLCULO DE LA CLASE MODAL Para este dato (que es el más fácil de ubicar), ahora se llamará

Clase Modal, lo vamos a reconocer de la siguiente manera, nos vamos a nuestra tabla de distribución de frecuencias, buscamos el intervalo de clase que mayor frecuencia presente y ese es la Clase Modal.

En caso de haber dos datos que tengan la misma moda, se llamará: clase bimodal (y así sucesivamente).

En nuestro ejercicio, la CLASE MODAL, será el intervalo de clase: 8, que corresponde a 239 -242, por tener de frecuencia = 19.

Para el cálculo de la media, vamos a ocupar la siguiente fórmula:

o

◦ Para representar la media, se pone una “x testada”, o algunos ponen la letra griega m. Nosotros ocuparemos la x.

Regresamos a nuestra tabla de distribución de frecuencias, nos dirigimos a la columna que tiene Xi(fi), y vemos cuanto nos resultó la suma, y sustituimos los valores en nuestra fórmula. Quedándonos así:

X = 22905 = 229.05 100 hrs

CÁLCULO DE LA MEDIA

X = Σ Xi(fi) Σfi

¡Y esta es nuestra media o promedio de

los datos!

Procedemos a realizar el último cálculo correspondiente a las medidas de Tendencia Central, la Mediana.

Algunos representan a la Mediana, como Me. Nosotros también la utilizaremos.

Cuando se calcula la mediana, se supone que los valores están distribuidos uniformemente en todo el intervalo. Para ello vamos a recurrir a la frecuencia acumulada.

Para esto, seguiremos los siguientes pasos:

CÁLCULO DE LA MEDIANA

1º) Localizamos el intervalo de clase donde se encuentra la llamada Mediana Teórica, que es dividir el número total de datos por 2:Me t = n/2.

En nuestro ejercicio, será: 100 / 2 = 50

Continuación de los pasos a seguir:

2º) Una vez calculada la mediana teórica, localizamos el intervalo donde se encuentra este valor, lo vamos a buscar en la frecuencia acumulada de nuestra Tabla de distribución de frecuencias.

En nuestro ejercicio, observamos que hasta el intervalo 4, se tiene una frecuencia acumulada de 42, por tanto, en el intervalo 5, tenemos 52. Es aquí, en este intervalo donde vamos a encontrar la mediana. Está entre la clase 226.5 – 230.5, si se consideran los límites de clase verdaderos.

3º) ¿Qué tanto debemos avanzar en este intervalo antes de llegar a la mediana? Debemos hacer lo siguiente: Restamos la Mediana teórica y la frecuencia acumulada del intervalo anterior donde se encuentra la mediana; y dividimos este valor por la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana.

En nuestro ejercicio, será: (50 – 42) / 10 = 8 /10 = 0.8

4º) Una vez, teniendo este valor lo vamos a multiplicar por la diferencia de la clase (límite superior menos límite inferior de clase) y lo sumaremos al límite inferior verdadero.

En general, la mediana puede calcularse a partir de datos agrupados mediante la siguiente fórmula:

Mediana = Me = Li + j (Ls – Li) fi

DondeLi = Límite inferior verdadero del intervalo que contiene a la mediana.Ls = Límite superior verdadero del intervalo que contiene a la mediana.j = Número de observaciones que aún faltan por alcanzar a la mediana una vez que se ha alcanzado el límite inferior del intervalo que contiene a la medianafi = Frecuencia del intervalo que contiene a la mediana.

En nuestro ejercicio, la mediana será entonces:

Me = 226.5 + 8 (230.5 – 226.5) = 226.5 + 0.8(4) = 226.5 + 3.2 10

Me = 229.7

Mediana = Me = Li + j (Ls – Li) fi

Continuación de los pasos a seguir:

Esta es la mediana de nuestros datos

agrupados

En Excel:

Ahora, ya teniendo los datos lo vamos a presentar en gráficos. Se puede presentar la información en:◦ Un histograma,◦ Un polígono de frecuencias◦ Y un gráfico circular.

GRÁFICOS

Va a depender de cómo queremos presentarla, para una mejor, fácil y rápida comprensión de los resultados. En Excel, lo puedes hacer de la siguiente manera: