MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES: EJERCICIO RESUELTO

Estructuras 2009 METODO DE LAS DEFORMACIONES Pág. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ESTRUCTURAS

Ejercicios Resueltos: Método de las Deformaciones Ejercicios Resueltos: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex

Ejercicio Nº1:

Características geométricas de las barras

Cálculo de las Inercias: ( ) 4

3

4-23-1 1333312

2020II cmcmcm=

⋅==

( ) 43

5-44-3 10666712

4020II cmcmcm=

⋅==

Adoptando como 43-10 13333II cm==

Cálculo de los Coeficientes “αij”:

0

ijij I

Iα =

1,00αα 4231 ===>==== −−4

4

0

4-2

0

3-14-23-1 13333

13333I

III

ααcmcm

8,00αα 5443 ===>==== −−4

4

0

5-4

0

4-35-44-3 13333

106667I

II

Iαα

cmcm

La ecuación de recurrencia vista en la teoría:

[ ] [ ]ijjiij

ij0ijijji

ij

ij0ijij Ψ3ωω2

l2

MΨ3ωω2l

IE2MM ⋅−+⋅⋅

⋅+=⋅−+⋅⋅

⋅⋅+=

α

Siendo: 0

ijij I

Iα =

0ii IEωω ⋅⋅= 0jj IEωω ⋅⋅= 0ijij IE ⋅⋅Ψ=Ψ Datos (por condición de vinculo): ω1 = ω2 = Ψ3-4 = Ψ4-5 = 0 Incógnitas: ω3 ; ω4 ; ω5 ; Ψ1-3 ; Ψ2-4



ESTRUCTURAS


Como el método no considera deformaciones por esfuerzo normal, entonces el

desplazamiento de los nudos 3, 4 y 5 serán el mismo. Δ = Δx3 = Δx4 = Δx5

Luego: Δ = l1-3 · Ψ1-3 = l2-4 · Ψ2-4 => Ψ1-3 = Ψ2-4

Cálculo de los 0ijM

tmmt 1842

8lPMM 0

4-30

4-3 =⋅

=⋅

=−=

( )tm

mmt

38

12

42

12lqMM

220

5-40

5-4 =⋅

=⋅

=−=

Cálculo de los ijM

• Barra 1-3

[ ] 3-133-1313-1

3-103-13-1 Ψ2ω3

2Ψ3ωω2lα2

MM −=⋅−+⋅⋅⋅

+=

[ ] 3-133-1131-3

1301-31-3 Ψ2ω3

4Ψ3ωω2lα2

MM −=⋅−+⋅⋅⋅

+= −

• Barra 2-4

[ ] 4-244-2424-2

4-204-24-2 Ψ2ω3

2Ψ3ωω2lα2

MM −=⋅−+⋅⋅⋅

+=

[ ] 4-244-2242-4

2-402-42-4 Ψ2ω3

4Ψ3ωω2lα2

MM −=⋅−+⋅⋅⋅

+=

• Barra 3-4

[ ] 434-3434-3

4-304-34-3 ω4ω81Ψ3ωω2

lα2

MM ++=⋅−+⋅⋅⋅

+=

[ ] 434-3343-4

3-403-43-4 ω8ω41Ψ3ωω2

lα2

MM ++−=⋅−+⋅⋅⋅

+=

• Barra 4-5

[ ] 545-4545-4

5-405-45-4 ω4ω83

8Ψ3ωω2lα2

MM ++=⋅−+⋅⋅⋅

+=

[ ] 545-44545-

45-045-45- ω8ω43

8Ψ3ωω2lα2

MM ++−=⋅−+⋅⋅⋅

+=



ESTRUCTURAS


Planteo de las ecuaciones de equilibrio

Planteando sumatorias de momentos en los nudos e igualándolas a cero tendremos tres

ecuaciones, con lo que necesitaremos una cuarta ecuación debido a que contamos con cuatro incógnitas, por lo tanto plantearemos una ecuación de piso y la igualaremos a cero, en consecuencia obtuvimos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

Equilibrios de Momentos: Para hacer el equilibrio de nudos tomaremos la acción de la barra sobre el nudo (positivo

en sentido horario). • Nudo (3):

0MM0M 43133 =+=>= −−∑

314343

314313

Ψ,000ω,004ω8,001M

Ψ2,00ω0,00ω340,00M

−−

−−

+=

−+=

( )I=>=−++=>= −∑ 0Ψ2,00ω4,00ω3281,000M 31433

• Nudo (4):

0MMM0M 5424344 =++=>= −−−∑

5454

31424

4334

ω4,00ω8,0038M

Ψ2,00ω34M

ω8,00ω4,001,00M

+++=

−+=++−=

−

−−

−

( )II=>=−+++=>= −∑ 0Ψ2,00ω4,00ω352ω4,003

50M 315434

• Nudo (5):

0MM0M V455 =+=>= −∑

1,00Mω8,00ω4,003

8M

V

5445

+=++−=−

( )III=>=++−=>=∑ 0ω8,00ω4,00350M 545

Ecuación de Piso:

Recordando que M

ij0ijij QQQ += ; y que en este caso los 0

ijQ son nulos debido a que no hay

cargas horizontales actuando en la estructura; y que a los MijQ , los considero positivos debido a

que todavía no se conoce su verdadero signo. Nota: Como queremos calcular el equilibrio de la barra para obtener sus esfuerzos de

corte, es conveniente trabajar con la acción del nudo sobre la barra.



ESTRUCTURAS


0QQ0F 2413H =+=>= −−∑

313313313

31

1331M13 Ψ3

4ω32

3

Ψ2ω34Ψ2ω3

2

lMM

Q −−−

−

−−− −=

−+−=

+=

314314314

42

2442M24 Ψ3

4ω32

3

Ψ2ω34Ψ2ω3

2

lMMQ −

−−

−

−−− −=

−+−=

+=

( )IV=>=−+=>= −∑ 0Ψ38ω3

2ω320F 3143H

Sistema de Ecuaciones

0Ψ38-0ω3

2ω320

00ω8ω4035

0Ψ2-ω4ω352ω43

50Ψ2-0ω4ω3

281,00

3143

54

31543

3143

=

=−

=

=

−

−

−

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

0,0519738Ψ0,2871632ω

0,156826ω0,051068ω

0,051973810000,28716320100

0,15682600100,0510680001

31

5

4

3

−==

−=−=

=>

−==

−=−=

−

Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de recurrencia se obtienen los

valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.

tmtmtmtmtmtmtmtm

001M1050M462M0,036M562M00060M0340M0,07M

45243413

54424331

,,,,,,

−=−=−===−=−==

−−−−

−−−−



ESTRUCTURAS


Diagrama de Momentos Flectores

Diagrama de Esfuerzos de Cortantes

Diagrama de Esfuerzos de Normales



ESTRUCTURAS


Diagrama de Cuerpo Libre



ESTRUCTURAS


Ejercicio Nº2:

2t

5t

1,5t

1 2

3 4

5

6

q= 2t/mq= 3t/m

q= 4t/m

q= 3t/m

3I°

4I°

I°

I°

3I°

Datos (por condición de vinculo): ω1 = ω4 = 0 Incógnitas: ω2 ; ω3 ; ω5 ; ω6; Ψ1-2 ; Ψ3-4; Ψ5-6 ; Ψ2-5

Como el método no considera deformaciones por esfuerzo normal, entonces el desplazamiento de los nudos 2, 3 y 5 será el mismo.

Δ = Δx2 = Δx3 = Δx5 Luego: Δ = -l1-2 · Ψ1-2 = l3-4 · Ψ3-4 = l5-6 · Ψ5-6 = función Δ Ψ1-2 = -5/8 Ψ3-4 Ψ5-6 = 5/6 Ψ3-4

Mis incógnitas serán entonces : ω2 ; ω3 ; ω5 ; ω6; Ψ3-4; Ψ2-5 Cálculo de los 0

ijM

tm09,3M02-1 =

tm59,3M01-2 −=

tm083,2MM 03-4

04-3 =−=

tm84,1M05-2 =

tm45,2M02-5 −=

tm25,2MM 05-6

06-5 =−=



ESTRUCTURAS


Cálculo de los ijM


[ ]ijjiij

ij0ijij Ψ3ωω2

lIE2

MM ⋅−+⋅⋅⋅⋅

+=

• Barra 1-2

[ ] 3-423-1312-1

2-102-12-1 Ψ16

45ω2309,3Ψ3ωω2

l2MM ++=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I

[ ] 3-421-2121-2

1201-21-2 Ψ16

45ω359,3Ψ3ωω2l

2MM ++−=⋅−+⋅⋅⋅

+= −I

• Barra 2-3

[ ] 323-2323-2

3-203-23-2 ωω2Ψ3ωω2

l2MM +=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I

[ ] 323-2232-3

2-302-32-3 ω2ωΨ3ωω2

l2MM −=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I

• Barra 3-4

[ ] 3-434-3434-3

4-304-34-3 Ψ5

48ω532083,2Ψ3ωω2

l2MM −+=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I

[ ] 4-334-3343-4

3-403-43-4 Ψ5

48ω516083,2Ψ3ωω2

l2MM −+−=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I

• Barra 2-5

[ ] 5-2525-2525-2

5-205-25-2 Ψ7

12ω74ω7

884,1Ψ3ωω2l

2MM −++=⋅−+⋅⋅⋅

+=I

[ ] 5-2255-2252-5

2-502-52-5 Ψ7

12ω74ω7

845,2Ψ3ωω2l

2MM −++−=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I

• Barra 5-6

[ ] 3-46565-6565-

65-065-65- Ψ5ω2ω425,2Ψ3ωω2

l2MM −++=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I

[ ] 3-45665-655-6

5-605-65-6 Ψ5ω2ω425,2Ψ3ωω2

l2MM −++−=⋅−+⋅⋅

⋅+=

I



ESTRUCTURAS



Equilibrios de Momentos:

• Nudo (3):

0MM0M 23433 =+=>= −−∑

3243

3-4343

ω2ωM

Ψ548ω5

32083,2M

−=

−+=

−

−

( )I0Ψ548ω5

42ω083,20M 3-4323 =>=−++=>=∑

• Nudo (2):

0MMM0M 5232122 =++=>= −−−∑

)(0Ψ712Ψ16

45ω74ωω7

43-1,75 0M

Ψ712ω7

4ω7884,1

ωω2

Ψ1645ω359,3

5-23-45322

5-25252

3232

3-4212

II

M

M

M

⇒=−++++⇒=

−++=

+=

++−=

∑−

−

−

• Nudo (5):

0MM0M 6-5255 =+=>= −∑

3-46565

5-22525

Ψ5ω2ω425,2

Ψ712ω7

4ω7845,2

−++=

−++−=

−

−

M

M

( )III0Ψ712Ψ5ω2ω7

36ω742,00M 5-23-46525 =>=−−+++−=>=∑

• Nudo (6):

0MM0M v-6566 =+=>= −∑

( )VI0Ψ5ω4ω237,30M 3-4656 =>=−++=>=∑



ESTRUCTURAS


Ecuación de Piso:

2t

2

3

5

Q

Q

Q

3-4

2-1

5-6

Q +3-42t + Q5-6-Q =02-1

5

Q5-2 Q = 05-2

0FH =∑

)(0Ψ4948ω49

24ω492403,386,2

lMMQ 255225

5225M25 V⇒=−++−=−

+= −

−

−−−

0FV =∑

34334

3443M43 Ψ25

192ω259655

lMMQ −

−

−−− −+=+

+=

34212

2112M12 Ψ32

45ω89

845

211

lMMQ −

−

−−− ++−=−

+=

345512

2112M65 Ψ3

10-ω2ω229

29

lMMQ −

−

−−− ++=+

+=

( )IV0Ψ12,42-ω2ω2ω2596ω8

98

1370F 346532V =>=+++−=>= −∑



ESTRUCTURAS



1 42/5 0 0 -48/5 0 -2.083 43/7 1 4/7 0 45/16 -12/7 1,75 4/7 0 36/7 2 -5 -12/7 0,2 0 0 2 4 -5 0 -3,37

24/49 0 24/49 0 0 -48/49 3,03 -9/8 96/25 2 2 -12,42 0 -137/8

Este sistema arrojo los siguientes resultados: ω2 = -3,56 ω3 = 4,67 ω5 = 1,67 ω6 = 3,25 Ψ3-4 = 3,93 Ψ2-5 = -4,05

Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de recurrencia se obtienen los valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.

tmtm

tmtmtmtmtmtmtmtm

62,5M,344M

33,4M87,24M78,5M,223M65,5M76,5M45,2M,808M

56

65

25342312

52433221

−=−=

=−==−==−=−==

−

−

−−−−

−−−−


2t

5t

1,5t

1 2

3 4

5

q= 2t/mq= 3t/m

q= 4t/m

q= 3t/m

3I°

4I°

I°

I°

3I°

5,9t

3,37t

1,66t

17,26t

13,82t

24,87tm

8,80tm



ESTRUCTURAS



1 2

3 4

5

8,80tm

-3,22 tm

5,65tm2,45tm

-5,76tm5,76tm

24,87tm

4,33tm

4,33tm

-4,33tm

-5,62tm 5,62tm

Diagrama de Esfuerzos de Cortantes

1 2

3 4

5

5,9t

4,10t

1,66t

17,26t

5,26t

5t

1,5t

6t

7,82tm

1,18t



ESTRUCTURAS


Diagrama de Esfuerzos de Normales

1 2

3 4

5

-3,37t

1,16t

5,26t

1,66t



ESTRUCTURAS


Ejercicio Nº3:

1

2 3

4

3t q= 2t/m

3I°

3I°

5I°

Datos (por condición de vinculo): ω4 = 0 Incógnitas: ω1 ; ω2 ; ω3 ; Ψ1-2 ; Ψ2-3; Ψ3-4 Calculo los desplazamientos de los nudos en función de una sola incógnita Δ Luego: Ψ1-2 = 0,4 Δ Ψ3-2 = - 0,10 Δ Ψ4-3 = 0,25 Δ Mis incógnitas serán entonces : ω1 ; ω2 ; ω3 ; Δ

Cálculo de los 0ijM

tm04,6MM 0

2-30

3-2 =−=



ESTRUCTURAS


Cálculo de los ijM


[ ]ijjiij

ij0ijij Ψ3ωω2

lIE2

MM ⋅−+⋅⋅⋅⋅

+=

• Barra 1-2

Δ−+= 88,2ω4,2ω8,4M 212-1 Δ−+= 88,2ω8,4ω4,2M 211-2

• Barra 2-3

Δ+++= 6,0ω2ω404,6M 323-2 Δ+++−= 6,0ω4ω204,6M 322-3

• Barra 3-4

Δ−= 34-3 ω68,2M Δ−= 34,1M 3-4


Equilibrios de Momentos:

• Nudo (1):

0M0M 211 ==>= −∑

( )I088,2ω4,2ω8,4 21 =>=Δ−+ • Nudo (2):

0MM0M 32122 =+=>= −−∑

)(028,2ω2ω8,8ω4,204,6 0M6,0ω2ω404,6

88,2ω8,4ω4,2

3212

3232

2112

IIMM

⇒=Δ−+++⇒=

Δ+++=Δ−+=

∑−

−

• Nudo (3):

0MM0M 4-3235 =+=>= −∑

Δ+++−= 6,0ω4ω204,6M 322-3

Δ−= 34-3 ω68,2M ( )III04,0ω68,6ω204,60M 323 =>=Δ−++−=>=∑



ESTRUCTURAS


Ecuación de Piso:

2 3

H 2-1 H 3-4H +2-1 H =03-4

Δ−+=+

=−

−−− 3,2ω88,2ω88,2

lMMH 21

21

1221M12

Tomo momento en el punto 4

M(4) = -V3-4 · 2m + H3-4 · 4m + 4-3

4334

lMM −− + = 0

Despejo el valor de H3-4

H3-4 = −−

243V

41

lMM

4-3

4334 ⋅+ −−

V3-4 = 6,5t - 3-2

2332

lMM −− + = Δ−−− 24,0ω2,1ω2,15,6 32

Entonces Δ−−−=− 01,0ω82,0ω6,025,3 3243H



ESTRUCTURAS


La ecuación de piso H2-1+H3-4 = 0 será entonces,

)(031,2ω82,0ω28,2ω88,225,3 321 IV=>=Δ−−++


( )4,8 2,4 0 ‐2,88 0 2,4 8,8 2 ‐2,28 ‐6,040 2 6,68 ‐0,4 6,04

2,88 2,28 ‐0,82 ‐2,31 ‐3,25

Este sistema arrojo los siguientes resultados: ω1 = 1,92 ω2 = −0,86 ω3 = 1,31 Δ = 2,49

Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de Recurrencia se obtienen los valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.

tmtmtmtmtmtm73,0M02,1M,706M

02,1M70,6M0M

342312

433221

−=−=−====

−−−

−−−


1

2 3

4

3t q= 2t/m

3I°

3I°

5I°

2,68t

7,64t

5,36t

2,68t0,73tm



ESTRUCTURAS



1

2 3

4

0tm

-6,70tm

6,70tm

-1,02tm

6,15tm

1,02tm

-0,73tm

Diagrama de Esfuerzos Cortantes

1

23

4

2,68t

2,68t

7,64t

2,64t

0,36tm

5,36t

0,065t

0,065t



ESTRUCTURAS


Diagrama de Esfuerzos Normales

1

23

4

-7,64t

-2,68t

-6,16t

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