INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE FELIPE CARRILLO PUERTOEXTENSIN TULUMNOMBRE DE LA ASIGNATURA:INVESTIGACION DE OPERACIONES NOMBRE DEL DOCENTE:ING. GERARDO CHI CAUICH NOMBRE DEL TRABAJO:INFORMACION DE LA UNIDAD NOMBRE DE LA CARRERA:INGENIERIA EN GESTION EMPRESARIALSEMESTRE: 4 GRUPO: CNOMBRE DE LOS INTEGRANTES:ARELY RIOS MARTINEZKATIA MAYTE ROMAN TUZ

TULUM, Q. ROO A 27 DE ABRIL DEL 2015INDICE

INTRODUCCION

METODO DE ESQUINA NOROESTE El mtodo de la esquina es un mtodo de programacin lineal hecho a mano para encontrar una solucin inicial factible del modelo, muy conocido por ser el mtodo mas fcil al determinar una solucin bsica factible inicial, pero al mismo tiempo por ser el menos probable para dar una solucin inicial acertada de bajo costo, debido a que ignora la magnitud relativa de los costos. es un proceso utilizado para resolver problemas de transporte o asignacin, si bien es un mtodo no exacto tiene la ventaja de poder resolver problemas manualmente y de una forma rpida, muy cercano al valor ptimo.Cada problema debe representarse en forma de matriz en donde las filas normalmente representan las fuentes y las columnas representan los destinos.Los pasos para solucionar un problema de programacin lineal por este mtodo son:Paso 1. Seleccionar la celda de la esquina oroeste (esquina superior izquierda) para un envo.Paso 2. Hacer el ms grande envo como pueda en la celda de la esquina noroeste. Esta operacin agotara completamente la disponibilidad de suministros en un origen a los requerimientos de demanda en un destino.Paso 3. Corregir los nmeros del suministro y requerimientos para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regrese al paso 1.Supongamos el siguiente ejemplo:Ejemplo1:La empresa qumicos del caribe S.A posee 4 depsitos de azufre que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), adems por cada litro que se haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las capacidades de cada depsito son de 100L, 120L, 80L, 95L respectivamente. La empresa tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y 90L de la sustancia D.Los costos que reaccionan la produccin de cada qumico con cada depsito se presenta a continuacin:ABCD

deposito12346

deposito21583

deposito38514

deposito44563

Tabla1Formule una solucin para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos:De acuerdo a las especificaciones del problema podemos completar la tabla de la siguiente manera:

Tabla2El siguiente paso ser seleccionar el nmero de la esquina ms al noroeste:

Tabla3En este punto se deber asignar la mayor cantidad de unidades posibles, de manera que no sobrepase la capacidad de qumicos en litros de cada depsito y los litros requeridos de cada qumico. En este caso se deber asignar el nmero 100.

Tabla4Debido a que el deposito 1 se ha abastecido completamente se llega a una solucin: A1=100, (es decir el deposito 1 suministrara 100 litros a la sustancia A), no obstante no es necesario tener en cuenta esa fila. Se proceder ahora a elegir nuestra siguiente esquina:

Nuestra nueva esquina ser 1, como lo indica la tabla 5, adems los litros requeridos para el deposito A sern 25 esto es porque A1=100, es decir ya se le han encargado 100 litros al depsito 1 y por lo tanto los litros restantes sern 25.Las unidades para nuestra nueva esquina sern 25. El procedimiento contina como se hizo anteriormente.

Ahora el deposito 2 contiene 95 litros en total puesto que se le ha restado las 25 unidades de A2. Nuestro nuevo punto esquina ser el 5:

La unidad que se tomara ser 50:

Ahora que todos los litros requeridos por la sustancia B han sido completados por lo tanto no es necesaria esta columna. Presentaremos nuestra nueva esquina con su respectiva unidad se muestra a continuacin:

La columna del depsito 2 ha sido completada por lo tanto no se tendr en cuenta, el numero 85 resulta de la resta de 130-45. Nuestra nueva esquina con la respectiva unidad se muestra a continuacin:

La columna del depsito 3 ha sido completada por tanto ya no se tendr en cuenta, nuestra nueva esquina con nuestra nueva unidad ser:

Nuestra ltima tabla queda como sigue:

El resultado final para las asignaciones ser:A1: 100 (se le asigna 100 litros al depsito 1 para suministrarle al qumico 2).A2: 25 (se le asigna 25 litros al depsito 2 para suministrarle al qumico 2).B2: 50 (se le asigna 50 litros al depsito 2 para suministrar al qumico B)C2: 45 (se le asigna 45 litros al depsito 2 para suministrar al qumico C)C3:80 (se le asigna 80 litros al depsito 3 para suministrar al qumico C)C4: 5 (se le asigna 5 litros al depsito 4 para suministrar al qumico C)D4: 90 (se le asigna 90 litros al depsito 4 para suministrar al qumico D)En tabla el resultado final ser:

ABCD

deposito1100000100

deposito22550450120

deposito30080080

deposito40059095

1255013090

MTODO DEL COSTO MNIMO

Elmtodo del costo mnimoo delos mnimos costoses un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolverproblemas de transporte o distribucin, arrojando mejores resultados que mtodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho ms sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignacin de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el mtodo.ALGORITMO DE RESOLUCIN DEL COSTO MNIMO PASO 1: De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restndole la cantidad asignada a la celda. PASO 2: En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 despus del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) segn sea el caso. PASO 3: Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo rengln o columna, si este es el caso se ha llegado al final el mtodo, "detenerse". La segunda es que quede ms de un rengln o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1".

EJEMPLO DEL MTODO DEL COSTO MNIMOPor medio de este mtodo resolveremos el problema de transporte propuesto y resuelto en mdulos anteriores mediante programacin lineal.EL PROBLEMAUna empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla. Las plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

SOLUCIN PASO A PASO

Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogot y a la oferta de la "Planta 3", en un proceso muy lgico. Dado que Bogot se queda sin demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.

Nuevo proceso de asignacin

Nuevo proceso de asignacinwww.ingenieriaindustrialonline.comNuevo proceso de asignacinwww.ingenieriaindustrialonline.comUna vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedar una fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el mtodo.www.ingenieriaindustrialonline.comEl cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda as:www.ingenieriaindustrialonline.comLos costos asociados a la distribucin son:

En este caso el mtodo del costo mnimo presenta un costo total superior al obtenido medianteProgramacin Linealy elMtodo de Aproximacin Vogel, sin embargo comnmente no es as, adems es simple de desarrollar y tiene un mejor rendimiento en cuanto a resultados respecto alMtodo de la Esquina Noroeste.

MTODO DE APROXIMACIN DE VOGEL

El mtodo de aproximacin de Vogel es un mtodo heurstico de resolucin deproblemas de transportecapaz de alcanzar una solucin bsica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realizacin de un nmero generalmente mayor de iteraciones que los dems mtodos heursticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.

ALGORITMO DE RESOLUCIN DE VOGEL

El mtodo consiste en la realizacin de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 ms que asegura el ciclo hasta la culminacin del mtodo.PASO 1Determinar para cada fila y columna una medida de penalizacin restando los dos costos menores en filas y columnas.PASO 2Escoger la fila o columna con la mayor penalizacin, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el nmero mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).PASO 3De la fila o columna de mayor penalizacin determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedar satisfecha por ende se tachar la fila o columna, en caso de empate solo se tachar 1, la restante quedar con oferta o demanda igual a cero (0).PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse.- Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables bsicas en la fila o columna con el mtodo de costos mnimos, detenerse.- Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables bsicas cero por el mtodo del costo mnimo, detenerse.- Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.

EJEMPLO DEL MTODO DE APROXIMACIN DE VOGEL

Por medio de este mtodo resolveremos el ejercicio de transporte resuelto en mdulos anteriores medianteprogramacin lineal.EL PROBLEMAUna empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.www.ingenieriaindustrialonline.comFormule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.SOLUCIN PASO A PASOEl primer paso es determinar las medidas de penalizacin y consignarlas en el tabulado de costos, tal como se muestra a continuacin.www.ingenieriaindustrialonline.comEl paso siguiente es escoger la mayor penalizacin, de esta manera:www.ingenieriaindustrialonline.comEl paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como mximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3".www.ingenieriaindustrialonline.comDado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe desaparecer.www.ingenieriaindustrialonline.comSe ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el procesowww.ingenieriaindustrialonline.comIniciamos una nueva iteracinwww.ingenieriaindustrialonline.comContinuamos con las iteraciones,www.ingenieriaindustrialonline.comIniciamos otra iteracinwww.ingenieriaindustrialonline.comAl finalizar esta iteracin podemos observar como el tabulado queda una fila sin tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables bsicas y hemos concluido el mtodo.www.ingenieriaindustrialonline.comLos costos asociados a la distribucin son:www.ingenieriaindustrialonline.com

De esta manera hemos llegado a la solucin a la cual tambin llegamos mediante programacin, definitivamente desarrollar la capacidad para modelar mediante programacin lineal y apoyarse de una buena herramienta como WinQSB, STORM, LINGO, TORA etc. termina siendo mucho ms eficiente que la utilizacin de los mtodos heursticos para problemas determinsticos; sin embargo cabe recordar que uno de los errores ms frecuentes en los que caen los ingenieros industriales es en tratar de adaptar a sus organizaciones a los modelos establecidos, cabe recordar que son los modelos los que deben adaptarse a las organizaciones lo cual requiere de determinada habilidad para realizar de forma inmediata cambios innovadores para sus fines, en pocas palabras un ingeniero industrial requiere de un buen toque de HEURSTICA en su proceder.

Mtodo de TransporteEl problema general del transporte se refiere a ladistribucindemercancadesde cualquier conjunto de centro de suministro, denominadosorgenes (fuentes), hasta cualquier conjunto de centros derecepcin, llamados destinos, de tal forma que se minimicen los costos totales dedistribucin. Cada origen tiene que distribuir ciertas unidades a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de unidades que deben recibir de losorgenes.

Representacinde una red de transporte

Como se puede observar cualquier modelo de transporte se compone de unidades de un bien a distribuir, morgenes, n destinos, recursos en el origen, demandas en los destinos y costos dedistribucinpor unidad. Adicionalmente, se tienen varios supuestos:

Supuesto de requerimientos: cada origen tiene un suministro fijo de unidades que se deben distribuir por completo entre los destinos.Supuesto de costo: el costo de distribuir unidades de un origen a un destino cualquiera es directamente proporcional alnmerode unidades distribuidas.Propiedad de soluciones factibles: un problema de transporte tiene soluciones factible si yslosi la sumatoria de recursos en lo morgeneses igual a la sumatoria de demandas en los destinos.Propiedad de soluciones enteras: En los casos en los que tanto los recursos como las demandas toman un valor entero, todas las variablesbsicas(asignaciones), de cualquiera de las solucionesbsicasfactibles (inclusive lasolucinoptima), asumentambinvalores enteros.Debido a la particularidad del modelo de transporte la forma tabular Smplex adquiere una estructura que facilita el proceso deasignacin a las variablesbsicas, tal se muestra acontinuacin:

Forma TabularSmplexTransporte

En los renglones se ubican losorgenes indicando en la columna de la derecha los recursos (oferta disponible). En las columnas se ubican los distintos destinos indicando en elltimorengln los totales demandados. En el pequeo recuadro ubicado en la margen superior derecha se indica el costo de distribuir una unidad desde el origen hasta ese destino y en la parte inferior de cada recuadro se registran las asignaciones Xi para cada variable. En los casos donde la sumatoria de los recursos y las demanda no sean las mismas, se agrega un origen o destino ficticio con la cantidad que permita cumplir la propiedad de soluciones factibles.

Despusde planteado el modelo de transporte, el siguiente paso es obtener unasolucinbsicafactible, la cual se puede obtener a partir de cualquiera de los 3 criterios siguientes:Regla de la esquina noroeste.Mtodode la ruta preferente.Mtododeaproximacinde VogelAntes de explicar el procedimiento para cada uno de estos criterios deasignacinpara encontrar lasolucininicial BF, se debe conocer elnmerode variablesbsicas, el cual se determina con laexpresin: m + n - 1. En el modelo anterior 3 + 2 - 1 = 4 variablesbsicas.Regla de la esquina noroeste:la primeraeleccin X11,es decir, se inicia laasignacinpor la esquina noroeste de tabla. Luego sedesplazaa la columna de la derecha sitodavaquedan recursos en ese origen. De lo contrario se mueve alreglodebajo hasta realizar todas las asignaciones.Mtodode la ruta preferente:se fundamenta en laasignacina partir del costomnimode distribuir una unidad. Primero se identifica este costo se realiza laasignacin de recursosmximaposible y luego se identifica el siguiente costo menor realizando el mismo procedimiento hasta realizar todas las asignaciones.Mtodo deasignacin de Vogel:para cadareglny columna, se calcula sudiferencia, que se define como la diferenciaaritmticaentre el costo unitariomspequeo y el costo menor que le sigue en eserenglno columna. En elrenglno columna con la mayor diferencia, se le asigna al menor costo unitario. Los empates se pueden romper de manera arbitraria.De estos 3 modelos para encontrar lasolucininicialBF, elmtodode Vogel ha sido elmsutilizado. Considerando que este criterio toma en cuenta los costos dedistribucinde formamseficaz, ya que la diferencia representa elmnimo costo adicional que se incurre por no hacer unaasignacinen la celda que tiene el menor costo ya sea columna orengln.

Posterior a estaasignacininicial se requiere un procedimiento que permita las siguientes iteraciones y se obtenga lasolucinptima.

Prueba de optimalidad:unsolucinBF esptima si y slo si Cij- Uij-Vij>= 0 para todo (i,j) tal que Xijes nobsica. Primeramente para todo variablebsica de lasolucinactual se tiene queCij- Uij-Vij= 0, por lo que se deduceCij=Uij-Vijpara todo (i,j) tal que Xijes bsica. Para los fines de facilitar los diferentes de las diferente ecuaciones resultantes se asume el valor de U1como cero.

En cada iteracin se determina una variablebsicaentrante, una variablebsicasaliente y luego la nuevasolucinbsicafactible.Paso 1:la variable de entrada se determina a partir de larelacinCij- Uij-Vij, donde la variable Xij con el resultado ms negativo es la que contribuye en una mejor medida a disminuir el costo total, se debe tener en cuenta que estadisminucinva enproporcina laasignacinresultante. Paso 2: la variablebsicasaliente es aquella variablebsicaque disminuya su valor a cero, es decir, es aquella variable de menorasignacin y queparticipa en lareaccinen cadena que se establece para compensar los cambios de asignar valor a la variable entrante que permitan satisfacer las restricciones de recursos y demandas. En este punto, se definen dos tipos variables para receptoras y donadoras, de acuerdo a lavariacinde signo que se produzca en elpolgonoque permite la transferencia desde la variable de salida a la variable entrante.Paso 3: se encuentra la nuevasolucinBF, sumando el valor de la variablebsicasaliente a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta a las asignaciones de las celdas donadoras.

Para los fines de ejemplo, se selecciona el problema 8.2-8 ubicado en la pgina 325 del libro de texto. La Cost-Less Corp., surte sus cuatro (4) tiendas desde sus cuatro(4)plantas y desea minimizar los costos dedistribucin. Acontinuacinse muestra la tabla con las informaciones de los costos dedistribucin:

Planteando este problema atravsde Solver Excel (ver pgina relacionada en este blog) y utilizando la primeraasignacincon elmtodode la esquina noroeste, se obtiene:

SolucinBsicaInicial

SolucinOptima

Utilizando el programa TORA se puede visualizar cada una de las iteraciones, se asume el valor de U1 como cero en cada una de las iteraciones.

En la primera iteracin, la variable de entrada es X14 y la variable de salida es X11, con una transferencia de 10 unidades, con un resultado de -800 por lo que lareduccinal costo total es de 8,000.

Iteracin1

En la segunda iteracin, la variable de entrada es X23 y la variable de salida es X22, con una transferencia de 0 unidades, con un resultado de -600 por lo que lareduccinal costo total es de 0.

Iteracin2

En la tercera iteracin, la variable de entrada es X42 y la variable de salida es X32, con una transferencia de 10 unidades, con un resultado de -600 por lo que lareduccinal costo total es de 6,000.

Iteracin3

En la cuarta iteracin, la variable de entrada es X42 y la variable de salida es X32, con una transferencia de 0 unidades, con un resultado de -400 por lo que lareduccinal costo total es de 0.

Iteracin4

Lasolucinptima presenta un costo total de 11,000 y ladistribucin de lasdiferentes plantas hacia las diferentes tiendas es como sigue:X14, Planta 1 - Tienda 4 = 10 unidadesX21, Planta 2 - Tienda 1 = 20 unidadesX23, Planta 2 - Tienda 3 = 0 unidadesX33, Planta 3 - Tienda 3 = 10 unidadesX34, Planta 3 - Tienda 4 = 10 unidadesX23, Planta 4 - Tienda 1 = 0 unidadesX42, Planta 4 - Tienda 2 = 10 unidades

SolucinOptima