m´etodos de algunas transformadas integrales para ...
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Universidad Tecnol´ ogica de pereira Facultad de Ciencias B´ asicas m ´ etodos de algunas transformadas integrales para determinar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales Monograf´ ıa como trabajo de grado presentada por: jhon fredy gonz´ alez para optar al grado de: licenciado en matem´ aticas y f´ ısica Trabajo de grado dirigido por: Fernando Mesa Ms.C Profesor t´ ıtular, Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias B´asicas Universidad Tecnol´ogica de Pereira Pereira 9 de diciembre de 2015 Programa de Licenciatura en Matem´ aticas y F´ ısica
Transcript of m´etodos de algunas transformadas integrales para ...
Universidad Tecnologica de pereira
Facultad de Ciencias Basicas
metodos de algunas
transformadas integrales para
determinar las soluciones de
ecuaciones diferenciales
ordinarias y parciales
Monografıa como trabajo de grado presentada por:
jhon fredy gonzalez
para optar al grado de:
licenciado en matematicas y fısica
Trabajo de grado dirigido por:
Fernando Mesa Ms.C
Profesor tıtular, Departamento de Matematicas
Facultad de Ciencias Basicas
Universidad Tecnologica de Pereira
Pereira 9 de diciembre de 2015
Programa de Licenciatura en Matematicas y Fısica
2
Indice general
1. Introduccion 9
2. Objetivos 13
2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. La transformada de Fourier 15
3.1. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Serie compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Integral de Fourier compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Propiedades y aplicaciones de la transformada de Fourier . . . . . . . . 35
3.5.1. Transformada de Fourier de una derivada . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.2. Diferenciacion respecto a la variable de frecuencia . . . . . . . . 36
3.5.3. La transformada de Fourier de una integral . . . . . . . . . . . . 37
3.5.4. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.5. La transformada de Fourier ventaneada . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6. Tabla de transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. La transformada de Laplace 43
4.1. Transformada de Laplace y su relacion con la transformada de Fourier . 43
4.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias y parciales 49
5.1. Ecuacion de calor en un dominio infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
4 Indice general
5.2. La ecuacion de difusion no-homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3. Problemas en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4. Aplicacion a problemas de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6. Conclusiones 71
7. Bibliografıa 73
Indice de figuras
3.1. Representacion trigonometrica de numero complejo. . . . . . . . . . . . 19
3.2. Significado geometrico de la convergencia en media. . . . . . . . . . . . 22
3.3. Discontinuidad de la convergencia en media. . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Funcion pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5. Espectro de amplitud de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6. Representacion grafica corrimiento del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7. Grafica de f(t) ejemplo (3.4.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1. Barra metalica de longitud infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2. Grafica de f(x) = e−x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3. Barra metalica de longitud finita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4. Difusion unıdimensional en una columna finita. . . . . . . . . . . . . . 61
5.5. Grafica de c(x, t) sobre un intervalo infinitamente pequeno. . . . . . . . 62
5.6. Difusion a lo largo de una columna finita. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7. Grafica del problema (5.4.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5
6 Indice de figuras
Indice de cuadros
3.1. Tabla de Transformadas de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7
8 Indice de cuadros
1
Introduccion
Este problema se origino inicialmente en el campo de la astronomıa, de hecho Neu-
gebauer (1952) descubrio que en Babilonia se utilizaba una forma primitiva de las series
de Fourier en la prediccion de ciertos eventos celestiales. En nuestra historia moderna
sobre el uso de las series de Fourier se origino con D′alembert en (1774) con su trabajo
sobre las oscilaciones en las cuerdas del violın. El desplazamiento u = u(t, x) de una
cuerda de violın, como una funcion del parametro temporal t y de la posicion x, es la
solucion de la ecuacion diferencial parcial unidimensional:
∂2u∂t2
= c2 ∂2u
∂x2 , t > 0, 0 < x < l,
utilizando las condiciones iniciales u(t, 0) = u(t, l) = 0 para t ≥ 0, ∂u∂t(0, x) = 0 para
0 < x < l. Este problema tiene como solucion la superposicion de dos ondas viajando
en direcciones opuestas a velocidad c, como lo expresa la formula de D′alembert:
u(t, x) = 12f(x+ ct) + 1
2f(x− ct),
con lo cual f es una funcion impar de periodo l que se anula en los puntos x = nπl,
donde n es un numero natural.
Euler en (1748) postulo que tal solucion podrıa ser identificada como una serie de la
forma:
f(x) =∑∞
n=1 f(n) sin(nπxl),
y como consecuencia:
u(t, x) =∑∞
n=1 f(n) cos(nπtl) sin(nπx
l).
9
10 1. Introduccion
Esta manera de interpretar estos fenomenos fueron tambien adoptadas por D.Bernoulli
(1753) y Lagrange(1759).
La expresion:
f(n) = 2l
∫ l
0f(x) sin(nπx
l)dx,
para calcular los coeficientes de la serie fue descrita por primera vez en un artıculo
escrito por Euler en (1777).
El aporte realizado por Fourier empezo en (1807) con sus estudios del problema del
flujo de calor donde:
∂u∂t
= 12∂2u∂x2 ,
sustentado ante la Academie Des Sciences en (1811) y publicado en gran parte como
Theorie Analytique de la Chaleur en (1822). Fourier realizo intentos muy serios para
concluir la demostracion, que cualquier funcion que posea derivada puede ser expresada
en una serie trigonometrica.
Un ensayo positivo de esta teorıa fue dada por Dirichlet en (1829). Riemann por su
parte tambien hizo grandes aportes para solucionar este problema.
Actualmente el analisis de Fourier ha sido catapultado por matematicos de la talla de
Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros.
Por otro lado para estudiar la transformada de Laplace se tienen en cuenta algunos
apartes de su historia; la transformada de Laplace posee su nombre en mencion a Pierre
Simon Laplace (1749-1827) astronomo y matematico frances popular en su tiempo y se
le conocıa como el Newton de Francia. Las principales materias de su interes fueron la
mecanica celeste o movimiento planetario, la teorıa de probabilidades. Algunos de sus
aportes son:
Mecanique Celeste gran tratado sobre cuestiones de gravitacion publicado en cin-
co volumenes entre los anos de (1799) y (1825). La principal herencia de esta
publicacion se resume en el desarrollo de la teorıa de potencial, con implicaciones
de largo alcance en ramas derivadas de la fısica que van desde la gravitacion, la
mecanica de fluıdos, el magnetismo y la fısica atomica.
11
Theorie Analytique des Probabilites que se considera el mayor aporte a esa parte
de las matematicas.
Despues de la revolucion Francesa, la ambicion y el poder polıtico alcanzaron su glorıa;
Laplace se adaptaba muy facil cambiando sus principios. El principal defecto que se le
han atribuido en contra de su buena reputacion es la omision de toda referencia a los
descubrimientos de sus predecesores y contemporaneos, dejando ver que las ideas eran
suyas del todo.
La Transformada de Laplace es una herramienta Matematica que hace parte de al-
gunas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de
Hilbert y la transformada de Mellin, entre otras. Estas transformadas estan definidas
por medio de una integral impropia y cambian una funcion que posee una variable de
entrada, en otra funcion en otra variable distinta.
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales linea-
les y ecuaciones integrales; aunque tambien se puede utilizar para resolver algunos tipos
de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes variables; en general se aplica en
la solucion de problemas con coeficientes constantes y como requisito fundamental se
deben conocer las condiciones iniciales de la misma ecuacion diferencial para encontrar
la solucion.
Su mayor ventaja sale a la luz cuando la funcion en la variable independiente que apa-
rece en la ecuacion diferencial es una funcion seccionada. Al solucionar, se resuelven
ecuaciones diferenciales usando la tecnica de la transformada, se cambia una ecuacion
diferencial por un problema algebraico. La metodologıa consiste en aplicar la transfor-
mada a la ecuacion diferencial y despues usar las propiedades de la transformada.
El problema desde ahora, consiste en encontrar una funcion en la variable independiente
que posea una cierta expresion como transformada.
La idea base de las series de Fourier es que cualquier funcion periodica de periodo T se
puede expresar utilizando la suma trigonometrica de senos y cosenos del mismo periodo
T .
12 1. Introduccion
2
Objetivos
2.1. Objetivo General
Utilizar algunas transformadas integrales para solucionar algunas ecuaciones dife-
renciales ordinarias con problemas de Cauchy Schwarz y en la frontera.
2.2. Objetivos especıficos
1. Describir el proceso de obtencion de la transformada de Fourier a partir de la
serie de Fourier.
2. Descripcion de las diferentes transformadas de Fourier y sus utilidades.
3. Obtener la transformada de Laplace a partir de un caso especifico de aplicacion
de la transformada de Fourier y su aplicacion para resolver algunas ecuaciones en
derivadas.
4. Descripcion detallada de la utilizacion de la transformada de Fourier para solu-
cionar problemas con dominios infinitos.
5. Aplicaciones de la transformada de Fourier para resolver algunas ecuaciones en
derivadas.
13
14 2. Objetivos
3
La transformada de Fourier
3.1. Serie de Fourier
Sea f(x) una funcion definida en el intervalo finito −L ≤ x ≤ L; y suponiendo
por ahora que∫ L
−Lf(x)dx existe. Se desea encontrar la posibilidad de elegir numeros
{an}∞n=0 , {bn}∞n=1 tales que:
f(x) =1
2a0 +
∞∑
n=1
[an cos
(nπxL
)+ bn sen
(nπxL
)], (3.1)
para −L ≤ x ≤ L. En algunas ocasiones es complicado cumplir con estas condiciones,
pero no es imposible ya que esto puede suceder bajo ciertas restricciones; la primera
de ellas es asumir que la ecuacion (3.1) es cierta; y para conocer los coeficientes que
aparecen en la ecuacion (3.1), Fourier conocıa un ingenioso metodo para su obtencion,
para lo cual tomaremos el siguiente lema.
Lema: Sean m y n numeros enteros no negativos, entonces:
1. ∫ L
−L
cos(nπx
L
)sen
(mπx
L
)dx = 0.
2. Si m 6= n, entonces:
∫ L
−L
cos(nπx
L
)cos
(mπx
L
)dx =
∫ L
−L
sen(nπx
L
)sen
(mπx
L
)dx = 0.
15
16 3. La transformada de Fourier
3. Si n 6= 0, entonces:
∫ L
−L
cos2(nπx
L
)dx =
∫ L
−L
sen2(nπx
L
)dx = L,
el lema se puede comprobar integrando directamente las expresiones anteriores. Para
encontrar a0, se integra la serie de Fourier termino a termino, tomando como suposicion
que se puede integrar (esto es posible de la convergencia) obteniendo:
∫ L
−L
f(x)dx =1
2a0
∫ L
−L
dx+∞∑
n=1
[an
∫ L
−L
cos(nπx
L
)dx+ bn
∫ L
−L
sen(nπx
L
)dx
].
Resolviendo las integrales de la derecha las cuales se anulan, queda por resolver la
primera integral la cual se reduce a:
∫ L
−L
f(x)dx = a0L.
De aquı:
a0 =1
L
∫ L
−L
f(x)dx.
Ahora el trabajo consiste en determinar ak para cualquier entero positivo k, multipli-
cando la ecuacion (3.1) por cos(kπxL
)e integrando cada termino de la serie se obtiene:
∫ L
−L
f(x) cos
(kπx
L
)dx =
1
2a0
∫ L
−L
cos
(kπx
L
)dx
+∞∑
n=1
[an
∫ L
−L
cos(nπx
L
)cos
(kπx
L
)dx+ bn
∫ L
−L
sen(nπx
L
)cos
(kπx
L
)dx
].
En este caso casi todas las integrales de la derecha son iguales a cero, excepto la∫ L
−Lcos
(kπxL
)cos
(kπxL
)dx, que resulta cuando n = k y el resultado de esta integral
es igual a L; el lado derecho de esta ecuacion se reduce a un solo termino y la expresion
se convierte en: ∫ L
−L
f(x) cos
(kπx
L
)dx = akL,
de donde:
ak =1
L
∫ L
−L
f(x) cos
(kπx
L
)dx.
3.1. Serie de Fourier 17
Para encontrar bk para cualquier entero positivo k, multiplicando la ecuacion (3.1) por
sen(kπxL
)e integrando cada termino de la serie se obtiene:
∫ L
−L
f(x) sen
(kπx
L
)dx =
1
2a0
∫ L
−L
sen
(kπx
L
)dx
+∞∑
n=1
[an
∫ L
−L
cos(nπx
L
)sen
(kπx
L
)dx+ bn
∫ L
−L
sen(nπx
L
)sen
(kπx
L
)dx
].
De nuevo se nota que las integrales de la derecha son iguales a cero, excepto la expresion∫ L
−Lsen
(nπxL
)sen
(kπxL
)dx, que resulta cuando n = k y el resultado de esta integral es
igual a L; el lado derecho de esta ecuacion se reduce a un solo termino y la expresion
se convierte en: ∫ L
−L
f(x) sen
(kπx
L
)dx = bkL,
de donde:
bk =1
L
∫ L
−L
f(x) sen
(kπx
L
)dx.
Con lo visto anteriormente, se encontraron los coeficientes de la serie trigonometri-
ca (3.1), este argumento se utiliza para elegir los coeficientes, al menos bajo ciertas
condiciones. Es de notar que en el documento siguiente se abordara la serie compleja
y se evidenciara el aporte de la serie compleja de Fourier para la construccion de la
transformada de Fourier.
3.1.1. Serie compleja
Antes de abordar la serie compleja, se debe hacer enfasis en el manejo de los numeros
complejos, y las grandes aplicaciones que se han realizado utilizando la transformada
de Fourier, para modelar algunos fenomenos fısicos presentados en distintas areas del
conocimiento, como se puede evidenciar en la medicina, al realizar diagnosticos utili-
zando ecografıas en las cuales se pueden analizar las vibraciones de cada una de las
membranas del corazon por medio de curvas sinusoidales; adicional a esto, presenta
tambien muchas aplicaciones en el el estudio de senales. Para entrar en materia se re-
visan algunos de los mas importantes conceptos requeridos para trabajar con numeros
complejos.
Dada una pareja ordenada que representa un numero complejo a + bi, donde su
conjugado es a+ bi = a − bi e identificando a a + bi como una pareja ordenada
18 3. La transformada de Fourier
en el plano, se puede afirmar que a − bi = (a,−b); a este hecho se le denomina
reflexion de (a,b) a lo largo del eje horizontal real.
El conjugado de un producto es igual al producto de los conjugados:
zw = z w,
para cualquier numero complejo z y w.
Para representar la magnitud o modulo de cualquier numero complejo de la forma
a + bi es |a+ bi| =√a2 + b2, que es la distancia desde el origen (0,0) hasta el
punto de coordenadas (a,b); es interesante realizar el siguiente analisis
(a+ bi)(a+ bi) = a2 + b2 = |a+ bi|2 .
Si escribimos el numero complejo por medio de la letra z, se obtiene la ecuacion:
zz = |z|2 .
Ahora se verifica la ecuacion anterior utilizando coordenadas x = r cos(θ), y =
r sen(θ) para que la expresion se convierta en:
z = x+ iy = r cos(θ) + ir sen(θ) = r [cos(θ) + i sen(θ)] = reiθ,
el cual se conoce como la formula de Euler. La magnitud de r, se escribe como
r = |z| y θ se denomina argumento principal de z, lo que significa que θ es el
angulo medido en sentido antihorario desde la parte positiva del eje horizontal
real x y el punto (x, y) o (x+ iy) en el plano complejo; donde θ = arctan(yx
).
3.1. Serie de Fourier 19
b
z(r, θ)
ℑz
ℜzθ
r
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
Figura 3.1: Representacion trigonometrica de numero complejo.
La formula de Euler, permite representar las funciones seno y coseno por medio
de solo variaciones de la funcion exponencial, simplemente resolviendo las siguientes
formulas:
eix = cos(x) + i sen(x); e−ix = cos(x)− i sen(x),
para obtener ası la formula de Euler para el seno y coseno:
cos(x) =eix + e−ix
2; sen(x) =
eix − e−ix
2i. (3.2)
Para construir la serie compleja de Fourier se tiene en cuenta lo siguiente:
Sea una funcion f de variable real, periodica, con periodo p. Suponiendo que es inte-
grable en el intervalo [−p/2, p/2].Escribiendo la serie de Fourier de f(x) para dicho intervalo se obtiene:
f(x) =1
2a0 +
∞∑
n=1
[an cos(nω0x) + bn sen(nω0x)] ,
con ω0 = 2π/p, y utilizando las formulas de Euler (3.2), se obtiene:
1
2a0 +
∞∑
n=1
[an
1
2(einω0x + e−inω0x) + bn
1
2i(einω0x − e−inω0x)
].
=1
2a0 +
∞∑
n=1
[1
2(an − ibn)e
inω0x +1
2(an + ibn)e
−inω0x
]. (3.3)
20 3. La transformada de Fourier
Observando la serie (3.3), se toma
d0 =1
2a0;
y utilizando para cada numero entero positivo n
dn =1
2(an − ibn).
Reemplazando en la serie (3.3) se obtiene:
d0 +∞∑
n=1
[dne
inω0x + dne−inω0x
]= d0 +
∞∑
n=1
dneinω0x +
∞∑
n=1
dne−inω0x. (3.4)
Para continuar con el desarrollo de la serie, se obtienen los coeficientes por medio de
d0 =1
2a0 =
1
p
∫ p/2
−p/2
f(t)dt.
Luego, se utiliza para cada numero entero positivo n
dn =1
2(an − ibn)
=1
2
2
p
∫ p/2
−p/2
f(t) cos(nω0t)dt−i
2
2
p
∫ p/2
−p/2
f(t) sen(nω0t)dt
=1
p
∫ p/2
−p/2
f(t) [cos(nω0t)− i sen(nω0t)] dt
=1
p
∫ p/2
−p/2
f(t)e−inω0tdt.
Finalmente,
dn =1
p
∫ p/2
−p/2
f(t)e−inω0tdt =1
p
∫ p/2
−p/2
f(t)e−inω0tdt = d−n.
Lo siguiente en este desarrollo es aplicar este resultado en la ecuacion (3.4), reempla-
3.1. Serie de Fourier 21
zando se obtiene
d0 +∞∑
n=1
dneinω0x +
∞∑
n=1
dne−inω0x
=1
2d0 +
∞∑
n=1
dneinω0x +
∞∑
n=1
d−ne−inω0x
= d0 +∞∑
n=−∞,n 6=0
dneinω0x =
∞∑
n=−∞dne
inω0x.
Para concluir todo este desarrollo, se evidencia la definicion de la serie compleja de
Fourier, de la siguiente manera:
Sea f una funcion periodica con periodo p. Con ω0 = 2π/p la serie de Fourier compleja
esta determinada por:∞∑
n=−∞dne
inω0x,
donde:
dn =1
p
∫ p/2
−p/2
f(t)e−inω0tdt,
para n = 0,±1,±2, . . . Los numeros dn son los coeficientes de Fourier complejos de f .
Ahora si se supone que p = 2L, con ω0 = 2π/2L = π/L, la serie de Fourier compleja
viene dada por la expresion:∞∑
n=−∞dne
inω0x,
donde:
dn =1
2L
∫ L
−L
f(t)e−inω0tdt.
Cabe aclarar que en la formula dn se puede integrar en cualquier intervalo de longitud p,
debido a que f es periodica, continua o continua a trozos en el intervalo dado. Despues
de obtener la serie de Fourier compleja, esta se define formalmente a continuacion.
Definicion 3.1.1. Serie de Fourier compleja
Se define la serie de Fourier compleja como una funcion f : [−L,L] −→ C, donde
∞∑
n=−∞dne
inω0x = lımN→∞
N∑
n=−N
dneinω0x,
22 3. La transformada de Fourier
con los coeficientes de Euler para la serie de Fourier compleja dados por:
dn =1
2L
∫ L
−L
f(t)e−inω0tdt.
Teorema 3.1.1. Completitud media
Los sistemas exponencial y trigonometrico en [−L,L] son completos en el espacio V =
L2 de funciones f : [−L,L] −→ C con
∫ L
−L
|f(t)|2 dt <∞.
Una funcion f tiene |f(t)|2 integrable, es decir, la funcion f es cuadrado integrable,
entonces f es igual a la suma de su serie de Fourier en el sentido de convergencia en
media. Una representacion grafica de una funcion f trigonometrica, donde Sn es la n-
esima suma parcial de la serie de Fourier trigonometrica.
Cada Sn es una funcion suave, cuando n→∞, Sn puede converger a algo discontinuo.
Si f es discontinua, se obtiene convergencia en media, pero no convergencia uniforme.
fSnb
bc
-L L0 t0
Figura 3.2: Significado geometrico de la convergencia en media.
El area sombreada tiende a cero, es decir:
∫ L
−L
|f(t)− Sn(t)|2 dt→ 0,
suponiendo que
f : [0, 2L] −→ R′of : [−L,L] −→ R,
tenga una posible discontinuidad en t0 pertenece a [0, 2L] o [−L,L], siendo t0 = 0 o
2L, entonces f es extendida periodicamente, es decir, siendo f(t + 2L) = f(t), esta
extension periodica se muestra en la figura (3.3), para los dos casos.
3.2. Integral de Fourier 23
0 2L
f(t) = |g(t)|
(a) Continua en 0
0 2L
f(t) = g(t)
(b) Discontinua en 0
Figura 3.3: Discontinuidad de la convergencia en media.
3.2. Integral de Fourier
Si una funcion f(t) esta definida en un intervalo [−L,L], se puede representar en
la mayorıa de los puntos que pertenecen a este intervalo por medio de una serie de
Fourier. Sı f es periodica, se puede representar por su serie de Fourier en intervalos
pertenecientes a la recta real.
Lo siguiente es suponer que f(t) esta definida para cualquier t sin ser periodica. Es claro
que es imposible representar a f(t) utilizando la serie de Fourier sobre todos los puntos
de la recta real. Es de notar que si se puede realizar una representacion en terminos
de senos y cosenos, para esto se recurre a cambiar la sumatoria por una integral. Para
lograr este cambio se supone que f es totalmente integrable, es decir,∫∞−∞ |f(t)| dt
converge y que f es suave a trozos en en intervalo [−L,L]. Ahora se escribe la serie de
Fourier de f en un intervalo arbitrario [−L,L], incluyendo las formulas integrales de
los coeficientes:
1
2
∫ L
−L
f(ξ)dξ +∞∑
n=1
[(1
L
∫ L
−L
f(ξ) cos
(nπξ
L
)dξ
)cos
(nπt
L
)
+
(1
L
∫ L
−L
f(ξ) sen
(nπξ
L
)dξ
)sen
(nπt
L
)].
Con lo anterior se pretende que L→∞ y ası poder representar f(t) sobre toda la recta
real. Ahora bien se verifica el lımite al que tiende esta serie de Fourier, si es que existe,
es decir:
ωn =nπ
L;
y
ωn − ωn−1 =π
L= ∆ω.
24 3. La transformada de Fourier
Entonces la serie de Fourier en [−L,L] toma la siguiente forma:
1
2π
(∫ L
−L
f(ξ)dξ
)∆ω +
1
π
∞∑
n=1
[(1
L
∫ L
−L
f(ξ) cos(ωnξ)dξ
)cos(ωnt)
+
(1
L
∫ L
−L
f(ξ) sen(ωnξ)dξ
)sen(ωnt)
]∆ω.
(3.5)
Lo siguiente es considerar que cuando L → ∞, entonces, ∆ω → 0. En la expresion
anterior1
2π
(∫ L
−L
f(ξ)dξ
)∆ω → 0,
esta conclusion se debe a que, por hipotesis,∫ L
−Lf(ξ)dξ converge. Para analizar los otros
terminos en la expresion (3.5), se evidencia una similitud con la suma de Riemann para
una integral definida, la cual asegurara que cuando L→ ∞ y ∆ω → 0, esta expresion
tiende al lımite
1
π
∫ ∞
0
[(∫ ∞
−∞f(ξ) cos(ωξ)dξ
)cos(ωt)
+
(∫ ∞
−∞f(ξ) sen(ωξ)dξ
)sen(ωt)
]dω.
Finalmente se ha llegado a la integral de Fourier de f en la recta real. Teniendo en
cuenta las hipotesis hechas sobre f la integral de Fourier converge a
1
2(f(t−) + f(t+)) ,
para cada uno de los valores de t. Para este caso si f es continua en t, entonces esta
integral converge a f(t).
Regularmente esta integral de Fourier se escribe
∫ ∞
0
[Aω cos(ωt) + Bω sen(ωt)]dω. (3.6)
Los coeficientes de la integral de Fourier de f vienen dados por:
Aω =1
π
∫ ∞
−∞f(ξ) cos(ωξ)dξ;
3.3. Integral de Fourier compleja 25
y
Bω =1
π
∫ ∞
−∞f(ξ) sen(ωξ)dξ.
3.3. Integral de Fourier compleja
Continuando con el estudio de la integral de Fourier, se puede establecer la relacion
que posee con la serie de Fourier compleja, es decir tambien se puede obtener la integral
de Fourier compleja, la cual abre una vıa para encontrar la transformada de Fourier.
Si se supone una funcion f suave a trozos en cada intervalo [−L,L], y que∫∞−∞ |f(t)| dt
es convergente. Entonces para cualquier t,
1
2(f(t−) + f(t+)) =
1
π
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞f(ξ) cos(ω(ξ − t))dξdω,
luego se escribe la integral de Fourier en su forma compleja de la funcion coseno, obte-
niendo:
1
2(f(t−) + f(t+)) =
1
π
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞f(ξ)
1
2
(eiω(ξ−t) + e−iω(ξ−t)
)dξdω
=1
2π
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞f(ξ)eiω(ξ−t)dξdω +
1
2π
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞f(ξ)e−iω(ξ−t)dξdω.
En la primera integral de la segunda lınea se reemplaza ω = −w, entonces la expresion
se escribe
1
2(f(t−) + f(t+))
=1
2π
∫ 0
−∞
∫ ∞
−∞f(ξ)e−iw(ξ−t)dξdw +
1
2π
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞f(ξ)e−iω(ξ−t)dξdω.
Lo siguiente es escribir la variable de integracion ω en la ultima integral y se combinan
para obtener:
1
2(f(t−) + f(t+)) =
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞f(ξ)e−iω(ξ−t)dξdω. (3.7)
26 3. La transformada de Fourier
Finalmente se obtiene la representacion de la integral de Fourier compleja de f en toda
la recta real. Ahora si se toma Cω =∫∞−∞ f(t)e−iωtdt, entonces esta integral es:
1
2(f(t−) + f(t+)) =
1
2π
∫ ∞
−∞Cωe
iωtdω,
donde Cω es el coeficiente de la integral de Fourier compleja de f .
Ahora bien, la expresion de la derecha de la ecuacion (3.7) permite obtener la trans-
formada de Fourier en su basica expresion. Para lograr esto se escribe la ecuacion (3.7)
ası:1
2(f(t−) + f(t+)) =
1
2π
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞f(ξ)e−iωξdξ
]eiωtdω. (3.8)
La expresion que aparece dentro del corchete es la transformada de Fourier de f .
3.4. Transformada de Fourier
Definicion 3.4.1. Transformada de Fourier
Suponiendo que∫∞−∞ |f(t)|dt es convergente. Entonces la transformada de Fourier de f
es la funcion:
F [f ] (ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt.
Por consiguiente, la transformada de Fourier de f es el coeficiente Cω de la expresion
que representa la integral de Fourier compleja de f . Es decir, F transforma una funcion
f en otra nueva funcion y se escribe F [f ]. Es de notar que desde el inicio, para la
funcion f se ha tomado la variable t, la cual representa el parametro temporal, por
ende posee gran utilidad en el campo del analisis de senales; por otro lado ω es la
variable de la funcion transformada F [f ], por esto, F [f ] (ω) es el valor que toma la
funcion transformada evaluada en ω, el cual se puede obtener calculando para una
ω dada en las condiciones iniciales y evaluando en la integral∫∞−∞ f(t)e−iωtdt. De tal
manera que cuando sea necesario en el documento, para hacer referencia a la variable
temporal t se escibira la transformada de Fourier F [f(t)] por medio de F [f ].
Es claro que, cuando se calculan algunas transformadas en lugar del sımbolo F [f(t)],
se escribe f ; con esta notacion toma la forma siguiente:
F [f ] (ω) = f(ω).
3.4. Transformada de Fourier 27
Continuando con este razonamiento, se evidencia el excelente trabajo realizado por
Fourier para encontrar la transformada que lleva su nombre; es por esto que se desa-
rrollaran algunos ejercicios como ejemplo para hacer claridad al concepto y aplicarlo en
su solucion.
Ejemplo 3.4.1. Suponiendo a y k ambos numeros positivos, y sea
f(t) =
{k, para − a ≤ t < a,
0, para t < −a y para t ≥ a.
De la funcion anterior, se observa que es una funcion pulso la cual puede escribirse
en terminos de la funcion de Heaviside por medio de la expresion:
f(t) = k [H(t+ a)−H(t− a)] ,
La transformada de Fourier de f esta dada por:
f(ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt
=
∫ a
−a
ke−iωtdt =
[−kiω
e−iωt
]a
−a
= − k
iω
[e−iωa − eiωa
]=
2k
ωsen(aω).
f(t)
t2a a
k
f(t) = k [H(t+ a)−H(t− a)]
Figura 3.4: Funcion pulso.
Ası:
F[f ](ω) =2k
ωsen(aω).
28 3. La transformada de Fourier
De la expresion (3.8), la integral de Fourier para f se puede escribir por medio de:
1
2π
∫ ∞
−∞f(ω)eiωtdω.
Por lo anterior, si f es continua; puede ser a trozos en todo el intervalo [−L,L], laintegral de Fourier para f esta dada por:
f(t) =1
2π
∫ ∞
−∞f(ω)eiωtdω. (3.9)
En sıntesis, se puede utilizar la expresion (3.9) como la funcion transformada inversa
de Fourier; con el objetivo de obtener la funcion f por medio de f . Es de notar la
importancia de esta caracterıstica, ya que en las aplicaciones se hace uso de esta valiosa
herramienta para pasar a un problema mas sencillo. De tal forma que, la expresion (3.9)
permita obtener nuevamente a f , cuando se resuelve para f(ω). Es decir:
F−1[f ] = f si F[f ] = f .
Definicion 3.4.2. Linealidad
Se comprueba que la transformada integral es lineal:
F [αf + βg] = αF[f ] + βF[g].
Demostracion.
F [αf + βg] =
∫ ∞
−∞(αf(t) + βg(t)) e−iωtdt
=
∫ ∞
−∞αf(t)e−iωtdt+
∫ ∞
−∞βg(t)e−iωtdt
= α
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt+ β
∫ ∞
−∞g(t)e−iωtdt
= αF[f ] + βF[g].
Generalmente la integral (3.9) y su inversa correspondiente, conforman dos trans-
3.4. Transformada de Fourier 29
formadas de Fourier, siempre y cuando f cumpla las siguientes condiciones:
f(ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt y f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞f(ω)eiωtdt.
Ejemplo 3.4.2. Dada la funcion
f(t) =
{1− |t|, para − 1 ≤ t ≤ 1,
0, para t > 1 y para t < −1.
Como f es continua e integrable y f ′ es continua a trozos. Se puede calcular f(ω),
sean
f(ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt
=
∫ 1
−1
(1− |t|)e−iωtdt =2(1− cos(ω))
ω2.
La ultima expresion representa el coeficiente de Fourier Cω cuando se realiza el desarrollo
de Fourier en forma compleja para f(t). Ahora para invertir y obtener la expresion
original, se utiliza (3.9),
f(t) =1
2π
∫ ∞
−∞f(ω)eiωtdω
=1
π
∫ ∞
−∞
(1− cos(ω))
ω2eiωtdω.
Despues de integrar se obtiene:
f(t) =1
2π
∫ ∞
−∞f(ω)eiωtdω
= πt signo (t+ 1) + π signo (t+ 1) + πt signo (t− 1)
− π signo (t− 1)− 2 signo (t),
de donde:
signo (ω) =
1 para ω > 0
0 para ω = 0
−1 para ω < 0.
Es decir, su resultado es 1− |t| para −1 ≤ t ≤ 1 y 0 para t > 1 y para t < −1, por lo
30 3. La transformada de Fourier
tanto se comprueba.
Ahora bien, si se tiene en cuenta el entorno de la transformada de Fourier, se observa
que generalmente el espectro de amplitud se representa por medio de la grafica de |f(ω)|.
Ejemplo 3.4.3. Dada la funcion f(t) = H(t)e−at, en consecuencia se tiene que
f(ω) = 1/(a+ iω), de donde
|f(ω)| = 1√a2 + ω2
.
En la figura (3.5), se observa el espectro de amplitud de f representado por medio
de la grafica de |f(ω)|.
b
ω
|fω|1a
(a) Grafica de |f(ω)| = 1√
a2+ω2, con f(t) =
H(t)e−at
ω
|fω|
(b) Grafica de f(ω) =∣∣∣ 2k sen(aω)
ω
∣∣∣
Figura 3.5: Espectro de amplitud de f .
Ejemplo 3.4.4. Con lo anterior, el espectro de amplitud de la funcion f del ejemplo
(3.4.1) viene dado por
|f(ω)| = 2k
∣∣∣∣sen(aω)
ω
∣∣∣∣ ,
la cual se puede observar en la figura (3.5).
Teorema 3.4.1. Corrimiento del tiempo
Sea t0 un numero real, entonces:
F[f(t− t0)](ω) = e−iωt0 f(ω).
Este teorema se aplica, si se corre hacia atras t0 unidades, ademas reemplazando f(t)
por f(t − t0), la transformada de Fourier de f(t − t0) recorrida es la transformada de
Fourier de f , multiplicada por e−iωt0 .
3.4. Transformada de Fourier 31
La comprobacion es sencilla
F[f(t− t0)](ω) =
∫ ∞
−∞f(t− t0)e
−iωtdt
= e−iωt0
∫ ∞
−∞f(t− t0)e
−iω(t−t0)dt.
Haciendo el cambio de variable u = t− t0 y reemplazando se obtiene:
F[f(t− t0)](ω) = e−iωt0
∫ ∞
−∞f(u)e−iωudu = e−iωt0 f(ω).
Ejemplo 3.4.5. Aplicando el teorema anterior para conocer la transformada de Fourier
del pulso de amplitud 6 encendiendo en t = 3 y apagando en t = 7, es decir:
g(t) =
{0, para t < 3 y para t ≥ 7
6, para 3 ≤ t < 7,
la cual se puede observar en la figura (3.6.a). Es claro que se puede calcular g(ω)
integrando; pero el punto medio del pulso se obtiene cuando t = 5. Ahora si se traslada
la grafica 5 unidades a la izquierda esta quedara ubicada en cero (ver figura (3.6.b)).
Nombrando f a este pulso se obtiene que f(t) = g(t+ 5) y al trasladar f , 5 unidades a
la derecha regresa a g:
g(t) = f(t− 5).
Este resultado es la consecuencia del ejemplo (3.4.1) en el que se obtiene la transformada
de Fourier de f
F[f(t)](ω) = 12sen(2ω)
ω.
Aplicando el teorema de corrimiento del tiempo, se observa que:
F[g(t)](ω) = F[f(t− 5)](ω) = 12e−5iω sen(2ω)
ω.
Por ende la funcion inversa del teorema de corrimiento del tiempo es:
F−1[e−iωt0F(ω)](t) = f(t− t0). (3.10)
32 3. La transformada de Fourier
b
bc
bc
b
b6
3 7t
g(t)
(a) Grafica de g(t)
bc
bcb
b
6
−2 2t
g(t)
(b) La funcion de la figura (3.6.a) corre 5 uni-
dades a la izquierda
Figura 3.6: Representacion grafica corrimiento del tiempo.
Teorema 3.4.2. Corrimiento de la frecuencia
Dado ω0 cualquier numero real, entonces
F[eiωtf(t)] = f(ω − ω0).
Prueba
F[eiωtf(t)](ω) =
∫ ∞
−∞eiω0tf(t)e−iωtdt
=
∫ ∞
−∞f(t)e−i(ω−ω0)tdt = f(ω − ω0).
Siendo la inversa del teorema del corrimiento de la frecuencia:
F−1[f(ω − ω0)](t) = eiω0tf(t).
Teorema 3.4.3. Escala
Si se utiliza un numero real a diferente de cero, se obtiene:
F[f(at)](ω) =1
|a| f(ωa
).
Este resultado se obtiene aplicando la definicion. La transformada inversa de la expre-
sion anterior es:
F−1[f(ωa
)](t) = |a|f(at).
3.4. Transformada de Fourier 33
Ejemplo 3.4.6. Retomando el ejemplo (3.4.2), si f(t) viene dada por:
f(t) =
{1− |t|, para − 1 ≤ t ≤ 1,
0, para t > 1 y para t < −1,
entonces
f(ω) = 21− cos(ω)
ω2.
Si
g(t) = f(7t) =
{1− |7t|, para − 1
7≤ t ≤ 1
7,
0, para t > 17y para t < −1
7,
entonces
g(ω) = F[f(7t)](ω) =1
7f(ω7
)
=2
7
1− cos(ω/7)
(ω/7)2= 14
1− cos(ω/7)
ω2.
Teorema 3.4.4. Inversion del tiempo
F[f(−t)](ω) = f(−ω).
La expresion anterior se denomina inversion del tiempo ya que reemplaza t por −ten la funcion f(t) y se obtiene f(−t). La transformada de esta funcion se obtiene
reemplazando ω por −ω en la transformada de f(t). La inversa de la inversion del
tiempo es:
F−1[f(−ω)](t) = f(−t).
Teorema 3.4.5. Simetrıa
F[f(t)](ω) = 2πf(−ω).
Este resultado es facil de entender, si se toma a f(t), escribiendo su transformada
de Fourier f(ω). Lo siguiente es reemplazar ω por t y se toma la transformada de
Fourier de la funcion f(t). Esta propiedad de la transformada de Fourier concluye que
la transformada de f(t) simplemente es la funcion f(t) con −t en lugar de t, todo
multiplicado por 2π.
34 3. La transformada de Fourier
Ejemplo 3.4.7. Sea
f(t) =
{4− t2 para − 2 ≤ t ≤ 2
0 para t > 2 y para t < −2
1
2
3
4
1 2 3 4−1−2−3−4
Figura 3.7: Grafica de f(t) ejemplo (3.4.7).
En la figura (3.7) se muestra la grafica de f . La transformada de Fourier de f es
f(ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdω =
∫ 2
−2
(4− t2)e−iωtdt
= 4sen(2ω)− 2ω cos(2ω)
ω3.
Observando el ejemplo anterior, se puede apreciar que f(−t) = f(t), por lo tanto si
se cambia−ω por ω la funcion f(ω) no se ve afectada, ası se puede ver que este es el caso.
Teorema 3.4.6. Modulacion
Suponiendo que ω0 es un numero real, se tiene que
F[f(t) cos(ω0t)](ω) =1
2[f(ω + ω0) + f(ω − ω0)]
y
F[f(t) sen(ω0t)](ω) =1
2i[f(ω + ω0)− f(ω − ω0)].
3.5. Propiedades y aplicaciones de la transformada de Fourier 35
Prueba: Reemplazando cos(ωt) = 12(eiω0t + e−iω0t); utilizando el teorema del corri-
miento del tiempo y la linealidad de F se obtiene
F[f(t) cos(ω0t)](ω) = F
[1
2eiω0tf(t) +
1
2e−iω0tf(t)
](ω)
=1
2F[eiω0tf(t)
](ω) +
1
2F[e−iω0tf(t)
](ω)
=1
2f(ω − ω0) +
1
2f(ω + ω0).
La segunda conclucion se obtiene de manera similar, utilizando
sen(ω0t) = (1/2i)(eiω0t − e−iω0t).
3.5. Propiedades y aplicaciones de la transformada
de Fourier
3.5.1. Transformada de Fourier de una derivada
Teniendo en cuenta que para aplicar la transformada de Fourier en la solucion de
ecuaciones diferenciales se necesita relacionar la transformada de f ′ con la de f . Para
este proposito se tiene el siguiente teorema denominado como la regla operacional el
cual relaciona la transformada de una derivada de cualquier orden. De la misma manera
sucede con la transformada de una integral si se requiere relacionarla con ecuaciones
diferenciales.
Teorema 3.5.1. Diferenciacion respecto a la variable tiempo
Sea n un numero entero positivo y suponiendo que f (n−1) es una funcion continua a
trozos en el intervalo [−L,L] con∫∞−∞ |f (n−1)(t)|dt <∞. Teniendo en cuenta lo anterior
se tiene que
lımt→∞
f (k)(t) = lımt→−∞
f (k)(t) = 0,
con k = 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1. Se tiene que
F[f (n)(t)](ω) = (iω)nf(ω).
36 3. La transformada de Fourier
Comprobacion. Primero se obtiene la primera derivada utilizando la integracion por
partes:
F[f ′](ω) =
∫ ∞
−∞f ′(t)e−iωtdt
=[f(t)e−iωt
]∞−∞ −
∫ ∞
−∞f(t)(−iω)e−iωtdt.
Lo siguiente es considerar que e−iωt = cos(ωt) − i sen(ωt) es de magnitud 1 y por la
hipotesis,
lımt→∞
f(t) = lımt→−∞
f(t) = 0.
Obteniendo,
F[f (n)(t)](ω) = (iω)(n)∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt = (iω)(n)f(ω).
Para ampliar la aplicacion de esta propiedad a la solucion cuando se tienen derivadas
de orden superior se aplica el metodo de induccion sobre n, entonces
f ′(t) =d
dtf (n−1)(t).
3.5.2. Diferenciacion respecto a la variable de frecuencia
En la transformada de Fourier se utiliza la variable ω para representar la frecuencia
de f(t), debido a que aparece en la exponencial compleja eiωt = cos(ωt) + i sen(ωt).
Por lo anterior, la derivada de f(ω) respecto a la variable de frecuencia ω es deno-
minada diferenciacion respecto a la variable de frecuencia; teniendo esto en cuenta, a
continuacion se relacionaran las derivadas de f y f(t).
Teorema 3.5.2. Diferenciacion respecto a la variable de frecuencia
Dado n un numero entero positivo; sea f una funcion continua a trozos en el intervalo
[−L,L] para cualquier numero positivo L y∫∞−∞ |tnf(t)|dt convergente, se tiene que:
F[tnf(t)](ω) = indn
dωnf(ω).
Es de notar que bajo las condiciones que establece el teorema
F[t f(t)](ω) = id
dωf(ω) y F[t2f(t)](ω) = − d2
dω2f(ω).
3.5. Propiedades y aplicaciones de la transformada de Fourier 37
Comprobacion. Primero se aplica el teorema para un valor de n, en este caso para n =
1; si se requiere usar un valor mayor para n el procedimiento es similar. Posteriormente
se utiliza la regla de Leibniz para la integracion con derivadas y se obtiene:
d
dωf(ω) =
d
dω
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt =
∫ ∞
−∞
∂
∂ω
[f(t)e−iωt
]dt
=
∫ ∞
−∞f(t)(−it)e−iωtdt = −i
∫ ∞
−∞[t f(t)]e−iωtdt
= −iF[t f(t)](ω).
Ejemplo 3.5.1. Aplicando la definicion de la transformada de Fourier y el teorema de
la diferenciacion respecto a la variable frecuencia, calcular F[t2e−5|t|].
Primero se tiene en cuenta que:
e−a|t| =a
π
∫ ∞
−∞
1
a2 + ω2eiωtdω.
Entonces
F[e−a|t|] (ω) = 2a
a2 + ω2.
Aplicando lo anterior se obtiene que:
F[e−5|t|] (ω) = 10
25 + ω2.
Lo siguiente es aplicar el teorema de diferenciacion respecto a la variable de frecuencia
para obtener:
F[t2e−5|t|](ω) = i2d2
dω2
[10
25 + ω2
]= 20
25− 3ω2
(25 + ω2)3.
3.5.3. La transformada de Fourier de una integral
A continuacion se abordara un teorema que permite calcular la transformada de
Fourier de una funcion definida por medio de una integral.
Teorema 3.5.3. La transformada de Fourier de una integral
Dada una funcion f continua a trozos sobre el intervalo [−L,L]. Suponiendo que∫∞−∞ |f(t)|dt es convergente con f(0) = 0. Entonces
F
[∫ t
−∞f(τ)dτ
](ω) =
1
iωf(ω).
38 3. La transformada de Fourier
Prueba: Sea g(t) =∫ t
−∞ f(τ)dτ . La consecuencia es que g′(t) = f(t) para todo t
con f continua; en donde g(t)→ 0 a medida que t→ −∞. Ademas,
lımt→∞
g(t) =
∫ t
−∞f(τ)dτ = f(0) = 0.
Lo siguiente es aplicar el teorema de diferenciacion respecto al tiempo a la funcion g
obteniendo
f(ω) = F[f(t)](ω) = F[g′(t)](ω)
= iωF[g(t)](ω) = iωF
[∫ t
−∞f(τ)dτ
](ω).
3.5.4. Convolucion
Existen innumerables transformadas en donde aparecen integrales que regularmen-
te poseen una operacion de convolucion para la misma; es ası que a continuacion se
estudiara la convolucion para este tipo de transformadas de Fourier.
Definicion 3.5.1. Convolucion
Dadas dos funciones f y g sobre toda la recta real, se concluye que f posee una convo-
lucion con g si:
1.∫ b
af(t)dt y
∫ b
ag(t) existen en todo intervalo [a, b].
2. Para todo numero real t, ∫ ∞
−∞|f(t− τ)g(τ)| dτ
es convergente. Se observa que para este caso, la convolucion f ∗ g de f con g es
la funcion representada por
(f ∗ g)(t) =∫ ∞
−∞f(t− τ)g(τ)dτ.
En la definicion anterior la convolucion se denota por medio de f ∗ g, pero se puede
escribir f ∗ g(t) para expresar f ∗ g evaluada para todo t.
Teorema 3.5.4. Suponiendo que f posee una convolucion con g. Entonces satisface las
siguientes propiedades:
1. Conmutatividad. g posee una convolucion con f y f ∗ g = g ∗ f .
3.5. Propiedades y aplicaciones de la transformada de Fourier 39
2. Linealidad. Para α y β ambos numeros reales; si f y g poseen convoluciones con
h, se cumple αf +βg tambien poseen convolucion con h, por lo tanto se tiene que
(αf + βg) ∗ h = α(f ∗ h) + β(g ∗ h).
Prueba:
1. Suponiendo z = t− τ , reemplazando se escribe
f ∗ g(t) =∫ ∞
−∞f(t− τ)g(τ)dτ
=
∫ −∞
∞f(z)g(t− z)(−1)dz =
∫ ∞
−∞g(t− z)f(z)dz = g ∗ f(t).
2. Para probar la linealidad, se utilizan las propiedades basicas de la integracion ya
que las integrales que aparecen en estos calculos son convergentes.
Despues de comprobar la linealidad y la conmutatividad de la convolucion se pueden
escribir los principales resultados.
Teorema 3.5.5. Dadas dos funciones f y g, suponiendo que son acotadas, continuas
sobre la recta real y ademas que∫∞−∞ |f(t)|dt <∞ y
∫∞−∞ |g(t)|dt <∞. Entonces,
1. ∫ ∞
−∞f ∗ g(t)dt =
∫ ∞
−∞f(t)dt
∫ ∞
−∞g(t)dt.
2. Convolucion en el tiempo
f ∗ g(ω) = f(ω)g(ω).
3. Convolucion en la frecuencia
f(t)g(t)(ω) =1
2π(f ∗ g)(ω)
El primer resultado muestra que la integral sobre toda la recta real de la convolucion
de f con g, equivalen al producto de las integrales de f y de g sobre toda la recta real.
40 3. La transformada de Fourier
El segundo resultado concluye que la transformada de Fourier de una convolucion equi-
vale a multiplicar las transformadas de Fourier de las funciones, es decir:
F[f ∗ g](ω) = f(ω)g(ω).
Es de notar que la funcion anterior posee inversa, la cual se escribe como
F−1[f(ω)g(ω)](t) = f ∗ g(t).
La expresion para la convolucion en la frecuencia se puede escribir como
F[f(t)g(t)](ω) =1
2π(f ∗ g)(ω).
Es decir, la transformada de Fourier para el producto de dos funciones, es equivalente
a ( 12π) veces la convolucion de la transformada de estas funciones.
Es de notar que la convolucion en la frecuencia posee inversa, la cual se escribe como
F−1[f(ω) ∗ g(ω)](t) = 2πf(t)g(t).
Prueba: Para el primer punto del teorema, se tiene
∫ ∞
−∞f ∗ g(t)dt =
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞f(t− τ)g(τ)dτ
)dt
=
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞f(t− τ)g(τ)dt
)dτ =
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞f(t− τ)dt
)g(τ)dτ,
la expresion anterior se obtiene intercambiando el orden de integracion; y utilizando
∫ ∞
−∞f(t− τ)dt =
∫ ∞
−∞f(t)dt,
en donde τ pertenece al conjunto de los numeros reales. Se concluye que
∫ ∞
−∞f ∗ g(t)dt =
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞f(t)dt
)g(τ)dτ
=
∫ ∞
−∞f(t)dt
∫ ∞
−∞g(τ)dτ =
∫ ∞
−∞f(t)dt
∫ ∞
−∞g(t)dt.
Para el segundo punto del teorema, se hace un cambio de variable en donde F (t) =
3.5. Propiedades y aplicaciones de la transformada de Fourier 41
e−iωtf(t) y G(t) = e−iωtg(t); siendo t y ω numeros reales, para obtener
f ∗ g(ω) =∫ ∞
−∞f ∗ g(t)e−iωtdt
=
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞f(t− τ)g(τ)dτ
)e−iωtdt
=
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞e−iωtf(t− τ)g(τ)dτ
)dt
=
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞e−iω(t−τ)f(t− τ)e−iωτg(τ)dτ
)dt.
Observando en la ultima linea de la expresion anterior, la integral que aparece dentro
del parentesis grande es la convolucion de F con G y aplicando el resultado del primer
punto del teorema a F y G, se obtiene
f ∗ g(ω) =∫ ∞
−∞F ∗G(t)dt =
∫ ∞
−∞F (t)dt
∫ ∞
−∞G(t)dt
=
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt
∫ ∞
−∞g(t)e−iωtdt = f(ω)g(ω).
3.5.5. La transformada de Fourier ventaneada
Suponiendo una funcion f representa una senal, es decir f esta definida para toda
la recta real con energıa finita∫∞−∞ |f(t)|2dt.
Teniendo en cuenta la posible necesidad de calcular su contenido de frecuencia respecto
a la variable temporal, se debe recordar que f(ω) contiene la informacion relacionada
con las frecuencias de dicha senal; sin embargo, f(ω) no especifica esta informacion
para intervalos temporales explıcitos, debido a que
f(ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt,
en donde la integral esta definida para todo t, es decir, permite obtener el espectro
de amplitud total |f(ω)|. La solucion a esta necesidad radica en que se puede obtener
el contenido de la frecuencia de f(t) para intervalos temporales dados ventaneando la
funcion antes de calcular la transformada de Fourier.
Para lograr obtener esta transformada, se requiere una funcion ventana g, la cual toma
valores diferentes de cero en algun intervalo cerrado, generalmente en [0, T ] o en [−T, T ].Estos intervalos tienen el nombre de soporte de g y debido a que en este caso son
42 3. La transformada de Fourier
intervalos cerrados se trata de soporte compacto, es de aclarar que la funcion g es igual
a cero fuera de dicho intervalo de soporte.
3.6. Tabla de transformadas de Fourier
En resumen se tienen las propiedades de la transformada dadas en forma de tabla.
A continuacion se presenta una tabla de transformadas:
FUNCION TRANSFORMADA F[f ](ω) = PARAMETROS
f(t)∫∞−∞ f(t)e−iωtdt
e−|t| 21+ω2
11+t2
πe−|ω|
e−at2√
πae−ω2/4a a > 0
eiatf(t) f(ω − a) a ∈ R
f(t+ a) eiaωf(ω) a ∈ R
f(at+ b) 1|a|e
ibωa f(ω
a) a 6= 0, b ∈ R
tnf(t) inf (n)(ω) n ∈ N
f (n) (iω)nf(ω) n ∈ N
f(t) sen(at) f(ω−a)−f(ω+a)2i
a ∈ R
f(t) cos(at) f(ω−a)+f(ω+a)2i
a ∈ R{1, |t| ≤ 1
0, |t| > 1.2 sen(ω)
ω
Identidad de Parseval∫∞−∞ |f(t)|2dt = 2π
∫∞−∞ |f(t)|2dt
Cuadro 3.1: Tabla de Transformadas de Fourier.
4
La transformada de Laplace
4.1. Transformada de Laplace y su relacion con la
transformada de Fourier
Definicion 4.1.1. Transformada de Laplace
La transformada de Laplace L[f ] de f es una funcion definida por
L[f ](s) =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt,
para todo s con el cual la integral converja.
La transformada de Laplace transforma una funcion f en otra funcion denominada
L; cuya frecuencia t representa la variable independiente en f y s representa la variable
independiente en L, es decir:
F = L[f ], F = L[g], H = L[h], . . .
Para obtener la transformada de Laplace, se puede hacer uso de la transformada de
Fourier ya que si se observa detalladamente, se evidencia una diferencia y es que la
transformada de Fourier analiza funciones por medio de una parte del plano complejo y
la transformada de Laplace analiza las funciones a traves de todo el plano complejo. Con
lo anterior se cuenta con todo el trabajo matematico estudiado en el capitulo anterior
43
44 4. La transformada de Laplace
para escribir la transformada de Laplace por medio de:
f(t) = a0 +
σ+∞∑
s=σ+ω
(est
an − bn2
+ e−stan + bn2
)
= a0 +
σ+∞∑
s=σ+ω
(an cos(ωt) + bn sen(ωt))
(4.1)
Definiendo los coeficientes complejos para f(t)
cn =an − bn
2para n = 1, 2, 3, . . .
El valor de an y de bn dependeran de n y de f(t); reemplazando n = (−n), se obtiene
a−n = an
pero
b−n 6= bn
o
b−n = −bn
c−n =an + bn
2
en donde
cn = (c−n)
y
c0 = a0
De tal manera que se puede representar a f(t) por medio de:
f(t) = c0 +
σ+∞∑
s=σ+ω
(cnest) +
σ+∞∑
s=σ+ω
(c−ne−st)
=
σ+∞∑
s=σ+ω
(cnest) +
σ+∞∑
s=σ+ω
(c−ne−st)
=
σ+∞∑
s=σ+ω
(cnest) +
σ−∞∑
s=σ−ω
(cnest).
4.1. Transformada de Laplace y su relacion con la transformada de Fourier 45
Para concluir este desarrollo matematico, en la segunda serie respecto de los enteros
complejos negativos desde σ − ω, hasta σ − ∞ se suman respecto de los enteros
negativos desde s = σ− ∞ hasta σ+ ∞, para cubrir todo el plano complejo, es decir:
f(t) =
σ+∞∑
s=σ−∞(cne
st)
La expresion anterior permite evaluar los coeficientes complejos por medio de:
cn =an − bn
2
an =2
T
∫ T2
−T2
[f(t)
(est + e−st
2
)]dt
bn =2
T
∫ T2
−T2
[f(t)
(est − e−st
2
)]dt
cn =1
2
{[1
T
∫ T2
−T2
[f(t)(est + e−st)]dt
]−
[1
T
∫ T2
−T2
[f(t)(est − e−st)
]dt
]}
cn =1
2
{[1
Tf(t)[est + e−st − est + e−st]dt
]}
cn =1
2
{[1
T
∫ T2
−T2
f(t)[2e−st]dt
]}
cn =1
T
∫ T2
−T2
f(t)(e−st)dt.
Definicion 4.1.2. Transformada bilateral de Laplace
Haciendo uso de la definicion de transformada de Laplace, si:
f(t) =
σ+∞∑
s=σ−∞(cne
st), (4.2)
con s = ω = 2πT.
cn =1
T
∫ T2
−T2
[f(t)(e−st)
]dt,
46 4. La transformada de Laplace
cuando
T →∞
s→ ds.
Ası que:1
T=
ds
2π.
Aplicando los limites a las expresiones anteriores.
cnT →∫ ∞
−∞f(t)e−stdt,
el lado derecho de la expresion anterior esta en funcion de s = σ−ω y no de t, entonces:
F (s) =
∫ ∞
−∞f(t)e−stdt, la cual se denomina transformada bilateral de Laplace
Para obtener la funcion inversa de la transformada de Laplace, se multiplica y se divide
por T en la expresion (4.2) para obtener:
f(t) =
σ+∞∑
s=σ−ω
(cnTe
st 1
T
).
Reemplazando cnT = F (s) se obtiene:
f(t) =1
2π
∫ σ+∞
σ−∞F (s)estds, la cual es la transformada inversa de Laplace
Lo anterior permitio la obtencion de la transformada de Laplace y la transformada
inversa de Laplace. Es evidente que esta transformada es un caso especial de la trans-
formada de Fourier, en el cual solo se cambian los parametros de la integral; Laplace
maneja el plano complejo y Fourier maneja el plano imaginario, las propiedades de la
transformada de Laplace son similares a las propiedades de la transformada de Fourier
y su verificacion es casi identica, es por esto que solo se enumeraran.
4.2. Propiedades de la transformada de Laplace 47
4.2. Propiedades de la transformada de Laplace
1. Linealidad de la transformada de Laplace
Suponiendo que L[f ](s) y L[g](s), con s > a, y α, β cualquier numero real; se
tiene que:
L[αf + βg](s) = αF (s) + βG(s)
2. Transformada inversa de Laplace
Una funcion g tal que L[g] = G se denomina como la transformada inversa de
Laplace de G, es decir:
g = L−1[G].
3. Transformada de Laplace de una derivada
Dada una funcion f continua sobre el intervalo [0,∞], suponiendo que f ′ continua
a trozos sobre el intervalo [0, k] para k positivo y que lımk→∞ e−skf(k) = 0 si s > 0,
se tiene que:
L[f ′](s) = sF (s)− f(0).
4. Transformada de Laplace de una derivada superior
Dadas las funciones f, f ′, · · · , fn−1 continuas para [0, 1], con f (n) continua a
trozos sobre [0, k] para k positivo y que lımk→∞ e−skf (j)(k) = 0 si s > 0 y
j = 1, 2, 3, . . . , n− 1, se tiene que:
L[f (n)](s) = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0).
De lo anterior, se escribe la segunda derivada (n = 2), ya que es la derivada mas
utilizada en la mayorıa de ejercicios, cuya forma es:
L[f ′′](s) = s2F (s)− sf(0)− f ′(0).
48 4. La transformada de Laplace
5
Aplicacion de las transformadas
para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias y parciales
5.1. Ecuacion de calor en un dominio infinito
A modo de aplicacion se obtendra la solucion del problema:
Problema 5.1.1.
{ut = kuxx, para −∞ < x <∞ (5.1)
u(x, 0) = f(x), donde f(x) es la temperatura inicial. (5.2)
Una barra metalica de longitud infinita bajo la accion del calor
−∞←− −→∞
Figura 5.1: Barra metalica de longitud infinita.
Sı u(x, t) es la temperatura en cualquier momento t y posicıon x; el modelo ma-
tematico que describe este problema viene dado por:
ut = kuxx =∂u(x, t)
∂t− k
∂2u(x, t)
∂x2= 0,
49
505. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
donde k es la difusion termica del material que constituye la barra.
El modelo ut = kuxx = ∂u(x,t)∂t−k ∂2u(x,t)
∂x2 = 0 describe un problema homogeneo. Si ademas
se considera que en el momento inicial para t = 0 la temperatura es una funcion de
x, es decir, u(x, 0) = f(x), se necesita hallar la funcion u(x, t) que sea solucion del
problema homogeneo y que cumpla con la condicion anterior.
Este tipo de problemas con dominios infinitos generalmente se pueden resolver median-
te transformadas. Aparte de resolver el problema homogeneo, tambien se abordara la
solucion del problema no-homogeneo.
Solucion:
Separando variables u(x, t) = X(x) T (t); reemplazando en (5.1) se tiene:
XT = kTX ′′
T = dTdt
X ′ = dXdx
X ′′ = d2Xx2
X′′
X= T
kT= constante = −λ.
De aquı: {X′′
X= −λ
TT= −λk,
teniendo en cuenta que λ > 0
X ′′ + λX = 0; T + λkT = 0.
Usando los coeficientes complejos en (5.2) se elimina λ < 0 y λ = 0, debido a que
la solucion es trivial. Espectro continuo (para un dominio finito se tiene un espectro
discreto).
Utilizando superposicion se observa que:
X(x) = A cos(√λx) + B sen(
√λx); T (t) = e−λkt.
u∗(x, t) =(A cos(
√λx) + B sen(
√λx)
)e−λkt; usando superposicion
u(x, t) =
∫ ∞
0
[C(λ) cos(
√λx) +D(λ) sen(
√λx)
]e−λktdλ.
5.1. Ecuacion de calor en un dominio infinito 51
Si λ = ω2;
u(x, t) =
∫ ∞
0
[A(ω) cos(ωx) + B(ω) sen(ωx)] e−ω2ktdω; dλ = 2ωdω.
Ahora de las condiciones iniciales (u(x, 0) = f(x)):
u(x, 0) =
∫ ∞
0
[A(ω) cos(ωx) + B(ω) sen(ωx)] dω = f(x).
De aquı:
u(x, t) =
∫ ∞
−∞k(ω)eıωxe−kω2tdω
= k(ω)[cos(ωt) + ı sen(ωx)]e−kω2t
= A(ω) cos(ωx) + B(ω) sen(ωt)e−kω2t.
f(x) =
∫ ∞
−∞k(ω)eıωxdω.
Sea la transformada de Fourier de la funcion f(x):
F (ω) =1
2π
∫ ∞
−∞f(x)e−ıωxdx,
definiendo su inversa como:
F−1(ω) = f(x) =
∫ ∞
−∞F (ω)eıωxdω.
Sea G(ω) = e−αω2; escribiendo la transformada inversa de Fourier de G(ω):
g(x) =
∫ ∞
−∞G(ω)eıωxdω =
∫ ∞
−∞e−αω2
e−ıωxdω
=
∫ ∞
−∞e−α(ω2−ı x
αω)dω =
∫ ∞
−∞e−α(ω−ı x
2α)2− x2
4αdω
= e−x2
4α
∫ ∞
−∞e−α(ω−ı x
2α)2dω = e
−x2
4α1√α
∫ ∞
−∞e−z2dz.
525. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
En donde:
z2 = α(ω − ıx
2α)2
z =√α(ω − ı
x
2α)
dz =√αdω.
Evaluando∫∞−∞ e−z2dz = I.
I2 = T · I =
∫ ∞
−∞e−x2
dx
∫ ∞
−∞e−y2dy =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞e−(x2+y2)dx dy
=
∫ 2π
0
∫ ∞
0
e−r2r dr dθ = −1
2
∫ 2π
0
∫ ∞
0
e−r2d(−r2) dθ
= −1
2
∫ 2π
0
(e−r2)∣∣∣∞
0dθ = −
(−1
2
)∫ 2π
0
dθ =1
2(2π) = π.
Ası:
g(x) = e−x2/4α 1√α
∫ ∞
−∞e−z2dz =
1√αe−x2/4α
√π.
Del problema (5.1.1) se sabe que su solucion es de la forma:
u(x, t) =
∫ ∞
−∞C(ω)eıωx−kω2tdω
f(x) =
∫ ∞
−∞C(ω)eıωxdω;
donde C(ω) es la transformada de Fourier de f(x), es decir:
C(ω) =1
2π
∫ ∞
−∞f(x)e−ıωxdx;
de esta forma, la solucion toma el aspecto:
u(x, t) =
∫ ∞
−∞
[1
2π
∫ ∞
−∞f(ξ)e−ıωξdξ
]eıωx−kω2tdω
=1
2π
∫ ∞
−∞f(ξ)
[∫ ∞
−∞e−kω2t+ıω(x−ξ)dω
]dξ.
Si
g(x, t) =
∫ ∞
−∞e−kω2t+ıωxdω,
5.1. Ecuacion de calor en un dominio infinito 53
entonces:
u(x, t) =1
2π
∫ ∞
−∞f(ξ)g(x− ξ, t)dξ
g(x, t) =1√kte−x2/4kt
√π.
Donde kt = α.
De esta manera:
u(x, t) =1
2π
√π√kt
∫ ∞
−∞f(ξ)e−
(x−ξ)2
4kt dξ =1√4ktπ
∫ ∞
−∞f(ξ)e−
(x−ξ)2
4kt dξ.
La funcion:
G(x, t, ξ, 0) =1√4ktπ
e−(x−ξ)2
4kt es la funcion de influencia.
Teorema 5.1.1. Sea ϕ(x) una funcion continua, puede ser a trozos y acotada. Enton-
ces:
u(x, t) =1√4ktπ
∫ ∞
−∞e−
(x−ξ)2
4kt ϕ(ξ)dξ (5.3)
define una funcion infinitamente diferenciable que es solucion de la expresion (5.1)
[ut − kuxx = 0] donde (x, t) ∈ ℜ × (0, T ) y lımt→0 u(x, t) =12[ϕ(x+ 0) + ϕ(x− 0)] .
solucion: Suponiendo que ϕ(x) presenta una discontinuidad en el punto x = x0,
asumiendo que es un salto.
Se tiene que:1
2√π
∫ ∞
0
e−ρ2/4ϕ(x0 − ρ√kt)dρ→ 1
2ϕ(x0 − 0). (5.4)
1
2√π
∫ 0
−∞e−ρ2/4ϕ(x0 − ρ
√kt)dρ→ 1
2ϕ(x0 + 0). (5.5)
Cuando t→ 0 (t > 0).
En (5.3) para ξ = x− ρ√kt; dξ = −
√kt dρ.
545. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
u(x, t) =1
2√πkt
(−√kt)
∫ ∞
0
e−ρ2kt/4ktϕ(x0 − ρ√kt)dρ
donde x− ξ = ρ√kt;
=1
2√π
∫ ∞
0
e−ρ2/4ϕ(x0 − ρ√kt)dρ
u(x, t) =1
2√π
∫ ∞
−∞e−ρ2/4ϕ(x− ρ
√kt)dρ.
Como ϕ(x) esta acotada, entonces:
|ϕ(x)| ≤M ; M ∈ ℜ+ y como ademas∫∞−∞ e−z2dz =
√π
∫ ∞
−∞e−ρ2/4dρ = 2
∫ ∞
−∞e−(ρ/2)2d(ρ/2) = 2
√π.
Se observa que |u(x, t)| ≤ 2√π
2√π·M = M ; se evidencia que (5.4) se cumple.
Sea ǫ > 0, δ > 0 tales que:
|ϕ(x0 − ρ√kt)− ϕ(x0 − 0)| < ǫ, si 0 < ρ <
δ√kt. Como
∫ ∞
0
e−p2/4dρ =√π
(∫ ∞
−∞e−z2dz
)2
=
∫ ∞
−∞e−x2
dx
∫ ∞
−∞e−y2dy =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞e−(x2+y2)dy dx
=
∫ 2π
0
∫ ∞
0
e−r2r dr dθ = −1
2
∫ 2π
0
∣∣e−r2∣∣∞0dθ = −1
2
∫ 2π
0
(e−∞ − e0
)dθ
= +1
2· 2π = π; ası
∫ ∞
−∞e−z2dz =
√π.
Figura 5.2: Grafica de f(x) = e−x2.
Como∫∞0
e−ρ2
4 dρ =√π. Entonces existe un t0 > 0, tal que
∫∞0
e−ρ2
4 dρ < ǫ√π
2M;
5.1. Ecuacion de calor en un dominio infinito 55
0 < t < t0, para |ϕ(x)| ≤M, ρ > δ√kt.
Entonces: ∣∣∣∣1
2√π
∫ ∞
0
e−ρ2/4ϕ(x0 − ρ√kt)dρ− 1
2ϕ(x0 − 0)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣1
2√π
∫ ∞
0
e−ρ2/4(ϕ(x0 − ρ
√kt)− ϕ(x0 − 0)
)dρ
∣∣∣∣
≤ 1
2√π
∫ ∞
0
e−ρ2/4(∣∣∣ϕ(x0 − ρ
√kt)
∣∣∣− |ϕ(x0 − 0)|)dρ
<1
2√π
(ǫ√π + 2M
ǫ√π
2M
)=
2ǫ√π
2√π
= ǫ.
De igual modo para comprobar (5.5)
Definicion 5.1.1. La funcion error
La funcion error se define como:
erf(x) =2√π
∫ x
0
e−t2dt.
Se observa que:
∫ b
a
e−x2
dx =
∫ b
a
√π
2· [erf(x)]′dx = [erf(x)]′ =
2√π· e−x2
=
√π
2[erf(b)− erf(a)] .
En donde
erf(0) = 0 y lımx→∞
erf(x) =2√π
∫ ∞
0
e−t2dt =2√π·√π
2= 1,
− 2√π
∫ x
0
e−ρ2dρ = − 2√π·√π
2(erf(x)− erf(0)) ,
=2√π·√π
2(erf(0)− erf(x)) =
2√π
∫ 0
x
e−ρ2dρ.
Se nota que:
1− erf(x) =2√π
∫ ∞
x
e−t2dt,
ademas si z es una variable compleja, se tiene:
erf(−z) = −erf(z)erf(z) = erf(z).
565. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
Aqui z es la conjugada de z.
5.2. La ecuacion de difusion no-homogenea
Problema 5.2.1. Sea el problema:
ut = α2uxx +Q(x, t), 0 < x < l, (5.6)
donde Q(x, t) es la funcion que hace al problema (5.6) no-homogeneo.
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = u(l, t) = 0.(5.7)
Para el problema homogeneo (5.1.1), al separar variables se obtuvo que:
u(x, t) =∞∑
k=1
βk sen
(kπx
l
)e−(αkπ
l)2t , con α = 1,
βk =2
l
∫ l
0
f(x) sen(nπx
l
)dx =
2
l
∫ l
0
f(s) sen(nπs
l
)ds.
De esta forma:
u(x, t) =
∫ l
0
f(s)
[ ∞∑
n=1
2
lsen
(nπsl
)sen
(nπxl
)e−(αnπ
l)2t
]ds,
con λn =(nπ
l
)2
.
La funcion de influencia por las condiciones iniciales.
Para obtener la funcion de influencia por las condiciones iniciales para el problema no-
homogeneo se procede de la siguiente manera:
Se expande u(x, t) y Q(x, t) con k = α2 en funciones propias sen(nπxl
).
Teniendo en cuenta que para el problema homogeneo Q(x, t) ≡ 0,
u(x, t) =∞∑
n=1
Cnekλn sen
(nπxl
),
5.2. La ecuacion de difusion no-homogenea 57
para Q(x, t) 6= 0 se busca la solucion de la forma:
u(x, t) =∞∑
n=1
unt sen(nπ
lx).
Para hacer esto, primero se debe obtener qn(t) tal que:
Q(x, t) =∞∑
n=1
qn(t) sen(nπ
l
)x; f(x) =
∞∑
n=1
Cn sen(nπ
lx).
Donde:
qn(t) =2
l
∫ l
0
Q(x, t) sen(nπ
lx)dx; Cn =
2
l
∫ l
0
ϕ(x) sen(nπ
lx)dx.
Teniendo todo esto en cuenta, en (5.6) ut = kuxx +Q, se tiene:
ut =∑
uy(t) sen(nπ
lx); uxx = −
∑
λy(t) sen(nπ
lx); Q =
∑
qy(t) sen(ynπ
lx).
∞∑
=1
[d
dyu(t) + kλu(t)− q(t)
]sen
(π
lx)= 0. (5.8)
Para t = 0,
u(x, 0) =∞∑
=1
u(0) sen(π
lx)= f(x) =
∞∑
=1
Cy sen(π
lx); Cn =
2
l
∫ l
0
f(x) sen(π
lx)dx.
∞∑
=1
[u(0)− C] sen(π
lx)= 0. (5.9)
De la ortogonalidad, multiplicando por sen(nπ
lx)e integrando desde [0, l], se obtiene
un sistema de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias. De (5.8) y (5.9):
{ddtun(t)− kλnun(t) = qn(t)
un(0) = Cn. para n = 1, 2, 3, . . .(5.10)
La primera ecuacion de (5.10) es lineal de primer orden, multiplicando por e−kλnt
585. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
se tiene:
d
dtun(t)e
−kλnt − kλnun(t)e−kλnt = qne
−kλntd
dt
[un(t)e
−kλnt]= e−kλntqn(t),
integrando desde [0, t]:
∫ t
0
d
dt
[un(t)e
−kλnt]dt =
∫ t
0
e−kλntqn(t)dt
un(t)e−kλnt = un(0)e
−kλn0 +
∫ t
0
e−kλntqn(t)dt.
De la segunda ecuacion de (5.10), se obtiene:
un(t)e−kλnt = Cn +
∫ t
0
e−kλntqn(t)dt,
de aquı
un(t) = Cnekλnt +
∫ t
0
ekλn(t−s)qn(s)ds. (5.11)
Finalmente, la solucion para u(x, t), viene dada por:
u(x, t) =∞∑
n=1
Cnekλnt sen
(nπ
lx)+
∞∑
n=1
(∫ t
0
ekλn(t−s)qn(s)ds
)sen
(nπ
lx). (5.12)
Como
qn(s) =2
l
∫ l
0
Q(x, t) sen(nπ
lx)dx;
Cn =2
l
∫ l
0
f(x) sen(nπ
lx)dx.
La ecuacion (5.12) se puede escribir como:
u(x, t) =
∫ l
0
f(s)
[ ∞∑
n=1
2
lsen
(nπ
ls)sen
(nπ
lx)e−α2(nπ
l )2t
]ds
+
∫ l
0
∫ t
0
Q(s, τ)
[ ∞∑
n=1
2
lsen
(nπ
ls)sen
(nπ
lx)e−α2(nπ
l )2(t−τ)
]dτ ds.
5.3. Problemas en la frontera 59
Llamando G(x, s, t) a la funcion de Green para el problema (5.2.1):
G(x, s, t) =∞∑
n=1
2
lsen
(nπ
ls)sen
(nπ
lx)eα
2(nπl )
2t.
Se obtiene la solucion dada por:
u(x, t) =
∫ l
0
f(s)G(x, s, t)ds+
∫ l
0
∫ t
0
Q(s, τ)G(x, s, t− τ)dτ ds. (5.13)
Aquı se ve claramente que la primera integral corresponde a la solucion homogenea y la
segunda integral doble a la contribucion de la solucion para el problema no-homogeneo.
5.3. Problemas en la frontera
Analizando el problema:
ut = uxx + h(x)
u(x, 0) = 0 ; 0 < x < 1
u(0, t) = u(1, t) = 0 ; t > 0
Considerando que la funcion no-homogenea esta dada por h(x), con temperatura
inicial nula y en los extremos 0 y l es cero su temperatura:
u = 0 u = 0
0 b
Figura 5.3: Barra metalica de longitud finita.
La solucion (5.12) en este caso viene dada por:
u(x, t) =∞∑
n=1
Cne(nπ
l )2t sen(nπ) +
∞∑
n=1
[∫ t
0
enπ(t−s)qn(s)ds
]sen(nπx)
=∞∑
n=1
[∫ t
0
enπ(t−s)qn(s)ds
]sen(nπx),
con
qn(s) = 2
∫ l
0
Q(x, s) sen(nπx)dx = 2
∫ l
0
h(x) sen(nπx)dx.
605. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
Se observa que qn(s) es independiente de s, y qn es el coeficiente de Fourier para
h(x). Ası que qn ≡ qn(s), obteniendo:
∫ l
0
eknπ(t−s)qnds =qnknπ
[eknπt − 1
].
u(x, t) =1
k
∞∑
n=1
qn(1− eknπt)
(nπ)2sen(nπx).
Notando la solucion del estado por:
Ψ(x) = lımt→∞
u(x, t) =1
k
∞∑
n=1
qn(nπ)2
sen(nπx).
Es claro que Ψ(0) = Ψ(1) = 0, diferenciando dos veces, se tiene:
kΨ′′(x) = −∞∑
n=1
qn sen(nπx) = −f(x),
de aquı
kΨ′′(x) + f(x) = 0,
que es una solucion de estado.
Sı se considera que l = 1, f(x) = 0,
con Q(x, t) = h(x) sen(t), se obtiene la solucion para u(x, t) de la siguiente manera:
u(x, t) =∞∑
n=1
[∫ t
0
ekλn(t−s)qn(s)ds
]sen(nπx)
=∞∑
n=1
(− cos(t)− kλn sen(t) + ekλnt
1 + (kλn)2
)qn sen(nπx).
Este caso de estado no es independiente del tiempo.
v(x, t) =∞∑
n=1
(− cos(t)− kλn sen(t)
1 + (kλn)2
)qn sen(nπx), con λn = −(nπ)2
y cuando t→∞, v(x, t) es una funcion periodica de periodo 2π.
5.4. Aplicacion a problemas de difusion 61
5.4. Aplicacion a problemas de difusion
Como se ha visto anteriormente, para una funcion g(x) en el dominio finito de
longitud L, la transformada de Fourier de cosenos viene dada por:
Fc[g(x)] = g(n) =
∫ L
0
g(x) cos(nπL
x)dx, 0 ≤ x ≤ L; (5.14)
n toma todos los valores 1, 2, 3, . . . El nucleo de esta transformacion es cos(nπLx).
Ademas de las propiedades, se tiene:
Fc
[d2g(x)
dx2
]= (−1)n dg
dx
∣∣∣x=L− dg
dx
∣∣∣x=0− n2π2
L2· g, (5.15)
con g(n) = Fc[g(x)]. Es decir, sı el problema de valor inicial envuelve la segunda derivada
en el dominio 0 ≤ x ≤ L, y posee condiciones de segundo tipo en sus extremos, la
transformacion de Fourier de coseno se puede utilizar para transformar la derivada de
orden dos.
La transformacion inversa de Fourier F−1[g(x)], esta dada por:
F−1[g(x)] = g(x) =g(n)
L
∣∣∣n=0
+2
L
∞∑
n=1
g(n) cos(nπL
x). (5.16)
Aquı g(n) son equivalentes a los coeficientes de Fourier de la expresion de g(x).
Problema 5.4.1. La difusion unıdimensional en una columna finita. El problema tran-
sitorio de difusion.
L
Sal
xx′
Figura 5.4: Difusion unıdimensional en una columna finita.
625. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
La ecuacion correspondiente a esta modelo viene dada por:
c = c(x, t)
∂c
∂t−D∗ ∂
2c
∂x2= 0, 0 ≤ x ≤ L. (5.17)
Con condiciones en la frontera:
∂c
∂x(0, t) = 0 (5.18)
∂c
∂x(L, t) = 0. (5.19)
Condiciones iniciales:
c(x, 0) = C0δ(x− x′), (5.20)
donde δ es la funcion delta de Dirac en x = x′.
b
Salto infinito
c(x, 0)
x′L
x
Figura 5.5: Grafica de c(x, t) sobre un intervalo infinitamente pequeno.
Aplicando la transformada de Fourier en cada termino, se obtiene:
Fc
[∂c
∂t
]=
∫ L
0
∂c
∂tcos
(nπL
x)dx =
∂
∂t
∫ L
0
c · cos(nπL
x)dx
︸ ︷︷ ︸c(n,t)
=∂c
∂t
Fc
[∂2c
∂x2
]= (−1)n ∂c
∂x(L, t)− ∂
∂x(0, t)− n2π2
L2c.
De acuerdo con (5.17) Fc
[∂c
∂t
]− Fc
[D∗ ∂
2c
∂x2
]= Fc[0], la cual se reduce a:
5.4. Aplicacion a problemas de difusion 63
dc
dt+
n2π2D∗
L2c = 0; (5.21)
Fc[c(x, 0)] = c(n, 0) = C0
∫ L
0
δ(x− x′) cos(nπL
x)dx,
utilizando la propiedad de la funcion delta cuando se integra,
c(n, 0) = C0 cos(nπL
x). (5.22)
La ecuacion (5.21) es una ecuacion diferencial ordinaria, homogenea, la cual se soluciona
separando variables e integrando:
dc
c= −n2π2D∗
L2dt,
∫dc
c= −
∫n2π2D∗
L2dt
por lo tanto
c = ke−n2π2D∗
L2 t.
Satisfaciendo las condiciones iniciales k = C0 cos(nπx′
L
), de aquı:
c(n, t) = C0 cos(nπL
x′)e−
n2π2D∗
L2 t; (5.23)
lo siguiente es obtener c, a partir de c, de la siguiente manera:
c = F−1c [c(n)] =
c(n)
L
∣∣∣n=0
+2
L
∞∑
n=1
c(n) cos(nπL
x).
La solucion final de (5.17) teniendo en cuenta las condiciones en la frontera e iniciales
viene dada por:
c(x, t) =C0
L+
2
LC0
∞∑
n=1
cos(nπL
x′)cos
(nπL
x)e−
n2π2D∗
L2 t. (5.24)
El problema anterior se realizo utilizando la transformacion Fc, lo cual arrojo una ecua-
cion diferencial ordinaria para c (5.21). De igual forma se puede aplicar la transformada
de Laplace a (5.21) y resolviendo de igual forma la ecuacion diferencial ordinaria para
c∗.
De (5.21) dcdt+ n2π2
L2 D∗c = 0, con c(n, 0) = C0 cos(nπLx′).
645. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
Aplicando la transformada de Laplace, se tiene:
ρc∗ − c(n, 0) +n2π2
L2D∗c∗ = 0; c∗ = c∗(n, ρ),
ρc∗ − C0 cos(nπL
x′)+
n2π2
L2D∗c∗ = 0,
c∗ =C0 cos
(nπLx′)
ρ+ n2π2
L2 D∗.
Aplicando L−1[
1s−a
]= eat.
L−1
[1
ρ+ n2π2
L2 D∗
]= e−
n2π2D∗
L2 t,
de aquı:
L−1[c∗(n, ρ)] = c(n, t) = C0 cos(nπL
x′)e−
n2π2D∗
L2 t,
aplicando F−1c ,
c(x, t) = F−1c [c(n)] =
c(n)
L
∣∣∣n=0
+2
L
∞∑
n=1
c(n) cos(nπL
x)
=C0
L+
2
L
∞∑
n=1
cos(nπL
x′)cos
(nπL
x)e−
n2π2D∗
L2 t.
Problema 5.4.2. Sea el problema de difusion a lo largo de una columna finita:
x
f(x)
0
Sal
Condicion inicial f(x)
L
c0cL
Figura 5.6: Difusion a lo largo de una columna finita.
c(x, 0) = c0
c(L, t) = cL
5.4. Aplicacion a problemas de difusion 65
La ecuacion que gobierna este modelo viene dada por:
θ∂c
∂t= θD∗ ∂
2c
∂x2; 0 ≤ x ≤ L. (5.25)
La cual se simplifica como:
∂c
∂t−D∗ ∂
2c
∂x2; 0 ≤ x ≤ L. (5.26)
Las condiciones iniciales vienen dadas por:
c(0, t) = c0, c(L, t) = cL, c(x, 0) = f(x). (5.27)
Aplicando la transformacion del seno:
c(n, t) =
∫ L
0
c(x, t) sen(nπL
x)dx.
Fs
[∂c
∂t
]=
∂c
∂t≡ dc
dt;
Fs
[∂2c
∂x2
]=
nπ
L
[c0c(x)
∣∣∣x=0− (−1)n cL
c(x)
∣∣∣x=L
]− n2π2
L2c.
De (5.26)dc
dt−D∗
[nπ
L(c0 − (−1)ncL)−
n2π2
L2c
]= 0
De aquıdc
dt− nπ
LD∗ [c0 − (−1)ncL] +
n2π2
L2D∗c = 0. (5.28)
Para las condiciones iniciales:
Fs [c(x, 0)] = c(n, 0) =
∫ L
0
f(x) sen(nπL
x)dx.
La expresion (5.28) es una ecuacion diferencial ordinaria no-homogenea, la cual posee
un factor integrante dado por en2π2
L2 D∗t.
c(n, t) = Ae−n2π2
L2 D∗t +nπ
LD∗ (c0 − (−1)ncL) e−
n2π2
L2 D∗t
∫ t
0
en2π2
L2 D∗τdτ,
= Ae−n2π2
L2 D∗t +L
nπ(c0 − (−1)ncL)
[1− e−
n2π2
L2 D∗t
];
665. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
si se aplican las condiciones iniciales se obtiene:
A =
∫ L
0
f(x) sen(nπL
x)dx.
c(n, t) = e−n2π2
L2 D∗t
∫ L
0
f(x) sen(nπL
x)dx+
L
nπ(c0 − (−1)ncL)
[1− e−
n2π2
L2 D∗t
];
Finalmente se obtiene que la solucion c(x, t) esta dada ası:
c(x, t) =2
L
∞∑
n=1
e−n2π2
L2 D∗t
∫ L
0
[f(x′) sen
(nπL
x′)dx′
]sen
(nπL
x)
+2
L
∞∑
n=1
[L
nπ(C0 − (−1)ncL)
(1− e−
n2π2
L2 D∗t
)]sen
(nπL
x).
Problema 5.4.3. Sea el problema bidimensional:
S∂h
∂t= T
∂2h
∂x2+ T
∂2h
∂y2−Qδ(x− x′)δ(y − y′) (5.29)
0 ≤ x ≤ L
0 ≤ y ≤ L
y
xL
h(0, y, t) = 0 h(L, y, t) = 0
h(x, L, t) = 0
h(x, 0, t) = 0
b(x′, y′)
Q
Figura 5.7: Grafica del problema (5.4.3).
La ecuacion (5.29) se puede escribir como:
∂h
∂t− T
S
∂2h
∂x2− T
S
∂2h
∂y2+
Q
Sδ(x− x′)δ(y − y′) = 0 (5.30)
Las condiciones de frontera e iniciales vienen dadas por:
h(0, y, t) = 0; h(L, y, t) = 0; h(x, 0, t) = 0; h(x, L, t) = 0; h(x, y, 0) = 0.
5.4. Aplicacion a problemas de difusion 67
Se puede obtener la solucion a este problema aplicando la transformada de Fourier
del seno:
Primero se aplica la transformada Fs en x:
∂h
∂t+
n2π2
L2T h− nπ
SLT [h(0, y, t)− (−1)nh(L, y, t)]− T
S
∂2h
∂y2
+Q
Sδ(y − y′)
∫ L
0
δ(x− x′) sen(nπL
x)dx = 0;
donde h(n, y, t) =
∫ L
0
h(x, y, t) sen(nπL
x)dx.
Lo que conduce a:
∂h
∂t+
n2π2
SL2+
n2π2
SL2T h− T
S
∂2h
∂y2+
Q
Sδ(y − y′) sen
(nπL
x′)= 0.
De las condiciones en la frontera e iniciales se tiene:
Fs[h(x, 0, t)] = h(n, 0, t) = 0,
Fs[h(x, L, t)] = h(n, L, t) = 0,
Fs[h(x, y, 0)] = h(n, y, 0) = 0.
Aplicando ahora Fs para y:
∂h∗
∂t+
n2π2
SL2h∗ +
m2π2
SL2Th∗ − mπ
SLT[h(n, 0, t)− (−1)nh(n, L, t)
]+
+Q
Ssen
(nπL
x′)∫ L
0
δ(y − y′) sen(nπL
y)dy = 0.
Al simplificar:
dh∗
dt+
n2π2
SL2Th∗ +
m2π2
SL2Th∗ +
Q
Ssen
(nπL
x′)sen
(mπ
Lx′)= 0; (5.31)
donde
h∗(n,m, t) =
∫ L
0
h(n, y, t) sen(mπ
Ly)dy.
Aplicando Fs a la condicion h(n, y, 0), se obtiene: h∗(n,m, 0) = 0.
La ecuacion (5.31) es lineal, de primer orden no-homogenea, la cual se resuelve utili-
zando un factor integrante definido por ϕm = m2π2
SL2 T ; ϕn = n2π2
SL2 T , (5.31) se transforma
685. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
en:dh∗
dt+ (ϕm + ϕn)h
∗ = −Q
Ssen
(nπL
x′)sen
(mπ
Ly′).
Si a1(t) = ϕm + ϕn; h(t) = −QSsen
(nπLx′) sen
(mπLy′)
se tiene para h∗(t) :
h∗(t) =1
e∫a1(α)dα
∫ t
0
h(α)e∫a1(ξ)dξdα.
Ahora si se tiene en cuenta que∫a1(α)dα = (ϕm + ϕn)t, reemplazando se tiene:
h∗(t) =1
e(ϕm+ϕn)t
∫ t
0
[−Q
Ssen
(nπL
x′)sen
(mπ
Ly′)]
e(ϕm+ϕn)αdα
h∗(t) = −Q
Ssen
(nπL
x′)sen
(mπ
Ly′)e−ϕm,nt
∫ t
0
eϕm,nτdτ ;
donde
ϕn,m = ϕm + ϕn =π2
SL2T (n2 +m2).
Ahora ∫ t
0
eϕm,nτdτ =1
ϕm,n
[eϕm,n − 1] .
Por lo tanto
h∗(t) = −Q
Ssen
(nπL
x′)sen
(mπ
Ly′)e−ϕm,nt
1
ϕm,n
[eϕm,n − 1] .
De aquı:
h∗(t) = −Q
Ssen
(nπL
x′)sen
(mπ
Ly′) 1
ϕm,n
[1− e−ϕm,nt
].
Aplicando la inversa dos veces, primero para obtener h y despues h, se obtiene:
h(n, y, t) = − 2
L
Q
Ssen
(nπL
x′) ∞∑
m=1
sen(mπ
Ly′) 1
ϕm,n
[1− eϕm,nt
]sen
(mπ
Ly).
h(x, y, t) = − 4
L2
Q
S
∞∑
n=1
∞∑
m=1
sen(nπL
x′)sen
(mπ
Ly′) 1
ϕm,n
[1− e−ϕm,nt
]sen
(nπL
x)sen
(mπ
Ly).
5.4. Aplicacion a problemas de difusion 69
Al sustituir el valor de ϕm,n, finalmente se obtiene:
h(x, y, t) = − 4
π2
Q
T
∞∑
n=1
∞∑
m=1
sen(nπL
x′)sen
(mπ
Ly′)
· 1
m2 + n2
[1− e−
π2
SL2 T (m2+n2)t
]sen
(nπL
x)sen
(mπ
Ly).
705. Aplicacion de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales
6
Conclusiones
1. La transformada de Fourier y Laplace son una herramienta de mucha utilidad
para resolver problemas en dominios infinitos con condiciones iniciales y en la
frontera.
2. Cuando se tienen funciones periodicas en un intervalo continuo puede ser a trozos,
es aconsejable resolver este tipo de problemas utilizando series de Fourier.
3. La transformada de Laplace es aconsejable utilizar para resolver ecuaciones dife-
renciales ordinarias y algunas ecuaciones diferenciales parciales lineales.
4. La transformada de Fourier se puede ver como una extension logica de las series
de Fourier.
5. Las transformadas de Fourier y Laplace son similares y la diferencia radica en su
utilizacion ya que una esta definida en los imaginarios y la otra en los complejos.
6. Debido a la propiedad de completitud media, la clase de funciones que se pueden
representar por medio de las transformadas de Fourier y Laplace es muy grande y
se pueden utilizar para resolver una gran gama de problemas tales como senales,
recuperacion de informacion (fotografıas), etc.
7. Cuando se tienen condiciones en la frontera homogenea se aplica la transformada
de Fourier del seno.
Si se tienen condiciones en la frontera no-homogenea se sugiere utilizar la trans-
71
72 6. Conclusiones
formada de Fourier del seno modificada, es decir:
F′s[g(s)] = g(m) =
∫ L
0
g(x) sen(nπL
x)dx, 0 ≤ x ≤ L.
Esta transformada posee la siguiente propiedad:
F∗s
[d2g
dx2
]= −m2π2
L2g +
mπ
Lg∣∣∣x=0− (−1)n dg
dx
∣∣∣x=L
,
con m = n− 12.
F∗−1s [g(m)] = g(x) =
2
L
∞∑
n=1
g(m) sen(mπ
Lx)
Forma generalizada de las transformadas de Fourier para problemas en la frontera.
7
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