ContenidoIntroduccin15.TRANSFORMACIONES LINEALES25.1Introduccin a las transformaciones lineales2La transformacin cero3La transformacin identidad35.2Ncleo e imagen de una transformacin lineal4Teorema4Ncleo e imagen de la transformacin cero4Ncleo e imagen de la transformacin identidad55.3La matriz de una trasformacin lineal5Teorema65.4Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexin, dilatacin, contraccin y rotacin.6Dilatacin o escalamiento 2D6Dilatacin o escalamiento 3D7Transformacin de reflexin8Transformacin de rotacin9

Introduccin Una transformacin es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Se denomina transformacin lineal a toda funcin cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las trasformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el lgebra lineal y en otras ramas de las matemticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicacin en la fsica, la ingeniera y en diversas ramas de la matemtica. A continuacin se explican las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, su imagen y el ncleo, y su representacin matricial.

TRANSFORMACIONES LINEALES Introduccin a las transformaciones lineales Definicin: Sean y espacios vectoriales reales. Una transformacin lineal de en es una funcin que asigna a cada vector un vector nico y que satisface, para cada y en y cada escalar, Y

Notacin:1. Se escribe para indicar que toma el espacio vectorial real y lo lleva al espacio vectorial real ; esto es, es una funcin con como su dominio y un subconjunto de como su imagen. 2. Se escriben indistintamente y. Denotan lo mismo; los dos se leen . 3. Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales. Ejemplo Sea definida por. Por ejemplo, . Entonces Pero As, De manera similar, As, es una transformacin lineal. La transformacin cero Sean y espacios vectoriales y defina por para todo en . Entonces y . En este caso, se denomina la transformacin cero. La transformacin identidad Sea un espacio vectorial y defina por para todo en . Aqu es obvio que es una transformacin lineal, la cual se denomina transformacin identidad.

Ncleo e imagen de una transformacin lineal Definicin: Sean y dos espacios vectoriales y sea una transformacin lineal. Entonces I) El ncleo o kernel de , denotado por , est dado por II) La imagen o recorrido de , denotado por , est dado por Teorema Si es una transformacin lineal, entonces I) es una subespacio de. II) es un subespacio de. Demostracin I) Sean u y v en ; entonces y de forma que y estn en . II) Sean w y x en . Entonces y para dos vectores u y v en . Esto significa que y . Por lo tanto, y estn en . Ncleo e imagen de la transformacin cero Sea para todo ( es la transformacin lineal). Entonces e . Ncleo e imagen de la transformacin identidad Sea para todo ( es la transformacin identidad). Entonces e . Las trasformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el ncleo. En la segunda slo el vector cero se encuentra en el ncleo.

La matriz de una trasformacin lineal Si es una matriz de y est definida por , entonces, es una transformacin lineal. Entonces, una transformacin lineal puede estar definida por ecuaciones de la forma: . . . . . . . . . . . . En notacin matricial: En notacin ms compacta: Teorema Sea una transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de , tal que para toda Ejemplo: Resultado:

Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexin, dilatacin, contraccin y rotacin.

Dilatacin o escalamiento 2D El escalamiento 2D implica el cambio de tamao de un polgono, donde cada punto es transformado por la multiplicacin de dos factores de escalamiento: y a lo largo de los ejes y respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto se obtienen como: Sea el vector de factores de escalamiento, y la matriz de escalamiento, en coordenadas homogneas el escalamiento de un punto en 2D se puede expresar como el producto matricial , es decir: , La figura muestra el efecto escalamiento de una figura con y . Dilatacin o escalamiento 3D Extendiendo la idea anterior a 3D, el escalamiento implica el cambio de tamao de un poliedro, donde cada punto es transformado por la multiplicacin de tres factores de escalamiento: , y a lo largo de los ejes , y respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto se obtienen como: Sea el vector de factores de escalamiento, y la matriz de escalamiento, en coordenadas homogneas el escalamiento de un punto en 3D se puede expresar como el producto matricial , es decir: , La figura muestra el efecto de escalamiento de una figura con , y . Transformacin de reflexin Sea definida por . Es fcil verificar que es lineal. En trminos geomtricos, toma un vector en y lo refleja respecto al eje . Transformacin de rotacin Suponga que el vector en el plano se rota un angulo (medida en grados o radianes) en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Llame a este vector rotado . Entonces, como se ve en la figura 7.3, si denota la longitud de (que no cambia por la rotacin). Pero , de manera que

Bibliografa Grossman, Stanley I., Flores Jos, lgebra lineal, Sptima edicin, Mc Graw Hill Santiago Hernndez, Clemente, lgebra Lineal 1 10 9