T3-CALCULO-TRANSFORMADAS (1)

8/12/2019 T3-CALCULO-TRANSFORMADAS (1)

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TRANSFORMADAS DE FOURIER APLICADAS EN

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Integrantes:

CERNA KROLL CLAUDIAGARCA VSQUEZ MARCO

HUAMAN ORTEGA ANTONY

HUAMANTALLA ORTEGA WALTERPARIASCA GAMARRA JAIROTONCCONI ATACHAGUA KATHERINE


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Resumen

Este proyecto tiene como finalidad brindar el conocimiento de

la aplicacin de las transformadas de Fourier en ecuaciones

diferenciales parciales con las condiciones de frontera

indicadas.

Adems por medio de esta aplicacin se realiz el clculo de

la ecuacin para barras, tambin se puede aplicar en el

desplazamiento de una cuerda de longitud finita, esto nos

permitir obtener el promedio de calor con respecto a una

barra de acero o segn el material.


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Introduccin

Esta presentacin forma parte de la produccin del Proyecto de

Investigacin Matemtica Aplicada para Carreras de Ingeniera

Diseo e Implementacin de Propuestas Didcticas Contextualizadas,

actualmente en desarrollo en la Facultad de Ingeniera de la Universidad

Privada del Norte(UPN).

El proyecto tiene como principal objetivo el anlisis del rol de la

Matemtica en el mapa curricular de la carrera (en las especialidades

Electromecnica, Electrnica, Civil, Industrial y afines), su vinculacin

con las dems reas y su insercin en contextos especficos de la

Ingeniera


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Objetivos

Objetivo general:

Objetivo Especfico:

Realizar la aplicacin de las transformadas de Fourier enecuaciones diferenciales parciales.

Determinar la transmisin de calor a lo largo de una barra

con los conocimientos adquiridos en el desarrollo de este tema.


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Justificacin

En este presente trabajo se requiere la solucin de ecuacionesde derivadas parciales para el desarrollo de nuestro proyecto yaque su solucin debe ser tan precisa o exactas como latransformada de Fourier.


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Problemtica

Se requiere determinar la temperatura de una barra aplicandoecuaciones de derivadas parciales con la ayuda detransformadas de Fourier.


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Marco Terico

1. Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es bsicamente el espectro de frecuencias de

una funcin y una serie de Fourier es una serie infinita que converge

puntualmente a una funcin peridica y continua a trozos (o por partes).

Las series de Fourier constituyen el anlisis de Fourier empleado para

analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha

funcin en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho ms simples

(como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras).


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Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier

de la funcin


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Aplicaciones de la Series de Fourier:Aplicacin en procesamiento digital de seales Aplicaciones en la medicina

Aplicaciones diversas:

-El problema isoperimtrico-Temperatura de la tierra

-Evaluacin de series no triviales

-La desigualdad de Wirtinger

-Solucin de ecuaciones diferenciales

-Flujo del calor

-Ecuacin de ondas-Formula de Poisson

-Identidad de Jacobi


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2 Ecuacin Diferencial Parcial Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que relaciona de manera

no trivial a una funcin desconocida y una o ms derivadas de esta funcin

desconocida con respecto a una o ms variables independientes. Si la

funcin desconocida depende de una sola variable la ecuacin diferencial se

llama ordinaria, por el contrario, si depende de ms de una variable, se

llama parcial.

Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales parciales (EDP):

-Mecnica de Fluidos

-Circuitos

-Gravitacin Universal

-Modelo de crecimiento poblacional

-Dinmica de cada


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Extremos de la barra mantenidos a temperatura cero

La distribucin de la temperatura , en una barra delgada,homognea (densidad constante) de longitud , dado que latemperatura inicial en la barra en el tiempo creo en la seccintransversal en perpendicular al eje es (). Los extremos de labarra son mantenidos a temperatura cero durante todo el tiempo.

El problema con valores en la frontera que modela esta

distribucin de temperatura es:

para 0 < < , > 0, 0, , 0 para 0,

, 0 para 0 .

, 2 (

=

( ))(

)


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Temperatura en una barra con extremos aisladosConsideramos la conduccin de calor en una barra con extremosaislados, aqu no hay perdida de energa por los extremos. Si latemperatura inicial es () , la funcin esta modelada por elproblema con valores en la frontera

para 0 < < , > 0,

(0,) (,) para > 0, , 0 para 0 .

, 12 cos

= 2 ()

( )


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3 La Ecuacin del Calor

Es apropiada para el abordaje de una Matemtica Aplicada al contexto

de carreras de Ingeniera pues involucra conceptos inherentes a

disciplinas como Fsica y Termodinmica; adems los conceptos

matemticos asociados al planteo y resolucin de esta ecuacin, son

de una riqueza y un nivel de complejidad interesantes, ya que entranen escena Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), Ecuaciones

Diferenciales Parciales (EDP), Series de Fourier, Anlisis Real y

Anlisis Complejo.


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ProblemaUna barra de longitud L es igual a 50 cm; esta inmersa en vapor hasta quesu temperatura es u0= 100C. en el tiempo t es igual a cero y su superficielateral es aislada y sus dos extremos se sumergen en hielo a 0C.Calclese la temperatura de la barra en su punto medio despus de media

hora si esta hecha de:-Hierro-Concreto


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El problema con valores en la frontera para esta funcin de temperatura de la

barra u(x,t) es :

Ut = k.uxx

U(0,t)= u(L,t)= 0;

U(x,0)= u0

Recordando la serie de onda cuadrada

4 1 sen

; 1 0 < < 1 < < 0=

Solucin de problema


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Se concluye que la serie de Fourier en trminos de la funcin seno de f(x)

equivalente a u0 es

4uo 1 sin

=

Para 0


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Por ello la funcin de la barra de temperatura esta dada por

, 4uo

1 exp

(

)=

Luego u=u(x,t) con u0=100 y L=50. Conforme t se incrementa, se observa que

la temperatura mxima de la barra decrece en estado permanente. Latemperatura en el punto medio x=25 despus t=1 800 segundos es

25,1800 400 (1)+

exp18

25 =


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El valor k=0.15

25,1800 43,8519 0.0029 0.0000 43,85

Este valor 25,1800 43,85es la altura maxima de , 1800 Si se usa el factor k = 0.005 para concreto se obtiene

25,1800122,879530,825710,47543,18940,79580,15720,02420,00290,00030,0000100,00

En este caso el concreto es un aislante muy efectivo.


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Conclusin

Utilizar ecuaciones diferenciales en transformas de Fourier es degran utilidad en diversas aplicaciones como es el caso de ecuacinde calor y ecuacin de onda.

La temperatura en el punto medio de la barra resulto 100,00 Cconsiderando un factor k=0,005 lo que indica que el concreto es un

aislante muy efectivo.


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Extrado de:http://www.dmae.upm.es/Asignaturas/MetodosMatematicos_eiae/Transformada_Fourier.pdf

Sproviero, Marcelo O. Transformada de Laplace y Fourier. BuenosAires: Nueva Librera ,2005

Extrado de:http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/ecudepa.pdf

Bibliografa

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