Colegio La Casa de CartónGoyo Matemática 5

Modelado matemático con funciones exponenciales y logarítmicas El poder de los logaritmos consiste en su utilidad para resolver ecuaciones exponenciales. Algunos ejemplos incluyen sonido (medidas de decibeles), terremotos (escala Richter), el brillo de las estrellas y química (balance de pH, una medida de acidez y alcalinidad). Veamos la escala Richter, una función logarítmica que se usa para medir la magnitud de los terremotos. La magnitud de un terremoto se relaciona con cuánta energía libera. Instrumentos llamados sismógrafos detectan el movimiento de la tierra; el movimiento más pequeño que puede detectarse en un sismógrafo tiene una donde con amplitud A0. 

A – la medida de la amplitud de la onda del terremotoA0 – la amplitud de la onda más pequeña detectable (u onda estándar) 

De aquí puedes encontrar R, la medida en la escala de Richter de la magnitud del terremoto usando la fórmula: 

 La intensidad de un terremoto típicamente se mide entre 2 y 10 en la escala de Richter. Cualquier terremoto que se registra por debajo de 5 es un terremoto menor; pueden mover un poco el suelo, pero normalmente no son lo suficientemente fuertes para causar algún daño. Los terremotos que miden entre 5 y 7.9 en la escala de Richter son mucho más severos y cualquier terremoto por encima de 8 causará mucho daño. (El grado más alto jamás registrado para un terremoto fue de 9.5, durante el terremoto de 1960 en Valdivia, Chile.)  

Problema Un terremoto se mide con una amplitud 392 veces más grande que A0. ¿Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala Richter, en décimas?

Usa la ecuación de la escala Richter.

Como A es 392 veces más grande que A0, A = 392A0. Sustituye esta expresión por A.

R = log 392R = 2.5932…R   2.6

Simplifica la expresión

.

Usa una calculadora para evaluar el logaritmo.

Respuesta La magnitud de este terremoto es de 2.6 en la escala de Richter.

 Una diferencia de 1 punto en la escala Richter corresponde a una diferencia 10 veces la amplitud en la amplitud del terremoto (que se relaciona con la fuerza de la onda). Esto significa que un terremoto que mide 3.6 en la escala de Richter tiene una amplitud 10 veces más grande que uno que mide 2.6.

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 El sonido se mide en una escala logarítmica usando una unidad que se llama decibel. La fórmula se parece mucho a la de la escala de Richter:

 donde P es la potencia o intensidad del sonido y P0 es el sonido más débil que puede captar el humano.  

Problema Una bomba de agua caliente tiene un índice de ruido de 50 decibeles. Una lavadora de platos, tiene un índice de ruido de 62 decibeles. ¿Qué tan intenso es el ruido de la lavadora comparado con el ruido de la bomba?

No puedes comparar fácilmente los dos ruidos usando la fórmula, pero puedes compararlas con P0. Empieza por encontrar la intensidad del ruido para la bomba de agua caliente. Usa h para la intensidad del ruido de la bomba.

Divide entre 10 las ecuaciones para despejar logaritmo.

Reescribe la ecuación como una ecuación exponencial.

h = 105P0 Multiplica por P0 para despejar h.

Repite el mismo proceso para encontrar la intensidad del sonido de la lavadora de platos.

Para comparar d con h, puedes dividir. (Piensa: si el ruido de la lavadora de plantos es dos veces más intenso que el de la bomba, entonces d debe ser 2h — esto

es,   debe ser 2.)Usa las reglas de los exponentes para simplificar el cociente.

Respuesta El ruido de la lavadora de platos es 101.2 (alrededor de 15.85) veces más intenso que el de la bomba de agua caliente.

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Con los decibeles, cada incremento de 10 significa que el sonido es 10 veces más intenso. Un incremento de 20 sería 10 veces más intenso que el primer 10 y otras 10 veces más intenso para el segundo 10 — ¡por lo que un sonido de 75 decibeles es 100 veces más intenso que un sonido de 55 decibeles! La medida de acidez de un líquido se llama pH del líquido. Está basada en la cantidad de iones de hidrógeno (H+) en el líquido. La fórmula del pH es: 

pH = −log[H+] 

donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno, dada en una unidad llamada mol/L (“moles por litro”; un mol es 6.022 x 1023moléculas o átomos). Líquidos con pH bajo (hasta 0) son más ácidos que los que tienen un pH alto. El agua, que es neutral (ni ácida ni alcalina) tiene un pH de 7.0.  

Ejemplo

Problema Si el jugo de limón tiene un pH de 1.7, ¿cuál es la concentración de iones de hidrógeno (in mol/L) en el jugo de limón, en centésimas?

pH = −log[H+] Usa fórmula del pH.

1.7 = −log x Sustituye el pH conocido en la fórmula y representa H+ con la variable x.

−1.7 = log x Si 1.7 = −log x, entonces log x = −1.7.

x = 10-1.7

x = 0.02.Resuelve x.

Respuesta La concentración de iones de hidrógeno en el jugo de limón es de 0.02.

 

Ejercicio: El 31 de mayo de 1970, un terremoto asoló el Callejón de Huaylas durante 45

segundos, que causó la destrucción de las principales ciudades y ocasionó

aproximadamente 67 000 víctimas.

Si a 100 Km del epicentro hubiera estado ubicado un sismógrafo, este habría registrado

una lectura de 31 622,77 mm. (Considere A0 = 0,001)

 Ejercicio: 

La leche tiene una concentración de iones de hidrógeno de 1,6 x 10 -7 moles por litro y

el café 1,3 x 10 -5. Determine el pH de estas sustancias.