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MODELO DE DETERMINACIÓN DE PRIMA DE UN PRODUCTO ALTERNATIVO COMBINADO DE TRANFERENCIA DE RIESGOS

Mª Victoria Rivas López

Alfredo Cuesta Infante

C.E.S Felipe II (U.C.M) [email protected]

[email protected]

Resúmen: Este articulo presenta un modelo de fijación de prima de un producto Alternativo de Transferencia de Riesgos (ART) Combinado. El modelo incorpora tres aspectos: (i) aplicación de la teoría de cópulas para la fijación de prima de los productos de reaseguro, (ii) una combinación de productos Alternativos de Transferencia de Riesgos (iii) implicaciones para la cedente en su balance, cuenta de resultados y principales ratios financieros. Este productoo ART Combinado combina un Finite Quota Share, un Multiline-Multiyear y un producto Single-Trigger. Las funciones Cópula han sido utilizadas para introducir la consideración de dependencia entre variables aleatorias implicadas en el estudio. Este artículo añade un análisis de varios escenarios obtenidos a partir del modelo de fijación de prima presetado. Por ultimo, ha sido elegido el modelo insurative para analizar la estructura de capital. Este proceso ha sido llevado a cabo utilizando la apliación denominada ICT, desarrollada en Matlab. Palabras clave: Modelo Insurative, Teoría de Cópulas, Finite Quota Share, Single Trigger, Productos Alternativos de Transferencia de Riesgos, Matlab.

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1. INTRODUCCIÓN

En los últimos años, la industría financiera se ha visto afectada por aspectos como la globalización, desregulación de los mercados, el acelerado avance tecnológico y de redes de información. (Chernovai, Rachev and Fabozzi, 2007) y en la actualidad por una fuerte crisis financiera sistémica que ha llevado a un situación de reducción de beneficios, falta de liquidez, inestabilidad para las compañías de seguros y reaseguro a nivel internacional.

Por otra parte, la tipolgía de riesgos se ha visto y agradada debido a aspectos como, la intensificación de catastrófes naturales, cambio climático, terrorismo, riesgo de créditicio y liquidez entre otros aspectos.

Ante esta situación, durante la última decada han aparecido en el sector asegurador nuevos productos, soluciones o estructuras (productos Alternativos de Transferencia de Riesgos) que ofrezcan una mayor capacidad y cobertura ante este nuevo mapa de riesgos.

En este artículo se ha planteado un posible producto combinado de varios productos alternativos con vistas a conseguir un producto a medida que podría darse en el mercado con vistas a cubrir riesgos catastróficos. Se presenta un producto Alternativo de Transferencia de Riesgos que combina varios productos ART bajo en marco de dependencia de variables alteatorias.

La consideración de dependencia ha sido incluída debido a que la IAA (International Actuarial Association) considera que es necesario contruir modelos de fijación de prima que tengan en cuenta la dependencia de riesgos y aconseja para ello la aplicación de la teroía de Cópulas (IAA, 2004). En relación con esta línea de investigación se destaca los estudios desarrollados en la última década. (Frees and Valdez, 1998; Embrechts et al, 2001; Blum et al, 2002).

El producto ART Combinado presentado en este artículo incluye un Finite Quota Share, a Multiline-Multiyear y un producto Single-Trigger. El Finite Quota Share (FQS) ha sido elegido debido a que es uno de los más antiguos e importantes en el ámbio de reaseguro financiero diseñado para proporcionar un excendente de capital para la cedente. (Monti and Barile, 1995).

Además en ciertos escenarios FQS incrementa la capacidad de suscripción, intensificándose

dicho efecto ante la inclusión de la teoría de Cópulas en la fijación de la primas. Los productos Multi-line y Single-Trigger han sido seleccionados por caracterizarse por ser productos que facilitan la diversificación de riesgos y la reducción del riesgo global de la cedente. Estas dos últimas soluciones englobadas en las denomindas soluciones integrales de gestión de riesgos (Integrated Risk Management Solutions, IRM), que proporcionan una cobertura simultánea a múltiples líneas de negocio. (Culp, 2002).

La aplicación utilizada ha sido ICT (Insurance Copula Theory) desarrollada en Matlab (Rivas

and Cuesta, 2006 a, b) y que engloba cinco baterías compuestas por funciones de distribución acumuladas (cdf), su inversa (icdf), funciones marginales, funciones Cópula Arquimedianas.

Los principales cálculos desarrollados y centro de la aplicación son denominados:

‘Eval_Copula’, ‘Eval_Margins’ and ‘Eval_Mix’. Este conjuto de calculos incluye la determinación de los estimadores dada un función cópula, marginal , funciones cópula y marginal de forma conjunta usando la función de máxima verosimilitud, ‘Lobj’, ‘fobj’ and ‘LmixObj’ El proceso de optimización se construye mediante ‘fminsearch’. Para obtener la función de distribución empírica de los datos iniciales se utliza ‘Normdat’ y para el cálculo de la Tau-Kendall se utiliza la función‘Tkendall’.

3

En el caso de los funciones marginales, la aplicación incluye las funciones de distribución Normal, Paralogística y Lognormal. Las funciones Cópula incluídas son: Heavy Right Tail (HRT) y Gumbel y pertencen a la familia de las Cópulas Arquimedianas. Han sido elegidas por su capacidad de reflejar amplios rangos o intervalos de dependencia (Nelsen, 2006). Figura 1 explica los principales contenidos de la aplicación ICT.

Aunque Matlab incluye algunas de estas fucniones, ICT contribuye con funciones de distribución adicionales como Paralogística que no se encuentra en el Statistics toolbox.

Asímismo, los productos ART diseñados “a medida” no están incluidos en las aplicaciones de Matlab y podrian ser incorporados con facilidad en ICT.

Outcomes

Marg.1

Marg.2

Marg.3

Cop.1

Cop.2

Cop.3

Interface Margins

Interface CDFs

Interface Copulas

Battery of Margins

Battery of Copulas

Data

CDF.1

CDF.2

CDF.3

Battery of CDFs

Interface Inverse CDFs

ICDF.1

ICDF.2

ICDF.3

Battery of Inverse CDFs

Prod.1 Prod.2 Prod.3

Interface Products

Battery of Products

Main functions

1. Eval_Copula 2. Eval_Margins 3. Eval_Mix 4. Normdat 5. Lobj 6. fobj 7. LMixObj 8. Tkendall

Fig. 1. Estructura de la aplicación ICT

El resto del artículo se organiza de la siguente forma. En el apartados 2 se presenta los productos ART seleccionados, los fundamentos teóricos del Modelo Insurative así como de la Teoría de Cópulas. En el tercer apartado se expone la metodología seguida para la simulación de cuantías siniestrales, el proceso de fijación de prima y el modelo de análisis de la estructura de capital. El aparatado 4 se desarrolla un ejemplo empírico y se evalúa los efectos para la cedente cuando un ART Combinado es utilizado. También se incluyen las implicaciones en el balance y la cuenta de resultados y principales ratios. Para este caso de estudio, se ha desarrollado una simulación por el método de Monte Carlo incluyendo las funciones Cópula al partir de la hipótesis de dependencia. Al final de dicho apartado se presenta el escenario bajo la hipótesis de no dependencia para obtener las oportunas conclusiones.

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2. ASPECTOS TEÓRICOS: PRODUCTOS ART, TEORÍA DE CÓPULAS Y MODELO

INSURATIVE

A. Productos ART

Los productos ART son definidos como soluciones, contratos o estructuras no tradicionales o hechas a medida proporcionadas por las compañías de seguro y reaseguro que permiten a las empresas financiar o transferir sus riesgos (Culp, 2002). Los productos ART seleccionados para este artículo han sido: Finite Quota Share (FQS), Multiline-Multiyear and Single-trigger con las siguientes características: -- FQS: Es un producto prospectivo pertenenciente a la tipología Finite Risk. La cedente transfiere un parte de la prima al reasegurador financiero y recibe la correspondiente comisión. Esta comisión es tratada en los estados financieros como un ingreso y sirve para incrementar el excedente de la cedente. (Monti and Barile, 1995)

-- Multiline-Multiyear: Son aquellos productos que cubren varias líneas de negocio (daños patrimoniales, responsabilidad civil frente a terceros, riesgos políticos, de negocio, o volatilidad de resultados financieros, etc (SwissRe, 2007).

Las ventajas son claras: Mayor diversificación y menor volatilidad que los programas de reaseguro tradicional, programas flexibles y coberturas adaptadas a las necesidades de cliente. Permiten optimizar la colación de capital en riesgo y proporciona relaciones a largo plazo entre la cedente y el reaseguro.

-- Single-Trigger: Ofrece una cobertura bajo una condición o acaecimiento de un hecho predefinido ocurrido durante un periodo de exposición fijado. El pago indemnizatorio depende tanto de riesgos de suscripción y financieros, como por ejemplo la volatilidad de los tipos de interés o tipo de cambio.(SwissRe, 2007).

B. Teoría de Cópulas

En esta sección, se presenta la base teórica de las funciones cópula bivariantes. Se destacan los amplios trabajos de investigación desarollados por varios autores. (Embrechts et al., 2001; Joe, 1997; Levi, 2001).

Definición 1: Una cópula C es una función de distribución definida en el hipercubo [0,1]n con funciones de marginales uniformemente distribuídas, acotadas inferiormente y n-crecientes

Definición 2: Una function de distribución n-dimensional is una H con dominio [−∞,+∞]n tal que H está acotada inferiormente, n-creciente y H(∞,…,∞)=1.

Definición 3: Un copula n-dimensional copula es una function C con dominio [0,1]n tal que C está acotada inferiormente y tiene marginales Ck, k=1,2,…,n, que satisfacen Ck=u ; u en[0,1].

Teormma 1 (Sklar's Theorem): Sea H una function de distribución n-dimensional con marginales F1,…,Fn. Entonces, existe una n-copula C tal que para cada x en [−∞,+∞]n

[ ]1 1 1( , , ) ( ), , ( )n n nH x x C F x F x=K K (1) De manera inversa, si C es una n-copula y F1,…,Fn son funciones de distribución, entonces

la function H definida más abajo es una función de distribución n-dimensional distribution con marginales F1,…,Fn.

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Colorario 1 (Sklar’s Theorem Corollary): Si F1,…,Fn son funciones de distribución estrictamente crecientes y la función C una cópula que satisface (1) , entonces exisite una función u entre [0,1]n C que también satisface ( ) ( ) ( )( )( 1) ( 1)

1 1 1, , , ,n n nC u u H F u F u− −=K K (2) Definción 4: Sea C1(u,v) la derivada C(u,v) con respecto al primer agrumento. Cuando la

function de distribución conjuta de X e Y viende dada por F(x , y) = C(FX(x , y) , FY(x,y)), entonces la función de distribución condicional |Y X x= viene dada por : ( )| 1( ) ( ), ( )Y X x X YF y C F x F y= = (3)

Definición 5: La función de densidad f de una función de distribución multivariante F viene

definida como:

11

1

( , , )( , , )( , , )

nn

n

F x xf x xx x

∂=

∂K

KK

La función de densidad de la cópula es:

11

1

( , , )( , , )( , , )

nn

n

C u uc u uu u

∂=

∂K

KK

(4)

Sea f i la ith función de densisdad marginal marginal, entonces la función de densidad F es:

( )1 1 11

( , , ) ( ( ), , ( ))n

n n n i ii

f x x c F x F x f x=

= ×∏K K (5)

Esta expresion es fundamental para estimar los parámetros de la copula y funciones marginales mediante máxima verosimilitud.

Definición 6 (Coeficiente de Correlación de Kendall): Sea (x ,y) y (x’ ,y’) sean dos

observaciones del vector (X ,Y). Entonces (x ,y) e (x’ ,y’) son concordantes si (x–x’)(y–y’)>0, and discordantes if(x–x’)(y–y’)<0.

Entonces el coeficiente de Kendall entre X e Y viene definido como:

( )( )

( )( )( , ) ' ' 0

' ' 0

X Y p x x y y

p x x y y

τ = − − >⎡ ⎤⎣ ⎦− − − <⎡ ⎤⎣ ⎦

(6)

y podría ser considerado como una medida del grado de concordancia (dependencia monótona) entre X e Y.

Definción 7: Sea ϕ una función continua estrictamente decreciente comprendida entre [0, 1]

a [0, ∞] tal que ϕ(1)=0 y sea ϕ [–1] una función pseudo-inversa ϕ. Sea C la función comprendida entre [0,1]2 a [0,1], siendo:

[ ] ( ) ( )( )1( , )C u v u vϕ ϕ ϕ−= + (7) Entonces C es copula si y solo si ϕ es convexa Las copulas que cumplen con la ecuación (7) son Arquimedianas y la función ϕ se denomina

generador de la cópula. Para riesgos catastróficos las copulas Arquimedinas son las más apropiadas para medir la correlación y representa mejor la asimetría entre las cuantías sinistrales. Dentro de la amplia familia de Cópulas Arquimedianas han sido seleccionadas para este artículo la HRT (survival Clayton) y Gumbel. La cópula HRT y Gumbel son amenudo utilizadas en el mundo actuarial debido a la correlación de colas. (Venter, G., 2001; Levi 2001).

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C. Modelo Insurative y principales ratios utilizados

En el ámbito financiero tradicionalmente se usa para medir el coste de capital y modelos de valoración de activos, capital asset pricing model (CAPM). Sin embargo, en la última década se ha llegado a la conclusion que no únicamente puede ser considerado el CAPM para la comprensión del coste de capital y capturar o representar todos los riesgos de la firma. Una aproximación alternativa para considerar la totalidad de los recursos de capital ha sido el Insurative Model, (Doherty, 1985; Shimpi, 2000). La idea es sencilla, se basa en formular el coste de capital como la media ponderada del coste de deuda, coste capital propio y el coste de capital en riesgo. El modelo Insurative está basado en la incorporación en el cálculo del coste de capital de todos los productos financieros, tanto los incluídos dentro y fuera del balance, con el objetivo de plasmar un marco consistente de medida y análisis. Como consecuencia de lo anterior, el modelo permite incorporar el impacto de la utilización de derivados, coberturas multi-ramo de seguros, soluciones de capital contingente, reaseguro finite, así como productos de titulización de catástrofes (cat-bond) entre otros. Fig 2 (Shimpi, 2001).

Fig.2. Descripción del Modelo Insurative

Este modelo utiliza el siguiente ratio en el análisis del coste de capital, T, Total Averages Cost of Capital (TACC), y viene dado por:

d e id e i

f f f

V V VTACC C C CV V V

= + + (8)

donde Cd, Ce, Ci son el coste de capital de deuda, propio y de seguro respectivamente; y Vd, Ve, Vi, Vf son la cuantía de deuda, capital propio, seguros y pasivo total.

La relación entre TACC y Weighed Average Cost of Capital (WACC) es:

d e ii

f f

V V VTACC WACC CV V+

= + (9)

Los siguientes ratios financieros y aseguraradores son tambien considerados en el análisis: Ratio de deuda, Ratio de capital propio, ROA (Return On Total Assets), ROE (Return On Equity), Loss ratio, Ratio de gastos and Ratio Cominado

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3. ART COMBINADO PROPUESTO The ART-Combinado presentado en este artículo cubre dos líneas de negocio (X y Y), ambos

asociados a factores de riesgo de suscripción de la misma forma que cubre tambien un factor de riesgo financiero (Z). El objetivo de este producto es proporcionar a la cedente un producto que amplie las ventajas que suelen ofrecer los productos ART convencionales, a la vez que se satisfacen los objetivos del reasegurador. El proceso consta de dos fases, el primero consistente en el proceso de generación de escenarios teniendo en cuanta datos históricos y las condiciones del contrato. La segunda fase consisitirá en el cálculo de la prima y en el análisis en el balance y cuante de resultados.

A. Proceso de Simulación de las Cuantías Siniestrales

El objeto del procesos de simulación consiste en la generación de escenarios bajo un modelo de distribución bivariante usando el método de Monte Carlo y el denominado conditional sampling tanto para la simulación como para la inclusión de las Cópulas Arquimedianas para la fijación de la prima. (Cherubini, et al., 2004).

Sean dos vectores X and Y, tales que formalizan los pagos de riesgo de suscripción y Z que representa los resultados financieros obtenidos, como diferencia entre el valor de mercado de los titulos a 1 de Enero y 31 Diciembre. X e Y podría afectar Z.

Hay tres etapas codificadas en la aplicación ICT: Selección de la copula y marginales que major se ajusten a los datos, simulación de scenarios y fijación de primas. El proceso para elegir la copula y funciones marginales consiste en los siguientes pasos: (ver, Fig. 4).

Fig.4 Selección de la función copula y marginales (izquierda) / Generación de scenarios y

fijación de prima (derecha)

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1. Transformación de los datos históricos correspondientes a las cuantías siniestrales, X e Y en U y V, siendo U={ui} y V={vi} , con i=1,2,...n . Para ello se utiliza la function empírica dada por:

{ }{ }

,1

1( ) 11 1i

ni

n x xi

card x xF x

n n=

<= =

+ +∑ (10)

2. Estimación del parámetro a de la copula usando el método de maxima verosimilitud, siendo:

( )1

arg max ln , ;n

i ii

a c u v a∧

=

= ∑ (11)

donde c es la función de densidad de la cópula y â es el parámetro estimado 3. Elegimos un conjunto de funciones marginales de distribución a introducir en el modelo. 4. Estimación de los parámetros de cada function marginal usando el método de máxima

verosimilitud 5. Selección de una función de distribución marginal para cada conjunto de datos teniendo en

cuenta el criterio HQ:

( )ˆln2nHQ r θπ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠l (12)

donde r es el número de parámetros, n es el tamaño de la muestra, ˆ( )θl es el máximo de la función de verosimilitud

6. Creamos una nueva funcion de distribución a partir de la cópula y las dos marginales elegidas previamente

7. Estimación de los parámetros de la nueva function de distribución usando el método de máxima verosimilitud.

8. Verificamos la calidad del ajuste mediante el test chi cuadrado. En relación con el proceso de simulación, se siguen los siguientes pasos (ver Fig. 4): 1. Sea XH y YH dos muestras de cuantías siniestrales históricas asociadas a dos líneas de negocio

diferentes. Sea, también ZH un conjunto de ingresos financieros. Las funciones de distribución marginales XH y YH así como la función copula han sido elegidas “a priori”

2. Geración de dos vectores, U={ui, i=1,…,n} y P={pi, i=1,…,n}, donde ambos ui y pi están uniformemente distribuídos entre 0 y 1 para cada i.

3. Se calcula la función (quasi-)inversa de cu(v) siendo ésta la derivada parcial de c(u, v) con respecto de la primera variable u.

4. Se calcula V={vi, i=1,…,n}, donde 11 ( | )i i iv C p u−= , siendo C1 la función de distribución

condicional de la cópula con respecto a la primera variable. 5. Aplicación del Teorema de Sklar en la simulación de las futuras cuantías siniestrales X={xi,

i=1,…,n}, e Y={yi, i=1,…,n}, los cuáles son obtenidos:

( 1) ( )i X ix F u−= , ( 1) ( )i Y iy F v−= Las variables X e Y están asociados a cuantías siniestrales de suscripción.

6. Obtención del vector XY sumando X e Y y XYH sumando XH and YH.

9

7. Cada xi e yi entre 0 y 1, deben ser escalados en orden a obtener escenarios más realistas. Las

funciones marginales y función cópula deben ser seleccionadas de nuevo, pero en este caso para los vectores XYH y ZH. La nomenclatura de la variable estimada va a ser reutilizada y por tanto, â va a ser el estimador de la cópula, { }1... sα α , estimadores de la marginal FXY y

{ }1... sβ β los estimadores de la marginal FZ.

8. Se repiten los pasos desde el 2 al 5 y los nuevos vectores X e Y son obtenidos. En el paso 7, X e Y deben ser re-escalados en orden a obtenter valores representativos. Por tanto serán multiplicados por el orden de magnitud de XYH y ZH a X e Y vectores respectivamente y cómo consecuencia de ello, los vectores S y F son obtenidos.

B. Descripción del producto ART_ Combinado

El producto ART-Combinado propuesto consite en un FQS, para un número de años dado (n)

y para varias líneas de negocio y para las cuales será establecido el adecuado trigger. Cuando la cedente define las condiciones del contrato, se determina un periodo de cobertura, un límite de cobertura de pérdidas pontenciales, así como bajo que límites de volatidad se determina el contrato en base a los riesgos operacionales y financieros. En el contrato se establece una comisión inicial (Cini) y que varía en función del ratio de siniestralidad de cada año. La cedente recibe esta comisión en orden a cubrir tanto las necesidades financieras como de liquidez.

El reasegurador se compromete a cubrir q% de las cuantías siniestrales. El trigger se activa

cuando la suma del ratio financiero (IR) y el ratio de siniestralidad (LR) son superiores a una cantidad previamente prefijada y válida para toda la duración del contrato. (T). Finalmente, se determinara el límite agregado (C) y la máxima cuantía que el reasegurador pagará cada año.

C. Proceso de fijación de prima

Una vez obtenidos los vectores de cuantías siniestrales S y resultados financieros F, se procede a llevar a cabo una agrupación de longitud n y obteniéndose los vectores S’ y F’ , donde:

{ }' ' , ,..., ,

1, 1 , and '1

k

j

k kk i

S s k i j

con k n i j k s sj i =

= =

≤ ≤ < ≤ =− + ∑

{ }' ' , ,..., ,

1, 1 , and '1

k

h

k kk l

F f k l h

con k n l h k f fh l =

= =

≤ ≤ < ≤ =− + ∑

la prima ART-Combinado que la compañía de seguros paga al reaseguro se calcula siguiendo la siguiente expresión:

10

( )

{ }1

Prima /

min ·( ' ' )( ), ,if ( )

0, if

n

ii

i i i i

i i i

i i

P n

q f s IR LR T CP IR LR T

IR LR T

=

=

+ + −⎧⎪

= + >⎨⎪ + ≤⎩

∑

(13)

donde q es el cuota parte en términos porcentuales , T es el detonante en términos porcentuales, C es el límite agregado, IR es el ratio financiero y LR índice de siniestralidad

Una vez que la prima es obtenida se ha calcula el efecto financiero neto en la cuenta de resultados para la compañía cendente. Por otra parte se ha calculado de forma complemnetaria los siguientes ratios: Ratio de deuda ajena, Ratio de capital propio, ROA, ROE, ratio de gastos, valor o importe de la deuda, valor o importe reasegurado, WACC (coste capital medio ponderado) y TACC (coste total capital medio ponderado)

4. UN CASO DE ESTUDIO: GENERACIÓN DE ESCENARIOS Y EFECTO EN LA ESTRUCTURA DE CAPITAL

Los datos fueron obtenidos aplicación el método de distribución condicionada. Se llevo a

cabo la simulación mediante la utilización de la HRT Cópula en conjunción con la distribución marginal paralogística.

Caso 1: Efecto para la compañía cendente usando ART-Combinado

La compañía AAA es una entidad de seguros no vida que está analizando la posibilidad de suscribir un produto ART-Combinado. La compañía desea reducir la volatilidad de sus ganancias y mejorar su posición financiera. El periodo considerado para el contrato es de 5 años. El cuota parte porcentual establecido en el contrato es q%=50% el límite agregado C=3250000 u.m y gastos de suscripción de 15000 u.m. Un nuevo m-file fue incluido en la aplicación ICT ‘prodARTcomb’ (Rivas and Cuesta, 2006a, b). Este conjunto de funciones permite generar la prima del producto ART-Combinado para cada año del del contrato. De manera adicional se incluiran las funciones adecuadas para el desarrollo del análisis financiero. El resultado de esta simulación se muestra en la Fig. 2 and Tabla I (ver Apéndice A). En Fig. 2 se presenta la evolución de las ganancias netas para la totalidad del contrato y dónde presentamos dos posibles escenarios, con y sin considerar una estructura de dependencia. Se puede observar que la ganancias netas de la cendente (línea continua) es superior cuando el producto ART-Combinado es incluido en el programa ERM de la compañía. Además WACC y TACC decrece (veáse Tabla I). Finalmente, es importante sacar conclusiones asociadas al coeficiente Tau-Kendall obtenido. En el ejemplo, la correlación no lineal entre las cuantías siniestrales es superior que entre las cuantías siniestrales y los resultados financieros. La Figura 3 muestra los valores de la marginal X versus marginal Y y marginal X+Y versus marginal Z cuando la estructura de dependencia entre X e Y, e XY y Z es modelada con la función copula HRT. El coeficiente de correlacion de Kenadal para el par (X, Y) es igual a 0.8589 y para el par (XY, Z) es igual a 0.5432.

11

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

3.000.000

3.500.000

4.000.000

4.500.000

Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Net

ear

ning

s' in

sure

r

Fig. 2. Evolución de las ganancias netas para la compañía cedente of insurer’s ART-comb (linea contínua), con copula pero no ART-comb. (línea discontinua).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u1

v1

Copula HRT. ParalogX.Paralog.Y

Tau Kendall = 0,8589 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u2

v2

Copula HRT. ParalogXY.ParaloyZ

Tau Kendall= 0,5432 Fig. 3.: Distribución Paralogística de X verus Y (izquierda) y de X+Y versus Z (derecha) usando

copula HRT

Caso 2: Efecto si la compañía usa Copula para fijar la prima.

Esta sección presenta varios escenarios para diferentes combinaciones de funciones copula y marginales. Las copulas consideradas son Gumbel y HRT Cópula y las marginales consideras han sido la paralogística, lognormal y normal distribution. Será calculado para cada escenario el coficiente de correlación Tau Kendall.

Las variables son las mismas que las utilizadas en el caso 1, pero en este caso el límite agreagado sera de 10.000.000 u.m. En los apéndices A-D se puede observar el resultado de las simulaciones llevadas a cabo. En el apéndice A se encuentran las Tablas I a VI y donde se presentan los valores de las ganancias netas, ROE, ROA, WACC TACC y el coeficiente tau Kendall. En el apéndice B se muestran la nube de puntos mostrado la dependencia entre las variables aleatorias. En el apendice C se representan los gráficos comparativos que muestran la evolución de las ganancias netas. Finalmente en el apéndice D se muestran los gráficos representativos de la evoluación de ROE, ROA, WACC y TACC.

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1. Cópula HRT

- La asociación o correlación más alta entre los riesgos se puede observar cuando se ha utilización la Cópula HRT en conjunción con las marginal Paralogística. La correlación es superior entre el riesgo de suscripción y riesgo financiero.

- Se puede observar el incremento de las ganacias netas, ROA, ROE, cuando la compañía ha considerado la dependencia de riesgos y ha aplicado la copula HRT, excepto en los dos primeros años en los que se ha considerado en la simulación la distribución normal.

2. Cópula Gumbel - La asociación o correlación más alta entre riesgos cuando se ha utilizdo

la copula Gumbel en conjunción con la función marginal paralogística. La asociación entre el riesgo de suscripción y el riesgo financiero es superior que entre los riesgos de suscripción para el ramo X e Y.

- Se puede observar qua la entidad obtiene mejores resultados en todas las variables consideradas, ganancias netas, ROA, ROE, cuando la empres considera la dependencia de riesgos.

En ambos casos, se puede observar inferiores ganancias netas cuando la empresa ha

utilizado la Cópula Gumbel en conjunción con la función de distribución normal. TACC y WACC se obtienen mejores resultados cuando se utiliza la Cópula Gumbel en conjunción con la distribución Lognormal.

5. CONCLUSIONES

Este artículo formaliza una metodología para determinar la prima de seguro en el que caso de diseñar un producto “a medida” ART-Combinado usando la Teoría de Cópulas. El producto aquí propuesto une de forma conjunta un FQS, un producto Single Trigger para varios años y varias líneas de negocio. La Teoría de Cópulas ha sido considerada para medir la correlación no lineal entre las variables aleatorias asociadas a los riesgos de suscripción y los resultados financieros. En el artículo se ha estudiado el efecto sobre la estructura de capital de la cedente cuando esta metodología es aplicada. El producto ART_Combiando propuesto proporciona varias ventajas a la cendente: Incremento de rentabilidad para el accionista, reducción del coste de capital y volatilidad de los estados financieros. Finalmente, el producto ofrece nuevas soluciones al Gerente de Riesgos para optimizar su programa ERM, mejorando la diversificación de los riesgos y incrementando la capacidad para cubrir riesgos difíciles de asegurar.

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Joe, H. (1997) “Multivariate models and dependence concepts” Chapman and Hall, London. Levi, C. M. (2001) “Tempêtes: Etude des dependence entre les branches Auto et Indendie avec

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14

APÉNDICE A . TABLAS

Table I.

Paralog/Gumbel Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Net earning with ART with copulas 3.523.438,58 2.275.024,18 3.155.645,67 3.558.001,95 2.818.622,11

Net earning without ART with copulas 674.555,06 652.177,92 516.529,95 525.235,13 570.546,20

ROE with ART with copulas 100,87% 67,78% 75,31% 104,81% 93,66%

ROE with ART without copulas 6,75% 6,52% 5,17% 5,25% 5,71%

ROA with ART with copulas 35,23% 22,75% 31,56% 35,58% 28,19%

ROA with ART without copulas 11,24% 10,87% 8,61% 8,75% 9,51%

TACC with ART with copulas 4,00% 3,92% 4,09% 3,81% 3,83%

TACC with ART without copulas 4,33% 4,35% 4,34% 4,37% 4,34%

WACC with ART with copulas 3,27% 3,05% 3,65% 2,77% 2,75%

WACC with ART without copulas 3,81% 3,88% 3,85% 3,93% 3,84%

Parametric Tau Kendall for {X, Y} = 0,22816578

Parametric Tau Kendall for {S, F} = 0,31554919

Table II.

Lognormal/Gumbel Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Net earning with ART with copulas 2.396.283,98 1.246.999,03 2.296.979,59 1.557.433,36 −412.043,27




ROA with ART with copulas 23,96% 12,47% 22,97% 15,57% 0%






15



16

Table III.

Normal/Gumbel Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Net earning with ART with copulas 307.898,10 354.649,98 187.736,06 84.892,16 436.291,99

Net earning without ART with copulas 256812,505 203802,093 131698,117 280191,963 303391,861











Table IV.

Paralog/HRT Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Net earning with ART with copulas 1.550.291,12 3.230.930,12 1.940.074,20 1.753.074,05 2.843.763,24












17

Table V.

Lognormal/HRT Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Net earning with ART with copulas 912.438,30 1.349.547,47 362.092,90 2.747.113,45 1.439.111,72












Table VI.

Normal/HRT Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Net earning with ART with copulas 231.600,94 188.260,09 366.746,03 354.211,76 330.261,87

Net earning without ART with copulas 256812,505 203802,093 131698,117 280191,963 303391,861











18

APÉNDICE B. DEPENDENCIA DE LAS VARIABLES ALETARIAS. CASO 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ux=Fparalog(x)

v y=Fpa

ralo

g(y)

Paralog-Gumbel

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

us=Fparalog(s)v f=F

para

log(f)

Paralog-Gumbel

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ux=FLognor(x)

v y=FLo

gnor

(y)

Lognormal-Gumbel

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

us=FLognor(s)

v f=FLo

gnor

(f)

Lognormal-Gumbel

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ux=FNormal(x)

v y=FN

orm

al(y)

Normal-Gumbel

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

us=FNormal(s)

v f=FN

orm

al(f)

Normal-Gumbel

19

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

us=Fparalog(s)

v f=Fpa

ralo

g(f)

Paralog-HRT

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ux=Fparalog(x)

v y=Fpa

ralo

g(y)

Paralog-HRT

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ux=FLognor(x)

v y=FLo

gnor

(y)

Lognormal-HRT

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

us=FLognor(s)

v f=FLo

gnor

(f)

Lognormal-HRT

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ux=FNormal(x)

v y=FN

orm

al(y)

Normal-HRT

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

us=FNormal(s)

v f=FN

orm

al(f)

Normal-HRT

20

APÉNDICE C. EVOLUCIÓN DEL BENEFICIO PARA EL CASO 2

Todos los grádicos en este apéndice muestran una línea continua en caso de inclusión de

funciones cópula (Gumbel or HRT) y la línea discontínua corresponde a la hipótesis de

independencia.

Paralog/Gumbel

0,00

500.000,00

1.000.000,00

1.500.000,00

2.000.000,00

2.500.000,00

3.000.000,00

3.500.000,00

4.000.000,00

1 2 3 4 5

Year

Net e

arni

ngs

Lognormal/Gumbel

-1.000.000,00

-500.000,00

0,00

500.000,00

1.000.000,00

1.500.000,00

2.000.000,00

2.500.000,00

3.000.000,00

1 2 3 4 5

Year

Net

ear

ning

s

Normal/Gumbel

0,00

50.000,00

100.000,00

150.000,00

200.000,00

250.000,00

300.000,00

350.000,00

400.000,00

450.000,00

500.000,00

1 2 3 4 5

Year

Net e

arni

ngs

Paralog/HRT

0,00

500.000,00

1.000.000,00

1.500.000,00

2.000.000,00

2.500.000,00

3.000.000,00

3.500.000,00

1 2 3 4 5

Year

Net

ear

ning

s

Lognormal/HRT

0,00

500.000,00

1.000.000,00

1.500.000,00

2.000.000,00

2.500.000,00

3.000.000,00

1 2 3 4 5

Year

Net

ear

ning

s

Normal/HRT

100.000,00

150.000,00

200.000,00

250.000,00

300.000,00

350.000,00

400.000,00

1 2 3 4 5

Year

Net

ear

ning

s

21

APÉNDICE D. EVOLUCIÓN DE ROE. ROA, WACC Y TACC PARA EL CASO 2

Al igual que el ápendice C, la línea continua corresponde a los resultados obtenidos bajo la

inclusión de funciones cópula (Gumbel or HRT) en el modelo. La line discontinúa corresponde a

los resultados obtenidos bajo la hipétisis de independencia. Los resultados mostrados son ROE,

ROA, TACC and WACC (en el eje Y).

Paralog/Gumbel

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

1 2 3 4 5

Year

ROE

Paralog/Gumbel

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

1 2 3 4 5

Year

RO

A

Paralog/Gumbel

3,70%

3,80%

3,90%

4,00%

4,10%

4,20%

4,30%

4,40%

4,50%

1 2 3 4 5

Year

TAC

C

Paralog/Gumbel

2,50%

2,70%

2,90%

3,10%

3,30%

3,50%

3,70%

3,90%

4,10%

1 2 3 4 5

Year

WAC

C

22

Lognormal/Gumbel

-200,00%

0,00%

200,00%

400,00%

600,00%

800,00%

1000,00%

1200,00%

1400,00%

1 2 3 4 5

Year

ROE

Lognormal/Gumbel

-10,00%

-5,00%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

1 2 3 4 5

Year

RO

A

Lognormal/Gumbel

3,40%

3,60%

3,80%

4,00%

4,20%

4,40%

4,60%

1 2 3 4 5

Year

TAC

C

Lognormal/Gumbel

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

1 2 3 4 5

Year

WA

CC

Normal/Gumbel

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

5,00%

1 2 3 4 5

Year

ROA

Normal/Gumbel

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

1 2 3 4 5

Year

ROE

23

Normal/Gumbel

3,80%

3,90%

4,00%

4,10%

4,20%

4,30%

4,40%

4,50%

1 2 3 4 5

Year

TACC

Normal/Gumbel

2,50%

2,70%

2,90%

3,10%

3,30%

3,50%

3,70%

3,90%

4,10%

4,30%

1 2 3 4 5

Year

WAC

C

Paralog/HRT

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

1 2 3 4 5

Year

RO

A

Paralog/HRT

0,00%

50,00%

100,00%

150,00%

200,00%

250,00%

300,00%

350,00%

400,00%

450,00%

1 2 3 4 5

Year

ROE

Paralog/HRT

3,60%

3,70%

3,80%

3,90%

4,00%

4,10%

4,20%

4,30%

4,40%

1 2 3 4 5

Year

TACC

Paralog/HRT

3,00%

3,20%

3,40%

3,60%

3,80%

4,00%

1 2 3 4 5

Year

WA

CC

24

Lognormal/HRT

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

1 2 3 4 5

Year

ROA

Lognormal/HRT

-0,10%

0,40%

0,90%

1,40%

1,90%

2,40%

2,90%

3,40%

3,90%

4,40%

1 2 3 4 5

Year

ROE

Lognormal/HRT

3,50%

3,70%

3,90%

4,10%

4,30%

4,50%

4,70%

1 2 3 4 5

Year

TAC

C

Lognormal/HRT

1,45%

1,95%

2,45%

2,95%

3,45%

3,95%

4,45%

1 2 3 4 5

Year

WA

CC

Normal/HRT

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

5,00%

1 2 3 4 5

Year

ROA

Normal/HRT

5,00%

5,50%

6,00%

6,50%

7,00%

7,50%

8,00%

8,50%

9,00%

9,50%

10,00%

1 2 3 4 5

Year

ROE

25

Normal/HRT

3,80%

3,90%

4,00%

4,10%

4,20%

4,30%

4,40%

4,50%

1 2 3 4 5

Year

TACC

Normal/HRT

2,80%

3,00%

3,20%

3,40%

3,60%

3,80%

4,00%

4,20%

1 2 3 4 5

Year

WA

CC

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