Modelo de propagación de un contaminante en el...

Modelo de propagación de un contaminante en el aire

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Temario

• Explicación del problema

• Condiciones bajo la cual se desarrolla el modelo

• Derivación de la ecuación que describe el problema

• Explicación de la ecuación de advección- difusión.

• Comportamiento del contaminante en el tiempo

• Conclusiones

• Preguntas

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Temario






• Conclusiones

• Preguntas

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Explicación del problema

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Temario






• Conclusiones

• Preguntas

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Marco teórico

Ley de conservación de masa: La variación de concentración de masa es igual a la tasa de entrada menos la tasa de salida.

Advección: el transporte en un fluido

Ley de Fick: Flujo de masa por unidad de área de un componente, es proporcional al gradiente de concentración.

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Marco teórico

• Advección: es variación de un escalar en un punto dado, por efecto de un campo vectorial.

• El operador advección se expresa como el producto escalar del vector velocidad por el gradiente de la propiedad

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Marco Teórico

• Desde el punto de vista físico, la advección, son los mecanismos de transporte de una sustancia o líquido.

• En ocasiones el término advección se confunde con convección. Sin embargo, no son lo mismo, ya que la convección es el transporte por la difusión molecular ; en tanto advección se usa para describir el transporte con un flujo general del líquido (como en el río o la tubería)

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Condiciones bajo las cuales se desarrolla el modelo

• La atmósfera es homogénea

• El contaminante es incompresible

• La velocidad del viento es constante

• La atmósfera es unidimensional

• La atmósfera es isotérmica y adiabática

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Condiciones bajo las cuales se desarrolla el modelo.

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Temario






• Conclusiones

• Preguntas

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Derivación de la ecuación que describe el problema

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Concentración del contaminante en el intervalo

Variación de la concentración de contaminante en el intervalo

derivamos respecto al tiempo.

Principio de conservación de masa:

Metiendo dentro de la integral y restando

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Juntando las integrales en una sola,

Y según el valor medio para integrales, si tengo una función, f(x), definida en un intervalo [a,b] ,

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Entonces, aplicando este Teorema a nuestro problema; en un intervalo un

Donde,

Despejando,

O equivalentemente,

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Luego, tomando Se obtiene finalmente,

(1)

Efectos de la Advección

y de acuerdo con

haciendo f=0, para simplificar la ecuación, se obtiene la Ecuación de Advección Pura.

(2)

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,

Ahora, agregando los efectos de la Difusión

(3)

Ley de Fick El flujo de masa por unidad de área de un componente es proporcional al gradiente de concentración.

Donde, k=Coeficiente de proporcionalidad constante de difusión(

= Flujo de masa por unidad de tiempo

Ca= Concentración en masa del componente A por unidad de

volumen

Ahora, (2), (3) en (1) y haciendo f=0,

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Junto a las condiciones inicial y de frontera.

Donde, condición Inicial:

Condiciones de Borde o Frontera:

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Temario






• Conclusiones

• Preguntas

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Explicación de la ecuación de advección- difusión

• Es una combinación de las ecuaciones de transporte y de calor. Tiene una serie de aplicaciones desde el punto de vista físico tales como modelos de dispersión de poblaciones, transferencia de contaminantes, calidad de aire.

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Ecuación de calor:

Ecuación de transporte:

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Ecuación de advección difusión

Sin pérdida de generalidad, trabajaremos con elproblema unidimensional donde la advección ocurrepara todo x >0 , en la dirección x.

Para resolver la ecuación de adveccióndifusión, nos imaginaremos a nosotros mismoscomo observadores que viajamos junto al fluido, ala misma velocidad de éste (v constante), de estaforma, solo observaremos el efecto de difusión. Porlo tanto, bajo esta hipótesis podemos emplear uncambio de variables adecuado para llegar a unaecuación de difusión, y de esta manera poder llegara una solución de la ecuación de advección difusión,por métodos empleados en clases.

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Ecuación de advección - difusión

Se trabaja convirtiendo la ecuación de difusión – advección a la de difusión. Para esto se trabaja con el cambio de variable:

c(x,t)= sobre la ecuación

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• Entonces la ecuación se transforma en:

Al dividirla por , se transforma en:

Si se considera:

(1)

y

(2)

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(1) en (2):

Entonces la ecuación de adv-difusión se transforma en:

, que es la ecuación de difusión,

Y al aplicar el cambio de variables a la condición inicial, esta se transforma en:

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Sea W(x,t)= X(x) T(t), sustituyendo y reemplazando:

XT’ =kX’’T /

• 1) X’’ – Xλ = 0 => Sturn Liouville

• 2) T’- λTk = 0

• con condiciones de borde X(0)=0, X(l)=0

Analizando los 2 primeros casos (λ igual o mayor a 0, aparece la solución trivial)

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Aplicando el caso que λ sea menor a 0

Condiciones iniciales:

Como necesitamos que

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Debe cumplir /

Luego

Ahora volvemos a la ecuación 2)

T’(t) – T(t) λ = 0

reemplazando

/

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Los productos de las funciones propias constituyen una familia infinita de soluciones.

W(x,t)

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Ahora que el problema satisface las condiciones de borde, necesitaría que satisfaga la condición inicial.

Condición inicial:

f(x)

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g(s)

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• Conclusiones

• Preguntas

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Comportamiento del contaminante en el tiempo

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Temario






• Conclusiones

• Preguntas

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Conclusiones

• Se acaba de describir un modelo para determinar el comportamiento de un contaminante en el aire BAJO CIERTAS CONDICIONES EN EL MEDIO!

• El modelo no es claro para el medio en que vivimos, ya que este tiene una serie de variables que hacen el modelo muy complejo tales como cambios de presión, temperatura, corrientes de aire, etc…

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Conclusiones

• Las ecuaciones diferenciales parciales son una herramienta útil para conseguir un modelamiento de un fenómeno determinado.

• El cambio de variables, representa una forma sencilla de resolver analíticamente una ecuación diferencial parcial.

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Temario






• Conclusiones

• Preguntas

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¿Preguntas?

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