Monografia El Ultimo Pitagorico
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UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
FACULTAD DE CIENCIAS HISTORICO SOCIALES Y EDUCACION
-Especialidad Educación -
CURSO :
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DOCENTE :
Dra. Julia Mirtha Liza Gonzales
ALUMNOS :
De la Cruz Céspedes Eduen.
Sánchez Fiestas David
"El Ultimo Pitagórico
Lambayeque, Julio 2013
1
AGRADECIMIENTO
A Dios
Por guiarnos, por darnos esa fortaleza de caminar hacia lograr nuestras metas, además por brindarnos esa luz que siempre deseamos antes de empezar un nuevo camino en nuestra vida profesional y personal de cada uno de nosotros.
A nuestros padres
Por su indispensable apoyo, dándonos así la fuerza para seguir caminando y lograr nuestras metas constantemente. Dios los bendiga, les de salud y mucha vida para poder retribuirles un poco de todo lo que nos dan. Los amamos mucho.
Mil gracias
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ÍNDICE
AGRADECIMIENTO 01
INDICE 02
INTRODUCCION 03
EL ÚLTIMO PITAGÓRICO 04
1.- BIOGRAFIA: 04
2.- OBRAS: 05
IIJOHANNES KEPLER Y LAS ORBITAS PLANETARIAS (1571-1628). 05
1.- BIOGRAFIA: 07
2.- CARACTERÍSTICAS DEL ESTUDIO DE LAS ESTRELLAS
Y LOS PLANETAS: 08
3.- LAS LEYES DE KEPLER 10
4.- EL MÉTODO CIENTÍFICO DE KEPLER 135. Formulación de Newton de la Tercera Ley de KEPLER 14
6.- KEPLER Y LAS ÓRBITAS DE LOS PLANETAS 156.1) Órbita: 15
6.2) Órbitas planetarias: 167.- ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ORBITAL 177.1) Teoría clásica de Newton 177.2) Teoría relativista de Einstein 20
8.- TIPOS DE ÓRBITAS: 29
8.1.- Por características 29
8.2.- Por cuerpo central 30
Conclusiones 31
Bibliografía 32
Lincografía 32
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Introducción
En este trabajo conoceremos la importancia de la que nos da a conocer el último pitagórico, en que momento de nuestra historia se desarrolló y como actualmente ha repercutido o influenciado en nuestra tecnología y en los conocimientos que estudiamos hoy en día.
En su contenido encontraremos temas muy importantes como perfecciona los aportes de Pitágoras
El método utilizado por todos los integrantes ha sido el subrayado y resumen de cada uno de los libros consultados en la biblioteca de nuestra facultad, entre otras técnicas de estudio como las notas marginales y la elaboración de esquemas para hacer más fácil la comprensión y estudio de nuestros temas.
Es que gracias a los aportes del ultimo pitagórico que fue perfeccionando los aportes de los autores antecedentes a el ya que dio a conocer a nuestra realidad por otro lado Kepler nos habla sobre las orbitas planetarias afirma que es sol gira alrededor del sol, ya que es un descubrimiento de mucha importancia.
En nuestras limitaciones podríamos afirmar por la carencia de tiempo el grupo en general ocurrimos a biblioteca de nuestra facultad fachee y por otro lado al uso del internet la cual aremos presente la poca información recolectada.
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EL ÚLTIMO PITAGÓRICO
“El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si
los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y
contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y
comunicarla a través del juego y de la belleza?”
Miguel de Guzmán
1.- BIOGRAFIA:
Miguel de Guzmán Osáis nació en 1936 en Cartagena, era catedrático de Análisis
de la Universidad Complutense de Madrid, miembro numerario de la Real
Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales desde 1982, miembro
correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias de la República Argentina
desde 1985. En la década de los 90, desde el 91 al 98, fue presidente de la
Comisión Internacional de Instrucción Matemática (ICMI).
Obtuvo la licenciatura en Filosofía en el Berchmanskolleg de Múnich (Alemania)
en 1961 y después se licenció en Matemáticas y en Filosofía en la Universidad
Complutense en 1965. Se doctoró en la universidad de Chicago de la mano de
Alberto Calderón en 1968.
Regresó a la universidad Complutense en 1968, obteniendo el título de doctor por
esta universidad ese mismo año. En la Complutense, desde entonces ha impartido
clases hasta ahora. Como tantos y tantos matemáticos españoles, tuve la suerte
de contarme entre sus alumnos allá por los años 70. Ha sido profesor en las
universidades de Chicago, San Luis, Princeton, Brasil.
Fue un gran matemático y un gran profesor pero a lo largo de su vida ha sido
mucho más. En los últimos años Miguel se ha convertido en el referente obligado
de los medios de comunicación ante cualquier tema o noticia que tuviera que ver
con las matemáticas o con su enseñanza en nuestro país. Miguel era, de hecho, el
abanderado de la popularización de las matemáticas en España. Y por esta
ciencia, ponía no sólo su imagen, sino su palabra sensata y profunda, su tiempo y
su entusiasmo allá donde le reclamasen.
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Con su muerte perdemos no sólo a un gran matemático, sino a una de las
personas, que más esfuerzos ha hecho por popularizar y poner esta ciencia al
alcance de todo el mundo.
El pasado 14 de Abril, dejo de existir el último pitagórico, quizás sea mejor decir el
penúltimo. Porque Miguel de Guzmán estaba cautivado por el legado de los
pitagóricos y no sólo por sus aportaciones matemáticas, ciencia de la que son
padres y fundadores, sino también y sobre todo por su legado ético y moral.
Código moral del que él mismo ha dado ejemplo vivo a lo largo de su dilatada vida
profesional. Una vida profesional dedicada a la búsqueda de esa Armonía del
Universo de la que somos partícipes y a cuya búsqueda estamos obligados como
matemáticos y como hombres.
2.- OBRAS:
Muestra son sus numerosos libros de carácter divulgativo, siempre amenos,
atractivos e interesantes; buscando generar en el lector la curiosidad y la inquietud
inteligente ante las matemáticas. Porque esa ha sido una de las características de
sus libros: mostrar los aspectos más atractivos de la actividad matemática,
descubrir el rostro humano de la reina de las ciencias. Los más notorios y
reconocidos en nuestro países son:
Mirar y ver , 1976, reeditado por NIVOLA en 2004.
Los espingorcios, 1980.
Cuentos con cuentas, 1984, reeditado por NIVOLA en el 2003.
Aventuras matemáticas, 1986.
Para pensar mejor 1994.
El rincón de la pizarra, 1996.
Estructuras fractales, 1993.
La experiencia de descubrir en geometría, 2002
Pero su labor de divulgación de las matemáticas no se reduce a sus libros. Donde
aflora el carácter polifacético y generoso de Miguel es en sus publicaciones a
través de Internet. Como en otras tantas cosas Miguel fue un pionero de la
utilización de Internet para extender el saber matemático.
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Desde hace más de quince años siempre ha tenido muy claro el papel
revolucionario que Internet podía jugar en la popularización y en la educación
matemática.
En su página actual: http://ochoa.mat.ucm.es/~guzman/ podemos encontrar un
mosaico vivo de las inquietudes e ideas de Miguel en los más diversos campos,
siempre relacionados con las Matemáticas.
Su propio índice es de lo más explícito y pone de manifiesto las líneas maestras
de sus inquietudes desde hace muchos años; en primer lugar sus clases en la
facultad y acompañando a esta actividad, las otras muestras de su espíritu
inquieto y polivalente: el proyecto de la Real Academia de Ciencias para la
detección y el estímulo del talento matemático entre niños y niñas de primaria, su
preocupación por la educación matemática en todos los niveles, desde primaria
hasta la universidad.
Más recientemente, en la Ponencia sobre la situación de las enseñanzas
científicas en la educación secundaria, constituida en el seno de la Comisión de
Educación, Cultura y Deporte del Senado celebrada en 2002-03, Miguel, hablando
sobre Valores y aspectos éticos en la actividad científica no puede dejar de poner
como ejemplo a imitar en nuestros días la lección ética de los pitagóricos:
El quehacer matemático fue entre los pitagóricos en cierto modo una guía
de contemplación y de comportamiento. Una buena lección de humanismo
ecológico que lastimosamente hemos desaprovechado convirtiendo, en
gran parte, la educación matemática en una rutina un tanto vacía en las
aulas de formación de nuestros jóvenes, precisamente donde sería más
necesario hacer uso de la capacidad formativa e integradora del quehacer
matemático.
Quizás no como pensaba Pitágoras, cuando defendía la trasmigración de
las almas, pero sí a través de sus obras y de sus actos, Miguel vivirá en
nuestra memoria.
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IIJOHANNES KEPLER Y LAS ORBITAS PLANETARIAS
(1571-1628).
1.- BIOGRAFIA:
Nació en Leonberg, Alemania, donde comenzó a estudiar en el colegio latino. En
1584 ingresó en el seminario protestante de Iceberg y en 1589 comenzó su
educación universitaria en teología en la Universidad Protestante de Tubinga. Allí
le influenció un profesor de matemáticas, Michael Maestril, partidario de la teoría
heliocéntrica del movimiento planetario desarrollada en principio por el astrónomo
polaco Nicolás Copérnico. Kepler aceptó inmediatamente la teoría copernicana al
creer que la simplicidad de su ordenamiento planetario tenía que haber sido el
plan de Dios. En 1594 marchó a Graz (Austria), donde elaboró una hipótesis
geométrica compleja para explicar las distancias entre las órbitas planetarias, que
se consideraban circulares erróneamente.
Kepler planteó que el Sol ejerce una fuerza que disminuye de forma inversamente
proporcional a la distancia e impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas.
Publicó sus teorías en un tratado titulado Misterio Cosmographicum en 1596.
Esta obra es importante porque presentaba la primera demostración amplia y
convincente de las ventajas geométricas de la teoría copernicana. Excepto por
Mercurio, el sistema de Kepler funcionaba de manera muy aproximada a las
observaciones. Debido a su fama como matemático, Kepler fue invitado por Tycho
Brahe a Praga para que trabajara con él como asistente y calculara las nuevas
órbitas de los planetas basándose en sus observaciones.
Al morir Tycho, en el año 1601, fue nombrado su sucesor en el cargo de
matemático imperial, puesto que ocupó hasta 1612. Una de sus obras más
importantes durante este periodo fue Astronomía nova (1609), la gran culminación
de sus cuidadosos esfuerzos para calcular la órbita de Marte. Este tratado
contiene la exposición de dos de las llamadas leyes de Kepler sobre el movimiento
planetario. Según la primera ley, los planetas giran en órbitas elípticas, con el Sol
en uno de los focos. La segunda, o regla del área, afirma que una línea imaginaria
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desde el Sol a un planeta recorre áreas iguales de una elipse durante intervalos
iguales de tiempo.
En otras palabras, un planeta girará con mayor velocidad cuanto más cerca se
encuentre del Sol.
En 1612 Kepler se hizo matemático de los estados de la Alta Austria. Mientras
vivía en Linz, publicó su Armonices mundo Libre (1619), cuya sección final
contiene otro descubrimiento sobre el movimiento planetario (tercera ley): la
relación entre el cubo de la distancia media (o promedio) de un planeta al Sol y el
cuadrado del periodo de revolución del planeta es una constante y es la misma
para todos los planetas. Hacia la misma época publicó un libro, Epitome
astronomía copernicana (1618-1621), que reúne todos los descubrimientos de
Kepler en un solo tomo. Igualmente importante fue el primer libro de texto de
astronomía basado en los principios copernicanos, y durante las tres décadas
siguientes tuvo una influencia capital para muchos astrónomos.
La última obra importante aparecida en vida de Kepler fueron las Tablas redefinas
(1625). Basándose en los datos de Brahe, las nuevas tablas del movimiento
planetario reducen los errores medios de la posición real de un planeta de 5° a 10'.
Más adelante, Isaac Newton se basó en las teorías y observaciones de Kepler
para formular su ley de la gravitación universal.
2.- CARACTERÍSTICAS DEL ESTUDIO DE LAS ESTRELLAS Y LOS PLANETAS:
La historia de la astronomía dio un giro drástico en el siglo XVI como resultado de
las aportaciones del astrónomo polaco Nicolás Copérnico.
Dedicó la mayor parte de su vida a la astronomía y realizó un nuevo
catálogo de estrellas a partir de observaciones personales. Debe gran parte
de su fama a su obra “De revolutionibus orbium caelestium” (Sobre las
revoluciones de los cuerpos celestes, 1543), donde analiza críticamente la
teoría de Tolomeo de un Universo geocéntrico y muestra que los
movimientos planetarios se pueden explicar atribuyendo una posición
central al Sol más que a la Tierra.
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No se prestó mucha atención al sistema de Copérnico, o sistema
heliocéntrico, hasta que Galileo descubrió pruebas para defenderlo.
Gran admirador secreto de la obra de Copérnico, Galileo vio su oportunidad
de probar la teoría copernicana sobre el movimiento de la Tierra cuando se
inventó el telescopio en Holanda.
Construyó (1609) un pequeño telescopio de refracción, lo dirigió hacia el
cielo y descubrió las fases de Venus, lo que indicaba que este planeta gira
alrededor del Sol.
También descubrió cuatro lunas girando alrededor de Júpiter. Convencido
de que al menos algunos cuerpos no giraban alrededor de la Tierra,
comenzó a hablar y a escribir a favor del sistema de Copérnico. Sus
intentos de difundir este sistema le llevaron ante un tribunal eclesiástico.
Aunque fue obligado a renegar de sus creencias y de sus escritos, esta
teoría no pudo ser suprimida.
Desde el punto de vista científico la teoría de Copérnico sólo era una adaptación
de las órbitas planetarias, tal como las concebía Tolomeo. La antigua teoría griega
de que los planetas giraban en círculos a velocidades fijas se mantuvo en el
sistema de Copérnico. Desde 1580 a 1597 el astrónomo danés Tycho Brahe
observó el Sol, la Luna y los planetas en su observatorio situado en una isla
cercana a Copenhague y después en Alemania. Utilizando los datos recopilados
por Brahe, su ayudante alemán, Johannes Kepler, formuló las leyes del
movimiento planetario, afirmando que los planetas giran alrededor del Sol y no en
órbitas circulares con movimiento uniforme, sino en órbitas elípticas a diferentes
velocidades, y que sus distancias relativas con respecto al Sol están relacionadas
con sus periodos de revolución.
El físico británico Isaac Newton adelantó un principio sencillo para explicar las
leyes de Kepler sobre el movimiento planetario: la fuerza de atracción entre el Sol
y los planetas. Esta fuerza, que depende de las masas del Sol y de los planetas y
de las distancias entre ellos, proporciona la base para la explicación física de las
leyes de Kepler. Al descubrimiento matemático de Newton se denomina ley de la
10
gravitación universal. Los medios con los que se contaban no eran suficientes, lo
que dificultaba enormemente el trabajo de los astrónomos.
Además era arriesgado defender una teoría contraria a las creencias religiosas. En
aquel momento los astrónomos se fijaban en los escritos grecolatinos para llevar a
cabo sus estudios sobre las estrellas y los planetas. Los autores clásicos eran muy
valorados por aquel entonces y la astronomía griega y babilónica marcaban los
pasos a seguir.
3.- LAS LEYES DE KEPLER
Estas leyes han tenido una significación especial en el estudio de los astros, ya
que permitieron describir su movimiento; fueron deducidas empíricamente por
Johannes Kepler (1571-1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas,
para lo cual se sirvió de las precisas observaciones realizadas por Tycho Brahe
(1546-1601). Sólo tiempo después, ya con el aporte de Isaac Newton (1642-1727),
fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley de
Gravitación Universal.
La primera ley (1609) puede enunciarse de la siguiente manera: Los planetas
en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el Sol ubicado en
uno de sus focos. Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy
poco excéntricas (es decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la
diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son mínimas (9). La Tierra,
por ejemplo, en su mínima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras
que en su máxima lejanía no supera los 152 millones de km.
La segunda ley (1609) puede expresarse como: Las áreas barridas por el
segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los
tiempos empleados para describirlas.
Esta ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; esto
indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro
11
siendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio (10). Por ejemplo, la Tierra
viaja a 30,75 km/seg en el perihelio y "rebaja" a 28,76 en el afelio.
La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir,
cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que
cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio,
el momento angular es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su
distancia al centro del Sol.
La tercera ley (1618) finalmente, dice que: El cuadrado del período de
revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del
planeta al Sol. La tercera ley permite deducir que los planetas más lejanos al Sol
orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el período de revolución
depende de la distancia al Sol. Pero esto sólo es válido si la masa de cada uno de
los planetas es despreciable en comparación al Sol. Si se quisiera calcular el
período de revolución de astros de otro sistema planetario, se debería aplicar otra
expresión comúnmente denominada tercera ley de Kepler generalizada.
Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera
ley clásica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a
la del Sol. Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es
directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita
elíptica.
Donde, T es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del
Sol), (L) la distancia media del planeta con el Sol y K la constante de
proporcionalidad. Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se
encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por
la Tierra y la Luna. Los pasos que dio Kepler en su investigación de los planetas
12
hasta llegar a formular sus leyes. Estudió las observaciones del planeta Marte
hechas por Tycho Brahe, llegando a deducir la forma de su órbita.
Después de innumerables tanteos y de interminables cálculos realizados durante
muchos años, llegó a deducir sus famosas tres leyes, que revolucionaron la
astronomía.
Kepler razona que si el "alma motriz" del Sol mantiene el movimiento del planeta
en su órbita, al aumentar la distancia al Sol la velocidad debe de disminuir. Para
llegar a esa deducción, asume el valor de desechar el círculo como forma de las
trayectorias planetarias, rompiendo en ello con un prejuicio geométrico dos veces
milenario. Encontró, después de una larga serie de cálculos que para los ápsides
de la órbita de Marte (perihelio y afelio) la velocidad es inversamente proporcional
a la distancia al Sol; concluye que el radio vector que une el Sol y Marte barre
áreas iguales en tiempos iguales. Se plasma así el descubrimiento de la segunda
ley del movimiento planetario.
Luego Kepler toma observaciones de Marte separadas y en ella puede distinguir
que las posiciones del planeta concordaban con una elipse en uno de cuyos focos
estaba colocado el Sol. Para llegar a esa conclusión, analiza durante un año
marciano 687 días (período sideral de Marte) el movimiento orbital del planeta y
encuentra que la órbita de éste es simétrica con respecto a la línea de las ápsides,
pero el diámetro en sentido perpendicular a ella es menor que la distancia entre el
perihelio y el afelio; la órbita es ovalada. Con ello, encuentra que una elipse de
pequeña excentricidad, con el Sol en uno de los focos, satisface las observaciones
y también la ley de las áreas. La primera ley de Kepler estaba descubierta.
Estudiando el problema del movimiento del planeta Marte, Kepler llegó a la
conclusión de que su órbita debía ser algún tipo de óvalo, y de inmediato demostró
que la más simple de las curvas en forma de óvalo, la elipse, satisfacía las
observaciones del mejor modo posible siempre que se asumiese que el Sol estaba
en uno de sus focos. También se dio cuenta de que el planeta se movía más
rápido cuando estaba más cerca del Sol y más lento cuando estaba más alejado,
13
de tal modo que la superficie descrita (barrida) por la línea recta que conecta al
Sol con Marte es siempre proporcional al tiempo.
De ese modo llegó a formular su segunda ley. Sin embargo, las dos leyes,
publicadas en l609 en la «Astronomía Nova», no satisficieron a su descubridor,
convencido de que debía existir una simple relación entre los tiempos de
revolución y las distancias de los planetas. Con la voluntad y constancia que
siempre deben primar en el espíritu de un científico investigador buscó esa ley
que, en su opinión, debía garantizar la intrínseca armonía del universo. Adoptó un
centenar de suposiciones y las rechazó después de interminables cálculos;
continuó durante nueve años la ardua tarea, sin tablas logarítmicas, sin máquinas
de calcular, sin otra ayuda que su incansable actitud que dominaba su condición
de hombre de ciencia, hasta el día en que, obedeciendo a una súbita inspiración,
formuló la hipótesis que se convertiría en su tercera ley, encadenando con una
relación constante los cubos de los semiejes de las órbitas y los cuadrados de los
tiempos que emplean los planetas para recorrerlas.
4.- EL MÉTODO CIENTÍFICO DE KEPLER
El método científico de KEPLER, deriva en principio de una mentalidad, o proyecto
intelectual pitagórico y platónico. La astronomía tiene como objetivo, no reportar
ventajas de carácter práctico, sino mostrar las causas reales por las que las cosas
ocurren en los cielos, tal como ocurren. Pero puesto que esas causas son
estructurales o arquetípicas, el astrónomo, ha de aplicarse a descubrir las
verdaderas leyes que rigen los movimientos celestes.
1. Debe atenerse estrictamente a las observaciones, las cuales tendrán que
ser lo más exactas y completas posibles. En este punto Kepler, comparte
con Brahe la valoración por la astronomía observacional.
2. El astrónomo ha de formular hipótesis, capaces de dar cuenta de lo que ve.
Ahora bien, no es indiferente que esas hipótesis sean verdaderas o falsas,
por mucho que salven las apariencias.
Kepler se opone de modo explícito a la forma de argumentación que se
desentiende de la verdad de las premisas con tal de obtener conclusiones que
14
permitan explicar los fenómenos, “la obtención de premisas falsas es pura
casualidad”.
Kepler siempre cumple con los siguientes principios:
⁻ Formulación de una hipótesis (según Popper, cuanto más arriesgada e
improbable sea mejor, porque aumenta más nuestro conocimiento).
⁻ deducir una predicción (según Popper, cuanto más concreta mejor, es más
fácil confrontarla con los hechos).
⁻ comprobar la predicción (según Popper, la falsación es definitiva, la
comprobación nunca es definitiva). Cuando una hipótesis no era correcta, él la
desechaba, no la modificaba acorde con el resultado.
5. Formulación de Newton de la Tercera Ley de KEPLER
Antes de que se produjeran las leyes de Kepler hubo otros científicos como
Copérnico, Tolomeo y Tycho Brahe que fue un gran astrónomo cuya principal
contribución al avance de la ciencia estuvo en haber conseguido medidas muy
precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas, uno de sus discípulos
fue Kepler.
Kepler permitió descubrir el movimiento de los planetas. Utilizó grandes
conocimientos matemáticos para encontrar relaciones entre los datos de las
observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y con ellos logró
componer un modelo heliocéntrico del universo. Comenzó trabajando al modo
tradicional, planteando trayectorias excéntricas y movimientos en epiciclos, pero
encontró que esos datos los situaban fuera del esquema que había establecido
Copérnico, lo que le llevó a pensar que no describían una órbita circular. Ensayó
otras formas para las órbitas y encontró que los planetas describían órbitas
elípticas que tenían al Sol en uno de sus focos.
Analizando los datos de Brahe, Kepler descubrió también que la velocidad de los
planetas no es constante, sino que el radio vector que los une con el Sol describe
áreas iguales en tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas
15
es mayor cuando están próximos al Sol (perihelio) que cuando se mueven por las
zonas más alejadas (afelio).
El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de
la gravitación universal. La formulación matemática de Newton de la tercera ley de
Kepler es: La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el
movimiento circular:
Al reemplazar la velocidad v por (el tiempo de una órbita completa) obtenemos
Donde, T es el periodo orbital, r el semieje mayor de la órbita, M es la masa del
cuerpo central y G una constante denominada Constante de gravitación
universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema
de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.
6.- KEPLER Y LAS ÓRBITAS DE LOS PLANETAS
6.1) Órbita:
En física, una órbita es la trayectoria que describe un objeto físico alrededor de
otro mientras está bajo la influencia de una fuerza central, como la fuerza
gravitatoria. Las órbitas se analizaron por primera vez de
forma matemática por Johannes Kepler, quien formuló los resultados en sus
tres leyes del movimiento planetario. La primera, encontró que las órbitas de
los planetas en el Sistema Solar son elípticas y no circulares o epiciclos, como se
pensaba antes, y que el Sol no se encontraba en el centro de sus órbitas sino en
uno de sus focos. La segunda, que la velocidad orbital de cada planeta no es
constante, como también se creía, sino que la velocidad del planeta depende de la
distancia entre el planeta y el Sol. Y la tercera, Kepler encontró una relación
16
universal entre las propiedades orbitales de todos los planetas orbitando alrededor
del Sol.
Para cada planeta, la distancia entre el planeta y el Sol al cubo, medida
en unidades astronómicas es igual al periodo del planeta al cuadrado, medido en
años terrestres. Isaac Newton demostró que las leyes de Kepler se derivaban de
su teoría de la gravedad y que, en general, las órbitas de los cuerpos que
respondían a la fuerza gravitatoria eran secciones cónicas. Newton demostró que
un par de cuerpos siguen órbitas de dimensiones que son inversamente
proporcionales a sus masas sobre su centro de masas común. Cuando un cuerpo
es mucho más masivo que el otro, se suele hacer la convención de tomar el centro
de masas como el centro del cuerpo con mayor masa.
6.2) Órbitas planetarias:
Dentro de un sistema planetario, los planetas, planetas
enanos, asteroides, cometas y la basura espacial orbitan alrededor de la estrella
central, el Sol, con órbitas elípticas. Un cometa en una
órbita parabólica o hiperbólica alrededor de una estrella central no tiene un lazo
gravitatorio con la estrella y por tanto no se considera parte del sistema planetario
de la estrella. No se han observado en el Sistema Solar cometas con órbitas
claramente hiperbólicas. Los cuerpos que tienen un lazo gravitacional con uno de
los planetas del sistema planetario, ya sean naturales o artificiales realizan órbitas
elípticas alrededor del planeta. Debido a las perturbaciones gravitatorias mutuas,
las excentricidades de las órbitas de los planetas varían a lo largo del
tiempo. Mercurio, el planeta más pequeño del Sistema Solar, tiene la órbita más
excéntrica. El siguiente es Marte, mientras que los planetas con menor
excentricidad son Venus y Neptuno. Cuando dos objetos orbitan sobre sí,
el periastro es el punto en el que los dos objetos se encuentran más próximos el
uno al otro y el apoastro es el punto donde se encuentran más lejos.
En una órbita elíptica, el centro de masas de un sistema entre orbitador y orbitado
se sitúa en uno de los focos de ambas órbitas, sin nada en el otro foco. Cuando un
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planeta se acerca a su periastro, el planeta incrementa su velocidad. De igual
manera, cuando se acerca a su apoastro, disminuye su velocidad.
7.- ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ORBITAL
7.1) Teoría clásica de Newton
Para un sistema de sólo dos cuerpos que se influyen únicamente por la gravedad,
sus órbitas pueden ser calculadas mediante las leyes del movimiento de Newton y
la ley de la gravitación universal: la suma de las fuerzas será igual a la masa por
su aceleración; la gravedad es proporcional a la masa e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia (este cálculo desprecia pequeños efectos
como la forma y dimensiones de los cuerpos, que no son relevantes si los cuerpos
orbitan a distancias razonablemente grandes comparadas con sus propias
dimensiones, y asimismo se ignoran efectos relativistas también muy pequeños en
las circunstancias habituales del sistema solar).
Para realizar los cálculos, es conveniente describir el movimiento en un sistema de
coordenadas que esté enfocado en centro de gravedad del sistema. Si uno de los
cuerpos es mucho más masivo que el otro, el centro de gravedad prácticamente
coincidirá con el centro del cuerpo más pesado, por lo que se puede decir que el
cuerpo más ligero órbita alrededor el más pesado.
La teoría newtoniana predice que en un problema de dos cuerpos, la órbita de un
cuerpo es una sección cónica:
La órbita puede ser abierta, si el objeto nunca regresa, o cerrada, si
regresa, dependiendo de la suma total de energía cinética y potencial del
sistema. En el caso de una órbita abierta, la velocidad en cualquier posición
de la órbita es al menos la de la velocidad de escape para esa posición; en
una órbita cerrada, es siempre menor.
Una órbita abierta tiene forma de hipérbola si la velocidad es mayor que la
velocidad de escape, o de parábola, si la velocidad es exactamente igual a
la velocidad de escape. Los cuerpos se aproximan durante un momento,
18
luego sus trayectorias se curvan una respecto a la otra en el momento que
su aproximación es la más cercana y luego se separan para siempre.
Una órbita cerrada tiene forma de elipse. En el caso especial de que el
cuerpo orbitante se encuentre siempre a la misma distancia del centro,
también tiene forma de círculo. De otra manera, el punto donde el objeto se
encuentra más cerca de la Tierra se denomina perigeo, o periastro cuando
órbita alrededor de otro cuerpo que no es la Tierra. De forma similar, el
punto en el que se encuentra más alejado de la Tierra se llama apogeo, o
apoastro si no orbita sobre la Tierra. Una línea dibujada desde el periastro
al apoastro es la línea de los ápsides: este es el eje mayor de la elipse.
Los cuerpos orbitantes en órbitas cerradas repiten su trayectoria en un período
constante. Este movimiento es descrito por las leyes empíricas de Kepler, que
pueden ser derivadas matemáticamente desde las Leyes de Newton. Estas leyes
son:
La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de sus
focos. Por tanto, la órbita yace en un plano, denominado plano orbital. El punto de
la órbita más cercano al cuerpo atrayente es el periastro. El punto más alejado se
denomina apoastro. Existen nombres específicos para cuerpos determinados: los
objetos que orbitan alrededor del Sol tienen perihelio y afelio, los objetos que
orbitan alrededor de la Tierra tienen perigeo y apogeo.
Mientras los planetas se mueven alrededor de su órbita durante una cantidad de
tiempo fija, la línea desde el Sol al planeta barre un área constante del plano
orbital, sin importar en qué parte de la órbita se encuentra el planeta en ese
período. Esto significa que un planeta se mueve más rápido cuando se acerca a
su perihelio que cuando lo hace a su afelio, debido a que en la distancia menor se
necesita barrer un arco mayor para cubrir la misma área. La ley se suele resumir
como "áreas iguales a tiempos iguales". Para cada planeta, la relación entre el
cubo de su semieje mayor con respecto al cuadrado del período es un valor
constante para todos los planetas. Excepto para casos especiales como
19
los puntos de Lagrange, no se conoce un método para solucionar las ecuaciones
de movimiento para un sistema de cuatro o más cuerpos.
Las soluciones para dos cuerpos se publicaron en los Philosophiae Naturalis
Principia Matemática de I. Newton en 1687. En 1912, Karl F. Sundman desarrolló
una serie infinita convergente que soluciona el problema con tres cuerpos, sin
embargo su convergencia es demasiado lenta para ser utilizada como método
práctico de cálculo. En su lugar, las órbitas pueden ser aproximadas con una
precisión alta arbitraria. Existen dos formas para estas aproximaciones.
Una forma es tomar el movimiento elíptico puro como base y añadirle las
perturbaciones para tener en cuenta la influencia gravitacional de los otros
cuerpos. Este es el método conveniente para calcular las posiciones de objetos
astronómicos. Las ecuaciones de movimiento de la Luna, los planetas y otros
cuerpos se conocen con gran precisión y se utilizan para generar tablas para la
navegación astronómica. Aun así, hay fenómenos seculares que deben ser
tratados con métodos post-Newtonianos.
Para propósitos científicos o de una misión espacial, se utiliza la forma
de ecuación diferencial. De acuerdo a las Leyes de Newton, la suma de todas las
fuerzas es igual a la masa por su aceleración. Por tanto, las aceleraciones se
pueden expresar en términos de posición.
Los términos de las perturbaciones son más fáciles de describir de esta forma. La
predicción de las posiciones futuras y velocidades desde los términos iniciales se
soluciona con un problema de valor inicial. Los métodos numéricos calculan las
posiciones y velocidades de los objetos para un tiempo futuro muy pequeño, y
luego se prolonga repitiéndolo. Sin embargo, los pequeños errores aritméticos
debido a la limitada precisión de la matemática del computador se acumulan,
limitando la precisión de esta aproximación.
Las simulaciones de diferenciales con grandes cantidades de objetos realizan los
cálculos de forma jerárquica entre los centros de masas. Utilizando este esquema
se pueden simular galaxias, cúmulos estelares y otros objetos grandes.
20
7.2) Teoría relativista de Einstein
Es bien conocido que la teoría de la relatividad especial está en contradicción con
la teoría newtoniana de la gravitación, ya que en ésta tiene lugar la acción a
distancia instantánea. Esa y otras razones llevaron a Einstein a buscar una teoría
más general que fue la teoría de la relatividad general que incorpora una
descripción relativista adecuada del campo gravitatorio.
En esta teoría la presencia de una masa en el espacio curva el espacio-tiempo de
tal manera que la geometría del mismo deja de ser euclídea (aunque sigue siendo
aproximadamente euclídea si las masas y velocidades de los cuerpos toman
valores como los observados en el sistema solar). Las órbitas planetarias no son
estrictamente secciones cónicas sino curvas geodésicas (líneas de mínima
curvatura) sobre la geometría curva del espacio-tiempo.
La teoría es no lineal y resulta muy complicado hacer cálculos por ejemplo para un
problema de dos cuerpos de masas iguales. Sin embargo, para sistemas
planetarios como el sistema solar, en que el astro central, el sol, es mucho más
masivo que el resto de planetas, puede estimarse la curvatura del espacio-tiempo
debida únicamente al sol (despreciando la del resto de planetas) y asumir que los
planetas mucho menos masivos se mueven según geodésicas de la geometría
curvada por el sol.
Para los valores presentes en el sistema solar los resultados cuantitativos de la
teoría einsteniana son numéricamente muy cercanos a la teoría newtoniana (por lo
que generalmente se justifica a efectos prácticos usar la teoría newtoniana que es
computacionalmente más simple). Sin embargo, la teoría newtoniana no puede
explicar algunos hechos que sí son correctamente explicados por teoría relativista
de Einstein, entre los que se encuentra el notable efecto de avance del
perihelio del planeta Mercurio, que es explicado con muy buena aproximación por
la teoría relativista de Einstein pero no por la teoría newtoniana.
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¿Qué es una órbita?
La definición más elemental dice que es el camino que sigue un astro en el cielo.
Cualquier astro: una galaxia, un planeta, una estrella, etc. Sucede que
normalmente se interpreta como órbita la órbita de los planetas y como estamos
en el Sistema Solar vamos a hablar de los planetas pero acuérdense que órbita se
refiere a cualquier astro. Vamos a ver un ejemplo muy sencillo:
Imaginemos a la Tierra con una montaña enorme, cuya cima es tan alta que esta
fuera de la atmosfera. En el pico tengo un cañón.
Con este cañón yo puedo disparar balas a cualquier velocidad: puedo disparar
desde un centímetro por segundo hasta casi la velocidad de la luz. Voy a tirar
primero una bala despacio: hará el movimiento 1, y la bala se cae. Si yo la tiro
más rápido, hará el movimiento 2, y se volverá a caer.
Pero si el tiro más fuerte, lo suficientemente rápido hará el movimiento 3, dará
toda la vuelta y me caerá nuevamente a mí.
En este momento, la bala está en órbita. ¿Por qué no se cae? O mejor dicho ¿no
se cae? Sí, se está cayendo, pero se está cayendo con la misma forma de la
Tierra y, por lo tanto, el piso se le escapa siempre y no llega. En vez de caerse en
forma derecha, se cae con la misma forma de la Tierra y no llega al piso. Va
perdiendo altura pero no se cae al piso. Si la Tierra fuera cubica esto no podría
suceder porque en algún momento chocaría con algo. Pero como la Tierra es
esférica, el objeto va siguiendo la misma curva y no llega nunca al piso. Pero se
está cayendo! Se cae “de costado”.
Viéndolo desde el punto de vista más físico, podemos poner como ejemplo al Sol y
por el otro a un planeta. Hay una fuerza que lo está atrayendo para que se caiga
hacia el Sol, que es la gravedad. Si el objeto va a cierta velocidad (lo
suficientemente rápido) se genera una fuerza centrífuga (es como cuando yo
agarro una piedra, la ato con un hilo y la hago girar; si corto el hilo la piedra se va
porque se genera una fuerza a raíz de la velocidad).
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La fuerza va hacia un lado y compensa la otra fuerza. Por eso no se cae. Este
ejemplo, que es un poco más científico, también sirve para explicar porqué los
objetos están en órbita y no se caen. Requieren velocidad; tienen que ir muy
rápido. Para que tengan una idea, para obtener una órbita circular de una vuelta
en la Tierra el objeto tiene que ir a 8 kilómetros por segundo, que es una velocidad
importante. Cuando la velocidad alcanza los 11 kilómetros por segundo (en la
Tierra), el objeto realiza la Orbita parabólica. A mayor velocidad se denomina
Orbita hiperbólica. Al realizar este movimiento, el objeto no vuelve más. Esto se
denomina parábola u órbita parabólica. Si el objeto va por debajo de la velocidad
parabólica es una elipse, si va por encima de la velocidad parabólica es una
hipérbola. Las órbitas adoptan formas que se denominan cónicas. Esto significa
que son cortes de un cono. Según como sea el ángulo en el que corta al cono el
plano considerado, se forman todas las cónicas posibles.
Por supuesto que las órbitas reales son complejas, y estas cónicas son solo
idealizaciones de la realidad, ya que por la atracción de los distintos astros
cercanos, el planeta seguirá por puntos algo diferentes de las cónicas idealizadas.
Las partes de las órbitas se denominan:
Vuelvo a reiterar que cuando un objeto está más cerca del central, del gravitante,
va más rápido, es decir que la velocidad en toda la órbita es variable. La órbita de
los planetas no es constante. La Tierra no va a una velocidad constante alrededor
del Sol. A las órbitas se les da un valor y estos valores tienen un número asociado
que se llama excentricidad. La excentricidad varía entre 0 (cero) y 1.
Se calcula con la formula simple:
Excentricidad = distancia entre un foco y el centro de la elipse / semieje mayor 0
(cero) es un círculo. Si decimos que la órbita que sigue la nave tiene excentricidad
0 (cero) significa que la órbita es circular (4); si tiene una excentricidad de 0,5 es
elíptica. Hasta 1 (uno). Cuando la excentricidad llega a 1 (uno) es una parábola. Y
encima de 1 (uno) es una hipérbole. Es decir que el caso límite 1 (uno) es una
parábola.
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Órbitas en el caso newtoniano
Para analizar el movimiento de un cuerpo bajo la influencia de una fuerza que
siempre se dirige desde un punto fijo es conveniente utilizar coordenadas
polares cuyo origen coincida con el centro de la fuerza. En tal sistema de
coordenadas, sus componentes radial y transversal son respectivamente:
Ya que la fuerza es completamente radial y que la aceleración es proporcional a la
fuerza, implica que la aceleración transversal es igual a cero. Como resultado:
Tras su integración, se obtiene, que es una prueba teórica de la segunda ley de
Kepler.
La constante de integración l es el momento angular por unidad de masa. Por
tanto,
Donde se introduce una variable adicional,
La fuerza radial es f(r) por unidad es , tras la eliminación la variable tiempo del
componente radial de la ecuación se obtiene,
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En el caso de la gravedad, la ley universal de gravitación de Newton afirma que la
fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,
Donde G es la constante de gravitación universal, m la masa del cuerpo orbitante
y M la masa del cuerpo central. Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene,
Para la fuerza gravitacional, el término de la derecha de la ecuación se convierte
en una constante y la ecuación se parece a una ecuación armónica. La ecuación
para la órbita descrita por la partícula es:
Donde p, e y son constantes de la integración,
Si el parámetro e es menor que uno, e es la excentricidad y a es el semieje
mayor para una elipse. En general, se puede reconocer como la ecuación de una
sección cónica en coordenadas polares (r, θ).
Órbitas en el caso relativista
En el caso relativista, el problema de dos cuerpos puede resolverse
aproximadamente usando la solución de Schwarzschild para el campo gravitatorio
creado por un cuerpo con simetría esférica.
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La órbita planteria en el espacio tiempo es una geodésica de la métrica de
Schwarzschild. La órbita planetaria se obtendría a partir de esta geodésica, en
términos efectivos la curvatura del espacio-tiempo dada por la métrica de métrica
de Schwarzschild es equivalente a que la partícula notara una aceleración radial
efectiva dada por:
Donde:
, constante de la gravitación universal y velocidad de la luz.
, coordenada radial de Schwarzschild.
, momento angular orbital del planeta por unidad de masa.
Las constantes del movimiento asociadas a la energía y el momento angular son:
La ecuación del movimiento haciendo el cambio como en el caso
clásico, queda como:
Para todos los planetas del sistema solar la corrección relativista dada por el tercer
término del segundo miembro es pequeña comparada con los otros términos.
Para ganar en claridad, conviene introducir un parámetro a
dimensional y hacer un nuevo cambio de
variable con lo que la ecuación de movimiento puede reescribirse
como:
(*)
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Donde:
Para el planeta Mercurio el parámetro es máximo alcanzado el
valor la pequeñez de este término hace que las correcciones
relativistas produzcan sólo pequeñas correcciones y por esa razón la teoría
newtoniana da tan buenas aproximaciones para el sistema solar. Buscando las
raíces de la función teniendo en cuenta la pequeñez de este parámetro se
llega a:
Para las órbitas planetarias estables se tiene (el caso
queda excluido ya que implica que la partícula cae sobre el sol ). La
solución de la ecuación (*) viene dada por:
Esta integral puede reducirse a una integral elíptica mediante el cambio de
variable , quedando como:
Donde:
Usando una de las funciones elípticas de Jacobi la integral (**) se puede integrar
como:
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Con módulo dado por , usando este resultado par a la ecuación de la
órbita se tiene:
(***)
Donde:
Es el módulo de la función elíptica de Jacobi para la órbita.
Si , entonces y en ese caso la órbita
queda reducida al caso newtoniano clásico:
Que es una elipse de excentricidad e. La órbita relativista sin embargo no es
periódica es una cuasi-elipse que gira lentamente alrededor del sol. Esto se
conoce como avance del perihelio que es más acusado para el planeta Mercurio.
A partir de la solución (***) el perihelio aparece
en y el siguiente valor para el que se da es (donde K es un
cuarto del período, dado por la integral elíptica de primera especie completa), por
lo tanto entre dos perihelios el ángulo girado no es sino una cantidad
ligeramente mayor:
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Para Mercurio con el avance del perihelio predicho es
de (siendo su período de 88 días), que es prácticamente el valor
experimental . Este gran acuerdo constituyó uno de los éxitos
iniciales de la teoría que le dio gran aceptación general.
Período orbital
El período orbital es el tiempo que tarda un planeta u otro objeto en realizar una
órbita completa. Existen varios tipos de períodos orbitales para los objetos
alrededor del Sol:
El período sidéreo es el tiempo que tarda el objeto en dar una órbita completa
alrededor del Sol, respecto de las estrellas. Se considera como el período orbital
verdadero del objeto.
El período sinódico es el tiempo que tarda el objeto en reaparecer en el mismo
punto del cielo, respecto al Sol, cuando es observado desde la Tierra. Este
período comprende el tiempo entre dos conjunciones sucesivas y es el período
orbital aparante del objeto. El período sinódico difiere del sidéreo porque la Tierra
también gira alrededor del Sol. El período draconítico es el tiempo que tarda en
pasar dos veces el objeto por su nodo ascendente, el punto de su órbita que cruza
la eclíptica desde el hemisferio sur al norte. Se diferencia del período sidéreo
porque la línea de nodos suele variar lentamente.
El período anomalístico es el tiempo que tarda en pasar dos veces el objeto por su
perihelio, el punto más próximo al Sol. Se diferencia del período sidéreo porque el
semieje mayor también suele variar lentamente. El período tropical es el tiempo
que tarda en pasar dos veces el objeto por la ascensión recta de cero. Es
ligeramente más corto que el período sidéreo debido a la precesión de los
equinoccios.
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Elementos de una órbita
Los elementos orbitales son los parámetros necesarios para especificar una órbita,
utilizando un modelo de dos masas obedeciendo las leyes de movimiento de
Newton. Existen seis parámetros básicos, también denominados elementos
keplerianosen honor a Kepler:
Longitud del nodo ascendente ( ). Inclinación( ). Argumento del perihelio ( ). Semieje mayor ( ). Excentricidad ( ).
Anomalía media de la época ( ).
Además, otros elementos orbitales son: anomalía verdadera ( ), semieje menor (), excentricidad linear ( ), anomalía excéntrica( ), longitud media ( ), longitud verdadera ( ) y período orbital ( ).
8.- TIPOS DE ÓRBITAS:
8.1.- Por características
Órbita circular Órbita eclíptica Órbita elíptica Órbita muy elíptica u órbita muy excéntrica Órbita cementerio Órbita de transferencia de Johann Trayectoria hiperbólica Órbita inclinada Trayectoria parabólica Órbita de captura Órbita de escape Órbita semisíncrona Órbita su síncrona Órbita síncrona
8.2.- Por cuerpo central
Órbitas terrestres Órbita geocéntrica Órbita geo síncrona
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Órbita geoestacionaria Órbita de transferencia geoestacionaria Órbita baja terrestre Órbita media terrestre Órbita de Monilla Órbita casi ecuatorial Órbita de la Luna Órbita polar Órbita tundra Órbitas marcianas
Conclusiones
Concluiremos aportado y a la vez sabiendo en que año nació el ultimo pitagórico Miguel de Guzmán Osáis nació en 1936 en Cartagena, era catedrático de Análisis de la Universidad Complutense de Madrid, miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales desde 1982, miembro correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias de la República Argentina heliocéntrica
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Además nos muestra sus diferentes obras de carácter divulgativo, siempre ameno, atractivo e interesante; buscando generar en el lector la curiosidad y la inquietud inteligente ante las matemáticas. Porque esa ha sido una de las características de sus libros: mostrar los aspectos más atractivos de la actividad matemática, descubrir el rostro humano de la reina de las ciencias.
Esta obra es importante porque presentaba la primera demostración amplia y convincente de las ventajas geométricas de la teoría copernicano
En cuando a Kepler nos habla que planteó que el Sol ejerce una fuerza que disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia e impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas. Publicó sus teorías en un tratado titulado Misterio Cosmographicum en 1596.
Y también nos afirma de que La órbita puede ser abierta, si el objeto nunca regresa, o cerrada, si regresa, dependiendo de la suma total de energía cinética y potencial del sistema. En el caso de una órbita abierta, la velocidad en cualquier posición de la órbita es al menos la de la velocidad de escape para esa posición; en una órbita cerrada, es siempre menor.
Y por último todos los integrantes del grupo nos quedamos muy satisfecho ya que de estas monografía obtuvimos consumientes nuevos especialmente de Kepler.
Bibliografía
Bertrand, s (1989) La perspectiva científica, Editorial: Ariel, Barcelona.
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De la Barra v (2003) Historia de la Ciencia, Fondo Editorial FACHSE
Unprg, Lambayeque.
Lincografia
http://www.historiacultural.com/2010/07/segunda-revolucion-
industrial.html.
http://bachiller.sabuco.com/historia/desarrollo2.pdf.
http://www.historialuniversal.com/2010/07/primera-revolucion-
industrial.html.
