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Variables indicadoras


Ms Carlos López de Castilla Vásquez

Universidad Nacional Agraria La Molina

2011-2

Ms Carlos López de Castilla Vásquez Variables indicadoras


IntroducciónModelo con diferente intercepto y pendienteUna variable indicadora con más de dos nivelesModelo con InteracciónCon más de una variable cualitativas

Introducción

Algunas veces se hace necesario el uso de variables cualitativas

en el análisis de regresión.

Por ejemplo: Turno, Situación laboral, Género, etc.

Se debe asignar un conjunto de niveles a la variable cualitativa

para explicar su efecto sobre la variable respuesta.

Lo anterior se realiza a través del uso de las variables

indicadoras.

Suponga que un ingeniero mecánico desea estudiar la relación

entre la vida efectiva de una herramienta cortante (Y ) con la

velocidad del torno en RPM (X1) y el tipo de herramienta

cortante usada (X2) .




Introducción

La variable independiente X2 = tipo de herramienta es

cualitativa y supongamos que tiene dos niveles: A y B.

Se utiliza una variable indicadora que toma los valores 0 y 1

para identi�car sus niveles.

Sea:

X2 =

{0, si la observacion es obtenida de la herramienta A

1, si la observacion es obtenida de la herramienta B




Introducción

Si se asume que un modelo de regresión lineal se tiene:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ε (1)

Para interpretar los parámetros de este modelo considere

primero la herramienta tipo A para la que X2 = 0:

Y = β0 + β1X1 + β2(0) + ε = β0 + β1X1 + ε

Se obtiene para la herramienta tipo A es una recta con

intercepto β0 y pendiente β1 .




Introducción

Para la herramienta tipo B se tiene que X2 = 1 , entonces:

Y = β0 + β1X1 + β2(1) + ε = (β0 + β2) + β1X1 + ε

Se obtiene para la herramienta tipo B una recta con pendiente

β1 y intercepto β0 + β2 .

Ambos modelos describen dos líneas de regresión paralelas y se

asume que la variancia de los errores ε es la misma para ambos

tipos de herramientas.




Introducción

El parámetro β2 es una medida de la diferencia de la vida

media de la herramienta como resultado de cambiar de la

herramienta tipo A a la de tipo B.

El procedimiento anterior se puede generalizar para factores

cualitativos con cualquier número de niveles.

Suponga que se tiene tres tipos de herramientas: A, B y C.

Para incorporar los tres niveles en el modelo se requiere dos

variables indicadoras, por ejemplo X2 y X3 .




Introducción

Los niveles de estas variables son:

X2 X3

0 0 Si la observación es de la herramienta tipo A

1 0 Si la observación es de la herramienta tipo B

0 1 Si la observación es de la herramienta tipo C

El modelo de regresión es:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ε

En general, una variable cualitativa con a niveles se representa

con a − 1 variables indicadoras.




Modelo con diferente intercepto y pendiente

Suponga que las líneas de regresión para la vida efectiva de la

herramienta sobre la velocidad del torno tienen diferente

intercepto y pendiente.

Lo anterior se puede modelar con una sola ecuación de

regresión usando variables indicadoras.

El modelo es:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X1X2 + ε (2)





El modelo anterior incorpora un producto cruzado entre la

velocidad del torno y la variable indicadora del tipo de

herramienta.

Para la herramienta tipo A el modelo (2) se convierte en:

Y = β0 + β1X1 + β2(0) + β3X1(0) + ε = β0 + β1X1 + ε (3)

que corresponde a una recta con intercepto β0 y pendiente β1.





Para la herramienta tipo B el modelo (2) se convierte en::

Y = β0+β1X1+β2(1)+β3X1(1)+ε = (β0+β2)+(β1+β3)X1+ε(4)

que corresponde a una recta con intercepto β0 + β2 y

pendiente β1 + β3.

β2 indica el cambio en el intercepto asociado con el cambio del

tipo de herramienta de A a B.

β3 indica el cambio en la pendiente asociado con el cambio del

tipo de herramienta de A a B.





Para probar sí dos modelos de regresión son idénticos se

plantean las siguientes hipótesis:

H0 : β2 = β3 = 0

H1 : almenos uno es diferente de cero

Si no se rechaza H0 se puede asumir que existe un sólo modelo

de regresión.

Para probar que la pendiente es común pero el intercepto

posiblemente diferente se plantean las siguientes hipótesis:

H0 : β3 = 0 versus H1 : β3 6= 0




Una variable indicadora con más de dos niveles (cuando lavariable cualitativa tiene mas de dos categorías)

Ejemplo

Se desea investigar la relación que existe entre el consumo de

electricidad (Y ) en viviendas unifamiliares en los meses de mayor

calor, sobre el tamaño de la casa de familia (X1) y sobre el sistema

de aire acondicionado que usa. Suponga que existe cuatro tipo de

sistema de aire acondicionado: (1) Sin aire acondicionado, (2) por

ventiladores, (3) Sistema de extracción de aire caliente, y (4) con

una central de aire acondicionado.




Los cuatros niveles de este factor puede ser modelado por tres

variables indicadoras: X2, X3 y X4 , se tiene:

Tipo de aire acondicionado X2 X3 X4

Sin aire acondicionado 0 0 0

Por ventiladores 1 0 0

Sistema de extracción 0 1 0

Central de aire acondicionado 0 0 1




El modelo de regresión es:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε...(5)

De esta manera, la casa sin aire acondicionado (

X2 = 0,X3 = 0 , X4 = 0), la ecuación (5) se convierte en :

Y = β0 + β1X1 + ε

La casa que usa ventiladores ( X2 = 1,X3 = 0 , X4 = 0), la

ecuación (5) se convierte en:

Y = (β0 + β2) + β1X1 + ε




La casa con sistema de extracción ( X2 = 0,X3 = 1 , X4 = 0),

la ecuación (5) se convierte en:

Y = (β0 + β3) + β1X1 + ε

La casa que tiene central de aire acondicionado (

X2 = 0,X3 = 0 , X4 = 1), la ecuación (5) se convierte en:

Y = (β0 + β4) + β1X1 + ε




Se puede observar:

Los parámetros β2, β3 y β4 , y modi�ca la altura (el

intercepto) del modelo de regresión para los diferentes tipos de

sistema de aire acondicionado.

Esto es que β2, β3 y β4, y mide el efecto de sistema de aire

acondicionado por ventiladores, extracción y de central de aire

acondicionado.




Modelo con Interacción

Si se asume que la pendiente de la función de regresión que

relaciona con la media del consumo de electricidad y el tamaño

de la casa, depende del tipo de sistema de aire acondicionado.

Por ejemplo, uno puede esperar que el consumo de electricidad

puede incrementarse con el tamaño de la casa, pero la tasa de

incremento puede ser diferente para un sistema central de aire

acondicionado que para con ventiladores, debido a que un

sistema con aire acondicionado podría ser mas e�ciente que

con ventiladores para casa grande.




Esto es, que existe una interacción entre el tamaño de la casa

y el sistema de aire acondicionado.

Esto puede ser incorporado en el modelo dado en (5) el

término de interacción.

El modelo resultante es:

Y = β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X1X2+β6X1X3+β7X1X4+ε




Las cuatro modelo de regresión correspondiente a los cuatros

tipos de sistemas de aire acondicionado son:

Tipo de aire acondicionado

Y = β0 + β1X1 + ε Sin aire acondicionado

Y = (β0 + β2) + (β1 + β5)X1 + ε Con ventiladores

Y = (β0 + β3) + (β1 + β6)X1 + ε Con sistema de extracción

Y = (β0 + β4) + (β1 + β7)X1 + ε Con sistema central de aire acondicionado




Con más de una variable cualitativas

Frecuentemente presenta que varias variables cualitativas

deben ser incorporadas al modelo.

Para ilustrar esto, suponga que en el ejemplo de las

herramientas cortante, se incorpora un nuevo factor, tipo de

aceite para corte.




Si se asume que este factor tiene dos niveles, se puede de�nir

una segunda variable indicadora X3 como sigue:

X3 =

{0, si se usa es aceite de baja viscocidad

1, si se usa es aceite de viscocidad media

Un modelo de regresión que relaciona la vida de la herramienta

(Y ) con la velocidad del torno X1, tipo de herramienta (X2), y

tipo de aceite (X3) es como sigue:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + ε...(6)




Los interceptos en este modelo dependen de estos factores en

una forma aditiva.

Por ejemplo, si se usa la herramienta de tipo B y un aceite de

mediana viscosidad (X2 = 1, X3 = 1), se tiene:

Y = (β0 + β1 + β2) + β1X1 + ε




Suponga que se considera interacciones y los dos factores

cualitativos, así el modelo dado en (6), se convierte:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β4X1X2 + β5X1X3 + ε...(7)




Esto implica las siguientes situaciones:

Tipo de Herramienta Aceite para el corte Modelo de Regresión

A Baja viscosidad Y = β0 + β1X1 + ε

B Baja viscosidad Y = (β0 + β2) + (β1 + β4)X1 + ε

A Viscosidad media Y = (β0 + β3) + (β1 + β5)X1 + ε

B Viscosidad media Y = (β0 + β2 + β3) + (β1 + β4 + β5)X1 + ε




Observe que para cada combinación de tipo de herramienta y

aceite para el corte resulta una línea de regresión con diferente

intercepto y pendiente.

Sin embargo el modelo es aditivo con respecto a los niveles de

la variable indicadora.

Esto es cambio de una viscosidad baja a una viscosidad media

en el aceite de corte, cambia en el intercepto en β3 y en la

pendiente en β5, sin tener en cuenta del tipo de herramienta

que se está usando.




Ahora, si adicionamos al modelo dado en (7) el término de

producto cruzado que involucra a las variables indicadora X2 y

X3, se tiene:

Y = β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X1X2+β5X1X3+β6X2X3+ε...(8)

Entonces se tiente las siguientes situaciones:




Tipo de Herramienta Aceite para el corte Modelo de Regresión

A Baja viscosidad Y = β0 + β1X1 + ε

B Baja viscosidad Y = (β0 + β2) + (β1 + β4)X1 + ε

A Viscosidad media Y = (β0 + β3) + (β1 + β5)X1 + ε

B Viscosidad media Y = (β0 + β2 + β3 + β6) + (β1 + β4 + β5)X1 + ε




La adicción del término producto cruzado en (8) resulta como

un efecto de una variable indicadora en el intercepto

dependiendo del nivel de las otras variables indicadoras.

Si no se dispone de informaciones a priori de los efectos del

tipo de herramienta, viscosidad del aceite de corte sobre la

vida de la herramienta, se dejará que los datos nos guíen a

seleccionar el modelo correcto.




Esto puede ser generalmente hecho mediante pruebas de

hipótesis a cerca de los coe�cientes individuales de regresión

usando la prueba de F parcial.

Por ejemplo, probar la hipótesis:

H0 : β6 = 0

Podría permitir discriminar entre que modelo usar, el (7) o el

(8).


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