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2o Día de Geogebra en España. Segovia. 24 de Noviembre 2012. 1

TALLER DE INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE ACTIVIDADES YPRESENTACIONES DINÁMICAS CON GEOGEBRA.

Taller realizado por los profesores del IGCLM (Instituto de Geogebra de Castilla La Mancha):

Maria del Carmen Monzó González.

Bernardino Del Campo López.

Rafael Pérez Laserna.

Índice1. Introducción. 2

2. Objetivos del Taller. 2

3. Desarrollo del Taller. 33.1. Herramientas de Geogebra que aportan dinamismo e interactividad. . . . . . . . 3

3.1.1. Los Deslizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.2. Traslaciones de objetos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.3. Giros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.4. Simetrías respecto de puntos y de rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.5. Secuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.6. Cuadros de texto dinámicos tanto en su posición como en su contenido. . 93.1.7. Condiciones para la visualización de un objeto. . . . . . . . . . . . . . . 103.1.8. Casillas de control para mostrar u ocultar objetos. . . . . . . . . . . . . . 113.1.9. Casillas de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.10. Botones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.11. Aleatoriedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.12. Vista gráfica 2. Utilización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.13. Sonido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.14. Colores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Actividades dinámicas e interactivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1. Actividad Autoevaluable 1. Pendiente y ordenada en el origen de una recta. 183.2.2. Actividad Autoevaluable 2. Tipos de funciones y sus desplazamientos. . . 233.2.3. Actividad con movimiento. Uso de Deslizadores, Giros y Traslaciones. . . 26

3.3. Desarrollo de una presentación en Geogebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Agradecimientos y Bibliografía. 32

Taller de Introducción al Diseño de Actividades y Presentaciones Dinámicas con Geogebra.


1. Introducción.Desde el nacimiento de las nuevas tecnologías los matemáticos las hemos introducido enlas clases para mejorar el proceso de enseñanza - aprendizaje. En internet podemos en-contrar demostraciones y actividades que nos ayudan tanto a profesores como alumnos.Para crear estas actividades se han utilizado herramientas como Flash Macromedia, Pow-erpoint o Java, con un esfuerzo considerable en ocasiones por parte de los autores de las mismas.

Desde hace algunos años Geogebra se ha unido a las anteriores, convirtiéndose en una poderosaherramienta al servicio de los profesores y alumnos.

Nuestro interés al impartir este taller es:

1. Crear un material que pueda servir al profesorado como referencia en la creación de susactividades con Geogebra.

2. Mostrar la forma de dar vida a las construcciones, dotándolas de movimiento e interac-tividad.

3. Animar a los profesores a crear presentaciones con Geogebra que puedan ayudar al alumnoa entender conceptos complejos y simplifique nuestro trabajo en el aula.

Sabemos que el día de Geogebra congrega a una gran variedad de profesorado que ya conoce yutiliza estas herramientas, pero como ya ocurrió en el día de Geogebra de Salamanca o en lasJAEM de Gijón, muchos se acercan a los talleres con escasos conocimientos y un taller de estetipo pueda animarlos a utilizar Geogebra en sus clases de forma habitual.

2. Objetivos del Taller.Los objetivos del taller serían los siguientes:

1. Repaso de las herramientas de las que dispone Geogebra para dinamizar construccionese interactuar con los usuarios.

2. Realización de una o varias actividades para afianzar dichas herramientas.

3. Dinamización de una actividad mediante textos y objetos dinámicos.

4. Utilización de herramientas de autoevaluación (actividades que devuelven al alumno men-sajes sobre los avances conseguidos a medida que se realizan).

5. Creación de presentaciones dinámicas para facilitar la comprensión de los conceptos im-partidos en el aula.



3. Desarrollo del Taller.El taller se va a realizar en dos partes.

La primera hará un pequeño repaso de las herramientas que nos van a interesar en el taller. Enla siguiente media hora crearemos una actividad autoevaluable que utilizará las herramientasestudiadas anteriormente. Veremos también algunas otras actividades que hemos preparadopara este día.

En la última media hora segunda haremos una pequeña presentación. Hemos elegido para lapresentación el Teorema de la Altura, por ser un teorema sencillo y que nos permitirá realizaruna presentación sencilla sobre él, en poco tiempo.

Todo el material se encuentra en la web Moodle de la IGCLM a la que podréis acceder comoInvitado, Ésta es la dirección de la web:

http://aula.ies6jrpab.es/course/view.php?id=70

3.1. Herramientas de Geogebra que aportan dinamismo e interactivi-dad.

3.1.1. Los Deslizadores.

Deslizador[Mínimo,Máximo,Incremento,Velocidad]

Los deslizadores los podemos crear de número o de ángulo. Si creamos un deslizador de ángulonos aparece en grados sexagesimales. Si el deslizador lo hacemos de número y lo utilizamoscomo ángulo, sus unidades serán en radianes.

Podemos elegir las diferentes maneras en las que van cambiando los valores del deslizador,pues puede ser incrementando, incrementando una vez, disminuyendo u oscilante. Tambiénpodemos cambiar la velocidad con la que van variando los números.

Un deslizador puede modificar los valores de otro deslizador, ya sean sus valores mínimos omáximos, su incremento.

Actividades propuestas.

1. Anima un punto en una función, en un determinado intervalo.

2. Crea un deslizador que modifique el valor máximo de otro.

3.1.2. Traslaciones de objetos.

Traslada[Objeto,Vector]

Las traslaciones de objetos aportan mucho dinamismo a nuestras actividades. Pero no vamos ahacer en la mayoría de los casos que la traslación sea de golpe, sino que la vamos a hacer pocoa poco. Esto se hace mediante vectores ponderados. Para eso combinaremos un deslizador conun vector.


http://aula.ies6jrpab.es/course/view.php?id=70


Actividad. Trasladar un objeto por la pantalla.

Vamos a crear una tesela de mosaico, que posteriormente se va a trasladar por la pantallaprimero en una dirección y luego hacia otra. Esta animación la vamos a hacer utilizando iconosdel menu.

Podemos hacer los siguientes pasos:

1. Descargamos de la web Moodle donde está el curso, una herramienta que crea unas teselaspara mosaicos llamadas Pez Volador. Este fichero se llama Pez Volador.ggt. Abrimos elfichero desde Geogebra y veremos que se ha instalado una nueva herramienta que se llamaPez Volador, en la parte derecha del menú.

2. Para ayudarnos en el diseño, pongamos en la Vista Gráfica los Ejes y la Cuadrícula.

3. Creamos ahora una tesela. Elegimos la herramienta Pez Volador y ponemos en la vistaGráfica dos puntos, el primero en el A(0,0) y el segundo B(1,0). Veremos ahora queaparece una tesela con un pico hacia la parte inferior izquierda. Cambiamos el color aazul. Ocultamos los puntos A y B.

4. Pongamos ahora un deslizador con valor inicial 0 y final 2, con un incremento de 0.01. Enmi caso se llama a. Ponemos el deslizador en el valor 0.5.

5. Construyamos ahora los vectores u = (0, 4), u1 = a ∗ u, v = (5, 0) y v1 = (a − 1) ∗ v.Ocultemos los vectores u y v para poder ver los movimientos de los vectores u1 y v1cuando movemos el deslizador.

6. Queremos ahora trasladar la tesela mediante el vector u1. Elegimos la herramienta “Trasla-da Objeto por un Vector”, como Objeto elegimos a nuestra tesela y como vector u1.

7. Veremos que cuando movemos el deslizador aparecen dos teselas, la original y la traslada-da. Como solo queremos que se vea una en pantalla, podemos ocultar la original, dandocon click derecho del ratón en “Propiedades del Objeto”, en la pestaña Avanzado, escribi-mos en la línea de Condición para Exponer el Objeto a=0. Ahora si movemos el deslizadorveremos que solo hay una tesela en la pantalla.

8. Cuando a=1, vemos que la tesela tiene de base (0,4) y (1,4). Pongamos el deslizadoren a=0.5. Siguiendo las instrucciones anteriores pongamos en la tesela trasladada comoCondición para Exponer el Objeto a < 1.

9. Creamos una nueva tesela con bases los puntos (0,4) y (1,4) y le damos el mismo colorque a las otras. Cambiamos el deslizador a a=1.5.

10. Trasladamos ahora la tesela mediante el vector v1. Como van a aparecer dos teselas otravez, le cambiamos a la tesela su Condición para Exponer el Objeto a a=1. A la trasladadale pondremos como Condición para Exponer que a > 1.

11. Si ponemos el deslizador en a=0, ocultamos los puntos, los vectores, la cuadrícula y losejes, y ahora animamos el deslizador, veremos una tesela que se mueve por la pantalla.



3.1.3. Giros.

Rota[Objeto,Ángulo,Punto]

Para que los giros queden mejor, vamos a hacerlos mediante ángulos ponderados. Si el ánguloque vamos a utilizar es sexagesimal debe llevar su correspondiente símbolo de grado. Si nohacemos esto el ángulo lo tomará en radianes.

Actividad 1. Combinar una traslación con dos giros.

Vamos a crear un triángulo rectángulo, al que vamos a girar con un determinado ángulo,después lo vamos a trasladar mediante un vector y posteriormente lo vamos a volver a girar.

Para hacer esto seguimos los siguientes pasos:

1. Abrimos una nueva actividad de Geogebra, con los ejes y la cuadrícula.

2. Creamos un triángulo rectángulo en los puntos A(1, 1), B(4, 1) y C(4, 3). Podemos crearel triángulo de forma que conserve ser rectángulo aunque se estire de uno de sus vértices.Este triángulo se llama polígono1. Ocultamos sus vértices. Le cambiamos a color azul,para que sea más fácil identificarlo.

3. Creamos un deslizador de nombre d, que será el que marque el tiempo de la animación.Tendrá de valores entre 0 y 5, incremento 0.01 y en la pestaña Animación pondremosAumentando(Una vez). Aceptamos. Le ponemos de valor 0.

4. Seleccionamos el polígono1, con sus segmentos y cambiamos la Condición para Exponerel Objeto, cuando d < 1.

5. Giramos en el sentido horario el triángulo, con centro de giro en B. Esto se debe hacercuando el deslizador tome valores entre 1 y 2. Combinaremos un Si con la instrucciónRota. La instrucción sería:

Si[d ≥ 1 ∧ d ≤ 2, Rota[polígono1,−90o · (d− 1), B]]

6. Ponemos el deslizador en 2. Veremos que aparece un nuevo triángulo, que se llama polí-gono2. Aprovechamos para cambiar el color al polígono para que sea del mismo azul queel otro. Si el deslizador tiene un valor d > 2, el triángulo desaparece. Cuando d = 2 vemosque el triángulo tiene de vértices (4, 1), (6, 1) y (4, 4).

7. Cambiamos la Condición para Exponer el Objeto del polígono2, con el valor d < 2.

8. Construimos un triángulo rectángulo en los vertices que hemos dicho antes y éste sellamará el polígono3. Ocultamos los vértices, le cambiamos el color a azul.

9. Creamos el vector u = (2,−4) y el vector v = (d− 2) · u. Ocultamos los vectores.

10. Trasladamos ahora el triángulo cuando d tome valores entre 2 y 3. La instrucción sería:

Si[d ≥ 2 ∧ d ≤ 3,Traslada[polígono3,v]]

11. Ocultamos el polígono3.



12. Movemos el deslizador d = 3 y comprobamos que aparece un nuevo triángulo llamadopolígono4, con vértices en (6, 0), (6,−3) y (8,−3). Le damos el color azul y para exponerel objeto pondremos que d < 3.

13. Construimos un triángulo rectángulo en los vertices del punto anterior y éste se llamaráel polígono5. En mi caso el vértice que está en el punto (6,−3), se llama J. Ocultamoslos vértices y le cambiamos el color al triángulo y a los lados a azul.

14. Rotamos en el sentido antihorario el triángulo, con centro de giro en J = (6,−3). Estose debe hacer cuando el deslizador tome valores entre 3 y 4. Utilizamos de nuevo unainstrucción Si de esta forma:

Si[d ≥ 3 ∧ d ≤ 4, Rota[polígono5,90o · (d− 3), J ]]

15. Ocultamos el polígono 5. Adelantamos el deslizador d = 4.

16. Ha aparecido un nuevo triángulo con nombre polígono6. Este tiene los vértices en lospuntos (3,−3, (6,−3) y (6,−1). Le ponemos de color azul.

17. Adelantamos el deslizador d = 5. Creamos el mismo triángulo que en la posición delanterior. Ocultamos los vértices. Cambiamos su color a azul. Seleccionamos al triánguloy sus lados y le ponemos en condición para Exponer el Objeto que d > 4.

18. Quitamos los ejes y la cuadrícula. Ponemos el deslizador a 0. Animamos el deslizador yveremos como se mueve nuestra animación.

19. Si la animación fuera lenta o a golpes podemos aumentar la velocidad del deslizador.

Actividad 2. El símbolo de Geogebra.

Crear el símbolo de Geogebra con movimiento.

Para hacerlo necesitamos:Crear un deslizador de ángulo entre 0 y 360 grados con un incremento del 0.1.

Hacer una elipse similar a la de Geogebra. Necesitamos tres puntos. Un punto central,uno para el semieje mayor y otro para el menor.

Fijamos un punto sobre la elipse.

Elegimos la herramienta “Ángulo dado su centro y amplitud”. Elegimos el punto fijo sobrela elipse, el centro y la amplitud ponemos α.

Si movemos el punto que aparece, veremos que se sale de la circunferencia. Así que lounimos con el centro mediante un segmento y buscamos el punto de intersección con laelipse. Ocultamos el segmento y el punto exterior.

Ese punto que hemos encontrado, lo utilizaremos como centros de circunferencias pe-queñas. Para ello cogemos “Circunferencia dado su centro y radio”. Cada 72o tendremosque dibujar un círculo nuevo. Al mover el deslizador veremos que se mueven los círculos.

Actividades Propuestas.

1. Hacer una circunferencia goniométrica. La podemos hacer mediante giros, semejante a laactividad del símbolo de Geogebra o con la herramienta Lugar Geométrico.

2. Crear un pequeño sistema planetario animado, con planetas y satélites.

3. Crear una curva cicloide.



3.1.4. Simetrías respecto de puntos y de rectas.

Refleja[Objeto,Recta]

Podemos hacer la simetría de un objeto respecto de una recta o respecto de un punto.

Actividad. Simetría con efecto libro.

Vamos a crear un simetría con movimiento de efecto libro. Para hacer esto seguimos los sigu-ientes pasos:

1. Abrimos Geogebra y dejamos la cuadrícula y los ejes.

2. Fijemos ahora el tamaño de las imágenes a las que vamos a hacer la simetría y la propiasimetría. Fijamos un punto A(-6,0), otro B(0,0). Hacemos ahora una simetría de A re-specto de B, con la herramienta “Refleja Objeto por Punto”. Nos aparecerá un punto C,que estará situado en el punto A′

(6, 0).

3. Insertamos una imagen. En las Propiedades del Objeto, en “Posición”, fijamos la Esquina1 en A y la Esquina 2 en B.

4. Fijamos ahora un punto C, en la esquina superior izquierda de la foto y fijamos la Esquina4 de la imagen en ese punto C.

5. Construimos el vector que va desde A hasta C. Ese vector se llama en mi casu u.

6. Trasladamos los puntos B y A′ mediante el vector u. Se llaman B′ y A′′ .

7. Creamos una recta que una los puntos B y B′ . Situamos un punto sobre esa recta. Esepunto que se llamará D será el que sirva de centro para crear posteriormente un arco.

8. Cogemos la herramienta “Arco de Circunferencia con Centro entre dos Puntos”. Elegimospor este orden el punto D, el punto A y el punto A′ . Movemos el punto D arriba y abajohasta encontrar un arco que nos guste. Ese arco marcará el movimiento de efecto libro.

9. Trasladamos el punto D mediante el vector u y creamos el punto D′ que será el centro deun segundo arco.

10. Creamos el arco con centro D′ y que une los puntos C y A′′ .

11. Necesitamos conocer el ángulo que tiene ese arco. Cogemos la herramienta “Ángulo”.Señalamos en este orden los puntos A, D y A′ . En mi caso el ángulo se llama α.

12. Creamos un deslizador de número, entre 0 y 1, con incremento 0.01. Ponemos su valor en0.5.

13. Cogemos la herramienta “Ángulo dada su Amplitud”. Señalamos por este orden el puntoA, el D y de ángulo le ponemos b ∗ α, con sentido antihorario. Aparece en mi caso unnuevo punto que se llama A′1.

14. Trasladamos ese punto mediante el vector u, para que nos parezca otro punto sobre elotro arco. En mi caso se llama E.

15. Insertamos ahora otra vez la misma imagen, pero fijamos su posición, en la Esquina 1 elpunto A′1, en la Esquina 2 el punto B y en la Esquina 4 el punto E.



16. Ocultamos ahora todos los elementos sobrantes, como puntos, rectas, vectores, arcos.

17. Movemos el deslizador y ya tenemos el efecto libro deseado.

3.1.5. Secuencias.

Secuencia[Expresión, Variable, Valor Inicial, Valor Final, Incremento]

Una secuencia es una lista de objetos que se crea mediante la expresión que indiquemos, uti-lizando para ello una variable, con unos valores mínimos y máximos para esa variable, así comoel incremento que debe tener. Aquí ponemos algunos ejemplos e instrucciones que nos puedeninteresar de uso de listas:

1. Secuencia[i,i,1,10,0.5], crea una lista de números desde 1 hasta 10 con un incremento de0.5.

2. Secuencia[Valor Final], crea, a partir de 1, la lista de números hasta el valor final indicado.

3. Elemento[L,n]. Nos permite coger de la lista L el valor que ocupe el valor n.

4. Mezcla[L]. Reordena aleatoriamente los elementos de una lista.

5. ElementoAleatorio[L]. Coge un elemento al azar de una lista.

Actividad. Crear un mosaico con ayuda de una secuencia.

Vamos a crear un mosaico con la ayuda de una secuencia. Para hacerlo seguimos las siguientesinstrucciones:

1. Descargamos de la web Moodle donde está el curso, una herramienta que crea unas teselaspara mosaicos llamadas Pez Volador. Este fichero se llama “Pez Volador.ggt”. Abrimos elfichero desde Geogebra y veremos que se ha instalado una nueva herramienta que se llamaPez Volador, en la parte derecha del menú.

2. Para ayudarnos en el diseño, pongamos en la Vista Gráfica los Ejes y la Cuadrícula.

3. Creamos ahora una tesela. Elegimos la herramienta Pez Volador y ponemos en la vistaGráfica dos puntos, el primero en el A(-1,-1) y el segundo B(0,-1). Veremos ahora queaparece una tesela con un pico hacia la parte inferior izquierda. Cambiamos el color averde. Le damos una opacidad del 50 %. Se llamará polígono1.

4. La segunda tesela será con los puntos C(0,-0) y el B. Sale una tesela que encaja con laprimera pero que tiene el pico mirando a la parte superior izquierda. Le damos un colorazul oscuro. Misma opacidad que antes. Se llamará polígono2.

5. La tercera tesela será cogiendo los puntos D(1,1) y E(0,1).Le ponemos un color azul claroo turquesa y misma opacidad. Se llamará polígono3.

6. La cuarta será cogiendo los puntos C(0,0) y E(0,1). Le damos un color blanco ye igualopacidad. Se llamará polígono4.

7. Creamos ahora dos vectores que se llamarán u=(2,0) y v=(0,2).

8. Para crear el mosaico haremos las siguientes secuencias:



Secuencia[Secuencia[Traslada[polígono1,s*u+t*v],s,-2,2],t,-2,2]. Todos parecen agru-pados en una lista. Aprovechamos para cambiarles el color si es necesario.

Secuencia[Secuencia[Traslada[polígono2,s*u+t*v],s,-2,2],t,-2,2].



9. Ocultamos los puntos, vectores y las teselas originales por que están duplicadas y por esoparecen un poco más oscuras.

10. Para que quede más bonito vamos a animar el mosaico mediante un deslizador. Creamosun deslizador a que oscile entre 0 y 5.

11. En las listas vamos a cambiar sus opciones de visualización. Estas serán:

a) La lista 1 se verá cuando a ≥ 1.

b) La lista 2 se verá cuando a ≥ 2.

c) La lista 3 se verá cuando a ≥ 3.

d) La lista 4 se verá cuando a ≥ 4.

12. Animamos el deslizador y lo ocultamos. Ahora veremos que el mosaico tiene animación.

Si queremos tener más libertad con el mosaico, se tiene que hacer mediante traslaciones. Asícada tesela será libre y podemos añadir más colores o cambiar las opciones de visualizaciónuna a una, lo que hará que el mosaico sea más bonito.

3.1.6. Cuadros de texto dinámicos tanto en su posición como en su contenido.

Texto[Objeto]

Podemos crear textos o fórmulas LATEX. Entre las cosas que podemos hacer es:

1. Crear texto dinámico, que informe sobre los valores que toman puntos, variables, etc. Sepuede hacer de dos formas:

a) El texto fijo se pone entrecomillado.

b) El texto dinámico se pondría “Texto Fijo 1 ”+Texto Variable+"Texto Fijo 2”.

c) El texto dinámico se puede poner también directamente desde la ventana del cuadrode texto, escogiendo la variable deseada, de una lista desplegable que pone Objetos.

2. Fórmulas LATEX. Si pulsamos la casilla de verificación de fórmulas LATEX, veremos que sepueden escoger múltiples fórmulas. Elegimos la que necesitemos y podemos cambiar losvalores que deben aparecer, utilizando alguno de los métodos que hemos visto antes.

3. Podemos poner su posición fijo a un punto determinado. Si este se mueve, el texto tambiénlo haría.

4. Podemos cambiar sus opciones para exponer el objeto y que se muestre en determinadascircunstancias.



Figura 1: Ejemplo de ventana para crear un cuadro de texto, con una fórmula de LaTeX yobjetos de Geogebra.

También podemos crear un texto a partir de una instrucción Si. Por ejemplo:

Si[n==2,“Bien”,“Prueba otra vez” ].

Esta instrucción crea dos textos que aparecen en función del valor de una variable.

¿Cómo rotamos un texto?

Podemos utilizar la instrucción RotaTexto[“Texto”,Ángulo].

Actividad. Cuadro de texto que aparece de forma intermitente.

Para realizar esta actividad haremos:

Creamos un deslizador de número entre 0 y 2 y con incremento 0.5.

Creamos un cuadro de texto. En Avanzado, en “Condición para Exponer el Objeto”,escribimos a ≤ 1.

Animamos el deslizador y lo ocultamos.

3.1.7. Condiciones para la visualización de un objeto.

En las Propiedades de cualquier objeto, encontramos dentro de la pestaña Avanzado, unalínea que pone Condición para Exponer el Objeto. Ahí podemos escribir las condicionesque necesitamos para que se vea el objeto. Es muy importante un icono que aparece en laparte derecha de la línea donde añadimos las condiciones, por que contiene los símbolos quenecesitemos para introducir las fórmulas. En las numerosas actividades que planteamos en estetaller, aparecen muchos ejemplos para aprender a dominar esta opción.



Figura 2: Ejemplo de ventana para poner las condiciones de exposición de un Objeto. En laparte de la derecha de esa línea, hay un icono para añadir los símbolos que necesitemos.

3.1.8. Casillas de control para mostrar u ocultar objetos.

Algunas de las herramientas que vamos a ver a continuación, se encuentran en el segundo botónpor la derecha. Son los llamado genéricamente Controladores.

Figura 3: Icono de la barra de herramientas que contiene a los controladores.

Las casillas de control, nos permiten mostrar y ocultar objetos a voluntad.

Éstas son muy fáciles de utilizar. A lo largo de los ejemplos que tenemos propuestosaprenderemos a manejarlas.

En la figura 4 de la página siguiente veremos un ejemplo.

¿Cómo se pueden conectar varias casillas de control, para que solo una de ellaspueda estar pulsada?

Para realizar esto, lo podemos hacer de dos formas distintas:

1. Ocultando casillas después de pulsar una.

a) Creamos una actividad de geogebra, con tres casillas de control, que serán a, b y c.Nos aseguramos de que estén desmarcadas.

b) En la pestaña Avanzado de la casilla a, en la Condición para Exponer el Objeto,pondremos que las otras dos no deben estar pulsadas, con la instrucción (¬b)∧ (¬c)



Figura 4: Ejemplo de ventana para definir una casilla de control que muestra una circunferencias.

c) Repetimos el mismo proceso en las casillas b y c, donde pondremos respectivamente(¬a) ∧ (¬c), en la casilla b y (¬a) ∧ (¬b), en la casilla c.

d) De eta forma cuando pulsamos en una casilla, las otras automáticamente se ocultan.

e) Si queremos volver a ver todas las casillas debemos desmarcar la que esté pulsada yaparecerán.

2. Mediante un Guión.

a) Volvemos a crear una actividad de geogebra, con tres casillas de control, que serána, b y c. Nos aseguramos de que estén desmarcadas.

b) En la casilla a, en la pestaña Programa de Guión, escribimos las instrucciones:

b=false c=false

c) Repetimos en la casilla b, pero esta vez las instrucciones son a=false, c=false.

d) Idem para la casilla c, con las instrucciones a=false, b=false.

e) Cuando pulsamos una casilla automáticamente si hubiera otra pulsada se desmar-caría. De esta forma solo una puede estar pulsada a la vez.

Actividades Propuestas.

Crea tres casillas de control que estén conectadas entre si, de tal forma que cuando se pulseuna de ellas, automáticamente las otras se desmarquen.

3.1.9. Casillas de entrada.

Las casillas de entrada nos permiten escribir valores que modifican una variable.

Éstas tienen un subtítulo, para ponerle nombre, un objeto vinculado que es el que modificare-mos cuando escribamos algo en ella.

Si esta casilla queda muy grande, podemos modificar su tamaño en las Propiedades del Objeto,en la pestaña Estilo, en la opción longitud de la Casilla de Entrada. Puede que con el valor 2ó 3 sea suficiente en la mayoría de los casos.



En las actividades más adelante veremos, las utilizaremos.

Figura 5: Ejemplo de ventana para definir una casilla de entrada que modifica el valor de unavariable h.

3.1.10. Botones.

Los botones han sido diseñados para que cuando hagamos click sobre ellos, se puedan ejecutaruna serie de órdenes que previamente hayamos introducido. Esta serie de instrucciones recibenen Geogebra el nombre de guiones.

Actividad. Botón que anima un deslizador.

Vamos a crear un botón que anime un deslizador. Seguimos los siguientes pasos:

1. Crea un deslizador entre 0 y 5, con incremento 0.1. En mi caso se llama a.

2. Crea un botón, con la siguiente información:

a) Subtítulo. Escribimos “Inicia la animación”.

b) Guión. Pondremos la instrucción:IniciaAnimación[a,True]

3. Cuando hacemos click en el botón, se pondrá en marcha la animación del deslizador.¿Pero que hacemos para que se pare?

4. Creamos ahora otro botón, con los datos siguientes:

a) Subtítulo. Escribimos “Parar la animación”.

b) Guión. Pondremos la instrucción:IniciaAnimación[a,False]

¿Podemos hacer lo anterior con un solo botón?

1. Repetimos el paso 1 anterior.

2. Creamos una variable que se llame muestraboton1 y con valor muestraboton1=true.

3. Hacemos el primer botón, fijándonos en la posición donde lo colocamos, con los datossiguientes:



Figura 6: Ejemplo de ventana para definir un botón que ejecuta un script.

a) Subtítulo. Escribimos “Iniciar”.

b) Guión. Pondremos la instrucción:IniciaAnimación[a,True]muestraboton1=false

c) Aceptamos para que se cree el botón.

d) En las propiedades del botón cambiamos la “Condición para Exponer el Objeto”, pon-dremos muestraboton1. Aceptamos. Ahora cuando pulsamos el botón, el deslizadorse anima, pero el botón se oculta.

4. Construimos un segundo botón para parar la animación. Lo situamos en la misma posiciónque el primero, con las siguientes condiciones:

a) Subtítulo. Escribimos “Parar”.

b) Guión. Pondremos la instrucción:IniciaAnimación[a,False]muestraboton1=true

c) Aceptamos para que se cree el botón.

d) En las propiedades del botón cambiamos la “Condición para Exponer el Objeto”, pon-dremos ¬muestraboton1. Aceptamos. Ahora cuando pulsamos el botón, el deslizadorse para y aparece el botón Iniciar.

3.1.11. Aleatoriedad.

AleatorioEntre[a,b].

Dando a nuestra actividad la posibilidad de que ciertos valores sean aleatorios, permite quenuestros alumnos observen una gran cantidad de problemas en poco tiempo. También permitiráque los ejercicios sean distintos por lo que será más difícil que se copien entre ellos.

La primera opción es AleatorioEntre. Si escribimos a=AleatorioEntre[-10,10], el programaelegirá un número aleatorio y entero entre -10 y 10. Cada vez que pulsemos a la tecla F9, elprograma calculará un nuevo número aleatorio.

Si quisiéramos que salieran números decimales, pondríamos la siguiente instrucción:

a = AleatorioEntre[−1000, 1000]/100



con el que ya obtendríamos números entre -10 y 10, con dos decimales.

¿Cómo se eligen números de una lista?

Si queremos elegir de una lista de números que por ejemplo excluyan al 0, o pudiera ser quesolo quisiéramos unos decimales concretos como 1/2 ó 1/4, . . . , lo podemos hacer con un trucode listas.

Escribiremos una lista con todos los valores seleccionables. Por ejemplo:L = 〈1, 2, 3, 4, 0,5, 0,25, . . .〉.

Mezclamos la lista anterior de esta forma L1=Mezcla[L].

Cogemos los valores de la lista L1, de la forma a=elemento[L1,1], b=elemento[L1,2].

Si en la primera lista no aparece el 0, no saldrá elegido. Si ponemos algún decimal, ese si podrásalir aleatoriamente.

3.1.12. Vista gráfica 2. Utilización.

La Vista Gráfica 2 puede ser muy útil en los ejercicios, por que nos permite crear una ventanaaparte de la vista gráfica normal, para poner mensajes, botones, etc y que no se mezclen conlo que sucede en la Vista Gráfica 1.

La encontramos al pulsar en el menú superior en Vista. La ventana tiene tres botones. Elprimero por la izquierda es para que aparezca la barra de estilos, que permite poner ejes,cuadrícula, etc. El segundo icono incrusta la ventana al lado de la Vista Gráfica 1. Si ahoraarrastramos desde la barra de esa ventana, la podemos desplazar hacia la zona que más nosinterese, como por ejemplo parte superior, inferior, izquierda o derecha. El último botón espara cerrar la ventana.

En los ejercicios que vamos a realizar más adelante, van a aparecer ejemplos de su utilización.

3.1.13. Sonido.

TocaSonido[“Archivo.mid”].

El comando TocaSonido nos permite introducir sonido en nuestras actividades. Podemos hacerlomediante ficheros midi o introduciendo nosotros a mano las notas que queremos que ejecute elprograma.Algunas de sus posibilidades son:

TocaSonido[“Archivo.mid”]Ejecuta un archivo de audio MIDI. El archivo midi debe ponerse en el mismo directorioque el fichero de Geogebra o tendremos que incluir toda la ruta donde esté. Es muy im-portante que el fichero esté entrecomillado, para que la instrucción funcione. Por ejemplo,TocaSonido[“musica.mid”].



TocaSonido[Secuencia de Notas,Instrumento]Ésta sería un ejemplo con esta instrucción TocaSonido[“C+E+G Rw Ai Bi Ci A4i B4iC4i”, 0].

Toda la información referente a la instrucción TocaSonido, se encuentra en la siguiente direcciónweb:

http://wiki.geogebra.org/es/Comando_TocaSonido

¿Cómo hacer que suene un fichero midi, cuando un determinado valor de unavariable se alcance?

Supongamos que creamos un deslizador que toma valores entre 0 y 2. Supongamos quedeseamos que suene un fichero midi cuando el deslizador alcance el valor 2.Debemos escribir un guión dentro de ese deslizador con el código siguiente:

TocaSonido[“musica.mid”]TocaSonido[Si[n==2, true, false]]

3.1.14. Colores.

ColorDinámico[Nombre del Objeto,kRojo, kV erde, kAzul,Opacidad]

Todos los objetos tienen dentro de sus propiedades en la pestaña Avanzado, en la parte centralde la ventana nos encontramos una sección que se llama Colores Dinámicos. Estos coloresadmiten valores entre 0 y 1. Si se ponen valores en esas casillas, los colores se mezclan, dandouna gran variedad de colores. Por ejemplo:

1. Construimos un polígono. Accedemos a las propiedades del polígono, a la pestaña Avan-zado y modificamos los valores de las casillas de los colores dinámicos.

2. Si Rojo=0, Verde=0 y Azul=0, el color saldrá negro.

3. Si Rojo=1, Verde=1 y Azul=1, el color saldrá blanco.

4. Si Rojo=1, Verde=1 y Azul=0, el color saldrá amarillo.

5. Si Rojo=0.5, Verde=0.5 y Azul=0.5, el color saldrá gris.

6. Si modificamos los valores de la casilla Opacidad entre 0 y 1, veremos que el objeto cambiadesde el fondo transparente a totalmente opaco.

En estas casillas se pueden introducir fórmulas matemáticas, que dan lugar a resultados muycuriosos. En los materiales sobre Geogebra del Intef, podemos encontrar numerosas actividadessobre los colores dinámicos.

Actividad. Polígono que cambia de color según el valor de un deslizador.

Vamos a crear un polígono que cambia de color según los valores que tenga un deslizador. Estosserían los pasos:


http://wiki.geogebra.org/es/Comando_TocaSonido


Figura 7: Ventana con las propiedades de colores dinámicos de un objeto.

1. Abrimos una actividad de Geogebra en blanco.

2. Creamos un deslizador a que tome valores entre 0 y 3, con un incremento del 0.1.

3. Creamos un polígono regular, por ejemplo de 5 lados.

4. Accedemos a las propiedades del objeto en la pestaña Avanzado. En la parte central dondepone Colores Dinámicos, escribimos las siguientes instrucciones:

a) En la casilla Rojo escribimos a < 1.

b) En la casilla Verde escribimos (a ≥ 1) ∧ (a ≤ 2).

c) En la casilla Azul escribimos a > 2.

d) Cambia su Opacidad con diferentes valores entre 0 y 1, para ver lo que sucede.

Actividad propuesta.

Construye un polígono que cambie de color según el valor de tres deslizadores, uno para el colorrojo, otro para el verde y otro para el azul, con una opacidad de 1 para que se vea mejor. Muevelos deslizadores y comprueba como cambian los colores.



3.2. Actividades dinámicas e interactivas.

Aquí os proponemos algunas actividades que combinan todas las posibilidades que hemosestudiado en los apartados anteriores.

En las actividades autoevaluables crearemos una variable que se llamará grade. ésta es lavariable que se encargará de almacenar la nota del alumno, para que pueda ser consultada porel profesor en Moodle.

3.2.1. Actividad Autoevaluable 1. Pendiente y ordenada en el origen de una recta.

Vamos a crear una actividad sencilla para 3o ó 4o de la ESO. La actividad ayudará al alumnoa entender que es la pendiente y la ordenada en el origen en una recta. Ésta contendrá lossiguientes elementos interactivos:

Valores aleatorios para que la actividad sea distinta.

Un botón que ayude a modificar los valores aleatorios fácilmente.

Dos casillas de entrada para que el alumno pueda escribir sus respuestas.

Textos dinámicos que se modifiquen en función de las condiciones. Por ejemplo con unmensaje que informe al alumno si su respuesta es correcta o no.

La actividad será autoevaluable y la nota podrá ser consultada por el profesor.

La actividad quedará mas o menos con el siguente aspecto:

Figura 8: Imagen Final de la Actividad Autoevaluable 1.

Para realizar la actividad, seguimos los siguientes pasos:

1. Abrir Geogebra con los ejes y la cuadrícula en la Vista Gráfica 1. Podemos darle un fondode color.

2. La Vista Algebraica no es necesaria, pero se puede dejar hasta que tengamos diseñada laactividad, para que nos ayude.

3. Abrimos la Vista Gráfica 2 y la colocamos en la parte inferior. Quitamos los ejes y ponemosuna cuadrícula, para que nos ayude al diseño.



4. Creamos cinco valores:

m=1

n=1

a=0

b=0

Creamos un contador de veces que se hace el ejercicio. Creamos el valor c=0.

5. Construimos en la Vista Gráfica 1, la función f(x) = m ∗ x + n. Le demos cierto grosory color para que no se confunda con los ejes.

Todos los pasos a partir de ahora serán en la Vista Gráfica 2.

6. Creamos un texto con la instrucción Si. Este le dice al alumno que para empezar debedarle al botón. El texto se crearía así:

Si[c==0,“Para empezar la actividad pulsa el botón”]El texto lo situamos al principio de la Vista Gráfica 2, lo ponemos como “Objeto Fijo” y“Posición Absoluta en Pantalla”.

7. Creamos ahora un botón, debajo del texto anterior. Este debe contener los datossiguientes:

Subtítulo: “Crea una nueva recta”.Guión:m=AleatorioEntre[-4,4]n=AleatorioEntre[-4,4]c=c+1

Todos los objetos que vamos a crear ahora tienen que tener como “Condición paraExponer el Objeto”, que c > 0.

Figura 9: Creando un Botón en Geogebra.



8. Creamos en la parte central, con una Casilla de Entrada que tenga:

Subtítulo: ¿Cuál es el valor del la Pendiente? Pendiente =Objeto Vinculado: a=0Cuando aplicamos, modificaremos la longitud de la casilla de entrada a 3. Para elloacudimos con el botón derecho a “Propiedades del Objeto”, en la pestaña Estilo →Longitud de la Casilla de Entrada, ponemos el valor 3.Recordemos que en la pestaña Avanzado → Condición para Exponer el Objeto, hay queponer que c > 0. Como hemos dicho antes esto se repite en todos los objetos que vienena continuación.

Figura 10: Creando una Casilla de Entrada en Geogebra.

9. Creamos debajo otra Casilla de Entrada que tenga:

Subtítulo: ¿Cuál es el valor del la Ordenada en el Origen? Ordenada =Objeto Vinculado: b=0Como antes, modificaremos la longitud de la casilla de entrada a 3.

Figura 11: Creando la segunda Casilla de Entrada en Geogebra.

10. En la parte derecha de la Vista Gráfica 2, creamos los textos de retroalimentación parael alumno. El primer texto dirá si el alumno ha acertado cuando ha introducido el valorde la pendiente. Lo vamos a crear con un Sí. Éste dirá:

Si[c > 0 ∧ a == m,“La Pendiente es CORRECTA”,“Prueba otra pendiente”]

11. El segundo texto informará al alumno sobre la Ordenada en el Origen. Lo creamos conun Sí. Éste dirá:Si[c > 0 ∧ b == n,“La Ordenada en el Origen es CORRECTA”,“Prueba otra ordenada”]



Cuando le demos al botón veremos aparecer todos los textos y aprovecharemos para colocarlosen la posición adecuada.

Quitamos la cuadrícula de la Vista Gráfica 2 y le damos a la actividad los colores que más nosgusten. Antes de guardar la actividad ponemos los valores de m y n a 1, los de a, b y c a 0 yya podemos Guardar con el nombre que queramos.

Podemos ahora hacer compatible esta actividad con el módulo de Geogebra para Moodle,haciendo que el programa le ponga una nota al alumno por su trabajo y que esta nota seaalmacenada por Moodle.

Para hacer esto seguimos estos sencillos pasos:

1. Creamos tres valores:

La primera gradep, que almacena la nota por la Pendiente. Escribimos en Geogebragradep=Si[c > 0 ∧ a == m,5,0].

La segunda gradeo, para la Ordenada en el Origen. Escribimos:gradeo=Si[c > 0 ∧ b == n,5,0].

La tercera almacena la nota final. Se debe llamar grade. Escribimosgrade=gradep+gradeo.

2. Pondremos un texto final que informe al alumno de su nato. Donde veamos que cabe eltexto, pondremos un texto que dirá:

“Tu nota es de ”+grade+“ puntos.”En Condición para Exponer el Objeto, pondremos que c>0.



Actividad Propuesta

Proponemos hacer una actividad parecida a la anterior, pero en esta ocasión el alumno paraencontrar los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, jugando con dos deslizadores.En pantalla deberán aparecer dos rectas, una la que el programa dibuja de forma aleatoriay la otra una segunda línea de un color diferente, que se irá modificando cuando el alumnomueva los deslizadores que alteran los valores de la pendiente y la ordenada en el origen. Estaactividad también tendrá unas casillas de verificación conectadas entre sí, para que el alumnoindique si la recta es una función constante, lineal o afín.

Por último, crearemos al menos tres variables que almacenen las notas parciales del alumno,según lo que haga en la pendiente, en la ordenada en el origen y en las casillas de verificacióny una última variable llamada grade, que sumará las tres notas. Naturalmente colocaremostambién un mensaje de texto que informe al alumno de su nota.

La actividad una vez finalizada puede tener el siguiente aspecto:

Figura 12: Imagen Final de la Actividad Autoevaluable Propuesta 1.



3.2.2. Actividad Autoevaluable 2. Tipos de funciones y sus desplazamientos.

En esta actividad pretendemos que el alumno sea capaz de identificar a que familia de fun-ciones pertenece una función determinada, viendo únicamente su gráfica y que desplazamientosen el eje X e Y ha sufrido.Este es el aspecto que va a tener nuestra actividad una vez terminada:

Figura 13: Imagen Final de la Actividad Autoevaluable 2.

Para ello seguimos los siguientes pasos:

1. Creamos una actividad nueva de geogebra, donde en la vista gráfica tendremos activadala cuadrícula y los ejes. También activamos la Vista Gráfica 2, que la incrustamos en laparte inferior con cuadrícula, pero sin ejes.

2. Creamos en la vista gráfica 1, tres valores:

a = 1. Este valor será el que desplace a la función en el eje X.

b = 1. Este para el desplazamiento en el eje Y.

c = 0. Es valor aleatorio que elegirá entre las funciones.

3. Vamos a crear 4 funciones en la Vista Gráfica 1, con diferentes colores y un cierto grosor,.No hacemos más para no complicar en demasía la actividad. A cada una le damos uncolor distinto y un grosor de 5 en la pestaña Estilo. Las funciones serán:

a) De proporcionalidad inversa, f(x) = b + 1x−a . En la línea de entrada escribiremos

f(x)=b+(1/(x-a)).

b) Irracional g(x) = b+√x− a. Escribiremos g(x)=b+sqrt(x-a).

c) Exponencial de base 2, h(x) = b+ 2x−a.Escribimos h(x) = b+ 2̂(x− a).d) Logarítmica decimal con i(x) = b+ log(x− a). Escribiremos i(x) = b+ lg(x− a).

Ocultamos las 4 funciones.

4. Definimos ahora la función j(x) que será la que el alumno tendrá que estudiar. Esta puedeser cualquiera de las cuatro anteriores que hemos definido. La instrucción que escribiremospara definir esta función será:j(x) = Si[c == 1, f, Si[c == 2, g, Si[c == 3, h, Si[c == 4, i]]]].Para facilitar recordar que podéis utilizar control+c para copiar y control+v para pegar.Darle también un color y un grosor a esta función.



5. Activamos la Vista Gráfica 2. Creamos un botón que será el que de comienzo a la actividad.Su contenido es el siguiente:Subtítulo: “Nueva Función”.Guión:a=AleatorioEntre[-5,5]b=AleatorioEntre[-5,5]c=AleatorioEntre[1,4]

Figura 14: Creando un Botón para la actividad de funciones.

6. Escribimos el texto:Paso 1Señala a que función crees que corresponde la siguiente gráfica.

7. Creamos 4 casillas de verificación. Estas tendrán los textos:

a) Función de proporcionalidad inversa. En mi caso la casilla se llama d.b) Función irracional. La casilla se llama e.c) Función exponencial de base 2. La casilla se llama k.d) Función logarítmica decimal. La casilla es l. Esta es la ele minúscula.

Deben desmarcarse las 4. Si desaparecieran al desmarcarse, quizás en “Condiciónpara Exponer el Objeto”, el programa ha introducido alguna condición que hay queeliminar para que se vean.

e) Para que solo pueda estar una casilla pulsada a la vez hay que dar un guión encada casilla. Por ejemplo, en la casilla d, en las Propiedades del Objeto, en la pes-taña Programa de Guión, en la pestaña Al Actualizar introducimos las instrucciones:

e=false k=false l=falsef ) Se repite el paso anterior con las casillas e, k y l. Solo que para cada casilla en

particular, hay que poner las tres mismas líneas anteriores, pero asegurándose deque las casillas que aparecen con el false, son las otras tres restantes.

8. Vamos a poner nota al trabajo del alumno. Ponemos ahora la primera nota. Creamosla variable grade1, en la que el alumno recibe un 4 si elige bien el tipo de función. Lainstrucción que escribiremos será:grade1 = Si[c == 1 ∧ d, 4, Si[c == 2 ∧ e, 4, Si[c == 3 ∧ k, 4, Si[c == 4 ∧ l, 4, 0]]]]



9. Veamos ahora si saben cuántas unidades se ha desplazado la función en el eje X. Creamosun texto que diga:Paso 2¿Qué valor hay que sumar a la x en la ecuación de la función para que suceda estedesplazamiento en el eje X?

10. Creamos ahora una variable cas1=0.

11. Hacemos debajo una Casilla de Entrada que tenga:

Subtítulo: ¿Valor?=0Objeto Vinculado: cas1Modificaremos la longitud de la casilla de entrada a 3.

12. La nota segunda recogerá si el alumno sabe hacer el apartado anterior. Recibe 3 puntossi es correcto el valor que elige y un 0 en caso contrario. La instrucción será grade2 =Si[cas1 == (−1) ∗ a, 3, 0]

13. Ahora queremos saber cuántas unidades se ha desplazado la función en el eje Y. Creamosun texto que diga:Paso 3¿Qué valor hay que sumar a la ecuación de la función para que tenga este desplazamientoen el eje Y?

14. Hacemos una variable nueva que se llame cas2=0.

15. Hacemos debajo otra Casilla de Entrada que tenga:

Subtítulo: ¿Valor?=0Objeto Vinculado: cas2Modificaremos la longitud de la casilla de entrada a 3.

16. La nota tercera recogerá el trabajo del apartado anterior. Recibe 3 puntos si es correcto elvalor que elige y un 0 en caso contrario. La instrucción será grade3 = Si[cas2 == b, 3, 0].

17. La nota final la recoge la variable grade. Ésta será grade=grade1+grade2+grade3.

18. Por último podemos poner textos que informen al alumno de su nota por apartados o unogeneral. En este caso ponemos uno general, pues el ejercicio ya es bastante difícil. Esteserá:“Tu nota final es de ” +grade+“ puntos.”

19. Podemos poner un texto que informe al alumno sobre la función que acaba de resolverponiendo un texto que diga:“La función es f(x)= ”+jEn Opciones de visualización ponemos que se vea cuando grade==10, para que no sepueda ver hasta que se haya hecho bien todo el ejercicio.

La actividad se puede hacer más bonita si incluimos opciones de visualización que hagan quelos textos, los deslizadores y las casillas de verificación se muestren o se oculten en función desi el alumno va contestando correctamente a lo que se le pregunta.



3.2.3. Actividad con movimiento. Uso de Deslizadores, Giros y Traslaciones.

Vamos a crear un mecanismo sencillo. La idea es que utilicemos nuestros conocimientosmatemáticos, para crear la sensación de movimiento. Con esto pretendemos también queprofesores de otras asignaturas, como puede ser tecnología o física se animen a utilizar elprograma y a crear sus propias animaciones.

La actividad consistirá en unas ruedas que se muevan por la pantalla. Posteriormente Se puedecompletar creando la carrocería de un coche de perfil, para que sea más completo el ejercicio.

Los pasos para crear la rueda serían los siguientes:

1. Abrimos Geogebra y dejaremos los ejes y la cuadrícula para que nos ayuden en el diseño.

2. Colocamos un deslizador de número que varíe entre -10 y 10 y con un incremento de 0.1.En mi caso este deslizador se llama a. Pondremos el valor de a en 0.

3. Colocamos un punto A = (a, 0).

4. Con la herramienta “Circunferencia dado su Centro y su Radio”, creamos una circunferen-cia de centro A y radio 1. Le damos un cierto grosor a la circunferencia para que parezcauna rueda. En Propiedades del Objeto, elegimos la pestaña Estilo → Grosor de Trazo.En mi caso he puesto el valor 7.

5. Creamos con el ratón, un punto fijo encima de la circunferencia en la posición B=(1,1).

6. Vamos a poner ahora un punto que gire sobre la circunferencia. Esto lo vamos a hacercon la herramienta “Ángulo dado su Amplitud”. Señalamos el punto B después el A ynos pedirá su Ángulo. Pondremos el valor a para el ángulo y elegimos sentido horario.Aparecerá un nuevo punto que en mi caso se llama B’.

7. Avanzamos un poco el deslizador y aprovechamos para ocultar el punto B y el ángulo queva apareciendo cuando se desplaza el punto. Veremos que si animamos el deslizador semueven tanto la circunferencia como el punto que gira alrededor de ella.

8. Para que la animación quede más real vamos a crear un diámetro en la circunferencia.Unimos mediante una recta el punto B’ y el centro A.

9. Con la herramienta “Intersección de dos Objetos”, buscamos el punto donde la rectaintersecta con la circunferencia. En mi caso ha aparecido un punto con el nombre D.Ocultamos la recta. Creamos ahora un segmento que una los puntos B’ y D.

10. Ocultamos los puntos A, B’ y D. Animamos el deslizador y ya tenemos una rueda quese desplaza. Si queremos añadirle algún radio más lo podemos hacer construyendo unaperpendicular con la herramienta “Recta Perpendicular” al segmento y por el centro A.Posteriormente seguiríamos los pasos del apartado anterior.

Pero si quiero construir un coche necesito dos ruedas. ¿Qué hago? Vamos a crear la segundarueda con una traslación. Estos serán los pasos:

1. Paramos la animación del deslizador. Creamos un vector que será el que marque la sepa-ración entre las ruedas. En mi caso voy a crear el vector v=(-4,0).



2. Cogemos la herramienta “Traslada Objeto por un Vector” y elegimos de objeto la circun-ferencia y de vector nuestro vector v. Lo mismo hacemos con los diámetros que hemoscreado. Si aparecen puntos no deseados, se ocultan para que quede mejor el dibujo.

3. Animamos el deslizador y ya tendremos dos ruedas que se mueven de la misma forma.

La carrocería es lo más fácil. Paramos la animación y creamos mediante polígonos la carroceríaque nos guste. Cuando terminemos, en las esquinas de la carrocería habrá puntos y hay queasegurarse de que esos puntos lleven de coordenada X el valor que les corresponda y ademássumarles un +a, para asegurarnos de que se desplaza cuando se anime el deslizador, al mismoritmo que las ruedas.



3.3. Desarrollo de una presentación en Geogebra.

Con Geogebra podemos crear presentaciones que ayuden a nuestros estudiantes a entenderalgunos conceptos matemáticos. Posteriormente se pueden colgar en una página web para quepueda ser consultada.

En este taller hemos estado viendo diferentes herramientas que nos pueden ayudar a crearla presentación. La idea sería crear un deslizador que al animarlo pusiera en marcha lapresentación, de tal forma que los valores que toma el deslizador provoquen cambios en losobjetos que allí aparezcan.

La idea para esta segunda parte del taller es crear una presentación para demostrar un teoremasencillo de los que damos en nuestras clases. En este caso hemos pensado en crear una para elTeorema de la Altura, que damos en 4o ESO.

Si alguno quiere crear su propia presentación utilizando traslaciones, giros, textos dinámicos,botones, etc, es libre para hacerlo. Pero dado que hay poco tiempo, nosotros vamos a proponeruna presentación, con una serie de pasos que los presentes pueden realizar.

Presentación del Teorema de la Altura.

Vamos a crear una presentación que no ocupe demasiado espacio de la Vista Gráfica, para quese pueda colgar en una web y quede bien acoplada.

Éste sería el aspecto final de nuestra presentación:

Figura 15: Imagen final de la presentación sobre el Teorema de la Altura.

Los pasos que proponemos para crear la presentación son los siguientes:

1. Abrimos una nueva actividad de Geogebra, con ejes y cuadrícula. En la Vista Gráfica,pondremos de valores en el Eje X de -1 a 10 y lo mismo en el Eje Y.

2. Creamos un deslizador de número de nombre t, con valores entre 0 y 15, con un incrementode 0.01. En la pestaña Animación le pondremos Incrementando. Cuando la actividad estéacabada, ocultaremos este deslizador.

3. Definimos una variable con nombre y valor, muestraboton1=true

4. Construimos un botón para iniciar la animación. Este botón tendrá:



a) Subtítulo: Iniciar.b) Guión: IniciaAnimación[t,true] muestraboton1=falsec) Lo ponemos en la parte inferior derecha de la animación. Aceptamos.d) Cambiamos la Condición para Exponer el Objeto, poniendo muestraboton1. Acep-

tamos.

5. Construimos un botón para parar la animación con las condiciones:

a) Subtítulo: Parar.b) Guión: IniciaAnimación[t,false] muestraboton1=truec) Lo ponemos en la parte inferior derecha de la animación. Aceptamos.d) Cambiamos la Condición para Exponer el Objeto, poniendo ¬muestraboton1. Acep-

tamos.

6. Ahora si pulsamos el botón Iniciar, se pone en marcha la animación del deslizador.Además, desaparece el botón Iniciar y aparece el botón Parar. Nos aseguramos que es-tén en la misma posición los dos botones. Cuando pulsamos el botón Parar, se para laanimación y aparece en la misma posición el botón Iniciar.

7. Ponemos t=0. Colocamos un cuadro de texto, que contenga “El Teorema de la Altura”.Le ponemos letra grande y en la pestaña Posición, lo ponemos en el punto (1, 5). EnCondición para Exponer el Objeto pondremos t < 1.

8. Movemos t=1. Construimos un triángulo rectángulo, cuya base sea la hipotenusa. Vamosa construir el clásico de lados 3, 4 y 5. Dejamos libertad para que cada uno lo puedaconstruir utilizando el método que desee. Al final del proceso colocaremos la hipotenusaen los puntos (7, 1) y (7, 6). Como sugerencia, se puede crear apoyado en uno de suscatetos y luego girarlo para que se quede con la base en la hipotenusa. El lado de pequeñoestará inclinado en la parte izquierda y el de 4 a la derecha. En la Condición para Exponerel Objeto, tanto del polígono como de los lados, pondremos de momento que t ≥ 1.

9. Ponemos t=2. Construimos la altura sobre la hipotenusa. También dejamos libertad paraconstruirlo. Pondremos para la altura, la Condición para visualizar el objeto será t ≥ 2.

10. Colocamos t=3. Construimos ahora los dos triángulos en los que queda dividido el trián-gulo rectángulo por la altura. El pequeño (polígono2) lo pondremos azul y el mediano(polígono3) verde. Su condición de visualización cuando t ≥ 3.

11. Adelantamos t=5. Construimos el vector u = (0,−6). Construimos el vector ponderadov = (t− 4) ∗ u. Ocultamos los dos vectores.

12. Trasladamos el triángulo verde con la instrucción:Si[t > 4 ∧ t ≤ 5,Traslada[polígono3,v]]En mi caso el triángulo se llama polígono4. Debemos cambiarle el color al mismo verdeque tenía antes de la traslación.

13. Tenemos que construir encima de este triángulo otro idéntico, por que cuando t > 5desaparecerá. Es posible que tengamos que sacar los vértices de ese triángulo con latraslación de los vértices del primer triángulo verde mediante una traslación del vectoru, para no sacarlos a ojo. Ponemos el deslizador en t = 5,1 y construimos un triángulorectángulo con los vértices que hemos sacado de las traslaciones anteriores. Su color elmismo verde y condición para exponer el objeto t > 5. Dejamos los vértices de momentopor que nos interesan.



14. Construimos el vector ponderado v1 = (t− 5) ∗ u. Ocultamos el vector.

15. Trasladamos el triángulo azul con la instrucción:Si[t > 5 ∧ t ≤ 6,Traslada[polígono2,v1]]Cuando t toma valores entre 5 y 6 aparecerá un triángulo que se llama en mi caso polí-gono6. Debemos cambiarle el color al azul que tenía antes de la traslación.

16. Llevamos el deslizador a t=6.1. el triángulo trasladado azul ha desaparecido. Debemosconstruir uno en la posición que debería estar. Para eso debemos trasladar mediante elvector u, los vértices que tiene el triángulo azul en la parte superior. Una vez construido eltriángulo rectángulo pequeño, le ponemos el color azul. Este triángulo se llama polígono7.Dentro de dos pasos lo vamos a ocultar, pues este no se tiene que ver.

17. Necesitamos girar en sentido horario el poligono7, alrededor del vértice donde está el án-gulo de 90o, que en mi caso se llama D’. Lo vamos a hacer de forma ponderada. Escribimosesta instrucción: Si[t > 6 ∧ t ≤ 7,Rota[polígono7,-(t-6)*90o,D’]]Al triángulo que aparece le ponemos el color azul de todo el ejercicio. En mi caso se llamapolígono8.

18. Los vértices del polígono7 también lo necesitamos girar 90o en sentido horario alrededordel mismo punto D’. Lo hacemos con la herramienta Rota de forma normal.


20. Llevamos el deslizador t=7.1. Tenemos que construir de nuevo el triángulo azul, con losvértices que hemos girado antes. Este triángulo se llama polígono9 y habrá que ocultarlodentro de un momento.

21. Construimos el vector que une los dos vertices de la derecha tanto del triángulo azul comodel verde. Se construye del punto de la izquierda al de la derecha. Es decir, unimos A”’con el C”. En mi caso el vector se llama w.

22. Construimos el vector w1 = (t− 7) ∗ w.

23. Trasladamos ahora de forma ponderada el triángulo polígono9. Ponemos la siguiente in-strucción: Si[t > 7 ∧ t ≤ 8,Traslada[polígono9,w1]]El nuevo triángulo se llama polígono10. Le ponemos el color azul de siempre.

24. El polígono10 desaparece cuando t > 8. Movemos el deslizador a t=8.1. Como tenemoslos vértices del polígono9, los trasladamos los que necesitemos mediante el vector w.


26. Construimos el triángulo rectángulo con los vértices trasladados. Este nuevo triángulose llama polígono11. Le ponemos el color azul y en condiciones para exponer el objetopondremos que t > 8. Es posible que a sus lados también les tengamos que poner lamisma condición.

27. Tenemos en este momento los vértices azul y verde en posición de Thales en el vérticeagudo que se encuentra en el punto (6, 1)

28. Ocultamos todos los vértices, vectores y demás que nos hayan quedado por ahí, que nosean necesarios. Comprobemos que la animación funciona de forma correcta, desde t=0hasta t=9. Si cuando ponemos t=0, aparecen puntos o segmentos que no debían de estar,repasamos la animación para estudiar las condiciones de exposición de cada objeto y leponemos las condiciones apropiadas.



29. Ponemos el deslizador en t=8. Escribimos en un campo de texto, lo siguiente: “Los trián-gulos azul y verde son semejantes, al poderse poner en posición de Thales”.Lo colocamos en la posición (1, 6). En la Condición para Exponer el Objeto ponemost ≥ 8.

30. Ponemos el deslizador en t=9. Escribimos en un campo de texto, lo siguiente: “Se cumpliráque:”.Lo colocamos en la posición (1, 5). En la Condición para Exponer el Objeto ponemost ≥ 9.

31. Como todos conocemos el teorema de la altura, pongamos en los segmentos correspon-dientes, escribiendo en el Subtítulo y pulsando en la opción de Mostrar Rótulo cogiendoSubtítulo, los siguientes nombres:

a) Triángulo grande superior de color rojo. La hipotenusa a y en sentido antihorario losotros segmentos b y c.

b) La altura del triángulo grande. Le ponemos de subtítulo h.

c) El triángulo azul superior. Su base debe llamarse en el subtítulo m.

d) El triángulo verde superior. Su base debe llamarse n.

e) El triángulo verde inferior de nombre polígono5. Su hipotenusa b, su altura h y subase n.

f ) El triángulo azul inferior polígono11. Su base h, su hipotenusa c y su altura m.

32. Ponemos t=9. Escribimos en el cuadro de texto la siguiente Fórmula Latex:

\frac{h}{m} = \frac{n}{h}

Figura 16: Ventana con la fórmula LaTeX del Teorema de la Altura.



Al texto le damos la posición (3, 5), letra mediana y como Condición para Exponer elobjeto t ≥ 9.

33. Ponemos t=10. Escribimos en el cuadro de texto la siguiente Fórmula Latex:hˆ{2} = m\ cdot nAl texto le damos la posición (6, 5), letra mediana y como Condición para Exponer elobjeto t ≥ 10.

34. Podemos poner ahora algunos textos explicativos, en distintos momentos de la animación.

35. Ponemos el deslizador a cero y comprobamos que la animación funciona de forma correcta.

36. Si ocultamos el deslizador la presentación quedará más elegante.

Cuando realicemos una presentación que deseemos colgar en internet, intentemos hacerla enun espacio reducido, para que se pueda colgar sin problemas en una web diseñada con Joomlao en un Blog. Algunas construcciones que tengan por ejemplo de dimensiones height=“420”width=“530”, se acoplan bien en estas webs.

4. Agradecimientos y Bibliografía.Agradecer a Rafael Losada su ayuda. Cuando le haces una pregunta te la contesta con prontitudy en detalle. Los materiales que elaboró en el INTEF contienen todo lo necesario para aprender.Estos los podemos encontrar en la siguiente web:

http://geogebra.es/cvg/index.html

Al grupo de Geometría Dinámica, sobre todo a Jose Antonio Mora, que es al que más conocemos,por la cantidad de actividades que tienen preparadas y las numerosas ideas que han compartidoen internet para que podamos utilizarlas y aprender de ellas. Su web es:

http://geometriadinamica.es

A la Asociación Catalana de Geogebra (ACG), que tan bien nos acogieron en el mes de Febrerode 2012, en sus jornadas de Geogebra. En ellas nos enseñaron su módulo para Moodle quepermite recoger las notas a los alumnos. Nos enseñaron a crear las actividades autoevaluables.

http://acgeogebra.cat

Dentro de esta asociación agradecer los trabajos y la atención que nos han dado los profesoresPep Bujosa y David Obrador.

Al profesor Josep Lluis Cañadilla por enseñarnos sus actividades autoevaluables, que esperamospoder desarrollar más en el futuro.

A los profesores que ayudan en el Foro de la Comunidad de Geogebra, que te ayudan con lasdudas. Éste se encuentra en:

http://www.geogebra.org/forum/viewforum.php?f=11


http://geogebra.es/cvg/index.html

http://geometriadinamica.es

http://acgeogebra.cat

http://www.geogebra.org/forum/viewforum.php?f=11

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