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NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se
llaman elementos del mismo.
A los elementos se los simboliza con letras en minúscula y a los conjuntos en MAYÚSCULA.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A , se lee :
a pertenece al conjunto A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A, se lee: a no pertenece al
conjunto A.
Ejemplos de conjuntos:
o : el conjunto vacío, que no tiene elementos.
o N: el conjunto de los números naturales.
o Z: el conjunto de los números enteros.
o Q : el conjunto de los números racionales.
o R: el conjunto de los números reales.
o C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por
extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión.
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Por ejemplo:
o A = {1,2,3, ... ,n}
o B = {p Z / p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una
parte de B), y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,
a A a B.
Ejemplo:
Dados los conjuntos V={a, e, i, o, u} y A={a, b, c, d, e, f, g , h,…..w, x, y, z}
Se puede ver que: V ⊂ A El conjunto de las vocales está incluido en el alfabeto o,
que es lo mismo decir, Las vocales son un subconjunto
del alfabeto.
{Argentinos} ⊂ {Sudamericanos} Los argentinos son un subconjunto de los sudamericanos
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A B y B A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad
característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A; B A es un subconjunto
propio de A si A y B A.
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de un
conjunto U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Intersección
La intersección de un conjunto A con otro B es un conjunto formado por los elementos
comunes de ambos conjuntos, se simboliza A B y se expresa formalmente:
A B = {x / x A x B}
Unión
En cambio la unión de un conjunto A con otro B es el conjunto formado por los elementos
comunes y no comunes de ambos conjuntos, se simboliza A B y se expresa:
A B = { x / x A x B}
A través de diagramas de Venn:
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Ejemplo:
Dado los conjuntos: y
Complemento
Todo subconjunto puede considerarse conjunto y a su vez, todo conjunto es subconjunto de
otro más vasto. El conjunto que incluye todos los conjuntos y subconjuntos considerados en el
tratamiento de un determinado tema es el conjunto referencial o universal (R). Para evitar las
paradojas, debe tenerse el cuidado de que el conjunto universal no abarque todo.
Si en un conjunto de referencia (R), o también llamado (U), se selecciona un conjunto (A), lo
que queda recibe el nombre de complemento del conjunto A y está formado por todos los
elementos que no pertenecen a A El signo que nombra el complemento se forma colocando un
apóstrofe al nombre del conjunto (A’) o también con una raya arriba del nombre del conjunto
( ̅̅ ̅ .
La unión de un conjunto con su complemento reconstruye el conjunto de referencia.
Elementos comunes de A y V
solamente
Todos los elementos de A y de V
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El conjunto que no tiene ningún elemento se llama conjunto vacío (∅), es subconjunto de
cualquier conjunto y tiene un rol similar al cero en los sistemas de numeración, porque unido a
otro conjunto lo deja sin cambios (V ∅ = V ). El conjunto vacío es el complemento del
conjunto referencial (U’ = ∅) y es un subconjunto impropio de todo conjunto.
Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía los conjuntos se llaman ‘disjuntos’.
Ejemplo:
Dado los conjuntos:
A y
Entonces:
∅
Se dice que A y B son
conjuntos disjuntos
A
𝑨
U
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Algunas Propiedades
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia AA = A AA = A
2.- Conmutativa AB = BA AB = BA
3.- Asociativa A( BC ) = ( AB ) C A( BC ) = ( AB ) C
4.- Absorción A( AB ) = A A( AB ) = A
5.- Distributiva A( BC ) = ( AB ) ( AC ) A( BC ) = ( AB ) ( AC )
6.- Complementariedad AA' = U AA' =
Estas propiedades hacen que partes de U, con las operaciones unión e intersección, tenga una
estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
o A = A , A = ( elemento nulo ).
o A U = U , A U = A ( elemento universal ).
o ( A B )' = A' B' , ( A B )' = A' B' ( leyes de De Morgan ).
o ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅, ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ( leyes de De Morgan, escritas en
su otra forma).
o (A') ' = A o ̿
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Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de
pares ordenados (a,b) :
(
Dos pares (a,b) y (c,d) de son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro
conjuntos A,B,C,D se verifica
⇔ (
Ejemplo:
Dados los conjuntos },,,,{ edcbaA y }4,3,2,1{B , realizar el siguiente producto
cartesiano A x B y graficarlo en un sistema de ejes cartesianos:
( ( ( ( ( ( ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( (
a b c d e A
B
4
3
2
1 (b,1)
(e,2)
(d,4)
(a,1)
(c,3)
(b,2)
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