Notas para un Curso de Algebra Avanzada Luis M. Pardo ... · contextos menos habituales en las...

Notas para un Curso de Algebra Avanzada

Luis M. Pardo, Luis F. Tabera Alonso

Indice general

Capıtulo 1. Nociones basicas: anillos, modulos, variedades, ejemplos 51.1. Introduccion 51.2. Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos 51.2.1. Las Nociones Elementales 51.2.2. Ejemplo: Anillos de Polinomios y Anillos de Series de Potencias Formales 71.2.3. Ejemplo: Anillos de Funciones en estructuras topologicas o diferenciables 91.2.4. Ejemplo: Funciones Booleanas 101.3. Modulos, Submodulos, Morfismos de Modulos 101.3.1. Las Nociones Elementales 101.3.2. Algunas Propiedades Basicas 131.4. Dominios, Primos, Maximales, Variedades 181.4.1. Variedades, no “manifolds” 181.4.2. Divisores de Cero. Ideales Primos y Maximales. 221.5. Cuestiones y Problemas 27

Capıtulo 2. El Teorema Chino de los Restos 292.1. Introduccion 292.2. El anillo producto y el TCR 292.3. Interpretacion del Teorema Chino de los Restos en el caso R = Z 322.3.1. En relacion con el problema de Sun Tzu. 342.3.2. Una Aplicacion en computacion: Calculo del Determinante por

Algoritmos Modulares. 352.3.2.1. La Busqueda de un Buen Numero Primo. 372.3.2.2. Test de Primalidad. 372.3.2.3. Combinando el Teorema de Densidad de los Numero Primos y los

Tests de Primalidad. 382.3.2.4. La Estrategia Final 392.3.3. Secretos Compartidos. 392.4. El teorema Chino de los Restos en el caso R := k[X]. 392.4.1. Eliminacion Univariada Clasica. 402.4.1.1. Mutiplicar por un polinomio. 412.4.2. El Teorema Chino de los Restos en R = k[X] y la Forma Canonica de

Jordan. 432.4.2.1. El algebra k[X]/(f). 432.4.3. Teorıa del Endomorfismo y el Maximo Comun Divisor en k[X]. 47

Capıtulo 3. Nociones un poco mas avanzadas: localizacion, radicales, categorıas. 513.1. Introduccion 513.2. Local, Localizacion 513.2.1. Anillos Locales y Semi-locales: Germenes de Funciones 513.2.2. Localizacion 533.3. Ideal asociado a una variedad: radical y radical de Jacobson 553.3.1. Ideal de un Objeto Geometrico 553.3.2. Radical y Radical de Jacobson 56

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4 Indice general

3.4. Funciones vs Objetos 593.4.1. El Lenguaje de las Categorıas. 593.4.2. Categorıas 593.4.3. Functores y Equivalencias Naturales 603.4.4. Variacion de un primer tema clasico: El Teorema de Stone–Cech 623.4.5. Variacion de un segundo tema clasico: El Lema de Urysohn y el Teorema

de Extension de Tietze. 633.4.6. Variacion de un tercer tema clasico: Extension de funciones en Variedades

Diferenciables 633.5. Cuestiones y Problemas 64

Capıtulo 4. Anillos y Modulos Noetherianos: Primeras propiedades 674.1. Introduccion 674.2. Diagramas Conmutativos, Complejos y Sucesiones Exactas 684.3. El Bi–functor HomR(−,−), localizacion, y propiedades locales 714.4. Anillos y Modulos Noetherianos 754.4.1. Condicion de cadena ascendente para submodulos e ideales 754.4.2. El Teorema de la Base de Hilbert 774.5. Descomposicion Primaria 794.5.1. Un par de resultados tecnios peliminares: NAK y otros 794.5.2. Descomposicon Primaria: Teorema de Lasker–Noether 814.6. Temas Opcionales 864.6.1. Snake Lemma 864.6.2. Libres, Proyectivos, Inyectivos y Planos (Opcional) 864.7. Cuestiones y Problemas 87

Bibliografıa 89

Capıtulo 1

Nociones basicas: anillos, modulos, variedades, ejemplos

Contents

1.1. Introduccion 51.2. Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos 51.2.1. Las Nociones Elementales 51.2.2. Ejemplo: Anillos de Polinomios y Anillos de Series de Potencias

Formales 71.2.3. Ejemplo: Anillos de Funciones en estructuras topologicas o

diferenciables 91.2.4. Ejemplo: Funciones Booleanas 101.3. Modulos, Submodulos, Morfismos de Modulos 101.3.1. Las Nociones Elementales 101.3.2. Algunas Propiedades Basicas 131.4. Dominios, Primos, Maximales, Variedades 181.4.1. Variedades, no “manifolds” 181.4.2. Divisores de Cero. Ideales Primos y Maximales. 221.5. Cuestiones y Problemas 27

1.1. Introduccion

Este Capıtulo esta dedicado a introducir las nociones mas elementales, que se le supo-nen o se le deben suponer al alumno, ası como las notaciones mas habituales. Adicio-nalmente, aprovechamos el Capıtulo para derezarlo con ejemplos provenientes de loscontextos menos habituales en las asignaturas de Algebra, mirando con especial aten-cion a aquellos casos con interpretacion geometrica (Geometrıa Algebraic o Analıtica).El resultado es una abundante coleccion de ejemplos que podran aparecer mas adelantedurante el curso. La unica conclusion relevante que se le pide al alumno es que observeque las nociones de anillo, cuerpo, ideal o modulo no constituyen una “extravaganza”algebrıstica. Son nociones demasiado habituales en Geometrıa y/o Teorıa de Numeroscomo para considerarlas aisladamente.

1.2. Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos

1.2.1. Las Nociones Elementales.

Definicion 1.2.1 (Anillo). Un anillo es una terna (R,+, ·), donde

(1). (R,+) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro se suele denotar por 0R,(2). (R, ·) es un monoide conmutativo, cuyo elemento neutro se suele denotar por

1R,(3). se verifica la propiedad distributiva siguiente:

∀a, b, c ∈ R, a · (b+ c) = a · b+ a · c.

Como es habitual se omite el subındice “R” cuando no genera confusion. Supondremosen adelante que 1R 6= 0R para descartar el anillo trivial R = (0).

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6 1. NOCIONES BASICAS

Definicion 1.2.2 (Subanillos, ideales, morfismos, unidades). Dado un anillo(R,+, ·), llamaremos:

(1). Subanillo: a todo subgrupo (S,+) de (R,+) tal que 1R ∈ S y S es cerradopara la operacion producto, esto es,

∀a, b ∈ S, a · b ∈ S.

(2). Ideal: a todo subgrupo (a,+) de (R,+) tal que se verifica:

∀a ∈ R,∀b ∈ a, a · b ∈ S.

Los ideales (0) y R se denominan ideales impropios de R. Los demas se deno-minan propios.

(3). Morfismo de anillos: Dados dos anillos (R,+, ·) y (T,+, ·), llamamos morfismoentre los anillos R y T a todo morfismo de grupos f : (R,+) −→ (T,+) talque:

f(1R) = 1T ,∀a, b ∈ R, f(a · b) = f(a) · f(b).

(4). Unidades en el anillo: A todos los elemenos a ∈ R tales que existe a′ ∈ R,con aa′ = a′a = 1R. Denotamos por R∗ al conjunto de las unidades del anilloR y forma un grupo abeliano con la operacion producto (R∗, ·) llamado grupode las unidades del anillo R.

Proposicion 1.2.1 (Propiedades elementales). Se tienen las siguientes propiedadeselementales:

(1). Los subanillos T de un anillo S son ideales si y solamente si R = T .(2). Los morfismos de anillos transforman subanillos en subanillos en ambas di-

recciones. Es decir, si f : R −→ T es un morfismo de anillos, se tiene:Si S es subanillo de R, entonces f(S) := {f(x) : x ∈ S} es un subanillode T ,Si U es un subanillo de T , entonces f−1(U) := {x ∈ R : f(x) ∈ U} esun subanillo de R.

(3). Las imagenes inversas de ideales son ideales, pero no necesariamente lo sonlas imagenes directas. Es decir, si f : R −→ T es un morfismo de anillos, setiene:

Si b es un ideal de T , entonces f−1(b) := {x ∈ R : f(x) ∈ a} es un idealde R.Si b es un ideal de R, en general no es cierto que f(a) sea ideal de T .

Cuando no hay confusion sobre el morfismo f , al ideal f−1(b) se le denotamediante bc y se le denomina contraccion del ideal b de T .

(4). Un subgrupo a del grupo aditivo de un anillo (R,+, ·) es ideal si y solamentesi, el grupo cociente (R/a,+) es anillo con la operacion siguiente:

· : R/a×R/a −→ R/a,

dada mediante

(x+ a)(y + a) := xy + a, ∀x+ a, y + a ∈ R/a.

Al anillo A/a se le denomina anillo cociente de R por el ideal a.(5). Un anillo es cuerpo si y solamente si R∗ = R \ {0}.(6). Un anillo es cuerpo si y solamente si los unicos ideales son los impropios.

En particular, si K es un cuerpo y f : K −→ R es un morfismo de anillos,entonces f es inyectivo (monomorfismo) y K se puede identificar con unsubanillo de R.

1.2. ANILLOS, IDEALES, MORFISMOS DE ANILLOS 7

Demostracion.– La mayorıa de estas propiedades son evidentes y no necesitan demayor discusion. �

Ejemplo 1.2.3. Los ejemplos mas elementales de anillos son obviamente los cuerpos,como Q,R,C, o anillos como Z. Tambien son ejemplos de anillo los cocientes de Z porsus ideales. Veremos, sin embargo, que hay muchos mas ejemplos.

1.2.2. Ejemplo: Anillos de Polinomios y Anillos de Series de PotenciasFormales. Sea X un conjunto cualquiera y sea R un anillo. El conjunto Ap(X,R) delas aplicaciones de X en R es claramente un anillo con las operaciones naturales desuma y producto de aplicaciones. El caso de los polinomios es una reinterpretacion deAp(X,R) que definiremos a continuacion.

Proposicion 1.2.2. El conjunto (Nn,+) es un monoide conmutativo con la operacion:

+ : Nn × Nn −→ Nn,dada mediante:

(µ1, . . . , µn) + (θ1, . . . , θn) := (µ1 + θ1, . . . , µ1 + θ1).

Mas aun, la siguiente aplicacion es un morfismo de monoides entre (Nn,+) y (N,+),llamada grado: | · | : Nn −→ N, dada mediante

|(µ1, . . . , µn)| = µ1 + · · ·+ µn.

A los elementos de Nn, en este contexto, se les suele llamar exponentes o exponentesmonomiales.

Demostracion.– Es evidente. �

Observacion 1.2.3 (Grado + lexicografico). Recordemos que podemos identificar (vıabiyeccion) Nn con N de varias formas distintas. Cada una de esas biyecciones supone laintroduccion de un orden en Nn. Lo que haremos ahora es el proceso inverso: destacarun orden en Nn (que defina una biyeccion con N) que es, ademas un orden monomial(un orden monomial es un buen orden ≤ en Nn tal que verifica:

∀µ, θ, τ ∈ Nn, si µ ≤ τ, entonces µ+ θ ≤ τ + θ.)

Un ejemplo de orden monomial es el grado + lexicografico (≤deglex) , que se definedel modo siguiente. Sea ≤lex el orden lexicografico en Nn. Observes que ≤lex no es unorden que permita biyectar Nn con N. Entonces, definimos: para µ, θ ∈ Nn, diremosque µ ≤deglex θ si se verifica:

[|µ| < |θ|] ∨ [(|µ| = |θ|) ∧ (µ ≤lex θ)] .

Consideremos el grupo aditivo (Ap(Nn, R),+) y definamos la funcion producto siguien-te:

∗ : Ap(Nn, R)×Ap(Nn, R) −→ Ap(Nn, R),

dada mediante: Dadas f, g ∈ Ap(Nn, R), definamos: f ∗ g : Nn −→ R, mediante:

f ∗ g(µ) :=∑

θ,τ∈Nn,θ+τ=µ

f(θ)g(τ).

Observese que esta operacion producto es la version discreta de la convocluaicon defunciones medibles.Finalmente, definamos Ap0(Nn, R) como aquellas aplicaciones que se anulan salvo enun numero finito de ındices, Esto es,

Ap0(Nn, R) := {f : Nn −→ R : ∃I ⊆ Nn, I finito, f(µ) = 0, ∀µ 6∈ I}.

Proposicion 1.2.4. Con las anteriores notaciones:


(1). La terna (Ap0(Nn, R),+, ∗) es un anillo conmutativo con unidad que se de-nomina anillo de polinomios en n variables con coeficientes en R y se denotamediante R[X1, . . . , Xn]

(2). La terna (Ap(Nn, R),+, ∗) es un anillo conmutativo con unidad que se deno-mina anillo de series de potencias formales en n variables con coeficientes enR y se denota mediante R[[X1, . . . , Xn]]

En particular, R[X1, . . . , Xn] es un subanillo de R[[X1, . . . , Xn]].

Demostracion.– Es un ejercicio de mera comprobacion. �

Notacion 1.2.4. Hay una notacion estandarizada de estos objetos. Supongamos da-do µ := (µ1, . . . , µn) ∈ Nn un exponente monomial. Se define el monomio Xµ :=Xµ1

1 Xµ22 · · ·X

µnn ∈ R[X1, . . . , Xn] = Ap0(Nn, R) como la transformacion Xµ : Nn −→

R, dada mediante:

Xµ(θ) :=

{1, si θ = µ,0, en caso contrario.

Dado a ∈ R, se define el el termino aXµ ∈ R[X1, . . . , Xn] como como la transformacionaXµ : Nn −→ R, dada mediante:

aXµ(θ) :=

{a, si θ = µ,0, en caso contrario.

Se dice que a es el coeficiente de aXµ, que µ es su exponente y que |µ| ∈ N es el gradodel termino.

Lema 1.2.5. Con estas notaciones, R es un subanillo de R[X1, . . . , Xn], identificandoR con el conjunto de terminos:

{λX(0) : λ ∈ R},

donde (0) = (0, . . . , 0) ∈ Nn es el elemento neutro de Nn como monoide.

Demostracion.– Obvio. �

Proposicion 1.2.6. Sea K un cuerpo y K[X1, . . . , Xn] el anillo de polinomios en nvariables con coeficientes en K. Entonces,

(1). K[X1, . . . , Xn] es un K−espacio vectorial, con base dada por los monomios

{Xµ : µ ∈ Nn}.

(2). Dado un polinomio f ∈ K[X1, . . . , Xn], tenemos una representacion:

f :=∑µ∈I

aµXµ,

donde I ⊆ Nn es un conjunto finito, {aµ : µ ∈ I} ⊆ K. Definiremosgrado de f como el maximo de los grados de los terminos no nulos en unadescomposicion como la anterior. Es una nocion bien definida.

(3). Dado un entero d ∈ N, denotaremos por Hd(X1, . . . , Xn) al K−subespaciovectorial de K[X1, . . . , Xn] generado por los monomios de grado d, es decir,generado por:

{Xµ : |µ| = d, µ ∈ Nn}.Entonces, Hd(X1, . . . , Xn) es un espacio vectorial de dimension finita e iguala

dimK Hd(X1, . . . , Xn) =

(d+ n− 1

n− 1

).

1.2. ANILLOS, IDEALES, MORFISMOS DE ANILLOS 9

Mas aun, tenemos la descomposicion de K[X1, . . . , Xn] en suma directa desubespacios siguiente:

K[X1, . . . , Xn] :=⊕d∈N

Hd(X1, . . . , Xn).

Demostracion.– Las afirmaciones son de mera comprobacion. �

Observacion 1.2.7. En el caso de series de potencias formales tambien se admite unarepresentacion de la forma siguiente: Dada f ∈ K[[X1, . . . , Xn]], escribiremos:

f :=∑µ∈Nn

aµXµ,

aunque, obviamente, por ser una suma infinita es un lımite y require de varias discu-siones adicionales como la introduccion de una topologıa y de una metrica.

Observacion 1.2.8 (Polinomios y Series de Laurent). Si en las definiciones anterioreshubieramos tomado como punto de partida el grupo (Zn,+) en lugar del monoide(Nn,+) tendrıamos similares conjuntos de aplicacionesAp0(Zn, R) yAp(Zn, R). En estecaso se habla de polinomios y series de Laurent y se denotan, en ocasiones, mediante

R[X1, X−11 , X2, X

−12 , . . . , Xn, X

−1n ], y R[[X1, X

−11 , X2, X

−12 , . . . , Xn, X

−1n ]].

Pero no discutiremos sobre estos anillos aquı.

1.2.3. Ejemplo: Anillos de Funciones en estructuras topologicas o dife-renciables. En un contexto distinto, podemos condierar directamente anillos de fun-ciones Ap(X,R), donde X es un conjunto cualquiera. Lo que sigue es la presentacionde varios subanillos de Ap(X,K), donde K = R ∨ C, segun el caso.

Ejemplo 1.2.5 (Funciones a valores reales). Los siguientes son ejemplos de anillos:

(1). SeaX un espacio topologico, el conjunto de las funciones continuas C0(X,R) :=C0(X) es un anillo.

(2). Sea X un abierto de una veriedad diferenciable (C∞), el conjunto C∞(X) delas funciones infinitamente diferenciables definidas en X es tambien un anilloconmutativo con unidad con las operaciones usuales de suma y producto defunciones.

(3). Sea X un abierto en Rn, la familia de funciones analıticas reales Cω(X) estambien un anillo.

Notese que tenemos la siguiente cadena (propia, todos los contenidos son estrictos) desubanillos, cuando X ⊆ Rn es un abierto.

R ⊆ Cω(X) ⊆ C∞(X) ⊆ · · · ⊆ C2(X) ⊆ C1(X) ⊆ C0(X).

Ejemplo 1.2.6 (Funciones a valores complejos). Los siguientes son ejemplos deanillos:

(1). Sea X un espacio topologico, el conjunto de las funciones continuas C0(X,C)es un anillo.

(2). Sea X un abierto en Cn , el conjunto de las funciones analıticas complejas(tambi—en llamadas holomorfas) definidas en X H(X) es un anillo.


1.2.4. Ejemplo: Funciones Booleanas. Son funciones basicas en Logica y endiseno de Circuitos Digitales. Por ahora nos vamos a coformar con definirlas. Comen-zamos observando la identificacion {0, 1} = Z/2Z que identifica los valores booolea-nos {0, 1} (o tambien en su versiones verdadero/falso: {V,F}) con el cuerpo primode caracterıstica 2. Se denomina funcion booleana de n variables a toda aplicacion:f : {0, 1}n −→ {0, 1}. Se define el conjunto de funciones booleanas

Bn := {f : {0, 1}n −→ {0, 1} : f es aplicacion}.

Es facil de observar que podemos indetificar

Bn ∼= P({0, 1}n),

es decir, el conjunto de funciones booleanas con el conjunto de todos los subconjuntosde {0, 1}n. La biyeccion entre ambos conjuntos es dada por las funciones caracterısticas:

Dado un subconjunto L ∈ P({0, 1}n), definimos la funcion booleana χL ∈ Bndada mediante:

∀x ∈ {0, 1}n, χL(x) = 1⇐⇒ x ∈ X.

Recıprocamente, dada una funcion booleana f ∈ Bn, definimos el lenguajeaceptado por f como L := f−1({1}) ∈ P({0, 1}n).

Ahora, identificando {0, 1} con Z/2Z, observamos que Bn := Ap({0, 1}n,Z/2Z) y tieneuna estructura de anillo natural a traves de las operaciones del cuerpo Z/2Z.Podemos concluir:

Proposicion 1.2.9. El conjunto de funciones booleanas Bn tiene una estructura naturalde anillo conmutativo con unidad, es biyectable al conjunto P({0, 1}n) y tiene, por tanto,cardinal dado por la siguiente identidad:

] (Bn) = 22n .

Demostracion.– Es lo discutido en parrafos previos. �

1.3. Modulos, Submodulos, Morfismos de Modulos

1.3.1. Las Nociones Elementales.

Definicion 1.3.1 (Modulo). Dea (R,+, ·) un anillo. Llamaremos R−modulo a todaterna (M,+, ·R) donde:

(1). (M,+) es un grupo abeliano,(2). ·R : R×M −→M es una aplicacion, que se representa mediante ·R(x,m) :=

xm, verificando:a) Propiedad Distributiva I: ∀x ∈ R,∀m,n ∈M, x(m+ n) = xm+ xn.b) Propiedad Distributiva II: ∀x, y ∈ R,∀m ∈M, (x+ y)m = xm+ ym.c) Propiedad Asociativa: ∀x, y ∈ R,∀m ∈ N, (xy)m = x(ym).d) Elemento Neutro: ∀m ∈M, 1m = m.

Ejemplo 1.3.2. Los siguientes son ejemplos basicos de modulos:

(1). Los ejemplos mas evidentes de modulos son los espacios vectoriales: Un espaciovectorial V sobre un cuerpo K no es otra cosa que un K−modulo (ambasnociones son equivalentes).

(2). Los grupos abelianos no son otra cosa que Z−modulos (ambas nociones sonequivalentes).

(3). Los anillos son modulos sobre sı mismos.

1.3. MODULOS, SUBMODULOS, MORFISMOS DE MODULOS 11

(4). Tambien son R−modulos Ap(X,R) y Ap0(X,R). Los R−modulos de la formaAp0(X,R), se denominan R−modulos libres. En el caso de que X sea finito,Ap0(X,R) = Ap(X,R) y si X es de cardinal n escribiremos simplemente

Ap0(X,R) = Ap(X,R) = Rn,

y diremos que es un R−modulo libre de rango n.(5). Usualmente, se tienen las notaciones siguiente paras los modulos Ap(X,R) y

Ap0(X,R):

Ap(X,R) = RX :=∏X

R, Ap0(X,R) :=⊕X

R.

En un sentido general se habla de modulo producto y modulo suma. Dada unafamilia de modulos {Mi : i ∈ I}, denotaremos∏

i∈IMi := {ϕ : I −→

⋃i∈I

Mi : ϕ(i) ∈Mi, ∀i ∈ I}.⊕i∈I

Mi := {ϕ ∈∏i∈I

Mi : ∃J ⊆ I, J finito, ϕ(i) = 0, ∀i 6∈ J}.

(6). Sea f : R −→ S un morfismo de anillos. Entonces podemos definir sobre Suna estructura de R−modulo: ∗R : R× S −→ S, dada mediante:

x ∗R s := f(x) · s, ∀x ∈ R,∀s ∈ S.Se dice que S es una R−algebra. Esto incluye el caso de subanillos (f sera la in-clusion) y, por tanto, son R−algebras C0(X), C1(X), . . . , C∞, . . . y son C−alge-bras C0(X,C) y H(X).

(7). Los anillos R[X1, . . . , Xn] y R[[X1, . . . , Xn]] tienen una estructura natural deR−modulo y son R−algebras. Mas aun, si consideramos los polinomios ho-mogeneos de grado fijado con coeficientes en R (el conjunto Hd(X1, . . . , Xn))tendremos un R−modulo libre de rango(

d+ n− 1

n− 1

).

(8). Los conjuntos de matricesMn×m(R) tienen una estructura natural deR−modu-lo libre de rango nm.

Ejemplo 1.3.3 (Teorıa del Endomorfismo). Sea V un espacio vectorial sobre uncuerpo K, ϕ : V −→ V una aplicacion lineal. Podemos definir una estructura deK[X]−modulo sobre V que se conoce como Teorıa del Endomorfismo. Se define delmodo siguiente: Definamos recursivamente:

ϕ0 = IdV (la identidad),ϕ1 = ϕ,Para n ≥ 2, ϕn := ϕ ◦ ϕn−1, donde ◦ es la composicion.

Dado p ∈ K[X], de la forma:

p := ao + a1X + a2X2 + · · · anXn,

definimos p(ϕ) : V −→ V mediante:

p(ϕ) := a0IdV + a1ϕ+ a2ϕ ◦ ϕ+ · · ·+ anϕn.

Finalmente, definimos K[X]× V −→ V como

(p(X), v) −→ p(ϕ)(v) ∈ V.

Definicion 1.3.4 (Submodulos, morfismos). Sea R un anillo y sean M,M ′ dosR−modulos.


(1). Un subgrupo (N,+) del grupo aditivo (M,+) se dice submodulo de M si,ademas, verifica:

∀x ∈ R, ∀n ∈ N, xn ∈ N.(2). Un morfismo de grupos f : (M,+) −→ (M ′,+) se dice morfismo de R−modu-

los si verifica:

∀x ∈ R, ∀m ∈M, f(xm) = xf(m).

El conjunto de todos los morfismos de R−modulo entre M y M ′ se denotamediante HomR(M,M ′).

Ejemplo 1.3.5. (1). Los submodulos de un anillo, como modulo sobre sı mismo,son, precisamente, los ideales.

(2). Los submodulos de los espacios vectoriales son los subespacios.(3). Los submodulos de los grupos abelianos son los subgrupos.(4). Obviamente los subgrupos impropios (0) y M de M son submodulos.

Ejemplo 1.3.6. (1). En el caso de espacios vectoriales, HomK(V,W ) son las apli-caciones lineales.

(2). En el caso de grupos abelianos, HomZ(A,B) son los morfismos de gruposentre A y B.

Observacion 1.3.1. Observese que los morfismos de R−modulos f : M −→ N , preser-van el anillo R. En cambio, si f : R −→ S es un morfismo de anillos, entonces definimosuna estructura de R−modulo sobre S. Para esa estructura, se tiene que f es morfismode R−modulos, aunque no sea la identidad sobre R.

Observacion 1.3.2. Usaremos la terminologıa al uso y hablaremos de monomorfismos,epimorfismos e isomorfismos para referirnos, respectivamente, a morfismos de R−modu-los inyectivos, suprayectivos y biyectivos

Proposicion 1.3.3. Sean M y N dos modulos sobre un anillo R.

(1). Un subgrupo N de (M,+) es submodulo si y solamente el grupo cociente(M/N,+) es R−modulo con la operacion ∗R : R × M/N −→ M/N dadamediante:

x ∗R (m+N) := xm+N, ∀x ∈ R, ∀m+N ∈M/N.

(2). Para cada morfismo f : M −→ N se verifica:a) Para cada submodulo S de M , f(S) := {f(m) : m ∈ S} es submodulo

de N . Un caso particular es el submodulo imagen Im(f) := f(M).b) Para cada submodulo T de N , f−1(T ) := {m ∈ M ; f(m) ∈ T} es un

submodulo de M . Un caso particular es el nucleo ker(f) := f−1((0)).(3). El conjunto HomR(M,N) es un R−modulo con las operaciones:

+ : HomR(M,N)×HomR(M,N) −→ HomR(M,N),

y·R : R×HomR(M,N) −→ HomR(M,N),

dadas para cada f, g : M −→ N , y x ∈ R, definimos f + g : M −→ N yxf : M −→ N , dadas por:

f + g(m) := f(m) + g(m), ∀m ∈M,

y(xf)(m) := xf(m), ∀m ∈M.


Obviamente esta Proposicion nos da toda una coleccion adicional de modulos a travesde operaciones de cociente y tomar morfismos.

Definicion 1.3.7 (R−modulos libres de rango finito). Se denomina R−modulo libre derango finito a todo R−modulo M tal que existe un conjunto finito X y u isomorfismode R−modulos ϕ : M −→ Ap0(X,R). Se denomina rango de M al cardinal ](X) delconjunto X (i.e. rankR(M) = ](X)).

Se denomina base de M como R−modulo a cualquier subconjunto finito β := {ϕ−1(ei) :i ∈ X}, donde ei : X −→ R, es la aplicacion dada mediante:

ei(x) :=

{1, si x = i0, en otro caso

Proposicion 1.3.4. Sea M y N dos R−modulos libres de rango finito, con rangosrespectivos m y n. Entonces, existe un isomorfismo de R−modulos entre HomR(M,N)y Mn×m(R). En particular, cuando M y B son R−modulos libres de rango finito,HomR(M,n) tambien lo es y su rango coincide con rankR(M)rankR(N).

Demostracion.– Sin perdida de la generalidad podemos suponer que M = Rm yN = Rn. Podemos, ademas, fijar dos bases ordenadas β1 en M y β2 en N . Sin perdidade la generalidad, podemos suponer que son las llamadas bases canonicas. Ahora, paracada ϕ ∈ HomR(M,N), definamos la matrix M(ϕ) ∈ Mn×m(R) cuyas columnas seanlas imagenes (en Rn) de los elementos de la base β1. M(ϕ) es una matriz con n filas ym columnas. Queda como ejercicio comprobar que M : HomR(M,N) −→ Mn×m(R)es un isomorfismo de R−modulos. Es el mismo arfgumento obvio ya hecho en el casodel Algebra Lineal. �

Definicion 1.3.8 (Co–Nucleo). Dado un morfismo de R−modulos f : M −→ N , sedenomina co–nucleo al R−modulo N/Im(f).

1.3.2. Algunas Propiedades Basicas.

Teorema 1.3.5 (Primer Teorema de Isomorfıa). Dado f : M −→ N un morfismode R−modulos, f induce un isomorfismo

f : M/ ker(f) −→ Im(f) ⊆ N,

dado mediante f(m+ ker(f)) = f(m).

Demostracion.– Es la misma desmotracion de lo ya hecho para grupos abelianos. �

Corollario 1.3.6. Todo grupo abeliano finitamente generado es el co–nucleo de unmorfismo entre grupos abelianos libres de rango finito.

Demostracion.– Recuerdese que un grupo abeliano G se dice finitamente generado siexiste n ∈ N y existe un epimorfismo de grupos

π : Zn −→ G.

Como π es morfismo de grupos abelianos, tambien se tiene π ∈ HomZ(Zn, G). Con-sideremos ahora K ⊆ Zn el nucleo del morfismo π. Ahora recordamos una propiedadcrucial de los Z−modulos:

Hecho Probado 1.3.7. Todo submodulo de Zn es un Z−modulo libre de rango finito.

No demostraremos aquı esta propiedad que los alumnos ya han visto en el curso deTeorıa de Grupos. Entonces, K es libre y existe m ∈ N y existe ψ : Zm −→ K tal que ψes epimorfismo de Z−modulos. En particular, tenemos φ : Zm −→ Zn un morfismo de


Z−modulos libres de rango finito y la imagen verifica Im(ψ) = K. Aplicando el PrimerTeorema de ISomorfıa tendremos:

G ∼= Zn/K = Zn/Im(ψ) = Co− ker(ψ).

�

Proposicion 1.3.8. La interseccion de una familia cualquiera de submodulos es unsubmodulo. Del mismo modo, la interseccion de una familia cualquiera de ideales es unideal.

Demostracion.– Mero ejercicio de comprobacion formal. �

Proposicion 1.3.9 (Definicion de Submodulo Generado por un conjunto).Dado un subconjunto F ⊆ M de un R−modulo M. Llamaremos submodulo generadopor F al menor submodulo que le contiene. Es decir,

R〈F 〉 :=⋂{N : F ⊆ N, N es submodulo de M}.

La siguiente expresion tambien caracteriza el submodulo generado por F :

R〈F 〉 := {∑g∈G

xgg : G ⊆ F es finito, xg ∈ R}.

En particular, se aplica a los ideales de un anillo R (que son sus submodulos comomodulo sobre sı mismo)

Notacion 1.3.9 (Modulos, submodulos e ideales finitamente generados). Modu-los y submodulos finitamente generados seran aquellos generados por un conjunto finitode elementos. Escribiremos Rm para denotar al submodulo generador por {m} En oca-siones escribiremos Rm1 + · · ·+Rmr para denotar al modulo R〈m1, . . . ,mr〉 generadopor el conjunto finito {m1, . . . ,mr}.Para ideales, sin embargo, escribiremos (a1, . . . , am) para denotar el ideal generado porla familia {a1, . . . , am}. Notese que, en el caso de un conjunto de generadores finito setiene:

(Para submodulos) dado m ∈M , se tiene m ∈ R〈m1, . . . ,mr〉 si y solamentesi existen x1, . . . , xr ∈ R tales que:

m =r∑i=1

ximi.

(Para ideales) dado x ∈ R, se tiene x ∈ (a1, . . . , ar) si y solamente si existenx1, . . . , xr ∈ R tales que:

x =

r∑i=1

xiai.

Proposicion 1.3.10. Todo R−modulo finitamente generado es el cociente de un R−modu-lo libre de rango finito por uno de sus submodulos. No es cierto, en general, que todoR−modulo finitamente generado sea libre.

Demostracion.– La prueba de la afirmacion positiva es obvia, mientras que los ejemplosde Z−modulos con torsion (ya vistos por los alumnos) son buenos ejemplos de modulosfinitamente generados que no son libres:

Z/2Z× Z/3Z,por ejemplo, como Z−modulos. �

Definicion 1.3.10. (R−algebras finitas y finitamente generadas) Con estas notaciones:


Una R−algebra B se llama finitamente generada si es isomorfa a un cocientede algun anillo de polinomios R[X1, . . . , Xn] por alguno de sus ideales a.Una R−algebra B se dice finita si B es un R−modulo finitamente generado.

Definicion 1.3.11 (Suma de Submodulos e Ideales). Dada una familia {Ni : i ∈I} de submodulos de un R−modulo M , llamaremos submodulo suma de los submodulosde esta familia al submodulo generador por la union de todos ellos.∑

i∈INi := R〈∪i∈INi〉.

Del mismo modo dada una familia de ideales {ai : i ∈ I}, denotaremos por∑

i∈I ai alideal suma de esa familia.

Definicion 1.3.12 (Ideales y Anillos Principales). Un ideal generado por un soloelemento se llama ideal principal y el anillo se dice principal si todos sus ideales sonprincipales.

Ejemplo 1.3.13. (1). Los ideales impropios son principales (0) y (1). En particu-lar, los cuerpos son anillos pricipales.

(2). Los anillos Z y K[X] son pricipales.(3). El anillo Z[X] no es principal. El ideal a := (2, X) no puede ser generado por

un solo elemento de Z[X].

Definicion 1.3.14 (Producto de ideales y de ideales por submodulos). Se tratade las nociones siguientes:

(1). Dados dos ideales a y b de un anillo R, definimos el ideal producto como elideal ab generado por {xy : x ∈ a, y ∈ b}.

(2). Dado un ideal a de un anillo R y un submodulo N de un R−modulo M ,escribiremos aN para designar al submodulo generado por:

{xm : x ∈ a, m ∈ N}.

Proposicion 1.3.11 (Producto y generadores). Sea a y b dos ideales en un anilloR, respetivamente generados por conjuntos finitos

a = (f1, . . . , fr), b = (g1, . . . , gs).

Entonces, el ideal producto ab esta generado del modo siguiente:

ab = ({figj : 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s}).Una propiedad analoga se verifica para el producto de ideales por submodulos.

Demostracion.– Ejercicio de comprobacion. �

Afirmaciones analogos son obvias para ideales y modulso generados por familias cua-lesquiera.

Proposicion 1.3.12 (Propiedades Elementales para ideales). Las operaciones inter-seccion, suma y producto de ideales verifican las usuales propiedades asociativas, con-mutativa, existencia de elemento neutro. Ademas:

Se verifica la Ley Modular de la interseccion con respecto al la suma (por sersimplemente subgrupos)la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.

a.(b + c) = a.b + a.b.


Retomamos el ejemplo 1.3.3 y observamos que:

Proposicion 1.3.13 (Teorıa del Endomorfismo). Sea V un espacio vectorial dedimension n sobre un cuerpo K, ϕ : V −→ V una aplicacion lineal. Entonces, V es unK[X]−modulo finitamente generado. Mas aun, V es isomorfo como K[X]−modulo auna descomposicion

V ∼=r∏i=1

K[X]/(fi(X)),

donde f1, . . . , fr son los factores invariantes de ϕ como endomorfismo.

Demostracion.– Sin perdida de la generalidad podemos suponer que ϕ viene dado, enuna cierta base

β := {v1, . . . , vn},por su forma de Frobenius. Es decir:

M(ϕ) :=

C(f1) 0 0 0

0 C(f2) 0 0...

.... . .

...0 0 0 C(fr)

,

C(fi) es la matriz companera de un polinomio fi ∈ K[X] y f1, . . . , fr son los factoresinvariantes de ϕ. En particular, todos ellos son polinomios monicos y, tomando di =deg(fi), verifican:

d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dr,f1 es el polinomio mınimo de ϕ,fi+1 | fi,d1 + d2 + · · ·+ dr = n.

Supongamos, ademas,

fi := Xdi +

di−1∑k=0

a(i)k X

k.

Observese que se tienen las propiedades siguientes en la operacion de K[X]−modulo:

Para 1 ≤ i ≤ d1 − 1, Xvi = vi+1

Para i = d1 tendremos

Xvd1 = Xd1v1 = −d1−1∑k=0

a(1)k Xkv1 = −

d1−1∑k=0

a(1)k vk+1.

En general, para d1 + d2 + · · · + ds + 1 ≤ i ≤ d1 + d2 + · · · + ds + ds+1 − 1,tendremos Xvi = vi+1.Para i = d1 + · · ·+ ds + ds+1, tendremos

Xvd1+···+ds+ds+1 = Xds+1vd1+···+ds+1 = −ds+1−1∑k=0

a(ds+1)k Xkvd1+···+ds+1,

y, por tanto,

Xvd1+···+ds+ds+1 = −ds+1−1∑k=0

a(ds+1)k vd1+···+ds+k+1.

Estas identidades nos permiten definir el isomorfismo de K[X]−modulos siguiente:

Φ :r∏i=1

(K[X]/(fi(X))) −→ V,


definido del modo siguiente: dado

Q := (q1 + (f1), q2 + (f2), . . . , qr + (fr)) ∈r∏i=1

(K[X]/(fi(X))) ,

definimos

Φ(Q) := q1(X)v1 + q2(X)vd1+1 + · · ·+ qr(X)vd1+···dr−1+1,

y comprobar que Φ es un isomorfismo de K[X]−modulos. �

Proposicion 1.3.14 (Teoremas de Isomorfıa). Sean N ⊆ M ⊆ L R−modulos,entonces se tiene un isomorfismo

(L/N)/(M/N)∼= L/N.

De otro lado, dados M1 y M2 submodulos de un R−modulo M , se tiene el isomorfismocanonico:

(M1 +M2) /M1∼= M2/ (M1 ∩M2) .

Demostracion.– Es la misma prueba de siempre. �

Observacion 1.3.15 (Ideales y Submodulos del Cociente). Dentro de la pruebade los Teoremas de Isomorfıa, tendremos las siguientes propiedades:

(1). Los ideales del anillo cociente R/a son de la forma b/a, donde b es un idealde R que contiene al ideal a.

(2). Los submodulos del modulo cociente M/N son de la forma L/N , donde L esun submodulo de M que contiene al submodulo N .

Ademas esa relacion es biyectiva y preserva el orden. Insistamos un poco mas en ladescripcion de estas ideas.

En el caso de anillos. Sea a ⊆/ R un ideal en el anillo R. Por ser ideal R/aposee una estructura natural de anillo ya discutida anteriormente. Tenemos,ademas, un epi–morfismo de anillos dado por la proyeccion canonica:

π : R −→ R/ax 7−→ x+ a.

Para un ideal b de R, uno puede observar que la imagen por π de b es dadapor:

π(b) := {x+ a : x ∈ b}.Es facil observar que π(b) = π(b+a) y que b+a es un ideal de R que contienea a. Por eso, si b es un ideal de R que contiene a a, entonces, π(b) es un idealde R/a que denotaremos mediante b/a.De otro lado, para un ideal i de R/a, la anti–imagen por π es dada por

π−1(i) = {x ∈ R : x+ a ∈ i}.

Por lo visto anteriormente, π−1(i) es ideal en R y dado que 0 + a ∈ i, unoconcluye que a ⊆ π−1(i).Con estas observaciones, es claro que la siguiente define una biyeccion entreideales:

{b ⊆ R : b ⊇ a, b es ideal} −→ {i ⊆ R/a : i es ideal}b 7−→ π(b) = b/a,

cuya inversa es dada por i 7−→ π−1(i).


En el caso de R−modulos. Se trata esencialmente del mismo tipo de argu-mento. Sea NsubseteqM un submodulo del R−modulo M . El cociente M/N posee unaestructura natural de R−modulo anillo ya discutida. Tenemos, ademas, unepi–morfismo de R−modulos dado por la proyeccion canonica:

π : M −→ M/Nx 7−→ x+N.

Para un Submodulo L de M , uno puede observar que la imagen por π de Les dada por:

π(L) := {x+N : x ∈ L}.Es facil observar que π(L) = π(L+N) y que L+N es un submodulo de Mque contiene a N . Por eso, si L es un submodulo de M que contiene a N ,entonces, π(L) es un submodulo de M/N que denotaremos mediante L/N .De otro lado, para un submodulo K de M/N , la anti–imagen por π es dadapor

π−1(K) = {x ∈M : x+N ∈ K}.Por lo visto anteriormente, π−1(K) es submodulo de M y dado que 0+N ∈ K,uno concluye que N ⊆ π−1(K).Con estas observaciones, es, de nuevo, claro que la siguiente define una biyec-cion entre submodulos:

{L submodulo de M : L ⊇ N} −→ {K submodulo de M/N}L 7−→ π(L) = L/N,

cuya inversa es dada por K 7−→ π−1(K).

1.4. Dominios, Primos, Maximales, Variedades

1.4.1. Variedades, no “manifolds”.

Ejemplo 1.4.1 (Ceros de una funcion a valores reales). A partir de una funcioncontinua f ∈ C0(X) sobre un espacio to0pologico X podemos definir el conjunto de susceros comunes en X:

VX(f) := {x ∈ X : f(x) = 0} := f−1({0}).

El conjunto VX(f) es obviamente un cerrado en X y resulta facil observar algunasidentidades elementales como las siguientes:

VX(f) ∪ VX(g) := VX(f.g), VX(f) ∩ VX(g) := VX(f2 + g2).

Igualmente, para cualquier abierto X ⊆ Rn, se usa la misma notacion para los anillosCω(X) ⊆ C∞(X) ⊆ C0(X). Analogamente para el caso de abiertos X de variedadesdiferenciables y los anillos C∞(X) ⊆ C0(X).Para una lista finita de funiones f1, . . . , fm ∈ Ck(X), podemos denotar por VX(f1, . . . , fm)sus ceros comunes, es decir,

VX(f1, . . . , fm) := VX(f1) ∩ VX(f2) ∩ · · · ∩ VX(fm).

Cuando no haya confusion, omitiremos en subındice X .

Podemos mostrar algunas propiedades como las siguientes (que no demostraremos).

Teorema 1.4.1 (Withney). Dado cualquier subconjunto cerrado F ⊆ Rn, existe unafuncion f ∈ C∞(Rn) tal que

F = VRn(f).

1.4. DOMINIOS, PRIMOS, MAXIMALES, VARIEDADES 19

Demostracion.– Se trata de una adaptacion del Lema de Morse-Sard. �

Este enunciado significa simplemente que los cerrados de Rn son los objetos que seestudian estudiando los conjuntos dados implıcitamente por funciones C∞.Dadas dos variedades diferencibles M y una funcion f : M −→ N , para cada puntoa ∈M denotaremos por Taf la funcion tangente alrededor del punto a. Es decir,

Taf : TaM −→ Tf(a)N.

Teorema 1.4.2 (Caracterizacion de subvariedades). Sea M una variedad de dimen-sin m y N un subconjunto. Entonces, N es subvariedad de M si y solamente si pa-ra cada punto a ∈ N existe un entorno abierto U de a en M y existen funcionesf1, . . . , fm−n ∈ C∞(U) tales que

N ∩ U = VU (f1), · · · , fm−n).Dada la aplicacion f := (f1, . . . , fm−n) : M −→ Rm−n, la aplicacion tangenteasociada Taf : TaM −→ T0Rm−n es suprayectiva (submersion), donde 0 ∈Rn−m es el origen de coordenadas.

Demostracion.– Aunque no lo demostraremos, la prueba se basa en el Teorema delRango Constante. �

Ejemplo 1.4.2 (Ceros de una funcion a valores complejos). A partir de unafuncion continua f ∈ C0(X,C) podemos definir el conjunto de sus ceros comunes en X:

VX(f) := {x ∈ X : f(x) = 0} := f−1({0}).

El conjunto VX(f) es, de nuevo, cerrado en X y resulta facil observar algunas iden-tidades elementales como VX(f) ∪ VX(g) := VX(f.g). No es cierto, en general, queVX(f) ∩ VX(g) = VX(f2 + g2). De manera analoga consideraremos los ceros de una fa-milia finita VX(f1, . . . , fm). A estos conjuntos se les denomina conjuntos C−analıticos( “a la Bruhat–Cartan”).Del mismo modo se puede hacer con funciones en cualquiera de los subanillos; pero yano se puede escribir siempre VX(f)∩VX(g) := VX(h) para una sola funcion h en H(X).Es decir, interseccion de hipersuperficies C−analıticas complejas no es necesariamenteuna hipersuperficie de la misma clase.

Ejemplo 1.4.3 (Funciones polinomiales). Sea K un cuerpo y K un cuerpo algebrai-camente cerrado que le contiene. En muchos casos supondremos que K es la clausuraalgebraica de K, pero dejamos abierta la posibilidad de que sea un cuerpo algebrai-camente cerrado mas amplio. Retomemos la nocion del anillo K[X1, . . . , Xn] vista enSubseccion 1.2.2 anterior. Ahora consideremos aplicaciones Ap(Kn,K) A sus elemen-tos se les denomina funciones polinomiales afines definidas en Kn. Podemos empezarconsiderando las mas elementales, las proyecciones cannonicas:

πi : Kn −→ K, 1 ≤ i ≤ n,

donde πi es la proyeccion en la i−esima coordenada. En lugar de denotarlas por πipasaremos a denotarlas mediante Xi.Consideremos ahora el anillo K[Kn] := K[π1, . . . , πn] dado como el menor subanillo deAp(Kn,K) que contiene a K y a las proyecciones (a este aniilo se le denomina anillode las funciones polinomiales definidas en Kn y K−definibles. Se tiene el siguienteresultado:

Proposicion 1.4.3. Con las anteriores notaciones,

K[Kn] = K[π1, . . . , πn] ∼= K[X1, . . . , Xn].


Demostracion.– Como ya hemos dicho, vamos a identificar πi con Xi. Por lo visto enla subseccion 1.2.2 todos los elementos f ∈ K[X1, . . . , Xn] admiten una representacionde la forma:

f :=∑|µ|≤d

aµXµ11 · · · , X

µnn .

Entonces, podemos asociar a cada f ∈ K[X1, . . . , Xn] una aplicacion

ϕf : Kn −→ K,

mediante

(1.4.1) ϕf (x) :=∑|µ|≤d

aµπ1(x)µ1 · · ·πn(x)µn .

Esto define una aplicacion Φ : K[X1, . . . , Xn] −→ Ap(Kn,K) dada mediante Φ(f) :=ϕf ∈ Ap(Kn,K). Es claro tambien que Φ es un morfismo de anillos, por cuanto la imagenΦ(K[X1, . . . , Xn]) es un subanillo de Ap(Kn,K). Es claro tambien que esa imagencontiene al cuerpo K (funciones constantes en K dentro de Ap(Kn,K)). Tambien esobvio que contiene a las proyecciones πi := Φ(Xi). Pero, ademas, si un subanillo contienea K y a las proyecciones πi, 1 ≤ i ≤ n, entonces tambien contiene a toda expresionde la forma dada en la Ecuacion (1.4.1) anterior. Por tanto, Φ(K[X1, . . . , Xn]) es elmenor subanillo de Ap(Kn,K) que contiene a K a las proyecciones π1, . . . , πn. Es decir,Φ(K[X1, . . . , Xn]) = K[Kn].Para verificar la Proposicion, solo nos queda verificar que Φ es inyectiva. Para eso,recurrimos al Problema 1.5.4. Como todo cuerpo algebraicamente cerrado es de car-dinal infinito, dado f ∈ K[X1, . . . , Xn], si ϕf (x) = 0, ∀x ∈ Kn, entonces f = 0 enK[X1, . . . , Xn] y Φ es inyectiva, con lo que concluimos el enunciado. �

Observacion 1.4.4. En muchos casos escribiremos f en lugar de ϕf para denotar lafuncion polinomial definida por un polinomio f ∈ K[X1, . . . , Xn]. En esos casos, sedebe tener en mente la dualidad entre los conceptos de funcion y polinomio.Notese tambien que esta identidad depende fuertemente de la condicion K es un cuerpode cardinal infinito. Si hubiesemos considerado Ap(Kn,K) con K cuerpo finito, no escierto que K[X1, . . . , Xn] sea isomorfo al menor subaniilo de Ap(Kn,K) que contienea K y a las proyecciones Pi : Kn −→ K.

Ejemplo 1.4.4 (Variedades algebraicas afines). Sea K un cuerpo y K una ex-tension algebraicamente cerrada de K. Consideremos ahora f ∈ K[X1, . . . , Xn] unpolinomio con coeficientes en K y sea ϕf : Kn −→ K la funcion polinomial que define.Denotaremos por VK(f) al conjunto:

VK(f) := VKn(ϕf ) := {x ∈ Kn : ϕf (x) = 0} = ϕ−1f (0).

De hecho, por simplicidad, escribiremos a partir de ahora f(x) = 0 en lugar deϕf (x) = 0 y f−1(0) en lugar de ϕ−1

f (0). A todo conjunto de la forma VK(f) con

f ∈ K[X1, . . . , Xn] se le denomina hipersuperficie algebraica afın K−definible. En elcaso K = K, omitiremos el subındice K (escribiremos simplemente V (f)) y diremos queV (f) es una hipersuperficie algebraica afın.Para un conjunto finito de polinomios f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] escribiremos

VK(f1, . . . , fm) = VK(f1) ∩ · · ·VK(fm).

Todo subconjunto de Kn de la forma VK(f1, . . . , fm), con f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] sedenoina variedad (o conjunto algebraico) afın K−definible. En el caso K = K, diremossimplemente variedad algebraica afın.


En ocasiones, sin embargo, no interesa analizar toda la variedad algebraica afın VK(f1, . . . , fm)sino simplemente los llamados puntos K−racionales que denotaremos mediante:

VK(f1, . . . , fm) := VK(f1, . . . , fm) ∩Kn.

Estos objetos son especialmente relevantes cuandoK es un cuerpo primo (i.e.K = Z/pZo K = Q) y se convierten en los objetos de estudio de la Geometrıa Diofantica oAritmetica (Teorıa de Numeros).

Proposicion 1.4.5. Sea R uno cualquiera de los anillos antes descritos (i.e. R =C0(X)∨ · · ·∨H(X)∨ · · ·∨K[X1, . . . , Xn]). Sean f1, . . . , fm ∈ R elementos cualesquierade este anillo. Sea a := (f1, . . . , fm) el ideal generado por {f1, . . . , fm} en R. Entonces,se tiene:

Para todo f ∈ R, se tiene

VX(f1, . . . , fm) ⊆ VX(f).

Mas aun,

VX(f1, . . . , fm) =⋂f∈a

VX(f).

En particular, escribiremos VX(a) para denotar la interseccion⋂f∈a VX(f) y se tiene

que si {f1, . . . , fm} generan a como ideal en R, VX(a = VX(f1, . . . , fm) y este igualdadno depende del conjunsto de genradores de a como ideal de R.

Demostracion.– Supongamos que f ∈ a. por nuestra caracterizacion de los idealesgenerados por conjuntos finitos (ver la Notacion 1.3.9 y la Proposicion que la precede),tendremos que existen g1, . . . , gm ∈ R tales que

f = g1f1 + · · ·+ gmfm.

Por tanto, para cada x ∈ X (segun el caso) tal que f1(x) = f2(s) = · · · = fm(x) = 0,tendremos

f(x) := g1(x)0 + g2(x)0 + · · ·+ gm(x)0 = 0,

y se verifica la primera de las afirmaciones. En cuanto a la segunda, dado q ue fi ∈ a =(f1, . . . , fm), es clara la igualdad de la segunda afirmacion.

�

Observacion 1.4.6. Notese que la afirmacion “ VX(a) = VX(f1, . . . , fm) no dependedel conjunto de genradores de a como ideal de R” tambien contempla el caso en que ano tenga un conjunto finito de generadores.

Teorema 1.4.7. En el caso n = 1, los conjuntos C−analıticos complejos definidos enun abierto X conexo, son conjuntos numerables sin punto de aculumacion.

Demostracion.– Vease el curso de Variable Compleja. �

podemos establecer, de manera sencilla, algunas propiedades basicas de la transforma-cion de ideales en objetos geometriocs dada mediante VX .

Proposicion 1.4.8. Con las anteriores notaciones, si R es uno cualquiera de los anillosde los ejemplos. Se tiene:

(1). Si a ⊆ b son dos ideales del anillo R, entonces VX(b) ⊆ VX(a).(2). ∅ = VX((1)), donde (1) es el ideal generado por 1 en R (es decir, el propio R

como ideal dentro de sı mismo).(3). X = VX((0)), donde (0) = {0} es el ideal de R formado solamente por el

0 ∈ R.


(4). La interseccion de una familia cualquiera {V (ai) : i ∈ I} de tales tipos deconjuntos tambien es un conjunto de ceros de un ideal. De hecho, si b es elideal suma

∑i∈I ai en R se tiene⋂

i∈IVX(ai) = VX(b) = VX(

∑i∈I

ai).

(5). Dados a, b dos ideales de R, entonces si c es el ideal producto ab en R se tiene

VX(a) ∪ VX(b) = V (c) = VX(ab).

Demostracion.– Es un mero ejercicio de comprobacion a partir de las definiciones. �

Observacion 1.4.9 (Topologıa de Zariski). de la anterior proposicion de infiere quedado un conjunto X de los descritos en los ejemplos anteriores y dado un anillo R, lacolleccion

{VX(a : a es un ideal de R},define una unica topologıa en X en la que dicho conjunto es la clase de cerrados. A esatopologıa se la denomina topologıa de Zariski sobre X, definida por las funciones en R.Hemos observado que si R = C∞(X) y X es un abierto de Rn, esa topologıa de Zarsikies la inducida en X por la usual topologıa euclıdea en Rn.En los casos R = H(X), R = Cω(X) o R = C[X1, . . . , Xn], por ejemplo, la topologıade Zariski que definen sobre X es estrictamente menos fina que la topologıa usual.

1.4.2. Divisores de Cero. Ideales Primos y Maximales.

Definicion 1.4.5 (Divisores de cero, Dominio de Integridad). En un anillo(R,+, ·) se dice que un elemento x ∈ R es un divisor de cero si existe otro elemen-to no nulo y ∈ A tales que xy = 0.Un anillo sin dividores de cero no nulos se denomina dominio de integridad.

Ejemplo 1.4.6. Son ejemplos de dominios de integridad los siguientes:

(1). Los cuerpos son dominios de integridad.(2). SiR es dominio de integridad, tambien lo sonR[X1, . . . , Xn] yR[[X1, . . . , Xn]].(3). Los subanillos de dominios de integridad tambien son dominios de integridad.

El anillo de los enteros Z es dominio de integridad.

Corollario 1.4.10. Sea X ⊆ C un abierto conexo. Entonces, el anillo de funcionesholomorfas H(X) es un dominio de integridad.

Demostracion.– Supongamos que no lo fuera y que existen f, g ∈ H(X) tales quefg = 0. Entonces,

X = VX(fg) = VX(f) ∪ VX(g).

Pero VX(f) y VX(g) son dos conjuntos numerables, por cuanto no pueden igualar a Xy hemos llegado a contradiccion. �

Observacion 1.4.11. Para evitar confusiones, insistamos en que las condiciones “seranalıtica” o “ser conexo” son esenciales para la afirmacion Dominio de Integridad.

Si X no fuera conexo, posee una descomposicion como union de dos abiertosdisjuntos X = X1 ∪ X2. Entonces, podemos definir dos funciones no nulasf1, f2 : X −→ C, del modo siguiente:

fi(x) :=

{1 si x ∈ Xi

0 en caso contrario

Obviamente f1f2 = 0 y ninguna de ellas es nula.


Si tratamos con funciones C∞(R) podemos encontrar dos funciones f+ y f− :R −→ R tales que ambas son infinitamente difereneciables y verifican:

f+(x) = 0, f−(x) = 1, si x ∈ (−∞,−1)f+(x) = 0, si x ∈ (−1, 0)

f−(x) = 0, si x ∈ (0, 1)f+(x) = 1, f−(x) = 0, si x ∈ (1,+∞)

Claramente f+f− = 0 y ninguna de ellas dos es un funcion nula, con lo queC∞(R) no es dominio de integridad.

En todo caso, tanto para funciones holomorfas como para analıticas reales se tiene:

Proposicion 1.4.12. Sea K = R ∨ C, sea X ⊆ Kn un abierto conexo y sea a un idealen H(X) (si K = C) o ideal en Cω(X) (si K = R). Entonces, VX(a) ⊆ X es o biencoincidente con X o bien es un conjunto de interior vacıo y de medida (de Lebesgue)nula.

Demostracion.– Es un duro resultado de Geometrıa Analıtica que no reproduciremosaquı. �

Definicion 1.4.7 (Ideales Primos y Maximales). Sea R un anillo:

(1). Un ideal p ⊆/ R, se llama primo si el anillo cociente R/p es un dominio deintegridad. Denotaremos por Spec(R) al conjunto de todos los ideales primosdel anillo R y lo denominaremos espectro primo de R.

(2). Un ideal m ⊆/ R, se llama maximal si el anillo cociente R/m es un cuerpo.Denotaremos por Spm(R) al conjunto de todos los ideales maximales delanillo R y lo denominaremos espectro maximal de R.

Ejemplo 1.4.8. (1). Un ideal R es dominio de integridad si y solamente si (0) ∈Spec(R).

(2). Todo ideal maximal es obviamente primo (y tenemos Spm(R) ⊆ Spec(R)),pero el recıproco no es cierto en general. Ası, (0) ∈ Spec(Z) \ Spm(Z) 6= ∅.

(3). Obviamente si K es un cuerpo Spec(K) = Spm(K) = {(0)} y esta definidopor un unico elemento.

(4). Los anillos para los cuales Spm(R) = Spec(R) se denominan anillos de dimen-sion cero y si verifican ciertas condiciones de cadena, los llamaremos Anillosde Artin (pero esto corresponde a Capıtulos mas avanzados del curso).

(5). Los conjuntos Spec(R) y Spm(R) son conjuntos parcialmente ordenados conrespecto a la inclusion ⊆.

(6). Los dominios de integridad tales que todos sus ideales sean principales sedenominan Dominios de Ideales Principales o, simpemente, dominios princi-pales. Los ejemplos clasicos de dominios de ideales pricipales son todos loscuerpos, Z y K[X].

Proposicion 1.4.13. Las siguientes son caracetrizaciones alternativas de ideales pri-mos y maximales en un anillo R:

Un ideal p ⊆/ R es primo si verifica:

∀x, y ∈ R, xy ∈ p =⇒ (x ∈ p) ∨ (y ∈ p).

Un ideal m ⊆/ R es maximal si y solamente si es maximal en el conjunto delos ideales a ⊆/ R ordenados por la inclusion. Es decir m ⊆/ R es maximal si ysolamente si para cualquier ideal a de R, tal que a ⊆/ R, se tiene

m ⊆ a =⇒ m = a.


Demostracion.– Para la primera de las afirmaciones observese que xy ∈ p es equivalentea

(x+ p)(y + p) = 0, en R/p,

mientras que x ∈ p e y ∈ p son respectivamente equivalentes a

x+ p = 0, y + p = 0, en R/p.

Con estas observaciones es clara la equivalencia entre las afirmaciones R/p es dominiode integridad y la descrita en la primera de las afirmaciones de esta proposicion. Parala segunda afirmacion, recordemos que R/m es un cuerpo si y solamente si sus unicosideales son los impropios (0) y R/m y que los ideales del anillo cociente R/m estan enbiyeccion con los ideales de R que contienen a m. Por tanto, R/m es un cuerpo si ysolamente si para cualquier ideal a ⊆/ R, tal que m ⊆ a se ha de tener

(a/m = (0)) ∨ (a/m = R/m) .

Como, para todo ideal a ⊆/ R, se ha de tener a/m 6= R/m, concluimos la equivalenciaentre ambas caracterizaciones. �

Corollario 1.4.14. Si a ⊆/ R es un ideal de un anillo R, podemos observar:

(1). Los ideales primos del anillo cociente R/a esta biyectivamente identificadoscon los ideales primos de Spec(R) que contienen al ideal a, mediante la trans-formacion

p 7−→ p/a.

En particular, se tiene:

Spec(R/a) := {p/a : p ⊇ a, p ∈ Spec(R)}.

(2). Los ideales maximales del anillo cociente R/a esta biyectivamente identifica-dos con los ideales maximales de Spm(R) que contienen al ideal a, mediantela transformacion

p 7−→ p/a.

En particular, se tiene:

Spm(R/a) := {p/a : p ⊇ a, p ∈ Spm(R)}.

Demostracion.– Retomamos la Observacion 1.3.15 y los Teoremas de Isomorfıa. Apartir de los Teoremas de Isomorfıa, tenemos para cada ideal b ⊆/ R de R que cotiene aa el ideal del anillo cociente b/a dado mediante:

b/a := {x+ a : x ∈ b}.

Ademas, tenemos el isomorfismo de anillos:(R/a

)/(b/a) −→ R/b,

dado mediante:

(x+ a) + (b/a) 7−→ x+ b.

Por tanto, se tiene:

R/b es dominio de integridad si y solamente si

(R/a

)/(b/a) es dominio de

integridad. Traducido, esto significa b ∈ Spec(R) si y solamente si b/a ∈Spec(R/a.

R/b es cuerpo si y solamente si

(R/a

)/(b/a) es cuerpo. Traducido, esto sig-

nifica b ∈ Spm(R) si y solamente si b/a ∈ Spm(R/a.


La identificacion entre los ideales de R/a y los ideales en R que contienen a a ya fuediscutida en la Observacion 1.3.15, lo que completa la demostracion. �Recordemos de la Proposicion 1.2.1 la nocion de contraccion de un ideal a traves de unmorfismo de anillos.

Proposicion 1.4.15 (Contraccion de primos y maximales). Sea f : R −→ Tun morfismo de anillos y q ∈ Spec(T ) un ideal primo de T . Entonces, la contraccionqc := f−1(q es un ideal primo de R. Lo mismo no sucede si reemplazamos primos pormaximales.

Demostracion.– Consideremos f : R −→ T y la componemos con la proyeccion π :T −→ T/q y tendremos el morfismo de anillos:

π ◦ f : R −→ T/q.

Usando el primer Teorema de Isomorfıa, tendremos una aplicacion inyectiva (y morfismode anillos):

ϕ : R/ker(π ◦ f) −→ T/q.

Con lo que R/ker(π ◦ f) esta indentificado con un subanillo de T/q. Ademas, comoq es un ideal primo de T , el cociente T/q es un dominio de integridad y tambienson dominios de integridad todos sus subanillos. En particular, R/ker(π ◦ f) es undominio de integridad. Lo unico que falta para probar el enunciado es probar la siguienteigualdad:

ker(π ◦ f) = (π ◦ f)−1 ((0)) = f−1(ker(π)) = f−1(q) = qc.

Para el caso de los ideales maximales baste con considerar le inclusion i : Z −→ Q yobservar que (0) ∈ Spm(Q), mientras que (0) = i−1((0)) no es ideal maximal en Z. �El enunciado que sigue es el unico caso en el que utilizaremos el Axioma de Zorn enestas notas. En todo caso, para aquellos anillos que interesan en este curso (los anillosnoetherianos) el enunciado se puede probar sin el Axioma de Zorn, aunque con unaversion mas debil.Recuerdese que un conjunto parcialmente ordenado (T,≤) se denomina cadena si larelacion de orden ≤ es una relacion de orden total. Dado un conjunto parcialmenteordenado (S,≤) llamaremos cadena en (S,≤) a todo subconjunto T ⊆ S tal que con larelacion de orden inducida por la de S, se tenga que (T,≤) es una cadena. El axiomade Zorn se enuncia del modo siguiente:

Axioma de Zorn: Sea (S,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Si, para toda cadenaT ⊆ S existe cota superior en (S,≤), entonces, existe elemento maximal en (S,≤).

Se tiene:

Proposicion 1.4.16. Asumiendo el Axioma de Zorn, todo anillo R posee al menos unideal maximal (i.e. Spm(R) 6= ∅).

Demostracion.– Para demostrarlo, consideremos el conjunto I(R) de todos los idealesa ⊆/ R. Ordenemos I(R) con la inclusion y tendremos el conjunto parcialmente ordenado(I(R),⊆).Sea (T ⊆ I(R) una cadena en (I(R),⊆). Supongamos

T := {ai : i ∈ I}.Entonces, se puede comprobar facilmente que se verifica:

El conjunto a :=⋃i∈I ai es un ideal de R. Para ello, observese que si x, y ∈ a,

entonces existen i, j ∈ I tales que x ∈ ai, y ∈ aj . Por ser T cadena tendremosai ⊆ aj o aj ⊆ ai. En el primer caso, x, y ∈ aj o, en el segundo, x, y ∈ ai. Porser ai y aj ideales, esto implica que, en el primer caso, x + y ∈ aj ⊆ a o, enel segundo caso, x + y ∈ ai ⊆ a. En cualquier caso, x + y ∈ a. Con mayorfacilidad se probarıa que ∀x ∈ R,∀y ∈ a, se ha de tener xy ∈ a.


1 6∈ a. Esto es mas simple, dado que ai ∈ I(R), tenemos 1 6∈ ai, para todoi ∈ I, con lo que 1 6∈ a y habremos terminado.

Es claro, ademas, que a es una cota superior de T en I(R). En consecuencia, aplicandoel Axioma de Zorn, debe existir un elemento maximal en I(R) y por lo antedicho, eseelemento maximal esta en Spm(R). �

Corollario 1.4.17. Asumiendo el Axioma de Zorn, si a ⊆/ R es un ideal de R, en-tonces, existe un ideal maximal m ∈ Spm(R), tal que a ⊆ m. Adicionalmente, exis-tira p ∈ Spec(R) tal que a ⊆ m.

Demostracion.– A partir de la Observacion 1.3.15, tenemos que los ideales del anillocociente R/a estan identificados con los ideales de R que contienen a a. Ademas, elcorolario 1.4.14 anterior identifica los maximales del coeciente R/a con los maximalesde R que contienen a a. En consecuencia, si R/a tiene al gun maximal es de la formam/a, siendo m ∈ Spm(R) y m ⊇ a. Ası, la Proposicion anterior, que asume el Axiomade Zorn, implica la existencia de ideales maximales que contienen al ideal a. �

Corollario 1.4.18. Con las mismas hipotesis, si R es un anillo, sus unidades son loselementos que no pertenecen a ningun ideal maximal. Es decir,

R∗ :=⋂

m∈Spm(R)

(R \m) = R \

⋃m∈Spm(R)

m

.

Demostracion.– Si un elemento x ∈ R no es unidad, entonces, el ideal (x) que generasatisface (x) ⊆/ R. Existira un maximal m ⊇ (x) y, por tanto, x ∈ m. Recıprocamente,si x ∈ m, con m ∈ Spm(R), entonces x 6∈ R∗. Pues si x fuera unidad en R, tendrıamosque existe x′ ∈ R, tal que x′x = 1 y, en particular, concluirıamos

1 = x′x ∈ m = R,

contradiciendo el hecho m ⊆/ R. �

Ejemplo 1.4.9 (Variedades Proyectivas, Ideales Homogeneos). No podemos aca-bar sin citar un ejemplo mas de variedades (en el sentido de conjuntos de ceros) queson esenciales para entender la Geometrıa: Las variedades proyectivas.Comencemos recordando el espacio proyectio. Sea K un cuerpo y K uns extension.Consideremos el espacio vectorial Kn+1, el subconjunto Kn+1 \ {0} y la relacion deequivalencia sobre Kn+1 \ {0} dada mediante:

x ∼ y ⇐⇒ ∃λ ∈ K, x = λy.

El conjunto cociente(Kn+1 \ {0}

)/ ∼ se denomina espacio proyectivo de dimension n

sobre K y se denota mediante Pn(K)1. Se considera la proyeccion canonica

π : Kn+1 \ {0} −→ Pn(K)

que, en los casos K = R ∨ C, define una topologıa cociente (topologıa final a travesde π) en Pn(K). A los puntos π(x0, x1, . . . , xn) los representaremos mediante (x0 : x1 :· · · : xn) al estilo de la escuela “francesa”.En estos casos, el espacio proyectivo tambien tiene una estructura de variedad diferen-ciable (de Riemann en el caso K = R y de Kahler en el caso K = C).

En el caso real, podemos identificar isometricamente (como variedades deRiemann) Pn(R) con el cociente Sn/S0, entendiendo por S0 := {±1} la versionmutiplicatica del grupo abeliano Z/2Z y la relacion “ser puntos antipodales”.En esta caso, un punto proyectivo repreernta dos puntos sobre Sn.

1Otras notaciones que se encuentran en la literatuyra son: KPn, PnK, etc... Nosotros mantendremosla propuesta Pn(K).

1.5. CUESTIONES Y PROBLEMAS 27

En el caso complejo, identificamos Pn(C) con el coenciente S2n+1/S1, dondeS2n+1 es la esfera unidad en Cn+1 con la metrica hermıtica canonica y S1 esvisto como el grupo de los numeros complejos de valor absoluto 1, actuandosobre S2n+1. En este caso un punto en Pn(C) representa un gran cırculo (unageodesica) en S2n+1.

Supongamos dado ahora un polinomio f ∈ K[X0, . . . , Xn] y consideremos la funcionpolinomial que define:

f : Kn+1 −→ K.Observamos que esta funcion no siempre es “trasladable” al espacio proyectivo. Para“trasladarla” haremos un analisis adicional. Supongamos que f ∈ Hd es un polinomiohomogeneo de grado d. Entonces, para todo λ ∈ K y para todo x ∈ Kn+1 observamosque se tiene la igualdad siguiente:

f(λx) = λdf(x).

Esta identidad permite dos reflexiones en dos sentidos distintos:

Si f es un polinomio homogeneo y x, y ∈ Kn+1 son dos representantes de unmismo punto proyectivo x, y ∈ π−1(ζ), ζ ∈ Pn(K), entonces f(x) = 0 si y so-lamente si f(y) = 0 y tiene sentido considerar el conjunto VPn(K)(f) ⊆ Pn(K).Mas aun, llamaremos variedad proyectiva K−definible a todo subjconjun-to V ⊆ Pn(K) tal que existe un conjunto finito de polinomios homogeneosf1, . . . , fs ∈ K[X0, ldots,Xn] verificando:

V = VPn(K)(f1, . . . , fs) := {ζ ∈ Pn(K); : f1(ζ) = 0, . . . , fs(ζ) = 0}.

Los ideales a ⊆ K[X0, . . . , Xn] que son generados por un conjunto finito depolinomios homogeneos se denominan ideales homogeneos en K[X0, . . . , Xn]y se denota mediante VPn(K)(a) a la variedad proyectiva K−definible dada poruno cualquiera de sus sistemas de generadores homogeneos. Cuando K = Ky le dimension n sea concocida, escribiremos simplemente VP(a).Ya hemos visto que, en general, no tiene sentido considerar polinomios ho-mogeneos como funciones sobre un espacio proyectivo. Sin embargo, sı pode-mos considerar lo siguiente: Sean f, g ∈ Hd ⊆ K[X0, . . . , Xn] dos polinomioshomog’eneos del mismo grado y sean y, y ∈ Kn+1 dos representantes del mis-mo punto proyectivo (x0 : x1 : · · · : xn) ∈ Pn(K). Sea D(g) := VPn(K)(g)c ⊆Pn(K) el complementario de VPn(K)(g) en Pn(K). Entonces, podemos definirla funcion:

f/g : D(g) ⊆ Pn(K) −→ K,ζ 7−→ f(ζ)

g(ζ) .

Esta fucnion esta bien definida y no depende sino del punto proyectivo ζ yno de sus representantes. Se denomina funcion regular (o funcion racional)K−definible sobre Pn(K). Obervese una interpretacion aviesa de la funcionanterior como:

(f : g) : D(g) ⊆ Pn(K) −→ P1(K),ζ 7−→ (f(ζ) : g(ζ)).

Y VPn(K)(f) ∩D(g) son los puntos de D(g) que “se van al infinito” mediante(f : g).

1.5. Cuestiones y Problemas

Problema 1.5.1. Probar la buena definicion del rango de un R−modulo libre de rangofinito, es decir, si M ∼= Ap0(X,R) y M ∼= Ap0(Y,R) con X e Y conjuntos finitos y ∼=isomorfismo de R−modulo, concluir que X e Y son biyectable.


Problema 1.5.2. Probar que cualesquiera dos bases de un R−modulo libre de rangofinito tienen el mismo cardinal y que ese cardinal coincide con rankR(M).

Problema 1.5.3. Probar que para todo polinomio homogeneo f ∈ Hd (con d no divisi-ble por la caracterıstica de K) se verifica la siguiente identidad (Identidad de Leibnitz):

1

df :=

n∑i=0

Xi∂f

∂Xi.

Concluir que todo polinomio homogeneo f (cuyo grado no es divisible por la carac-terıstica del cuerpo) esta en el ideal homogeneo generado por sus derivadas parciales,i.e.

f ∈(∂f

∂X0,∂f

∂X1, . . . ,

∂f

∂Xn

).

Problema 1.5.4. Probar que si K es un cuerpo infinito, f ∈ K[X1, . . . , Xn] es unpolinomio y ϕf as la funcion polinomial definida por f . Entonces, si ϕf (x) = 0, ∀x ∈ Kn,se tiene f = 0 en K[X1, . . . , Xn]. Comprobar que esta implicacion no es cierta cuandoK no es un cuerpo infinito.

Capıtulo 2

El Teorema Chino de los Restos

Contents

2.1. Introduccion 292.2. El anillo producto y el TCR 292.3. Interpretacion del Teorema Chino de los Restos en el caso

R = Z 322.3.1. En relacion con el problema de Sun Tzu. 342.3.2. Una Aplicacion en computacion: Calculo del Determinante por

Algoritmos Modulares. 352.3.2.1. La Busqueda de un Buen Numero Primo. 372.3.2.2. Test de Primalidad. 372.3.2.3. Combinando el Teorema de Densidad de los Numero Primos y los

Tests de Primalidad. 382.3.2.4. La Estrategia Final 392.3.3. Secretos Compartidos. 392.4. El teorema Chino de los Restos en el caso R := k[X]. 392.4.1. Eliminacion Univariada Clasica. 402.4.1.1. Mutiplicar por un polinomio. 412.4.2. El Teorema Chino de los Restos en R = k[X] y la Forma Canonica

de Jordan. 432.4.2.1. El algebra k[X]/(f). 432.4.3. Teorıa del Endomorfismo y el Maximo Comun Divisor en k[X]. 47

2.1. Introduccion

En esta Seccion recordaremos el teorema Chino de los Restos y algunas de sus aplica-ciones mas notables. Aunque se desconoce su origen preciso, las fuentes mas clasicasapuntan al texto Sun Zi suan-ching (traducido, malamente, como “Las MatematicasClasicas de Sun Zi”), publicado en el tercer siglo antes de Cristo por Sun Tzu. Reapa-rece, con otros resultados interesantes como el metodo de Newton, en 1274 en un textode Qin Jiushao titulado Shushu Chiu-zhang. El Problema que trata es el siguiente:

Problema 2.1.1. Cual es el numero entero mas pequeno tal que

f ≡ 2 mod 11, f ≡ 3 mod 5, f ≡ 2 mod 7?.

2.2. El anillo producto y el TCR

Proposicion 2.2.1 (Definicon de Anillo Producto). Sean {Ri : 1 ≤ i ≤ r} unacoleccion finita de anillos. Definamos las opraciones siguientes:

(2.2.1)+ : (

∏ri=1Ri)× (

∏ri=1Ri) −→ (

∏ri=1Ri)

((x1, . . . , xr), (y1, . . . , yr)) 7−→ (x1 + y1, . . . , xr + yr),

y

(2.2.2)· : (

∏ri=1Ri)× (

∏ri=1Ri) −→ (

∏ri=1Ri)

((x1, . . . , xr), (y1, . . . , yr)) 7−→ (x1y1, . . . , xryr).

29

30 2. T. CHINO RESTOS

Se verifican las propiedades siguientes:

(1). El conjunto (∏ri=1Ri,+, ·) es un anillo conmutativo con unidad. El elemento

neutro para la suma es el elemento (0, . . . , 0) ∈∏ri=1Ri y el elemento neutro

para el producto es el elemento (1, . . . , 1) ∈∏ri=1Ri.

(2). Cualquiere elemento de la forma (x1, . . . , xr) con algun xi = 0, es un divisorde cero de

∏ri=1Ri.

Al anillo∏ri=1Ri se le denomina anillo producto de los anillos en la familia {Ri : i ∈

I}.

Demostracion.– Para comprobar que (∏ri=1Ri,+, ·) es un anillo conmutativo con uni-

dad, recuerdse el producto de grupos abelianos, lo que nos dara la condicion de grupoen (

∏ri=1Ri,+) y el elemento neutro para la suma dado por (0, . . . , 0) ∈

∏ri=1Ri. Veri-

ficar que es anillo con la operacion producto es mera comprobacion de las propiedadesa partir de las que verifica cada uno de los Ri. La otra propiedad senalada es obvia. �

Definicion 2.2.1 (ideales co–maximales). Dos ideales a y b de un anillo R sedenominan co–maximales si a + b = R.

Algunos autores prefieren el termino “co–primo” en lugar de co–maximales, es unacuestion de gusto. Aquı elegiremos el termino co–maximal como queda dicho.

Teorema 2.2.2 (Teorema Chino de los Restos). Sea {ai : 1 ≤ i ≤ n} un conjuntofinito de ideales en un anillo R. Supongamos que son dos a dos co–maximales (i.e.ai + aj = R, ∀i 6= j) y consideremos el morfismo de anillos:

(2.2.3)Φ : R −→

∏ni=1 (R/ai)

a 7−→ (a+ a1, a+ a2, . . . , a+ an).

Se tiene:

(1). Φ es un epimorfismo de anillos.(2). El nucleo verifica:

ker(Φ) = ∩ni=1ai =n∏i=1

ai.

(3). φ induce un isomorfismo de anillos:

(2.2.4)Φ : R/ (∩ni=1ai) −→

∏ni=1 (R/ai)

x+ (∩ni=1ai) 7−→ (x+ a1, x+ a2, . . . , x+ an).

Demostracion.– Comencemos observando que Φ esta bien definida dado que es lacomposicion de los dos morfismos de anillo siguientes:

(2.2.5)i : R −→ Rn :=

∏ni=1R

x 7−→ (x, x, . . . , x).

y

(2.2.6)∏ni=1 πi : Rn −→

∏ni=1 (R/ai) ,

donde πi : R −→ R/ai es la proyeccion canonica. A partir de aquı, probemos las pro-piedades descritas.Comencemos considerando unos elementos especiales. Para cada i ∈ {1, . . . , n}, consi-deremos el emento ei ∈

∏ni=1 (R/ai) dado mediante:

ei := (εi,1 + a1, εi,2 + a2, . . . , εi,n + an) ∈n∏i=1

(R/ai) ,

donde

εi,j :=

{1, si i = j0, en caso contrario

2.2. EL ANILLO PRODUCTO Y EL TCR 31

Notese que ei es el emento que “tiene un 0 en todos los lugares, excepto en el lugar i en elque tiene un 1”. Consideremos ahora un elemento cualquiera ζ := (x1+a1, . . . , xn+an) ∈∏ni=1R/ai. Se tiene la siguiente identidad:

(2.2.7) ζ :=

n∑i=1

Φ(xi)ei.

Por tanto, probar que Φ es suprayectiva se reduce a probar que {e1, . . . , en} ⊆ Im(Φ).Por simplicidad de la expresion de la prueba, probemos que e1 ∈ Im(Φ) y, analoga-mente, se hara para todos los otros elementos.dado que a1 y ai son co–maximales para todo i 6= 1, 1 ≤ i ≤ n, podemos suponer queexisten xi ∈ a1 e yi ∈ ai tales que xi + yi = 1 en R. Definamos el elemento

(2.2.8) z1 :=n∏i=2

yi =n∏i=2

(1− xi).

Entonces, se tiene Φ(z1) = e1. Para comprobarlo, recordemos que:

Φ(z1) := (z1 + a1, z2 + a2, . . . , z1 + an).

Como yj ∈ aj , para todo j ≥ 2, entonces∏ni=2 yi ∈ aj , para todos j ≥ 2 y,

por tanto, z1 + aj =∏ni=2 yi + aj = 0 + aj , para todo j ≥ 2.

De otro lado, desarrollando el producto∏ni=2(1 − xi) obtendremos z1 =∏n

i=2(1− xi) = 1 +∑n

i=2 xihi(x2, . . . , xn), donde

hi(x2, . . . , xn) = −n∏

j=i+1

(1− xj),

para 2 ≤ i ≤ n−1 y hn = −1. En particular, hi(x2, . . . , xn) ∈ R. Para cada i,2 ≤ i ≤ n, xi ∈ a1, por tanto, xihi(x2, . . . , xn) ∈ a1, para cada i, 2 ≤ i ≤ n y,por tanto,

∑ni=2 xihi(x2, . . . , xn) ∈ a1. Hemos concluido que z1 = 1 + h, con

h ∈ a1 y, finalmente, z1 + a1 = 1 + a1.

Juntando estas afirmaciones, tendremos:

Φ(z1) := (1 + a1, 0 + a2, . . . , 0 + an) = e1,

y queda probada la suprayectividad.

En cuanto al nucleo de Φ es claro que el nucleo coincide con ∩ni=1ai. Sin embargo, elenunciado dice algo mas. Dice que, en el caso de que los ideales sean co–maximales dosa dos, entonces la interseccion y el producto coinciden, es decir

n∏i=1

ai =

n⋂i=1

ai.

Hay un contenido claro por las definiciones de los propios ideales∏ni=1 ai ⊆

⋂ni=1 ai,

luego solo queda por probar el recıproco. Hagamos la prueba por induccion. Comence-mos en el caso n = 2. En ese caso, por ser a1 y a2 co–maximales, tendremos a1 +a2 = Ry han de existir x1 ∈ a1 y x2 ∈ a2 tales que x1 + x2 = 1. Sea ahora x ∈ a1 ∩ a2.

Como x ∈ a2 (por estar en a1 ∩ a2) y x1 ∈ a1, entonces xx1 ∈ a1a2,Recıprocamente, como x ∈ a1 (por estar en a1 ∩ a2) y x2 ∈ a2, entoncesxx2 ∈ a1a2.

En conclusion, xx1, xx2 ∈ a1a2, luego

x = x · 1 = x(x2 + x2) = xx1 + xx2 ∈ a1a2,

y queda probado el caso n = 2. Para el caso n, vamos a reproducir el argumento delmodo siguiente:Se tiene que si ai, 1 ≤ i ≤ n es una familia de ideales dos a dos co–maximales,


entonces, los ideales ai y bi :=∏j 6=i aj son co–maximales tambien (i.e. ai + bi = R).

Para probarlo, haremos solamente el caso i = 1 y el resto de los casos es analogo. Dadoque a1 y ai son co–maximales, han de existir xi ∈ a1 e yi ∈ ai, i ≥ 2, tales que

xi + yi = 1.

Consideremos ahora el elementos z1 :=∏ni=2 yi ∈ b1 =

∏ni=2 ai. De otro lado, como el

la prueba del epimorfismo, tendremos que

z1 =n∏i=2

(1− xi) = 1 +n∑i=2

xihi(x2, . . . , xn) = 1 + h,

donde h ∈ a1. Concluirmos ası que

1 = (−h) + z1,

siendo −h ∈ a1 y z1 ∈ b1. Por tanto, a1 y b1 son co–maximales y, por el caso n = 2,tendremos

a1b1 = a1

⋂b1.

Ahora aplicamos la hipotesis inductiva y concluimos

b1 =n∏i=2

ai =n⋂i=2

ai,

lo que, juntado con la igualdad inmediatamente anterior, implica la afirmacion descritaen (2).La afirmacion (3) del enunciado es evidente a partir del primer Teorema de Isomorfıay de las afirmaciones (1) y (2). �

2.3. Interpretacion del Teorema Chino de los Restos en el caso R = Z

Es historicamente la formulacion mas antigua y aquı vamos a reflejar su interpretacionsobre Z. Es de suponer que los alumnos ha visto ya que Z es un dominio de idealesprincipales, por lo que no ha lugar a probar el siguiente. De todas formas, lo indicamos:

Teorema 2.3.1. Sea a un ideal en Z, entonces, a es un ideal principal. De hecho, sise considera el conjunto:

Na := {n ∈ N : n ≥ 0, n ∈ a},se tiene que o bien N = {0}, en cuyo caso a = (0) o bien {0} ⊆/ Na. En este segundocaso, sea h el menor elemento no nulo de Na (que existe por tener N un buen orden),entonces a = (h).

Demostracion.– Es consecuencia casi inmediata de la existencia de division euclıdea enZ. Para analizarlo, como recordatorio, supongamos a 6= (0) y supongamos h el elementomınimo no nulo de Na. Como h ∈ a, es claro que (h) ⊆ a. Sea ahora m ∈ a un elementocualquiera. Procedemos con la division euclıdea y tendremos

m = qh+ r,

donde r ≥ 0 y r ≤ h − 1. Como m,h ∈ a, entonces m − qh ∈ a. Por tanto, r ∈ a,r ≥ 0 y r ≤ h− 1. En particular, r ∈ Na y si r > 0, entonces r < h y h era el mınimo.Necesariamente ha de ser r = 0 y, en conclusion m ∈ (h). Con ello queda probado elotro contenido y la afirmacion. �

Teorema 2.3.2 (Identidad en Bezout en Z, co–maximalidad). Sea m,n ∈ Z dosnumeros enteros positivos tales que n,m ≥ 2, y sea h = gcd(m,n) su maximo comundivisor. Entonces, existen α, β ∈ Z tales que

h = αm+ βn,

2.3. INTERPRETACION DEL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS EN EL CASO R = Z 33

y, ademas, se verifica:|α| ≤ n, |β| ≤ m.

En particular, dos numeros enteros m y n definen ideales (m) y (n) en Z co–maximalessi y solamente si su maximo comun divisor es 1.

Demostracion.– Los alumnos ya han estudiado que Z es un dominio de ideales princi-pales y han definido el maximo comun divisor de dos numeros m y n como el generadorh del ideal (m,n) = (m) + (n). Por tanto, si (h) = (m) + (n) es claro que h = am+ bnpara algunos valores a, b ∈ Z. Supongamos n ≥ m ≥ 0 y supongamos n 6= m (enel caso n = m es claro eligiendo α = 1 y β = 0, por ejemplo). Consideremos aho-ra α := rem(a, n), el resto de la division de a por n que, efectivamente, verifica que|α| ≤ n− 1 (para n ≥ 0). Sea q el cociente de esa division y tendremos:

h = am+ bn = (qn+ α)m+ bn = αm+ (b+ qm)n.

Denotemos por β = (b+ qm). Se tiene:

|β|n = |βm| = |h− αm| ≤ |h|+ |α|m.Ahora, como n > m, es claro que |h| ≤ m − 1, mientras que |α|m ≤ (n − 1)m. Portanto, concluimos

|β|n ≤ (m− 1) + (n− 1)m ≤ m+ (n− 1)m = nm,

Y, por tanto, |β| ≤ m, como pretendıamos. De otro lado, es obvio, por la propiadefinicion del maximo comun divisor, que dos ideales (n) y (m) son co–maximales si ysolamente si gcd(m,n) = 1. �

Empecemos con las aplicaciones del TCR:

Corollario 2.3.3. Dados n1, . . . , nr ∈ Z numeros enteros. Entonces, el ideal in-terseccion a := ∩ni=1(ni) es el ideal generado por el mınimo comun multiplo m :=mcm(n1, . . . , nr).El ideal producto b :=

∏ri=1(ni) es el ideal (N), generado por el producto N :=

∏ri=1 ni.

Finalmente, si gcd(ni, nj) = 1 para todo i 6= j, entonces el mınimo comun multiplo mcoincide con N , esto es, en el caso de ser dos a dos co–maximales, se tiene:

mcm(n1, . . . , nr) =

r∏i=1

ni.

Demostracion.– El mınimo comun multiplo de varios numeros enteros se define,precismaete, como el generador de la interseccion de ideales. Recordemoslo: m =mcm(n1, . . . , nr) si y solamente si se verifica:

ni | m, para cada i, 1 ≤ i ≤ r.m es mınimo con esa propiedad.

Ahora notese que la primera condicion significa m ∈ (ni) para cada i, 1 ≤ i ≤ r.Por tanto, la primera condicion significa m ∈ ∩ri=1(ni) y, por tanto, significa tambien(m) ⊆ ∩ri=1(ni). En cuanto a la condicion de minimalidad, recordemos el Teorema2.3.1 anterior, para concluir que si m es el mınimo con esa propiedad, entonces, (m) =∩ri=1(ni).De otro lado, por la definicion del ideal producto, el ideal

∏ri=1(ni) es el ideal generado

por los productos de los generadores y, por tanto, el ideal generado por N .La ultima de las afirmaciones es consecuencia inmediata del apartado (2) the TeoremaChino de los Restos. Efectivamente, si ni es una familia cuyos elementos son dos ados co–maximales, los ideales

∏ri=1(ni) y ∩ri=1(ni) han de coincidir y, por tanto, sus

generadores son iguales (salvo unidad en Z) por lo que podemos concluir que

mcm(n1, . . . , nr) =

r∏i=1

ni,


como se pretendıa. �

El Teorema Chino de los Restos sobre Z se convierte en el enunciado siguiente:

Teorema 2.3.4 (Teorema Chino de los Restos en Z). Sean dados n1, . . . , nr nume-ros enteros positivos de tal modo que gcd(ni, nj) = 1 para todo i 6= j. Sea N :=

∏ri=1 ni.

Entonces, la siguiente aplicacion es un isomorfismo de anillos:

(2.3.1)Φ : Z/ (N) −→

∏ri=1 (Z/(ni))

x+ (N) 7−→ (x+ (n1), x+ (n2), . . . , x+ (nr)).

Demostracion.– Es una trasliteracion del Teorema Chino de los Restos anterior. �

2.3.1. En relacion con el problema de Sun Tzu. Retomemos el enunciado:Cual es el numero entero mas pequeno tal que

f ≡ 2 mod 11, f ≡ 3 mod 5, f ≡ 2 mod 7?.

Notese que 11, 5 y 7 son primos y, por tanto, co–maximales. Ahora se trata de hallar,conforme a las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.8) anteriores la siguiente informacion:

(1). En primer lugar N := 7 · 5 · 11 = 385.(2). En segundo lugar, los elementos z1, z2, z3 ∈ Z tales que (como en la prueba

del Teorema Chino de los Restos) se verifique:

Φ(z1) = e1 = (1 + (11), 0 + (5), 0 + (7)),Φ(z2) = e2 = (0 + (11), 1 + (5), 0 + (7)),

yΦ(z3) = (0 + (11), 0 + (5), 1 + (7)).

Para ello, observese (via la identidad de Bezout) que se tiene:

11 + (−2)5 = 1, (−2)7 + 3 · 5 = 1, 2 · 11 + (−3) · 7 = 1.

Para z1: elijamos x2, x3, y2, y3 tales que x2, x3 ∈ (11), y2 ∈ (5), y3 ∈ (7) y

x2 + y2 = 1, x3 + y3 = 1.

Es decir, x2 = 11, x3 = 2·11 = 22, y2 = (−2)5 = −10, y3 = (−3)·7 = −21

y definamos z1 :=∏3i=2 yi = (−10)(−21) = 210.

Para z2: elijamos x′1, x′3, y′1, y′3 tales que x′1, x

′3 ∈ (5), y′1 ∈ (11), y′3 ∈ (7) y

x′1 + y′1 = 1, x′3 + y′3 = 1.

Es decir, x′1 = (−2)5 = −10, x′3 = 3 · 5 = 15, y′1 = 11, y′3 = (−2)7 = −14y definamos z2 := y′1y

′3 = 11(−14) = −154.

Para z3: elijamos x′′1, x′′2, y′′1 , y′′2 tales que x′′1, x

′′2 ∈ (7), y′′1 ∈ (11), y′′2 ∈ (5)

yx′′1 + y′′1 = 1, x′′2 + y′′2 = 1.

Es decir, x′′1 = (−3) · 7 = −21, x′′2 = (−2)7 = −14, y′′1 = 2 · 11 = 22,y′′2 = 3 · 5 = 15 y definamos z3 := y′′1y

′′2 = 15 · 22 = 330.

Para mayor simplicidad podemos hacerlos todos positivos, reduciendo moduloN y eligiendo:

z1 = 210, z2 = 231, z3 = 330.

(3). Con estos tres elementos y la formula (2.2.7) podemos hallar, dados x1, x2, x3

un numero x ∈ Z tal que

x mod (11) = x1 mod (11), x mod (5) = x2 mod (5), x mod (7) = x3 mod (7).

De hecho, tenemos que el numero x1z1 + x2z2 + x3z3 verificara:

Φ(x1z1 + x2z2 + x3z3) = Φ(x1)Φ(z1) + Φ(x2)Φ(z2) + Φ(x3)Φ(z3),

lo que es una formulacion equivalente.


(4). Con los datos del enunciado del texto de Sun Tzu, tendemos que

z := 2 · 210 + 3 · 231 + 2 · 330 mod 385 = 233,

satisface los requerimientos (si no se ha traspapelado algun error de calculopor en medio).

2.3.2. Una Aplicacion en computacion: Calculo del Determinante porAlgoritmos Modulares. Una de las aplicaciones mas importantes del Teorema Chinode los Restos sobre Z son los algoritmos modulares, usados en la programacion de paque-tes de software simbolico comerciales como Maple, Mathematica y otros. Aquı ejem-plificamos esta estrategia con el ejemplo del calculo del determinante de una matrizA ∈Mn(Z) con coordenadas enteras. El asunto es el siguiente:

En el algoritmo de Gauss clasico, aprendido en las asignaturas basicas de Algebra Li-neal, se produce un fenomeno singular con la concatenacion de elecciones de pivotes.Si supongo que todas las coordenadas de la matriz A = (ai,j)1≤i,j≤n original, verifican|ai,j | ≤ H, tras haber elegido k pivotes, el tamano de los numeros enteros que aparecen

en la matriz es del orden H2k . Esto significa, por ejemplo, que para matrices de tamano200× 200 no existen suficientes electrones en el Universo para almacenar los dıgitos deuno de esos numeros enteros a razon de un dıgito por electron. Ni que decir tiene dela imposibilidad de manejar matrices razonables en la practica con tamanos del orden1000× 1000.La conclusion es que el metodo de Gauss, tal y como se ensena, no sirve. Surgen ası di-versas alternativas. Algunas hacen modificaciones del algoritmo de Gauss (con busque-das de otros pivotes y otras operaciones, reduciendo a cada paso), otros se centran enalgoritmos bien paralelizables (que evitan el crecimiento de los resultados intermediosa traves de estructurar las operaciones a realizar mediante grafos bien paralelizables).Una vıa mas son los Algoritmos Modulares que vamos a describir, basandonos en elTCR anterior. Comencemos recordando los rudimentos del teorema de Gram–Schmidt1 . Sea v1, . . . , vn una base ordenada de Rn. Definamos la secuencia de vectores v∗1, . . . , v

∗n

siguiente:

(2.3.2)

v∗1 := v1

v∗2 := v2 − µ2,1v∗1, µ2,1 =

〈v2,v∗1〉〈v∗1 ,v∗1〉

...

v∗i := vi −∑i−1

j=1 µi,jv∗j , µi,j :=

〈vi,v∗j 〉〈v∗j ,v∗j 〉

Proposicion 2.3.5. En las notaciones anteriores, v1, . . . , vn una base de Rn. Seanv∗1, . . . , v

∗n los vectores obtenidos tras aplicar Gram-Schmidt a esta base. Entonces,

(1). ||v∗i || ≤ ||vi||,(2). 〈v∗i , v∗j 〉 = 0, para todo i 6= j.

Demostracion.– Son meras comprobaciones, la segunda propiedad implicando la pri-mera. �Continuaremos con un clasico, conocido como Desigualdad de Hadamard.

1Aunque parece que el metodo de calculo de bases ortogonales ya era conocido por Laplace yhabıa sido usado por Cauchy en 1836, se asigna este metodo a Jorgen P. Gram y Erhardt Schmidt. Eltrabajo de E. Schmidt donde introdujo formalmente su metodo de ortogonalizacion es : “Zur Theorieder linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkurlichen Funktionen nachSystem vorgeschriebener”.Mathematische Annalen Vol. 63 (1907) 433–476. Los trabajos de Gram (unmatematico “amateur”danes) son mas difıciles de rastrear para mı y no he sido capaz de saber concerteza donde publico sus resultados.


Proposicion 2.3.6 (Desigualdad de Hadamard). Sea A ∈ Mn(C) una matriz concoordenadas complejas. Sean v1, . . . , vn ∈ Cn los vectores dados por sus columnas. En-tonces,

|det(A)| ≤n∏i=

||vi||2,

donde || · ||2 denota la norma hermıtica usual en Cn.

Demostracion.– Para demostrar el resultado utilizaremos la ortogonalizacion de Gram–Schmidt. Dicho procedimiento establece que si A es la matriz dada, existe una matriztriangular superior, con solo 1’s en la diagonal principal P tal que

PA = A1,

donde los vectores dados como las columnas de A1 son precisamente la base ortogonal,asociada a los vectores columna de A :

{v∗1, . . . , v∗n}.Ahora consideramos la matriz de Wishart de A:

W (A) := A∗A,

donde A∗ es la traspuesta conjugada. Adicionalmente, se tiene :

|det(A)|2 = det(W (A) = det(AA∗).

Ademas,

det(A1A∗1)det

〈v∗1, v∗1〉 · · · 〈v∗1, v∗n〉

.... . .

...〈v∗n, v∗1〉 · · · 〈v∗n, v∗n〉

.

Como 〈v∗i , v∗j 〉 = 0 para i 6= j, tendremos

|det(A1)|2 =

n∏i=1

||v∗i ||2.

Finalmente, usando la Proposicion anterior,

|det(A)|2 = |det(A1)|2 =n∏i=1

||v∗i ||2 ≤|∏

i=1

|vi||2.

�

Corollario 2.3.7. Sea A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(Z) una matriz con coordenadas enterasy supongamos ||ai,j || ≤ H. Entonces,

det(A) ≤ Hn.

Demostracion.– Obvio. �

Lema 2.3.8. Sea M ∈ Z un numero entero positivo y sea a ∈ Z un numero entero talque su valor absoluto verifica |a| ≤M − 1. Sea x ∈ {0, . . . , 2M − 1} tal que :

x = a mod 2M.

Definamos :

x :=

{x si 0 ≤ x ≤M − 1

x− 2M si M + 1 ≤ x ≤ 2M − 1

Entonces, x = a.

Demostracion.– Es una mera comprobacion a partir de las definiciones, que se dejacomo ejercicio al lector. �


2.3.2.1. La Busqueda de un Buen Numero Primo. Comencemos con un somerorecordatorio del Teorema de los Numeros Primos (vase, por ejemplo, el texto clasicode G.H. Hardy y E.M. Wright, [HaWr, 38]). Este Teorema fue postulado tanto porA.-M. Legendre como por C.F. Gauss, a base de evidencia numerica y fue demostradofinalmente por J. Hadamard y por Ch.-J. de la Vallee Poussin en 1896. Se trata deunos de los grandes resultados en Teorıa de Numeros. Una demostracion puede versetambien en el texto de H. E. Rose ([Ro, 94], capıtulos 12 y 13).Comencemos con un poco de notacion :

Notacion 2.3.1. Dadas dos funciones f, g : R −→ R, escribiremos f ∈ θ(g)cuando

limx→∞f(x)

g(x)= 1

Observese que f ∈ θ(g)⇐⇒ g ∈ θ(f).Definamos la funcion π : N −→ N dada por π(x) es el cardinal del conjuntode numeros primos p tales que 2 ≤ p ≤ x.

Teorema 2.3.9 (Teorema de los Numeros Primos). En las anteriores notaciones,

π ∈ θ( x

lnx

).

Mas aun, se tiene

π(x) ≥ x

lnx.

Observacion 2.3.10. Una descripcion mas precisa, nos dirıa: π ∈ θ(Li(x)) donde

Li(x) :=

∫ x

2

dt

lnt

2.3.2.2. Test de Primalidad. Se trata de un problema clasico tanto en Matemati-cas como en Informatica.

Problema 2.3.2 (PRIMES). Dado un numero natural n ∈ N, decidir si n es primo.

El algoritmo mas inmediato es el algoritmo conocido como Criba de Eratostenes. Elproblema es el tiempo necesario para ejecutarlo. Ası para decidir si un numero n esprimo hay que realizar

√n operaciones elementales (operaciones bit). Se dice que es un

algoritmo exponencial o ineficiente porque el numero de operaciones a realizar dependeesencialmente del numero n y no de su tamano que es log(n).

Se conocen algoritmos aleatorios (probabilistas eficientes en tiempo logO(1)(n)) desdemediados de los anos 70. Se conocen tambien como algoritmos Monte Carlo para testarcomposicion y son altamente eficaces en la practica. Su aparicin historica es debida alos tests de composicion en la clase RP como son:

El test de R. Solovay y V. Strassen de 1977 2.El test de M.O. Rabin y G. Miller de 1976–80 3)

Posteriormente se obtienen resultados eficientes en el trabajo de M. Agrawal, N. Kayaly N. Saxena 4 muestran un algoritmo polinomial (en P, es decir en tiempo O(log9(n))) para decidir si un numero natural dado es primo.El algoritmo subyacente se basa en la idea siguiente :

2R. Solovay, V. Strassen, A fast Monte Carlo test for primality, SIAM J. on Comput. 6 (1977)84–85.

3Los trabajos de referencia son:• G.L. Miller, Riemann’s hypothesis and tests for primality, J. Comput. Syst. Sci. 13 (1976) 300–

317.• M.O. Rabinm Probabilistic algorithms for testing primality, J. Number Theory 12 (1980) 128–138.

4M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena, PRIMES is in P, Annals of Math. 160 (2004), 781793.


Lema 2.3.11. Sea n ∈ N un nmero entero dado. Supongamos n > 2. Las siguientespropiedades son equivalentes :

(1). n ∈ N es un numero primo.(2). Para todo q, 1 ≤ q ≤ n− 1, se verifica :(

n

q

)= 0 mod p.

(3). Para cada a ∈ {0, . . . , p−1}, los siguientes polinomios son iguales en Z/pZ[X] :

Xp − a = (X − a)p en Z/pZ[X].

La clave de la prueba es la formulacion del item iii). Se trata de verificar esta propiedad(que no es sino una comparacion de coeficientes entre dos polinomios de grado p) y paratodos los valores a ∈ {0, . . . , p − 1}. Ası descrito el metodo propuesto por estos tresautores seguirıa siendo exponencial porque necesitarıamos testar todos los coeficientesde O(p) polinomios de grado p. El resultado principal de estos autores afirma que bastacon hacer la comparacion de O(log2p) polinomios ( solo valores pequeos de a) y que no

es necesario hacer una comparacion de todos los coeficientes, sino una cantidad logO(1)pinterpolaciones. No explicaremos mas detalles y orientamos al lector a la obra original,de sencilla lectura y, por ello, de gran creatividad.

2.3.2.3. Combinando el Teorema de Densidad de los Numero Primos y los Testsde Primalidad.

Proposicion 2.3.12. Dado un numero natural H ∈ N se pueden hallar numeros natu-rales positivos n1, . . . , nr verificando las siguientes propiedades:

(1). El numero de dıgitos (talla bit, numero de cifras) necesarios para representarel mas grande de estos numeros esta acotado por 2 log2(log2(H)).

(2). La cantidad de numeros r es, a lo sumo log(H).(3). Los numeros n1, . . . , nr son co–primos dos a dos.(4). Se verifica la siguiente desigualdad:

H ≤r∏i=1

ni.

EL numero de operaciones elementales (bit) necesarias para calcularlos esta acotado

por log22(H) log

O(1)2 (log2(H)).

Demostracion.– Elijamos un numero entero positivo k ∈ N. Por el Teorema de Den-sidad de los numeros primos, tenemos:

2k ≤ 22k

2k≤ π(22k).

Ademas, sean 2 := p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ p2k los numeros primos menores que 22k. Entonces,

22k ≤2k∏i=

pi.

Entonces, eligiendo k := log2(log2(H)), tenemos 2k = log2(H) numeros co–maximales,tales que su producto es mayor que el numero H dado. Mas aun, el numero primo pimas grande de esta lista, es de valor absoluto menor que 22k = log2

2(H) y, por tanto,su tamano es, a lo sumo, 2 log2(log2(H)). Aplicando los algoritmos (como el AKS deAgrawal, Kayan y Saxena) tengo que hacer 22k tests de primalidad y cada uno necesitaO(k9) operaciones bit. Lo que se puede hacer en tiempo polinomial. �

2.4. EL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS EN EL CASO R := k[X]. 39

2.3.2.4. La Estrategia Final. El resultado final serıa el siguiente:

Teorema 2.3.13. Aplicando tecnicas modulares al calculo del determinante podemosconcluir :El determinante de una matriz A ∈ Mn(Z) cuyos coeficientes tienen tamano (logarit-mo) acotado por h se puede calcular en tiempo

O(n4log2n(log n+ h)2).

La estrategia algorıtmica para evitar el crecimiento es la siguiente:

Input: A := (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(Z) y H tal que ||ai,j || ≤ H.Hallar (como el la Proposicion 2.3.12) numeros enteros n1, . . . , nr con r = 2(bn log(H)c+1) tales que

N :=∏ri=1 ni > 2Hn,

gcd(ni, nj) = 1, para todos i 6= j.

Comentario: El numero mas grande de esa lista es de tamano (numero de dıgitos)acotado por O(log2(n) + log2(log2(H))), es decir, son muy pequenos.

Hallar: di := det(A) mod ni, para cada i, 1 ≤ i ≤ r.Aplicando el Teorema Chino de los Restos, hallar

D mod N := Φ−1(d1 + (n1), d2 + (n2), . . . , dr + (nr)).

Aplicando el Lema 2.3.8 anterior:

Ouput: D ∈ Z

2.3.3. Secretos Compartidos. Una de las aplicaciones estandar del TeoremaChino de los Restos es el sistema de compartimentar la informacion llamado SecretosCompartidos (del ingles “secret sharing”) y que se usa, por ejemplo, en los cajerosautomaticos. Se trata de lo siguiente : se dispone de una informacion codificada en unnumero entero n ∈ N. Ahora se eligen r personas distintas, cada una de las cuales llevaasociado un modulo mi. Suponemos que los modulos mi y mj son dos a dos comaxima-les. Ahora se entrega a cada persona la informacion rem(n,mi). Para poder recuperarla informacion inicial es necesario que todas las personas esten dispuestas a aportar suinformacion y ejecutar el algoritmo subyacente al Teorema Chino de los Restos. Porejemplo, el cajero (la maquina) posee posee una parte del codigo de autorizacion deuna cuenta/tarjeta y el propietario de la tarjeta una segunda parte: su codigo personalPIN.

2.4. El teorema Chino de los Restos en el caso R := k[X].

Comenzamos igual que en el caso R = Z, recordando que k[X] es un dominio de idealesprincipales. Denotaremos por deg(f) el grado de un polinomio univariado. Diremos quedeg(f) = 0 si y solamente si f ∈ K \ {0}, es una constante no nula. Y asignaremosdeg(0) = −1.

Teorema 2.4.1. Si k es un cuerpo, el anillo k[X] es un dominio de integridad. Ademas,para cada ideal a de k[X], consideremos:

Na := {n ∈ N : ∃f ∈ a, deg(f) = n}.Si a 6= (0), Na 6= ∅ es un conjunto no vacıo de numeros naturales. Si a 6= (0), paracualquier f ∈ a tal que deg(f) = mınNa, se tiene

a = (f).

En particular, si mınNa = 0, a = k[X]. Y recıprocamente.


Demostracion.– La prueba es id’entica a la realizada en el caso de Z, usando elTeorema de la Division euclıdea (no en vano ambos anillos son dominios euclıdeos).Por recordarlo, supongamos a 6= (0) y, por tanto, Na 6= ∅. Sea f ∈ a tal que deg(f) =mınNa. Con ello tenemos (f) ⊆ a. De otro lado, sea g ∈ a. Aplicando la divisioneuclıdea, existiran q, r ∈ k[X] tales que

g = qf + r,

donde deg(r) ≤ deg(f) − 1. Como g ∈ a y qf ∈ (f) ⊆ a, entonces r = g − qf ∈ a. Sir 6= 0, entonces deg(r) ∈ Na y deg(r) < deg(f) = mınNa. Por tanto, necesraiamenter = 0 y g = qf ∈ (f). �

Teorema 2.4.2 (Identidad en Bezout en k[X], co–maximalidad). Sea f, g ∈ k[X]dos polinomios no nulos y sea h := gcd(f, g) su maximo comun divisor. Entonces,existen α, β ∈ k[X] tales que

h = αf + βg,

y, ademas, se verifica:

deg(α) ≤ deg(g)− 1, deg(β) ≤ deg(f)− 1.

En particular, dos polinomios univariados f y g definen ideales (f) y (g) en k[X] co–maximales si y solamente si su maximo comun divisor es 1.

Demostracion.– La demostracion es analoga al caso R = Z, aunque vamos a senalar lospequenos matices. Para empezar, el maximo comun divisor de dos polinomios f y g es,por definicion, cualquier generador h del ideal (f, g) = (f) + (g) Entonces, por obviasrazones, existen a, b ∈ k[X] tales que h = af + bg. Consideremos ahora α := rem(a, g),el resto de la division de a por g. Claramente, deg(α) ≤ deg(g) − 1 y consideremosa = qg + α para la cadena de igualdades siguientes:

h = af + bg = (qg + α)f + bg = αf + (qf + b)g.

Definamos β := qf + b ∈ k[X] y tenemos h = αf + βg. Ademas, recordemos que elgrado de un polinomio verifica:

deg(f · g) = deg(f) + deg(g), deg(f + g) ≤ max{deg(f), deg(g)}.

Tenemos, entonces que βg = h− αf , con o cual

deg(β) + deg(g) = deg(βg) = deg(h− αf) ≤ max{deg(h), deg(αf)},

Pero deg(h) ≤ deg(f) y

max{deg(h), deg(αf)} = max{deg(h), deg(α) + deg(f)} ≤ deg(α) + deg(f).

Por tanto, como deg(α) + deg(f) ≤ deg(g) + deg(f)− 1, hemos concluido:

deg(β) + deg(g) ≤ deg(f) + deg(g)− 1 =⇒ deg(β) ≤ deg(f)− 1.

�

2.4.1. Eliminacion Univariada Clasica. Una de las aplicaciones de la Iden-tidad de Bezout anterior son los tratamientos de Bezout, Sturm y Sylvester de la Eli-minacion Univariada clasica. Para interpretarla, consideremos K la clausura algebraicadekl cuerpo k de coeficientes. Se tiene el siguiente resultado clasico:

Lema 2.4.3. Dados dos polinomios f, g ∈ k[X] no nulos, son equivalentes:

(1). ∃ζ ∈ K, tal que f(ζ) = g(ζ) = 0(2). Si h es un maximo comun divisor de f y g, deg(h) ≥ 1.


Demostracion.– Para la primera implicacion, considerese que existe ζ ∈ K tal quef(ζ) = 0 y g(ζ) = 0. Consideremos el siguiente conjunto a ⊆ k[X] dado mediante:

a := {p(X) ∈ k[X] : p(ζ) = 0}.

Es sencillo comprobar que a es un ideal de k[X]. Ademas, no es el ideal nulo (i.e.a 6= (0)). La razon para esta ultima propiedad es que K es la clausura algebraicade k, luego ζ es algebraico sobre k lo que, en otras palabras, significa que existe unpolinomio no constante p ∈ k[X] tal que p(ζ) = 0. Como k[X] es un dominio de idealesprincipales, a = (h) es un ideal principal no nulo y distinto del total. El generador h esel polinomio mınimo de ζ sobre k o, con otras notaciones, h = Irrk(ζ) ∈ k[X]. Comof(ζ) = g(ζ) = 0, entonces, f, g ∈ a y, por tanto, h | f y h | g y h es no constante. Portanto, deg(gdc(f, g)) ≥ 1 y habremos terminado.Para la otra implicacion, se h = gcd(f, g) y supongamos deg(h) ≥ 1 (es decir, h no esconstante). Como K es un cuerpo algebraicamente cerrado, todo polinomio no constanteposee, al menos, una raız. Es decir, existe ζ ∈ K tal que h(ζ) = 0. Como h es el maximocomun divisor de f y g, h | f y h | g, luego f(ζ) = 0 y g(ζ) = 0 como indica lapropiedad (1). �

2.4.1.1. Mutiplicar por un polinomio. Consideremos el conjunto k[X]d formadopor los polinomios univariados de grado a lo sumo d, es decir, k[X] :=:= {f ∈ k[X] :deg(f) ≤ d}. Con las operaciones suma y producto por un escalar, tenemos que:

(k[X]d,+, ·k),

es un k−espacio vectorial de dimension d + 1. Una base ordenada es la dada por losmonomios {1, X,X2, . . . , Xd}. Ahora consideremos un polinomio no nulo f := amX

m+am−1X

m−1 + · · ·+ a1X + a0 y supongamos am 6= 0. Es claro que para cada polinomiog ∈ k[X]d, el polinomio fg es de grado d+m. Esto nos permite definir, una aplicacion

ρf : k[X]m −→ k[X]d+m,

dado mediante:

ρf (g) := fg.

Se tiene:

Proposicion 2.4.4. La aplicacion ρf : k[X]m −→ k[X]m+d es una aplicacion li-neal que, en las respectivas bases monomiales, viene dada por la matriz Sm+1(f) ∈M(d+m+1)×(m+1)(k) (i.e. m+d+1 filas y m+1 columnas), dada mediante la expresionsiguiente:

Sm+1(f) :=

a0 0 · · · 0a1 a0 · · · 0...

.... . .

...ad ad−1 · · · ad−m0 ad · · · ad−m+1

0 0 · · · ad−m+2...

.... . .

...0 0 · · · ad

.

Demostracion.– Supongamos que las coordenadas de un polinomio g ∈ k[X]m enla base monomial {1, X,X2, . . . , Xm} son dadas mediante la lista (z0, z1, . . . , zm). Enotras palabras, estamos diciendo que

g = z0 + z1X + z2X2 + · · ·+ zmX

m.

Ahora mutiplicamos

fg := c0 + c1X + c2X2 + · · · cm+dX

m+d,


dondeck :=

∑i+j=k

aizj .

Escrita esta expresion en forma matricial (suponiendo d ≥ m por simplicidad de laexpresion, tendremos:

a0 0 · · · 0a1 a0 · · · 0...

.... . .

...am am−1 · · · a0

am+1 am · · · a1...

.... . .

...ad ad−1 · · · ad−m0 ad · · · ad−m+1

0 0 · · · ad−m+2...

.... . .

...0 0 · · · ad

z0

z1

z2...zm

=

c0

c1...cmcm+1

...cdcd+1

cd+2...

cd+m

.

�

Teorema 2.4.5 (Resultante de Sylvester–Bezout). Sean f y g dos polinomiosen k[X] de grados respectivos n y m. Consideremos la matriz Sylv(f, g) ∈ Mn+m(k)(llamada matriz de Sylvester-Bezout de f y g) dada mediante:

Sylv(f, g) := (Sm(f) | Sn(g)) .

Son equivalentes:

(1). ∃ζ ∈ K, tal que f(ζ) = g(ζ) = 0(2). Si h es un maximo comun divisor de f y g, deg(h) ≥ 1.(3). El rango de la matriz de Sylvester es menor que n+m− 1,(4). El determinante Res(f, g) := det(Sylv(f, g)) = 0.

Demostracion.– Comencemos considerando la aplicacion lineal siguiente:

(2.4.1)Sf,g : k[X]m−1 × k[X]n−1 −→ k[X]n+m−1

(a, b) 7−→ af + bg.

Es claro que es una aplicacion lineal, que esta bien definida y, consideremos las basessiguientes:

En k[X]n+m la base monomial dada mediante Γ := {1, X,X2, . . . , Xn+m−1}En k[X]m−1 y en k[X]n−1 las respectivas bases monomiales. En el productok[X]m−1 × k[X]n−1 la base “producto” de las respectivas bases monomiales:

β := {(Xi, 0) : 0 ≤ i ≤ m− 1}⋃{(0, Xj) : 0 ≤ j ≤ n− 1}.

Observese que, en particular, los dos espacios vectoriales k[X]m−1×k[X]n−1 y k[X]n+m−1

tienen la misma dimension n + m. Ademas, la matriz de Sf,g (que es aplicacion li-neal) en las bases β y Γ es, exactamente, Sylv(f, g). Por tanto, concluimos que Sf,g esun isomorfismo si y solamente si Sylv(f, g) tienen rango n + m o, equivalentemente,det(Sylv(f, g)) 6= 0. En particular, si Sf,g es isomorfismo, el elemento 1 ∈ k[X]n+m−1

esta en la imagen Im(Sf,g). Esto ultimo significa solamente que 1 = af+bg y por tantotenemos probado ¬(3)⇒ ¬(2). En conclusion, tenemos las implicaciones :

(1)⇔ (2)⇒ (3)⇔ (4),

de las afirmaciones descritas en el enunciado. Queda por ver (3)⇒ (2). Para ello, supon-gamos que Sylv(f, g) no tiene rango maximo n+m. Entonces, Sf,g no es isomorfismo yexiste h ∈ k[X]n+m que no esta en la imagen de Sf,g. Veamos que, entonces, h 6∈ (f, g)


y habremos concluido que (f, g) = (f) + (g) 6= k[X], con lo que ambos ideales no sonco–maximales y gcd(f, g) no es una constante en k[X]. Supongamos que h 6∈ Im(Sf,g) ysupongamos que h ∈ (f, g). Entonces, existen a, b ∈ k[X] tales que h = af + bg. Ahoraaplicamos el mismo argumento usado en la prueba de la identidad de Bezout anterior.Elegimos α := rem(a, g) con deg(α) ≤ deg(g) − 1. Con lo cual α ∈ k[X]m−1. Sea q elcociente de la division de a por g y definamos β = qf + b. Tenemos

(2.4.2) h = af + bg = αf + (qf + b)g = αf + βg.

De nuevo, es facil probar que

deg(βg) ≤ max{deg(h), deg(α) + deg(f)} ≤ n+m− 1.

Por tanto, deg(β) ≤ n− 1 y β ∈ k[X]n−1. La identidad (2.4.2) significa h = αf + βg =Sf,g(α, β). Y, por tanto, llegarıamos a contradiccion, dado que h 6∈ Im(Sf,g). �

Corollario 2.4.6. El grado del maximo comun divisor de dos polinomios f y g es elgrado del polinomio de menor grado en Im(Sf,g).

Demostracion.– Es consecuencia inmediata de lo argumentado. �

2.4.2. El Teorema Chino de los Restos en R = k[X] y la Forma Canonicade Jordan. En la discusion anterior no hemos hecho intervenir el Teorema Chino delos Restos. Ahora vamos a intentar hacerlo, recuperando su formalismo original.

Teorema 2.4.7 (Teorema Chino de los Restos en k[X]). Sean dados f1, . . . , fr ∈k[X] polinomios de tal modo que gcd(fi, fj) = 1 para todo i 6= j. Entonces, la siguienteaplicacion es un isomorfismo de anillos:

(2.4.3)Φ : k[Z]/ (g) −→

∏ri=1 (k[X]/(fi))

x+ (g) 7−→ (x+ (f1), x+ (f2), . . . , x+ (fr)).

Ademas, Φ es isomrofismo de espacios vectoriales sobre k.

Demostracion.– De nuevo, es el enunciado exacto del Teorema Chino de los Restos deSecciones anteriores. �

2.4.2.1. El algebra k[X]/(f). Vamos a considerar f := Xn + an−1Xn−1 + · · · +

a1X+a0 ∈ k[X], un polinomio univariado que supondremos monico por simplicidad denuestra discusion. Consideremos el anillo cociente k[X]/(f). Se tienen las propiedadessiguientes:

Proposicion 2.4.8. Con las anteriores notations, se tiene:

(1). El anillo cociente k[X]/(f) es una k−espacio vectorial de dimension n sobrek.

(2). Una base de k[X]/(f) como k−espacio vecyorial es dada por las clases de labase monomial (tambien llamada base monomial) y descrita mediante:

β := {1 + (f), X + (f), X2 + (f), . . . , Xn−1 + (f)}.

(3). Dado X ∈ k[X], podemos definir la aplicacion:

ηX : k[X]/(f) −→ k[X]/(f)h+ (f) 7−→ Xh+ (f),

es un endomorfismo de k[X]/(f) como k−espacio vectorial. Mas aun, la ma-triz MX ∈ Mn(k), de ηX en la base β anterior, es, justamente, la matriz


companera de f , esto es,

MX := C(f) =

0 0 0 · · · −a0

1 0 0 · · · −a1

0 1 0 · · · −a2

0 0 1 · · · −a3...

.... . .

. . ....

0 0 0 · · · −an−1

.

La matriz MX se denomina el tensor de multiplicacion de la k−algebra k[X]/(f).(4). Dado g ∈ k[X], podemos definir la aplicacion:

ηg : k[X]/(f) −→ k[X]/(f)h+ (f) 7−→ gh+ (f),

es un endomorfismo de k[X]/(f) como k−espacio vectorial. Notese que dadosg1, g2 ∈ k[X] y λ ∈ k se tiene:

ηg1+g2 = ηg1 + ηg2 , ηg1·g2 = ηg1 ◦ ηg2 , ηλg1 = ληg1 .

A los endomorfismos ηg se les denomina homotecias de razon g sobre k[X]/(f).(5). En particular, la matriz Mg ∈Mn(k), de ηg en la base β anterior, es, justa-

mente,

Mg := g(MX) = g(C(f)).

Demostracion.– Todas son propiedades de mera comprobacion. En todo caso, lo esen-cial es observar que β es una base de k[X]/(f) como k−espacio vectorial. Esto esconsecuencia de dos hechos: de una parte, hay una biyeccion entre las clases de restosmodulo (f) y los restos de la division euclıdea por f . De otra parte, dado cualquierresto g resultado de dividir por f , tendremos que ese resto g tiene grado a lo sumon− 1, por tanto, tenemos una biyecci—on (que es isomorfismo de espacios vectoriales),entre

ϕ : k[X]n−1 −→ k[X]/(f)g 7−→ g + (f).

Verificar que ϕ es un isomorfismo de k−espacios vectoriales es un mero ejercicio decomprobaci—on usando la division euclıdea en k[X]. Por tanto, una base de k[X]/(f)se obtiene, a traves de ϕ, de la base monomial de k[X]n−1. Es decir, :

β := {ϕ(1), ϕ(X), ϕ(X2), . . . , ϕ(Xn−1)},

y esa es la base senalada.Verificar que la tgransformacion ηX es una aplicacion lineal (y, por ende, un endomor-fismo) sobre k[X]/(f) es un mero ejercicio de comprobacion. Para hallar la matriz MX ,basta con hallar las imagenes:

ηX(Xi + (f)) = Xi+1 + (f), 0 ≤ i ≤ n− 1,

y escribir sus coordenadas en la base β. Es claro que para 0 ≤ i ≤ n − 2, se tieneηX(Xi + (f)) = Xi+1 + (f) y sus coordendas son (0, 0, . . . , 1, 0 . . . , 0) (con el 1 en ellugar i+1) lo que se corresponde a las primeras n−1 columnas de la matriz companera.Para el caso i = n− 1 tenemos

ηX(Xn−1 + (f)) = Xn + (f) =n−1∑i=0

−ai(Xi + (f)),

lo que justifica la ultima columna de la matriz companera. Y, con esto, queda probadala propiedad (3).La propiedad (4) es de mera comprobacion a partir de las definciones de ηg1 y ηg2 .


Por ultimo, la propiedad (5) se sigue de las propiedades descritas en (4). Es decir, dadog ∈ k[X] un polonomio de grado m, dado por

g := bmXm + bm−1X

m−1 + · · ·+ b1X + b0,

tendremos que

ηg := bm(ηX)m + bm−1(ηX)m−1 + · · ·+ b1ηX + b0Idn,

con lo que la matriz correspondiente M : g sera:

Mg = bm(MX)m + bm−1(MX)m−1 + · · ·+ b1MX + b0Idn = g(MX),

como esta afimado en (5). �

Proposicion 2.4.9. Sea ζ ∈ k un elemento en un cuerpo k y consideremos el polinomiomonico f = (X − ζ)n. Consideremos el anillo cociente k[X]/(f). Se tiene:

(1). La siguiente coleccion es una base de k[X]/(f) como k− espacio vectorial, ala que llamaremos base monomial en ζ de k[X]/(f):

β(n)ζ := {1 + (f), (X − ζ) + (f), . . . , (X − ζ)n−1 + (f)}.

(2). La matriz en la base βζ de la homotecia ηX es, justamente, la caja de Jordande orden n y valor “propio” ζ. Es decir, la matriz J(ζ, n) ∈ Mn(k) dadamediante:

J(ζ, n) :=

ζ 0 0 · · · 0 01 ζ 0 · · · 0 00 1 ζ · · · 0 0...

.... . .

. . ....

0 0 0 · · · 1 ζ

.

Demostracion.– La demostracion de (1) mas “natural” pasa por usar el desarrollo deTaylor en ζ de los polinomios. Expresamos ese nocion del modo siguiente:Dado cualquier polinomio univariado g ∈ k[X], de grado n, existen elementos unicosa0, a1, . . . , an ∈ k tales que

g = an(X − ζ)n + an−1(X − ζ)n−1 + · · · a1(X − ζ) + a0.

Para ello, consideramos la siguiente transformacion en k[X]:

Tζ : k[X] −→ k[X]g 7−→ Tζ(g) := g(X + ζ).

Es claro que Tζ es un isomorfismo de anillos cuyo inverso es T−ζ . Mas aun, deg(Tζ(g)) =deg(g), para cualquier g ∈ k[X]. Ahora bien, si g es un polinomio de grado n, entoncesh(X) = Tζ(g) = g(X + ζ) es un polinomio de grado n en k[X]. Por tanto, existena0, . . . , an ∈ k tales que

h = anXn + · · · a1X + a0.

Por tanto,

g = T−ζ(h) = T−ζ(Tζ(g)) = an(X − ζ)n + · · ·+ a1(X − ζ) + a0,

y tenemos probada la afirmacion. La u8nicidad se sigue de la unicidad de los coeficientesde h = Tζ(g).En particular, para la afirmacion (1), los restos en k[X]/(f) se escriben de manera unica

como combinacion lineal de los elementos de la base β(n)ζ y tenemos que es sistema

generador. Dado que β(n)ζ es de cardinal n, y n es la dimension de k[X]/(f), tenemos


que es base.Para la afirmacion (2), observemos la siguiente cadena:

ηX (1 + (f)) = ((X − ζ) + (f)) + ζ (1 + (f)) = v2 + ζv1

ηX ((X − ζ) + (f)) =((X − ζ)2 + (f)

)+ ζ ((X − ζ) + (f)) = v3 + ζv2

ηX((X − ζ)2 + (f)

)=

((X − ζ)3 + (f)

)+ ζ

((X − ζ)2 + (f)

)= v4 + ζv3

......

ηX((X − ζ)n−1 + (f)

)= ((X − ζ)n + (f)) + ζ

((X − ζ)n−1 + (f)

)= 0 + ζvn−1,

donde hemos escrito β(n)ζ := {v1, v2, . . . , vn} y vi := (X − ζ)i−1 + (f), para 1 ≤ i ≤ n.

Esta cadena de igualdades justifica que la matriz de ζX en la base β(n)ζ sea jutsmante

la “caja” de Jordan J(ζ, n). �

Estamos ya en condiciones de justificar una primera interpretacion del Teorema Chinode los Restos en el caso de polinomios monicos que se descomponen completamentesobre un cuerpo k.

Proposicion 2.4.10. Sea f ∈ k[X] un polinomio monico de grado n y supongamos queexisten ζ1, . . . , ζr ∈ k, con ζi 6= ζj, y exponentes mi ∈ N, con mi ≥ 1, 1 ≤ i ≤ r, talesque:

f(X) :=

r∏i=1

(X − ζi)mi .

Consideremos:

Sea Φ : k[X]/(f) −→∏ri=1 (k[X]/(X − ζi)mi) el isomorfismo de anillos del

Teorema Chino de los Restos. Entonces, Φ es tambien un isomorfismo dek−espacios vectoriales.En k[X]/(f) la base monomial β := {1 + (f), X + (f), X2 + (f), . . . , Xn−1 +(f)}.En el espacio vectorial producto

∏ri=1 (k[X]/(X − ζi)mi), la base Γ inducida

por las bases β(mi)ζi

en cada uno de los espacios vectoriales k[X]/(X − ζi)mi.

Y sea MΦ la matriz del isomorfismo Φ en las bases β y Γ.

Entonces, se tiene:

C(f) := M−1Φ

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . .. . .

...0 0 · · · J(ζr,mr)

MΦ.

En paricular, C(f) posee forma cannica de Jordan, esta es unica (salvo permutacionde los bloques) y la matriz de cambio de base es la matriz del Teorema Chino de losRestos.

Demostracion.– Observse que si ζi 6= ζj , entonces, (X − ζi)k y (X − ζj)

s son co–

maximales para k, s ≥ 1. Por tanto, el hecho de ser Φ un isomorfismo se sigue delTeorema Chino de los Restos. De otro lado, tenemos el siguiente diagrama:

Φk[X]/(f) −→

∏ri=1 (k[X]/(X − ζi)mi)

ηX ↓ ↓∏ri=1 η

(i)X

k[X]/(f) −→∏ri=1 (k[X]/(X − ζi)mi)

Φ


Este diagrama es conmutativo, donde∏ri=1 η

(i)X es el endomorfismo dado mediante el

producto de los endomorfimos

η(i)X : k[X]/(X − ζi)mi −→ k[X]/(X − ζi)mi .

La conmutatividad del diagrama nos dice que

ηX = Φ−1 ◦

(r∏i=1

η(i)X

)◦ Φ.

Por lo visto anteriormente, MX = C(f) es la matrix de la homotecia ηX en la base β.

De otro lado, M(η(i)X ) = J(ζi,mi) es la matriz de η

(i)X cuando se considera la base β

(mi)ζi

en k[X]/(X − ζi)mi .

En particular, la matriz M(∏ri=1 η

(i)X ) en la base producto es la suma diagonal de las

matrices M(η(i)X ), es decir,

M(r∏i=1

η(i)X ) =

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . .. . .

...0 0 · · · J(ζr,mr)

.

Traduciendo la conmutatividad del diagrama a matrices, esto significa

M(ηX) = M(Φ)−1 ◦M

(r∏i=1

η(i)X

)◦M(Φ),

es decir

C(f) = M−1Φ

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . .. . .

...0 0 · · · J(ζr,mr)

MΦ,

que es la propiedad buscada. �

Observacion 2.4.11 (La forma canonica de Jordan). Retomando los cursos basicos

de Algebra Lineal, la anterior Proposicion nos dice que si el polinomio mınimo de unendomorfismo A se escinde completamente en un cuerpo, entonces, existe una unicaforma canonica de Jordan. La unicidad viene dada por los divisores de la forma (X−ζ)m

de los factores invariantes y las matrices de paso de la forma de Frobenius (sumadiagonal de matrices companeras) a la forma canonica de Jordan son las matrices delTeorema Chino de los Restos en bases adecuadas.

2.4.3. Teorıa del Endomorfismo y el Maximo Comun Divisor en k[X].Como aplicacion final del Teorema Chino de los Restos (al menos en esta parte delcurso), veremos como predecir el grado del maximo comun divisor de dos polinomiosusando Teorıa del Endomorfismo y sin acudir a la matriz de Sylvester de la EliminacionUnivariada Clasica. Comencemos con algunos resultados clasicos de Algebra Lineal.

Lema 2.4.12. Sea k un cuerpo, y sea K su clausura algebraica. Sea g ∈ k[X] un poli-nomio univariado. Tendremos las iguientes propiedades :

(1). Sea J(0,m) una caja de Jordan con valor propio 0 de tamano m×m. Entonces,Para todo k, 1 ≤ k ≤ m, se tiene :

J(0,m)k =

(0 0

Idm−k 0

),

donde Idm−k es la matriz identidad (m−k)×(m−k) y los 0’s representanmatrices rectangulares de tamano apropiado.


Para todo k ≥ m, se tiene :

J(0,m)k = 0.

(2). Si J(ζ,m) es una caja de Jordan de orden m y valor propio ζ ∈ K y denotamospor ordζ(g) como el maximo numero natural k ∈ N tal que (X − ζ)k | g enK[X], entonces, tenemos

rankg(J(ζ,m)) = max{0,m− ordζ(g)}.

Demostracion.– Las propiedades descritas en (1) son las propiedades habituales de lasmatrices nilpotentes, esto es, de las matrices tales que existe una potencia que se anula.Mas aun, son propiedades de las cajas de Jordan de valor propio 0. Para la propiedad(2), observes que ha de existir h ∈ K[X] un polinomio tal que g = h(X)(X−ζ)k, donde:

h(ζ) 6= 0,k = ordζ(g).

Ahora, observamos que

g(J(ζ,m)) = h(J(ζ,m))(J(ζ,m)− ζIdm)k,

Observese que

h(J(ζ,m)) =

h(ζ) 0 0 · · · 0∗ h(ζ) 0 · · · 0∗ ∗ h(ζ) · · · 0...

......

. . ....

∗ ∗ ∗ · · · h(ζ)

,

donde ∗ denota un elemento de K cuyo valor no nos ocupa. En otras palabras, h(J(ζ,m))es una matriz triangular inferior con el valor h(ζ) en la diagonal principal, Como h(η) 6=0, entonces, es una matriz regular y, por tanto, el rango de g(J(ζ,m)) es igual al rangode ma matriz (J(ζ,m)− ζIdm)k. Ahora observemos que

(J(ζ,m)− ζIdm)k = (J(0,m))k.

Luego el rango de g(J(ζ,m)) es igual a m − k si m ≥ k y 0 en caso contrario. esto eslo que se indica en el enunciado del Lema. �

Proposicion 2.4.13 (Grado del maximo comun divisor de dos polinomios).Dados dos polinomiso f, g ∈ k[X] supongamos que f es monico. Entonces, el grado ddel maximo comun divisor h de f y g satisface:

deg(f) = rank(g(C(f)) + deg(h),

donde C(f) es la matriz companera de f .

Demostracion.– En primer lugar, podemos suponer que existen ζ1, . . . , ζr ∈ K, conζi 6= ζj , cuando i 6= j, y existen m1, . . . ,mr ∈ N, con mi ≥ 1, 1 ≤ i ≤ r, tales que

f(X) :=r∏i=1

(X − ζi)mi .

En particular tenemos∑r

i=1mi = deg(f) = m. Gracias al Teorema Chino de los Restospodemos suponer que existe una matriz regular P con coordenadas en K tal que

C(f) = P−1

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . . · · ·...

0 0 · · · J(ζr,mr)

P.


Entonces,

g(C(f)) = P−1

g(J(ζ1,m1)) 0 · · · 0

0 g(J(ζ2,m2)) · · · 0...

. . . · · ·...

0 0 · · · g(J(ζr,mr))

P.

Como P es una matriz regular, el rango de la matriz g(C(f)) viene dado por:

rank(g(C(f)) = rank

g(J(ζ1,m1)) 0 · · · 0

0 g(J(ζ2,m2)) · · · 0...

. . . · · ·...

0 0 · · · g(J(ζr,mr))

=r∑i=1

rank(g(J(ζi,mi))).

Ahora, usando el Lema anterior, tendremos:

rank(g(C(f))) =r∑i=1

max{0,mi − ordζi(g)}.

Escribamos νi := ordζi(g) por simplicidad notacional. Para concluir, probemos que lasuma descrita a la derecha es igual a deg(f)− deg(h) donde h es el gcd(f, g).Supongamos, entonces, que

g = p(X)

r∏i=1

(X − ζi)νi ,

donde p(ζi) 6= 0 para todo i y νi = ordζi(g). El maximo comun divisor de g y fvendra dado por la igualdad

h(X) :=

r∏i=1

(X − ζi)mın{mi,νi}.

Luego

deg(h) =

r∑i=1

mın{mi, νi}.

Pero, notese quemi −mın{mi, νi} = max{0,mi − νi}.

Por tanto,

deg(h) =r∑i=1

mın{mi, νi} =r∑i=1

mi −r∑i=1

max{0,mi − νi} = deg(f)− rank(g(C(f))),

como se pretende en el enunciado. �

Observacion 2.4.14. En el caso de la que la caracterıstica de los cuerpos k y K es cero,podemos describir con detalle la matriz g(J(ζ,m)) mediante las derivadas sucesivas

g(J(ζ,m)) =

g(ζ) 0 0 · · · 0g′(ζ) g(ζ) 0 · · · 0

12g′′(ζ) g′(ζ) g(ζ) · · · 0...

......

. . ....

1(m−1)!g

(m−1)(ζ) 1(m−2)!g

(m−2)(ζ) 1(m−3)!g

(m−3)(ζ) · · · g(ζ)

,

donde g′(α), g′′(α), . . . , g(m−1)(α) son las sucesivas derivadas.

Capıtulo 3

Nociones un poco mas avanzadas: localizacion, radicales,categorıas.

Contents

3.1. Introduccion 513.2. Local, Localizacion 513.2.1. Anillos Locales y Semi-locales: Germenes de Funciones 513.2.2. Localizacion 533.3. Ideal asociado a una variedad: radical y radical de Jacobson 553.3.1. Ideal de un Objeto Geometrico 553.3.2. Radical y Radical de Jacobson 563.4. Funciones vs Objetos 593.4.1. El Lenguaje de las Categorıas. 593.4.2. Categorıas 593.4.3. Functores y Equivalencias Naturales 603.4.4. Variacion de un primer tema clasico: El Teorema de Stone–Cech 623.4.5. Variacion de un segundo tema clasico: El Lema de Urysohn y el

Teorema de Extension de Tietze. 633.4.6. Variacion de un tercer tema clasico: Extension de funciones en

Variedades Diferenciables 633.5. Cuestiones y Problemas 64

3.1. Introduccion

En este Capıtulo avanzaremos un poco mas las nociones esenciales del curso. Nos aden-traremos en anillos locales, localizacion, radical y radical de Jacobson. Morivaremosa traves de ejemplos de anillos locales provenientes de la Geometrıa. Adicionalmente,intruciremos unas pocas expresiones al uso del Lenguaje de las Categorıas, fuertementedesconocido por los alumnos.

3.2. Local, Localizacion

3.2.1. Anillos Locales y Semi-locales: Germenes de Funciones.

Definicion 3.2.1 (Anillo local). Un anillo R se denomina local si posee un unicoideal maximal. Se suele decir (R,m) es un anillo local para distinguir el unico elementode Spm(R). Al cuerpo correspondiente κ(m) := R/m se le denomia cuerpo residual delanillo local.

Se denomina anillo semi–local a todo anillo con un numero finito de ideales maximales(i.e. ](Spm(R)) <∞).

Ejemplo 3.2.2. Como primer ejemplo de anillos locales tenemos los cuerpos. Ejemplosde anillos semilocales sonlos siguientes:Sea k = K un cuerpo algebraicamente cerrado. Sea f ∈ k[X] un polinomio no constantey sea R el anillo cociente R := k[X]/(f). Entonces R es un anillo semilocal: sus ideales

51

52 3. UN POCO MAS AVANZADAS

maximales son los ideales maximales de k[X] que contienen al polinomio f . De hecho,usando el Teorema Chino de los Restos anterior, si f factoriza mediante:

f :=

r∏l=1

(X − ζi)mi ,

los ideales maximales del anillo cociente R son los ideales de la forma (X − ζi)/(f) y elanillo cociente es local si y solamente si f = (X − ζi)mi .

El termino local viene, sin embargo, de la Geometrıa y del estudio “local” de funcionesy objetos geometricos. Usaremos la nocion de germen para explicar esa nocion local.

Ejemplo 3.2.3 (Germen de Conjunto en un punto). Dado un espacio topologico X yun punto p ∈ X, se define la siguiente relacion de equivalencia entre los subconjuntosque contienen a p:

A ∼p B ⇔ ∃U entorno de p tal que A ∩ U = B ∩ U.A las clases del conjunto cociente se les llama gemenes de subconjuntos de X en elpunto p. Denotaremos por Ap al germen del conjunto A ⊆ X en el punto p. El estudiolocal de un objeto geometrico A ⊆ X alrededor de un punto p consiste en el estudiodel germen Ap.

Ejemplo 3.2.4 (Germen de Funcion en un punto). Dado un espacio topologico X y unpunto p ∈ X, se define la siguiente relacion de equivalencia entre las funciones continuasdefinidas en algun entorno de a p:

f ∼p g ⇔ ∃U entorno de p tal que las restricciones f |U= g |U .

A las clases del conjunto cociente se les llama gemenes de funciones en el punto p.Denotaremos por fp al germen de una funcion f : U −→ K (K = R ∨ C) definida enalgun entorno del punto p. El estudio local de una f alrededor de un punto p consisteen el estudio del germen fp.

Ejemplo 3.2.5. Los siguientes son ejemplos de anillos locales:

C0p(X) := {fp : f es continua en algun entorno de p} es local y su unico

ideal maximal es

mp := I({p}) := {fp ∈ C0p(X) : f(p) = 0}.

C∞p (X) :: {fp : f es infinitamente diferenciable en algun entorno de p} y suunico ideal maximal es

mp := I({p}) := {fp ∈ C∞p (X) : f(p) = 0}.

Cωp : {fp : f es analıtica en algun entorno de p} y su unico ideal maximal es

mp := I({p}) := {fp ∈ Cωp : f(p) = 0}.

Hp : {fp : f es holomorfa en algun entorno de p} y su unico ideal maximales

mp := I({p}) := {fp ∈ Hp : f(p) = 0}.

Observacion 3.2.1. Como comentario general, el estudio local de funciones y objetosgeometricos, coincide con el estudio de anillos locales (de funciones, por ejemplo).

3.2. LOCAL, LOCALIZACION 53

Proposicion 3.2.2. (1). Sea R un anillo y m 6= (1) un ideal de R tal que

∀x ∈ R \m =⇒ x ∈ R∗,entonces R es anillo local de maximal m.

(2). Sea R un anillo y m un ideal maximal tal que cada elemento de 1 + m esunidad de R. Entonces, R es anillo local de maximal m.

Demostracion.– La primera de las afirmaciones es evidente. En cuanto a la segunda,supongamos sea x 6∈ m. Entonces, el ideal suma m + (x) ⊇ m. Como m es maximao yx 6∈ m, en anterior contenido es estricto y, por tanto, m + (x) = R. En particular, unopuede escribir 1 = λx + y con λ ∈ R e y ∈ m. Entonces, λx = 1 − y ∈ 1 + m, luegoλx ∈ R∗ y, por ende, x ∈ R∗. �

3.2.2. Localizacion. Sean R un anillo y M un R−modulo. Un subconjunto S ⊆R se dice sistema multiplicativo si verifica:

1 ∈ S, 0 6∈ S, y∀x, y ∈ S, xy ∈ S.

Ejemplo 3.2.6. (1). Un anillo R es un dominio de integridad si y solamente siR \ {(0)} es un sistema multiplicativo de R.

(2). Un ideal p ⊆/ R es primo si y solamente si R \ p es un sistema multiplicativo.(3). Un elemento f de un anillo R se denomina nilpotente si existe n ∈ N tal que

fn = 0. Dado un elemento no nilpotente f ∈ R de un anillo, el siguiente con-junto tambien es un sistema mutiplicativo: Sf := {1, f, f2, f3, . . . , fn, . . .} ={fn : n ∈ N}. Notese que f es nilpotente si y solamente si 0 ∈ Sf

Dado un sistema multiplicativo S en R, podemos definir una relacion de equivalenciasobre el conjunto R× S del modo siguiente:

(x, s) ∼ (x′, s′) ≡ ∃r ∈ S, s(s′x− sx′) = 0.

A las clases de equivalencia definidas por el elemento (x, s) se las denota mediante x/sy al conjunto cociente se le denota S−1R.

Proposicion 3.2.3 (Localizacion de anillos). Con las notaciones anteriores, el con-junto S−1R posee una estructura natural de anillo con las operaciones siguientes:

+ : S1R× S−1R −→ S−1R, · : S1R× S−1R −→ S−1R(x/s, x′/s′) 7−→ (s′x+ sx′)/ss′, (x/s, x′/s′) 7−→ xx′/ss′.

Al anillo S−1R se le denomina localizacion de R en S y se tiene un morfismo naturalde anillos dado mediante i : R −→ S−1R, i(x) = x/1 ∈ S−1R.

Demostracion.– Es un mero ejercicio de comprobacion. �

Ejemplo 3.2.7. Si R es un dominio de integridad y S := R \ {0}, entoncesS−1R es un cuerpo que se denomina cuerpo de fracciones de R y se sueledenotar por qf(R).Ademas del elemental ejemplo del paso de Z a Q (cuerpo de fracciones deR) podemos anadir el caso del dominio de integridad H(X) de las funcionesholomorfas complejas definidas en un abierto X ⊆ Cn. A su cuerpo de frac-ciones se le denota M(X) y se le denomina cuerpo de funciones meromorfasdefinidas en X.Si p ∈ Spec(R) es un ideal primo y S := R \ p, a la localizacion se la denotamediante Rp y se denomina localizacion de R en el primo p. Observese, porejemplo, que en el caso R = Z y p = pZ = (p) se puede usar cualquiera de lasdos notaciones sigientes ZpZ o Z(p), pero no se debe usar la notacion Zp, quees otro tipo de localizacion.


Si f ∈ R es un elemento que no es nilpotente en R, podemos considerar lalocalizacion de R por el sistema multiplicativo Sf = {fn : n ∈ N}. Al

anillo S−1f R se le denotara por Rf . Por ejemplo, en el caso R = Z, Zp es la

localizacion con denominadores en el conjunto {pn : n ∈ N}.

Observacion 3.2.4. Si R es un dominio de integridad y S es un sistema multiplicativode R, podemos siempre considerar los elementos de S−1R como elementos del cuerpode fracciones qf(R). En este caso, tendremos una cadena de inclusiones, cada uno delos cuales es subanillo del siguiente:

R ⊆ S−1R ⊆ qf(R).

Por ejemplo, los elementos de Zp son los numeros racionales cuyo denominador es unapotencia del primo p. Sin embargo, si R no es dominio de integridad alguno de esoscontenidos puede carecer de sentido. A modo de ejemplo, tomemos el anillo Z/6Z yconsideremos los dos primos que componen su espectro {(2), (3)}, con i := i+ 6Z. Enla localizacion (Z/6Z)(2) solo hay dos elementos. Compruebese.

Podemos dar una caracterizacion en forma de propiedad universal de la localizacion deanillos:

Proposicion 3.2.5 (Caracterizacion mediante propiedad Universal). Sea f : R −→ R′

un morfismo de anillos y S ⊆ R un sistema multiplicativamente cerrado de R. Entonces,si f(s) ∈ (R′)∗ es una unidad, para cada s ∈ S, existe un unico morfismo de anillosS−1f : S−1R −→ R′ tal que f = S−1f ◦ g.Ademas, la anterior propiedad universal caracteriza S−1R salvo isomorfismo de anillos.

Demostracion.– Omitimos la prueba dado que apenas si usaremos este enunciado. �

Dado un sistema multiplicativo S en un anillo R y M un R−modulo, podemos definiruna relacion de equivalencia sobre el conjunto m× S del modo siguiente:

(m, s) ∼ (m′, s′) ≡ ∃r ∈ S, s(s′m− sm′) = 0.

A las clases de equivalencia definidas por el elemento (m, s) se las denota mediante m/sy al conjunto cociente se le denota S−1M .

Proposicion 3.2.6 (Localizacion de Modulos). Con las notaciones anteriores, elconjunto S−1M posee una estructura natural de S−1R−modulo con las operacionessiguientes:

+ : S1M × S−1M −→ S−1M, ·S−1R : S1R× S−1M −→ S−1m(m/s,m′/s′) 7−→ (s′m+ sm′)/ss′, (x/s,m/s′) 7−→ xm/ss′.

Al S−1R−modulo S−1M se le denomina localizacion de M en S.

Demostracion.– Es un mero ejercicio de comprobacion. �

Observacion 3.2.7. Del mismo modo denotaremos por Mp a todo S−1M , donde Mes un R−modulo y S = R \ p es sistema multiplicativo, donde p ∈ Spec(R).

Ejemplo 3.2.8. Sea F := Zn un Z−modulo libre de rango finito, Podemos mostrar lasdiferentes localizaciones:

Tomando S := Z\{0}, la localizacion S−1F = Qn es el Q−espacio vectorial dedimension n. De hehco, todos los A−espacios vectoriales de dimension finitason localizaciones de la forma S−1F , donde F es un modulo libre sobre Z.Tomando Sp := Z \ p, las localizaciones S−1

p F = (Zp)n. Y se trata de un

modulo libre sobre un anillo local.Tomando Sf := {fn : n ∈ N}, las localizaciones S−1

f F = (Zf )n. Y se trata

de un modulo libre sobre un anillo Zf .

3.3. IDEAL ASOCIADO A UNA VARIEDAD: RADICAL Y RADICAL DE JACOBSON 55

3.3. Ideal asociado a una variedad: radical y radical de Jacobson

3.3.1. Ideal de un Objeto Geometrico.

Definicion 3.3.1 (Ideal asociado a un subconjunto). Con las notaciones anterio-res, sean X un espacio topologico R uno de los anillos de funciones introducidas en elCapıtulo anteriior. Considerermos F ⊆ X, definimos IR(F ) como el ideal en R dadopor:

IR(F ) := {f ∈ R : f(x) = 0, ∀x ∈ F}.

Observacion 3.3.1. Es obvio que es un ideal. Obviamente en cada caso hemos deespecificar el anillo sobre el que trabajamos. Los ideales respectivos son distintos, ob-viamente, aun cuando estemos en el caso de subanillos como, por ejemplo, en el casode la siguiente cadena de sub–anillos:

R[X1, . . . , Xn] ⊆ Cω(X) ⊆ C∞(X) ⊆ C0(X),

tendremos ası la cadena de los “respectivos” ideales;

IR[X1,...,Xn](F ) ⊆ ICω(X)(F ) ⊆ IC∞(X)(F ) ⊆ IC0(X)(F ),

que no coincidiran.Usualmente se omiten los sub–ındices (escribiremos I(F )) y se sobre–entiende el anillopor el contexto.

Proposicion 3.3.2. Con las anteriores notaciones, sean X el conjunto, R el anillo defunciones. Se verifican las propiedades siguientes:

(1). Si F ⊆ G son dos subconjuntos de X, I(G) ⊆ I(F ).(2). I(X) = 0, I(∅) = R.(3). I(

⋃i∈I Fi) =

⋂i∈I I(Fi).

(4). Ademas, la clausura en la topologıa de Zariski de cualquier subconjunto vienedada mediante:

FZ

= V (I(F )).

Demostracion.– La dos primeras afirmaciones son evidentes. Para la tercera, es claroque si f ∈ I(

⋃i∈I Fi), se anula en todos los puntos de esa union. Aplicando (1) obten-

dremos que f ∈ I(Fi), para todo i ∈ I. De otro lado, si f ∈⋂i∈I I(Fi), entonces, f se

anula en todos los Fi’s y, por tanto, se anula en la union⋃i∈I Fi.

La propiedad (4), aun siendo sencilla, tiene algun interes en su prueba. Recordemosla topologıa de Zariski, descrita en la Observacion 1.4.9 del Capıtulo anterior. En par-ticular, V (I(F )) es cerrado en esa topologıa y, claramente, F ⊆ V (I(F )). Por tanto,

tenemos un primer contenido FZ ⊆ V (I(F )). De otro lado, por la propia definicion de

la topologıa de Zariski, como FZ

es cerrado, debe existir un ideal a en R tal que:

(3.3.1) F ⊆ FZ = V (a) ⊆ V (I(F )).

Como F ⊆ V (a), para cada f ∈ a, f |F≡ 0. Pero, entonces, para cada f ∈ a, tenemosque f ∈ I(F ) y habremos probado que a ⊆ I(F ). Finalmente, usando la primera delas afirmaciones de la Proposicion 1.4.8 anterior, concluiremos V (I(F )) ⊆ V (a), por

cuanto FZ

= V (a) = V (I(F )) y habremos terminado. �

Corollario 3.3.3. Con las notaciones anteriores, para cualquier cerrado Zariski F ⊆X, se tiene

F = V (I(F )).


Observacion 3.3.4 (Nullstellensatze: ¿Diccionario Algebra–Geometrıa?). Losresultados anteriores nos permiten reescribir una relacion entre los objetos geometricosy algunos de los ideales del anillo de funciones considerado. Definimos

Z := {F ⊆ X : F es cerrado Zariski en X}.I := {a ⊆ R : a es un ideal de R}.

Y las transformaciones

V : I −→ Z, I : Z −→ Ia 7−→ V (a), F 7−→ IR(F ).

Se verifica que para todo F ∈ Z se tiene:

V (IR(F )) = F,

con lo que V ◦ IR = Id |Z es la identidad y se concluye que IR es inyectiva y que V essuprayectiva.A la caracterizacion de los ideales que estan en la imagen de IR se los conoce comoTeoremas de los Ceros o Nullstellensatze. Ası, D. Hilbert y L. Kronecker carac-terizaron los ideales de la imagen de IR en el caso R = K[X1, . . . , Xn], cuando K es uncuerpo algebraicamente cerrado. Se conoce como Nullstellensatz de Hilbert. Caracteri-zaciones para el caso real o el caso analıtico se salen de las potencialidades de un cursocomo este, aunque se pueden referenciar.

3.3.2. Radical y Radical de Jacobson. Recordemos que un elemento x de unanillo R se denomina nilpotente si existe una potencia suya que se hace nula.

Proposicion 3.3.5 (Definicion de Nilradical). El conjunto√

0 de todos los ele-mentos nilpotentes de un anillo R es un ideal de R y el anillo cociente R/

√0 no tiene

elementos nilpotentes no nulos. Diremos que un anillo es reducido si no posee elementosnilpotentes no nulos.

Demostracion.– Basta con probar que se portan bien para la suma y para el productocon elementos del anillo. Para ello, sean x, y ∈ R tales que xm = 0 e yn = 0, conn,m ∈ N y z ∈ R. Entonces, Tendremos que

(zy)m = 0,

y

(x+ y)n+m =

n+m∑i=0

cn+m,kxkyn+m−k = 0,

donde cn+m,k es o bien el numero combinatorio(n+mk

)o 0 dependiendo de la estructura

de grupo abeliano de R. �

Proposicion 3.3.6. Sea R un anillo, entonces√

0 :=⋂

p∈Spec(R)

p.

Demostracion.– Dado que 0 ∈ p para cada p ∈ Spec(R), entonces todo elementonilpotente x ∈

√0 verifica que existe n ∈ N, tal que xn ∈ p, para cada p ∈ Spec(R).

Para cada primo p, sea np ∈ N el mas pequeno exponente tal que xnp ∈ p. Entonces,xnp−1x ∈ p y, como p es primo y xnp−1 6∈ p, concluiremos que x ∈ p. Habremos probadoası el contenido

√0 ⊆

⋂p∈Spec(R) p.

Para el otro contenido, supongamos f ∈⋂

p∈Spec(R) p y supongamos que f no es nil-

potente. Consideremos el sistema multiplicativo Sf y la localizacion Rf . Entonces, Rfposee un elemento maximal m y consideremos q := mc la contraccion a R de m (recordarla Proposicion 1.4.15 del Capıtulo anterior). Es decir, sea

q := {x ∈ R : x/1 ∈ m, en Rf}.

3.3. IDEAL ASOCIADO A UNA VARIEDAD: RADICAL Y RADICAL DE JACOBSON 57

Como q es la contraccion de un ideal primo, entonces es un ideal primo de R. Pero,ademas, f 6∈ q. Porque si f ∈ q, entonces f/1 ∈ m y f/1 ∈ (Rf )∗ es una unidad(un inverso es 1/f ∈ Rf ) con lo que m contendrıa una unidad de Rf y no serıa idealmaximal. En consecuencia, tenemos que f 6∈ q y q ∈ Spec(R), con lo que si f noes nilpotente, no puede estar en la interseccion

⋂p∈Spec(R) p. Es decir, hemos probado√

0 ⊇⋂

p∈Spec(R) p y el enunciado. �

Definicion 3.3.2 (Radical de un ideal). Para un ideal a en un anillo R, denotaremospor√a (y lo denominaremos radical) al conjunto de los elementos f ∈ R tales que su

clase f + a es nilpotente en el anillo cociente R/a.

Proposicion 3.3.7. Se tiene la siguiente igualdad para todo ideal a de un anilo R:√a := {x ∈ R : ∃n ∈ N, xn ∈ a}.

Demostracion.– Es una mera reescritura de la Definicion anterior, teniendo en cuentala operacion definida en el cociente. �Recordando la Observacion 1.3.15 del anterior Capıtulo, tenemos una identificacionentre los ideales primos de R/a y los ideales primos de R que contienen a a:

{p ∈ Spec(R) : p ⊇ a} −→ Spec(R/a)

p 7−→ p/a.

Esto conduce a la siguiente caracterizacion (obvia) del radical de un ideal:

Corollario 3.3.8. Para cada ideal a de un anillo R se tiene:√a =

⋂{p ∈ Spec(R) : p ⊇ a}.

Definicion 3.3.3. Los ideales tales que a =√a se denominan ideales radicales del

anillo R.

Ejemplo 3.3.4. En el caso de los anillos R := Z,K[X],K[X], los ideales pri-mos son los ideales principales generados por elementos irreducibles (f). Enestos mismo casos, consideremos f ∈ R un elemento irreducible y considere-mos el ideal (fn) generado por una potencia de f . Entonces,

√(fn) = (f).

En dominios de ideales principales, si f := pn11 · · · pnr

r es la descomposicion

de f como producto de irreducibles, se tiene√

(f) = (p1 · · · pr) es el idealgenerado por el producto de los factores primos de f elevados todos a potencia1. En particular, un ideal (f) es radical en un dominio de ideales principalessi y solamente si es un producto de factores irreducibles de multiplicidad 1.En general, en un dominio de factorizacion unica R, los ideales principales sonradicales si y solamente si sus factores irreducibles tienen todos multiplicidad1.Todos los ideales de la forma IR(F ) descritos anteriormente son ideales radi-cales. Observese, ademas, que si a es un ideal de R, entonces,

√a ⊆ I(V (a)).

Ejemplo 3.3.5 (Discriminante de un polinomio). Sea k un cuerpo de caracterısticacero y f ∈ k[X] un polinomio. Definimos la derivada de f en la forma siguiente:Si f = Xn + an−1X

n−1 + · · · a1X + a0, definimos

f ′(X) := nXn−1 + (n− 1)an−1Xn−2 + · · ·+ 2a2X + a1 ∈ k[X].

Entonces, son equivalentes:

El ideal (f) es un ideal radical en k[X],La resultante Res(f, f ′) 6= 0,


El siguiente determinante (llamado discriminante del polinomio f) es no nula:

DiscX(f) := det(f ′(C(f)) 6= 0.

El endomorfismo C(f) es diagonalizable en alguna clausura algebraica K dek.

Dejaremos como ejercicio la demostracion de las relaciones siguientes:

Proposicion 3.3.9 (Propiedades del Radical). Sea a, b dos ideales de un anillo R.Se tiene:

(1).√√

a =√a,

(2).√ab =

√a ∩ b =

√a ∩√b,

(3).√a = R sii a = R,

(4).√a + b =

√√a +√b,

(5). Si p ∈ Spec(R),√pn = p, para todo n > 0.

Definicion 3.3.6 (Radical de Jacobson). Sea a un ideal de un anillo R. Llamaremosradical de Jacobson de a a la interseccion de todos los ideales maximales de R quecontienen a a. Es decir,

J√a :=

⋂{m ∈ Spm(R) : m ⊇ a}.

Se denomina radical de Jacobson del anillo R al radical de Jacobson del ideal (0).

La siguiente es una de las propiedades al uso:

Proposicion 3.3.10. Sea NR = J√

(0) el radical de Jacobson de un anillo R. Se tiene:

x ∈ NR ⇐⇒ 1− xy ∈ R∗, ∀y ∈ R.

Demostracion.– Recuerdese que R∗ son, precisamente, los elementos que no estan enningun ideal maximal de R. Por tanto, si x esta en todos los ideales maximales de R,entonces, tambien esta en todos los maximales de R cualquier elemento yx, para caday ∈ R. Finalmente, 1 − xy no puede estar en ningun maximal de R porque, en casocontrario, 1 estarıa en ese maximal. Luego hemos probado la implicacion ⇒.Para la otra implicacion, supongamos que 1 − xy ∈ R∗ para todo y ∈ R y sea m unideal maximal de R. Supongamos que x 6∈ m. Entonces, m+(x) = R, y existen m ∈ m ey ∈ R tales que 1 = m+xy. Pero esta ultima igualdad significarıa que u = 1−xy ∈ m y,al mismo tiempo, por hipotesis, 1−xy ∈ R∗, llegando a contradiccion con la existenciade un maximal m de R tal que x 6∈ m. �

Definicion 3.3.7 (Cociente de Ideales). Dados a, b dos ideales de un anillo R, suideal cociente esta definido mediante:

(a : b) := {x ∈ R : xb ⊆ a}.Al ideal cociente ((0) : b) se le denomina anulador del ideal b y se denota por Ann(b).En particular si D son los divisores de un anillo R, tendremos

D =⋃x 6=0

Ann((x)).

No probarenmos las siguiente propiedades del cociente que son dejadas como ejercicio:

Proposicion 3.3.11 (Propiedades del Cociente de Ideales). Sea a, b, c ideales deun anillo R. Se tiene:

(1). a ⊆ (a : b),(2). (a : b)b ⊆ a,

3.4. FUNCIONES VS OBJETOS 59

(3). ((a : b) : c) = (a : bc) = ((a : c) : b),(4). (∩iai : b) = ∩i(ai : b),(5). (a :

∑i bi) = ∩i(a : ai).

3.4. Funciones vs Objetos

3.4.1. El Lenguaje de las Categorıas. El lenguaje de las categorıas fue intro-ducido a mediados de de los anos 40 por S. Eilenberg y S. MacLane (cf. [EiMc, 45])como un intento de desarrollar un lenguaje comun a diversas ramas de la Matematica ysus interacciones, distinta de la Metamatematica impulsada por la Logica. UNa de lasderivaciones del lenguaje de las Categorıas fue el desarrollo del ALgebra Homologica.El Algebra Homlogica fue introducida por H. Poincare y D. Hilbert como un intentode interaccion entre topologıa y algebra, fundamentalmente, para disponer de gruposmas “manejables” que los grupos de homotopıa. Posteriormente, el Algebra Homologi-ca evoluciona aprovechandose del lenguaje de las categorıas, hasta convertirse en unaparte propia de la Matematica. Esta integracion de las dos ideologıas se produce en elclasico de H. Cartan y S. Eilenberg [CaEi, 56]. Un par de textos clasicos, varias vecesre–editados, que constituyen una Introduccion a estos temas son [Mc, 75] o [HiSt, 97].Aquı hacemos un resumen acelerado del lenguaje, sin entrar en mas detalles por faltade tiempo.

3.4.2. Categorıas.

Definicion 3.4.1 (Categorıas). Una categorıa es un par C := (ObjC ,HomC), donde:

ObjC es una clase formada por conjuntos, cuyos elementos X ∈ ObjC sedenominan objetocs de la categorıa CHomC es una aplicacion que a cada dos objetos X,Y ∈ ObjC les asigna unconjunto HomC(X,Y ) que se denomina morfismos de la categorıa C entrelos objetos X e Y . Ademas, dados tres objetos X,Y, Z ∈ ObjC , existe unatransformacion:

◦ : HomC(X,Y )×HomC(Y, Z) −→ HomC(X,Z)(f, g) 7−→ g ◦ f,

y que verifica las siguientes propiedades:(1). Para cada objeto X ∈ ObjC existe un morfismo IdX ∈ HomC(X,X) tal

que para cada f ∈ HomC(X,Y ) y para cada g ∈ HomC(Z, Y ), se verifica:

f ◦ IdX = f, Idx ◦ g = g.

(2). Dados 4 objetosX,Y, Z, T ∈ ObjC y dados tres morfismos f ∈ HomC(X,Y ),g ∈ HomC(Y,Z), h ∈ HomC(Z, T ), se tiene:

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

Ejemplo 3.4.2 (Ejemplos de Categorıas). Los ejemplos usados en anteriormentesirven para ilustrar la nocion de categorıas.

(1). La Categorıa de los Espacios Topologicos (T ): Los objetos ObjT sonlos espacios topologicos, los morfismos HomT (X,Y ) := C0(X,Y ) son las fun-ciones continuas entre X e Y .

(2). La Categorıa de los Espacios Vectoriales (EVK) : Los objetosObj son losespacios vectoriales sobre un cuerpoK fijado, los morfismosHomEVK (X,Y ) :=HomK(X,Y ) son las aplicaciones K−lineales entre X e Y .

(3). La Categorıa de las Variedades Diferenciables (M): Los objetos Objson las variedades diferenciables ( C∞, por ejemplo) y los morfismosHomC∞(X,Y ) :=C∞(X,Y ) son las funciones infinitamente diferenciables entre X e Y .


(4). La Categorıa de los Grupos (G): Los objetos Obj son los grupos, losmorfismos HomG(X,Y ) := Hom(X,Y ) son los morfismos de grupo entre Xe Y .

(5). La Categorıa de los Modulos sobre un anillo (MR): Los objetos ObjMR

son los R−modulos (R fijado), los morfismos HomMR(X,Y ) := HomR(X,Y )

son los morfismos de R−modulo entre X e Y .(6). La Categorıa de los Anillos (R): Los objetos Obj son los anillos conmuta-

tivos con unidad, los morfismos Hom(X,Y ) := Hom(X,Y ) son los morfismosde anillo entre X e Y .

(7). · · · los ejemplos son muchos.

El objetivo de la Teorıa de categorıas es detectar coincidencias entre diversas categorıasteniendo en cuenta solamente los comportamientos de objetos y morfismos. Comence-mos, definiendo algunos tipos elementales de morfismos.

Definicion 3.4.3 (Tipos elementales de Morfismos). Dados dos objetos X,Y enuna categorıa y un morfismo f ∈ HomC(X,Y ), definiremos las condiciones para que fsea

monomorfismo: Si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que g ◦ f = IdX ,epimorfismo: Si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que f ◦ g = IdY ,isomorfismo: Si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que g ◦ f = IdX , f ◦ g = IdY .

Ejemplos de monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos en las distintas categorıs sonconocidos. Si acaso, recordar que, en el caso de espacios topologicos, los isomorfismos sellaman homeomorfismos, mientras que en el caso de variedades diferenciables o analıti-cas, se habla de difeomorfismo y, por ejemplo, en el caso de espacios metricos, se tratanlas isometrıas. Son el mismo concepto aunque en distintas categorıas.

3.4.3. Functores y Equivalencias Naturales. Para poder identificar dos ca-tegorıas, el Algebra Homologica acude a la nocion de functor y de equivalencia natural(introducida por S. Eilenberg).

Definicion 3.4.4 (Functor Covariante). Sea C y D dos categorıas, con objetos ObjCy ObjD y morfismos HomC(X,Y ), HomD(X ′, Y ′). Un functor covariante F entre lascategorıas C y D es una transformacion con dos ingredientes:

Una aplicacion F : ObjC −→ ObjD, ypara cada par de objetos X,Y ∈ ObjD una aplicacion (que denotaremos conlas misma letra):

F : HomC(X,Y ) −→ HomD(F (X), F (Y )),

verificando las siguientes propiedades:

(1). Dados f ∈ HomC(X,Y ) y g ∈ HomC(Y,Z), se tiene:

F (g ◦ f) := F (g) ◦ F (f).

(2). Para cada objeto X ∈ ObjC , se tiene:

F (IdX) = IdF (X).

Definicion 3.4.5 (Functor Contravariante). Sea C y D dos categorıas, con objetosObjC y ObjD y morfismos HomC(X,Y ), HomD(X ′, Y ′). Un functor covariante F entrelas categorıas C y D es una transformacion con dos ingredientes:

Una aplicacion F : ObjC −→ ObjD,para cada par de objetos X,Y ∈ ObjD una aplicacion (que denotaremos conlas misma letra):

F : HomC(X,Y ) −→ HomD(F (Y ), F (X)),


verificando las siguientes propiedades:

(1). Dados f ∈ HomC(X,Y ) y g ∈ HomC(Y,Z), se tiene:

F (g ◦ f) := F (f) ◦ F (g).

(2). Para cada objeto X ∈ ObjC , se tiene:

F (IdX) = IdF (X).

Ejemplo 3.4.6 (Ejemplos de Functores). Los siguientes son ejemplos de Functoresentre distintas categorıas, con diversos significados:

(1). Consideremos las categorıas T de espacios topologicos y R de anillos. Consi-deremos una transformacion C0 del tipo siguiente:

A cada espacio topologico X ∈ ObjT se le asocia el objeto C0(X) :=HomT (X,R) := C0(X,R) de las funciones continuas de X en R.A cada par de espacios topologicos X,Y y a cada morfismo f ∈ C0(X,Y )(es decir, funcion contınua de X a Y , le asociamos el morfismo de anillos

C0(f) : C0(Y ) −→ C0(X),h 7−→ h ◦ f.

Claramente se trata de un functor contra–variante de la categorıa de espaciostopologicos en la categorıa de anillos.

(2). Consideremos un functor de la categorıa EVK en sı misma, que denotaremospor ∗ y lo llamaremos el paso al dual.

A cada espacio vectorial X ∈ ObjEVK se le asocia el objeto X∗ :=HomK(X,K), usualmente conocido como el espacio dual de X sobre K.A cada par de espacios vectoriales sobre K X,Y y a cada morfismof ∈ HomK(X,Y ) (es decir, a cada aplicacion K−lineal le asociamos laaplicacion K−lineal

f∗ : Y ∗ −→ X∗,h 7−→ h ◦ f.

Claramente es un functor contra-variante de la categorıa de espacio vectorialesen sı misma.

(3). Consideremos ahora la categorıa M de las variedades diferenciables y el fun-ctor C∞ de M en la categorıa R de anillos. Se define analogamente al casodel functor C0. Esto es

A cada variedad diferenciable X ∈ ObjM se le asocia el objeto C∞(X) :=HomM(X,R) := C∞(X,R) de las funciones infinitamente diferenciablesde X en R.A cada par de variedades diferenciables X,Y y a cada morfismo f ∈C∞(X,Y ) (es decir, funcion infinitamente diferebnciable de X a Y , leasociamos el morfismo de anillos

C∞(f) : C∞(Y ) −→ C∞(X),h 7−→ h ◦ f.

Claramente se trata de otro functor contra–variante.

Ejemplo 3.4.7 (El Bi–functor HomR(−,−)). A partir del R−modulo HomR(M,N)definimos dos functores uno co–variante y otro contravariante, que discutiremos masadelante. A la combinacion de los dos se le denomina, usualmente, bi–functorHomR(−,−).

(1). El functor co–variante HomR(M,−): Sea M un R−modulo fijo. Definimosel functor HomR(M,−) de la categorıa de R−modulos en sı misma del modosiguiente:

A cada R−modulo N le asociamos el R−modulo HomR(M,N).


A cada morfismo f : N −→ N ′ entre dos R−modulos, le asociamos

HomR(M,f) : HomR(M,N) −→ HomR(M,N ′),g 7−→ f ◦ g.

Se trata de un functor co–variante.(2). El functor contra–variante HomR(−, N): Fijemos ahora un R−moduloN .

Definimos el functor HomR(−, N) de la categorıa de R−modulos en sı mismadel modo siguiente:

A cada R−modulo M le asociamos el R−modulo HomR(M,N).A cada morfismo f : M −→M ′ entre dos R−modulos, le asociamos

HomR(f,N) : HomR(M ′, N) −→ HomR(M,N),h 7−→ h ◦ f.

Se trata de un functor contra–variante.

Definicion 3.4.8 (Equivalencia Natural entre Functores Covariantes). Sea C yD dos categorıas, con objetos ObjC y ObjD y morfismos HomC(X,Y ), HomD(X ′, Y ′).Dos functores covariantes F y G entre las categorıas C y D se dicen naturalementeequivalentes si para cada objeto X ∈ ObjC , existe un isomorfismo ϕX : F (X) −→ G(X)tal que dados X,Y ∈ ObjC y dado un morfismo cualquiera f ∈ HomC(X,Y ) se verifica:

ϕY ◦ F (f) = G(f) ◦ ϕX .

Graficamente tendremos que el siguiente diagrama es conmutativo:

F (X)ϕX−→ G(X)

F (f) ↓ ↓ G(f)F (Y ) −→ϕY G(Y )

Definicion 3.4.9 (Equivalencia Natural entre Functores Contravariantes). Sedefine de manera analoga al caso covariante, teniendo en cuenta la condicion de con-travariantes.

Definicion 3.4.10 (Equivalencia Natural entre Categorıas). Dos categorıas C y Dse dicen naturalmente equivalentes si existen functores (covariantes o contravariantes) Fentre C y D y G entre D y C tales que la composicion G◦F es naturalmente equivalentea la identidad IdC y F ◦G es naturalemnte equivalente a la identidad IdD.

3.4.4. Variacion de un primer tema clasico: El Teorema de Stone–Cech.Un ejemplo clasico es el famoso Teorema de Stone-Cech y otros autores1, que puedeconsultarse en [GiJe, 76] y se puede reescribir del modo siguiente:

Teorema 3.4.1 (Banach-Stone-Cech-Gelfand-Kolmogorov). Si X,Y son dos espaciostopologicos compactos de Hausdorff y f : X −→ Y es una funcion continua tal que C0(f)es isomorfismo de R−algebras entre C0(X) y C0(Y ), entonces f es un homeomorfismo.

En realidad el resultado en mas completo y afirma lo siguiente:

Corollario 3.4.2. Sea CT la categorıa de los espacios topologios compactos. Entonces,existe una equivalencia natural entre CT y la subcategorıa de anillos determinada porlas R−algebras de la forma C0(X), donde X es una espacio tpologico compacto.

1Veanse, por ejemplo, el trabajo reciente:H.-L. Gau, J.-S. Jeang, N.-C. Wong, An algebraic approach to the Banach–Stone Theorem for separatinglinear bijections. Tai. J. of Math. 6 (2002) 399–403.


Dicho de otor modo, ambas categorıas son equivalentes y lo mismo da estudiar los espa-cios topologicos compactos o esta subclase de la categorıa de anillos. Estees el propositode establecer equivalencias naturales: establecer conexiones entre teorıas matematicasque permitan transferir en ambos sentidos informacion, resultados y, por ende, conoci-miento.

3.4.5. Variacion de un segundo tema clasico: El Lema de Urysohn y elTeorema de Extension de Tietze.

Definicion 3.4.11 (Espacio Topologico Normal). Un espacio topologico (X, T ) se dicenormal si verifica la siguiente propiedad para sus cerrados: Dados dos cerrados F,G ∈T c, disjuntos, existen dos abiertos A,B ∈ T tales que F ⊆ A, G ⊆ B y A ∩B = ∅.

Ejemplo 3.4.12. Unos pocos ejemplos convencionales: espacios metricos, espacios com-pactos de Hausdorff. Mientras que Cn es normal con la topologıa usual y no lo es conla topologıa de Zariski.

Teorema 3.4.3 (Lema de Urysohn). Sea X un espacio topologico normal, dados F,Gdos cerrados en X, existe una funcion f ∈ C0(X) tal que f(X) ⊆ [0, 1] y se tiene:

f |F= 0, f |G= 1.

Este resultado es conocido como el primer resultado no trivial en Topologıa. Se puedeobviamente probar que un espacio topologico es normal si y solamente si verifica lapropiedad descrita en el Lema de Urysohn. Una de sus consecuencias mas famosas esel siguiente resultado:

Teorema 3.4.4 (Teorema de Extension de Tietze–Urysohn). Sea F un cerrado enun espacio topologico normal X. Entonces, para cada f ∈ C0(F ) existe una funcioncontinua ϕ ∈ C0(X) tal que

ϕ |F= f.

Una interpretacion casi inmediata del Teorema de Tietze (en nuestro contexto) es lasiguiente. Consideremos X un espacio topologico y sea F ⊆ X un cerrado. Tenemos unmorfismo de anillos dado por la restriccion:

ρ : C0(X) −→ C0(F ),

ϕ 7−→ ϕ |F .Claramente se trata de un morfismo de anillos y se tiene el siguiente enunciado equi-valente del Teorema de Tietze:

Teorema 3.4.5 (Teorema de Extension de Tietze–Urysohn). Con las anteriores nota-ciones, si X es un espacio topologico normal, entonces ρ es un epimorfismo de anillos,Ker(ρ) = I(F ) y se tiene el siguiente isomorfismo de anillos:

C0(F ) ∼= C0(X)/I(F ).

3.4.6. Variacion de un tercer tema clasico: Extension de funciones enVariedades Diferenciables.

Definicion 3.4.13 (Espacio topologico paracompacto). Un espacio topologico se de-nomina paracompacto si cada cubrimiento abierto posee un subcubrimiento localmentefinito. Es decir, si dado un cubrimiento {Ui : i ∈ I} por abiertos de X, existe unsubcubrimiento {Uj : j ∈ J}, J ⊆ I, tal que para x ∈ X, existe un entorno Vx de xen X tal que

] ({j ∈ J : Vx ∩ Uj 6= ∅}) <∞.


Definicion 3.4.14 (Particion de la Unidad). SeaX un espacio topologico, una particionde la unidad es una familia de funciones continuas {ϕi : i ∈ I} ⊆ C0(X) verificando:

Para cada x ∈ X, el cardinal de los i ∈ I tales que ϕi(x) 6= 0 es finito.Para cada x ∈ X, ∑

i∈Iϕi(x) = 1.

Se dice que una particion de la unidad {ϕi : i ∈ I} ⊆ C0(X) esta subordinada a uncubrimiento abierto {Ui : i ∈ I} de X si supp(ϕi) ⊆ Ui para cada i ∈ I2.

Teorema 3.4.6. Si X es un espacio topologico paracompacto, entonces posee particio-nes de la unidad y particiones de la unidad subordinadas a cubrimientos abiertos.

Las variedades diferenciables, cuando aparezcan en los ejemplos, se suponen siempreparacompactas.

Teorema 3.4.7. Dada una variedad diferenciable (paracompacta) M y un cubrimientoabierto de M , existe un subcubrimiento abierto localmente finito y una particion dela unidad {fi : i ∈ I} subordinada al subcubrimiento y tal que para cada i ∈ I,fi ∈ C∞(M).

Observacion 3.4.8. El Teorema 1.4.1 es consecuencia de la existencia de particionesde unidad en variedades paracompactas.

Definicion 3.4.15 (Funciones lisas en un subespacio). Sea F un cerrado en una va-riedad diferenciable M , una funcion continua f : F −→ R se dice que es C∞ sobreF si para cada x ∈ F , existen un entorno abierto Ux de x en M y una funcion C∞,ϕx : Ux −→ R tal que

ϕx |Ux∩F= f |F∩Ux .

Se denota por C∞(F ) al anillo de las funciones lisas definidas sobre F .

Corollario 3.4.9. Con las anteriores notaciones, para cualquier cerrado F en X, larestriccion:

ρ : C∞(M) −→ C∞(F )

ϕ 7−→ ϕ |F ,es un epimorfismo de anillos. Mas aun, el siguiente es un isomorfismo de anillos:

C∞(F ) ∼= C∞(M)/I(F ).


Problema 3.5.1. Probar las afirmaciones descritas en el Ejemplo 3.2.8

Problema 3.5.2. Probar las equivalencias del Ejemplo 3.3.5.

Problema 3.5.3. Discutir las equivalencias del Ejemplo 3.3.5 en el caso de que lacaracterıstica del cuerpo sea positiva.

Problema 3.5.4. Probar la equivalencia siguiente para un cuerpo k cualquiera y unendomorfismo M ∈Mn(k) con polinomio mınimo m(X) ∈ k[X].

El ideal generador por m en k[X] (conocido como el Anulador de la matrizM) es un ideal radical.

2Recuerdese que el soporte supp(f) de una funcion es la clausura del conjunto de puntos donde lafuncion no se anula.


El endomorfismo M es diagonalizable sobre alguna clausura algebraica K dek, es decir, existen matrices P ∈ GL(n,K) y valores ζ1, . . . , ζn ∈ K, tales que

PMP−1 =

ζ1 0 · · · 00 ζ2 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · ζn

.

Problema 3.5.5. Demostrar las afirmaciones expuestas en la Proposicion 3.3.9.

Problema 3.5.6 (La topologıa de Zariski en Spec(R)). Comencemos con un aspec-to notacional: Sea R un anillo, p ∈ Spec(R) y f ∈ R. Denotemos mediante f(p) la clasef+p ∈ R/p. Notese que es una notacion, aunque no debe entenderse f funcionalmente,pero nos permite definir los siguientes conjuntos. dado a un ideal de R, definamos

V (a) := {p ∈ Spec(R) : f(p) = 0 ∈ R/p}.Del mismo modo, dado F ⊆ Spec(R) podemos definir

I(F ) := {f ∈ R : f(p) = 0, ∀p ∈ F}.Probar las afirmaciones siguientes:

(1). V (a) = {p ∈ Spec(R) : p ⊇ a}.(2). I(F ) :=

⋂{p ∈ Spec(R) : p ⊇ (F )}, donde (F ) es el ideal geberado por F .

(3). Existe una unica topologıa en Spec(R) cuyos cerrados son los subconjuntosde la forma V (a) (llamada topologı de Zariski en el espectro Spec(R)).

(4). Un subconjunto F ⊆ Spec(R) es cerrado si y solamente si V (I(F )) = F .(5). Para cada ideal a de R,

√a = I(V (a)).

(6). Existe una biyeccion entre los ideales radicales de R y los cerrados de Spec(R)para la topologıa de Zariski.

(7). Dado un morfismo de anillos ϕ : R −→ T , la aplicacion

Spec(ϕ) : Spec(T ) −→ Spec(T )p 7−→ pc := ϕ−1(p),

es una aplicacion continua para las respectivas topologıas de Zariski. Concluirque Spec define un functor contravariante de la catefgorıa de anillos en laactegorıa de espacios topologicos.

Problema 3.5.7 (La topologıa de Zariski en el espectro maximal Spm(R)).Analizar cuales de las anteriores propiedades permanecen si cambiamos Spec(R) porSpm(R).

Problema 3.5.8 (Stone–Cech). Tratar de establecer, en el caso de que X sea unespacio topologico compacto, cual es la relacion existente entre X y el espectro maximalSpm(C0(X)) con la toplogıa de zariski. ¿Es un homemorfismo?.

Problema 3.5.9. Demostrar las afirmaciones expuestas en la Proposicion 3.3.11.

Problema 3.5.10. Constuir functores entre la categorıa de espacios topologicos trian-gulables T T y la categorıa de grupos a traves de grupo de homotopıa π1(X).

Capıtulo 4

Anillos y Modulos Noetherianos: Primeras propiedades

Contents

4.1. Introduccion 674.2. Diagramas Conmutativos, Complejos y Sucesiones Exactas 684.3. El Bi–functor HomR(−,−), localizacion, y propiedades locales 714.4. Anillos y Modulos Noetherianos 754.4.1. Condicion de cadena ascendente para submodulos e ideales 754.4.2. El Teorema de la Base de Hilbert 774.5. Descomposicion Primaria 794.5.1. Un par de resultados tecnios peliminares: NAK y otros 794.5.2. Descomposicon Primaria: Teorema de Lasker–Noether 814.6. Temas Opcionales 864.6.1. Snake Lemma 864.6.2. Libres, Proyectivos, Inyectivos y Planos (Opcional) 864.7. Cuestiones y Problemas 87

4.1. Introduccion

Aunque dedicaremos parte de este Capıtulo a anadir mas nociones elementales el objetofundamental es establecer los fundamentos sobre anillos y modulos noetherianos, elTeorema de la Base de Hilbert y la existencia de decomposicion primaria en anillosneotherianos (Teorema de Lasker–Noether). Dejaremos para el siguiente Capıtulo losaspectos de unicidad en la descomposicion primaria.El primer enunciado esencial sobre anillos noetherianos es el Teorema de la Base deHilbert (Basissatz)1. Nadie discute a Hilbert su prioridad en este sentido, pero es E.Noether quien establiza la nocion y le concede el valor y relevancia que posteriormentetendra. En aquella epoca no todo se publicaba y se sabe por documentos, notas aisladasde seminarios y conferencias que E. Neother usaba sistematicamente las condiciones decadena ascendente y descendente. En su trabajo de 19212 E. Noether pone en marcha elAlgebra Conmutativa e incorpora a ella las nociones de noetherianidad como nocionescentrales. La influencia de Noether en el futuro desarrollo del Algebra Conmutativa (dela que la podemos considerar como fundadora) se fundamentara a traves de su propiaobra, pero tambien a traves de muchos de sus alumnos como W. Krull3. Dedicaremos laSeccion 4.4 a definir y establecer las propiedades mas basicas de los anillos y modulosnoetherianos.No es menos desdenable el famoso Teorema de Lasker–Noether. Este resultado que ge-neraliza la factorizacion a traves de al descomposicion primaria de ideales, fue probado

1 D. Hilbert, Uber theorie der Algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), 473–534.2E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen 83 (1921) 24–66.3Veanse, por ejemplo, sus contribuciones en:

W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen10 (1929), 729744.W. Krull, Idealtheorie, Springer, 1935.

67

68 4. NOETHERIANOS

por el alumno de D. Hilbert (y famoso jugador de ajedrez, a quien le ineteresaban maslos tableros que las matematicas) E. Lasker en 1905 4 para anillos de polinomioas y ani-llos de series de potencias formales. Fue, sin embargo, E. Noether quien lo generalizo atodo anillo y modulo verificando las condiciones de cadena ascendente en su trabajo de1921 ya citado. Dedicaremos la Seccion 4.5 a establecer esta version de Noether de ladescomposicion primaria.

4.2. Diagramas Conmutativos, Complejos y Sucesiones Exactas

Comencemos con una nocion basica de Combinatoria.

Definicion 4.2.1 (Grafo orientado). Un grafo orientado es un par G := (V,E),donde V es un conjunto (cuyos elementos se denominan vertices o nodos) y E ⊆ V 2 esuna relacion (cuyos elementos se denominan aristas). Un camino en un grafo orientadoes una sucesion finita de vertices

ν1, . . . , νn,

de tal modo que (νi, νi+1) ∈ E. En ocasiones, el camino se describe mediante la notacion:

ν1 → ν2 → · · · → νn.

Un ciclo es un camino que comienza y termina en el mismo nodo.Un grafo con pesos en un conjunto F es un par (G,A), donde G := (V,E) es ungrafo y A : E −→ F es una aplicacion que asigna a cada arista (ν1, ν2) un elementoA(ν1, ν2) ∈ F .

Observacion 4.2.1. Usualmente, en Combinatoria, se tratan los grafos G := (V,E)para los que el conjunto de vertices V es finito. Sin embargo, esta restriccion es, aveces, poco enriquecedora.Por ejemplo, considerando V := N2 y E formado por los pares (µ1µ2) dados mediantela propiedad µ1 ≤deg−lex µ2 es un grafo orientado definido por una relacion de orden.Es decir, toda relacion de orden≤ sobre un conjunto V , define un grafo orientado (V,≤).Recıprocamente todo grafo orientado permite definir una relacion sobre el conjunto desus vertices que no siempre es relacion de orden salvo que anadamos bulces (self–lopps)de la forma (x, x) y que no haya ciclos con mas de un nodo.Otros ejemplos sintomaticos de grafos orientados son los sistemas dinamicos formadospor un par (M,f) donde M es una variedad y f : M −→M es un difeomorfismo. estopermite introducir un grafo (M,Gr(f)), donde Gr(f) es el grafo de f .

Definicion 4.2.2 (Diagrama en la categorıa de R−modulos). Un diagrama enla categorıa de R−modulos MR en un grafo con pesos (G,A), donde G = (V,E), losvertices en V son R−modulos y la asignacion A a las aristas, satisface:

∀(M,N) ∈ E, A(M,N) ∈ HomR(M,N).

Un diagrama conmutativo en la categorıa de R−modulos es un diagrama (G,A), dondeG = (V,E) si verifica los siguiente:dados dos caminos en el grafo:

N1 → N2 → · · · → Nn,

y

M1 →M2 → · · · →Mm,

con el mismo punto inicial y final (M1 = N1, Mm = Nn) y dadas las asignaciones demorfismos:

fi := A(Ni, Ni+1, 1 ≤ i ≤ n− 1, gj := A(Mj ,Mj+1), 1 ≤ j ≤ m− 1,

4 E. Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann. 60 (1905), 19116.

4.2. DIAGRAMAS CONMUTATIVOS, COMPLEJOS Y SUCESIONES EXACTAS 69

se tiene

fn−1 ◦ fn−2 ◦ · · · ◦ f1 = gm−1 ◦ gm−2 ◦ · · · ◦ g1,

donde ◦ quiere decir, como siempre, composicion.

Notacion 4.2.3. Usualmente se usan los sımbolos o � para representar la con-mutatividad de una diagrama. Asıa la propiedad que define la conmutatividad de undiagrama se puede escribir mediante el dibujo siguiente:

N2f2−−−−−→ · · ·

fn−3−−−−−−−−→ Nn−2fn−2−−−−−−−−→ Nn−1

↗ f1 fn−1 ↘M1 = N1 Mm = Nm

↘ g1 gm−1 ↗M2 −−−−−→g2

· · · −−−−−−−−→gn−3Mm−2 −−−−−−−−→gn−2

Mm−1

Ejemplo 4.2.4 (Diagrama Conmutativo de los Teoremas de Isomorfıa). Veamos algu-nos ejemplos sencillos de diagramas conmutativos asociados a los Teoremas de Isomorfıade R−modulos discutidos en Capıtulos anteriores.

Primer Teorema de Isomorfıa: Consideremos un morfismo de R−modulosf : M → N . Consideremos M/ker(f) el cociente por el nucleo, sea π : M −→M/ker(f) la proyeccion canonica y sea i : Imf(f) −→ N la inclusion de laimagen en N . El Primer Teorema de Isomorfıa afirma que existe un unico

isomorfismo f : M/ker(F ) −→ Im(f) que hace conmutativo el diagramasiguiente:

fM −→ N

π ↓ ↑ iM/ker(f) −→ Im(f)

f

Segundo Teorema de Isomorfıa: Consideramos N ⊆ L dos submodulos deM . Como L/N es submodulo de M/N tenemos tres proyecciones:

π1 : M −→M/N, π2 : M −→M/L, π2 : M/N −→ (M/N)/(L/N).

El Segundo Teorema de Isomorfıa afirma que existe un unico isomorfismoπ : M/L −→ (M/N)/(L/N) haciendo conmutativo el siguiente diagrama:

π1

M −→ M/Nπ2 ↓ ↓ π3

M/L −→ (M/N)/(L/N)π

Tercer Teorema de Isomorfıa: Consideramos N1, N2 dos submodulos deun R−modulo M . Tenemos los morfismos siguientes: i : N1 −→ N1 + N2

dado como la inclusion, tenemos que N1 ∩ N2 es submodulo de N1 y, portanto, tenemos la proyeccion π1 : N1 −→ N1/(N1 ∩N2) y, finalmente, N2 essubmodulo de N1 + N2 con lo que tenemos la proyeccion π2 : N1 + N1 −→(N1 + N2)/N2. El Tercer Teorema de Isomorfıa afirma que existe un unico

isomorfismo de R−modulos i : N1/(N1 ∩ N2) −→ (N1 + N2)/N2 haciendo

70 4. NOETHERIANOS

conmutativo el siguiente diagrama:

iN1 −→ N1 +N2

π1 ↓ ↓ π2

N1/(N1 ∩N2) −→ (N1 +N2)/N2

i

Definicion 4.2.5 (Complejos de R−modulos). Se denomina complejo de R−modu-los a todo diagrama dado como una secuencia (sub-indicada por Z o N, segun el caso)de modulos y morfismos:

C := · · ·Mdi−−−−−→

i Mdi+1−−−−−−−→

i+1 Mdi+2−−−−−−−→

i+2 · · · ,de tal modo que di+1 ◦ di (o, equivalentemente, Im(di) ⊆ ker(di+1)). A los morfismosdi se les denomina morfismos frontera5.

Definicion 4.2.6 (Sucesiones exactas de R−modulos). Las sucesiones exactas deR−modulos son los complejos de R−modulos:

C := · · ·Mdi−−−−−→

i Mdi+1−−−−−−−→

i+1 Mdi+2−−−−−−−→

i+2 · · · ,que verifican:

Im(di+1) = ker(di), ∀i.Se llaman sucesiones exactas cortas a las sucesiones exactas de la forma:

0 −→M′ f−−−−−→M

g−−−−→M ′′ −→ 0,

Donde 0 es el R−modulo nulo, y 0 −→M ′, M ′′ −→ 0, son los morfismo obvios (y, porello, no se representan).

Observacion 4.2.2 (Primeras Observaciones). Como primeros comentarios obvios,supongamos que tenemos una sucesion exacta de R−modulos:

0 −→M′ f−−−−−→M

g−−−−→M ′′ −→ 0,

Como es exacta y 0 −→ M ′ es el morfismo nulo 0, Im(0) = ker(f) = 0significa que necesariamente f ha de ser inyectiva. Algunos autores usan lanotacion M ′ ↪→MComo es exacta y M ′′ −→ 0 es el morfismo nulo 0, ker(0) = M ′′ = Im(g)significa que f ha de ser necesariamente suprayectiva. Algunos autores usanM �M ′′.Finalmente, es una forma distinta de escribir que

M/f(M ′) ∼= M ′′.

En el caso de espacios vectoriales de dimension finita, una sucesion exactacomo la anterior, implicarıa que M ∼= M ′ ⊕ M ′′. Esto, que es cierto paraespacios vectoriales, no es cierto para modulos. Baste con observar la s.e.c.siguiente:

0 −→ 2Zf

−−−−−→Zg

−−−−→Z/2Z −→ 0,

donde f es la inclusion y g es la proyeccion. Clarmente Z 6∼= 2Z ⊕ (Z/2Z),porque Z es libre de torsion y 2Z⊕ (Z/2Z) tiene torsion.

5La terminologıa viene de la Topologı Algebraica y los morfismos frontera inducidos por trian-gulaciones, ası como los terminos ciclo, borde para representar, respectivamente ker(di) e Im(di+1),permitiendo definir los grupos de homologıa Hi(X) := ker(di)/Im(di+1).

4.3. EL BI–FUNCTOR HomR(−,−), LOCALIZACION, Y PROPIEDADES LOCALES 71

Ejemplo 4.2.7 (Nucleo y Co-nucleo y s.e.c.). Dado un morfismo de R−modulosf : M −→ N , tenemos una sucesion exacta de la forma siguiente:

0 −→ ker(f)i−−−−−→M

f−−−−−→N

π−−−−→Coker(f) −→ 0,

donde i es la inclusion y π es la proyeccion obvia.

Proposicion 4.2.3. Dado un complejo de R−modulos

C := · · ·Mdi−−−−−→

i Mdi+1−−−−−−−→

i+1 Mdi+2−−−−−−−→

i+2 · · · ,entonces C es exacto si y solamente si para cada i, la sucesion exacta corta siguientees exacta:

Ci := 0 −→ ker(di)ki−−−−−−→M

di−−−−−→i ker(di+1) −→ 0,

donde ki es la inclusion canonica.

Demostracion.– Si la sucesion C es exacta, entonces Im(di) = ker(di+1) para cada i.Claramente, Im(ki) = ker(di) por definicion, ası que Ci es una sucesion exacta corta.El recıproco es igualmente obvio. �

Definicion 4.2.8 (Functores exactos). Un functor F de la categorıa de R−modulosMR en sı misma, se denomina exacto si transforma sucesiones exactas en sucesionesexactas.A la vista de la Proposicion anterior, un functor es exacto si y solamente si transformasucesiones exactas cortas en sucesiones exactas cortas.

Definicion 4.2.9 (Functor exacto a izquierda). Un functor F de la categorıa deR−modulosMR en sı misma, se denomina exacto si verifica las condiciones siguientes:

En el caso covariante, F transforma sucesiones exactas cortas

0 −→M ′ −→M −→M ′′ −→ 0

en sucesiones exactas

0 −→ F (M ′) −→ F (M) −→ F (M ′′).

En el caso contravariante, G transforma esa misma sucesion exacta corta enla sucesion exacta

0 −→ G(M ′′) −→ G(M) −→ G(M ′).

4.3. El Bi–functor HomR(−,−), localizacion, y propiedades locales

Proposicion 4.3.1. Dados R−modulos M y N , los functores HomR(M,−) y HomR(−, N)son exactos a izquierda.

Demostracion.– Hagamos la prueba para HomR(M,−) y dejamos el otro como Ejer-cicio. Consideremos una sucesion exacta de R−modulos:

0 −→ N′ f−−−−−→N

g−−−−→N ′′ −→ 0,

Tenemos la sucesion siguiente:

0 −→ HomR(M,N ′)HomR(M,f)

−−−−−−−−−−−−−−−−−→HomR(M,N)HomR(M, g)

−−−−−−−−−−−−−−−−→HomR(M,N ′′),

donde el morfismo que sale del modulo nulo es el obvio morfismo nulo. Tenemos, ademas,los morfismos:

HomR(M,f) : HomR(M,N ′) −→ HomR(M,N)h 7−→ f ◦ h.

72 4. NOETHERIANOS

yHomR(M, g) : HomR(M,N) −→ HomR(M,N ′′)

h 7−→ g ◦ h.Para ver queHomR(M,f) es inyectiva, sea h ∈ HomR(M,N ′) tal queHomR(M,f)(h) =0. Esto significa que ∀m ∈M , f ◦h(m) = f(h(m)) = 0. Como f es inyectiva, esto impli-ca h(m) = 0, ∀m ∈M . Con lo que HomR(M,f) es monomorfismo y tenemos exactituden el nodo HomR(M,N ′).De otro lado, observamos que HomR(M, g) ◦ HomR(M,f) = HomR(M, g ◦ f) =HomR(M, 0) = 0, con lo que

Im(HomR(M,f)) ⊆ ker(HomR(M, g)).

De otro lado, sea h ∈ HomR(M,N) tal que HomR(M, g)(h) = g ◦ h = 0. Por tanto,Im(h) ⊆ ker(g) = Im(f). Ademas, f era inyectiva, luego la siguiente es una aplicacionbien definida :

h0 : M −→ N ′

m 7−→ f−1(h(m)).

Es facil comprobar que es morfismo de R−modulos y mas facil aun verificar queHomR(M,f)(h0) = h. �

A partir de la localizacion tambien podemos definir un functor del modo siguiente: SeaS ⊆ R un sistema multiplicativo en un anillo R y sea f : M ′ −→M un morfismo entredos R−modulos. Definamos:

S−1 : S−1M ′ −→ S−1Mms 7−→ f(m)

s .

Se tiene:

Proposicion 4.3.2. El functor S−1 es un functor covariante exacto de la categorıa deR−modulos. En particular, si N y P son submodulos de un R−modulo M , se tiene:

S−1(N + P ) = S−1N + S−1P ,S−1(N ∩ P ) = S−1N ∩ S−1P ,Los S−1R−modulos S−1 (M/N) y S−1M/S−1N son isomorfos.

Demostracion.– Para probarlo, es evidente comprobar que S−1f es morfismo deS−1R−modulos y que S−1(g ◦ f) = S−1g ◦ S−1f , para cualesquiera dos morfismosf : M ′ −→ M , g : M −→ M ′′. Tambien es claro que S−1IdM = IdS−1M . Nos que-da solamente analizar la exactitud como functor. Para ello, consideremos una sucesionexacta de R−modulos:

0 −→M′ f−−−−−→M

g−−−−→M ′′ −→ 0,

Tenemos la sucesion siguiente:

0 −→ S−1M′ S−1f−−−−−−−−−→S−1M

S−1g−−−−−−−−→S−1M ′′) −→ 0,

Comencemos observando que ker(S−1f) = 0. Para ello, si ms ∈ S

−1M ′ es tal que

S−1f(m

s) =

f(m)

s= 0,

es porque existe t ∈ S tal que t(f(m) − s0) = 0, es decir, f(tm) = 0 y, como f esinyectiva, tm = t(m1− s0) = 0 o lo que es lo mismo m

s = 0 en M ′.

Seguidamente, es claro que 0 = S−1(g ◦ f) = S−1g ◦S−1f = 0, con lo que Im(S−1f) ⊆ker(S−1g). Supongamos ahora m

s ∈ ker(S−1g) ⊆ S−1M . Esto significa que

S−1g(m

s) =

g(m)

s= 0,

4.3. EL BI–FUNCTOR HomR(−,−), LOCALIZACION, Y PROPIEDADES LOCALES 73

es decir, existe t ∈ S ⊆ R tal que t(g(m)1 − s0) = tg(m) = 0. Por tanto, g(tm) = 0 ytm ∈ ker(g) = Im(f). Es decir, existe n ∈M ′ tal que f(n) = tm. Considero, entonces,nts ∈ S

−1M ′ (que tiene sentido porque t, s ∈ S y S es un sistema multiplicativamentecerrado). Tendremos:

S−1f(n

ts) =

f(n)

ts=tm

ts=m

s∈ Im(S−1f).

Con esto tenemos la exactitud en el nodo S−1M . Resulta muy sencillo probar queS−1g es un epimorfismo. Para ello, sea m′′

s ∈ S−1M ′′ un elemento cualquiera. Como

g es suprayectiva, existe m ∈ M tal que g(m) = m′′. Entonces, resulta claro que

S−1g(m′′

s ) = g(m)s = m′′

s ∈ Im(S−1g).

Las otras propiedades descritas en el enunciado son sencillas de probar (como S−1(N +P ) = S−1N + S−1P ) o son consecuencia de los Teoremas de Isomorfıa combinadoscon la exactitud como functor (como S−1(N ∩ P ) = S−1N ∩ S−1P o S−1 (M/N) ∼=S−1M/S−1N). �

Corollario 4.3.3. Similares propiedades se verifican para ideales en un anillo. Esdecir,

(1). Para cada ideal a de R, S−1a es ideal de S−1R. De hecho, S−1a es el idealde S−1R generado por {a1 : a ∈ a}. Notese que si S ∩ a 6= ∅, entonces

S−1a = S−1R.(2). Para dos ideales a, b de R, se tiene

S−1(a + b) = S−1a + S−1b,S−1(a ∩ b) = S−1a ∩ S−1b

(3). Hay una biyeccion entre los ideales primos de R que tienen interseccion vacıacon S y Spec(S−1R):

S−1 : {p ∈ Spec(R) : p ∩ S = ∅} −→ Spec(S−1R)p 7−→ S−1p.

(4). La anterior porpiedad no es, en general, cierta cuando se trata de idealesmaximales. De hecho, los ideales maximales de S−1R son las localizacionesS−1m, donde m ∈ Spec(R) es maximal entre los primos con interseccion vacıacon S (pero no necesariamente maximal en R).

Demostracion.– Las propiedades (1) y (2) son mera reescritura de la anterior Propo-

sicion. La propiedad (3) tiene un poco mas de interes. Tomemos xs ,

x′

s′ ∈ S−1R talesque

x

s

x′

s′=xx′

ss′=y

r∈ S−1p,

donde y ∈ p, r ∈ S. Entonces, existe y t ∈ S tal que t(xx′r − yss′) = 0. Como y ∈ p,tambien se tiene tyss′ ∈ p y, por tanto, trxx′ ∈ p. Pero tr ∈ S \ p, luego xx′ ∈ p y p esprimo en R. De esto concluimos que x ∈ p o x′ ∈ p, lo que, obviamente, implica

x

s∈ S−1p ∨ x

′

s′∈ S−1p,

y S−1p ∈ Spec(S−1R).Para la suprayectividad, se q ∈ Spec(S−1R) un ideal primo y sea p := qc ⊆ R sucontraccion. Obviamente, tenemos que p ∈ Spec(R), S−1p ⊆ q y, en particular, p∩S =∅. Comprobemos que el contenido es, de hecho, una igualdad. Para ello, sea y

s ∈ q.

Entonces, sys ∈ q (por ser ideal) e y ∈ qc = p. Con ello, es claro que S−1p = q y S−1 es

suprayectiva.En cuanto a la inyectividad, supongamos que p, p′ ∈ Spec(R) son tales que S−1p =S−1p′. Probemos, entonces, que p ⊆ p′ (el contenido recıproco es analogo). Dado x ∈ p,

se tiene que x1 ∈ S

−1p = S−1p′, por cuanto existen x′ ∈ p′, s′ ∈ S tales que x1 = x′

s′

74 4. NOETHERIANOS

o, segun la defincion, existe t ∈ S, tal que t(xs′ − x′) = 0. Pero tx′ ∈ p′, con lo queconcluimos txs = (ts)x ∈ p′ y ts ∈ S, ts 6∈ p′. Por tanto, x ∈ p′ y tenemos probado unode los contenidos. �

Observacion 4.3.4. Tambien se podrıa haber descrito la prueba anterior observandoel isormofismo de S−1R−modulos :

S−1(R/p) ∼= S−1R/S−1p,

que se da por la exactitud del functor S−1. Es facil verificar que se trata de un ismorfismode anillos. Es mas, como S ∩ p = ∅, si consideramos S := {s+ p : s ∈ S} tenemos unsistema multiplicativamente cerrado de R/p que es un dominio de integridad. Por tanto,

S−1

(R/p) esta contenido en el cuerpo de fracciones de R/p y es, tambien, dominio de

integridad. Finalmente, observemos que S−1

(R/p) es isomorfo, como anillo, a S−1(R/p),con lo que S−1p ∈ Spec(S−1R).

Corollario 4.3.5. Para cada ideal p ∈ Spec(R), el anillo Rp es un anillo local, cuyounico ideal maximal es el ideal generador por p en Rp y que denotaremos mediante pRp.Ademas, los ideales primos de Rp estan en biyeccion con los ideales primos de R con-tenidos en p.Por ultimo, el anillo cociente Rp/pRp es un cuerpo y se da el isomorfismo:

(Rp/pRp) ∼= qf(R/p),

donde qf(R/p) es el cuerpo de fracciones del dominio de integridad R/p.

Definicion 4.3.1 (Localizacion en un primo). Al anillo local Rp se le denominalocalizacion de R en p y, para cada R−modulo M , llamaremos al Rp− modulo Mp, lalocalizacion de M en p.

Se llaman propiedades locales a aquellas propiedades de los modulos que se satisfacen siy solamente si se satisfacen para cada localizacion. Son ejemplos de propiedades localeslas siguientes:

Proposicion 4.3.6 (Ser cero es una propiedad local). Las siguientes propiedadesson equivalentes para cada R−modulo M :

(1). M = 0,(2). Mp = 0, ∀p ∈ Spec(R),(3). Mm = 0, ∀m ∈ Spm(R).

Para un R−modulo M cualquiera, se define el soporte de M , Supp(M) del modo si-guiente:

Supp(M) := {p ∈ Spec(R) : Mp 6= 0}.

En particular, M 6= 0 si y solamente si Supp(M) 6= ∅.

Demostracion.– Probar (1) ⇒ (2) ⇒ (3) es obvio porque la localizacion es exacta ytodo maximal es primo. Para probar (3)⇒ (1), supongamos que M 6= 0, pero Mm = 0,∀m ∈ Spm(R). Si M 6= 0, entonces, ha de existir m ∈M , con m 6= 0. Consideremos elanulador de ese elemento no nulo: a := Ann(m) := {x ∈ R : xm = 0}. Se trata deun ideal de R tal que a ⊆/ R. En caso contrario, 1 ∈ a = Ann(m) y, m = 1m = 0. Portanto, existe un maximal m ∈ Spm(R) tal que a ⊆ m. Pero, por (3), Mm = 0, lo quesignifica m

1 = 0 y esto equivale a ∃t ∈ S = R \m tal que tm = 0. Luego t ∈ R \Ann(m)y tm = 0, llegando a contradiccion. �

4.4. ANILLOS Y MODULOS NOETHERIANOS 75

4.4. Anillos y Modulos Noetherianos

4.4.1. Condicion de cadena ascendente para submodulos e ideales. Enel Capıtulo 1 hicimos referencia al uso del Axioma de Zorn para probar que todo anilloposee, al menos, un ideal maximal. A partir de aquı, nos ocuparemos solamente deanillos y modulos noetherianos para los cuales basta con una version mas suave elAxioma de Zorn, conocido como el Axioma de Eleccion Dependiente.

Definicion 4.4.1 (Axioma de Eleccion Dependiente). Sea X un conjunto no vacıoy R ⊆ X ×X una relacion. Supongamos que R satisface la siguiente propiedad:

∀a ∈ X, ∃b ∈ X, aRb.

Entonces, existe una sucesion {xn : n ∈ N} ⊆ X de tal modo que xnRxn+1, ∀n ∈ N.

Proposicion 4.4.1 (Modulo Noetheriano). Sea R un anillo y M un R−modulo.Las siguientes propiedades son equivalentes:

(1). Todo submodulo de M es finitamente generado.(2). Los submodulos de M satisfacen las “condicion de cadena ascendente”, es

decir, dada una cadena ascendente de submodulos de M :

N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ · · · ⊆ Nm ⊆ · · · ,entonces existe un entero n ∈ N a partir del cual la cadena se establiza, esdecir, Nm = Nn, ∀m ≥ n.

(3). Todo conjunto no vacıo de submodulos de M posee elemento maximal para lainclusion.

Demostracion.–

(1)⇒ (2): Notese que si tenemos una cadena ascendente:

N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ · · · ⊆ Nm ⊆ · · · ,la union N :=

⋃i∈NNi ⊆ M es tambien un submodulo de M y, por (1),

sera finitamente generado. Una coleccion finita {n1, . . . , nr} de generadoresde N debe pertenecer a algun submodulo Nn de M (simplemente porque todosubconjunto finito de naturales posee elemento maximal). Entonces, N = Nn

y Nm = Nn, ∀m ≥ n.(2) ⇒ (3): Aquı usaremos el Axioma de Eleccion Dependiente del modo si-guiente. Sea X un subconjunto no vacıo de submodulos de M y supongamosque no posee elemento maximal. Entonces, verifica que

∀N ∈ X, ∃N ∈ X, N ⊆/ N ′.Tomando R =⊆/ como la relacion sobre X, concluiremos que existe una cadenaascendente:

N0 ⊆/ N1 ⊆/ N2 ⊆/ · · · ⊆/ Nm ⊆/ · · · ,contradiciendo (2).(3)⇒ (1): Sea N un submodulo de M . Consideremos el conjunto XN formadopor todos los submodulos L de N que son finitamente generados. Como (0)es submodulo, finitamente generado, y (0) ⊆ N , entonces (0) ∈ X 6= ∅. Portanto, X posee una elemento maximal para la inclusion. Sea N0 ese elementomaximal. Tenemos que N0 ⊆ N . Si N0 = N habremos concluido. Suponga-mos, por tanto, que N0 ⊆/ N . Entonces, existe n ∈ N \N0 y consideremos elsubmodulo N1 := N0 + 〈n〉 ⊆ N . Claramente N1 ∈ X y N0 ⊆/ N1, con lo quellegarıamos a contradiccion.

�

76 4. NOETHERIANOS

Observacion 4.4.2. Usualmente la prueba de la equivalencia entre estas tres propieda-des (esencialmente la prueba de (2)⇒ (3) o, equivalentemente, la prueba de (2)→ (1)se hace sin mostrar la relevancia del Axioma de Eleccion Dependiente. Este aspecto fuedestacado por W. Hodges, en su trabajo:W. Hodges, Six impossible rings, J. Algebra 31 (1974), 218-244.Este trabajo ha generado bastante controversia y nuestra eleccion simplifica por la vı deelegir un Axioma mas debil.

Identicamente a la anterior Proposicion, como todo anillo es R−modulo sobre sı mismoy sus submodulos son sus ideales, tenemos el correspondiente enunciado para anillos:

Proposicion 4.4.3 (Anillo Noetheriano). Sea R un anillo. Las siguientes propie-dades son equivalentes:

(1). Todo ideal de R es finitamente generado.(2). Los ideales de R satisfacen las “condicion de cadena ascendente”, es decir,

dada una cadena ascendente de ideales de R:

a0 ⊆ a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ am ⊆ · · · ,

entonces existe un entero n ∈ N a partir del cual la cadena se establiza, esdecir, am = an, ∀m ≥ n.

(3). Todo conjunto no vacıo de ideales de R posee elemento maximal para la in-clusion.

En particular, todo anillo que satisface una cualquiera de esas propiedades equivalentesposee al menos un ideal maximal.

Definicion 4.4.2. Se tienen las nociones siguientes:

(1). Un R−modulo M se llama noetheriano si satisface una cualquiera de laspropiedades equivalentes descritas en la Proposicion 4.4.1 anterior.

(2). Un anillo R se llama noetheriano si es noetheriano como modulo sobre sı mis-mo, esto es, si satisface una cualquiera de las propiedades equivalentes descri-tas en la Proposicion 4.4.3 anterior.

Ejemplo 4.4.3. Algunos ejemplos elementales e inmediatos:

Los cuerpos son, obviamente, anillos noetherianos.Los dominios de ideales principales son anillos noetherianos (todos sus idealesson finitamente generados).Los espacios vectoriales son finitamente generados si y solamente si son neot-herianos (todos sus subespacios son finitamente generados).Los grupos abelianos libres finitamente generados son noetherianos: sus submodu-los son libres de torsion (y, por tanto, libres) y finitamente generadosSubmodulos de modulos noetherianos son noetherianos porque los submodulosde un submodulo son submodulos del modulo original.Cocientes de modulos noetherianos son noetherianos: para verlo basta conusar la propiedad (3) de la Proposicion 4.4.1: Recuerdese que los submodulosde un cociente M/N estan biyectados con los submodulos de M que contienena N y que esa biyeccion preserva la inclusion.Cocientes de anillos noetherianos son tambien noetherianos.

Pero necesitamos de mecanismos adicionales para mostrar ejemplos mas aleborados deanillos y modulos noetherianos.

4.4. ANILLOS Y MODULOS NOETHERIANOS 77

4.4.2. El Teorema de la Base de Hilbert.

Proposicion 4.4.4. Dada una sucesion exacta corta de R−modulos:

f g0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0,

entonces, M es noetheriano si y solamente si M ′ y M ′′ son noetherianos.

Demostracion.– Es claro que si M es noetheriano, M ′ tambien lo es dado que esisomorfo a un submodulo de M . De otro lado, M ′′ es isomorfo a un cociente de Mpor un submodulo (de heho, M ′′ ∼= M/M ′). Por tanto, solo hay que probar la otraimplicacion.Comencemos tomando un submodulo N de M y sea g(N) submodulo de M ′′. ComoM ′′ es noetheriano, entonces, existen n1, . . . , np ∈ N tales que g(n1), . . . , g(np) generang(N) como submodulo de M ′′. De otro lado, f−1(N) es un submodulo de M ′. ComoM ′ es noetheriano, posee un conjunto finito mp+1, . . . ,ms de generadores y consideronp+1 = f(mp+1), . . . , ns := f(ms) elementos de N . Probemos que el conjunto X :={n1, . . . , np, np+1, . . . , ns} genera N como submodulo de M . Para ello, consideremos unelemento n ∈ N y el submodulo NX ⊆ N generado por X. Tenemos que g(n) ∈ g(N)y, por tanto, existen x1, . . . , xp ∈ R tales que

g(n) = x1g(n1) + · · ·+ xpg(np).

En particular, tendremos que g(n − (x1n1 + · · · + xpnp)) = 0, lo que significa quen − (x1n1 + · · · + xpnp) ∈ Keg(g) = Im(f). Pero n − (x1n1 + · · · + xpnp) ∈ N , luegoexiste y ∈ f−1(N) tal que f(y) = n− (x1n1 + · · ·+ xpnp). Pero mp+1, . . . ,ms generanf−1(N). Por tanto, existen xp+1, . . . , xs ∈ R tales que y = xp+1mp+1 + · · ·+xsms. Estoultimo implica que

n− (x1n1 + · · ·+ xpnp) = xp+1f(mp+1) + · · ·+ xsf(ms).

Esto ultimo tambien se resscribe:

n = x1n1 + · · ·+ xpnp + xp+1np+1 + · · ·+ xsns,

y queda probado que n ∈ NX , con lo que N = NX y M es noetheriano. �

Proposicion 4.4.5. Si R es un anillo noetheriano, entonces un R−modulo es noethe-riano si y solamente si es finitamente generado como R−modulo.

Demostracion.– Es claro que si M es un R−modulo noetheriano es finitamente gene-rado (todos sus submodulos lo son). Por tanto, solo hay que probar el recıproco.Ası, sea M un R−modulo finitamente generado, suponiendo que R es noetheriano. Su-pongamos que M es generado por n elementos. Probaremos, por induccion en n, queM es un R−modulo noetheriano.

Para el caso n = 1, si M esta generado por un solo elemento, entonces M es isomorfocomo R−modulo a un cociente R/a, donde a es un ideal de R. Entonces, aplicando laanterior proposicion, habremos concluido que M es un R−modulo noetheriano a travesde la sucesion exacta:

0 −→ a −→ R −→ R/a −→ 0.

Supongamos que el resultado es cierto para toso los R−modulos que se pueden generarcon a lo sumo n − 1 elementos. Sea {m1, . . . ,mn} un conjunto de elementos de Mque lo generan como R−modulo. Consideremos el submodulo M ′ de M generado por{m1, . . . ,Mn−1}. Por hipotesis inductiva, M ′ es noetheriano. Pero, ademas podemosconsiderar la sucesion exacta corta siguiente:

i π0 −→ M ′ −→ M −→ M/M ′ −→ 0,

78 4. NOETHERIANOS

donde i es la inclusion canonica y π es la proyeccion canonica. Ademas, es facil observarque M/M ′′ esta generado, como R−modulo, por la clase {xn + M ′}. Aplicando elcaso n = 1 tenemos que M/M ′ es tambien noetheriano y, finalmente, aplicando laProposicion 4.4.4 concluiremos que M ha de ser noetheriano tambien. �

Proposicion 4.4.6. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo R. Si R es neot-heriano, tambien es neotheriano su localizacion S−1R. En particular, para cada idealprimo p ∈ Spec(R) se un anillo noetheriano, la localizacion Rp es anillo local noethe-riano.

Demostracion.– Basta con recordar la relacion entre los ideales de S−1R y los idealesde R que no intersecan S. Ası, si q es un ideal de S−1R, su contraccion qc ⊆ R esun ideal de R y es finitamente generado cuando R es neotheriano. Si q esta generadopor {x1, . . . , xr}, entonces q estara generado por {x1/1, . . . , xr/1} y sera finitamentegenerado. �

Teorema 4.4.7 (Hilbert Basissatz). Si R es un anillo noetheriano, entonces R[X]tambien es un anillo noetheriano.

Demostracion.– Para probar este Teorema tomemos un ideal a en R[X] y consideremosel conjunto b ⊆ A siguiente:Un elemento a ∈ R estan en b si y solamente si existe un polinomio f := anX. +an−1X

n−1 + · · · + ao ∈ a tal que an = a. Es decir, el conjunto formado por todos loscoeficientes dorectores de elementos en a. Es facil comprobar que b es un ideal de R y,por ser R noetheriano, es finitamente generado. Consideremos {a1, . . . , ap} un conjuntofinito de generadores de b. Supongamos f1, . . . , fp ∈ a tales que el coeficiente directorde fi es ai. Es decir, para cada i, 1 ≤ i ≤ p se tiene:

fi := aiXni + hi,

con deg(hi) ≤ ni. Sea N := max{n1, . . . , np} el maximo de esos grados y consideremosla interseccion aN := a ∩ R[X]N , donde R[X]N son los polinomios en R[X] de gradoa lo sumo N . Claramente, R[X]N es un R−modulo finitamente generado y, por tanto,noetheriano. Ademas, a ∩ R[X]N es un submodulo de R[X]N , luego es finitamentegenerado. Consideremos {g1, . . . , gs} un conjunto de generadores de a ∩ R[X]N comoR−modulo. Entonces, el conjunto:

F := {f1, . . . , fp} ∪ {g1, . . . , g2},

generan a como ideal en R[X]. Denotemos por (F ) el ideal generador por F . Suponga-mos que existe h ∈ a un elemento que no esta en el ideal (F ). Supongamos, ademas,que h es de grado mınimo con esa propiedad. Si deg(h) ≤ N , entonces h ∈ a ∩R[X]N ,luego han de existir constantes λ1, . . . , λs ∈ R de tal modo que:

h = λ1g1 + · · ·+ λsgs ∈ (F ).

Por tanto, deg(h) > N . De otro lado, supongamos

h := bmXm + bm−1X

m−1 + · · ·+ b1X + b0,

siendo m el mınimo de los grados de los polinomios h ∈ a \ (F ). Es claro que bm ∈ bpor lo que han de existir θ1, . . . , θp ∈ R tales que

bm = θ1a1 + · · ·+ θpap.

Ahora consideremos el polinomio:

h1 := h−p∑i=1

θiXm−nifi.

4.5. DESCOMPOSICION PRIMARIA 79

Es claro que el polinomio h1 ∈ a. De otro lado, h1 6∈ (F ) pues, si h1 ∈ (F ), entonces,h ∈ (F ) y llegarıamos a contradiccion. Pero, ademas, es claro que el coeficiente de gradom de h1 es dado por:

bm − (θ1a1 + · · ·+ θpap) = 0.

En otras palabras, deg(h1) ≤ m − 1, contradiciendo la minimalidad de m. Por tanto,no puede existir ningun h ∈ a \ (F ) y a = (F ), concluyendo que a es finitamentegenerado. �

Corollario 4.4.8. Si R es un anillo noetheriano, tambien lo es el anillo de polinomiosen un numero finito de variables R[X1, . . . , Xn]. En particular, si R es noetherianotambin lo es toda R− algebra finitamente generada, esto es, todo anillo B de la formaR[X1, . . . , Xn]/a, donde a es un ideal de R[X1, . . . , Xn].

Demostracion.– Obvio por induccion. �

Ejemplo 4.4.4. Todos los anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpoK[X1, . . . , Xn] son noetherianos. Tambien lo son los cocientesK[X1, . . . , Xn]/aque se denominan K−algebras finitamente generadas.Todos los anillos de polinomios con coeficientes en dominios de ideales prin-cipales son noetherianos.No son noetherianos los anillos de polinomios en una cantidad infinita devariables K[Xn : n ∈ N].Todos los K[V ] , cuando V ⊆ Kn es una variedad algebraica afın, son anillosnoetherianos.Todas las localizaciones de anillos de polinomios K[X1, . . . , Xn]p, por idealesprimos p ∈ Spec(K[X1, . . . , Xn]) son anillos noetherianos. Los mismo con laslocalizaciones K[V ]p, que tambien son noetherianos.

Obviamente son noetherianos todos los modulos finitamente generados sobre esos ani-llos.

Ejemplo 4.4.5. Una de las conscuencias inmediatas del Teorema de la Base de Hilbertes que toda variedad algebraica es interseccion de un numero finito de hipersuperficies.En particualr, Si V ⊆ Kn es una variedad algebraica (un cerrado Zariski) dado medianteV (a), siendo a un ideal en k[X1, . . . , Xn], entonces a es finitamente generado y se tienea = (f1, . . . , fs) para un numero finito de elementos f1, . . . , fs ∈ a. A partir de lo dichoen la Proposicion 1.4.5 y la Observacion 1.4.6, V (a) = V (f1, . . . , fs) y, por tanto:

V = V (a) =

s⋃i=1

V (fi).

4.5. Descomposicion Primaria

4.5.1. Un par de resultados tecnios peliminares: NAK y otros. Comen-zaremos con unos resultados preliminares. El primero de ellos es un sencidllo resultado,conocido como el Lema de Nakayama 6 que, como bien indica [Ma, 80], es tambiendebido a Azumaya7 y a W. Krull. En los ejercicios daremos una version debida a M.F.Atiyah y basada solamente en el Teorema de Hamilton-Cayley para modulos finitamentegenerados sobre un anillo.

6T. Nakayama, A remark on finitely generated modules, Nagoya Mathematical Journal 3 (1951),139140.

7G. Azumaya, On maximally central algebras, Nagoya Mathematical Journal 2 (1951), 119150.

80 4. NOETHERIANOS

Lema 4.5.1 (NAK, Lema de Nakayama). Sea M un R−modulo finitamente gene-rado, N un submodulo de M y a un ideal de R contenido en el radical de JacobsonNR = J

√(0) de R. Entonces, si M = aM +N , entonces M = N .

En particular, si M = aM , entonces M = 0.

Demostracion.– En primer lugar, observese que basta con demostrar el enunciadopara el caso particular N = 0. Deducir el caso general del caso N = 0 es inmediatoconsiderando el modulo cociente M/N .Razonemos por reduccion al absurdo, supongamos M = aM , M es fintamente generado,M 6= 0 y sea n ∈ N el cardinal mınimo de un sistema de generadores de M . Noteseque este n existe porque N es un conjunto bien ordenado y que, por hipotesis, estamossuponiendo n > 1. Sea, entonces, {m1, . . . ,mn} un sistema generador de M comoR−modulo de cardinal minimal. Dado que M = aM , entonces, mi ∈ aM para cada i.En particular, para cada i, 1 ≤ i ≤ n, existiran xi,1, . . . , xi,n ∈ a tales que:

mi = xi,1m1 + · · ·+ xi,nmn.

Adicionalmente, esta igualdad se puede escribir mediante:

(1− xi,i)mi :=∑j 6=i

xi,jmj .

Ahora recordemos la Proposicion 3.3.10. Como xi,i ∈ a ⊆ J√

(0) estan en el radical deJacobson de R, tenemos que (1 − xi,i) ∈ R∗ es una unidad en R. Tomando, i = 1,concluiremos que

x1 = (1− x1,1)−1∑j 6=i

xi,jmj ,

con lo cual concluimos que x1 estan en el submodulo de M generado por {m2, . . . ,mn}.Por tanto, {m2, . . . ,m : n} es un sistema generador de M de cardinal n − 1 lo quecontradice la minimalidad de n. �

Una de las primeras, obvias, aplicaciones del Lema de Nakayama es mostrar que hayalgo muy similar a una base en el caso de modulos finitamente generados sobre un anillolocal.

Proposicion 4.5.2. Sea (R,m) un anillo local, M un R−modulo y M/mM visto comoR/m−espacio vectorial. Dados {x1, . . . , xs} elementos de M tales que sus clases modulomM generan M/mM como R/m−espacio vectorial, entonces {x1, . . . , xs} generan Mcomo R−modulo. En particular, el cardinal mınimo de sistemas de generadores de Mcomo R−modulo coincide con la dimension de M/mM como R/m−espacio vectorial.

Demostracion.– Dados {x1, . . . , xs} tales que sus clases modulo mM generan M/mMcomo R/m−espacio vectorial, sea N el submodulo de M generado por {x1, . . . , xs}.Claramente concluiremos que, dado que

M/ (N + mM) ∼= (M/mM) / (N + mM/mM) = 0,

entonces M = N + mM y, por el Lema de Nakayama. M = N . El resto de las afirma-ciones son obvias. �

Del siguiente resultado omitiremos la prueba que puede seguirse en [AtMc, 69] o

[Ra et al., 75] o en cualquier otro texto basico de Algebra Conmutativa:

Proposicion 4.5.3. Se tienen las dos propiedades siguientes para un anillo R:

(1). Sean p1, . . . , pn ∈ Spec(R) ideales primos y sea a un ideal propio contenidoen ∪ni=1pi. Entonces, existe i tal que a ⊆ pi.

(2). Sean a1, . . . , am ideales propios de R y sea p un ideal primo que contiene a∩mi=1ai. Entonces, p ⊆ ai para algun i.


(3). Sea a un ideal de R, b0 ∈ Spec(R) y sean b1, . . . , bn otros ideales de R. Sia ⊆ b0∪b1∪· · ·∪bn, entonces existe un subconjunto propio J ⊆ {0, 1, 2, . . . , n}tal que a ⊆

⋃j∈J bj.

Demostracion.– Ver las referencias indicadas. �

4.5.2. Descomposicon Primaria: Teorema de Lasker–Noether. Probare-mos aquı el Teorema de Lasker–Noether sobre la existencia de descomposicion primariaen anillos y modulos noetherianos. Comencemos con unas nociones preliminares.

Definicion 4.5.1. Sea M un R−modulo.

(1). Para cada elemento a ∈ R, denotaremos por ηa,M : M −→ M a la homote-cia de razon a sobre M , es decir, el endomorfismo dado mediante ηa(m) :=am, ∀m ∈M .

(2). Un endomorfismo de R−modulos, φ : M −→ M , se denomina nilpotente siexiste n ∈ N, n ≥ 1, tal que φn ≡ 0, es decir, si existe n ∈ N, n ≥ 1, tal quela composicion de φ consigo mismo n veces nos da el endomorfismo nulo.

(3). Un submodulo N de M se denomina primario si N 6= M y para cada a ∈ R,la homotecia ηa,M/N es o bien inyectiva o bien nilpotente.

(4). Un ideal q de R se dice primario si es primario como submodulo.

Proposicion 4.5.4. Se tienen las propiedades siguientes para un ideal q un ideal de R:

(1). La homotecia ηa,R/q es nilpotente si y solamente si a ∈ √q.(2). Un ideal q de R es primario si y solamente si se verifica la siguiente propiedad:

Para cada a ∈ R y para cada x ∈ R, si ax ∈ q, entonces o bien y ∈ q o bienexiste n ∈ N tal que an ∈ q.

Demostracion.–

Prueba de la afirmacion (1): Notese que ηa,R/q es nilpotente si y solamente siexiste un numero natural n ∈ N tal que ηna,R/q ≡ 0. Esto ultimo es equivalente

a la existencia de n ∈ N tal que anx+ q = ηna,R/q(x+ q) =, para todo x ∈ R.

Pero ηa,R/q es un endomorfismo de R/q−modulos. Por tanto,

ηa,R/q(x+ q) = (x+ q)ηa,R/q(1 + q).

En conclusion, ηa,R/q es nilpotente si y solamente si existe n ∈ N tal que

an + q = ηna,R/q(1 + q) = 0 + q.

Esto ultimo es equivalente a que exista n ∈ N tal que an ∈ q y tenemos laequivalencia de la afirmacion (1).Prueba de la afirmacion (1): Notese que ax ∈ q es equivalente a

ηa,R/q(x+ q) = 0 + q ∈ R/q.

Por tanto, la hipotesis ax ∈ q es equivalente a decir x + q ∈ ker(ηa,R/q).Entonces, ser primario es equivalente a la propiedad: para cada a ∈ R y paracada x ∈ R si x + q ∈ ker(ηa,R/q) y x 6∈ q (o, equivalentemente, ηa,R/q no esinyectiva, entonces ηa,R/q es nilpotente. El resto se sigue de la propiedad (1).

�

Proposicion 4.5.5. Si N es un submodulo primario de un R−modulo M , entonces elconjunto:

p := {a ∈ R : ηa,M/N no es inyectiva},es un ideal primo de R. Diremos que el submodulo N es p−primario.

82 4. NOETHERIANOS

Demostracion.– En primer lugar es facil ver que p es un ideal de R. Para ello, veamosuna de las propiedades. Observese que si a, b ∈ p, entonces, las homotecias ηa,M/N yηb,M/N son nilpotentes. Existiran exponentes r, s ∈ N, r, s ≥ 1 tales que

ηra,M/N ≡ 0, η2b,M/N ≡ 0.

Es claro que, en ese caso (ηa,M/N + ηb,M/N

)r+s ≡ 0.

Y ηa,M/N + ηb,M/N = ηa+b,M/N , con lo que a + b ∈ p. Veamos que, ademas, es unideal primo. Para ello, consideremos x, y ∈ R. Notese que ηxy,M/N = ηy,M/N ◦ηx,M/N =ηx,M/N ◦ηy,M/N es la composicion de endomorfismos. Si xy ∈ p y x 6∈ p, entonces ηx,M/N

es inyectiva y ηxy,M/N = ηy,M/N ◦ ηx,M/N no es inyectiva. Por tanto, si la composicionno es inyectiva, entonces ηy,M/N no puede ser inyectiva y, por tanto, y ∈ p, con lo quehabremos probado la primalidad de p. �

Proposicion 4.5.6. Sean N1, . . . , Ns submodulos p−primarios de un R−modulo M(es decir, primarios con respecto al mismo ideal primo de R). Entonces, la interseccion

N = N1 ∩ · · · ∩Ns

es un submodulo p−primario.

Demostracion.– Sea a ∈ p. Para cada i, 1 ≤ i ≤ s, la homotecia ηa,M/Ni: M/Ni −→

M/Ni es nilpotente. Entonces, para cada i, 1 ≤ i ≤ s, existen ni ∈ N, ni ≥ 1 talesηni

a,M/Ni≡ 0. Sea n0; = max{n1, . . . , ns}. Veamos que ηn0

a,M/N ≡ 0. Pues si m + N ∈M/N , tenemos que

ηn0

a,M/N (m+N) = an0m+N.

Pero esto significa que an0m = an0−nianim. Como ηni

a,M/Ni≡ 0, tendremos que anim ∈

Ni, para cada i, 1 ≤ i ≤ s. Por tanto, an0m ∈ Ni, para cada i, 1 ≤ i ≤ s y, portanto, an:0m ∈ N para cada m ∈M . Es decir, ηn0

a,M/N ≡ 0 o, equivalentemente, ηa,M/N

es nilpotente. Para concluir, veamos que si a 6∈ p, entonces ηa,M/N es necesariamenteinyectiva. Pues si no lo fuera es porque existe m ∈M , m 6∈ N tales que ηa,M/N (m+N) =am + N = 0. Es decir, si ηa,M/N no fuera inyectiva, entonces, existe m ∈ M tal quem 6∈ N y am ∈ N . Pero m 6∈ N implica que existe i, 1 ≤ i ≤ s, tal que m 6∈ Ni. Portanto, tendrıamos que existe m ∈M tal que m 6∈ Ni y am ∈ N ⊆ Ni. Es decir ηa,M/Ni

no es inyectiva contradiciendo el hecho de que a 6∈ p y Ni es p−primario. �

Corollario 4.5.7. Si q es un ideal primario de un anillo R, entonces su radicalp :=

√q es un ideal primo de R y diremos que q es un ideal p−primario. Mas aun

si q1, . . . , qs es una lista finita de ideales p−primarios (i.e.√qi = p, para todo i),

entonces la interseccionq = q1 ∩ · · · qs,

es tambien un ideal p−primario.

Demostracion.– Es consecuencia inmediata de la anterior Proposicion y del apartado(1) de la Proposicion 4.5.4 anterior. La afirmacion sobre la interseccion de primarios esconsecuencia inmediata de la Proposicion 4.5.6. �

Ejemplo 4.5.2. Los ideales primarios en dominios de ideales principales on las poten-cias de ideales primos. Ası el ideal 8Z es un ideal (2)−primario, pero el ideal (12) noes primario.Sin embargo, no es necesario que un ideal sea potencia de ideal primo para ser primario.Consideremos el ideal a := (X,Y 2) en el anillo de polinomios en dos variables R :=k[X,Y ]. Es un ideal primario (su radical es el ideal maximal m = (X,Y )) pero noes potencia de m. Para ver que es primario, observese que el cociente k[X,Y ]/a es un


K−espacio vectorial de dimension 2, con base {1+a, Y +a}. Ahora para cada elementof ∈ k[X,Y ] nos interesa su clase modulo a. La clase tiene la forma f +a = (a+ bY ) +ay tenemos dos caso: si a 6= 0, entonces ηf,R/a es inyectiva (y f + a es unidad) o a = 0

y η2f,R/a ≡ 0. Ver que a 6= mn, ∀n ∈ N, es un sencillo ejercicio pues X 6∈ mn, para cada

n ≥ 2 (con lo que a 6= mn, ∀n ≥ 2) y, de otro lado, Y 6∈ a (con lo que a 6= m).La idea de descomposicion primaria y del Teorema de Lasker–Noether es una gene-ralizacion de la factorizacion unica a cualquier anillo noetheriano. Pero necesitamosavanzar mas para interpretar el resultado y su significado geometrico.

Definicion 4.5.3 (Descomposicion Primaria). SeaM unR−modulo yN un submodu-lo de M . Una descomposicion primaria de N es una descripcion de N como interseccionfinita:

N := N1 ∩ . . . ∩Ns,

donde cada Ni es un sumodulo primario de M . Tenemos la lista finita de ideales primos{p1, . . . , ps} ⊆ Spec(R) de tal modo que para cada i, 1 ≤ i ≤ s, el submodulo Ni espi−primario. Decimos que la descomposicion primaria anterior es reducida (o, tambien,irredundante) si pi 6= pj , para cada i 6= j.

Definicion 4.5.4 (Submodulo Irreducible). Un submodulo N de un R−modulo Mse llama irreducible si verifica las dos propiedades siguientes:

(1). N 6= M ,(2). N no puede expresarse como una interseccion N = N1 ∩ N2, con N1, N2

submodulos de M y N ⊆/ Ni, 1 ≤ i ≤ 2.

Proposicion 4.5.8. Si M es un R−modulo noetheriano, todo submodulo irreduciblees primario.

Demostracion.– Supongamos que N es irreducible. Para cada a ∈ R consideremosla homotecia ηa,M/N : M/N −→ M/N . Consideremos la secuencia de submodulos deM/N dada por los nucleos de las potencias se este endomorfismo Kr := ker(ηra,M/N ).

Claramente tenemos:

(0) = K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Kr ⊆ · · · .Como M/N es noetheriano esa cadena se estabiliza y existe n ∈ N, n ≥ 1, tal queKr = Kn, para cada r ≥ n. Definamos φ := ηna,M/N : M/N −→M/N . Probaremos que

(4.5.1) ker(φ) ∩ Im(φ) = (0).

Es claro que si m+N ∈ Im(φ)∩ker(φ), entonces, m+N = φ(m′+N) = ηna,M/N (m′+N)

y 0 + N = φ(m + N) = ηna,M/N (m + N) = η2na,M/N (m′ + N). Por tanto, m′ + N ∈

ker(η2na,M/N ) = K2n = Kn = ker(ηna,M/N ). Por tanto, m+N = φ(m′+N) = ηna,M/N (m′+

N) = 0 +N y habremos probado la igualdad anterior.Sea ahora π : M −→ M/N la proyeccion canonica y consideremos los submodulos deM dados mediante:

N1 := π−1(ker(φ)), N2 := π−1(Im(φ)).

Claramente tenemos que N ⊆ N1 y N ⊆ N2. Ademas, la igualdad (4.5.1) anteriorimplica que N = N1∩N2. Ahora, como N es irreducible, tendremos que o bien N = N1

o bien N = N2.

Si N = N1: En este caso, N = π−1(ker(φ)), luego N1/N = 0 o, lo que es lomismo, ker(φ) = 0. Pero esto ultimo significa que φ es inyectiva y, por tanto,ηna,M/N es inyectiva, con n ≥ 1. Por tanto, si la composicion (varias veces) de

ηa,M/N es inyetiva, el propio endomorfismo ηa,M/N es inyectivo.

84 4. NOETHERIANOS

Si N = N2: En este caso, N = π−1(Im(φ)). Esto es lo mismo que decir queN2/N = 0 y que Im(φ) = 0. Por tanto, en ese caso, φ ≡ 0 es el endomorfismonulo. Pero φ = ηna,M/N , con n ≥ 1. Es decir, ηna,M/N ≡ 0 y el endomorfismo

ηa,M/N es nilpotente.

Hemos concluido que si N es irreducible, entonces para cada a ∈ R, ηa,M/N es o bieninyectivo o bien nilpotente y, por tanto, N es primario. �

Podemos, finalmente, enunciar el Teorema de Lasker–Noether.

Teorema 4.5.9 (Teorema de Lasker–Noether). Si M es un R−modulo noethe-riano, entonces todo submodulo propio posee una descomposicion primaria irredundan-te.

Demostracion.– Probaremos, primer lugar, la siguiente afirmacion:

(4.5.2)Para todo submodulo N de M , con N ⊆/ M ,N es interseccion finita de submodulos irreducibles de M .

Para probarlo, usaremos el tipo de argumento habitual con la condicion noetheriana.Consideremos el conjunto M formado por todos los submodulos propios de M que noson interseccion fnita de submodulos irreducibles de M . Supongamos, por reduccion alabsurdo, que M es no vacıo. Aplicando la definicion de noetherianos (cf. Proposicion4.4.1 anterior), entoncesM posee un elemento maximal N . Por ser N ∈M, N no puedeser irreducible. Si fuera irreducible, serıa interseccion finita de irreducibles y no podrıaestar enM. Como no es irreducible, entonces N es reducible y, por tanto, N = N1∩N2

donde N1, N2 son submodulos propios de M y N ⊆/ Ni, 1 ≤ i ≤ 2. Como N es maximaly N ⊆/ Ni, 1 ≤ i ≤ 2, podemos concluir que Ni 6∈ M, 1 ≤ i ≤ 2. Pero si N1 y N2 noestan enM es porque no verifican la condicion que defineM. Por tanto, tanto N1 comoN2 son interseccion finita de submodulos irreducibles de M . Pero, como N = N1 ∩N2,tambien concluirıamos que N es interseccion finita de submodulos irreducibles de Mcon lo que N 6∈ M y habremos llegado a contradiccion desde la hipotesis M 6= ∅.Por tanto, concluiremos M = ∅ y, por tanto, hemos probado la afirmacion descrita en(4.5.2) anterior.A partir de la Proposicion 4.5.8 anterior, como todo irreducible es primario, habremosprobado:

(4.5.3)Para todo submodulo N de M , con N ⊆/ M ,N es interseccion finita de submodulos primarios de M .

Nos queda por probar la existencia de descomposicion primaria irredundante de acuer-do con la Definicion 4.5.3 anterior. Para ello, sea N un submodulo propio de M yconsideremos el siguiente conjunto de numeros naturales:

NN := {s ∈ N : N = N1 ∩ . . . ∩Ns, Ni es primario, 1 ≤ i ≤ s}.

Por la afirmacion descrita en (4.5.3), tenemos que NN 6= ∅, con lo que existe un mınimor := mınNN . Tendremos una descomposicion primaria:

(4.5.4) N = N1 ∩ . . . ∩Nr,

donde supondremos que cada Ni es pi−primario, con pi ∈ Spec(R) un ideal primo,1 ≤ i ≤ r. Veamos que, en estas condiciones, pi 6= pj , para todo i 6= j. Si no fueraası, supongamos, sin perdida de la generalidad, que p1 = p2. Entonces, por la Propo-sicion 4.5.6, el submodulo N0 := N1 ∩N2 es tambien un submodulo primario de M ytendremos:

N = N0 ∩N3 ∩ . . . ∩Nr,

con lo que r − 1 ∈ NN , contradiciendo la minimalidad de r. Concluimos ası que,necesariamente, pi 6= pj , para todo i 6= j y habremos concluido que la descomposicion


primaria descrita en (4.5.4) es irredundante y, por tanto, queda probado el Teorema deLasker–Noether. �

Corollario 4.5.10. Sea R un anillo noetheriano y a ⊆/ R un ideal de R. Entonces,a posee descomposicion primaria irredudante. Es decir, existen q1, . . . , qs ideales de R,de tal modo que qi es pi− primario y pi ∈ Spec(R), verificando:

(1). a = q1 ∩ · · · ∩ q2,(2). pi 6= pj, para todo i 6= j.

En particular, en anillos noetherianos, el radical de todo ideal es una interseccion finitade primos, dado que

√a =√q1 ∩ · · · ∩

√qs = p1 ∩ · · · ∩ ps.

Observacion 4.5.11. En particular, todos los ideales radicales de anillos noetherianos(como k[X1, . . . , Xn]) son interseccion finita de ideales primos.

Observacion 4.5.12. El anterior resultado admite una interpretacion inmediata enel caso de dominios de ideales principales. Aunque las interpretaciones mas profundasseguiran en Capıtulos siguientes, dejemos aquı constancia de que el Teorema de Lasker–Noether implica la existencia de factorizacion en dominios de ideales principales. Esdecir, implica la siguiente afirmacion:

(4.5.5)

Si R es un dominio de ideales principales, para todo f ∈ R,existen u ∈ R∗, unidad; elementos primos f1, . . . , fs ∈ R,y numeros naturales n1, . . . , ns ∈ nN, con ni ≥ 1, para 1 ≤ i ≤ s, tales quef = ufn1

1 · · · fn2s .

Para demostrar esta afirmacion consideremos el ideal (f) de R que es neotherianoporque todos sus ideales son finitamente generados. Por el Teorema de Lasker–Noether,tendremos una descomposicion primaria irredundante

(f) := q1 ∩ · · · ∩ q2,

donde qi es pi−primario y pi 6= pj , para todo i 6= j. Como R es dominio de idealesprincipales, existira fi ∈ R elemento primo tal que (fi) = pi. De otro lado, qi = (gi)es pi−primario. Como

√qi = pi, concluiremos que qi = (fni

i ) para algun ni ≥ 1. Porel Teorema Chino de los Restos (cf. Teorema 2.2.2), como R es dominio de idealesprincipales, qi y qj son dos a dos comaximales. y, por tanto,

(f) := q1 ∩ · · · ∩ q2 =

s∏i=1

qi =

s∏i=1

(fnii ) = (fn1

1 · · · fnss ).

Como f y fn11 · · · fns

s generan el mismo ideal en R, ha de existir un elemento unidadu ∈ Rn tal que

f = ufn11 · · · f

nss .

Observacion 4.5.13. Veremos mas adelante, tras probar el Teorema del Ideal Princi-pal de W. Krull (Hauptidealsatz de Krull), que si un anillo noetheriano R verifica lapropiedad siguiente:

(4.5.6) Todo ideal primo de altura 1 es principal,

entonces los elementos del anillo R admiten factorizacion como producto de elementosprimos, generalizando ası la factorizacion de elementos y, por el Teorema de Lasker–Noether, la “factorizacion” de ideales cualesquiera.

***

86 4. NOETHERIANOS

4.6. Temas Opcionales

Claramente hay muchos temas relacionados con los contenidos de este Capıtulo. Hemosomitido algunos de los mas interesantes y proponemos que los alumnos busquen, seinformen o complemente por su cuenta los temas que se indican a continuacion:

4.6.1. Snake Lemma. Se trata del siguiente enunciado que es clave en la defi-nicion de la sucecion exacta larga de Homologıa de Toplogı Algebraica:

Proposicion 4.6.1 (Snake Lemma). Consideremos un diagrama de R−modulos y mo-rifmos como el siguiente, en el que las filas son sucesiones exactas cortas:

0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0f ′ ↓ ↓ f ↓ f ′′

0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0

Entonces, existe un morfismo de R−modulos d : ker(f ′′) −→ Coker(f ′) tal que lasiguiente sucesion es exacta:

0 → ker(f ′) → ker(f) → ker(f ′′) →→ Coker(f ′) → Coker(f) → Coker(f ′′) → 0,

donde los demas morfismos son inducidos por las filas horizontales del diagrama inicial.

4.6.2. Libres, Proyectivos, Inyectivos y Planos (Opcional). Esta es unaSeccion claramente opcional. Puede ser interesante que los alumnos que lo deseen,busquen referencias y traten de completar las pruebas.

Definicion 4.6.1 (Proyectivos, Inyectivos, Planos). Sea M un R−modulo. Se definenlas siguientes nociones:

Se dice que M es proyectivo si HomR(M,−) es un functor exacto.Se dice que M es inyectivo si HomR(−,M) es un functor exacto.Se dice que M es plano si M ⊗R − es un functor exacto.

Proposicion 4.6.2. Se dan las siguientes implicaciones para un R−modulo M cual-quiera:

M es libre =⇒ M es proyectivo =⇒ M es plano.

Lo que da una buena coleccion de ejemplos. De hecho, si R es local noetheriano y Mes finitamente generado, las tres nociones coinciden.Se pueden probar algunas propiedades del tipo:

Proposicion 4.6.3. Un R−modulo P es proyectivo si y solamente si es sumando di-recto de un R−modulo libre.

O tambien

Proposicion 4.6.4. Un R−modulo P es proyectivo si y solamente si toda sucesionexacta corta

0 −→M −→ N −→ P −→ 0

es escindida.

Para concluir, no sin bastante trabajo que:

Proposicion 4.6.5. Todo modulo posee una resolucion proyectiva.

De otro lado se pueden discutir los modulos inyectivos observando, por ejemplo, que Qes un Z−modulo inyectivo y que Z no lo es. Para ello se puede usar el Criterio de Baer:


Proposicion 4.6.6 (Criterio de Baer). Una R−modulo I es inyectivo si y solamentesi satisface:Dado un ideal a de R y un morfismo de R−modulos f : a −→ I, existe f : R −→ I talque

f |a= f.

Ası podemos probar que si I es un Z−modulo inyectivo, entonces, HomZ(R, I) es unR−modulo inyectivo y conluir (poniendo I = Q/Z, por ejemplo, como co–generadorinjectivo):

Proposicion 4.6.7. Todo R−modulo posee una resolucion inyectiva.


Problema 4.7.1. Concluir la prueba de la Demostracion 4.3.1, probando queHomR(−, N)es exacto a izquierda.

Problema 4.7.2. Definir functor exacto a derecha. Buscar ejemplos de functores exac-tos a derecha de la categorıa de R−modulos en sı misma.

Problema 4.7.3 (Valores Absolutos p−adicos). Buscar los conceptos siguientes:

Valor Absoluto sobre un cuerpo.Valor Absoluto No Arquimediano.Cuerpos Valuados.Valores Absolutos Equivalentes.Valor absoluto p−adico sobre Q: | · |p : Q −→ R+

Establecer alguna relacion entre el valor asoluto p−adico sobre Q y la localizacion Z(p).

Problema 4.7.4 (A.M. Ostrowski). Busca el enunciado del Siguiente Teorema de A.M.Ostrowski:Teorema.[cf. [Os, 73]] Todo valor absoluto sobre Q es equivalente a uno de los siguien-tes:

El valor absoluto usual | · |0 : Q −→ R+,o un valor absoluto p−adico | · |p : Q −→ R+, para algun primo p ∈ N.

A partir de un valor absoluto se define una distancia y a traves de la distancia tenemosuna estructura de espacio metrico. Recordar la definicion de completado de un espaciometrico. Probar las siguientes afirmaciones:

El completado de Q con respecto al valor absoluto | · |0 es el cuerpo R de losnumeros reales.El completado de Q con respecto al valor absoluto p−adico | · |p es tambien

un cuerpo Qp denominado cuerpo de los numeros p−adicos.La bola cerrada de centro 0 y radio 1 en Q con respecto al valor absolutop−adico Bp(0, 1) es el anillo local Z(p) cuyo ideal maximal (que denotaremospor pZp) es justamente la bola abierta Bp(0, 1) de centro 0 y radio 1 en Q conrespecto al valor absoluto p−adico.Hallar las bolas de centro 0 y radio 1/pk en Q con respecto al valor absolutop−adico.

¿Tiene todo esto algo que ver con la localizacion?

Problema 4.7.5. Buscar analogıas con el cuerpo C(X) y la valoracion dada por tenerun “polo en 0 ∈ C de orden k”. Describir la bola cerrada de centro 0 y radio 1 en C(X)y hallar su clausura en el completado de C(X). ¿Te suena a algun anillo que hayamosdefinido con anterioridad?.

Problema 4.7.6. Probar que no son anillos noetherianos los anillos C0(X) o C∞(X).¿Que puedes decir delanillo H(U) de funciones holomorfas sobre un abierto U ⊆ C?.

88 4. NOETHERIANOS

Problema 4.7.7. Un modulo M se dice libre si existe un conjunto I y una coleccion{Mi : i ∈ I} de R−modulos, cada uno isomorfo a R, de tal modo que M ∼= ⊕i∈IMi.Probar que un R−modulo es finitamente generado si y solamente si es (isomorfo) a uncociente de un R−modulo libre de la forma Rn.

Problema 4.7.8 (Hamilton–Cayley para modulos libres finitamente genera-dos). Probar que dado un enformismo φ : Rn −→ Rn, de un modulo libre finita-mente generado en sı mismo, Dada una base β de Rn como R−modulo libre, seaM(φ) ∈ Mn(R) la matriz asociada a φ en esa base. Consideremos el polinomio si-guiente:

χφ(X) := det(XIdn −M(φ)) ∈ R[X].

Probar:

(1). El polinomio χφ es un polinomio no nulo, monico y de grado n.(2). χφ(M(φ)) = 0 enMn(R), con las operaciones habituales de suma y producto

de matrices.(3). Si, ademas, existe un ideal a de R tal que φ(Rn) ⊆ aRn, concluir que los

coeficientes de χφ (excluyendo el coeficiente director) estan en a.

Problema 4.7.9 (Hamilton-Cayley para modulos finitamente generados). SeaM un R−modulo finitamente generado y sea ϕ : M −→ M un endomorfismo deR−modulos. Supongamos π : Rn −→M un epimorfismo sobre M , desde un R−modulofinitamente generado. Probar:

(1). Existe un endomorfismo de R−modulos φ : Rn −→ Rn que hace conmutativoel diagrama siguiente:

φRn −→ Rn

π ↓ ↑ πM −→ M

ϕ

(2). Si χφ ∈ R[X] es el polinomio del Teorema de Hamilton–Cayley para modu-los libres finitamente generados, probar que para todo m ∈ M , se tieneχφ(ϕ)(m) = 0 con las operaciones de suma y composicion de endomorfismos.

(3). Si, ademas, existe un ideal a de R, tal que ϕ(M) ⊆ aM , entonces, podemoselegir φ de tal modo que φ(Rn) ⊆ aRn y de tal modo que los coeficientes deχφ, excluyendo el coeficiente director, esten en el ideal a.

Problema 4.7.10 (Lema de Nakayama, a la Atiyah). Deducie el Lema de Na-kayama (Lema 4.5.1 anterior) del enunciado del anterior problema. (Pista: Consultar[AtMc, 69]).

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Notas para un Curso de Algebra Avanzada Luis M. Pardo ... · contextos menos habituales en las...

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