República Bolivariana de Venezuela

Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico de Barquisimeto

“Luis Beltrán Prieto Figueroa”

Barquisimeto-Estado-Lara.

Operaciones Fundamentales

de los Números Racionales

(Q) y sus propiedades.

Realizado por:

Pasantes de la UPEL-IPB

Especialidad:

Matemática

Abril, 2014

PRESENTACIÓN DE LA GUÍA

DIDÁCTICA

La presente guía fue diseñada para aquellos estudiantes que poseen un

bajo rendimiento en cuanto al contenido de los números racionales y sus

operaciones fundamentales. Se basa, en la necesidad de hacer más

comprensibles estas operaciones y se elaboró, para ser utilizada como un

recurso didáctico en cuanto al aprendizaje de los números racionales y sus

operaciones; logrando una nivelación en el dominio y resolución satisfactoria de

las operaciones; aplicando de una manera correcta sus propiedades. La

intensión es que se disponga de una herramienta orientadora de la acción a

realizar, los pasos a seguir, los procedimientos a emplear, las técnicas factibles

a desarrollar, para hacerles más sencilla y fácil la comprensión del contenido.

La resolución de las operaciones en los números racionales es parte

fundamental para el rendimiento y desenvolvimiento de cada estudiante en el

área de matemáticas, ya que éstas, están presentes en cada año del

bachillerato; es por ello, que se presentan las diferentes formas de representar

los números racionales, definiciones de cada operación, así como las

propiedades fundamentales de las operaciones; también se agregan algunas

actividades para así reforzar el aprendizaje de los estudiantes en cuanto al

contenido referido.

Esperamos que esta guía sea de gran provecho y beneficio para los

estudiantes en cuanto al aprendizaje significativo y el rendimiento académico

necesario para el área de matemática.

Reseña Histórica de los

Números Racionales (Q)

Historia de los Números Racionales Los números racionales aparecieron muy pronto en la historia de las

matemáticas. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su

descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema.

Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y

todo otro tipo de medidas; además establecer relaciones entre magnitudes.

Los números racionales aparecen ya en los primeros textos matemáticos de

los que hay constancia, en el Antiguo Egipto se calculaba utilizando

denominadores con enteros positivos: Cualquier número racional que

escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como la

adición de números racionales unitarios distintos. Quizás uno de los más

antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el

1.650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la

matemática egipcia.

En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los

musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como

indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los

números racionales en la vieja Europa.

Sin embargo, no fue hasta el Siglo XIII cuando Leonardo de Pisa, más

conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números

quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el

numerador del denominador.

1

Los Números Racionales (Q)

Representación gráfica de los Números Racionales

Los números racionales se pueden representar mediante fracciones. Las

fracciones se pueden representar de diversas formas; así, la fracción tres

dividido entre cuatro se puede escribir como “tres entre cuatro (3 4)”, “tres

dividido en cuatro: (3:4)” o “tres cuartos (3/4)”.

Concepto: para poder hablar de una fracción tenemos que:

Referirnos a un todo como unidad.

Dividirlo en partes iguales.

Considerar algunas de esas partes.

Es conveniente partir de ejemplos concretos (tortas, rectángulos) y construir

algunas fracciones, así como también efectuar particiones, cuyas partes no

sean iguales, con el fin de contrastar cuando se forma una fracción y cuando

no.

Cuando en el denominador está el número 1, esto indica que la unidad no se

ha dividido, sino que se toma completa, y en este caso, el numerador indica

cuántas unidades se toman. Por ejemplo:

4 unidades,

7 unidades.

Es decir, cualquier número natural n se puede escribir como: n =

Notación numérica:

a numerador y b denominador; es importante hacer

ver que la fracción es un solo número y no dos, aun cuando utilice dos.

Representación del concepto de fracción:

Existen diversos sistemas para representarla (ejemplo 3/8)

2

a) Verbal: las tres octavas partes.

b) Numérica: 3/8

c) Decimal: 0,375

d) Grafica continua:

Diferentes formas de representar un número en fracción:

a) Familiarizarse con los decimales que corresponden a las fracciones más

sencillas:

= 0,5

= 0,25

= 0,125

= 0,1

b) Ver las fracciones en la vida diaria: Dada una parte de un objeto (por

ejemplo, una marca en una pared), indicar que fracción del total

representa aproximadamente (respecto a la altura total de la pared)

c) Viceversa, dada una fracción y un conjunto total, indicar sobre ese

conjunto el punto o la parte correspondiente de esa fracción.

Fracciones equivalentes: Dos fracciones

son equivalentes sí y sólo si, sus

dos productos cruzados son iguales. Esto es:

sí y sólo si a. d =

b. c

Observe los siguientes gráficos

La región sombreada es

La región sombreada es

Estas fracciones son equivalentes ya que 4.3 = 6.2 = 12

Operaciones Aritméticas en .

ADICIÓN EN

EJEMPLO

+

=

OBSERVACION:

1. Si , es decir si los denominadores son diferentes, entonces la

adición se puede resolver:

a)

para resolver:

Hallamos fracciones equivalentes con el mismo denominador:

^

3

La suma del racional representado por

más el racional

representado por

; con b ≠ 0, es el racional representado por la

suma

. O sea:

+

+

+

Luego:

EJEMPLO

Gráficamente:

Al escoger fracciones equivalentes a

y

que tengan denominador igual a 14,

se está dividiendo el rectángulo en 14 partes iguales. Esto se logra

subdividiendo cada media parte del primer rectángulo en 7 partes iguales y

cada séptima parte del segundo rectángulo en dos partes iguales:

Ahora se añade las seis partes sombreadas del segundo rectángulo al primero

y se obtiene:

b)

para resolver:

+

Primero hallemos el mínimo múltiplo común de los

denominadores: M = m.c.m. (b,d) = e.

Dividimos

= f ^

= g, luego multiplicamos

^

Así

=

+

EJEMPLO

Primero hallamos el mínimo múltiplo común de los denominadores M =

m.c.m (3,9) = 45 15 5 9 3

3 3 3 3

1 1

Se toman los factores comunes y no comunes en su máxima expresión,

en este caso 5 y 3²; luego m.c.m (15,9) = 5.3² = 5.9 = 45

Dividimos

= 3 ^

= 5, multiplicamos

^

Así

=

EN RESUMEN:

La suma del racional representado por

más el racional representado por

con b y d ≠0, es el racional representado por

, es decir:

. Así mismo, la suma se puede obtener con cualquier fracción

equivalente a

y cualquier fracción equivalente a

con b y d distintos de

cero.

OBSERVACION: Debemos tomar en cuenta

que:

EJEMPLOS:

a. El opuesto de

es –

=

b. El opuesto de

es –( -

=

SUSTRACCIÓN EN

EJEMPLO

-

=

OBSERVACIÓN

1. Si

y

. Entonces la diferencia de

menos

es igual a la suma de

mas el opuesto de

.

La diferencia del racional, representado por

menos el racional

representado por

; con b ≠ 0, es otro racional representado por

.

O sea

-

-

EJEMPLO

1) Si es decir, si los denominadores son diferentes entonces la

sustracción se puede resolver:

a)

para resolver:

Hallamos fracciones equivalentes con el mismo

denominador:

^

Luego:

EJEMPLO

Gráficamente:

Al escoger fracciones equivalentes a

y

que tengan denominador igual a 14,

se está dividiendo el rectángulo en 14 partes iguales. Esto se logra

-

-

subdividiendo cada media parte del primer rectángulo en 7 partes iguales y

cada séptima parte del segundo rectángulo en dos partes iguales:

Ahora se añade las seis partes sombreadas del segundo rectángulo al primero

y se obtiene:

c)

para resolver:

Primero hallemos el mínimo múltiplo común de los

denominadores: M = m.c.m. (b,d) = e.

Dividimos

= f ^

= g, luego multiplicamos

^

Así

=

-

EJEMPLO

Primero hallamos el mínimo múltiplo común de los denominadores M =

m.c.m (3,9) = 45 15 5 9 3

3 3 3 3

1 1

Se toman los factores comunes y no comunes en su máxima expresión,

en este caso 5 y 3²; luego m.c.m (15,9) = 5.3² = 5.9 = 45

Dividimos

= 3 ^

= 5, multiplicamos

^

Así

=

EN RESUMEN: La diferencia del racional representado por

menos el

racional representado por

con b y d ≠0, es el racional representado por

, es decir:

. Así mismo, la diferencia se puede

obtener con cualquier fracción equivalente a

y cualquier fracción equivalente

a

con b y d distintos de cero.

EJEMPLO

a.

b.

1

MULTIPLICACIÓN EN

EJEMPLO

a.

b.

Denominamos multiplicación en a la operación que hace corresponder

a dos números racionales

y

; con b y d distintos de cero, otro número

racional denominado producto el cual está representado por

NOTA:

DIVISIÓN EN

OBSERVACIÓN

Otra regla práctica para realizar la división es la siguiente:

O

EJEMPLO

a.

Para dividir el racional

entre el racional

; con b, c y d distintos de

cero, multiplicamos el dividendo por el inverso del divisor

, es decir

Debemos saber, que el inverso de un número racional

viene dado por

.

ACTIVIDAD (1)

1. Resuelve las siguientes operaciones

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

—

k.

l.

Propiedades de la adición en .

PROPIEDAD CONMUTATIVA

EJEMPLO

a.

+

=

+

b.

+

=

=

+

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Si

,

numeros racionales; con b, d y f distintos de cero se

cumple que:

(

+

) +

=

+ (

+

)

Si

y

son dos numeros racionales; con b y d distintos de cero,

se cumple que:

+

=

+

Es decir el orden de los sumandos no altera la suma.

4

EJEMPLO

a. (

+

) +

=

+ (

+

)

SOLUCIÓN:

Observemos que los resultados son iguales, por tanto se cumple la propiedad

asociativa en el conjunto .

PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO

EJEMPLOS

a.

b.

OBSERVACION:

En , el racional es el elemento neutro de a adición, es decir:

Debemos tomar en cuenta que:

EJEMPLOS:

a. El opuesto de

es –

=

b. El opuesto de

es –( -

=

PROPIEDAD DEL SIMETRICO U OPUESTO

El elemento simetrico u opuesto del racional

es el racional

;

con b ≠ 0 , ya que:

+

=

+

= 0 Al opuesto de

lo denotaremos por -

ACTIVIDAD (2)

1) resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades conmutativa y asociativa según corresponda:

a.

b.

2) Comprueba que cero es el elemento neutro para la suma.

a.

b.

3) Expresa las operaciones de cada problema como una suma y aplica las propiedades convenientes.

a. Luisa recorre en bicicleta

km los viernes,

km los sábados y

km los domingos ¿Cuántos kilómetros corre estos 3 días?

b. Calcule el perímetro de un triangulo de lados

cm,

cm,

cm

Propiedades de la multiplicación en .

PROPIEDAD CONMUTATIVA

EJEMPLO

a.

b.

PROPIEDAD ASOCIATIVA

EJEMPLO

a.

b.

Si

y

son dos números racionales; con b y d distintos de cero,

se cumple que:

Es decir el orden de los factores no altera el producto.

Si

,

números racionales; con b, d y f distintos de cero, se

cumple que:

5

PROPIEDAD NEUTRO MULTIPLICATIVO

EJEMPLOS

a.

b.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

EJEMPLOS:

a.

b.

En , el racional es el elemento neutro de la multiplicacion, es decir:

El neutro multiplicativo es el 1

Si

,

números racionales; con b, d y f distintos de cero, se

cumple que:

ACTIVIDAD (3) c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

1) Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades

conmutativas y asociativas según corresponda:

a)

b)

c)

2) ¿Qué propiedad de la multiplicación en Q se cumple en los siguientes

ejercicios? Justifica tu respuesta.

a) 1.

b)

1

c)

3) Calcula:

a)

RESPUESTAS A LAS

ACTIVIDADES

Respuestas a la actividad (1):

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

Respuesta a la actividad (2):

1) a. Conmutativa.

b. Asociativa

2) a.

b.

3) a. aplicando la propiedad asociativa resulta

b. aplicando la propiedad asociativa resulta

Respuesta a la actividad (3):

1) a. Conmutativa.

b. Asociativa

c. Asociativa

2) a. Elemento Neutro b. Elemento Neutro c. Asociativa

3) a.

Objetivo General (guía)

Estudiar las operaciones fundamentales en los números racionales

Objetivos específicos

1. Ofrecer orientaciones y estrategias pedagógicas y metodológicas que

apoyen el estudio en las operaciones fundamentales (Adición, sustracción,

multiplicación, división) y sus propiedades.

2. Desarrollas habilidades y destrezas para resolver ejercicios y problemas de

carácter práctico.

3. Lograr una actitud favorable hacia el estudio de las operaciones de los

números racionales .

4. Difundir de manera amena, clara, dinámica y precisa operaciones en .

5. Aprovechar al máximo el contenido conceptual y problemas propuestos.

6. Garantizar la atención al estudiar las operaciones fundamentales en

números racionales .

7. Contribuir de forma o manera dinámica y didáctica que promueva el interés

al estudio de las operaciones en .

8. Impulsar la comprensión y entendimientos a estudiantes y/o docentes para

confrontar resoluciones de ejercicios y problemas de carácter práctico.

9. Impulsar a los estudiantes y/o docentes a comprender y entender de forma

eficiente y eficaz (clara y precisa) para resolver problemas y ejercicios de

carácter práctico.

Justificación

La guía didáctica se realizó gracias a la gran necesidad que presentaban los

estudiantes de bachillerato en los números Racionales (Q), específicamente en

sus operaciones fundamentales como lo son la adición, sustracción,

multiplicación y división en Q; además el uso correcto de sus propiedades. Ésta

guía se elabora con el objetivo de hacer más comprensible estas operaciones,

la intensión es que los estudiantes dispongan de una herramienta orientadora

de la acción a realizar, los pasos a seguir, los procedimientos a emplear, las

técnicas factibles a desarrollar para hacerles más sencilla y fácil la

comprensión del contenido y lograr la nivelación en los estudiantes

seleccionados.

Fundamentación

La matemática en su sentido más amplio engloba un sin fin de componentes

que hacen de ella una de las ciencias mas reales, completas y concretas, y por

ende fundamental en el desarrollo del intelecto. En este mismo orden de ideas

el número representa el elemento más significativo y trascendental, por el

hecho de ser la esencia y la expresión del pensamiento matemático.

Actualmente los estudiantes de bachillerato presentan un déficit en cuanto al

conocimiento de los números racionales, por tal motivo se hace necesario

conocer los Números Racionales (Q), su reseña histórica, las operaciones

básicas y sus propiedades, para brindarles a los estudiantes que presentan

este déficit en los números racionales una nivelación con respecto a este

contenido y complementar el estudio de las matemáticas para un mejor

rendimiento académico tanto a nivel de secundaria, como en nivel de

educación superior universitario.

Propósito

La guía didáctica se elaboro con el fin de lograr la nivelación de los estudiantes

de bachillerato en los números Racionales (Q), específicamente en sus

operaciones fundamentales adición, sustracción, multiplicación y división en Q

y el buen uso de cada una de sus propiedades de una manera práctica, sencilla

y fácil de entender.

Alcance

Con la elaboración de la guía didáctica se pretende llegar a que los estudiantes

dominen y resuelvan satisfactoriamente las operaciones fundamentales de los

números racionales (Q) y aplicar de una manera correcta sus propiedades.

Contenidos

Operaciones fundamentales en los números racionales .

Adición de números racionales .

Sustracción de números racionales .

Producto de números racionales .

Cociente de números racionales .

Propiedades de la adición en .

Propiedades de la multiplicación en .

Estrategias

Conocer la historia del conjunto de los números racionales .

Presentación de figuras ilustrativas para atraes y orientar el procesa de

la enseñanza y aprendizaje.

Exposición

Resolución de ejercicios.

Talleres y actividades alusivas para el entendimiento y comprensión del

contenido.

Aplicación de actividades participativas y activas para el mejor

entendimiento de este contenido.

Recursos

Pizarras acrílicas y/o de tizas.

Borrador.

Marcador.

Guía.

Cuaderno.

Lápiz o portaminas.

Borra.

Sacapuntas.

Bibliografía Básica

La magia de la matemática – Santillana.

Guía de estudio de matemática II. P

Jorge Salazar – Julián R. Jiménez. Matemática 7mo Grado Educación

Básica. Editorial ROMOR. Venezuela 1991.

Teduca/Santillana. Matemática 8. Educación Básica. Editorial Teduca.

Venezuela 1991.

https://www.google.co.ve (imágenes matemáticas animadas)

Fernando Barragán – José Sarabia. Matemática 7mo Grado educación

básica. Ediciones CO-BO colección Elipse.