Parámetro de dispersión S

Los parámetros-S son usados principalmente para redes

que operan en radiofrecuencia (RF) y frecuencias

de microondas, ya que representan parámetros que son de

utilidad particular en RF.

Muchas propiedades eléctricas útiles de las redes o de

componentes pueden expresarse por medio de los

parámetros-S, como por ejemplo la ganancia, pérdida por

retorno, relación de onda estacionaria de

tensión (ROEV), coeficiente de reflexión y estabilidad

de amplificación. 

Parámetros de Dispersión (S)

Definición

Son propiedades usadas en ingeniería eléctrica, ingeniería

electrónica, e ingeniería de sistemas de comunicación y se

utilizan para describir el comportamiento eléctrico de redes

eléctricas lineales cuando se someten a varios estímulos de

régimen permanente por pequeñas señales.

En el contexto de los parámetros-S, dispersión se refiere a la

forma en que las corrientes y tensiones que se desplazan en

una línea de transmisión.

La diferencia fundamental con los otros juegos de

parámetros es que mientras estos miden relaciones entre

tensiones y corrientes totales medidas sobre los puertos, los

parámetros S miden la relación entre las amplitudes de

tensión reflejadas e incidentes.

Así, definimos a la matriz de scattering (que contiene a los parámetros S) de la siguiente manera:

Podemos también realizar el producto entre matrices para explicitar un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

De donde podemos calcular un parámetro Sij genérico como:

Es decir que es el coeficiente de reflexión visto hacia el port i

cuando todos los otros ports están adaptados, mientras que

si los subíndices son diferentes se interpreta al parámetro S

como el coeficiente de transmisión visto desde el port j hacia

el port i cuando todos los otros ports están terminados en

cargas adaptadas.

Ondas de potencia

Dado que hay ciertas cantidades como por medio de las cuales es posible caracterizar el comportamiento de un port i, nos preguntamos si a la hora de analizar el sistema bajo estudio podemos definir a partir de las cantidades anteriores nuevas cantidades que proporcionen información acerca del flujo de potencia desde o hacia el sistema. Estas nuevas cantidades que definiremos a continuación reciben el nombre de ondas de potencia.

Potencia promedio total sobre un dispositivo Resulta evidente que la potencia total sobre un dispositivo

será igual a la sumatoria de las potencias promedio totales sobre cada port.

Así:

Finalmente, dado que las matrices columna ay b no son independientes entre sí, sino que están relacionadas a través de la matriz de scattering, podemos poner a una en función de la otra para así obtener una fórmula de cálculo que caracterice la potencia promedio sobre el sistema a través de sus parámetros S:

Donde U es la matriz unitaria de dimensiones NxN

De la ecuación anterior se observa claramente que la matriz H juega un rol fundamental a la hora de caracterizar el balance de potencia del sistema ya que si H=0 (la matriz nula) no habrá pérdidas. De aquí que los sistemas sin pérdidas queden caracterizados por una matriz de scattering unitaria:

Ejemplo de Aplicación: Atenuador de 3 dB

Para el atenuador de 3 dB de la figura se pide: • Determinar la matriz de scattering del mismo

considerando que trabaja en un sistema de Z0=50 Ω. • Realice un análisis desde el punto de vista de las ondas

de potencia que justifique que es un atenuador de 3 dB.

Resolución

Ejemplo:

 Un transistor tiene los siguientes parámetros S a 200 Mhz., con un VCE= 10 V y un IC= 10 mA:

 

S11= 0.4 / 162º

S22= 0.35 / -39º

S12= 0.04 / 60º

S21= 5.2 / 63º

 

El amplificador debe operar entre terminaciones de 50 ohm.

Diseñar las redes de adaptación de entrada y salida, para adaptación conjugada simultánea del transistor, para obtener la ganancia máxima.

ESTABILIDAD

El Factor de Estabilidad de Rollett (K):

GANANCIA MÁXIMA DISPONIBLE

21122211 SSSSDs

1221

2

22

2

11

2

2

1

SS

SSDK S

22

22

2

1111 SDSSB

1log10log10 2

12

21 KKS

SMAG

Coeficiente de reflexión de la carga

11222 SDSC S

22

11

2

222 1 SDSSB

2

2

2222

2

4

C

CBBL

22

211211 1 S

SSS

L

LS

Primero, calculamos el factor K para ver si el transistor es estable en la frecuencia de operación y en el punto de polarización:

DS= (0.4 / 162º) (0.35 / -39º) – 0.04 / +60º) (5.2 / 63º)

= 0.14 / 123º - 0.208 / 123º

= 0.068 / -57º

K= [1+ (0.068)2 – (0.4)2 – (0.35)2] / [2 (5.2) (0.04)]

= 1.74

B1= 1+ (0.4)2 – (0.35)2 – (0.068)2

= 1.03

La ganancia máxima disponible se calcula por la ecuación que la define:

MAG= 10 log (5.2 / 0.04) + 10 log 1.74 –√ [(1.74)2-1] = 21.14 + (-5)

= 16.1 dB

El próximo paso es encontrar el coeficiente de reflexión en la carga necesario para una adaptación conjugada. Las dos cantidades intermedias (C2 y B2) primero deben ser encontradas.

C2 = 0.35 / -39º - [(0.068 / -57º) (0.4 / -162º ]

= 0.272 – j0.22 – [- 0.021 + j0.017]

= 0.377 / -39º

 

B2 = 1 + (0.35)2 – (0.4)2 – (0.068)2

= 0.958

De esta forma, la magnitud del coeficiente de reflexión de la carga puede obtenerse:

 

L= [0.958 – √((0.958)2 – 4(0.037)2)] / [2 (0.377)]

= 0.487

 

El ángulo del coeficiente de reflexión de la carga es simplemente el opuesto del ángulo de C2, o +39º. Por lo tanto,

 

L = 0.487 / 39º

 

Usando L, se calcula s :

 

s=

(((0.4 / 162º)+ ((0.04 / 60º) (5.2 / 63º) (0.487 / 39º)) / (1 – (0.487 / 39º) (0.35 / -39º)))*

 

= [0.052 / 162º ]*

= 0.522 / 162º

El objetivo del diseño es forzar la fuente de 50 ohm para presentar un coeficiente de reflexión de 0.522 / -162º. Con s graficada como se muestra, la impedancia normalizada correspondiente deseada se lee directamente del diagrama como Zs = 0.32 – j0.14 ohm. Esta es un impedancia normalizada, por lo que hay que multiplicarlo por 50 ohm para obtener la real.

50 (0.32 – j0.14) = 16 – j7 ohms.

El coeficiente de reflección en la carga es graficado en el otro ábaco de Smith de este ejemplo y representa una impedancia de carga deseada (como se lee del diagrama) de ZL= 50 (1.6 + j1.28) ohms, o 80 + j64 ohms.

Arc AB = C en paralelo = j1.45 mhos

Arc BC = L en serie = j0.33 ohm

 

Los valores de los componentes reales son :

 

C1= 1.45 / [2 (200 x 106) 50]

L1= [(0.33) (50)] / [2 (200x 106)]

= 13 nH

Arc AB = C en serie = -j1.3 ohms

Arc BC = L en paralelo = -j0.78 mho

 

De donde:

 

C2 = 1 / [2 (200x106) (1.3)(50)]

= 12 pF

 

L2 = 50 / [2 (200x106)(0.78)

= 51 nH

El diseño final, excluyendo el circuito de polarización, se muestra en la siguiente figura.