Portafolio calculo 2

INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.

CALCULO SEMESTRE A

ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT

INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA

IBEROAMERICANO A.C

BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.


GRADO: 3° GRUPO: C

PROFESORA: OFELIA MERCEDES VALLADARES

IZQUIERDO

CÁLCULO

SEMESTRE A


CALCULO SEMESTRE A


CICLO ESCOLAR: 2013-014

INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C

BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.


GRADO: 3° GRUPO: C

PROFESORA: Ofelia Mercedes Valladares Izquierdo

CÁLCULO

CÁLCULO S e m e s t r e A


CALCULO SEMESTRE A


Portafolio Digital

SEMESTRE A

CICLO ESCOLAR: 2013-014

RELACIONES Y

FUNCIONES P R I M E R

P A R C I A L


CALCULO SEMESTRE A


INDICE

Relaciones y Funciones

Evaluación de Funciones

Tipos de Función

Operaciones con Funciones

Guía de examen


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CALCULO SEMESTRE A


LIMITES S E G U N D O

P A R C I A L


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INDICE

Función por partes

Casos de limites

Aplicación de la definían de limite de

una función y sus propiedades

Limites en el infinito

Guía de examen


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Introducción al Cálculo

Diferencial

Tercer Parcial

CÁLCULO


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INDICE

Limites de funciones exponenciales

Razón de cambio promedio

Razón de Cambio Instantáneo

Derivada de funciones


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CALCULO INTEGRAL

C u a r t o P a r c i a l


CALCULO SEMESTRE A


INDICE

Trabajo Especial


CALCULO SEMESTRE A


Institución de Enseñanza Iberoamericano

Marquez Jorge Monserrat

3° C

Profesora: Ofelia Mercedes Izquierdo Valladares

Cálculo

TRABAJO ESPECIAL

Ciclo Escolar:

2013-2014

Semestre A


CALCULO SEMESTRE A


Introducción Posteriormente en base a este trabajo se podrá observar temas precisos que van acorde a todo lo

que hemos estado viendo en el transcurso del semestre, donde al ser investigados se podrán

analizar funciones expresadas en infinidad de maneras.

Máximos y Mínimos un tema importante dentro de esta área, considero en su totalidad, pues se

aplican las derivadas, podremos entender que dentro de nuestra área de salud no abordaremos

este tema a diferencia de otras carreras, sin embargo el dominar un poco el tema y ser conocedor

del formara parte de nuestra vida, teniendo en cuenta que podremos ayudar a alguien en caso de

una duda, entendemos que no tanto como un ingeniero sin embargo sabremos defendernos.

En base al tema como ya sabemos, la utilización de ecuaciones y variables serán como nuestros

amigos, pues no habrá momento en el que no aparezcan en estos casos, por lo tanto es

fundamental que se preste total atención, al leer los datos y analizar la función a maximizar o

minimizar, así mismo de entender los diferentes conceptos, y si es necesario buscar diferentes

graficas para que el dominio de este sea más práctico, como se mostrara más adelante.

Por otra parte, encontraremos una sección con el nombre de puntos de inflexión y concavidad,

para lo cual no hay ciencia alguna ni complejidad, podrá ser que en la resolución de los problemas

si, sin embargo la relación de un tema con otro van de la mano pues te explicara a detalle el cómo

sacar los puntos de dichas curvas formadas en las graficas.


CALCULO SEMESTRE A


Índice

Pág. 6 - 7 Máximo Y Mínimo De Una Función

Pág. 7 - 9 Ejemplos

Pág. 10 Puntos de Inflexión Y Concavidad De La Curva

Pág. 10 - 12 Ejemplos

Pág. 13 Conclusión y Bibliografías


CALCULO SEMESTRE A


Máximo Y Mínimo De Una Función

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier

otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier

otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo


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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos

próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f (b) es menor o igual que los puntos

próximos al punto b.

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f (x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada

primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f’’ (−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f (1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

EJEMPLOS

1. f ( x ) = x 3 − 3x + 2

f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = − 1 x = 1

Candidatos a extremos: − 1 y 1 .


CALCULO SEMESTRE A


f''(x) = 6x

f’’ (−1) = −6 < 0 M áximo

f’’ (1) = 6 > 0 M ín imo

f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f (1 ) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

M áximo (−1, 4 ) M ínimo (1 , 0 )

2. f ( x ) = 3x − x 3

f'(x) = 3 − x2

f'(x) = 0 x= -1 x= 1

Candidatos a extremos: − 1 y 1 .

f"(8x) = -6x

f"(− 1) = 6 > 0 M ínimo

f"(1) = − 6 < 0 M áximo

f (−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2

f (1 ) = 3 · 1 − 1³ = 2

M áximo (− 1 , − 2) M ínimo (1 , 2 )

3. f(x)= x4 – 8x2+ 3

f'(x) = 4x3 – 16x 4x3 – 16x = 0

x= -2 x= 0 x=2

Candidatos a extremos: − 2 , 0 y 2 .

f''(x) = 12x2 – 16

f (−2) = (−2)4 − 8 · (− 2)² + 3 = − 13

f (0 ) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3

f (2 ) = 2 4 − 8 · 2² + 3 = − 13

M áximos: (− 1 , − 13) , (2 , − 13) M ín imo (0 , 3 )

4. f(x)=x4-2x2-1

su derivada f'(x)=4x3-4x

y la derivada segunda f''(x)=12x2-4

Para calcular los extremos relativos hemos de:


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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Resolver la ecuación: f'(x)=4x3-4x=0

Soluciones: x=-1, x=0, x=-1

Calcular el signo de la segunda derivada en estos valores

x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0 mínimo en (-1,-2)

x=0, f'(x)=0, f''(x) <0 máximo en (0,-1)

x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0 mínimo en (1,-2)

5. Nuevamente conviene graficar para visualizar

el enunciado del problema. La figura

11.3 lo muestra. La recta tangente T está

formando un ángulo α = 50 grados con la

horizontal, se desea saber cuáles son las

coordenadas del punto P en donde pega

dicha recta con la parábola.

Derivando y = x2 − 4x + 6:

dy 2x 4

dx

= −

y como la derivada es la tangente (trigonométrica)

del ángulo que forma la recta tangente P(x, y)

a la curva, entonces

dy 2x 4 tan 50 α = 50

dx

= − =

Esto es

2x - 4 = tan 50

2x - 4 = 1.19175

2x = 1.19175 + 4

2x = 5.19175

5 19175

2

x =.

x = 2.59

Como se dijo que las variables x e y que aparezcan en la derivada son las coordenadas del punto

de tangencia, significa que este valor de x pertenece a la parábola; por lo tanto, sustituyendo

en su ecuación se obtiene el valor de la ordenada (y) del punto de tangencia P.

Así que sustituyendo en y = x2 − 4x + 6 el valor de x = 2.59 se obtiene:

( )2 ( ) y = 2.59 − 4 2.59 + 6

y = 6.7081 −10.36 + 6

y = 2.34

Las coordenadas del punto pedido son:

P(2.59 ; 2.34)


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Puntos de Inflexión Y Concavidad De La Curva

· Una función f(x) no lineal se dice que es convexa en un intervalo si f'' (x) ³ 0 en todo punto de

dicho intervalo. Por la primera propiedad de las funciones derivables, esto significa que f'(x) es una

función creciente en ese intervalo. Basta recordar el significado de la derivada para concluir que las

pendientes de las tangentes a la curva en los puntos de abscisa del citado intervalo aumentan

según se avanza de izquierda a derecha, por el eje de abscisas.

Es claro que en una función convexa las tangentes a la curva quedan por debajo de ésta.

· Una función f(x) se dice que es cóncava en un intervalo si f'' (x) £ 0 en todo punto de él. Por la

segunda propiedad de las funciones derivables, es tanto como decir que la función f'(x) es

decreciente, o lo que es equivalente, las pendientes de las tangentes a la curva disminuyen al

recorrer de izquierda a derecha los puntos de abscisa del intervalo considerado.

En una tal función las tangentes a la curva quedan por encima de ésta.

· La gráfica de una función f(x) tiene un punto de inflexión en un punto de abscisa a, si en el punto

(a,f(a)) la curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.

¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión?

Puesto que una función es convexa cuando f'' (x) ³ 0 y cóncava si f'' (x) £ 0, y el punto de inflexión

separa una concavidad de una convexidad, en él la segunda derivada, si existe, necesariamente

ha de ser nula. Por tanto, si en a hay un punto de inflexión, f''(a) = 0.

Sin embargo, hay puntos en los que la derivada segunda es cero sin que existan puntos de

inflexión en ellos.

EJEMPLOS

1.

Resolución:


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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT · Igualando a cero la segunda derivada y teniendo en cuenta que una fracción es cero cuando su

numerador es cero,

· Puesto que el denominador es positivo, f''(x) es positivo cuando el numerador sea positivo, y

negativo si el numerador es negativo.

pues para h < 1, 3h < 3 y 2 3,46, por lo que 3h - 2 < 0

2. Hallar los puntos de inflexión de:

f(x) = x3 − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

f (0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2


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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Punto de inflexión: (0, 2)

3.

4. .

5. Puntos de in f lex ión en los puntos en que ésta pasa de cóncava a convexa

o v iceversa.


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Hay un punto de in f lex ión en x = 0 , ya que la función pasa de convexa a cóncava.

Conclusión

La aplicación de estos diversos temas podrán parecer complejos y difíciles de entender, en cambio

el graficar y expresar las diversas curvas para saber si es mínimo tan solo se debe guiar en base a

un punto de referencia, refiriéndose en base al dominio de dicho ejemplo, en cambio al resolver un

ejemplo mediante ecuaciones podrá no parecer sencillo sin embargo, si se hace paso a paso lo

que se pide o te basas en algún ejemplo su resolución será mucho más fácil pues te estás

apoyando y basándote de algo que ya es correcto, en si podemos decir con seguridad que estos

temas no son complejos si uno se dedica a analizarlos e irlos enlazando con otros pues para

entenderle a todo esto se puede partir desde una simple grafica que nos enseñaron a realizar en

primaria, ya tan solo lo que podremos complicarnos en general, es en base a las formulas y su

despeje de estas, pero concluyendo en si son temas que nos dejan con miedo, pero en su totalidad

como grupo terminamos comprendiéndolo todo gracias a una buena clase, que llevamos parcial

con parcial.


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Bibliografía

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html

http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm

http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html

http://www.vitutor.com/fun/5/x_e.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/

max_min_2.htm

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/concavyc.htm

http://www.vitutor.com/fun/5/c_11.html

http://www.vitutor.net/1/inflexion.html

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf

http://www.matematicaparatodos.com/SEXTO/6_10modelos.pdf

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