Ppt 1 teorema de pitágoras
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14 Teorema de Pit goras á 1 Matem ticas á 1 ESO º Tri ngulos rect ngulos á á Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. C B A a c b Ángulo recto Los catetos son perpendiculares Hipotenusa C B A a c b Catetos
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14Teorema de Pit gorasá
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Matem ticasá
1 ESOº Tri ngulos rect ngulosá á
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
C B
A
a
cb
Ángulo recto
Los catetosson perpendiculares
Hipotenusa
C B
A
a
cb
Catetos
14Teorema de Pit gorasá
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Matem ticasá
1 ESOº Tri ngulos rect ngulos: propiedadesá á
Dos propiedades de interés:
C B
A
a
cb
Primera
En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º
90ºBA =+
Segunda
La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales.
A
B CM
BM = MC
CB =
Los triángulosABM y AMC
son iguales By A son complementarios
14Teorema de Pit gorasá
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Matem ticasá
1 ESOº Teorema de Pit goras: idea intuitivaá
En un triángulo rectángulo:
ac
b
Área = a2
Área = c2
Área = b2
el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
es igual
a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos
c2 = a2 + b2
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Matem ticasá
1 ESOº Teorema de Pit goras: comprobaci ná ó
Por tanto: 32 + 42 = 52
3
4
Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm
El área del cuadradoconstruido sobre elprimer cateto vale 9
Hay 3·3 = 9 cuadraditos
El área del cuadradoconstruido sobre el
segundo cateto vale 16
Hay 4·4 = 16 cuadraditos
Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Observa:1. El área del triángulo es 6
2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1.
3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5
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Matem ticasá
1 ESOº Teorema de Pit goras: segunda comprobaci ná ó
Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2
Cuatro triángulos rectángulos de
catetos 3 y 4 cm.Cuyas áreas valen
6 cm2 cada uno.
4
3
7
Observa que en esecuadrado caben:
Además cabe un cuadrado de lado c,cuya superficie es c2.
Se tiene pues:
49 = 4·6 + c2
c2 = 49 - 24 = 25
c2 = 25 = 52
c2
25 cm2
25 = 9 + 16
Por tanto, 52 = 32 + 42
6 cm2
c
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Matem ticasá
1 ESOº Teorema de Pit goras: ejercicio primeroá
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa.
5
12
c?
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm
Haciendo la raíz cuadrada
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Matem ticasá
1 ESOº Teorema de Pit goras: ejercicio segundoá
En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto.
6
a?
10
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
a2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64
a = 8 cm
a2 = c2 - b2
Luego:
Haciendo la raíz cuadrada:
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Matem ticasá
1 ESOº Los tri ngulos “sagrados”á
Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios.
Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13
(También las proporcionales
a estas)
5 4
3
13
5
12
Todos ellos son rectángulos, pues cumplen
la relación:a2 + b2 = c2
32 + 42 = 52
62 + 82 = 102
92 + 122 = 152
52 +122 = 132
10
6
8
15
9
12
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Matem ticasá
1 ESOº Reconociendo tri ngulos rect ngulosá á
Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo.
Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que:
a2 + b2 = c2
Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida
80 cm¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm?
a
b
c
Mientras que 1022 = 10404Son distintos
60 c
m
102 cm
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Matem ticasá
1 ESOº C lculo de la diagonal de un cuadradoá
Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno.
Luego, d2 = 49 + 49 = 98
¿Cuánto mide su diagonal?
7
7
d
Cumplirá que: d2 = 72 + 72
9,998d ==
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Matem ticasá
1 ESOº C lculo de la diagonal de un rect nguloá á
Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
¿Cuánto mide su diagonal?
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10
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Matem ticasá
1 ESOº C lculo de la altura de un tri ngulo is scelesá á ó
Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.
La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3 cm.
Luego, 64 = 9 + h2
¿Cuánto mide su altura?
6
8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2
Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y
la divide en dos partesiguales
h
3 3
h2 = 55
4,755h ==
8
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Matem ticasá
1 ESOº C lculo de la apotema de un hex gono regulará á
Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema?
a2 = 36 - 9 = 27
Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3.
Recuerda:
Cumplirá que: 62 = a2 + 32
1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado.
2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado.
27a =
3 3
6
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Matem ticasá
1 ESOº C lculo del lado de un cuadrado inscrito en una circunferenciaá
En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un cuadrado. ¿Cuánto mide su lado?
Luego, el lado del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5 y 5 cm
Observa:
Entonces: c2 = 52 + 52 = 50
1. La distancia del centro del cuadrado a cada uno de sus vértices es igual al radio: 5 cm.
2. Se forman cuatro ángulos de 90º grados cada uno.
50c =
90º
5
5
c
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Matem ticasá
1 ESOº C lculo de la apotema de un hex gono regular inscritoá á
a2 = 64 -16 = 48
Recuerda:
Por tanto: 82 = a2 + 42
2. La apotema es la medida desde el centro del círculo a la mitad de un lado.
1. En un hexágono regular el lado es igual al radio de la circunferencia.
48a =
En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un hexágono regular. ¿Cuánto mide su apotema?
rl = 8
Equilátero
Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de
hipotenusa 8 cm y otro cateto de 4 cm.
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Matem ticasá
1 ESOº C lculo del lado de un tri ngulo regular inscritoá á
a2 = 64 -16 = 48
Observa:
Luego: 82 = a2 + 42
2. Los lados perpendiculares de ambos triángulos se cortan en el punto medio..
1. A partir de uno de los vértices del triángulo se construye otro triángulo equilátero, con un segundo vértice en el centro de la circunferencia.
48a =
En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un triángulo regular. ¿Cuánto mide su lado?
3. Se obtiene un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y un cateto de 4 cm. El cateto a desconocido es la mitad del lado del triángulo inscrito: l = 2a.
l = 2a.
482=l
14Teorema de Pit gorasá
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Matem ticasá
1 ESOºLa escuadra pitag rica. Rectas perpendicularesó
El teorema de Pitágoras permite trazar una recta perpendicular a otra dada.
Para ello se siguen los pasos que indicamos:
1º. Marcamosun punto A sobre la
recta dada.
2º. Con centroen A trazamos un arco de circunferencia.
3º. A 3 unidadesde A, desde B, se traza otroarco de radio 5.Así se obtiene C
4º. Observamos que:AB = 3, AC = 4 y BC = 5.Luego, ABC es un triángulo rectángulo, con el ángulo
recto en el vértice A..
4
4
32 + 42 = 52
La recta pedida es AC
