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Práctica 5

INTRODUCCIONEn este capítulo tratamos de estudiar con las herramientas que nos proporciona el Mathematica diversosaspectos de las funciones de una variable (funciones elementales, cálculo diferencial, representacióngráfica, etc.).

DEFINICIÓN DE FUNCIONES

Consideremos el siguiente ejemplo de definición de una función:

In[1]:= f@x_D = x3 - 1

Out[1]= -1 + x3

Como podemos observar hemos definido una función de nombre "f" que depende de una sola variable "x"que es igual a "x" al cubo menos 1. El signo "_" detrás de la "x" sirve para indicar que esta es la variable.Una vez que tenemos definida la función podemos calcularla para distintos valores numéricos o simbóli-cos, como en los ejemplos que siguen:

In[2]:= f@1DOut[2]= 0

In[3]:= fBp

2F

Out[3]= -1 +p3

8

In[4]:= N@%DOut[4]= 2.87578

In[5]:= f@¶DOut[5]= ¶

In[6]:= fAz3 - 2 z + 1EOut[6]= -1 + I1 - 2 z + z3M3In[7]:= Expand@%DOut[7]= -6 z + 12 z2 - 5 z3 - 12 z4 + 12 z5 + 3 z6 - 6 z7 + z9

Existe otra forma de definir una función que en ocasiones puede ser más recomendable. La sintaxis es lamisma que en el caso anterior pero sustituyendo "=" por ":=". Con esta nueva forma de describir las fun-ciones conseguimos una asignación diferida. Observemos mediante un ejemplo cual es la diferencia entreambas:

In[8]:= a = 2Out[8]= 2

In[9]:= g@x_D = x3 - a

Out[9]= -2 + x3

In[10]:= h@x_D := x3 - a

Calculemos ahora el valor de estas funciones en el punto "x=0":

In[11]:= g@0DOut[11]= -2

In[12]:= h@0DOut[12]= -2

Ahora podemos cambiar el valor de la constante "a" y evaluar las funciones en el mismo punto.

In[13]:= a = 3Out[13]= 3

In[14]:= g@0DOut[14]= -2

2 Pract5.nb

In[15]:= h@0DOut[15]= -3

Como podemos apreciar la función "g" no se ha visto alterada por el nuevo valor de la "a". Mientras que"h" asigna a "a" el nuevo valor vuelve a evaluar las funciones en el punto "0".

También es posible definir funciones a trozos mediante la orden "If[]", cuya sintaxis es "If[condición,expresión1,expresión2]". Cuando "condición" es cierta se evalua "expresión1" y cuando esfalsa "expresión2". Veamos una aplicación concreta:

In[16]:= j@x_D := IfBx < 0,x3 - 1

x Ix2 + 3M, x Ix4 - 1MFOtra forma de escribir funciones a trozos es:In[17]:= k@x_D := x ê; x > 0 && x < 2

k@x_D := -x + 4 ê; x <= 0 »» x >= 2

FUNCIONES ELEMENTALESEl Mathematica incorpora la definición de un gran número de funciones. Veamos a continuación algunasde las de mayor uso. Para una descripción más detallada se puede recurrir a un manual.

Funciones númericas SignificadoRound[x] Redondea "x" a un enteroFloor[x] Mayor entero menor que "x"Ceiling[x] Menor entero mayor "x"Sign[x] Signo de "x"Abs[x] Valor absoluto de "x"

Funciones con enteros SignificadoDivisors[n] Lista de divisores enteros de "n"Factorial[n] o n! Factorial de "n"

Funciones trigonométricas Significado Funciones inversasSin[x] La función seno ArcSin[x]Cos[x] La función coseno ArcCos[x]Tan[x] La función tangente ArcTan[x]Csc[x] La función cosecante ArcCsc[x]Sec[x] La función secante ArcSec[x]Cot[x] La función cotangente ArcCot[x]

Funciones hiperbólicas Significado Funciones inversasSinh[x] La función seno hiperbólico ArcSinh[x]Cosh[x] La función coseno hiperbólico ArcCosh[x]Tanh[x] La función tangente hiperbólica ArcTanh[x]Csch[x] La función cosecante hiperbólica ArcCsch[x]Sech[x] La función secante hiperbólica ArcSech[x]Coth[x] La función cotangente hiperbólica ArcCoht[x]

Funciones con números complejos Significado Abs[z] Mólulo del número complejo "z"Arg[z] Argumento de número complejo "z"Conjugate[z] Conjugado del número complejo "z"Re[z] Parte real del número complejo "z"Im[z] Parte imaginaria del número complejo "z"

Pract5.nb 3

Funciones con números complejos Significado Abs[z] Mólulo del número complejo "z"Arg[z] Argumento de número complejo "z"Conjugate[z] Conjugado del número complejo "z"Re[z] Parte real del número complejo "z"Im[z] Parte imaginaria del número complejo "z"

Por último señalemos que la función exponencial puede escribirse como "Exp[x]" y lafunción logaritmo neperiano como "Log[x]". Observemos también que todas las funciones que el Mathemat-ica tiene incorporadas comienzan con mayúscula. Veamos algunos ejemplos de la utilización de estasfunciones

In[19]:= Cos@2 pDOut[19]= 1

In[20]:= SinBp

2F

Out[20]= 1

In[21]:= [email protected] - [email protected][21]= -17.783

In[22]:= Sign@10 - 4 p + 18 EDOut[22]= 1

In[23]:= Sin@pD - Cos@pDOut[23]= 1

In[24]:= [email protected][24]= 52



In[27]:= [email protected][27]= -5

In[28]:= [email protected][28]= -4

4 Pract5.nb

In[29]:= Abs@%DOut[29]= 4

CALCULO DIFERENCIAL: LÍMITES DE FUNCIONESCon el Mathematica es posible calcular límites de funciones no sólo cuando la variable se aproxima a unpunto cualquiera del dominio de la función sino también cuando tiende a más infinito o menos infinito.Para ello escribiremos "Limit[función,x->a]". Veamos algunos ejemplos:

In[30]:= LimitBTan@xDx

, x Ø 0FOut[30]= 1

In[31]:= Limit@Exp@xD, x Ø ¶DOut[31]= ¶

In[32]:= LimitBExpB1xF, x Ø ¶F

Out[32]= 1

In[33]:= << "Calculus`Limit`";

Get::noopen : Cannot open Calculus`Limit .̀ à

In[34]:= Limit@j@xD, x Ø 0DOut[34]= 0

Con Mathematica es posible calcular límites laterales. La orden para el límite por la derecha es"Limit[función,x->a,Direction->-1]" y para el límite por la izquierda es "Limit[función,x->a,Direction->1]". Obsérvense los siguientes ejemplos:


, x Øp

2, Direction Ø -1F

Out[35]= -¶


, x Øp

2, Direction Ø 1F

Out[36]= ¶

In[37]:= Limit@Exp@xD, x Ø 2, Direction Ø -1DOut[37]= ‰2

CALCULO DIFERENCIAL: DERIVADAS DE FUNCIONES

Mathematica incorpora distintos formatos para el cálculo de derivadas. Así el comando"D[función,variable]" permite calcular la derivada de "función" respecto de "variable". También puedecalcularse la derivada escribiendo una ( ' ) detrás del nombre de la función.Veamos algunos ejemplos de su utilización:

In[38]:= f1@x_D := SinAExpAx2EE

Pract5.nb 5

In[39]:= ¶∂xf1@xDOut[39]= 2 ‰x

2x CosA‰x2E

In[40]:= f1£@xDOut[40]= 2 ‰x

2x CosA‰x2E

In[41]:= f2@x_D :=x2 + 2 a x - 3

x4 - 2 a x3 - 3 a x2 + a3

In[42]:= ¶∂xf2@xDOut[42]= -

I-3 + 6 x + x2M I-18 x - 18 x2 + 4 x3MI27 - 9 x2 - 6 x3 + x4M2 +

6 + 2 x

27 - 9 x2 - 6 x3 + x4

Recordemos que podemos usar el comando "Simplify" para obtener una expresión más reducida de laderivada anterior.

In[43]:= Simplify@%DOut[43]= -

2 I-81 - 42 x3 + 6 x4 + x5MI27 - 9 x2 - 6 x3 + x4M2

Análogamente, la derivada de orden "n" de una función dada puede calcularse con el comando"D[función,{variable,n}]", por ejemplo:

In[44]:= Simplify@¶∂8x,4<f1@xDDOut[44]= 4 ‰x

2 II3 - 12 I-1 + ‰2 x2M x2 + I4 - 24 ‰2 x

2M x4M CosA‰x2E + ‰x2 I-3 - 36 x2 + 4 I-7 + ‰2 x

2M x4M SinA‰x2EMIn[45]:= Simplify@¶∂8x,5<f2@xDDOut[45]= -I720 I-531441 - 11160261 x - 16297524 x2 - 11140578 x3 - 35724645 x4 - 10963431 x5 +

5248800 x6 - 9154782 x7 + 990711 x8 + 2026620 x9 - 903474 x10 + 101898 x11 +

43524 x12 - 20169 x13 + 3600 x14 - 298 x15 + 6 x16 + x17MM í I27 - 9 x2 - 6 x3 + x4M6

Cabe observar que las órdenes anteriores realizan el cálculo formal de las derivadas de la función pero ellono asegura la derivabilidad de esta función.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

El comando que utiliza Mathematica para dibujar la gráfica de una función de una variable es "Plot[]",cuya sintaxis es "Plot[f[x],{x,xmínimo,xmáximo}]". Esta orden dibuja la gráfica de la función "f[x]" en elintervalo "[xmínimo,xmáximo]". Veamos algunos ejemplos ilustrativos:

6 Pract5.nb

In[46]:= a = Plot@Sin@xD, 8x, -2 p, 2 p<D

Out[46]=-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

In[47]:= b = PlotB x2 - 4

Hx + 1L Hx - 1L, 8x, -2.5, 2.5<F

Out[47]=

-2 -1 1 2

-10

-5

5

10

15

Nótese que el Mathematica representa las asíntotas verticales y obsérvese también que el programa elige laescala de los ejes que considera más adecuada para la función. También podemos representar varias fun-ciones a la vez siempre que consideremos el mismo dominio en todas ellas. Para ello escribimos"Plot[{f1,f2,...,fn},{x,xmínimo,xmáximo}]".

In[48]:= c = Plot@8Exp@xD, Cos@xD + 4<, 8x, -2 p, 2 p<D

Out[48]=

-6 -4 -2 2 4 6

5

10

15

Podemos hacer combinaciones y modificaciones de las gráficas de funciones mediante la orden "Show[]".Para poder ver varias gráficas juntas podemos escribir "Show[gráfico1,gráfico2,...,gráficon]". Veamos unejemplo:

Pract5.nb 7

In[49]:= Show@a, bD

Out[49]=-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

In[50]:= Show@a, cD

Out[50]=-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Uno de los usos más corrientes del comando "Show[]" es el mostrar el gráfico de formas diferentes. Vea-mos a continuación los posibles cambios que podemos introducir a través de esta orden en una gráfica. Laforma de cambiar una opción en un gráfico es la siguiente:"Show[gráfico,opción->valor]". Veamos algunas de las opciones más utilizadas:

"AspectRatio": Indica la proporción entre la altura y la anchura. El valor por defecto es aproximadamente 0.618034.

"Axes": Toma el valor "True" si representa los ejes en el gráfico y "False" en caso contrario. El valor pordefecto es "True".

"AxesLabel": Permite etiquetar los ejes. Para ello hay que escribir "AxesLabel->{"nombre del ejex","nombre del eje y"}". Por defecto no se etiquetan los ejes.

"Background": Permite dar color al fondo del gráfico.

"Frame": Permite incorporar o no un marco al gráfico según el valor sea "True" o "False". El valor por defecto es "False".

"PlotLabel": Permite etiquetar el gráfico con una expresión. Por defecto no se etiqueta el gráfico.

"PlotRange": Incluye el rango de coordenadas en el que se quiere realizar la gráfica. Las opciones másutilizadas son: "PlotRange->Automatic" que muestra la parte que Mathematica considera interesante y esla que toma por defecto, "PlotRange->All" que muestra todos los puntos, "PlotRange->{ymínimo,ymáximo}" que corresponde al rango de "y" que se quiere mostrar en la gráfica.

Ilustremos todas estas opciones mediante ejemplos:

8 Pract5.nb

In[51]:= ShowBa, AspectRatio Ø1

2F

Out[51]=-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

In[52]:= Show@a, Axes Ø FalseD

Out[52]=

In[53]:= Show@a, AxesLabel Ø 8"eje x", "eje y"<D

Out[53]=-6 -4 -2 2 4 6

eje x

-1.0

-0.5

0.5

1.0eje y

In[54]:= Show@a, Background Ø [email protected], 0.659, 0.890DD

Out[54]=-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Pract5.nb 9

In[55]:= Show@a, Frame Ø TrueD

Out[55]=

-6 -4 -2 0 2 4 6-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

In[56]:= Show@a, PlotLabel Ø "función Sen@xD"D

Out[56]=

-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0función Sen@xD

10 Pract5.nb

In[57]:= Show@a, PlotRange Ø 8-2, 2<D

Out[57]=-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2

Hay otras modificaciones en la forma en la que el Mathematica representa una función para las que nopodemos utilizar el comando "Show[]" si no que debemos incluirlas directamente dentro del comando"Plot[]" junto con la función. De estas opciones las más utilizadas son:

"PlotPoints": Corresponde al número mínimo de puntos en los que se evalua la función. El valor pordefecto es 25.

"PlotStyle": Reune una serie de opciones con las que se puede cambiar el grosor, el color y el aspecto de la gráfica. La sintaxis para estas opciones es "PlotStyle->{Thickness[] , GrayLevel[] óRGBColor[] , Dashing[]}". Concretamente:"Thickness[]" representa el grosor de la línea utilizada en la gráfica. Su argumento representa la razónentre el ancho de la línea y el de toda la gráfica. "GrayLevel[]" indica la tonalidad de gris con la que se dibuja la gráfica. Depende de un argumento que esun número comprendido entre 0 (color negro) y 1 (color blanco). "RBGColor[]" permite incorporar color a la gráfica. Depende de tres parámetros: el primero de elloscorrespondiente al color rojo, el segundo al verde y el tercero al azul. Estos números están comprendidosentre 0 y 1. Cuanto más cerca del cero esten estos argumentos más tenue será el color. "Dashing" representa la gráfica a trozos.

In[58]:= Plot@x + Sin@5 xD, 8x, 0, 30<D

Out[58]=

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

Pract5.nb 11

In[59]:= Plot@x + Sin@5 xD, 8x, 0, 30<, PlotPoints Ø 60D

Out[59]=

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

In[60]:= Show@%, %%D

Out[60]=

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

In[61]:= m = Plot@4 + x + Sin@xD, 8x, -3, 3<D

Out[61]=

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

12 Pract5.nb

In[62]:= Plot@x + Sin@xD, 8x, -3, 3<, PlotStyle Ø [email protected]<D

Out[62]=-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

In[63]:= Show@m, %D

Out[63]=

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

In[64]:= Plot@x + Sin@xD, 8x, -3, 3<, PlotStyle Ø [email protected]<D

Out[64]=-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Pract5.nb 13

In[65]:= Show@m, %D

Out[65]=

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

In[66]:= Plot@x + Sin@xD, 8x, -3, 3<, PlotStyle Ø 8RGBColor@1, 0.8, 0D<D

Out[66]=-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

In[67]:= Show@m, %D

Out[67]=

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

14 Pract5.nb

In[68]:= Plot@x + Sin@xD, 8x, -3, 3<, PlotStyle Ø [email protected]<D<D

Out[68]=-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

In[69]:= Show@m, %D

Out[69]=

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

Pract5.nb 15

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