1

Distribución de Probabilidades

Características Características

p(xp(xi) ) 0 para todos los valores de 0 para todos los valores de

xxii

xx p(x p(xii) = 1) = 1, Si X es V. A. Discreta, Si X es V. A. Discreta

2

Distribución de Probabilidades

Función de Probabilidad, f(x) Función de Probabilidad, f(x) Probabilidad acumulada, F(x).Probabilidad acumulada, F(x). Medida de tendencia Central,Medida de tendencia Central,

= E(x) = = E(x) = Medida de variabilidad, Medida de variabilidad,

22 = V(x) = S = V(x) = Sx22

3

Elementos de una Distribución de Probabilidades

Función de probabilidad

Número de pólizas vendidas por una aseguradora, por semana

3 4 4 5 3 2 2 4 2 2

5 4 2 4 5 3 2 3 3 1

5 5 2 1 2 2 4 2 2 0

2 4 4 5 4 3 1 2 3 1

3 3 1 4 3 1 3 1 4 2

4

Elementos de una Distribución de Probabilidades

Función de probabilidad

Número de pólizas vendidas por semana

# de pólizas

Frecs. Abs.

[n(xi )]

0 1

1 7

2 14

3 11

4 11

5 6

Total 50

5

Distribución de Probabilidades Función de Función de

ProbabilidadProbabilidad,, f(f(xxii) = ) = p(p(xxii = k = k))

XXii p(x p(xii))

00 0.02 0.0211 0.14 0.1422 0.28 0.2833 0.22 0.2244 0.22 0.2255 0.12 0.12Total 1.00Total 1.00

Función de Función de ppprobabilidades probabilidades acumuladas acumuladas [[ F(F(xxii))]]..

Xi p(xi) F(xi)

00 0.02 0.02 0.020.0211 0.14 0.14 0.160.1622 0.28 0.44 0.28 0.4433 0.22 0.22 0.660.6644 0.22 0.88 0.22 0.8855 0.12 1.00 0.12 1.00Total 1.00

6

Elementos de una Distribución de Probabilidades

Propiedades de F(x)Propiedades de F(x) P(x P(x k) = k) = xx p(x) p(x) P(x P(x k) = 1 – p(x < k) k) = 1 – p(x < k) P(x P(x k) = 1 – p(x k) = 1 – p(x k) k)

7

Medida de Tendencia Central, E(x)

E(x) = E(x) = xxii××p(xp(xii)E(x)=xE(x)=x11××p(xp(x11) + xx22××p(xp(x22) + …. +

xxnn××p(xp(xnn)

E(x) = (0E(x) = (0××0.02) + …. + (50.02) + …. + (5××0.12) = 2.84 0.12) = 2.84 pólizaspólizas

Propiedades : Si k es constantePropiedades : Si k es constante1.1.E(k) = kE(k) = k2.2.E(kx) = k E(x)E(kx) = k E(x)3.3.E(x E(x ± y) = E(x) ± E(y)± y) = E(x) ± E(y)

8

Medida de variabilidad, V(x)

V(x) = V(x) = [x[xii – E(x)] – E(x)]2 2 ×× p(x p(xii)

V(x) = [xV(x) = [x11 – E(x)] – E(x)]22××p(xp(x11) + [x[x22 – E(x)] – E(x)]2 2 ××p(xp(x22) +….+ [x[xnn – – E(x)]E(x)]2 2 ××p(xp(xnn)

V(x) = [0 –2.84]V(x) = [0 –2.84]2 2 ×× 0.02 0.02 + [1 – 2.84][1 – 2.84]2 2 ×× 0.14 0.14 +….+ [5 – [5 – 2.84]2.84]2 2 ×× 0.12 0.12

V(x) = 1.69 pólizasV(x) = 1.69 pólizas22

Propiedades: Si k es constantePropiedades: Si k es constante V(k) = 0V(k) = 0 V(kx) = kV(kx) = k2 V(x) V(x) V(xV(x±y) = V(x)±V(y); Si x e y son ±y) = V(x)±V(y); Si x e y son

independientesindependientes

9

Ejemplo: Se lanzan tres monedas al aire, sea la X la V. A. que define el número de caras que aparecen al realizar el experimento.

Xi : 0 1 2 3Probabilidad de no ocurra ninguna caraf(0) = p(EEE) p(EEE) = (½×½×½) =

1/8Probabilidad de ocurra solo una caraf(1) = p(CEE) o p(ECE) o p(EEC)f(1) = (½×½×½) + (½×½×½) +

(½×½×½)f(1) = 1/8 + 1/8 + 1/8 f(1) = 3/8

10

Xi : 0 1 2 3Probabilidad de exactamente dos caras

f(2) = p(CCE) o p(ECC) o p(CEC)f(2) = (½×½×½) + (½×½×½) +

(½×½×½)f(2) = 1/8 + 1/8 + 1/8 f(2) = 3/8

Probabilidad de exactamente tres carasf(3) = P(CCC) P(CCC) = (½×½×½) = 1/8

11

Función de probabilidad de la V. A. número de caras obtenidas en el lanzamiento de tres monedas al aire.Función de probabilidad, f(x) X : 0 1 2 3

P(x) : 1/8 3/8 3/8 1/8Función de densidad o de probabilidad

acumulada

X : 0 1 2 3P(x) : 1/8 3/8 3/8 1/8F(x) : 1/8 4/8 7/8 1

12

Valor esperado de la V. A. número de caras obtenidas en el lanzamiento de tres monedas al aire.

X : 0 1 2 3P(x) : 1/8 3/8 3/8 1/8

E(x) = E(x) = xxii××p(xp(xii)E(x) = (0×1/8)+(1×

3/8)+(2×3/8)+(3×1/8)

E(x) = 0 + 3/8 + 6/8 + 3/8E(x) = 12/8 = 1.5 caras

13

Varianza de la V. A. número de caras obtenidas en el lanzamiento de tres monedas al aire. X : 0 1 2 3P(x) :1/8 3/8 3/8 1/8

V(x) = V(x) = [x[xii–E(x)]–E(x)]2 2 ×× p(x p(xii)

V(x) = [(0–1.5)2×1/8]+…+ [(3–1.5)2×1/8]

V(x) = 7/8 = 0.875 caras2

S = V(x) = 0.875 = 0.935 caras

14

Ejemplo: Una empresa de servicios eléctricos tiene una venta esperada de $35,775 y una varianza de 125,500$2. Esta empresa ofrece a sus empleados un salario igual a una suma fija de $1,500 más un 10% de las ventas totales. Calcule:1. El salario esperado por vendedor2. La desviación estándar del salario por vendedor

Sea V el monto de las ventas S = 1.500 + 0.10 V, luego E(s), sería E(s) = E(1,500+0.10 V) E(s) = E(1,500) + E(0.10 V) E(s) = 1,500 + 0.10 E(V) E(s) = 1,500 + 0.10 * 35,775 E(s) = 5,077.5 $

15

Varianza del salario

S = 1,500 + 0.10 V, luego V(s), es V(s) = V(1,500 + 0.10V) V(s) = V(1.500) + V(0.10V) V(s) = 0 + 0.102 V(V) V(s) = 0 + 0.010 * 125,500 V(s) = 1,255 $2

D.E = V(s) D. E = 1,255 D.E = 35.42$