Primer Trabajo Metodos Numericos

8/12/2019 Primer Trabajo Metodos Numericos

1/26

PRIMER TRABAJO DE MTODOS NUMRICOS

CAMILO GOMEZ GOMEZ - C.C. 1152685754

FEDERICO PEREZ MESA - C.C. 1037626390

DANIEL RAMREZ SALAZAR - C.C. 1036659069

PROGRAMACIN ESTRUCTURADA Y MTODOS NUMRICOS

FELIPE ANDRS OBANDO

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA

MEDELLIN

2014


2/26

CONTENIDO

Pg

1.Introduccin......... .......4

2.Objetivo general....................................................................5

2.1.Objetivos especficos5

3.Justificacin... ..............6

4.Presentacin del problema...... ...............................7

5.Solucin primer punto........................................10

5.1. Solucin mediante el mtodo grfico........................10

5.2.Solucin mediante los mtodos cerrados...11

5.2.1.Solucin mediante el mtodo de la biseccin.11

5.2.2.Solucin mediante el mtodo de la falsa posicin..................................11

5.2.3.Anlisis de resultados mtodos cerrados.11

5.3.Solucin mediante los mtodos abiertos.12

5.3.1. Solucin mediante el mtodo de iteracin de punto fijo.12

5.3.2. Solucin mediante el mtodo de Newton Raphson.12


3/26

5.3.3. Solucin mediante el mtodo de la secante.13

5.3.4.Anlisis de resultados mtodos abiertos...13

6.Solucin segundo punto.14

6.1.1. Regresin polinmica variable pensamiento vs velocidad.14

6.1.2. Regresin polinmica de la variable frenada vs velocidad.16

6.2.1. Polinomio de Newton para la relacin pensamiento vs velocidad....17

6.2.2. Polinomio de Newton para la relacin frenada vs velocidad..186.3. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo al pensamiento.19

6.4. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo a la variable frenada....19

6.5.Anlisis de resultados..20

7. Solucin tercer punto..21

7.1. Solucin mediante el mtodo de Gauss-Seidel..23

7.2. Solucin mediante el mtodo de Jacobi..23

7.3.Solucin mediante el mtodo de Newton....23

7.4. Solucin radio de la placa a 500Lb...24

8. Conclusiones...26


4/26

1. INTRODUCCIN

Existen diferentes alternativas para solucionar problemas matemticos, se pueden obtener soluciones

a travs de mtodos analticos, mtodos grficos, con el uso de calculadoras o reglas de clculo. Pero

tambin existe una metodologa que parte del uso de operaciones matemticas bsicas realizando

clculos puramente aritmticos y lgicos, esta metodologa se conoce como anlisis numrico.

Se pretende con este trabajo obtener, a partir de la implementacin de diferentes mtodos, la solucin

de ecuaciones de una sola incgnita para describir posibles fallas que se tienen en cuenta durante e

diseo de vehculos, as como estimaciones del tiempo de frenado en base a pruebas realizadas y

expresando los resultados a partir de un polinomio que se obtiene como resultado de una regresin

Tambin se obtendrn soluciones de sistemas de ecuaciones usando los mtodos de Gauss-Seide

Newton-Raphson y Jacobi con el fin de predecir la presin necesaria para enterrar objetos en suelo

blando con base en un suelo ms duro.

Todos estos mtodos y anlisis mencionados anteriormente se realizaran contando con la ayuda de

programa MATLAB para la solucin matemtica y contaran con el posterior anlisis de parte del grupo

de trabajo teniendo en cuenta la teora ya conocida en cursos anteriores, as como la teora

desarrollada en clase.


5/26

2. OBJETIVO GENERAL

Resolver problemas matemticos por medio de mtodos numricos de tal forma que puedan

resolverse usando operaciones aritmticas bsicas, es decir, adicin, sustraccin, multiplicacin y

divisin

2.1. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Determinar a travs de distintos mtodos de solucin de ecuaciones y con la ayuda de software

especializado (matlab) el ngulo que se relaciona con la falla por colisin de la defensa

delantera de un vehculo todo terreno.

Establecer una ecuacin polinmica que determine la relacin existente entre el pensamiento y

frenado de un vehculo respecto a su velocidad

Identificar un sistema de ecuaciones que permita predecir la presin requerida para enterrar un

objeto grande y pesado en el suelo blando


6/26

3. JUSTIFICACION:

Este trabajo se realiza con el fin de profundizar y analizar a fondo lo visto en el curso de programacin

estructurada y mtodos numricos, es decir, reconocer los tres tipos de solucin para ecuaciones de

una incgnita (mtodo grfico, mtodos cerrados y mtodos abiertos). Comprender el uso de

algoritmos para la solucin de sistemas de ecuaciones con los mtodos de Gauss Seidel, Jacobi y

Newton Raphson.

De igual manera se desea entender y saber aplicar el concepto de regresin lineal y de polinomio de

newton para encontrar la relacin existente entre variables anteriormente medidas de manera

experimental.


7/26

4.PRESENTACIN DEL PROBLEMA:

1. En el diseo de los vehculos para todo tipo de terreno, es necesario tener en cuentalas fallas cuando se trata de librar dos tipos de obstculos. Una es la falla por

rozamiento, y ocurre cuando el vehculo intenta cruzar un obstculo que hace que su

fondo toque el suelo. La otra recibe el nombre de falla por colisin de la defensa

delantera y ocurre cuando el vehculo desciende por una zanja y la defensa delantera

toca el suelo.

Figura 1: Modelo simplificado de un vehculo

La figura 1 muestra los componentes asociados al segundo tipo de falla. En ella se

indica que el ngulo mximo que puede alcanzar un vehculo cuando es el ngulo

mximo en que no ocurre la falla por rozamiento satisface la ecuacin:

Asen cos+ B sen2C cos

E sen = 0 (1

Dnde:

A = l sen 1

B = lcos1

C = (h + 0,5D) sen 1 0,5D tan 1

E = (h + 0,5D) cos1 0,5D

(2)


8/26

8

Para este problema se pide:

a) Elabore uno o varios algoritmos en matlab que permita calcular el valor delngulo cuando se conocen los dems parmetros. Para esto implementetodos los mtodos para el clculo de races vistos en clase.

b) Calcule el valor de cuando l = 89pul g, h = 49pul g,1 = 11,5 y

1) D= 55pul g

2) D= 30pul g

c) Compare los resultados obtenidos y el nmero de iteraciones realizadaspor cada mtodo

d) Analice los resultados.

Nota: Como mtodo de parada utilice un nmero mximo deiteraciones o un error relativo porcentual igual para todos los

mtodos.

2. La distancia requerida para detener un vehculo consta de loscomponentes pensamiento y frenada cada uno de los cuales es funcin

de la velocidad. Los siguientes datos experimentales fueron recolectados

para cuantificar esta relacin

Tabla 1: Datos distancia de frenada

a) Grafique los datos dados

b) Realice una regresin polinmica que mejor represente cada una de lasrelaciones. Grafique los datos y las ecuaciones obtenidas.

c) Use estas ecuaciones para estimar la distancia de frenado para unvehculo que viaja a110km/hr.

d) Obtenga una polinomio de Newton o Lagrage que mejor represente cadauna de las relacio- nes. Grafique los datos y las ecuaciones obtenidas.

e) Use estas ecuaciones para estimer la distancia de frenado para unvehculo que viaja a110km/hr.

f) Analice los resultados obtenidos.


9/26

9

3. La presin requerida para enterrar un objeto grande y pesado en un

suelo blando homogneo que se encuentra sobre una base de suelo duro

puede predecirse a partir de la presin necesaria para enterrar objetos

ms pequeos en el mismo terreno. En concreto, la presin p requerida

para enterrar una placa circular de radio r a una distancia d en el sueloblando, donde la base dura se encuentra a una distancia D > d debajo

de la superficie, puede aproximarse mediante una ecuacin de la forma:

p = k1 ek2 r + k3 r

Donde k1 , k2 y k3 son constantes, con k2 > 0 que depende de d y de la

consistencia del terreno pero no del radio de la placa.

a) Calcule los valores de k1 , k2 y k3 si suponemos que una placa cuyo radioes de 1pul g requiere una presin de 10l b/pulg2 para enterrarse 1pie en uncampo fangoso, una placa cuyo radio es de 2pul g requiere una presin de

12l b/pulg2 para enterrarse 1pie y una placa de 3pul g de radio requiere

una presin de 15l b/pulg2 para enterrarse esta distancia (suponiendo que

el lodo tiene una profundidad de ms de 1pie). Para esto implemente en

matlab el mtodo de Gauss-Seidel, Jacobi y Newton-Raphson para resolver

el sistema de ecuaciones resultante. Analise las diferencias obtenidas con

los mtodos.

b) Use los resultados obtenidos anteriormente para predecir el tamaomnimo de la placa circular que necesitar para sostener una carga de 500l

b en este campo, con un hundimiento menor a 1pie.


10/26

10

5. SOLUCION PRIMER PUNTO

5.1. SOLUCIN MEDIANTE EL MTODO GRFICO

Procedemos a ingresar el algoritmo a matlab y grficos para encontrar el cero de

la raz visualmente

Vemos entonces con la grafica que la raiz de la ecuacin es aproximadamente

0.58


11/26

11

5.2 SOLUCIN MEDIANTE LOS MTODOS CERRADOS

5.2.1. Solucin mediante el mtodo de la biseccin

Al realizar la solucin de la siguiente ecuacin mediante el mtodo de la biseccin

en matlab

El valor de la raiz obtenida mediante el algoritmo es : c=0.5750

El numero de interaciones fue 10

5.2.2. Solucin mediante el mtodo de la falsa posicin

Al realizar la solucin de la siguiente ecuacin mediante el mtodo de la falsa

posicin en matlab

El valor de la raiz obtenida mediante el algoritmo es : c=0.5773

5.2.3. Anlisis resultados mtodos cerrados

Podemos observar que al realizar la solucin de la ecuacin mediante los mtodos

cerrados y el mtodo grfico los 3 resultados son aproximadamente iguales lo que

nos lleva a pensar que los mtodos estn convergiendo al valor real de la raz,


12/26

12

5.3. SOLUCIN MEDIANTE LOS MTODOS ABIERTOS

5.3.1. Solucin mediante el mtodo de la iteracin de punto fijo


posicin en matlab

Al igual que en los mtodos cerrados y partiendo de los datos suministrados, la

raiz resultante es c=0.46046. El nmero necesario de iteraciones para llegar al

resultado es de 1 que parte de un valor semilla de 0.3

5.3.2. Solucin mediante el mtodo de Newton Raphson


posicin en matlab

Al igual que en los mtodos cerrados y partiendo de los datos suministrados, la

raiz resultante esc=0.564641 El nmero necesario de iteraciones para llegar al

resultado es de 6 que parte de un valor semilla de 0.3


13/26

13

5.3.3. Solucin mediante el mtodo de la secante


posicin en matlab

Al igual que en los mtodos cerrados y partiendo de los datos suministrados, laraz resultante esc=0.5085.El nmero necesario de iteraciones para llegar al

resultado es de 6 que parte de un valor semilla de Xo= 0.3 y X1=0.6

5.3.4. Anlisis de resultados mtodos abiertos

Obsrvese que en los mtodos abiertos para lograr el mismo resultado que se

obtuvo en los mtodos cerrados, se requiere de un valor semilla muy cercano a la

raz real y un nmero bajo de iteraciones.

En promedio la raz obtenido fue 0.5112 que corresponde a 29.28 grados

sexagesimales. Este grado de inclinacin es el que tiene la lnea que une los dosejes de las ruedas del vehculo (L). Para un ngulo Beta mximo y para un valor

de alfa mayor o igual a 29.28 grados ocurre una falla por colisin de defensa

delantera


14/26

14

6. SOLUCIN SEGUNDO PUNTO

Para resolver el segundo punto del taller primero cabe anotar que las variables

pensamiento y frenada estarn en funcin cada uno de la velocidad del vehculo,

es decir, cada una de ellas tendr su propia ecuacin

6.1.1. Regresin polinmica variable pensamiento vs velocidad

Ecm=0.0989 (Error cuadrtico medio)


15/26

15

A partir de la grfica y el error que se tiene de la obtencin del polinomio, se pude

ver que dicho polinomio de grado 2 representa de manera fidedigna la relacin

existente entre la variable pensamiento y la velocidad del vehculo


16/26

16

6.1.2. Regresin polinmica de la variable frenada vs velocidad

Ecm= 0,1198 (error cuadrtico medio)

Se observa en la grfica obtenida del polinomio de grado 2 y del error cuadrtico

medio, la relacin de dependencia que tiene la capacidad de frenado respecto a lavelocidad del auto. Se ve claramente que la ecuacin satisface punto a punto la

funcin y muestra un error mnimo.


17/26

17

6.2.1. Polinomio de Newton para la relacin pensamiento vs velocidad

De acuerdo con el polinomio de newton obtenido, se observa que para describir

punto a punto la funcin que relaciona la variable pensamiento con la velocidad

del vehculo es necesario un polinomio de grado 5


18/26

18

6.2.2. Polinomio de Newton para la relacin frenada vs velocidad


19/26

19

6.3. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo al pensamiento

Reemplazando el valor de 110Km/h en la ecuacin obtenida al realizar la

regresin lnea para la variable pensamiento (6.1.1) obtenemos:

20.098978

Reemplazando el valor de 110Km/h en el polinomio de newton que mejor

representa la relacin de la variable pensamiento con la velocidad del vehculo

(6.2.1) obtenemos:

6.4. Valores distancia de frenado del vehculo de acuerdo a la variable

frenada

Reemplazando el valor de 110Km/h en la ecuacin obtenida al realizar la

regresin lnea para la variable frenada (6.1.2) obtenemos:

Reemplazando el valor de 110Km/h en el polinomio de newton que mejor

representa la relacin de la variable frenada con la velocidad del vehculo (6.2.2)

obtenemos:


20/26

20

6.5. Anlisis de resultados

Variable pensamiento vs velocidad:De los resultados obtenidos tanto de

la regresin polinmica como del polinomio de newton se puede decir que

son coherentes con la distancia intuitiva que se esperara a la reaccin

humana, es decir que el tiempo de reaccin segn ambos polinomios es de

aproximadamente medio segundo para una velocidad de 110km/h.

Variable frenada vs velocidad: se ve claramente que de la misma manera

en que la relacin terica pensamiento-velocidad muestra concordancia con

lo esperado en un resultado real, la relacin frenada-velocidad manifiestaasimismo un comportamiento aproximado a lo esperado. Entonces para

una velocidad de 110km/h el vehculo luego de la reaccin del conductor

tarda aproximadamente 70 m en detenerse.

Tericamente se conoce que el teorema de newton es ms exacto y se observa

que en ambos casos, tanto pensamiento como frenado, este polinomio presenta

una reduccin de distancia para reaccionar y detener el vehculo.

Por ltimo cabe sealar que para la velocidad de 110 km/h se requieren para

frenar, en promedio y de acuerdo a los polinomios obtenidos segn ambos

mtodos, 19.11 m por pensamiento y 69.425m de espacio recorrido durante el

frenado, para un total de 88.535m.


21/26

21

7. SOLUCIN TERCER PUNTO

Para solucionar dicho punto se procede primero a montar el sistema de

ecuaciones de acuerdo a los datos entregados en el problema obteniendo lo

siguiente:

Para expresar el sistema de ecuaciones bien, procederemos a sacar logaritmo

natural a ambos lados obteniendo:

Teniendo as el sistema, obtendramos la siguiente matriz que nos ayudara a

resolver el problema:

=

x

En base a esta matriz, obtendramos las funciones que piden los mtodos al

momento de resolverlo matemticamente, es decir, g1(y,z) , g2(x,z) , g3(x,y)

Cabe anotar que para nuestro caso en la solucin de las ecuaciones:

; ;


22/26

22

Luego de definir a x, y, z definiremos a g1, g2 y g3 de la siguiente manera:

Tomaremos los valores x=1, y=1,z=1 para hallar el valor semilla de cada variable

y reemplazando estos valores en las ecuaciones anteriores obtenemos:

; ;


23/26

23

7.1. Solucin mediante el mtodo de Gauss-Seidel

Reemplazando los valores obtenidos, en el algoritmo del mtodo de Gauss Seidelobtenemos que:

; y ;

Es decir, recuperando la sustitucin hecha:

; Obteniendo que

; Obteniendo que

7.2. Solucin mediante el mtodo de Jacobi

Reemplazando los valores obtenidos, en el algoritmo del mtodo de Jacobi

obtenemos los siguientes valores:

; y ;

Obteniendo que ; ;

7.3. Solucin mediante el mtodo de Newton

Reemplazando los valores obtenidos, en el algoritmo del mtodo de Newton

obtenemos los siguientes valores:

; y ;

Obteniendo que ; ;


24/26

24

7.4. Solucin radio de la placa a 500 lb

Mediante el mtodo de Gauss-Seidel

p = k1 ek2 r + k3 r

Con los valores obtenidos gracias al mtodo de Gauss-Seidel y

despejando r de la ecuacin anterior obtenemos la siguiente expresin:

Resolviendo dicha ecuacin con el mtodo de la biseccin

obtenemos un valor de r=8.61 pulgadas

Mediante el mtodo de Jacobi

p = k1 ek2 r + k3 r

Con los valores obtenidos gracias al mtodo de jacobi y despejando r de la

ecuacin anterior obtenemos la siguiente expresin:




25/26

25

Mediante el mtodo de Newton

p = k1 ek2 r + k3 r

Con los valores obtenidos gracias al mtodo de Newton y despejando r de

la ecuacin anterior obtenemos la siguiente expresin:




26/26

26

8. CONCLUSIONES

Gracias al software matemtico, para este caso MATLAB, es posible

implementar rpidamente mtodos numricos para la solucin de

problemas complejos de ingeniera que de otra manera requeriran una

inversin de tiempo y de recursos relativamente altos y sin garanta de

obtener resultados satisfactorios que permitan aplicaciones acertadas en

aplicaciones de considerada relevancia en distintas reas de trabajo.

Para la solucin de ecuaciones con una incgnita existen dos grupos de

mtodos, abiertos y cerrados. Con los mtodos cerrados la posibilidad deencontrar la solucin que aplica a la realidad del problema es alta, mientras

que para los mtodos abiertos es necesario un conocimiento ms profundo

del problema que se trata de solucionar para evitar as incurrir en

soluciones no acordes a la realidad o incongruencias matemticas como

divergencias en el valor solucin. A pesar del mayor gasto de recursos, los

mtodos cerrados cuentan con mayor confiabilidad a la hora de obtener

resultados positivos.

De acuerdo a la teora, al anlisis y a los resultados obtenidos se evidencia

que los mtodos implementados satisfacen correctamente con lo requerido,

y concordando con la teora, el mtodo de newton es el ms acertado y

preciso en la prctica, dejando claro que es el mtodo ms confiable para la

solucin de ecuaciones polinmicas

Primer Trabajo Metodos Numericos

Documents

Transcript of Primer Trabajo Metodos Numericos