PRINCIPIOS

1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

El Principio de superposición fue explicitado por Euler (1707-1783). " Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elásticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas"

Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición:Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas.Lo anterior se cumple en los materiales elásticos como por ejemplo el acero.Pero además ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elástico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación.

2. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

Corresponde a Saint-Venant (1797-1886) el enunciado del principio que lleva su nombre acerca de la actuación de un sistema de fuerzas sobre una sección." A cierta distancia de la sección donde actúa un sistema de fuerzas, la distribución de tensiones es prácticamente independiente de la distribución del sistema de fuerzas, siempre que su resultante y momento resultante sean iguales "

Este principio permite el que podamos calcular las tensiones en fibras y estudiar las secciones en barras, en base a los diagramas de solicitaciones (axiles, cortantes, flectores y torsores).El procedimiento para obtener tales diagramas se basa en el concepto de reducción de un sistema de vectores en un punto desarrollado en la teoría de vectores y que puede verse en cualquier texto de Mecánica general.

3. PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Fue enunciado por Johann Bernouilli en el año 1717:

" Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo"

El sentido que se le atribuye en el párrafo anterior al término "virtual" es coincidente con el término matemático "diferencial".

El principio de los desplazamiento virtuales sirve de base a la Estática Analítica que como sabemos es un planteamiento para definir posiciones de equilibrio en los sólidos y conjuntos de sólidos rígidos .

4. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

" Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga "

Este principio es muy importante al establecer una relación entre el trabajo de deformación exterior ( función de las solicitaciones exteriores: axiles, cortantes, flectores, torsores y las deformaciones lineal y angular) con la energía de deformación interior ( función del tensor de tensiones y las deformaciones volumétricas).

El P.T.V. fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su " Mecánica Analítica " donde coloca las bases de dicha disciplina.

No obstante a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernouilli (1654-1705) y por Daniel Bernouilli (1700-1782).

El principio de los trabajos virtuales (P.T.V.) se encuentra en la base del Teorema de Castigliano, que es muy importante para la determinación de deformaciones y resolución de estructuras hiperestáticas, especialmente en el conjunto de las estructuras planas de nudos articulados y mixtas.

5. PRINCIPIO DE BERNOUILLI

Es importante este principio para establecer la distribución de tensiones en fibras. Corresponde fundamentalmente a Santiago Bernouilli (1654-1705) y se refiere a que las secciones transversales de una barra que se deforma por flexión permanecen planas y normales a las fibras deformadas.

Hemos de citar como científicos que trabajaron sobre en la enunciación, demostración y comprobación de este principio, además del anteriormente referido, a Saint-Venant, a Navier y a Euler.

TEOREMAS 1. TEOREMA DE MAXWELL

Aunque se cite únicamente el nombre de Clerk Maxwell (1831-1879) hemos de considerar la aportación de otros científicos como Mohr y Clapeyron .Maxwell en 1864 expone el teorema que denominó " Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos " y que actualmente se conoce como Teorema de Maxwell como sigue:

" Si en un sistema elástico actúa una causa en un punto , A , la deformación que se produce en otro punto del sistema , B , es igual a la que se produciría en A si la causa actuase en B "

Mohr en 1874 desarrolla por separado el mismo teorema, introduciendo la terminología de " Trabajo virtual " y presentando un conjunto de aplicaciones.

Heinrich Muller-Breslau en 1886 hace también aportaciones tomando como base los trabajos de Maxwell y Mohr.

2. TEOREMA DE MAXWELL-BETTI

" En un sistema elástico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas (A), al aplicar otro sistema de fuerzas (B), es igual al trabajo realizado por el sistema (B) al aplicar el sistema de fuerzas (A) "

También es denominado Teorema de la Reciprocidad y puede enunciarse así:

" El trabajo efectuado por las fuerzas correspondientes a un estado de carga (A) durante los desplazamientos originados por un segundo estado de carga (B), es igual si la carga fuera (B) y los desplazamientos los correspondientes al sistema (A). "

3. TEOREMA DE MENABREA

Menabrea en 1858 enunció el Teorema del " Trabajo mínimo “:" En un sistema de cuerpos elásticos, el valor de las reacciones hiperestáticas, correspondientes a los enlaces superabundantes, hacen estacionario el potencial interno del sistema”

Aunque puede utilizarse para la determinación de vinculaciones hiperestáticas, ha quedado superado por la operatividad del Teorema de Castigliano.

4. TEOREMAS DE CASTIGLIANO

En 1873 Alberto Castigliano elabora una tesis sobre el Método del Trabajo Mínimo.

1er. Teorema :En 1876 presenta su " Método de cálculo de deformaciones " como un primer teorema, que dice:

" La derivada parcial del trabajo respecto de una fuerza, nos da el valor de la deformación que produce "

2º Teorema :En relación al trabajo mínimo, expone su segundo teorema :

" Cuando un sistema elástico está sometido a la acción de distintas fuerzas, la distribución del trabajo interno es tal que da lugar a un trabajo mínimo ".

La operatividad que introduce Castigliano ha determinado su relevante posición en la Teoría de Estructuras, pues aunque los fundamento teóricos fueran enunciados por Menabrea, fue Castigliano quien los desarrolló e hizo aplicables y operativos para el cálculo de estructuras hiperestáticas.

5. TEOREMAS DE MOHR

Los Teoremas de Mohr representan una valiosa herramienta para el cálculo de deformaciones.

1er. Teorema:

" El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez " .

2º. Teorema:

" La ordenada de un punto (2) de la elástica, respecto a la tangente en otro punto (1) , es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I ".

En la figura indicamos en la sección 2, mediante una línea vertical (y) el valor calculado mediante el 2º T. de Mohr, tomando como referencia la sección 1, en donde hemos dibujado la tangente, así como el ángulo ( ) , girado entre las secciones 1 y 2, calculado utilizando el 1er. T. de Mohr.

6. TEOREMA DE BARRÉ

Este teorema es utilizado para la determinación de los flectores máximos que se producen en vigas sometidas a cargas móviles:

" El momento flector máximo que se origina en una viga sometida a un tren de cargas móviles, se encuentra bajo una rueda cuando esta rueda y la resultante total del tren de cargas equidista del centro de la viga "

7. TEOREMA DE CLAPEYRON

Este teorema es utilizado para establecer una relación entre el trabajo exterior de las cargas y la energía interna de deformación de los sólidos elásticos y puede enunciarse como sigue:

" La energía de deformación almacenada en un cuerpo elástico es igual a la mitad de la suma de los productos de las fuerzas exteriores por los correspondientes desplazamientos ".El teorema de Clapeyron es muy importante por la posibidad que aporta de calcular las energías de deformación internas de los sólidos elásticos en función de las solicitaciones exteriores (axiles, cortantes, flectores y torsores) y además está en la base del teorema de Maxwell.