MedidasdeDispersión

Estadís0caIV°MedioProfesorAlbertoAlvaradejoOjeda

Dispersióneselgradodevariaciónodiseminacióndelosdatos.Dosconjuntosdedatospuedendiferirtantoentendenciacentralcomoendispersiónodosconjuntosdedatospuedentenerlasmismasmedidasdetendenciacentral,perodiferirmuchoentérminosdedispersión.

Ejemplo:

Losestadígrafosdedispersiónnosindicansiladistribuciónoconjuntodedatosformagruposhomogéneosoheterogéneos.Lasmedidasdedispersiónaestudiarson:rango,desviaciónmedia,rangointercuar3lico,varianzaydesviaciónestándar.

Rango

Indicaelnúmerodevaloresquetomalavariable.Elrangoesladiferenciaentreelvalormáximoyelvalormínimodeunconjuntodedatos.

Silosdatosestánagrupadosenunatabladefrecuencias,elrecorridoesladiferenciaentreellímitesuperiordelúl0mointervaloyellímiteinferiordelprimerintervalo.

R=xmáx-xmín

R=LSmáx-LImín

Ejemplo:

1)Seaelsiguienteconjuntodedatos

12,15,17,23,25,28

𝑥↓𝑚á𝑥 =28 𝑥↓𝑚í𝑛 =12

2)Endatosagrupados

𝑅= 𝑥↓𝑚á𝑥 − 𝑥↓𝑚í𝑛 =28–12=16

𝑅= 𝐿↓𝑚á𝑥 − 𝐿↓𝑚í𝑛 =95,4–55=40,4

DesviaciónMedia

Eslamediaaritmé0cadelosvaloresabsolutosdelasdesviacionesdetodoslosdatosrespectoalamediaaritmé0ca.SusímboloesDM.

Esdistanciapromedioqueestánlosdatosdellamediaaritmé0ca

a)Desviaciónmediaparadatosnoagrupados

Ejemplo:Obtenerladesviaciónmediaparalosdatos5,7,8,10y16

b)Desviaciónmediaparadatosagrupados

Dondexieslamarcadeclase

Ejemplo:Determinarladesviaciónmediadelossiguientesdatosagrupados

𝐷𝑀= |61−67,5|∙5+|64−67,5|∙18+|67−67,5|∙42+|40−67,5|∙27+|73−67,5|∙8/100 

Rangointercuar3ílico

Unamedidaquenoesafectadaporlosvaloresextremoseselrangointercuar<lico(RIC).Estamedidadevariabilidadesladiferenciaentreeltercercuar0lQ3yelprimercuar0lQ1.Enotraspalabras,elrangointercuar]licoeselrangoenqueseencuentrael50%centraldelosdatos.

IQR=Q3-Q1

VarianzayDesviaciónEstándar

Dosmedidasdedispersiónqueseu0lizanconfrecuenciayquesítomanenconsideraciónlaformaenquesedistribuyenlosvaloressonlavarianzaysuraízcuadrada,ladesviaciónestándar.Estasmedidasestablecenlaformaenquelosvaloresfluctúanconrespectoalamedia.

Varianza

Lavarianzasedefinecomoelpromedioaritmé0codelasdiferenciasentrecadaunodelosvaloresdelconjuntodedatosylamediaaritmé0cadelconjuntoelevadasalcuadrado.

SusímboloesS2siestamostrabajandoconunamuestra

dondexirepresentalosdatosdelamuestra.

Ejemplo:Determinarlavarianzadelsiguienteconjuntodedatos:25,12,23,28,17,15

b)Varianzaparadatosagrupados

Ejemplo:Considerelatablaconlosdatosdelosedadesde26personas

DesviaciónTípicaoDesviaciónEstándar

Eslaraízcuadradaposi0vadelaVarianza.SusímboloessiseestátrabajandoSconunamuestra.

Dondexirepresentalosdatosdelamuestra.

Ejemplo:paraelconjuntodedatos:25,12,23,28,17,15;dondeseobtuvounavarianzadeS2=39,2sudesviaciónestándares𝑺=√𝟑𝟗,𝟐 =𝟔,𝟐𝟔unidades.

a)Desviaciónestándarparadatosnoagrupados

b)Desviaciónestándarparadatosagrupados

Dondexieslamarcadeclase

Ejemplo:Paraelejemplodelosdatostabuladossobrelasedadesde26personasseobtuvocomovarianza 𝑺↑𝟐 =𝟓𝟏,𝟔𝟏𝟖;luegosudesviaciónestándarserá:

𝑺=√𝟓𝟏,𝟔𝟏𝟖=𝟕,𝟏𝟖  𝒂ñ𝒐𝒔

¿QuéindicanlaVarianzaylaDesviaciónEstándar?

Lavarianzayladesviaciónestándarmidenladispersión"promedio"entornoalamediaaritmé0ca,esdecir,cómofluctúanlasobservacionesmayoresporencimadelamediaaritmé0caycómosedistribuyenlasobservacionesmenorespordebajodeella.

LavarianzaAlcalcularlaseob0enenunidadesalcuadradocm2,pulgadas2,mm2,(edades)2,(horas)2,etc.Ladesviaciónestándar,cuyovalorestádadoenlasunidadesoriginales:cm,pulgadas,mm,edades,horas,etc.

Enlosejemplosanteriores:

a)  Paralamuestradedatos:25,12,23,28,17,15seobtuvopordesviaciónestándarS=6,26(unidades).Estoindicaquelamayorpartedelosdatosdeestamuestraseagrupandentrode6,26unidadesporencimaypordebajodelamediaaritmé0ca,esdecir:

i.  20-6,26=13,74ii.  20+6,26=26,26

b)Paraelcasodelosdatostabuladoscorrespondientesalasedadesde26personas,seobtuvounadesviaciónestándardeS=7,18años.Lamayorpartedelosdatosestánagrupadosentre:

i.  29,26-7,18=22,78añosii.  29,26+7,18=37,14años

CriteriodeHomogeneidad

Unadistribuciónseconsiderahomogénea,siladesviaciónestándarseencuentraentrelaquintaylacuartapartedelrango.Sinoesasí,entoncesseconsideraquelamuestraesheterogénea.

a)  Paralamuestradedatos:25,12,23,28,17,15

R=28–12=16S=6,26

R5, R4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 3,2;4,0( )

S ∉ 3,2;4, 0( )

Lamuestraesheterogénea

b)Paraelcasodelosdatostabuladosdelasedadesde26personas:

R=44-15=29S=7,18años

R5, R4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 6;7, 5( )

S ∈ 6;7,5( )

Lamuestraeshomogénea

1)  Cuantomásseparadosodispersosesténlosdatos,esdecir,paramuestrasheterogéneas,mayoresseránelrango,lavarianzayladesviaciónestándar.

2)  Silosdatosestánmásconcentrados,esdecir,paramuestrashomogéneas,menoresseránelrango,lavarianzayladesviaciónestándar.

3)  Sitodaslasobservacionessoniguales(demaneraquenohayavariaciónenlosdatos),elrango,lavarianzayladesviaciónestándarseránigualesacero.

Observaciones

Coeficientedevariación

Enalgunasocasionesserequiereunestadís0codescrip0voqueindiquecuángrandeesladesviaciónestándarenrelaciónconlamedia.Estamedidaeselcoeficientedevariaciónyserepresentacomoporcentaje.

Ejemplo:Enlosdatosdelostamañosdeloscincogruposdeestudiantes,seencontró́unamediamuestralde44yunadesviaciónestándarmuestralde8.Elcoeficientedevariaciónes[(8/44)100]%18.2%.Expresadoenpalabras,elcoeficientedevariaciónindicaqueladesviaciónestándarmuestrales18.2%delvalordelamediamuestral.

Ejercicios

1.  Considereunamuestraconlosdatos10,20,12,17y16.Calculeelrangoyelrangointercuarílico.

2.  Considereunamuestraque0enecomovalores10,20,12,17y16.Calculela

varianzayladesviaciónestándar.3.  Considereunamuestraconvalores27,25,0,15,30,34,28y25.Calculeelrango,

elrangointercuar]lico,lavarianzayladesviaciónestándar.4.  Laspuntuacionesobtenidasporunjugadordebolicheenseisjuegosfueron182,

168,184,190,170y174.Useestosdatoscomounamuestraycalculelosestadís0cosdescrip0vossiguientes:a)  Rangob)  Desviaciónestándarc)  Varianzad)  Coeficientedevariación

5.  Ahometheaterinaboxeslamaneramássencillayeconómicadetenersonidoenvolventeenuncentrodeentretenimientoencasa.Acon0nuaciónsepresentaunamuestradeprecios(ConsumerReportBuyingGuide2004).LosprecioscorrespondenamodelosconysinreproductordeDVD.

a)  CalculeelpreciomediodelosmodelosconreproductordeDVDyelpreciomediodelosmodelossinreproductordeDVD.¿CuántoesloquesepagademásportenerunreproductordeDVDencasa?

b)  Calculeelrango,lavarianzayladesviaciónestándardelasdosmuestras.¿QuélediceestainformaciónacercadelospreciosdelosmodelosconysinreproductordeDVD?

6.  LastarifasdearriendodeautomóvilespordíaensieteciudadesdelestedeEstadosUnidossonlassiguientes(TheWallStreetJournal16deenerode2004).

a)  Calculelamedia,lavarianzayladesviaciónestándardeestastarifas.b)  Enunamuestrasimilardesieteciudadesdeloestelamediamuestraldelas

tarifasfuede$38pordía.Lavarianzayladesviaciónestándarfueron12.3y3.5cadauna.Analiceladiferenciaentrelastarifasdelasciudadesdelesteydeloeste.