pronosticos

ADMINISTRACIÓN OPERACIONES

PRONÓSTICOS

2

El término pronosticar hace referencia a los métodos específicos utilizados para predecir eventos futuros, en lugar de la simple adivinanza

Los pronósticos son el primer paso a realizar durante la correcta planeación y control de la producción, estos permiten tener un acercamiento a lo qué pasará en el futuro con el fin de tomar decisiones adecuadas es un problema que se presencia con frecuencia en las organizaciones.

Que son los pronósticos??

3

Clases de métodos de pronósticos a utilizar:

Los métodos cualitativos: intentan predecir basado en experiencia y lo dicho por expertos y generalmente se utilizan en ausencia de información histórica.

Los métodos cuantitativos: intentan predecir basado en datos anteriores. Estos se puede subdividir en:

Los métodos causales con regresión intentan relacionar la variable que se quiere pronosticar con alguna otra variable, cuando hay algo muy relaciona con las de análisis.

Los métodos de series de tiempo usan el pasado para determinar el futuro y están basados en principios estadísticos.

4

1. Recopilación de datos 2. Reducción o condensación de datos 3. Construcción del modelo 4. Extrapolación del modelo

Pasos para pronosticar:

5

Estos pueden ser clasificados de acuerdo a tres criterios:

Según el horizonte de tiempo Según el entorno económico abarcado Según el procedimiento empleado

El horizonte de tiempo

Largo Plazo

Mediano Plazo Corto Plazo

Su empleo va desde la elaboración de los planes a nivel estratégico hasta los de nivel operativo.

Tipos de pronósticos:

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Incorporan factores importantes tales como la intuición, emociones, experiencias personales del que toma la decisión, y sistema de valores para alcanzar un pronóstico. Algunas compañías utilizan la otra; pero en la práctica una combinación o mezcla de los dos estilos es generalmente más efectivo.

Pronósticos de tipo cualitativo:

Cuadro de expertos

Analogía histórica

Método Delphi

Estudio de base

Investigación de mercados

Panel de concesos

7

Pronósticos causales con regresión

En este tipo de pronósticos se desea predecir el valor de una variable dependiente, el cual está relacionado con una o más variables observables independientes.

Se le llama pronóstico causal a este método debido a que la variable dependiente está causada, o al menos tiene una correlación alta con el valor de la(s) variable(s) independiente(s).

El análisis de regresión se utiliza para:Predecir el valor de una variable dependiente basado

en el valor de al menos una variable independienteExplicar el impacto de los cambios en una variable

independiente en la variable dependiente

Variable dependiente: la variable que se desea explicarVariable independiente: La variable utilizada para explicar la variable dependiente

Solo una variable independiente, XRelación entre X y Y es descrita por una función linealLos cambios en Y se asumen causados por cambios en X

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓNINTRODUCCION AL ANALISIS DE REGRESION

La relación entre X e Y no siempre es exacta (determinista), es decir una X dada no siempre produce el mismo valor de Y, existen problemas importantes que son de naturaleza probabilística.

El concepto de análisis de regresión tiene que ver con encontrar la mejor relación entre X e Y.

La regresión simple presenta una estructura lineal sencilla y de naturaleza empírica. Se denominan modelos empíricos.


iii εbxˆ ayComponente Lineal

Intercepto Pendiente

Termino aleatorio del error

Variable Dependiente (aleatoria)

Variable Independient

e

Componente aleatorio del error

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓNMODELO DE REGRESION

El modelo de regresión general es:

El componente constate y de la pendiente se estiman a partir de los datos y sus estimados se denotan con a y b respectivamente. ε es una variable aleatoria distribuida con E(ε) = 0 y Var(ε) = σ^2 constante. Se le llama varianza del error o varianza residual.

E(ε) = 0 implica que para una X especifica los valores de Y se distribuyen alrededor de la recta verdadera o recta de regresión de la población.

En la practica nunca se observan los valores reales de ε por lo que nunca se puede trazar la verdadera recta de regresión, aunque se acepta que ahí esta. Únicamente es posible dibujar la recta estimada.


Se deben encontrar los valores de a y b, estimadores de α y β de manera que la suma de los cuadrados de los residuos sea mínima.

Para ello se implementa modelos matemáticos que busquen obtener los valores mas cercanos al real (minimizar la lejanía de la realidad)

n

iii

n

ii

n

iiii bXaYYYeSSE

1

2

1 1

22 ))(()ˆ(


La recta de regresión es la que se obtiene a partir de la nube de puntos y es la que representa mejor la distribución de esos puntos como modelo lineal.Se suele emplear el método de los Mínimos Cuadrados, que consiste en encontrar aquella recta tal que la suma de los cuadrados de las distancias, di, de los puntos a la recta sea la mínima posible.

d1

d2

d3

d4

d5 d6

d8 d9

d10

Mínimoddddd nii 2222

21

2 ......

Bajo esta condición se puede demostrar que la pendiente, b, y la ordenada en el origen, a, se determinan mediante:

x

y

22

ii

iiii

xxn

yxyxnb

nxby

a ii

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓNANALISIS DE REGRESION

Un agente de bienes raíces desea examinar la relación entre el precio de venta de una casa y su tamaño (medido en pies cuadrados).Prediga el precio de una casa de 2000 pies cuadrados.

Una muestra aleatoria de 10 casas fue seleccionada: Variable Dependiente (Y) = Precio de la casa en $1000s Variable Independiente (X) = Pies cuadrados

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓNANALISIS DE REGRESION

Precio de la casa en $1000s Pies cuadrados(Y) (X)245 1400312 1600279 1700308 1875199 1100219 1550405 2350324 2450319 1425255 1700300 1500260 1450200 1300275 1600340 1700

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓNANALISIS DE REGRESION SIMPLE

EJEMPLO

• Grafico de dispersión y línea de regresión

cuadrados) (pies 0.1159 91.75 casa Precio

Pendiente = 0.1159Intercepto = 91.75


EJEMPLO

b0 es el valor medio estimado de y cuando el valor de X es cero (si X = 0 esta en el rango de los valores X observados)

Aqui, ninguna casa tiene 0 pies cuadrados, por lo que b0 = 98.24833 solo indica que, para las casas dentro de la gama de tamaños observados, $98,248.33 es la parte del precio de la casa que no es explicada por los pies cuadrados.

En toda ocasión es importante disponer de una medida que mida la bondad del ajuste realizado y que permita decidir si el ajuste lineal es suficiente o se deben buscar modelos alternativos. Como medida de bondad del ajuste se utiliza el coeficiente de determinación, definido como:

El coeficiente de determinación mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente respecto a su media que es explicada por el modelo de regresión. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por cien .

cuadrados de totalsumaregresión la de cuadrados de suma

SSTSSR2 R

n

i

n

i

yy

yyR

1

2_

1

2_

2

1

111 22

knnRRa

En caso de ser mas de una variable para quitarle ruido. Donde k es la cantidad de variables independientes.


COEFICIENTE DE DETERMINACION R2

18

ttt

tt

t

YYe

YY

Y

ˆ:residualopronósticodelError

parapronósticodelvalorˆtperiodoelentiempodeserieunadevalor

PRONÓSTICOSFORMAS DE EVALUAR EL ERROR

n

YYECM

n

YYDAM

n

ttt

n

ttt

1

2

1

ˆ:cuadraticoError

ˆ:mediaabsolutaDesviación

nYYY

PME

nY

YY

PEMA

n

t t

t

n

t t

tt

1

1

ˆ

:errordemedioPorcentaje

ˆ

:absolutomedioerrordePorcentaje

Normalidad Los valores de error (ε) se distribuyen normalmente para

cualquier valor de X Homoscedasticidad

La distribución de probabilidad de los errores tiene varianza constante.

Independencia Los valores del error son estadísticamente independientes.

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓNANALISIS DE REGRESION SIMPLESUPUESTOS DE LOS RESIDUALES

Con el simple valor R no se podría decir que el modelo es bueno, siempre se debe analizar la forma como se comportan los errores ó diferencias entre lo real y lo pronosticado, este a su vez debe cumplir con 3 supuestos:

No Lineal Lineal

x

resid

ual

es

x

Y

x

Y

x

resid

ual

es


SUPUESTO DE NORMALIDAD

Varianza no constante Varianza constante

x x

Y

x x

Y

resid

ual

es resid

ual

es


SUPUESTO DE HOMOCEDASTICIDAD

No independenciaIndependencia

X

Xresid

ual

es

resid

ual

esX

resid

ual

es

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓNANALISIS DE REGRESION SIMPLESUPUESTO DE INDEPENDENCIA

23

En algunos casos puede haber varias variables independientes que afecten la variable dependiente. Si se tienen n observaciones de la variable dependiente y m variables independientes, un modelo lineal con ruido sería

tmtmttot xbxbxbby ...2211 t = 1, 2, ..., n

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓN

ANALISIS DE REGRESION MÚLTIPLE

En este caso debe haber un termino independiente (b) cada una de las variables independientes, también el modelo cobija un error que nunca ser puede medir.

24

Sean

y = b =

ny

yy

...2

1

mb

bbb

...2

1

0

mnnn

m

m

xxx

xxxxxx

...1...............

...1

...1

21

22212

12111

X =

Usando la notación de matrices el modelo general se puede establecer como: y = xb + La solución general para los estimadores de mínimos cuadrados es

b = (x’x)-1x’d

PRONÓSTICOS CAUSALES CON REGRESIÓN

ANALISIS DE REGRESION MÚLTIPLEDebido a las características del modelo se utiliza una notación matricial para vincular estos datos:

25

Los métodos de series de tiempo se utilizan principalmente en pronósticos a corto plazo.

Una serie de tiempo es simplemente una lista cronológica de datos históricos, para la que la suposición esencial es que la historia predice el futuro de manera razonable.

Algunos métodos de series de tiempo de acuerdo con el tipo de modelo, es decir constante, de tendencia o estacional.

Proceso constante Proceso con tendencia Proceso estacional

PRONÓSTICOSMÉTODOS DE SERIES DE TIEMPO

26

Al graficar los datos disponibles para realizar un pronóstico, en ocasiones se observa que siguen un patrón en su comportamiento.

Un proceso constante se caracteriza porque su gráfica parece estar nivelada, con una pequeña variación, que es causada por una componente aleatoria.

Se puede suponer un proceso de tendencia cuando la línea parezca ir hacia arriba o hacia abajo, sin embargo esto no es suficiente.

En un proceso estacional existe un patrón de comportamiento el cual se repite cada cierto tiempo.


27

METODOS DE SOLUCION

Los modelos de pronósticos de términos constantes vienen dados de la siguiente forma:

tt ad donde a representa la constante fundamental del proceso y el ruido aleatorio, que se supone que sigue una distribución normal con media cero y varianza

Dentro del tema constantes varios métodos pueden ser usados para el desarrollos de la mejor decisión.Entres ellos se encuentran:

• Dato anterior• Promedio Global• Promedio Móvil simple• Promedio Móvil ponderado• Suavización exponencial simple


PRONÓSTICOS CONSTANTE

28


PRONÓSTICOS CONSTANTEDATO ANTERIOR

t dt1 161

2 1653 158

4 1585 1646 1527 1538 1559 163

10 15911 16312 16013 16014 15815 15516 15417 16218 16419 15920 159

Demanda real

En este caso se predice basándose en el dato real anterior:

Pronostico Ultimo DatoSt = dt-1 t2

- 161,00 16,00165,00 49,00158,00 0,00158,00 36,00164,00 144,00152,00 1,00153,00 4,00155,00 64,00163,00 16,00159,00 16,00163,00 9,00160,00 0,00160,00 4,00158,00 9,00155,00 1,00154,00 64,00162,00 4,00164,00 25,00159,00 0,00159,00

ECM = 24,32

Se observa que en el primer dato no se puede pronosticar, debida a la ausencia de datos anteriores

29

St =∑dt t2

-

161,00 16,00

163,00 25,00

161,33 11,11

160,50 12,25161,20 84,64159,67 44,44158,71 13,80158,25 22,56158,78 0,05158,80 17,64159,18 0,67159,25 0,56159,31 1,71159,21 17,76158,93 24,34158,63 11,39158,82 26,80159,11 0,01159,11 0,01159,10

e2 17,41

Pronostico Promedio Global


PRONÓSTICOS CONSTANTEPROMEDIO GLOBAL

t dt1 161

2 1653 158

4 1585 1646 1527 1538 1559 163

10 15911 16312 16013 16014 15815 15516 15417 16218 16419 15920 159

Demanda real

En este caso se predice basándose en el promedio de los datos reales anteriores:

Se observa que en el primer dato no se puede pronosticar, debida a la ausencia de datos anteriores

promedio

30

t dt1 161

2 165

3 158

4 158

5 1646 1527 1538 1559 163

10 15911 16312 16013 16014 15815 15516 15417 16218 16419 15920 159

Demanda realSt t2

-

- -

- -161,33 11,11

160,33 13,44160,00 64,00158,00 25,00156,33 1,78153,33 93,44157,00 4,00159,00 16,00161,67 2,78160,67 0,44161,00 9,00159,33 18,78157,67 13,44155,67 40,11157,00 49,00160,00 1,00161,67 7,11160,67

e2 21,79

Pronostico Promedio Movil N=3


PRONÓSTICOS CONSTANTEPROMEDIO MOVIL

Un promedio móvil se construye sustituyendo cada valor de una serie por la media obtenida con esa observación y algunos de los valores inmediatamente anteriores

Se observa que en el primeros n datos no se puede pronosticar, debida a la ausencia de datos anteriores

promedio

31

St t2

-

- -- -

- -

- -161,20 84,64159,40 40,96157,00 4,00156,40 43,56157,40 2,56156,40 43,56158,60 1,96160,00 0,00161,00 9,00160,00 25,00159,20 27,04157,40 21,16157,80 38,44158,60 0,16158,80 0,04159,60

e2 22,81


t dt1 161

2 165

3 158

4 158

5 1646 1527 1538 1559 163

10 15911 16312 16013 16014 15815 15516 15417 16218 16419 15920 159

Demanda real


PRONÓSTICOS CONSTANTEPROMEDIO MOVIL N=5

promedio

32

t dt1 161

2 165

3 158

4 158

5 1646 1527 1538 1559 163

10 15911 16312 16013 16014 15815 15516 15417 16218 16419 15920 159

Demanda realSt t2

-

- -

- -161,33 11,11

160,33 13,44160,00 64,00158,00 25,00156,33 1,78153,33 93,44157,00 4,00159,00 16,00161,67 2,78160,67 0,44161,00 9,00159,33 18,78157,67 13,44155,67 40,11157,00 49,00160,00 1,00161,67 7,11160,67

e2 21,79



PRONÓSTICOS CONSTANTEPROMEDIO MOVIL

Un promedio móvil se construye sustituyendo cada valor de una serie por la media obtenida con esa observación y algunos de los valores inmediatamente anteriores

Se observa que en el primeros n datos no se puede pronosticar, debida a la ausencia de datos anteriores

promedio

33


PRONÓSTICOS CONSTANTEPROMEDIO MOVIL PONDERADO

Este método trabaja de manera similar al promedio móvil. Sin embargo en este se asigna un factor de ponderación distinto para cada dato. Generalmente, a la observación o dato más reciente a partir del que se quiere hacer el pronóstico, se le asigna el mayor peso, y este peso disminuye en los valores de datos más antiguos

Otra forma de calcular los factores (a) es también con un modelo matemático donde las variables serian los factores de ponderación y el objetivo es minimizar el valor de el error cuadrático medio (ECM)

34


PRONÓSTICOS CONSTANTEPROMEDIO MOVIL PONDERADO

St α1 0,291404728

- α2 0,07- α3 0,64

- 1 t2

159,37 1,89

160,04 15,68161,82 96,49154,61 2,58156,13 1,29153,98 81,31159,51 0,26158,12 23,81162,71 7,37159,92 0,01160,87 8,26158,73 13,88156,67 7,14155,24 45,74159,39 21,27160,94 3,78160,23 1,52160,46

ECM 19,54

Pronostico Promedio Movil Ponderado N=3St α1 0,2

- α2 0,30- α3 0,50

- 1 t2

160,70 7,29

159,40 21,16161,00 81,00156,80 14,44154,90 0,01153,80 84,64158,60 0,16159,40 12,96161,80 3,24160,70 0,49160,60 6,76159,00 16,00156,90 8,41155,10 47,61158,20 33,64161,40 5,76161,10 4,41160,00

ECM 20,47

Pronostico Promedio Movil Ponderado N=3

∑ ∑

Ponderación aleatoria Ponderación con optimización del ECM

35

La suavización exponencial se basa en la idea de que es posible calcular un promedio nuevo a partir de un promedio anterior y también de la demanda más recientemente observada.La suavización exponencial simple se puede representar de la siguiente manera:

11 TtT SdS

donde ST es el pronóstico para el período T, y a es el peso o ponderación que se le da al valor más reciente.La ventaja de este enfoque es que no es necesario guardar los datos individuales; se calcula el pronóstico a partir de un pronóstico anterior el nuevo dato.Un valor a grande hará que el promedio sea más sensible al dato más reciente. Un valor más pequeño dará más peso a un valor “promedio”.


PRONÓSTICOS CONSTANTESUAVIZACIÓN EXPONENCIAL SIMPLE

36



0,6St dt + (1-) St-1 t2

161,00 16,00

163,40 29,16

160,16 4,67

158,86 26,38161,95 98,91155,98 8,87154,19 0,65154,68 69,28159,67 0,45159,27 13,93161,51 2,27160,60 0,36160,24 5,02158,90 15,18156,56 6,55155,02 48,67159,21 22,95162,08 9,51160,23 1,52159,49

ECM 20,02

PronosticoSuavisacion exponencial simple

De igual forma que el promedio móvil ponderado, se podría calcular el factor con un modelo matemático donde la variable seria el mismo ponderación y el objetivo es minimizar el valor de el error cuadrático medio (ECM), las restricciones son que el valor de alfa debe de estar entre 0 y 1

Ponderación aleatoria

37

0,088507114St dt + (1-) St-1 t2

161,00 16,00

161,35 11,25

161,06 9,35

160,79 10,33161,07 82,28160,27 52,83159,62 21,39159,22 14,32159,55 0,30159,50 12,24159,81 0,04159,83 0,03159,84 3,40159,68 21,90159,27 27,73158,80 10,24159,08 24,18159,52 0,27159,47 0,22159,43

ECM 16,75

PronosticoSuavisacion exponencial simple

Ponderación con optimización del ECM



Se puede decir que a larga este el mejor método cabe aclarar que no en todos los casos

38

En este tipo de suavización exponencial se debe estimar también la pendiente, lo cual se puede resolver utilizando la siguiente fórmula

1 TTT SsB

Se puede usar suavización exponencial para actualizar la estimación de la tendencia, lo cual lleva a la suavización exponencial doble, la cual se representa por

111 TTTT BSdS

11 1 TTTT BSSB

TTkT kBSF


PRONÓSTICOS CON TENDENCIASUAVIZACIÓN EXPONENCIAL DOBLE

39

En este tipo de suavización exponencial lo primero se calcula unos parámetros iniciales



t dt

1 132 163 194 215 236 267 268 319 3410 36 24,511 3912 4113 4014 4715 4916 5217 5418 5719 6320 62 50,4

En el ejemplo se tienen 20 datos y se desea pronosticar el 21. Primero es calcular el parámetro de la pendiente G0. Para ello se calcula el promedio de la mitad de los datos, en caso de ser impar el dato de la mita se suma en ambos lados

Promedio de los primero 10 datos

Promedio de los ultimos 10 datos

Luego de esto se calcula la diferencia entre estos 2 sobre la mitad de los datos. En caso de ser impar seria entre la mitad +1

59.210

5.244.500

G

40



111 TTTT BSdS

11 1 TTTT BSSB

TTkT kBSF

Ya obtenidos los parámetros iniciales se proceso a realizar los procedimientos de acuerdo a las formulas:

Para los cálculos futuros se utiliza la formula:

0,1 0,16St Gt t2

dt-1 + (1-)(St - 1 + Gt - 1) (St - St - 1) + (1 - )Gt-1 (St-dt)2

13,00 2,59 915,63 2,60 11,35016118,30 2,61 7,26408147820,92 2,61 4,31662646423,48 2,60 6,35349903726,07 2,60 0,00533572228,41 2,56 6,72794342930,97 2,56 9,19613680633,57 2,57 5,88940614236,13 2,56 8,26475010438,72 2,57 5,19878509141,26 2,56 1,58680366843,44 2,50 12,6641992446,05 2,52 8,70407888448,61 2,53 11,4751065751,23 2,54 7,69948923653,79 2,54 10,3103350156,40 2,55 43,5620278459,36 2,62 6,97390644761,98 ∑e2 9,29171958864,6067,22

41

Los modelos estacionales están dados por:

Donde: a = porción constanteb = pendiente de la componente de tendencia.ct = factor estacional para el período t.et= aleatoriedad no controlable.

Los factores estacionales se pueden ver como un porcentaje de las componentes constantes y de tendencia para el período t; si la demanda en un período dado de una estación es menor que la componente de tendencia/constante, el factor estacional será menor que uno, y si la demanda es mayor, será mayor que uno. El número de factores estacionales debe ser igual al número de estaciones al año.

ttt cbtad


PRONÓSTICOS CON ESTACIONALIDADMÉTODO WINTERS

42



Para resolver un modelo de proceso estacional se estiman los parámetros de dicho modelo. Para ello se utiliza la siguiente notación:

dt = demanda en el período t. L = número de estaciones en el año (o en otro marco de tiempo) T = número de períodos de datos disponibles; T = mL donde m es el número de años completos de datos disponibles. St = estimación para el término constante a calculado en el período t. Bt = estimación del término de tendencia b calculada en el tiempo t. Ct = estimación de la componente estacional para el período t.

Para pronosticar, se obtienen las estimaciones iniciales de las componentes del modelo y se actualizan usando suavización exponencial.

43



Para resolver un modelo de proceso estacional se estiman los parámetros de dicho modelo. Para ello se utiliza la siguiente formulación:

111

TT

LT

TT BS

CdS

11 1 TTTT BSSB

LkTTTkT CkBSF

LTT

TT C

SdC

1

44

t dt

1 602 2343 1634 50

d2 prom 5 69145,5 6 266

7 1888 59

d3 prom 9 84167,5 10 310

11 21212 64

0 2 4 6 8 10 12 140

50

100

150

200

250

300

350

Grafica

DatosLinear (Datos)

Periodo

Dem

anda



El siguiente ejemplo es de ventas de columpios en estado unidos, cada periodo es un trimestre de ventas, este es un caso típico estacional que se repite cada cuatro periodos.

d2 y d3 son los promedios de las ventas en un ciclo completo( pasaron los custro trimestres)

45

(d3

prom

-d2

prom

) / L

Dpr

om +

((T-

1) /

2) G

T

Ct

Pro

m *

R

GT ST Ct Prom

5,500 176,83 0,52 0,50 0,52 0,51T = 12 1,92 1,85 1,87 1,88L = 4 1,28 1,26 1,24 1,26

0,38 0,38 0,36 0,37Σ 4,09 3,99 3,99 4,02

dt /

(ST

- GT

(T-t)

)Ct



En este caso se presentan el resumen según las formulas utilizadas. En el caso de los Ci se calcula para cada dato y se agrupan por tipo de estación para calcular el promedio de estas.

Promedio según tipo de estación

46



La suma de los promedio de los según el tipo de estación debería de ser L (numero de estaciones) en caso de que no sea igual se debe hacer una corrección de estas. Para ellos cada uno de estos promedios se multiplica por un factor de corrección R, que se halla: R= L / ΣCt, con este se halla los nuevos parámetros:

(d3

prom

-d2

prom

) / L

Dpr

om +

((T-

1) /

2) G

T

Ct

Pro

m *

R

GT ST Ct Prom C't5,500 176,83 0,52 0,50 0,52 0,51 0,50

1,92 1,85 1,87 1,89 1,871,28 1,26 1,24 1,27 1,26

T = 12 0,38 0,38 0,36 0,38 0,37L = 4 Σ 4,09 3,99 3,99 4,04R = 0,989967479

L / ΣCt

dt /

(ST

- GT

(T-t)

)

Ct

83.761TS

5.5TB

5.01 C

87.12 C

26.13 C

37.04 C

47



83.761TS

5.5TB

5.01 C

87.12 C

26.13 C

37.04 C

Con los datos anteriores, se procede a realizar los pronósticos.

t dt GT ST Ct

1 60 0,512 234 1,873 163 1,254 50 5,5 176,83 0,37

d2 prom 5 696,5 6 266

145,5 7 1888 59

d3 prom 9 8410,5 10 310167,5 11 212

12 64

13 93 FT+k = (ST + kGT)CT+k-gl

14 35115 24216 7417 10418 39219 269

Ft des conociendo

d13

pronosticos

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