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PRONÓSTICOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

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PRONÓSTICOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

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ÍNDICE

PÁGINA

INTRODUCCIÓN A LOS PRONÓSTICOS..................... ........4

I NTRODUCCIÓN ....................................................................................................................4 ¿QUÉ ES PRONOSTICAR? ..............................................................................................5 DIFERENCIAS ENTRE PRONÓSTICOS Y PRESUPUESTOS............................6 CARACTERÍSTICAS INHERENTES A LOS PRONÓSTICOS ...........................7 TIPOS DE PRONÓSTICOS................................................................................................8

MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUALITATIVOS ................ .9

CONSENSO DE UN PANEL.............................................................................................10 MÉTODO DELPHI .............................................................................................................10 I NVESTIGACIÓN DE MERCADOS .............................................................................11 ANALOGÍA HISTÓRICA .................................................................................................12 PRONÓSTICO VISIONARIO ..........................................................................................12

HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS NECESESARIAS PARA EL MANEJO DE LOS MÉTODOS DE PRONÓSTICOS............13

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ......................................................................................13 ESTADÍSTICA INFERENCIAL ......................................................................................19

Estimación estadística.............................................................................................................19

MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUANTITATIVOS ............21

PATRÓN ESTACIONARIO ..............................................................................................22 PATRÓN DE TENDENCIA ...............................................................................................23 PATRÓN DE TENDENCIA ...............................................................................................24 PATRÓN CÍCLICO ..............................................................................................................25 MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN .....................................................................................25

Promedios móviles simples.....................................................................................................28 Cálculo del error y el error cuadrado............................................................................30 Selección del mejor modelo de pronósticos....................................................................31

Suavización exponencial simple (SES).................................................................................33 Suavización exponencial simple de respuesta adaptiva (SESRA).....................................35

MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN PARA DATOS CON PATRONES DE TENDENCIA 38 Promedio móviles lineales (dobles).......................................................................................39 Suavización exponencial lineal (doble)................................................................................40

Método de Brown...............................................................................................................41 Método de Holt...................................................................................................................41

Suavización exponencial cuadrática.....................................................................................42 Método de Brown Cuadrático................................................................................................42

Método de Brown cuadrático...........................................................................................42

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Ejemplo ............................................................................................................................44 Solución............................................................................................................................44

Método de Winters para patrones estacionales....................................................................46 Método de Winters............................................................................................................46

Ejemplo ............................................................................................................................48 Solución............................................................................................................................48 Significado del valor de It ...............................................................................................48

MÉTODOS CAUSA-EFECTO.........................................................................................50 Regresión lineal simple.....................................................................................................50

Ecuaciones de regresión..................................................................................................51 El coeficiente de correlación y el de determinación.....................................................54

Coeficiente de determinación .........................................................................................56 MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN DE SERIES DE TIEMPO.......................61

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INTRODUCCIÓN A LOS PRONÓSTICOS Introducción A través de la historia el hombre siempre ha querido predecir el futuro; en la

antigüedad esta capacidad daba a algunos hombres el poder de influir en el

comportamiento de otros, así, se les conferían poderes sobrenaturales a estos

hombres y se les daba un tratamiento especial. Predecir el futuro proporciona

poder porque se conoce cual va a ser el orden de las cosas y eso proporciona la

ventaja de actuar antes que los demás y tomar ventaja de esta situación. En el

mundo de los negocios siempre ha sido importante conocer el futuro, una empresa

desea saber cuál va a ser el futuro comportamiento del mercado para de esta

manera producir productos que satisfagan las necesidades de sus clientes de una

mejor manera. Pronosticar no consiste en adivinar, la palabra pronóstico la

solemos asociar fundamentalmente con los famosos pronósticos deportivos que

permiten obtener una gran recompensa por acertar el resultado de una serie de 14

partidos semanales de fútbol de la primera división mexicana, a través de esta

obra nos vamos a dar cuenta de que el pronosticar es una acción totalmente

científica y con una metodología bien establecida y que no consiste sólo en la

acción de suponer un resultado en base a lo que suponemos que va a ocurrir o a

lo que nos dicta nuestra intuición.1 El desarrollo de los programas de computadora

en los últimos años ha permitido que los métodos de pronósticos sean cada vez

más sencillos de utilizar e interpretar; en los viejos tiempos realizar un pronóstico

implicaba grandes cálculos numéricos y horas de trabajo manual que además

significaba que se cometían una gran cantidad de errores, hoy en día cada vez es

más fácil hacer uso de programas especializados para pronosticar y aun las hojas

de cálculo comerciales como EXCEL2 o LOTUS 1233 facilitan enormemente la

acción de pronosticar.

1 Por supuesto siempre se va a poder pronosticar de manera intuitiva, sin embargo, para los fines de esta antología siempre supondremos que el tomador de decisiones fundamenta su decisión basado en la información. 2 EXCEL es una marca registrada de Microsoft Corporation.

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¿Qué es pronosticar? Vamos a entender por pronosticar la acción de emitir un enunciado sobre lo que es

probable que ocurra en el futuro, tomando como base la información obtenida

hasta el presente.

Un pronóstico supone que el futuro es incierto y desconocido, pero que es posible

de estimar, es decir, es posible determinar con cierto grado de aproximación el

resultado futuro posible de un evento.

Por supuesto el futuro es desconocido y toda toma de decisiones lleva implícito un

riesgo, lo importante es que la información del pasado sirva de base para poder

suponer qué va a ocurrir en el futuro; pronosticar significa tender un puente entre

el presente y el futuro y permita resolver problema de toda la organización.

El principal propósito de hacer un pronóstico es obtener conocimientos sobre

eventos inciertos que son importantes en la toma de decisiones presente.

Pronosticar involucra una parte de ciencia y arte; la parte científica la suministra la

3 LOTUS 123 es una marca registrada de Lotus Corporation propiedad de IBM Co.

Pronosticar es emitir un enunciado sobre lo que es probable que ocurra en el futuro basándose en información obtenida hasta el presente.

INCERTIDUMBRE Y RIESGO

Información del pasado

Suposición del futuro

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estadística, mientras que el arte está formado por el juicio, la intuición y la

experiencia del pronosticador.4

Diferencias entre pronósticos y presupuestos Es importante hacer notar que un pronóstico no es lo mismo que un presupuesto,

aunque debería quedar claro de manera evidente este hecho, vale la pena

comentarlo y no darlo por sentado de manera automática. En general hablamos de

un presupuesto en términos de la planeación de necesidades económicas que

todas y cada una de las áreas funcionales de la organización van a requerir. Por

supuesto el presupuesto no puede exceder de las necesidades de la empresa,

aunque el departamento de ventas de una empresa de chocolates quisiera gastar

1´000,000 de pesos el próximo año en su fuerza de ventas, si la empresa no va a

tener ingresos superiores a esa cantidad, no podría destinar todos los recursos sólo

a ventas y tendría que repartirlos entre todos los departamentos de la misma. El

presupuesto de ventas esta limitado entonces por la capacidad de ingresos de la

empresa. Un pronóstico, sin embargo, no tiene que ver con la empresa, es el

resultado que el mercado proporciona sobre cierto aspecto, así, el mercado puede

demandar 1´000,000 de pesos de chocolates el próximo año, por lo que el

pronóstico de ventas es de 1´000,000.

Usos de los pronósticos5

Algunos usos tradicionales de los pronósticos son:

4 Como lo habíamos mencionado previamente la parte intuitiva no debe ser despreciada, en lo absoluto, sin embrago una decisión no debe fundamentarse sólo en la parte intuitiva del tomador de decisiones. 5 Tomado en parte de: Bures Esperanza; Pronósticos en la toma de decisiones; ITESM, 1980.

Un pronóstico está relacionado con la demanda, mientras que un presupuesto está relacionado con la capacidad de la empresa.

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1) Mercadotecnia:

a. Ventas.

b. Desarrollo de productos.

c. Planes de publicidad.

d. Distribución.

2) Producción:

a. Programas de producción.

b. Inventarios.

c. Tendencias de costos.

d. Requerimientos de mantenimiento.

3) Finanzas:

a. Proyección de flujos de efectivo.

b. Proyección de liquidez.

c. Planeación de capital de trabajo.

d. Factibilidad de inversiones.

4) Recursos Humanos:

a. Planeación de la fuerza laboral.

b. Requerimientos de planes de entrenamiento.

c. Rotación de personal.

d. Búsqueda de talento.

Características inherentes a los pronósticos Todas las situaciones en las que se requiere un pronóstico tratan con el futuro y el

tiempo está directamente involucrado, esto hace que la incertidumbre siempre

este presente en las situaciones de pronósticos y por lo tanto la confianza en la

información es básica en las situaciones de pronósticos. Los siguientes factores son

determinantes en la selección de cualquier modelo de pronósticos:

1) El contexto del pronóstico.

2) La relevancia y disponibilidad de datos históricos.

3) El grado de exactitud deseado.

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4) El periodo de tiempo que se va a pronosticar.

5) El análisis costo-beneficio del pronostico para la compañía.

6) El tiempo disponible para hacer el pronostico.

7) El punto del ciclo de vida donde se encuentre el producto.

8) ¿Cuál es el propósito del pronóstico?

9) ¿Cómo va a usarse?

10) ¿Cuál es la dinámica y componentes del sistema para los que se hará

el pronóstico?

11) ¿Qué tan importante es el pasado para estimar el futuro?6

Antes de iniciar un proceso de pronósticos es necesario que el pronosticador de

una respuesta adecuada a cada uno de los puntos anteriores a fin de no generar

expectativas superiores de los resultados esperados a las que en sentido estricto

se podría tener dada la información y el estado presente y sobre todo, futuro del

mercado.

Tipos de pronósticos 1) Pronósticos cualitativos: son aquellos que se basan en la

experiencia, intuición y juicio del pronosticador. Entre los más

importante se encuentran:

a. Método Delphi.

b. Investigación de mercados.

c. Consenso de un panel.

d. Pronóstico visionario.

e. Analogía histórica.

6 Este punto es de particular importancia en una economía como la de México, en la cual algunas empresas exitosas de hace sólo algunos años, hoy en día no figura en la lista de las más importantes. O bien dada una situación de crisis económica (como la vivida en 1995), a veces la información del pasado no tiene la mayor importancia porque las reglas y el estado de la naturaleza han cambiado.

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2) Pronósticos cuantitativos: son aquellos que se basan en datos

estadísticos y usan herramientas de cómputo y matemáticas para

predecir el futuro. Las grandes áreas de esta clase de pronósticos

son:

a. Series de tiempo:

i. Métodos de suavización.

ii. Métodos de descomposición.

iii. Metodología Box-Jenkins

b. Modelos causales:

i. Análisis de regresión.

ii. Modelos econométricos.

iii. Modelos insumo-producto.

Para los fines de esta antología se hará una breve descripción de los métodos

cualitativos y con respecto a los cuantitativos sólo se estudiarán los métodos de

suavización, descomposición y el análisis de regresión. En cursos más avanzados

de pronósticos se pueden estudiar los métodos restantes.

MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUALITATIVOS Junto con los pronósticos deportivos, la más frecuente mención que se hace sobre

pronósticos es el pronóstico del tiempo. Hoy en día sabemos que el tiempo se

pronostica tomando datos e información proporcionada por satélites que muestran

el comportamiento de las nubes y podemos afirmar si habrá lluvia, frío, calor o

nieve. Sin embargo, ¿quién no conoce a alguien que es capaz de predecir el

tiempo tan sólo por el color del cielo?. Estas personas han adquirido por años esta

capacidad a través de observaciones y vivencias que les permiten ver donde los

demás no somos capaces de hacerlo. En el mundo de los pronósticos en los

negocios también hay estos expertos, es gente que tiene la capacidad de tomar

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decisiones y percibir hacia donde va el mercado de sin tanta información como el

resto de los demás. Se han creado diversas metodologías para hacer uso de la

experiencia de la gente a favor de los pronósticos. En esta unidad describiremos

algunos de estos métodos.

Consenso de un panel Un panel de expertos está constituido por un grupo de personas con grandes

calificaciones y resultados en un área de la empresa. En general el grupo se ha

reunido para tomar una decisión de gran importancia para la empresa. La

metodología de solución puede ser a través de la lluvia de ideas o de la

administración interactiva7. Estas reuniones pueden pretender decidir si se lanza

un nuevo producto, si se cambian las políticas de crédito de la compañía, si se

renueva la estructura organizacional o si el perfil de un director de área debería

cambiar. Sin embargo, la decisión no debe ser tomada por mayoría sino por

consenso (es decir, todos los miembros del grupo deben aceptar la decisión), si no

se llega al consenso el grupo no termina la reunión y deberá seguir discutiendo y

debatiendo hasta decidir una solución en la que este de acuerdo todo el grupo.

Esta tipo de reuniones suelen ser muy productivas y enriquecedoras, sin embargo,

cuando no se logra la empatía entre los integrantes del grupo pueden llegar a ser

muy difíciles y desgastantes para el grupo.

Método Delphi Un problema muy frecuente en los paneles es el arrastre por estatus; esto significa

que los puntos de vista del grupo pueden ser influenciados por algún miembro de

mayor jerarquía, antigüedad o experiencia y por lo tanto distorsionar la decisión

del grupo y no llevar a la mejor elección. La metodología Delphi pretende evitar

este arrastre por estatus al organizar un grupo de manera que los miembros sean

7 Metodologías donde los miembros del grupo dan su opinión sobre algún aspecto en particular en diversas rondas de opinión, descartando las menos repetidas y votando sobre aquellas que más veces se presentaron.

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anónimos y desconocidos inclusive entre ellos mismos. Hay un moderador que se

encarga de reunir las aportaciones de los miembros del grupo y recopila las

opiniones de todos y cada uno de los integrantes del grupo y hacer llegar los

resultados a todos. Se acostumbra diseñar un cuestionario que se hace llegar a los

participantes y quienes deben no dar a conocer su participación a nadie excepto al

moderador, una vez contestado dicho cuestionario se deposita en un buzón que se

pone para el depósito de los cuestionarios y el moderador los recoge, codifica,

examina y obtiene resultados que posteriormente publica. Si se llega a un acuerdo

desde el principio, se da por terminado el ejercicio, en caso contrario se vuelve a

repetir el cuestionario con las adaptaciones y observaciones surgidas de la ronda

anterior. Se repite tantas veces como sean necesario. Se menciona en Hanke y

Ritsch que la RAND Corporation fue la primera organización en usar esta

metodología.8

Investigación de mercados La investigación de mercados es el estudio de las metodologías para la recolección,

codificación, análisis e interpretación de la información en el campo de la

mercadotecnia. Estas metodologías incluyen tanto técnicas cualitativas como

cuantitativas. Entre las más conocidas metodologías cualitativas se encuentran las

sesiones de grupo, las entrevistas de profundidad y los análisis de contenido.9

Las técnicas cuantitativas, por otro lado, se basan en métodos estadísticos de todo

tipo, desde análisis de frecuencias simples, hasta análisis multivariados. Los

análisis más comunes son los de tablas cruzadas que tratan de encontrar si existe

relación entre dos o más variables.

8 Hanke y Reitsch; Pronósticos en los Negocios; Prentice Hall; 1996 9 En los informes de gobierno es muy común hacer un análisis de contenido tomando como base la cantidad de ocasiones en que el gobernante mencione tal o cual palabra; por ejemplo, si el gobernante menciona 20 veces democracia y sólo 10 veces seguridad, se supone que le da el doble de importancia al rubro democracia que al rubro seguridad.

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A pesar de que las metodologías de la investigación de mercados incluyen tanto

aspectos cualitativos como cuantitativos, para efectos de pronósticos TODAS las

técnicas se consideran cualitativas...¿por qué? La razón es que la investigación de

mercados en general toma datos de encuestas aplicadas a consumidores o

empresarios, estas encuestas reflejan la opinión de las personas sobre un asunto

en particular y no necesariamente la verdad de dicho fenómeno. Por ejemplo, se

podría hacer una encuesta sobre la belleza de la Gioconda y encontrar resultados

que digan que es muy fea; esto no significa que así sea, sólo quiere decir que con

la información recabada y con la gente a la que se le preguntó, se obtendría esa

conclusión.

Analogía histórica Esta técnica esencialmente se usa para el desarrollo y lanzamiento de nuevos

productos. Dicha técnica cosiste en comparar los resultados de un producto de

similares características con aquel que se piensa introducir al mercado. En general

se compara si satisfizo las expectativas de utilidades y participación de mercado

esperadas. La analogía debe tomar en consideración las diferencias en las

situaciones económicas, políticas y de mercado y sólo así comparar uno con otro.

Pronóstico visionario Esta clase de pronóstico está reservada para algunas personalidades con gran

influencia en el área de su competencia. Así, el presidente de la Reserva Federal

de los Estados Unidos es el gran dictador del rumbo de la economía mundial y

suele predeterminar el rumbo de la economía mundial. Para otras áreas también

se puede encontrar personalidades de este tipo y aun en áreas menores se dan

pronósticos visionarios por la experiencia y la sensibilidad de algún pronosticador o

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personalidad de un área. El reconocimiento de la calidad del pronóstico debe ser

reconocida por toda la comunidad de dicha área.10

Es importante darse cuenta que estos pronósticos no pueden ser hechos por

cualquiera, sino sólo por expertos muy calificados en las áreas.

HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS NECESESARIAS PARA EL MANEJO DE LOS MÉTODOS DE PRONÓSTICOS

La gran mayoría de las técnicas cuantitativas de pronósticos descansan sobre

algunos conceptos estadísticos fundamentales. En esta unidad damos una breve

revisión a dichos conceptos. La estadística maneja los siguientes conceptos como

regla general:

1) Población: se refiere a la colección de objetos de interés o bajo

investigación.

2) Muestra: es una parte de la población que se examina para hacer

suposiciones sobre dicha población.

3) Parámetro: es toda medida de la población, el promedio, el

porcentaje o la desviación estándar de la población se conocen como

parámetros. En general se denotan por letras griegas.

4) Estadísticos: es toda medida de la muestra que sirve para estimar o

inferir (hacer suposiciones) de los parámetros.

Estadística descriptiva La estadística descriptiva es la explicación del comportamiento de una población

basándose en un conjunto de datos. Las medidas clave a considerar de la

estadística descriptiva son la media y la desviación estándar.

10 Algunos autores han descalificado esta clase de pronósticos por considerar que no es que el pronosticador acierte en su opinión, sino que dicha opinión influye de tal manera en el medio ambiente que su opinión se vuelve en el nuevo estado de la naturaleza; por ejemplo, si el presidente de la reserva federal dice que va a ver recesión, probablemente no se deba a que puede percibir esta recesión mejor que los demás, sino que su opinión influyo de tal manera que provocó dicha recesión.

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� Media de la población: la media (o promedio) de la población es la

suma de todos los datos, divididos entre el número de datos. Esta es

la medida más utilizada en la estadística tanto descriptiva como

inferencial.

o Notación: se denota por la letra griega µ.

o Fórmula

Nxxxx

xN1 N321

N

1ii

++++==µ ∑

=

K

La media es la medida de mayor representatividad de la población, sin

embargo, hay que tener cuidado con ella, porque a veces puede ser

afectada por valores extremos.

Ejemplo: la compañía Mexplaz vende productos de belleza en la región del

centro del país que incluye los estados de San Luis Potosí, Aguascalientes,

Querétaro, Guanajuato y Zacatecas. Los datos de las ventas mensuales de

lápices labiales del año pasado se muestra en la tabla siguiente. Encuentre

la media de las ventas de Mexplaz del año pasado.

MES\ESTADO S.L.P. AGS. QRO. GTO. ZAC.

ENERO 234 453 121 304 322

FEBRERO 125 555 345 409 342

MARZO 321 412 432 408 543

ABRIL 212 321 388 470 321

MAYO 315 432 366 446 543

JUNIO 412 543 375 454 321

JULIO 342 121 342 432 543

AGOSTO 254 543 331 453 231

SEPTIEMBRE 654 543 332 409 333

OCTUBRE 223 675 343 430 543

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NOVIEMBRE 102 398 221 389 432

DICIEMBRE 221 304 221 435 143

Tabla 1: Información de ventas mensuales por estado de lápiz labial.

Solución: en este caso por tratarse de la media de la población sumamos

los 60 datos de la tabla y los dividimos entre 60, sin importarnos el origen

de los mismos.

8.36960

2218860

143121453234 ==++++=µ K

Esto significa que en promedio se vendieron aproximadamente 370 lápices

labiales al mes por cada uno de los estados.

� Desviación estándar: la otra medida de gran importancia en la

estadística descriptiva es la desviación estándar. Esta podría definirse

como la medida de la dispersión de los datos con respecto al

promedio. Permite ubicar que tan buena es la aproximación que da el

promedio ya que a menor desviación estándar, menor es la diferencia

entre los datos.

o Notación: se denota por la letra griega σ.

o Fórmula

( )∑=

µ−=σN

1i

2

ixN1

Ejemplo: encuentre la desviación estándar para los datos del

ejemplo anterior.

Solución: tomando el valor de µ=369.8 encontrado en el ejemplo anterior,

la desviación estándar se calcula como sigue:

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( ) ( ) ( )[ ] 47.1288.3691438.3694538.369234601 222 =−++−+−=σ K

� Media de la muestra: esta es la medida más utilizada en la

estadística. Esencialmente es igual a la media de la población sólo

que ahora tomando los datos de la muestra, es decir, la media de la

muestra es la suma de todos los datos de la muestra, divididos entre

el número de datos.

o Notación: se denota por una X con una línea por encima de

ella y se lee como equis barra. X

o Fórmula: la única variación que sufrirá la fórmula es que en

lugar de considerar N datos, se tomarán en cuenta n (por

tradición N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la

muestra).

nXXX

Xn1

X n21n

1iI

+++== ∑

=

K

Ejemplo: Considere los datos de la tabla 1 y encuentre las

medias correspondientes a cada uno de los estados.

Solución: Tomemos los datos de cada estado y

encontremos el promedio:

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75.38412

143342322X

92.41912

435409304X

08.31812

221345121X

67.44112

304455453X

58.28412

221125234X

ZAC

GTO

QRO

AGS

SLP

=+++=

=+++=

=+++=

=+++=

=+++=

K

K

K

K

K

De estos resultados podemos observar que el estado con mayores

ventas en promedio es Aguascalientes y el estado con menores

ventas en promedio en San Luis Potosí.

� Desviación estándar: también podemos calcular la desviación

estándar de la muestra que también se define como la medida de la

dispersión de los datos con respecto al promedio o media muestral.

Al igual que la poblacional permite ubicar que tan buena es la

aproximación que da el promedio ya que a menor desviación

estándar, menor es la diferencia entre los datos. Hay sin embargo

una pequeña variación que vale la pena mencionar en el cálculo de la

desviación estándar y es que a diferencia de la poblacional la suma

de los cuadrados de la diferencia de los datos observados menos la

media no se divide entre n, sino entre n-1. Esto se debe al concepto

de grados de libertad que se defina como el número de variables

aleatorias menos las restricciones en un experimento; en este caso

hay n variables aleatorias y una restricción, que es precisamente que

la información se obtendrá de esa muestra.

o Notación: se denota por la letra s.

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o Fórmula

( )∑=

−−

=N

1i

2

i XX1n

1s

Ejemplo: para el mismo ejemplo que hemos trabajado de la

compañía Mexplaz encuentre la desviación estándar para cada uno de

los estados bajo estudio.

Solución: tomemos los datos por estado de la tabla 1, así como las

medias encontradas en el ejemplo anterior y encontremos esta

desviación estándar:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 20.13575.38414375.38434275.384322

111

s

37.4392.41943592.41940992.419304111

s

06.8708.31822108.31834508.318121111

s

92.14667.44130467.44155567.441453111

s

74.14758.28422158.28412558.284234111

s

222

ZAC

222

GTO

222

QRO

222

AGS

222

SLP

=−++−+−=

=−++−+−=

=−++−+−=

=−++−+−=

=−++−+−=

K

K

K

K

K

La primera observación interesante que nos permite hacer el cálculo de la

desviación estándar es que aunque Aguascalientes tiene un promedio más

grande en ventas, su dispersión también es de las más grandes (146.92),

esta dispersión es de más del 33% de la media; en ese sentido un estado

donde un pronostico de ventas basado en la media sería mas certero es en

Guanajuato, en el que la media es la segunda global, pero su desviación

estándar es mucho menor, tan sólo un poco superior al 10% de la media.

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La primera idea importante al hacer un pronóstico es que mientras

menor dispersión tengan los datos, más certero será.

Estadística inferencial La teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos con los cuales

se pueden realizar inferencias o generalizaciones acerca de una población.11

Esta teoría de la inferencia estadística se compone de dos grandes áreas: la

estimación estadística y las pruebas de hipótesis. Vamos a explicarlas brevemente

aunque no van a ser parte fundamental de este curso es posible que de manera

indirecta se mencionen en algunos casos.12

Estimación estadística Básicamente consiste en obtener información de una muestra y con los resultados

obtenidos en ella inferir13 que estos resultados se van a seguir dando en la

población. Por ejemplo, tomemos una muestra de 20 trabajadores de la industria

del calzado de la ciudad de León e investiguemos su gasto semanal en bebidas

alcohólicas; con estos datos obtengamos el promedio. Vamos a suponer que el

promedio nos dio $ 50.00 semanales; podríamos inferir a partir de este resultado

que todos los trabajadores de la industria del calzado gasta $ 50.00 por semana.

Eso es básicamente hacer una estimación, es decir, dada una muestra, a la luz de

los resultados de esa muestra suponemos que la población sigue un

comportamiento más o menos semejante. Este método de estimación se llama

estimación puntual, por que simplemente tomamos el valor del estadístico y

decimos que es igual al del parámetro. Existe otra clase de estimación que es la

estimación por intervalo, en la cual dado el resultado poblacional podemos inferir

que el resultado está en un rango de valores. Por ejemplo en nuestro ejemplo, la

desviación estándar pudo haber sido de $ 5.00 por semana, por lo que

concluiríamos que el gasto semanal de los trabajadores de la industria del calzado

11 Walpole, Myers; Probabilidad y Estadística; McGraw-Hill; Publicado originalmente en 1984 y con diversas ediciones y reimpresiones nuevas. 12 Para profundizar más en estos temas se recomiendan ampliamente el libro mencionado en el píe de página superior a este.

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está entre $ 45.00 y $ 55.00. Esto en general se trabaja con cierto margen de

error.

Una de las partes más importantes dela estadística inferencial la van a constituir

precisamente los pronósticos, que es el tema central de esta antología.

13 Suponer, generalizar.

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MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUANTITATIVOS Para poder hacer uso de los pronósticos es necesario que exista una certeza de

que lo que ha ocurrido en el pasado, seguirá ocurriendo en el futuro; esto es, debe

haber una constancia de certeza de la información. Los pronósticos toman la

información del pasado y con eso se infiere el futuro, de no continuar con el

mismo patrón de información, el pronostico no serviría de nada. La naturaleza y el

comportamiento humano han mostrado que existen en general cuatro patrones de

comportamientos de los datos, pero aclarando que todo pronóstico siempre

lleva inherente la posibilidad de cometer un error. Esto es, podemos definir

los pronósticos como la certeza de un patrón, más la ocurrencia de un error, así

tendríamos que:

Los patrones básico que se tienen son:

Pronóstico = Patrón + Error

Page 22: 39209510 pronosticos

Patrón estacionario Es aquel en el que se la información no tiene grandes cambios a través del tiempo,

se considera que un patrón estacionario sería prácticamente constante y no sufriría

de grandes alteraciones en el tiempo. Algunos ejemplos de estos patrones sería el

consumo de alimentos básicos como la tortilla y el consumo de refrescos como

Coca-Cola.14

14 Algunos autores afirman que las ventas de los refrescos son más bien estacionales y que se venden más épocas de calor que de frío, esto siendo verdadero en la generalidad de los casos no lo reflejan las ventas de la Coca-Cola en México, donde prácticamente permanecen constantes durante todo el año.

Patrón estacionario

Page 23: 39209510 pronosticos

Patrón estacional

Es aquel cuyas altas y bajas en la demanda están bien determinadas de acuerdo

con determinadas estaciones del año. Así tenemos que hay productos cuya

demanda se incrementa con el calor (trajes de baños, playeras, shorts, etc.),

mientras que otros productos incrementan su demanda en el frío (chamarras,

abrigos, etc.). De hecho los alimentos también son estacionales, por ejemplo, los

pescados y mariscos tienen su alza en la época de cuaresma y el consumo de pan

de azúcar se incrementa en las temporadas de frío, mientras que las frutas y los

jugos ve incrementada su demanda en épocas de calor.

Patrón estacionalmayo mayo

Page 24: 39209510 pronosticos

Patrón de tendencia Es aquel que representa como es el estado de la naturaleza y hacía dónde va en

un momento dado. Por ejemplo, la tendencia en los últimos años ha sido a

consumir productos cada vez más saludables con menos colesterol y grasas; las

ventas de aceites de cártamo han bajado de manera considerable en los últimos

años contra las ventas de aceite de oliva que se han incrementado. Dado los

precios de ambos productos aun no se ve tan radicalmente el cambio, sin

embargo, es de esperar que en unos años las ventas de aceite de oliva crezca y

por este incremento en la demanda su precio disminuya, y que los aceites de

cártamo tiendan a desaparecer.15 En general la tendencia puede ser creciente o

decreciente y dentro de estas clasificaciones podría ser lineal, cuadrática o

exponencial. Evidentemente el crecimiento lineal es más lento que el cuadrático y

este a su vez es más lento que el exponencial.

15 Por supuesto todos hemos encontrado en un súper mercado aceites de cartamo libres de colesterol. Esta es precisamente la reacción del productor cuando la tendencia le amenaza; es decir, tomar acciones para no dejar que el mercado se pierda.

Patrón de tendencia creciente Patrón de tendencia decreciente

Page 25: 39209510 pronosticos

Patrón cíclico En los estudios de economía se muestra que las economías de todos los países

pasan por el llamado Ciclo Económico que básicamente lo que dice es que una

nación tiene épocas de auge y época de recesión económica; cuando la economía

está en crecimiento hay condiciones para el éxito de ciertas empresas y cuando

está en recesión las condiciones cambian de tal manera que las empresas

redefinen sus estrategias de venta y trabajo. La economía y el ciclo económico

afectan la exactitud de un pronóstico, ya que no es lo mismo pronosticar ventas

para una época de auge que para una de recesión económica.

Observamos que aunque el comportamiento gráfico de un patrón cíclico y un

estacional parece ser iguales, la deferencia estriba en que mientras en el cíclico no

sabemos el punto de las cimas y las simas, en el caso del patrón estacional si

están perfectamente determinadas los meses del año de cima y los de sima.

Métodos de suavización Los primeros métodos de pronósticos cuantitativos que vamos a estudiar son los

métodos de suavización. Estos métodos tiene las característica:

� Técnicas intuitivas.

Patrón cíclico Año A Año B

Page 26: 39209510 pronosticos

� De bajo costo.

� Ponderan las observaciones del pasado para obtener un pronóstico a

futuro.

� Se usan primordialmente en aquellos casos en los que hay que

pronosticar un gran número de artículos.

� Para una mejor selección del método hay que determinar el patrón

que siguen los datos.

� Se recomienda graficar la serie de tiempo antes de seleccionar el

método más adecuado.

� En el caso de una empresa mediana y pequeña son los modelos que

más se recomendarían por la facilidad de su uso y por no necesitar

grandes inversiones en hardware ni en software.16

� Para una empresa que está comenzando son casi los únicos métodos

que son posible utilizar.

A continuación mostramos un cuadro sinóptico de los métodos que aparecerán en

esta obra para su estudio.

16 De hecho son modelo que con una calculadora se podría utilizar aunque en estos tiempo el uso del Excel(R) facilita enormemente sus cálculos.

Page 27: 39209510 pronosticos

Métodos desuavización

Patrón estacionario

Patrón detendencia

Patrón estacional

Promedios móviles simples

Suavización exponencial simple

Suavización exponencial simple de respuesta adaptiva

Promedios móviles lineales

Suavización exponencial lineal

Suavización exponencial cuadrática

Método de Winters

Page 28: 39209510 pronosticos

Promedios móviles simples Consisten en tomar un conjunto de datos observados, encontrar el promedio de

esos valores y usar dicho promedio como el pronóstico del siguiente periodo.

El término promedio móvil se usa porque cada vez que se tiene disponible una

nueva observación, se puede calcular un nuevo promedio, desechando la

observación de mayor antigüedad y agregando la observación más reciente. Este

nuevo promedio se usa como el pronóstico del siguiente periodo.

Requisitos para el uso de los promedios móviles simples:

1. Debe tratarse de una serie de tiempo con patrón estacionario.

2. Se debe definir una magnitud del promedio móvil (es decir, cuántos

datos se van a incluir en mi promedio) que tenga sentido respecto

del problema que se está habando.

3. El primer pronóstico no se puede calcular mediante la fórmula, sino

que necesariamente requiere del cálculo completo del promedio.

Fórmula

Lxx

PP Lttt1t

−+

−+=

Donde: Pt+1 : pronóstico para el periodo t+1

Pt : pronóstico para el periodo t

Xt : observación del periodo t (la más reciente)

Xt-L : observación del periodo t-L (la más antigua)

L : magnitud del promedio móvil

Ejemplo:

El día 31 de enero un vendedor de verduras del mercado de “La Soledad” desea

determinar cuántas zanahorias comprar para vender durante el mes de febrero. Él

ha identificado un patrón más o menos estacionario en sus ventas y decide

emplear el método de promedios móviles simples para obtener su pronóstico de

Page 29: 39209510 pronosticos

ventas. Llene la tabla siguiente usando una magnitud de promedio móvil igual a 3

y obtenga el pronóstico de venta de zanahorias de febrero.

Mes (t) Ventas (xt)

en kilos

Pronóstico

Febrero 231

Marzo 229

Abril 232

Mayo 234

Junio 225

Julio 231

Agosto 227

Septiembre 221

Octubre 228

Noviembre 236

Diciembre 226

Enero 229

Solución

Encontremos primero el promedio móvil para el mes de mayo que se forma con los datos de febrero, marzo y abril.

67.2303

2322292313

PPPP ABRMARFEB

MAY =++=++

=

Con este valor procedemos a calcular el promedio móvil de junio de esta manera:

Page 30: 39209510 pronosticos

67.2313231234

67.2303xx

PP FEBMAYMAYJUN =−+=

−+=

Y así sucesivamente continuaríamos con el resto de los datos hasta llegar a llenar completamente la tabla. Con la tabla llena entonces, procedemos a encontrar el pronóstico de febrero:

33.2303228229

00.2303xx

PP OCTENEENEFEB =−+=

−+=

El vendedor debe encargar 230.33 kilos de zanahoria para el mes de febrero. Mes (t) Ventas (xt) en kilos Pronóstico

Febrero 231

Marzo 229

Abril 232

Mayo 234 230.67

Junio 225 231.67

Julio 231 230.33

Agosto 227 230.00

Septiembre 221 227.67

Octubre 228 226.33

Noviembre 236 225.33

Diciembre 226 228.33

Enero 229 230.00

Cálculo del error y el error cuadrado Como habíamos mencionado todo pronóstico lleva consigo un error asociado, en la

medida que el error sea menor se considera que el pronóstico es más adecuado.

Se han diseñado diversas técnicas para comparar los errores entre los pronósticos,

sin embrago, el de mayor confiabilidad es el conocido como error cuadrado

conocido como el MSE por sus siglas en ingles. El MSE no es otra cosa que el

promedio de los errores elevados al cuadrado.

Page 31: 39209510 pronosticos

Pero ¿qué es el error? Pues no es otra cosa sino la diferencia entre el dato

observado y el dato pronosticado, esto es:

ttt PXe −=

La técnica del MSE hace uso de los errores al cuadrado y no del los errores simples

porque una suma de errores simples en general tiende a cancelarse (es decir da

como resultado cero) y no es útil.

De esta manera tenemos que:

∑=

=n

1i

2ien

1MSE

Selección del mejor modelo de pronósticos El criterio para seleccionar el mejor o el más adecuado modelo de pronósticos para

un caso dado es escoger aquel método con el menor error cuadrado medio, esto

es, mientras más se acerque a cero este valor, más certero y adecuado será para

usar. Esto va a ser útil comparando entre dos o más métodos o aun entre el

mismo método con diferentes parámetros. Por ejemplo, yo pudiera buscar como

encuentro una mejor aproximación a la realidad usando promedio móviles simples,

ya sea tomando L=3 o L=4; dado esto tomaría un conjunto de datos de prueba y

llenaría una tabla de pronósticos, aquella en la que el MSE sea menor es el que

debería seleccionar.

Ejemplo

Tome los datos del vendedor de verduras anterior y compare el MSE con L=3 y

L=4. ¿Cuál magnitud de promedio móvil debería utilizar?

Solución

Hagamos las tablas de datos para ambos casos y encontremos el MSE

correspondiente. Primero hagamos para L=3.

Page 32: 39209510 pronosticos

Mes (t) Ventas (xt) en kilos Pronóstico Error Error cuadrado

Febrero 231 Marzo 229 Abril 232 Mayo 234 230.67 3.33 11.11 Junio 225 231.67 -6.67 44.44 Julio 231 230.33 0.67 0.44

Agosto 227 230.00 -3.00 9.00 Septiembre 221 227.67 -6.67 44.44 Octubre 228 226.33 1.67 2.78

Noviembre 236 225.33 10.67 113.78 Diciembre 226 228.33 -2.33 5.44

Enero 229 230.00 -1.00 1.00

De aquí tenemos que:

83.259

00.144.4411.11MSE =+++= K

Tomemos ahora los mismos datos pero llenemos esta tabla con L=4.

Mes (t) Ventas (xt) en kilos Pronóstico Error Error cuadrado

Febrero 231 Marzo 229 Abril 232 Mayo 234 Junio 225 231.50 -6.50 42.25 Julio 231 230.00 1.00 1.00

Agosto 227 230.50 -3.50 12.25 Septiembre 221 229.25 -8.25 68.06 Octubre 228 226.00 2.00 4.00

Noviembre 236 226.75 9.25 85.56 Diciembre 226 228.00 -2.00 4.00

Enero 229 227.75 1.25 1.56

Page 33: 39209510 pronosticos

De aquí tenemos que:

34.278

56.100.125.42MSE =+++= K

La conclusión que sacaríamos de estos resultados es que para estos datos un

promedio móvil con L=3 es más adecuado que un promedio móvil con L=4.

Esta va a ser nuestra medida de comparación entre variaos métodos de

pronósticos y entre un mismo método con varios valores diferentes de sus

parámetros.

Suavización exponencial simple (SES) La suavización exponencial simple es un procedimiento para revisar

constantemente un pronóstico a la luz de la experiencia más reciente. Dada su

estructura el error se va reduciendo de manera exponencial a medida que se va

aplicando el método. Su fundamento son los promedios móviles simples pero

considerando con mayor impacto los datos de las últimas observaciones.

Requisitos para el uso de la suavización exponencial simple

1. Debe tratarse de una serie de tiempo con patrón estacionario.

2. Se debe inicializar el método, esto es, el primer pronóstico será una

estimación subjetiva del posible resultado del periodo siguiente.

Page 34: 39209510 pronosticos

3. Se debe definir una constante de suavización, conocida como α y

que será un valor entre cero y uno.17

Fórmula

( ) tttt1t ePP1XP α+=α−+α=+

Donde:

Pt+1 : pronóstico para el periodo t+1

Xt : dato observado en el periodo t

et : error del periodo t

α: constante de suavización

Inicialización

P2 = X1

Ejemplo

Use los datos del vendedor de verduras de “La Soledad” para hacer el pronóstico

para febrero con α=0.5 (este valor es totalmente neutro, ya que da la misma

importancia a lo histórico que a lo presente).

Solución

El primer paso es inicializar la tabla de pronósticos, en este caso el pronóstico para

el periodo dos, es el dato observado en el periodo uno, es decir P2 = 231. Con

este dato se comienzan a hacer los cálculos para calcular el resto de pronósticos,

hasta obtener el de febrero próximo.

17 Este valor puede considerarse como un porcentaje de importancia que el pronosticador va a dar a la información presente. Por la estructura de la fórmula, mientras más cercano a uno sea el valor de α, más valor se le dará a la información presente, en tanto que mientras más cercano sea a cero más valor se le dará a la información histórica.

Page 35: 39209510 pronosticos

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) 59.22818.2315.012265.0P1XP

00.23100.2305.012325.0P1XP

00.23000.2315.012295.0P1XP

DICDICENE

ABRABRMAY

MARMARABR

=−+=α−+α=

=−+=α−+α==−+=α−+α=

M

Mes (t) Ventas (xt) en kilos Pronóstico Error Error cuadrado

Febrero 231 Marzo 229 231.00 -2.00 4.00 Abril 232 230.00 2.00 4.00 Mayo 234 231.00 3.00 9.00 Junio 225 232.50 -7.50 56.25 Julio 231 228.75 2.25 5.06

Agosto 227 229.88 -2.88 8.27 Septiembre 221 228.44 -7.44 55.32 Octubre 228 224.72 3.28 10.77

Noviembre 236 226.36 9.64 92.94 Diciembre 226 231.18 -5.18 26.83

Enero 229 228.59 0.41 0.17

De esta manera el pronóstico para febrero sería de:

( ) ( )( ) ( )( ) 79.22859.2285.02295.0P1XP ENEENEFEB =+=α−+α= M

SE = 31.95

Suavización exponencial simple de respuesta adaptiva (SESRA) Cuando se usa un SES se define un valor de α desde el principio y dicho valor ya

no es modificado a través del tiempo. La suavización exponencial simple de

respuesta adaptiva es un método que trata de que el valor de la constante de

suavización se adapte al cambio que están teniendo los datos. Es básicamente un

SES con algunas adecuaciones y anexiones, pero la filosofía y los casos de uso son

los mismos.

Una cuestión importante es que el valor de α va a depender de un valor β

(también entre cero y uno; aunque algunos autores lo limitan de 0.2 a 0.3) que va

a suavizar el error y no el pronóstico, por lo que se considera que es más sensible

Page 36: 39209510 pronosticos

a cambios en el medio y por lo tanto no será tan definitivo determinar dicha β

desde el principio.

Una cuestión importante es la siguiente; α es un valor entre cero y uno, si la

fórmula asociada con α da como resultado un número mayor o igual que uno,

vamos a asignarle siempre el valor de β.

Fórmulas

( )

( )( ) 1ttt

1ttt

t

tt

tttt1t

M1eM

E1eE

ME

P1XP

+

β−+β=

β−+β=

α−+α=

Observación

Es importante en todos los métodos tener cuidado con el manejo de los

subíndices; en particular sea cuidadoso en este método.

Inicialización

0ME

XP

11

12

===

Ei es conocida como el valor de suavización, mientras que Mi se le llama valor

absoluto de suavización.

Recuerde que αααα tomará el valor de ββββ hasta que el resultado de la fórmula

proporcione un valor entre cero y uno.

Page 37: 39209510 pronosticos

Ejemplo

Vamos a continuar con nuestro ejemplo del vendedor de verduras tomando una

β=0.25

Solución

Inicializando en P2=231 tendríamos un error en el periodo 2 o de marzo de:

e2=229-231=-2. Calculemos E2 y M2.

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 5.0075.0225.0E1eM

5.0075.0225.0E1eE

122

122

=+=β−+β=−=+−=β−+β=

Con estos datos calculamos el valor de α2:

115.05.0

ME

2

22 =−=−==α

Como el valor de α2=1, para hacer el pronóstico para el periodo 3 tomamos el

valor de β, es decir, 0.25.

( )( ) ( )( ) 5.23023175.022925.0P3 =+=

Con este valor se calcula el nuevo error y así seguíamos hasta encontrar un valor

de α entre cero y uno.

Enseguida mostramos la tabla completa de SESRA. Recuerde que los

pronósticos son llenados con los valores de ββββ hasta que tenemos que: 0

< αααα <1.

t Xt Pt et Et Mt ααααt Febrero 231 0 0 Marzo 229 231.00 -2.00 -0.50 0.50 1.00 Abril 232 230.50 1.50 0.00 0.75 0.00 Mayo 234 230.88 3.13 0.78 1.34 0.58

Page 38: 39209510 pronosticos

Junio 225 232.69 -7.69 -1.34 2.93 0.46 Julio 231 229.18 1.82 -0.55 2.65 0.21

Agosto 227 229.56 -2.56 -1.05 2.63 0.40 Septiembre 221 228.54 -7.54 -2.67 3.86 0.69 Octubre 228 223.31 4.69 -0.83 4.06 0.20

Noviembre 236 224.27 11.73 2.31 5.98 0.39 Diciembre 226 228.80 -2.80 1.03 5.18 0.20 Enero 229 228.24 0.76 0.96 4.08 0.24

Podemos observar que en los meses de marzo y abril se tuvo que usar b para el

pronóstico, sin embargo, a partir de mayo el valor de a cumple con los

requerimientos necesarios y vemos como es un valor que trata de ajustarse al

comportamiento de los datos para dar un pronóstico más certero.

Encontremos el pronóstico para febrero:

( ) ( )( ) ( )( ) 63.22824.22876.022924.0P1XP ENEENEENEENEFEB =+=α−+α=

Para estos datos el MSE=28.15. En este punto el lector debe ser capaz de

decidir cuál método de los hasta ahora vistos utilizar.

Métodos de suavización para datos con patrones de tendencia Los casos que hemos visto hasta ahora corresponde a una serie de datos que tiene

un comportamiento de tipo constate o estacionario a través del tiempo. Ahora

veremos brevemente cuatro métodos que son útiles cuando la información

presenta un patrón de tendencia ya sea lineal o cuadrática. Mostraremos

inicialmente todos los modelos y después ilustraremos con dos ejemplos su uso.

Cabe destacar que los métodos vistos hasta ahora sólo tienen la capacidad de

pronosticar para el periodo inmediato al de los cálculos; estos métodos que

estamos por ver, son capaces de pronosticar tantos periodos de tiempo como sean

necesarios a futuro. Para efectos de una planeación serán más útiles que los

anteriores. Por supuesto siempre podremos usar estos nuevos métodos para datos

de patrón estacionario si consideramos que el valor de la tendencia de esos datos

es cero.

Page 39: 39209510 pronosticos

Promedio móviles lineales (dobles) Si el método de promedios móviles simples se aplica a una serie de datos con

tendencia, el pronóstico continuamente subestimará los valores reales.

Este tipo de error sistemático puede evitarse modificando el método de promedios

móviles simples por uno de tendencia lineal.

La base de esta modificación es calcular un segundo promedio móvil.

Esto provoca un desfase que ajusta los datos.18

18 Es muy importante hacer notar que ahora el promedio móvil no es el pronóstico sino una herramienta para calcular el pronóstico, por lo que se debe tener cuidado en los subíndices de las fórmulas que difieren de los que anteriormente se habían mostrado. En los métodos simples el promedio se calcula en el periodo t y se coloca en el periodo t+1. Ahora se calcula en el periodo t, mismo en el que es utilizado; así que no deben confundirse con esto, siempre y cuando tengan bien claros dichos subíndices.

Page 40: 39209510 pronosticos

Fórmulas

( )

111

ILt

ItII

1tIt

LttI1t

It

IIt

Itt

IIt

Itt

ttmt

XbaLSS

SS

LXX

SS

SS1L

2b

SS2a

mbaP

==

−+=

−+=

−−

=

−=+=

−−

−−

+

Donde:

Pt+m : pronóstico por encontrar.

at : ordenada al origen del pronóstico.

bt: pendiente del pronóstico.

SIt : promedio móvil simple del periodo t.

SIIt : promedio móvil doble del periodo t.

Suavización exponencial lineal (doble) Cuando se tiene una serie de tiempo con tendencia lineal, uno de los métodos

ampliamente recomendados es el de la suavización exponencial lineal (doble).

Hay dos métodos de suavización exponencial lineal:

� El método de Brown de un parámetro.

� El método de Holt de dos parámetros.

Estos métodos se prefieren a los de promedios móviles lineales porque se requiere

menos capacidad de almacenaje de información.

Page 41: 39209510 pronosticos

Método de Brown Fórmulas

( )( )( )1

II1

I1

II1t

It

IIt

I1tt

It

IIt

Itt

IIt

Itt

ttmt

XSS

S1SS

S1XS

SS1

b

SS2a

mbaP

==α−+α=α−+α=

−α−

α=

−=+=

+

Donde:

Pt+m : pronóstico por encontrar.

at : ordenada al origen del pronóstico.

bt: pendiente del pronóstico.

SIt : suavización exponencial simple del periodo t.

SIIt : suavización exponencial doble del periodo t.

Observamos que este método es muy similar al de promedios móviles lineales, sólo

que se usan suavizaciones exponenciales en lugar de promedios móviles.

El método de Holt que se muestra en seguida, si difiere del resto ya que agrega

dos constantes de suavización.

Método de Holt Fórmulas

Page 42: 39209510 pronosticos

( )( )( )

1b

XS

b1Sb

bS1XS

mbSP

1

11

1ttt

1t1ttt

ttmt

==

β−+β=+α−+α=

+=

−−

+

Donde:

Pt+m : pronóstico por encontrar.

St : ordenada al origen del pronóstico.

bt: pendiente del pronóstico.

Este método es diferente ya que trata de distribuir el error en dos partes de

suavizar y no sólo en una.

Suavización exponencial cuadrática Método de Brown Cuadrático Un modelo cuadrático supondría que el crecimiento o la tendencia esperada es de

mayor velocidad que un método lineal. desafortunadamente el único modelo que

tenemos para esta clase de patrones es uno muy complicado desarrollado por

Brown. No hay una forma fácil de determinar si un crecimiento es cuadrático, es

difícil de pronosticar esto, sin embargo, si usted está en una empresa con un

crecimiento más allá de lo lineal, pruebe este método.

Método de Brown cuadrático Fórmulas

Page 43: 39209510 pronosticos

( ) [ ] [ ] [ ]( )

( )( )( )( )

1III1

II1

I1

IIIt

IIt

IIIt

II1t

It

IIt

I1tt

It

III1

II1

It

2

t

IIIt

IIt

It2t

IIIt

IIt

Itt

2tttmt

XSSS

S1SS

S1SS

S1XS

SS2S1

c

S34S810S5612

b

SS3S3a

mc21

mbaP

===α−+α=

α−+α=α−+α=

+−

α−α=

α−+α−−α−α−

α=

+−=

++=

+

Donde:

Pt+m : pronóstico por encontrar.

at : ordenada al origen del pronóstico.

bt: pendiente del pronóstico.

Ct : pendiente cuadrática

SIt : suavización exponencial simple del periodo t.

SIIt : suavización exponencial doble del periodo t.

SIIt : suavización exponencial triple del periodo t.

Vamos a ilustrar el uso de los métodos de Brown lineal y Holt con el siguiente

ejemplo.

Page 44: 39209510 pronosticos

Ejemplo

Un vendedor de periódicos desea determinar cuántos ejemplares del “La Gaceta

del Día” para los próximos tres meses. Nuestro vendedor no sabe exactamente

que tipo de tendencia tiene el diario pero él ha observado que en los 10 meses ha

habido una tendencia creciente. Con los datos de la tabla use los métodos de

Brown lineal, Holt y Brown cuadrático para pronosticar los próximos meses y

determine cuál de los tres debería tomar como base de futuros pronósticos. (Use

α=0.35 y β=0.65)

Solución

Usemos primero el método de Brown lineal y llenemos la tabla de pronósticos con

m=1.

Mes Ventas (Xt) S´t S´´t at bt Pt et e2t

ENE 35645 35645.00 35645.00 FEB 36000 12600.00 4410.00 20790.00 4410.00 35645.00 355.00 126025.00 MAR 36355 20788.25 10098.29 31478.21 5756.13 25200.00 11155.00 124434025.00 ABR 36710 26152.98 15616.45 36689.51 5673.52 37234.35 -524.35 274938.89 MAY 37065 29710.66 20393.26 39028.06 5017.06 42363.03 -5298.03 28069130.03 JUN 37420 32111.82 24290.82 39932.82 4211.31 44045.12 -6625.12 43892220.72 JUL 37775 33772.82 27366.61 40179.02 3449.49 44144.13 -6369.13 40565785.33 AGO 38130 34960.10 29750.67 40169.54 2805.08 43628.51 -5498.51 30233658.43 SEP 38485 35844.22 31585.90 40102.53 2292.94 42974.62 -4489.62 20156664.34 OCT 38840 36534.30 33001.98 40066.61 1902.02 42395.47 -3555.47 12641340.12 NOV 39195 37100.20 34106.34 40094.06 1612.08 41968.63 -2773.63 7693025.68 DIC 39550 37586.63 34983.38 40189.88 1401.75 41706.14 -2156.14 4648950.15

Observamos que los valores de diciembre son aene=40189.88 y bene=1401.75. Con

estos valores calculamos los pronósticos de enero, febrero y marzo simplemente

tomando m=1,2,3.

El valor de m=1 nos dará el pronóstico de enero; el de m=2 el de febrero y el de

m=3 el de marzo.

Page 45: 39209510 pronosticos

44395.13)2(75.140188.40189)3(baP

42993.38)2(75.140188.40189)2(baP

41591.63)1(75.140188.40189)1(baP

DICDICMAR

DICDICFEB

DICDICENE

=+=+==+=+==+=+=

De esta tabla obtenemos un MSE=28430523.97.

Llenemos la tabla de Holt con los mismos datos y con m=1:

Mes Ventas (Xt) St bt Pt et e2t

ENE 35645 35645.00 1.00 FEB 36000 35769.90 23250.79 35645.00 355.00 126025.00 MAR 36355 51087.70 41344.78 71769.90 -35414.90 1254215142.01 ABR 36710 72929.61 61874.92 87442.70 -50732.70 2573806367.33 MAY 37065 100595.69 87043.42 109639.61 -72574.61 5267073543.92 JUN 37420 135062.42 118255.77 137660.69 -100240.69 10048195916.18 JUL 37775 177878.07 157010.27 172482.42 -134707.42 18146089240.41 AGO 38130 231022.92 205118.49 215653.07 -177523.07 31514441889.69 SEP 38485 296961.67 264816.56 269152.92 -230667.92 53207690407.84 OCT 38840 378749.85 338873.20 335446.67 -296606.67 87975516790.65 NOV 39195 480173.23 430718.22 417589.85 -378394.85 143182661357.80 DIC 39550 605921.94 544600.64 519368.23 -479818.23 230225533362.07

Vemos que SDIC=605921.94 y bDIC=544600.64 y tomando m=1, 2 y 3 tenemos los

pronósticos de enero, febrero y marzo respectivamente.

2239723.85)3(64.544660094.605921)3(bSP

1695123.22)2(64.544660094.605921)2(bSP

1150522.58)1(64.544660094.605921)1(bSP

DICDICMAR

DICDICFEB

DICDICENE

=+=+==+=+==+=+=

Estos valores nos da un valor de MSE=530359409112.9919

Por supuesto con estos datos es mucho mejor usar el método Brown lineal que el

método de Holt.

19 Estos valores tan grandes no deben sorprendernos ya que dependen de una buena selección de los valores de α y β; el lector puede probar otros valores de α y β y ver cuándo disminuye el MSE.

Page 46: 39209510 pronosticos

Método de Winters para patrones estacionales Los patrones estacionales son muy comunes en el mundo de los negocios; los

organizadores de fiestas saben bien que en diciembre y mayo van a tener un

exceso de demanda y que en los meses de enero y agosto tienen un déficit en la

demanda. Así mismo los vendedores de paletas suponen que se incrementan sus

ventas en la época de calor y baja de ventas en la época de frió.

Para este tipo de situaciones existe la llamada suavización exponencial triple o

método de Winters.

Es un método que toma de base el método de Holt y le agrega un componente de

ajuste estacional.

Es un método que debe probarse con varias combinaciones de las constantes de

suavización (en este caso tres), hasta encontrar la situación que mayor

certidumbre posea.

El método consiste de un componente estacionario (St), un componente de

tendencia (bt) y un componente estacional (It)

El método es restrictivo en cuanto a que necesita de tener al menos un año de

información para poder ser utilizado; esto es debido a que se debe determinar los

periodos estacionales previo a poder usarlo como método de pronósticos.

Afortunada o desafortunadamente no existe ningún método alternativo para hacer

pronósticos de tipo estacional, así que el lector debe resignarse a usar este método

como medio de inferir resultados de patrones estacionales, sin embargo, por otro

lado, no hay más que este método así que lo único que debería hacer es probar

para diferentes combinaciones de α, β y γ.

En esto método se dirá que r es el número de estaciones por año.

Método de Winters Fórmulas

Page 47: 39209510 pronosticos

( )

( )( )

( ) ( )

( )

=

=

=

=

−−

++−

+−+

=

=

=

=

=

γ−+

γ=

β−+−β=

+α−+

α=

+=

r

1ii

rr

r

1ii

22

r

1ii

11

r

r

1iir

rt

t

tt

1t1ttt

1t1t

rt

tt

mrtttmt

Xr1

XI

Xr1X

I

Xr1

XI

1b

Xr1

S

I1SX

I

b1SSb

bS1IX

S

ImbSP

M

Observemos que los valores iniciales de S, b e I son determinados después de un

periodo completo de información (normalmente un año).

El valor de I representa el componente estacional del modelo que es indispensable

para determinar el punto de estacionalidad de los datos.

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Page 48: 39209510 pronosticos

Ejemplo

Una compañía de hielos desea determinar cuáles serán sus ventas de bolsas de

hielo individual para el próximo año, ellos tienen los datos de los dos últimos años

y con ellos desearían poder encontrar un pronóstico confiable del próximo año.

Usando α=0.75, β=0.5 y γ=0.01, pronostique las ventas del año próximo.

Solución

Desarrollemos la tabla de Winters para este ejemplo:

Estación Ventas St bt It Primavera 90 1.38

Verano 100 1.53 Otoño 45 0.69

Invierno 25 65.00 1.00 0.38 Primavera 92 66.11 1.06 1.39

Verano 99 66.59 0.77 1.52 Otoño 46 67.19 0.68 0.69

Invierno 21 64.66 -0.92 0.38

Observamos que los valores del invierno de S=64.62 y de la b=-0.92. Con estos

valores procedemos a realizar los pronósticos del año próximo.

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 92.2238.0)4(92.062.64I4bSP

65.4269.0)3(92.062.64I3bSP

64.9552.1)2(92.062.64I2bSP

29.8839.1)1(92.062.64I1bSP

invINVINVinv

otoINVINVotoI

verINVINVver

PRIINVINVPRI

=−=+==−=+==−=+==−=+=

Los pronósticos son muy cercanos al patrón que han seguido los datos, por lo que

nuestra selección de α, β y γ parece razonable y esperamos que siga el patrón de

datos.

Significado del valor de It En el ejemplo anterior encontramos los valores de Ipri=1.39, Iver=1.52, Ioto=0.69 y

Iinv=0.38. Si sumáramos los valores de estas factores veríamos que el resultado da

Page 49: 39209510 pronosticos

cuatro. Siempre la suma de los factores estacionales debe ser igual al número de

estaciones en el problema.

El significado de estos factores tiene que ver con la demanda estándar del

producto, así, se considera normal una demanda de 1.00 de acuerdo a la

capacidad instalada de la empresa.

Cuando el valor es mayor que uno quiere decir que la demanda supera a la

capacidad instalada de la empresa, cuando es menor que uno quiere decir que hay

inventarios ociosos.

Piense por ejemplo en un restaurante y en que el número de mesas que hay en

este restaurante son 100. El valor de 1.39 significa que en un día normal la

demanda sería de 139 mesas. Un valor de 0.38 significaría que en un día normal la

demanda de mesas sería de 38.

Por supuesto esto debe ayudar a la empresa a planear que hacer con las

instalaciones ociosas o bien que hacer cuando se requiere de más mesas.

El valor promedio al año debe ser de uno porque con eso se garantiza que se

satisfacerá a demanda anual, aunque no la demanda estacional.

Page 50: 39209510 pronosticos

Métodos causa-efecto Regresión lineal20

Con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos de

variables, cuando se sabe que existe una relación inherente entre ellos.

A menudo se tiene una sola variable dependiente o respuesta (conocida como

efecto) y la cual no se controla en el experimento. Esta variable tradicionalmente

se denota como Y.

Esta respuesta depende de una o más variables independientes o de regresión

(causas) que se denotan normalmente como X1, X2,...,XK.

Estas variables causa se miden en general con un error despreciable y en realidad,

en la generalidad de los casos, se controlan en el experimento.

Regresión lineal simple La regresión lineal simple nos presenta el caso cuando sólo existe una variable de

regresión (causa) independiente X y una sola variable aleatoria independiente Y.21

El concepto de lineal surge dado que la relación entre estas variables puede

interpretarse como aquella que tienen las variables en la ecuación de una recta.22

20 Nuestro estudio de la regresión será simplemente introductorio y útil para una empresa mediana y pequeña. Los métodos de regresión podrían durar de estudio varios semestres así que aquí haremos énfasis en las aplicaciones y no profundizaremos en los aspectos matemáticos de la regresión. Para una referencia matemática más completa ver las obras de Walpole & Myers y de Mendenhall. 21 Aunque en la práctica es difícil que esto ocurra, si es muy común medir la importancia de una sola variable con respecto al efecto. Por ejemplo, se sabe que en economía la variable más importante de la cantidad demandada es el precio; esto no excluye la importancia del precio de la competencia o el gasto en publicidad, pero se pueden hacer muchas interpretaciones con sólo esta variable. 22 En la geometría analítica la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado que al graficarla da de resultado una línea recta en el plano XY.

Page 51: 39209510 pronosticos

Ecuaciones de regresión Las ecuaciones de la regresión se van a obtener mediante el método de los

mínimos cuadrados que básicamente lo que hacen es minimizar el error de fallar

en el pronóstico. La idea consiste en minimizar el valor del MSE y a partir de ahí

escoger la mejor ecuación que represente los datos.

En general lo que sucede es que tenemos un conjunto de datos que al graficarlos

en un diagrama de dispersión23 se presentarían de esta forma:

Diagrama de dispersión

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 5 10 15 20 25

Días

Ven

tas

Y

La intención de este método es encontrar la recta que mejor se aproxime a este

cada uno de los datos, o en otra palabras, que mejor representen la relación entre

estos puntos.

Lo que vamos a hacer es encontrar la ecuación de la recta más representativa de

estos datos.

23 Diagrama donde se grafican lo datos en un conjunto de ejes XY.

Page 52: 39209510 pronosticos

Recordemos que la ecuación de una recta esta representada por:

bxay +=

En el caso de la regresión vamos a tener información histórica de los valores de y

a determinados valores de x.

Usaremos dichos valores para encontrar los valores de a y b que minimizan el error

y aproximan más cualquier recta al conjunto de datos. Esto valores son llamados

los coeficientes de regresión y que es lo que estamos buscando.

Una vez encontrados estos valores se usa esta ecuación de regresión para

pronosticar y a diferentes valores de x.

El método para encontrar a y b requiere del uso de derivadas parciales que no son

el objetivo de este curso, por lo que daremos la fórmula directa para encontrar a y

b.24

∑∑

∑∑

∑∑∑

==

==

===

−=

−=

n

1ii

n

1ii

2n

1ii

n

1i

2i

n

1ii

n

1ii

n

1iii

xnb

yn1

a

xxn

yxyxnb

La ecuación de regresión sería entonces:

bxay +=

Veamos un ejemplo de la regresión.

24 Una vez más para verificar la derivación del modelo ver el libro de Probabilidad y Estadística de Walpole & Myers, editado por McGraw-Hill.

Page 53: 39209510 pronosticos

Ejemplo

En un estudio médico se cree que el consumo de carne de puerco es una causa

muy importante del sobre peso extremo antes de los 40 años. Se tomó una

muestra de 15 pacientes menores de cuarenta años y se investigó su consumo en

kilos de carne de puerco en los último cuarenta años, así como los kilos de sobre

peso que tenían. Con estos datos encuentra la ecuación de regresión para estos

hombres y pronostique que sobre peso se espera que tenga un hombre mayor de

40 años que consumió 25 kilos de carne de puerco el año pasado.

Solución

Veamos la siguiente tabla dónde se señala con negrilla la información original y en

itálica los cálculos realizados.

Datos Kilos

consumidos Kilos de

sobrepeso X Y XY X2 Y2 14 19.10 267.38 196.00 364.76 15 20.46 306.95 225.00 418.73 13 17.73 230.55 169.00 314.52 17 23.19 394.25 289.00 537.84 21 28.65 601.61 441.00 820.72 22 30.01 660.27 484.00 900.74 16 21.83 349.24 256.00 476.43 16 21.83 349.24 256.00 476.43 22 30.01 660.27 484.00 900.74 18 24.56 442.00 324.00 602.98 17 23.19 394.25 289.00 537.84 12 16.37 196.44 144.00 267.99 22 30.01 660.27 484.00 900.74 15 20.46 306.95 225.00 418.73 19 25.92 492.48 361.00 671.84

Total 259 353.33 6312.15 4627.00 8611.04

Las sumas de los totales de la parte inferior los usaremos para encontrar los

valores de a y b. Debe quedar claro que XY es el producto de X por Y, esto es,

(14)X(19.10)=267.38 y así cada valor; y X2 y Y2 son los valores de X y Y elevados

al cuadrado.

Page 54: 39209510 pronosticos

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

X3642.10097.0Y

0097.0259153632.1

33.353151

a

3642.125900.462715

33.35325915.631215b

2

+−=

−=−=

=−

−=

Para responder a nuestra pregunta, simplemente sustituyamos el valor de 25 en

nuestra ecuación:

( ) 10.34253642.10097.0Y =+−=

Es decir, se esperaría que un hombre que tuvo un consumo de 25 kilos de carne

de puerco durante un año, al final del mismo haya ganado 34.10 kilos de sobre

peso.

El coeficiente de correlación y el de determinación Ya dijimos que este modelo permite determinar como es la relación entre dos

variables, sin embrago, ¿qué tan fuerte es esa relación? La respuesta a esta

pregunta la va a dar el coeficiente de correlación.

Definamos las primeras el concepto de covariancias que no es otra cosa sino la

medida de la dispersión de los datos de una variable con respecto a otra. La

covariancia de una variable con respecto a sí misma es en realidad la variancia

(que es la desviación estándar elevada al cuadrada).

La fórmulas que utilizaremos serán los siguientes:

Page 55: 39209510 pronosticos

n

yxxS

n

yyS

n

xxS

n

1ii

n

1iin

1iixy

2n

1iin

1i

2iyy

2n

1iin

1i

2ixx

−=

−=

−=

∑∑∑

∑∑

∑∑

==

=

=

=

=

=

El coeficiente de correlación va a ser la medida de la fuerza de la relación entre las

variables. Tomará valores desde –1 hasta 1. Cuando el valor del coeficiente se

acerca a 1 se habla de una fuerte correlación positiva25, mientras que cuando se

acerca a –1 se tiene una fuerte correlación negativa. Si el valor del coeficiente se

acerca a cero se dice que tiene poca o nula correlación.

La fórmula para la correlación es:

yyxx

xy

SS

Sr =

Como se puede observar es el cociente de la aportación de las variables, entre la

raíz cuadrada de las aportaciones individuales. Si Sxy=0, no hay correlación porque

las variables son independientes.

25 No debe confundir correlación positiva con bueno; por ejemplo existe una muy fuerte correlación positiva entre el fumar y el padecer enfisema pulmonar y esto no es bueno.

Page 56: 39209510 pronosticos

En el caso de nuestro ejemplo tenemos:

( )

( )

( )( )

( )( ) 134.28893.154

36.211r

36.21115

33.35300.25915.6312S

34.2881533.353

04.8611S

93.1541500.259

00.4627S

xy

2

yy

2

xx

==

=−=

=−=

=−=

En este caso la correlación ha dado uno, este es un valor que se refiere a una

correlación perfecta, es decir, el sobre peso depende totalmente del consumo de la

carne de cerdo,26 es decir, no hay otra variable que determine el sobre peso, esto

lo explica mejor el coeficiente de determinación.

Coeficiente de determinación Al elevar al cuadrado el coeficiente de correlación, se obtiene el valor del

coeficiente de determinación. Este valor va a ser importantísimo porque nos va a

medir el porcentaje de cambio en y, debido al cambio en una unidad de x.

Esto se puede interpretar como el porcentaje de cambio en y por el efecto en x; si

la determinación es alta significa que la variable y depende en gran medida de la

variable x.

Ilustremos este concepto con ejemplo en el cual no haya una correlación perfecta.

Ejemplo

Un publicista supone que mientras más veces se transmita un comercial de

televisión mayores serán las ventas de pasta dental con saborizante para niños. Se

26 Esto no es común y sólo ha dado sólo como resultado de un ejemplo teórico.

Page 57: 39209510 pronosticos

toma información durante una semana del número de veces que se transmitió el

comercial y de las ventas de la pasta ese día en una tienda de autoservicio en

particular. La información se muestra en la tabla. ¿Qué porcentaje de las ventas de

pasta dental se deben a la exhibición del comercial?

Solución

Esta es la tabla de datos y las sumas correspondientes:

Día Veces que pasó el

mensaje Ventas de la

pasta X Y XY X2 Y2

LUNES 7 133.00 931.00 49.00 17689.00 MARTES 8 151.00 1208.00 64.00 22801.00

MÉRCOLES 7 143.00 1001.00 49.00 20449.00 JUEVES 9 149.00 1341.00 81.00 22201.00 VIERNES 9 157.00 1413.00 81.00 24649.00 SÁBADO 10 164.00 1640.00 100.00 26896.00 DOMINGO 16 213.00 3408.00 256.00 45369.00

Total 66 1110.00 10942.00 680.00 180054.00

Con estos datos tenemos:

( )

( )

( )( )29.476

7111066

10942S

71.40397

1110180054S

71.577

66680S

XY

2

YY

2

XX

=−=

=−=

=−=

De ahí calculamos tanto el coeficiente de correlación como el de determinación:

( )( )

( ) 9728.09864.0r

9864.001.403971.57

29.476r

22 ==

==

Page 58: 39209510 pronosticos

La interpretación que tiene este valor es que el 97.28% de las ventas de pasta se

deben a la exhibición del comercial y sólo el 2.72% se debe a otros factores como

pueden ser el precio, el sabor, etc.

Regresión lineal múltiple27

La regresión lineal múltiple no es sino la generalización a dos o más variables de

los conceptos de regresión simple. Ahora tenemos varias causas y un solo efecto.

El concepto es fácilmente generalizable ya que la ecuación sólo tiene que

expresarse en función de más de una variable, la ecuación quedaría así:

kk3322110 XbXbXbXbbY +++++= K

La estimación de los coeficientes bi requiere del manejo de matrices ya que es un

arreglo matricial completo. Dicho sistema se representaría como:

gAB 1−=

Donde A, B y g son matrices compuestas por:

=

k

1

0

b

b

b

BM

27 Este material requiere del dominio del tema de matrices y vectores. Aunque puede pasarse a la sección siguiente sin pérdida de continuidad.

Page 59: 39209510 pronosticos

=

∑∑∑

∑∑∑∑∑

2kk1k

k1211

k1

xxxx

xxxxxxn

A

K

MKMM

K

K

=

∑∑

k

1

yx

yxy

gM

La matriz A hay que invertirla por cualquier método que les sea familiar. Mientras

que el coeficiente de determinación se calculará de esta manera:

( )

SSTSSR

R

SSSTn

ybgSSR

2

YY

2

=

=

−= ∑∑

Ilustremos este método con un ejemplo. Los cálculos de la matrices se han hecho

en el software LOTUS-123(R) .

Ejemplo

Una vendedor de hot-dogs afuera de la iglesia cree que las ventas de sus

productos están relacionados con el precio de venta y con la duración de la misa.

Él toma información de precios de sus hot-dogs y de la duración de la misa y corre

una regresión lineal con estas dos variables. Encuentre la ecuación de regresión

del vendedor de hot-dogs y diga el porcentaje de las ventas de hot-dogs que se

deben al precio delos mismos y a la duración de la misa.

Page 60: 39209510 pronosticos

Solución

VTAS PRECIO DURACIÓN X1Y X2Y X1X2 X12 X2

2 25 2.75 35 68.75 875.00 96.25 7.56 1225.00 17 2.30 55 39.10 935.00 126.50 5.29 3025.00 22 2.35 40 51.70 880.00 94.00 5.52 1600.00 13 2.35 55 30.55 715.00 129.25 5.52 3025.00 24 2.80 40 67.20 960.00 112.00 7.84 1600.00 32 1.95 30 62.40 960.00 58.50 3.80 900.00 18 2.65 39 47.70 702.00 103.35 7.02 1521.00 24 2.45 35 58.80 840.00 85.75 6.00 1225.00 12 3.50 62 42.00 744.00 217.00 12.25 3844.00 32 2.00 29 64.00 928.00 58.00 4.00 841.00

219 25.10 420.00 532.20 8539.00 1080.60 64.82 18806.00

Con estos datos construimos las matrices respectivas:

=1880660.1080420

60.108082.6410.2542010.2510

A

=8539

20.532219

g

Ahora se procede a calcular la inversa de la matriz A. Esto nos da como resultado:

−−−−−−

=−

00.002.001.002.082.028.101.028.160.3

A 1

Multiplicando A-1g obtenemos B cuyo resultado es:

Page 61: 39209510 pronosticos

−−=

52.010.292.48

B

Por lo tanto nuestra ecuación de regresión es:

21 X52.0X10.292.48Y −−=

El análisis de la ecuación es que ambos factores X1 y X2 tienen una relación inversa

con respecto a las ventas, sin embargo, la variable precio es más importante que

la variable duración; cada peso que se incrementa el precio de los hot-dogs se

reducen las ventas en 2.10, mientras que cada minuto que aumenta de duración la

misa, disminuye en 0.52 las ventas.

Calculando el coeficiente de determinación tenemos:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

8609.090.43886.377

R

9.43810

2195235SST

86.37710

219853952.020.53210.221992.48SSR

2

2

2

==

=−=

=−−+−+=

Esto significa que el 86.09% de las ventas se explica por el precio del hot-dog y

por la duración de la misa.

Métodos de descomposición de series de tiempo Un método que utiliza los vistos anteriormente es la descomposición en series de

tiempo. Este método es complicado y laborioso y aplicable tal vez sólo a empresas

de muy alta infraestructura y de muchos años en el mercado.

El método requiere al menos de cinco años de información ya que involucra el

factor cíclico en sus cálculos.

Descompone un dato en cuatro componentes:

Page 62: 39209510 pronosticos

� Tendencia.

� Estacionalidad.

� Cíclico

� Error.

Cada uno de elementos se utilizará en un pronóstico posterior que va a permitir

inferir todo el año.

El concepto básico es que un dato (de ventas por ejemplo) está influido por estos

cuatro factores y que basta encontrar el porcentaje que cada uno tiene en el dato

para poder pronosticar las ventas del futuro.

Este es el desarrollo del método:

t

t

tt

t

t

tt

tt

tt

tttt

t

t

ttt

ttttt

CTM

btaT

IMX

R

xEIxCT

xExCxITMX

xCTM

xExCxITX

=→+=

→=

==

==

Este desarrollo, aunque parece complicado, es realmente sencillo, simplemente

consiste en hacer las operaciones señaladas arriba. Tomando en cuenta que la Tt,

que es el valor de la pendiente se calcula tomando cada periodo de tiempo como

una causa y cada dato observado como un efecto.

Los valores de las It se calculan con una tabla de promedios mediales surgida de

los datos originales. Esta tabla se calcula por separado.

Page 63: 39209510 pronosticos

Por otro lado el cálculo de Mt es un promedio móvil pero centrado, es decir, el

valor del promedio se coloca en el centro de los datos usados para el promedio.28

Al final de cuentas se supone el error desaparece o tiende a cero y se usa el

producto de los elementos restantes como pronóstico.

Hay varios métodos adicionales de descomposición, descomposición aditiva,

multiplicativa, Census II, etc. Nosotros usaremos la descomposición multiplicativa

por ser bastante sencilla de calcular y muy utilizada.29

A continuación mostramos una serie de tablas que resumen los pasos de una

descomposición de series de tiempo.

Tabla 1: Datos originales.

AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct 1 PRIM 10

VER 14 OTO 21 INV 34

2 PRIM 11 VER 15 OTO 22 INV 35

3 PRIM 12 VER 16 OTO 23 INV 36

28 Hay que distinguir dos casos: cuando tenemos un número impar de datos simplemente se pone a la altura del dato central Cuando es un número par, hay varias versiones, nosotros hemos preferido usar la idea de Makridakis (Forecasting; methods and applications) quien simplemente lo pone en el dato más reciente en tiempo. Esto facilita los cálculos y la comprensión y no afecta mayormente en el pronóstico. 29 Tomada también de Makridakis.

Page 64: 39209510 pronosticos

4 PRIM 13 VER 17 OTO 24 INV 37

5 PRIM 14 VER 18 OTO 25 INV 38

6 PRIM 15 VER 19 OTO 26 INV 39

Ahora procedemos al cálculo de la Mt, el primero sería tomando los datos del año 1

y colocamos el promedio en la celda correspondiente al otoño del año 1. Luego

calculamos el promedio agregando la primavera del año 2 y quitando la primavera

del año 1 y colocando el resultado en la celda correspondiente al invierno del año

1 y así sucesivamente llenamos la tabla hasta terminar con el sexto año y

poniendo el resultado en el otoño del años seis.

El resultado nos generaría la tabla siguiente:

Page 65: 39209510 pronosticos

Tabla 2: tabla con los promedios móviles centrados

AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct 1 PRIM 10

VER 14 OTO 21 19.75 INV 34 20.00

2 PRIM 11 20.25 VER 15 20.50 OTO 22 20.75 INV 35 21.00

3 PRIM 12 21.25 VER 16 21.50 OTO 23 21.75 INV 36 22.00

4 PRIM 13 22.25 VER 17 22.50 OTO 24 22.75 INV 37 23.00

5 PRIM 14 23.25 VER 18 23.50 OTO 25 23.75 INV 38 24.00

6 PRIM 15 24.25 VER 19 24.50 OTO 26 24.75 INV 39

Ahora calculamos las razones a promedio móvil (Rt), que es simplemente el

cociente entre el dato (Xt) y el promedio móvil; como señalábamos este valor nos

servirá para encontrar el factor estacional (It).

Page 66: 39209510 pronosticos

Tabla 3: tabla con razones a promedios móviles

AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct 1 PRIM 10

VER 14 OTO 21 19.75 1.06 INV 34 20.00 1.70

2 PRIM 11 20.25 0.54 VER 15 20.50 0.73 OTO 22 20.75 1.06 INV 35 21.00 1.67

3 PRIM 12 21.25 0.56 VER 16 21.50 0.74 OTO 23 21.75 1.06 INV 36 22.00 1.64

4 PRIM 13 22.25 0.58 VER 17 22.50 0.76 OTO 24 22.75 1.05 INV 37 23.00 1.61

5 PRIM 14 23.25 0.60 VER 18 23.50 0.77 OTO 25 23.75 1.05 INV 38 24.00 1.58

6 PRIM 15 24.25 0.62 VER 19 24.50 0.78 OTO 26 24.75 1.05 INV 39

Los valores de Rt servirán para construir una tabla de promedios mediales30 y con

estos resultados sacaremos los factores estacionales.

30 Un promedio medial es aquel en el que se eliminan los valores mayores y menores para evitar sesgo y se obtiene el promedio de lo valores resultantes.

Page 67: 39209510 pronosticos

Tabla 4: tabla de promedios mediales para obtener los factores estacionales

AÑO\EST PRI VER OTO INV 1 1.06 1.70 2 0.54 0.73 1.06 1.67 3 0.56 0.74 1.06 1.64 4 0.58 0.76 1.05 1.61 5 0.60 0.77 1.05 1.58 6 0.62 0.78 1.05

PROMEDIO 0.58 0.76 1.06 1.64 MEDIAL

Con esta tabla se procederá a encontrar los factores estacionales que

permanentemente se usarán para el pronóstico.

El cálculo es el siguiente:

1. Obtener un valor constante llamado índice de estacionalidad que se

calcula como la razón del número de estaciones por año, dividido

entre la suma de promedios mediales.

2. Multiplicar este factor por cada promedio medial.

3. El resultado de dicha multiplicación es el factor estacional de la

descomposición de series de tiempo.

En nuestro caso: 99.003.44

k ==

Con esto calculamos los factores estacionales:

( )( )( )( )( )( )( )( ) 63.199.064.1I

05.199.006.1I

75.099.076.0I

58.099.058.0I

INV

OTO

VER

PRI

========

Incrustamos estos valores en la tabla 5.

Tabla 5: tabla de descomposición con factores estacionales.

Page 68: 39209510 pronosticos

AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct Tt 1 PRIM 10 0.58

VER 14 0.75 OTO 21 19.75 1.06 1.05 INV 34 20.00 1.70 1.63

2 PRIM 11 20.25 0.54 0.58 VER 15 20.50 0.73 0.75 OTO 22 20.75 1.06 1.05 INV 35 21.00 1.67 1.63

3 PRIM 12 21.25 0.56 0.58 VER 16 21.50 0.74 0.75 OTO 23 21.75 1.06 1.05 INV 36 22.00 1.64 1.63

4 PRIM 13 22.25 0.58 0.58 VER 17 22.50 0.76 0.75 OTO 24 22.75 1.05 1.05 INV 37 23.00 1.61 1.63

5 PRIM 14 23.25 0.60 0.58 VER 18 23.50 0.77 0.75 OTO 25 23.75 1.05 1.05 INV 38 24.00 1.58 1.63

6 PRIM 15 24.25 0.62 0.58 VER 19 24.50 0.78 0.75 OTO 26 24.75 1.05 1.05 INV 39 1.63

Lo siguiente es encontrar el valor de Tt utilizando la regresión que ya hemos visto

como se calcula, tomando de variable independiente los valores de los periodos

tomados como unidad (1, 2, 3,..., 24) y como variable dependiente los datos

observados Xt. Posteriormente una vez encontrada la ecuación se evalúa en los

valores de 1 a 24 en este caso y se pone en su lugar correspondiente.

La ecuación de regresión para estos datos sería:

t45.63.16btaTt +=+=

Tabla 6: tabla de descomposición con factores de tendencia

AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct Tt 1 PRIM 10 0.58 17.08

VER 14 0.75 17.53

Page 69: 39209510 pronosticos

OTO 21 19.75 1.06 1.05 17.98

INV 34 20.00 1.70 1.63 18.43 2 PRIM 11 20.25 0.54 0.58 18.88

VER 15 20.50 0.73 0.75 19.33

OTO 22 20.75 1.06 1.05 19.78

INV 35 21.00 1.67 1.63 20.23 3 PRIM 12 21.25 0.56 0.58 20.68

VER 16 21.50 0.74 0.75 21.13

OTO 23 21.75 1.06 1.05 21.58

INV 36 22.00 1.64 1.63 22.03

4 PRIM 13 22.25 0.58 0.58 22.47

VER 17 22.50 0.76 0.75 22.92

OTO 24 22.75 1.05 1.05 23.37

INV 37 23.00 1.61 1.63 23.82

5 PRIM 14 23.25 0.60 0.58 24.27

VER 18 23.50 0.77 0.75 24.72

OTO 25 23.75 1.05 1.05 25.17

INV 38 24.00 1.58 1.63 25.62

6 PRIM 15 24.25 0.62 0.58 26.07

VER 19 24.50 0.78 0.75 26.52

OTO 26 24.75 1.05 1.05 26.97

INV 39 1.63 27.42

Finalmente se encuentra el factor cíclico que es simplemente la división entre el

promedio móvil centrado y los valores de la tendencia de esta forma:

t

tt T

MC =

Tabla 7: tabla de descomposición final

AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct Tt 1 PRIM 10 0.58 17.08

VER 14 0.75 17.53

Page 70: 39209510 pronosticos

OTO 21 19.75 1.06 1.05 1.10 17.98

INV 34 20.00 1.70 1.63 1.09 18.43 2 PRIM 11 20.25 0.54 0.58 1.07 18.88

VER 15 20.50 0.73 0.75 1.06 19.33

OTO 22 20.75 1.06 1.05 1.05 19.78

INV 35 21.00 1.67 1.63 1.04 20.23 3 PRIM 12 21.25 0.56 0.58 1.03 20.68

VER 16 21.50 0.74 0.75 1.02 21.13

OTO 23 21.75 1.06 1.05 1.01 21.58

INV 36 22.00 1.64 1.63 1.00 22.03

4 PRIM 13 22.25 0.58 0.58 0.99 22.47

VER 17 22.50 0.76 0.75 0.98 22.92

OTO 24 22.75 1.05 1.05 0.97 23.37

INV 37 23.00 1.61 1.63 0.97 23.82

5 PRIM 14 23.25 0.60 0.58 0.96 24.27

VER 18 23.50 0.77 0.75 0.95 24.72

OTO 25 23.75 1.05 1.05 0.94 25.17

INV 38 24.00 1.58 1.63 0.94 25.62

6 PRIM 15 24.25 0.62 0.58 0.93 26.07

VER 19 24.50 0.78 0.75 0.92 26.52

OTO 26 24.75 1.05 1.05 0.92 26.97

INV 39 1.63 27.42

El factor cíclico es similar en interpretación al factor estacional, sin embargo tiene

que ver con el estado de la economía fijando en 1 la economía normal dadas el

potencial económico de un país.

Para obtener los pronósticos se toman los factores estacionales correspondientes,

la tendencia evaluada en el periodo futuro y el último factor cíclico.

Veamos el pronóstico para el año 7.

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31.34)92.0(x)63.1(x))28(45.063.16(xCxITP

78.24)92.0(x)05.1(x))27(45.063.16(xCxITP

19.20)92.0(x)75.0(x))26(45.063.16(xCxITP

36.15)92.0(x)58.0(x))25(45.063.16(xCxITP

INVINVINVINV

OTOOTOOTOOTO

VERVERVERVER

PRIPRIPRIPRI

=+===+===+==

=+==