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Propiedad Intelectual Cpech

Estadística II


Aprendizajes esperados

• Calcular las medidas de tendencia central a partir de datos agrupados y no agrupados.

• Interpretar las medidas de tendencia central a partir de tablas y gráficos.


Estadística II

Distribución de frecuencias

Contenidos

Datos NO agrupados

Datos agrupados

Gráficos


Corresponde al ordenamiento de datos cuando en un estudio estadístico se recopila una gran cantidad de ellos.

Existen dos tipos de distribución de frecuencias:

• Datos NO agrupados• Datos agrupados Frecuencia: Es la

cantidad de veces que se repite un dato en una muestra.

Distribución de frecuencias


Se utiliza comúnmente cuando las opciones de variables son pocas.

Ejemplo

Ordenar los datos siguientes en una tabla de frecuencias:

5, 6, 2, 1, 5, 2, 6, 5, 7, 1, 6, 6, 2, 5, 6

Número Frecuencia

1 2

2 3

5 4

6 5

7 1

Al sumar la columna de la frecuencia, se obtiene el número total de datos (n).

n = 15

Datos NO agrupados


Frecuencia acumulada:

Frecuencia relativa:

Corresponde a la acumulación de las frecuencias de los datos ordenados en orden creciente.

Corresponde a la razón entre la frecuencia y el número total de datos (n). Puede ser expresada en porcentaje.

Dato Frecuencia Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa

x1 f1 f1

x2 f2 f1 + f2

… … ... …

xn fn f1 + f2… + fn

f1

n 100%

f2

n 100%

fn

n 100%

Tablas de frecuencias


Ejemplo

Construir una tabla de frecuencias para los datos:

5, 6, 2, 1, 5, 2, 6, 5, 7, 1, 6, 6, 2, 5, 6


Frecuencia relativa

1

2

5

6

7

315 100% = 20%

2

3

4

5

1

2

2 + 3 = 5

5 + 4 = 9

9 + 5 = 14

14 + 1 = 15

215 100% = 13, %

__

3

515 100% = 33, %

__

3

415 100% = 26, %

__

6

115 100% = 6, %

__

6

Tablas de frecuencias


La información también puede ser representada en gráficos de barra de frecuencias (o histogramas).

Ejemplo

Gráficos


El gráfico circular sirve para presentar la información de los datos, su frecuencia, o la frecuencia relativa.

Ejemplos

¿Qué tipo de película prefiere?

Ex fumador

1.153 / 23%No fumador

2.156 / 44%

Fumador

1.640 / 33%

¿Fuma o ha fumado?

Gráficos


Según la información del gráfico, ¿cuál es el número total de datos de la muestra?

Ejemplo

10

Dato

Frecuencia

654

1 2 3 4

Construyendo la tabla de frecuencias de los datos se tiene:

Dato Frecuencia

1

2

3

4

6

5

4

10

Sumando las frecuencias, el número de datos es:

n = 6 + 5 + 4 + 10 = 25.

Gráficos


Se utiliza cuando hay una gran cantidad y variedad de datos, por lo que es conveniente agruparlos en intervalos semiabiertos, excepto el último, que es cerrado.

Marca de clase:Corresponde al valor central de cada intervalo. Es el promedio de los extremos del intervalo.

Las estaturas de los alumnos de un colegio viene dada por la tabla:

Ejemplo

Estatura (cm) Frecuencia Marca de clase

[150, 160[ 120

[160, 170[ 240

[170, 180[ 150

[180, 190] 80

155

165

175

185

Datos agrupados


Cuando se conoce la frecuencia de los datos, la media aritmética(o promedio) se calcula mediante la fórmula:

x = x1 f1 + x2 f2 + …. + xn fn

n

Con n: número total de datos, y fi la frecuencia del dato xi.

Media aritmética (o promedio)


Según la información de la tabla, calcular la media aritmética (o promedio) de los datos.

Ejemplo

Dato Frecuencia

1 6

2 5

3 4

4 10

Sumando las frecuencias, se obtiene:

x = x1 f1 + x2 f2 + …. + xn fn

n

n = 6 + 5 + 4 + 10 = 25.

x = 1 6 + 2 5 + 3 4 + 4 10 25

x = 6 + 10 + 12 + 40

25

x = 6825

x = 2,72

n = 25

Media aritmética (o promedio)


- En una distribución de datos agrupados, se llama intervalo modal al intervalo que tiene mayor frecuencia.

- Recordemos que en una distribución de datos NO agrupados, la moda es el dato de mayor frecuencia.

Dato Frecuencia

[1,3[ 10

[3,5[ 13

[5,7[ 14

[7,9] 4

Ejemplo

¿Cuál es el intervalo modal en la siguiente distribución de datos agrupados?

El intervalo modal es el que tiene mayor frecuencia, por lo tanto en este ejemplo es [5,7[

Moda


- Recordemos que en una distribución de datos NO agrupados, la mediana es el dato central cuando los datos han sido ordenados en forma creciente (o decreciente).

- En una distribución de datos agrupados, la mediana se encuentra en el intervalo que contenga el dato central.

- Si el número de datos es impar, la mediana corresponde al valor central. Si el número de datos es par, la mediana corresponde al promedio entre los dos valores centrales.

Mediana


Ejemplo

Dato Frecuencia

[1,3[ 10

[3,5[ 13

[5,7[ 14

[7,9] 4

¿En qué intervalo se encuentra la mediana en la siguiente distribución de datos agrupados?

Si sumamos las frecuencias vemos que el total de datos es 41, por lo tanto la mediana se encuentra en el intervalo que contiene al dato de ubicación 21.

Este dato se encuentra en el intervalo [3,5[.

Mediana


¿Cuál es la alternativa correcta?

1. Según la tabla de adjunta, ¿cuál es la frecuencia del dato 3?

A) 3B) 7C) 15D) 18E) 25

Dato Frecuencia acumulada

1 15

2 18

3 25

4 35

Apliquemos nuestros conocimientos


Sabemos que la frecuencia acumulada se obtiene sumando las frecuencias de los datos anteriores.

Observando la tabla, se obtiene que la frecuencia del primer dato es 15.

Dato Frecuencia acumulada

1 15

2 18

3 25

4 35

Dado que la frecuencia acumulada del dato 2 es 18, podemos deducir que la frecuencia del dato 2 es 3.

De la misma manera, si la frecuencia acumulada del dato 3 es 25, y la frecuencia acumulada entre los datos 1 y 2 es 18, se tiene que la frecuencia del dato 3 es:

25 – 18 = 7.


Habilidad: Aplicación

B

Resolución:



2. Según el gráfico de la figura, ¿cuál es la frecuencia relativa del dato 2?

A) 2%B) 20%C) 40%D) 50%E) 75%

20

Dato

Frecuencia

12108

1 2 3 4



Construyendo la tabla de frecuencia asociada al gráfico se tiene:

Dato Frecuencia

1 8

2 20

3 12

4 10

Sumando las frecuencias se obtiene el número total de datos:

n = 8 + 20 + 12 + 10 = 50


Resolución:


Conocido el valor de n, podemos calcular la frecuencia relativa:

f2

n 100% =

2050

100% =

0,4 100% =

40%

(Reemplazando)

(Dividiendo)

(Multiplicando)



C

Resolución:


3. Según la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El número total de datos es 75.II) La frecuencia acumulada hasta el dato 20 es 42.III) La frecuencia relativa del dato 15 es 30%.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

Dato Frecuencia

5 2

10 10

15 25

20 5

25 8




Analizando cada uno de los datos:

I) El número total de datos es 75.

Sumando las frecuencias se obtiene el número total de datos:

Dato Frecuencia

5 2

10 10

15 25

20 5

25 8

n = 2 + 10 + 25 + 5 + 8

n = 50.

Por lo tanto, I) es Falsa.


Resolución:


II) La frecuencia acumulada hasta el dato 20 es 42.

Construyendo la tabla con las frecuencias acumuladas:


5 2 2

10 10 12

15 25 37

20 5 42

25 8 50

Observamos que la frecuencia acumulada del dato 20 es 42.

Por lo tanto, II) es Verdadera.


Resolución:


III) La frecuencia relativa del dato 15 es 30%.

Calculando la frecuencia del dato 15 se tiene:

Por lo tanto, III) es Falsa.

f3

n 100% =

2550

100% =

0,5 100% =

50%

(Reemplazando)

(Dividiendo)

(Multiplicando)


Habilidad: Análisis

B

Resolución:



4. En la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La marca de clase del intervalo [10, 15[ es 12,5.II) El intervalo modal es [25, 30].III) La mediana se encuentra en el intervalo [20, 25[.

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

Intervalos Frecuencia

[10, 15[ 42

[15, 20[ 23

[20, 25[ 35

[25, 30] 86



Analizando cada afirmación:

I) La marca de clase del intervalo [10, 15[ es 12,5.

La marca de clase del intervalo es el promedio de los extremos:


[10, 15[ 42

[15, 20[ 23

[20, 25[ 35

[25, 30] 86

Marca de clase =10 + 15

2

Marca de clase =252

Marca de clase = 12,5

Por lo tanto, I) es Verdadera.


Resolución:


II) El intervalo modal es [25, 30].

El intervalo modal es aquel que tiene mayor frecuencia.


[10, 15[ 42

[15, 20[ 23

[20, 25[ 35

[25, 30] 86

Por lo tanto, II) es Verdadera.


Resolución:


III) La mediana se encuentra en el intervalo [20, 25[.

Agregándole a la tabla una columna con la frecuencia acumulada:

Intervalos Frecuencia Frecuencia acumulada

[10, 15[ 42 42

[15, 20[ 23 65

[20, 25[ 35 100

[25, 30] 86 186

Podemos observar que hay un total de 186 datos.

La mitad de los datos, entonces, es 93.

La mediana será el promedio entre los datos ubicados en la posición 93 y 94.

Según la columna de la frecuencia acumulada, ambos datos están en el intervalo [20, 25[.

Por lo tanto, III) es Verdadera.


Habilidad: Análisis

E

Resolución:


5. Según el gráfico, ¿cuál es el valor de la media aritmética (o promedio)?

A) 3,3B) 5,6C) 9,5D) 56E) 560

45

Dato

Frecuencia

35

10

5

2 4 6 8 10




Construyendo la tabla de frecuencia asociada al gráfico se tiene:

Dato Frecuencia

2 5

4 35

6 45

8 5

10 10

Sumando las frecuencias se tiene que el número de datos es:

n = 5 + 35 + 45 + 5 + 10 = 100

45

Dato

Frecuencia

35

10

5

2 4 6 8 10


Resolución:


Calculando la media aritmética (o promedio) se tiene:

x = x1 f1 + x2 f2 + …. + xn fn

n

Dato Frecuencia

2 5

4 35

6 45

8 5

10 10

x = 2 5 + 4 35 + 6 45 + 8 5 + 10 10

100

x = 10 + 140 + 270 + 40 + 100

100

x = 560100

x = 5,6

(Reemplazando)

(Multiplicando)

(Sumando)

(Dividiendo)



B

Resolución:


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