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Geometra Sagrada5 ^ .5 * 5 + .5 =

Proporcin en las escalas musicalesTabla de Contenido1.- Introduccin2.- La escala: intervalos y cocientes3.- La escala "pitagrica" 3.1.- Deduccin de la escala diatnica 3.2.- Tetracordes y las siete escalas 3.3.- Extension a la escala cromtica: La espiral de quintas (o cuartas)4.- La Lambda de Platn y las tres medias5.- La escala del Temperamento Igual6.- La escala de Intervalos Justos 6.1.- Deduccin a partir de las medias aritmtica y armnica 6.2.- Comparacin de intervalos entre escalas 6.3.- Los intervalos de las escalas en el monocorde7.- Los Modos Aulos griegos 7.1.- Antecedentes histricos 7.2.- Una forma alternativa de estudiar el monocorde 7.3.- Deduccin a partir de la media armnica 7.4.- Los siete antiguos Modos griegos 7.5.- Los siete Modos griegos como subespecies8.- La escala de Doce Quintas 8.1.- La estructura de la escala y las quintas formadas 8.2.- Acerca de la frecuencia de afinacin correcta A=432Hz9.- Referencias

1.- IntroduccinHace un tiempo, cuando reproduje y extend parte de la investigacin de Jean-Claude Perez sobre el ADN, encontr algunos intervalosmusicales en diversos cocientes (ratios) de las poblaciones de codones del ADN del genoma humano completo (vase este artculo).Tratando de encontrar alguna explicacin para estos hallazgos, como no tena conocimientos musicales, empec a estudiar la estructura delas escalas musicales. Haba aprendido del excelente libro sobre Geometra Sagrada de Robert Lawlor que las escalas musicales estn dealguna forma relacionadas con las media aritmtica, geomtrica y armnica, pero l no profundizaba ms en el asunto. A parte de la msmpliamente conocida Escala del Temperamento Igual, tambin me sent atrado por el comunmente conocido cmo sistema de afinacin"Pitagrica". Para mi sorpresa, descubr que este sistema de afinacin no era el que usaba realmente la Escuela Pitgorica (fu introducidocon posterioridad por Aristgeno). La msica pitagrica estaba basada muy probablemente en los antiguos Modos Auls, redescubiertos ycuidadosamente documentados por Kathleen Schlesinger, cuidadora de instrumentos musicales antiguos del Museo Britnico, despus dedarse cuenta de que los agujeros para los dedos de los auls Griegos parecan ser equidistantes.

En la primera parte de este artculo introducir los fundamentos matemticos bsicos que hay detrs de las escalas musicales, de forma quecualquiera sin conocimientos musicales como yo pueda entender su estructura. La mayora de libros sobre teora musical se focalizan en elproceso aritmtico, pero la falta de un soporte grfico dificulta su estudio. Para ayudar a comparar distintas escalas musicales y a entendersu estructura de intervalos, introduzco un mtodo grfico sencillo basado en colores en el cual los intervalos estn dibujados a escala. Ellosimplifica enormemente su estudio, y espero que tambin pueda resultar de utilidad al msico experto. Si eres msico y encuentras algnerror en mi exposicin, por favor hzmelo saber; confo en que la figura de abajo te deje con la curiosidad suficiente como para seguirleyendo... Voy a mostrar como la estructura de las escalas musicales, tanto actuales como antiguas, puede obtenerse fcilmente a partir delas tres medias matemticas (aritmtica, geomtrica y armnica), y cmo la gran diversidad de intervalos musicales disponibles en losantiguos Modos Aulos Griegos se ha ido perdiendo gradualmente de la prctica musical comn. Por ltimo, explicar la estructura de unanueva escala desarrollada por la violinista Maria Renold, la cual combina lo mejor de la antigua escala de Aristgeno y de la moderna Escaladel Temperamento Igual: la Escala de las Doce Quintas. Ello nos permitir introducir el hecho de que tanto la estructura de una escala comola frecuencia a la cual est afinada tienen efectos diferentes sobre el ser humano, algo que sospecho puede estar relacionado con laestructura geomtrica del sonido en el espacio tridimensional. Este tema se discutir ms a fondo en la segunda parte del artculo.

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Acerca de

Escalas Diatnicas antiguas y modernas comparadas

2.- La escala: intervalos y cocientesEl intervalo musical bscio es la octava, la cual contiene un nmero infinito de frecuencias entre una frecuencia de referencia (la tnica) ysu doble. La escalas particionan el continuo de una octava en diversas porciones conocidas como intervalos. A medida que una piezamusical progresa, usa intervalos y combinaciones de intervalos (acordes) de este subconjunto predefinido. La estructura de una escaladeterminada es la misma en todas las octavas. el nmero de intervalos as como la longitud de cada intervalo en una escala suelen estardeterminados culturalmente. No obstante, el conjunto de todas las posibles notas por octava habitualmente se reduce a un nmero muyreducido: siete notas en nuestra escala diatnica, pero hasta 22 notas por octava en algunas tradiciones indias, arbigas o turcas [1]. MariaRenold destaca la octava y la escala como sigue [2]:

"La octava es un intervalo excepcionalmente importante en la experiencia musical de la humanidad occidental. Muchas escalas estncontenidas dentro de la octava, y todos los intervalos, que buscamos entender aqu, estn contenidos en esas escalas. Cada escala queprogresa de la nota clave o tnica hasta la octava, tanto si es ascendente como descendente, la mayora de la gente la oye coomo un todoorgnico -con una audicin cuidadosa, hasta la escala cromtica de doce notas. Por lo tanto la estructura completa de intervalos de unaescala puede considerarse una estructura orgnica con sus propias leyes que procede de la octava."

Las siete notas en la escala diatnica, que se corresponden con las siete teclas blancas del piano, a menudo se numeran con cifras romanassegn su posicin, desde la primera nota o tnica (DO=I) pasando por la sptima nota (SI=VII) hasta la octava nota (DO=VIII) que tambines la primera nota de la siguiente octava:

La longitud de un intervalo comprendido entre dos notas de frecuencias f1 y f2se mide por su cociente (ratio) f2/f1. La cuarta nota(FA=IV) se dice que forma un intervalo de una Cuarta con la primera nota (DO=I). Si el cociente de frecuencias de estas dos notas esexactamente 4/3, se dice que forman una 4 Perfecta. De forma similar, la quinta nota (SOL=V) forma una 5 Perfecta con la primeranota si su cociente es exactamente 3/2. Las cinco notas restantes desde una 4 perfecta hasta la octava tambin forman un intervalo de una5 perfecta, porque 2/(4/3) = 3/2. As pues, la octava se puede dividir de forma exacta en dos intervalos de una 4 perfecta y una 5 perfecta(Figura 1). Los intervalos tambin pueden formarse en orden descendente (como las notas pueden tocarse de igual forma), y en este caso loscocientes entre sus frecuencias correspondientes ser un nmero comprendido entre 1/2 y 1, por ejemplo 2/3 para una 5 perfectadescendiente, y 3/4 para una 4 perfecta descendiente (Figura 1). Las notas en una octava siempre se pueden representar mediante nmeroscomprendidos entre 1 y 2, siempre que normalicemos la frecuencia de todas las notas con respecto a la tnica (primera nota). A pesar de quelas figura de arriba y de abajo puedan sugerir lo contrario, la longitud de cada intervalo individual de la escala diatnica no es la misma. Enbreve introduciremos un mtodo grfico para representar cada intervalo a escala, pero primero necesitamos introducir la medida de unintervalo en cents.

Figura 1: Una octava siempre se puede representar mediante nmeroscomprendidos entre 1 y 2 siempre que las frecuqencias de todas sus notasse normalicen respecto a la frecuencia de la primera nota. La octava sepuede dividir de forma exacta en dos intervalos de una 4 perfecta y una 5perfecta, tanto descendiente como ascendiente.

Trabajar con cociente enteros no resulta cmodo porque se tiene que operar de forma multiplicativa. Por ejemplo para conseguir el intervalode una octava a partir de una 4 perfecta y una 5 perfecta, se tienen que multiplicar los cocientes individuales: (4/3) x (3/2) = 2. Adems,los intervalos musicales que se usan en la moderna Escala del Temperamento Igual no son cocientes enteros exactos entre sus frecuenciascorrespondientes. Los tericos de msica han desarrollado un mtodo alternativo para representar un intervalo que se comporta de formaaditiva y utiliza nmeros reales. La funcin matemtica que convierte el producto en suma de forma natural es el logaritmo, ya que log(ab) =log(a) + log(b) y log(b/a) = log(b) - log(a). Un intervalo f2/f1 a menudo se expresa en Cents segn la frmula 1200log2(f2/f1). De estaforma, una octava ocupa exactamente 1200 cents (Figura 2a). Resulta habitual normalizar todos los intervalos de una octava respecto a latnica (Figura 2b).

(a)(b)

Figura 2: Representacin alternativa de un intervalo musical como un cociente lineal o en cents logartmicos, tanto de forma (a) direca o (b) normalizada.

La figura siguiente muestra diversos ejemplos de intervalos encontrados en la prctica musical comm, como cocientes enteros y en cents.De ahora en adelante, todos los intervalos se dibujarn a escala, con una longitud proporcional al valor del intervalo en cents. Elloproporciona una forma sencilla de sumar y comparar intervalos de forma grfica.

Figura 3: Ejemplos de algunos intervalos musicales comunes. La longitudde cada intervalo se ha dibujado a escala, de forma proporcional a su valoren cents.

Si se unen dos intervalos, el cociente del intervalo resultante es el producto de los cocientes de cada intervalo constituyente. Larepresentacin logartmica de los intervalos musicales traduce la multiplicacin de cocientes en suma de cents (Figura 4). Siguiendo nuestrarepresentacin grfica, para obtener el resultado de la suma de dos intervalos tan slo se necesita ponerlos uno a continuacin del otro. LaFigura 4b contiene ejemplos de suma de algunos de los intervalos mostrados en la Figura 3 de arriba.

(a)

(b)

Figura 4: Tres notas definen dos intervalos musicales que se pueden unir operando de forma multiplicativa o de forma aditiva en cents.

Cuando se necesita dibujar ms de un intervalo simultneamente, como sucede cuando estamos representando las siete notas de una escaladiatnica, resulta habitual sustituir cada nota por el intervalo acumulado desde la tnica hasta esa nota. Esta operacin equivale anormalizar (dividir) la frecuencia de cada nota por la frecuencia de la tnica (Figura 5a). En ese tipo de representacin, el cociente decualquiera de los intervalos individuales (intervalos entre notas consecutivas) puede obtenerse dividiendo los cocientes acumulados de lasdos notas que forman el intervalo, o alternativamente restando sus valores equivalentes en cents (Figura 5).

(a)

(b)

Figura 5: Cada nota en una representacin conjunta de diversos intervalos normalmente senormaliza con respecto a la tnica. Por lo tanto el cociente correspondiente representa elintervalo acumulado desde la tnica hasta esa nota. Cualquiera de los intervalos individuales(entre dos notas consecutivas) puede calcularse o bien dividiendo los cocientescorrespondientes, o bien restando sus valores equivalentes en cents.

3.- La escala "Pitagrica"

3.1.- Deduccin de la escala diatnica

La escala griega de site notas que ha sobrevivido de forma escrita estaba basada en quintas y cuartas perfectas. Esta escala se conoce entodas partes como afinamiento "Pitagrico", pero en realidad fue introducido por Aristgeno de la escuela de los Teoristas en sus 12polmicas, un ataque escrito al sistema musical pitagrico. Pitgoras y sus discpulos, que eran conocidos como los Harmonistas, en realidadusaban los siete Modos Aulos descritos en una seccin posterior [3]. Por lo tanto, la escala griega basada en cuartas y quintas perfectas quevamos a describir debera llamarse en realidad escala Aristogeniana. La premisa bsica de esta escala es que contenga tantas cuartas yquintas perfectas como sea posible. Ms adelante mostrar un antiguo mtodo chino que permite calcular las escalas "pitagricas" de cinconotas (pentatnica) y de siete notas (heptatnica), ambas carentes de la ltima nota: la octava.

La longitud de todos los intervalos en esta escala, incluyendo la octava, pueden obtenerse fcilmente usando seis "saltos" alternativos de unacuarta perfecta (un intervalo de cuatro notas con un cociente de 4/3) o una quinta perfecta (un intervalo de cinco notas con un cociente de

3/2), de forma ascendente o descendente segn convenga, dependiendo de la nota en la que queramos "aterrizar". La Figura 6 muestra dosalternativas diferentes de efectuar esos saltos para completar las ocho notas de la escala.

Figura 6: Dos formas posibles de obtener las ocho notas de la escala"pitagrica" mediante saltos alternativos de una cuarta o una quintaperfecta, ya sea de forma ascendente o descendente.

Cada salto proporciona el cociente acumulado desde la tnica hasta la nota de "aterrizaje" multiplicando los cocientes correspondientes(como se describe en la Figura 1 de arriba). Por ejemplo si seguimos la primera secuencia de saltos, la sptima nota se alcanza en el paso 4, ysu cociente es (4/3)(4/3) = 16/9. El resultado final despues de los seis pasos de la primera secuencia se muestra en la Figura 7a. Cuntosintervalos individuales distintos hay en esta escala? Para calcular la longitud de cada intervalo individual hay que dividir sus cocientesacumulados. El resultado sorprendente es que hay tan slo dos longitudes de intervalo diferentes como se muestra en la Figura 7b: la de untono completo "pitagrico" (9/8 o 203.91 cents, vase la Figura 4b), y la de un semitono "pitagrico" (243/128 o 90.22 cents, Figura 3). Elsemitono "pitagrico" es menor (en el argot musical ms llano) que medio tono completo. La Figura 7c muestra los nombres comnmenteaceptados para las siete notas de la escala diatnica (que tambin pueden verse como intervalos acumulados respecto a la tnica).

(a)

(b)

(c)

Figura 7: (a) El cociente acumulado de cada nota en la escala "Pitagrica"obtenida despus de la primera secuencia de seis pasos que se detalla enla Figura 6. (b) Esta escala contine slo dos intervalos individuales distintos.(c) Los nombres comunmente aceptados de cada nota de la escaladiatnica; cada nota puede verse tambin como un intervalo acumuladodesde la tnica.

Resulta importante observar que no todos los intervalos de cuatro notas consecutivas forman una cuarta perfecta. La cuarta perfecta

contiene dos tonos completos "pitagricos" y un semitono. Cualquier combinacin de dos tonos completos ms un semitono es una cuarta,pero no ser perfecta (cociente exacto de 4/3 o 498.04 cents) si vara la longitud de cualquiera de sus constituyentes: por ejemplo si uno delos tonos completos se reduce a 10/9 como sucede en la Escala de los Intervalos Justos (vase ms adelante). De forma similar, una 5perfecta contiene exactamente tres tonos completos "pitagricos" ms un semitono "pitagrico" (cociente exacto de 3/2 o 701.96 cents).

3.2.- Tetracordes y las siete escalas

En la figura precedente hemos introducido otra notacin habitual en la prctica musical, en la cual a cada nota se le asigna una letra delconjunto A-G. La asignacin no es aleatoria: se hace de tal forma que el intervalo E-F sea el semitono ubicado despus de dos tonoscompletos consecutivos, y el intervalo B-C' es el semitono que sigue a tres tonos completos consecutivos. La estructura de esta escala griegafue originalmente dividida por Aristgeno en dos tetracordes separados por en medio por un tono completo (Figura 8).

Figura 8: Escala C "pitagrica" como dos tetracordes.

Qu habra sucedido si hubiramos utilizado el segundo conjunto de seis pasos de la Figura 6? Procediendo como arriba, el lector puedecomprobar que el resultado final sera el que se muestra en la Figura 9. El nmero total de tonos completos y semitonos es el mismo, perocon una distribucin distinta. La secuencia de intervalos es la misma, pero empieza en un semitono "pitagrico" seguido por tres tonoscompletos, por lo tanto se llama Escala E.

(a)

(b)

Figura 9: (a) El cociente acumulado de cada nota en la escala "pitagrica"despus de la segunda secuencia de seis pasos detallada en la Figura 6. (b)La secuencia de intervalos empieza en la nota E.

Puede apreciarse que la escala E de la Figura 8b es en ralidad un "desplazamiento circular" de la escala C mostrada en la Figura 9b. Dehecho, si dibujamos dos octavas consecutivas podemos ver fcilmente que en realidad existen siete escalas "pitagricas" distintas,dependiendo de la nota en que empiece la escala (Figura 10).

Figura 10: En realidad hay siete escalas o modos en la escala diatnica "pitagrica", segn en qu nota empiecela escala.

Estas siete escalas, originalmente descritas por Aristgeno en orden descendente, tambin se llamaban modos, pero no deben confundirsecon los antiguos Modos Auls griegos que tratamos en una seccin posterior. Cada escala estaba asociada a un planeta distinto segn

Nicmaco, y tambin segn la visin del mundo Ptolomea (Figura 11a). Los nombres originales de les siete escalas griegas se convirtieronposteriormente en los modos ascendentes eclesisticos y sus nombres de mezclaron por error (Figura 11b).

Figura 11: Las siete escalas griegas descendientes, su asociacin a los planetas y su posterior conversin en modos eclesisticos [2].

3.3.- Extensin a una escala cromtica: La espiral de quintas (o cuartas)

Hasta ahora tan slo hemos considerado la escala diatnica de siete notas, pero la mayor parte de la msica occiental moderna utiliza unaescala de doce notas conocida como escala cromtica. Es posible extender la escala "pitagrica" diatnica a una escala cromtica? Pararesponder a esta pregunta, voy a servirme de un antiguo mtodo chino para calcular la escala "pitagrica" pentatnica, que luego puedeextenderse a una escala heptatnica y por ltimo a una escala de doce notas. Este procedimiento se conoce en todas partes como "La espiralde quintas", aunque resulta mucho ms fcil de entender si usamos el intervalo complementario de una cuarta.

La regla se conoce com "sumar o restar un tercio", y su expresin ms antigua est atribuida a Kuan Tzu (siglo VII A.C.) el cual explica cmoaplicarla de froma aritmtica y geomtrica para generar la escala pentatnica [4]. Se tiene que empezar por "tres cuatro veces", es decir3x3x3x3=34=81, y aplicar la regla hasta que las potencia de 3 se agoten. El primer paso sera 81+81(1/3)=108=3322; el segundo paso, 108-108(1/3)=72=3223; el tercer paso 72+72(1/3)=96=325; y el cuarto y ltimo paso 96-96(1/3)=64=26. El lector se debe estar preguntando:y la secuencia 81,108,72,96,64 qu tiene que ver con la msica? Bien, cualquiera de esos nmeros puede pensarse como una frecuencia,luego para saber cmo estn ubicados en una escala musical -o cmo estn separados por intervalos- necesitamos calcular sus cocientes.Normalizando por nmero menor 64 y reordenando obtenemos 1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16. Resultan familiares estos cocientes? Si nosfijamos de nuevo en la Figura 7, podemos ver que en la escala C corresponden a la secuencia de notas C,D,E,G,A. En realidad, la primeranota es la tnica o nota de referencia, y los cuatro cocientes siguientes son intervalos: C-D (2 Mayor), C-E (3 Mayor), C-G (5 Perfecta) yC-A (6 Mayor). Observando la Figura 10, podemos ver que la escala G comparte con la escala C la misma estructura de intervalos inicial. Enla escala G la secuencia de enteros 64,72,81,96,108 representa las notas G,A,C,D,E. Ambas escalas nos proporcionan la misma secuenciacclica de cinco notas, las cuales forman la antigua escala pentatnica. Obsrvese que cualquier otra permutacin cclica de esas notastambin servira (D,E,G,A,C; E,G,A,C,D; o A,C,D,E,G).

El proceso completo se entiende mejor de forma grfica (Figura 12). Sumar un tercio en realidad significa ascender una cuarta perfecta (4/3= 1 + 1/3), mientras que restar un tercio es equivalente a descender una quinta perfecta (2/3 = 1 - 1/3). La secuencia de notas G,A,C,D,Epuede obtenerse empezando por la nota B y efectuando los cuatro pasos alternados de +1/3, -1/3, +1/3, -1/3 (Figura 12b).

(a)

(b)

Figura 12: (a) La antigua regla "sumar o restar un tercio" en realidad es equivalente a ascender una 4 perfecta odescender una 5 perfecta. (b) La aplicacin de la regla empezando en la nota B genera la antigua escalapentatnica G,A,B,D,E despus de cuatro pasos, la cual puede representarse de forma numrica por la secuenciade nmeros enteros 64,72,81,96,108.

La regla simple de "sumar o restar un tercio" puede extenderse dos pasos ms hasta generar la escala heptatnica, tambin conocidacomo el heptacorde de Terpander (Figura 13).

Figura 13: Aplicacin de la regla empezando en la nota B genera la escala heptatnica F,G,A,B,C,D,E despus deseis pasos. Esta escala puede representarse de forma numrica mediante la secuencia de enteros512,576,648,729,768,864,972.

La escala heptatnica contiene todos los intervalos internos de la escala "pitagrica" diatnica excepto la octava!! Esta es una limitacinconocida del proceso de obtencin de las notas exclusivamente a partir de cuartas (o quintas). De hecho, descender una quinta en realidad esequivalente a ascender una cuarta y trasladar la nota resultante a la primera octava dividiendo por 2. Por lo tanto, los saltos alternativos dems/menos un tercio pueden sustituirse por saltos positivos de +1/3 (ascender una 4 perfecta) seguidos de la divisin por la potencia de 2adecuada. Esto se ilustra en la Figura 14 en el proceso de cuatro pasos que genera la escala pentatnica.

Figura 14: Descender una quinta en realidad es equivalente a ascender una cuarta y trasladarhacia abajo a la primera octava.

Para obtener las doce notas de la escala cromtica, este proceso puede iterarse doce veces. No obstante, despus del sexto paso se observaque los cocientes obtenidos testn formados por cifras cada vez mayores, y que el proceso final no acaba en una octava perfecta. Para superareste problema, la cuarta nmero 7 puede alargarse ligeramente dando lugar a lo que se conoce como el tono "lobo", y esto hace posiblecontinuar con cuartas perfectas y alcanzar una octava perfecta en el doceavo paso (Figura 15). El error entre la quinta octava perfecta y laque se alcanza despus de 12 cuartas perfectas se conoce como la coma "pitagrica" (23.46 cents).

Figura 15: Proceso de obtencin de la escala cromtica "pitagrica" a partir de una secuencia de cuartas. Para llegar a la quintaoctava sin el error de una coma "pitagrica" (23.46 cents), la cuarta nmero 7 se alarga ligeramente dando lugar al tono "lobo" en lanota a#. El resultado es la escala cromtica "pitagrica" en el modo B.

El tono "lobo" puede caer en notas distintas, dependiendo de la nota en la que se empiece el proceso. En la figura siguiente mostramos elmismo proceso empezando por la nota C ms familiar. En este caso el tono "lobo" aparece en la nota f#.

Figura 17: La escala "pitagrica" cromtica en el modo C, con el tono "lobo" ubicado en la nota f#.

Las cinco nuevas notas obtenidas corresponderan a las teclas negras del piano. Sus nombres estndar se muestran en la Figura 18, dondetambin podemos ver sus correspondientes intervalos con respecto a la tnica C. Para hacer la figura completa, mostramos los dos posiblesvalores del tono "lobo": la cuarta aumentada o la quinta disminuida. En la escala C corresponden con las dos aproximaciones "pitagricas"del tritono, una nota ubicada exactamente en el medio de la Escala del Temperamento Igual (vase seccin posterior).

Figura 18: Las cinco notas adicionales de la escala C cromtica "pitagrica".

Por ltimo, no querra terminar el estudio de la escala "pitagrica" sin destacar la importancia del nmero 3 en esta escala. Si analizamosdetenidamente los cocientes contenidos en los intervalos de esta escala, podemos ver que estn todos basados en potencias de 3. Dada unadeterminada potencia de 3, ya sea positiva o negativa, el nmero 2 acta como un comodn que nos permite trasladarla a la octava 1-2,convirtiendo as un valor entero en una fraccin comprendida entre 1 y 2. La Figura 19 resume este anlisis.

Figura 19: Los doce intervalos de la escala cromtica "pitagrica" como potencias de 3.

4.- La Lambda de Platn y las tres mediasLa famosa disposicin de las tres primeras potencias de los nmeros 2 y 3 conocida como la Lambda de Platn (Figura 20a) nos ayudar aintroducir las tres medias (aritmtica, geomtrica y armnica) en las escalas musicales. Los nmeros en negro de la Lambda original siguenunaprogresin geomtrica, luego cada nmero es la media geomtrica entre su nmero precedente y el siguiente (por ejemplo 9=32 es lamedia geomtrica entre 3=31 y 27=33). La Lambda "completa" contiene tambin los nmeros rojos de enmedio (6, 8 y 12) los cuales puedenobtenerse fcilmente a partir de sus vecinos mediante la media aritmtica y armnica. La Figura 20b nos recuerda cmo calcular las tresmedias y cmo estn relacionada entre s.

(a) La Lambda de Platn (b) La tres medias

Figura 20: Los nmeros en negro en la Lambda de Platn (a la izquierda) siguen una progresingeomtrica, luego cada uno es la Media Geomtrica (GM) entre los nmeros precedente ysiguiente. Los nmeros en rojo pueden obtenerse a travs de la Media Aritmtica (AM) y la MediaArmnica (HM) definidas en la derecha.

La relacin entre tods estos nmeros y las tres medias se entiende mejor si se reagrupan en lo que se conoce como la Tabla de Nicmaco(Figura 21a). Cada nmero en una fila dobla su predecesor; eso es as tanto en la primera fila (potencias de 2) como en todas las dems. Cadanmero es la media aritmtica de los dos nmeros por encima de l, por ejemplo 9 = (6+12)/2, y la media armnica de los dos nmeros pordebajo de l, por ejemplo 8 = 2612/(6+12). El lector probablemente se estar preguntando qu tiene todo esto que ver con los intervalosmusicales: la explicaci se encuentra en la Figura 21b. All podemos ver que los nmeros de la Tabla de Nicmaco, tomados en la direccinapropiada, forman los intervalos de una octava (2), una 4 perfecta (4/3), y una 5 perfecta (3/2).

(a) Tabla de Nicmaco (b) Intervalos musicales

Figura 21: (a) Los nmeros de la Lambda de Platn pueden reorganizarse en forma de una tablatambin conocida como Tabla de Nicmaco. Cada nmero de la tabla puede obtenerse como lamedia geomtrica, aritmtica o armnica de dos nmeros de su alrededor. (b) Los nmeros de la tablade Nicmacotambin estn relacionados a travs de los intervalos musicales ms bsicos de una 4perfecta (4/3), una 5 perfecta (3/2) y una octava (2).

Consideremos que cada nmero de las tablas superiores representa la frecuencia de una nota. Los nmeros 6 y 12 forman una octava. Lanota inferior de la octava se suele llamar tnica. Los nmeros 8 y 9 estn contenidos en esta octava. El nmero 8 forma un intervalo de una4 perfecta con la tnica 6 puesto que forman el cociente 8/6 = 4/3, y el nmero 9 forma una 5 perfecta con la tnica porue 9/6=3/2. Elhecho interesante es que la 4 perfecta (en este ejemplo 8) es la media armnica de los dos extremos de la octava (6 y 12), y la 5 perfecta (eneste caso 9) es su media aritmtica. Eston son los dos pilares de la escala "pitagrica" discutida en la seccin previa. La Figura 22 ilustra estehecho. En las secciones siguientes voy a mostrar cmo estas dos medias son tambin el corazn tanto de la Escala de los Intervalos Justoscmo de los antiguos Modos Auls griegos.

Figura 22: 4 perfecta (media armnica) y 5 perfecta (media aritmtica)

5.- La escala del Temperamento IgualAntes de entrar en la descripcin y la estructura de las escalas de Intervalos Justos tanto antiguas como ms recientes, vamos a introducir laescala moderna de 12 notas del Temperamento Igual (tambin llamada 12-tet), la cual es el sistema de afinacin utilizado hoy en da en lamayora de pianos. Esta escala habitualmente se da por supuesta de uso universal en los intrumentos de teclado, pero resulta importantesaber que no exista en la prctica musical comn con instrumentos hasta principios del siglo XX. Segn William Sethares [1] "muchosmsicos y compositores occidentales modernos incluso desconocen que existen alternativas. Esto no sorprende, ya que la mayora de librossobre escalas y harmona musical se focalizan exclusivamente en el 12-tet, y muchas escuelas musicales ofrecen pocos cursos sobre msicafuera del 12-tet, a pesar de que una porcin significativa del repertorio musical histrico fuera escrito antes de que el 12-tet fuese comn".

La idea del Temperamento Igual es muy simple: se fuerza que las 12 notas de la escala cromtica suenen separadas una misma distancia. Esdecir, la escala se divide en 12 semitonos iguales. Si el semitono tiene un cociente S y queremos alcanzar la octava despus de 12 semitonos,la ecuacin que se debe resolver es S12=2, de la cual el cociente de frecuencias de cada semitono tiene que ser la raz doceava de dos,S=21/12=1.05946... Por lo tanto el cociente de frecuencias entre notas sucesivas ya no resulta una fraccin (nmero racional) sino un nmeroreal, irracional. En el dominio logartmico la longitud de un semitono es exactamente 1200log2(21/12)=(1200/12)log2(2)=100 cents.Siguiendo nuestra notacin grfica, la Figura 23 muestra la escala 12-tet as como la escala diatnica que contiene en su interior:

Figura 23: La escala del Temperamento Igual diatnica y cromtica.

Tan slo tres de las doc notas de la escala 12-tet estn relacionadas con una de las medias introducidas en la seccin previa. Se puedendeducir fcilmente si uno se da cuenta de que la media geomtrica de dos intervalos es equivalente a la media aritmtica de sus valorescorrespondientes en cents. As pues, si dividimos la octava en dos mitades (en cents) obtenemos el tritono, y si volvemos a dividir por doscada una de las dos mitades, obtenemos la 3 Menor y la 6 Mayor. A partir de aqu se necesita dividir cada nuevo intervalo en tres partespara obtener las ocho notas restantes, lo cual equivale a realizar la raz cbica en el dominio lineal. Segn Maria Renold "esto puede explicarpor qu la calidad de los doce intervalos de esta escala es completamente diferente. Los tritonos, terceras menores y sextas mayores seexperimentan como genuinas, mientras que las quintas, cuartas, terceras mayores, sextas menores segundas mayores y las dos sptimassuenan falsas [..] es decir falsificadas al oido humano. Este hecho es comunmente reconocido [2, p.43]."

6.- La escala de Intervalos Justos

6.1.- Deduccin a partir de las medias aritmtica y armnica

Una crtica de la escala del Temperamento Igual es que ninguno de sus intervalos es puro, ninguno se obtiene como un cociente exacto entredos frecuencias. Por ejemplo las quintas miden 700 cents, mientras que una quinta perfecta (cociente 3/2) mide 702 cents. En esta escala, laimperfeccin del tono lobo se ha repartido por igual entre todas las quintas. La escala de Intervalos Justos puede definirse como elequivalente de la escala 12-tet pero compuesta de intervalos puros, basados en enteros. Esos intervalos tienen cociente de enteros pequeosy por ello suenan consonantes al oido. La gente encuentra ms agradables los intervalos basados en cocientes de enteros pequeos porque elodo prefiere cocientes pequeos de forma natural. Galileo lo explic de la siguiente forma [1, p.79]:

"Las consonancias agradables son pares de tonos que golpean el odo con una cierta regularidad; esta regularidad consiste en el hechoque los pulsos entregados por los dos tonos, en el mismo intervalo de tiempo, han de ser conmensurables en nmero, para no mantener eltmpano en un tormento perpetuo, doblndose en dos direcciones distintas cediendo a los impulsos contnuamente discordantes".

Pero Cules son los valores precisos de esos cocientes exactos? No debera sorprendernos saber que, tal como sucedi con la 4 y la 5perfectas, estos tambin se pueden deducir a partir de las medias aritmtica y armnica dentro de la octava, como muestra Maria Renold enel captulo 7 de su excelente libro bajo el ttulo "Los principios de forma de las escalas Justas" [2]. El proceso se ilustra de forma grfica en laFigura 24. Como ya sabemos de la seccin 4 (Figura 24a), la media aritmtica de una octava ascendente 1-2 es la 5 perfecta (3/2), mientrasque su media armnica es la 4 perfecta (4/3). Si continuamos estas divisiones, la media aritmtica entre la cuarta y la octava nos da la sextamayor justa 5/3 (Figura 24b). La media aritmtica entre la quinta y la octava (Figura 24c) nos proporciona un tono intermedio que no se usaen la escala (7/4), cuya media aritmtica con la octava da lugar a la sptima justa 15/8 (Figura 24d). La media aritmtica entre la quinta y latnica nos da la tercera mayor justa 5/4 (Figura 24e) y por ltimo la media armnica entre esta ltima y la tnica proporciona la notarestante, la segunda mayor justa 10/9 (Figura 24f):

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 24: La estructura de la escala de Intervalos Justos se puede obtener a partir de las medias aritmtica yarmnica.

En la Figura 25 se muestra la longitud de los intervalos de la escala diatnica de Intervalos Justos proporcionalmente a sus valores en cents,as como los cocientes exactos de las notas de esta escala. Puede observarse que hay slo tres intervalos individuales distintos en esta escalacon cocientes 9/8, 10/9 and 16/15 (ver de nuevo las Figuras 3 y 4 anteriores). Existe una pequea variante de esta escala en la cual los dostonos completos del principio estn intercambiados (en este caso, la segunda mayor resulta de la media aritmtica en lugar de la mediaarmnica entre la tercera mayor y la tnica).

Figura 25: Los Intervalos Justos de la escala diatnica.

La escala que hemos obtenido en realidad se conoce en la prctica musical actual como Escala Mayor. Los msicos tambin usan una EscalaMenor, que corresponde a un desplazamiento de la tnica a la nota A de forma que la tercera mayor se convierte en una tercera menor. Laescala menor tambin se puede deducir a partir de las medias aritmtica y armnica, pero no vamos a entrar en ese detalle aqu [2].

Se puede obtener una escala de Intervalos Justos cromtica sumando o restando un semitono a las notas apropiadas de la escala diatnicade siete notas (Figura 26a). La escala resultante merece diversas consideraciones. Ante todo, resulta absolutamente simtrica, es decir tienela misma secuencia de intervalos tanto ascendentes como descendentes. Esto tambin se puede observar en los cocientes de los intervalos:por ejemplo el intervalo simtrico de la tercera mayor (5/4) es la sexta menor (8/5) puesto que 2/(5/4) = 8/5. Ello tambin demuestra queestos dos intervalos son complementarios, es decir suman una octava, ya que (5/4)(8/5) = 2. De forma similar, descender una terceramenor (6/5) nos situa en su simtrica ascendente, la sexta mayor en 2/(6/5) = 5/3.

Tambin resulta interesante observar que la estructura de la escala de Intervalos Justos ha incorporado potencias del nmero 5 a laspotencias del nmero 3 que se usaban de forma exclusiva en la escala de Aristgeno. Podemos apreciar en la Figura 26b que el nmero cincoslo aparece elevado a la primera potencia, ya sea en el numerador o en el denominador, y que las potencia de tres se han reducido alsegundo grado. Para hacerla autocontenida, tambin se han incluido en la figura las aproximaciones justas del tritono del temperamentoigual, la cuarta aumentada y la quinta disminuida. Ntese la inversin que tiene lugar en comparacin con esas mismas dos notas de laescala cromtica "pitagrica" (ver Figura 19).

(a)

(b)

Figura 26: Escala cromtica de Intervalos Justos en base a potencias de 3 y 5.

Los intervalos justos contenidos en esta escala se muestran en la Figura 27. Est claro que esta escala cromtica contiene muchos intervalos

puros en su interior. Por el contrario, esta figura nos permite ver una limitacin inherente de esta escala, en lo que respecta a la msicapolifnica moderna. Si desplazamos la tnica a la nota D estaramos tocando en el modo o escala D (a veces tambin conocido como claveD). Pero en ese caso el intervalo de una cuarta dejara de ser una cuarta perfecta, ya que contendra dos tonos completos "pitagricos", enlugar de un tono "pitagrico" y un tono cromtico. Por lo tanto esta cuarta sonara diferente. A menudo se critica la escala de IntervalosJustos debido a esta limitacin: es inherentemente especfica del modo. William Sethares responde a esta crtica como sigue [1, p.62]:"Muchos defensores de los Intervalos Justos (JI) no insisten en que toda la msica se tenga que tocar necesariamente en JI. Simplemente siuna pieza no encaja bien en el contexto de JI, no se debera tocar de esa forma. Adems, los entusiastas de los Intervalos Justos tpicamenteestn dispuestos a cambiar la afinacin de sus instrumentos de una escala JI a otra para piezas especficas."

Figura 27

6.2.- Comparacin de intervalos entre escalas

Existen algunas diferencias, tanto cuantitativas como cualitativas, en los intervalos de las escalas musicales discutidas hasta ahora. Lasdiferencias cuantitativas se resumen de forma grfica en la Figura 28a para las escalas diatnicas y en la Figura 28b para las escalascromticas. Los valores correspondientes en cents se comparan en la Tabla 1. La escala "pitagrica" y la escala de los Intervalos Justoscomparten la quarta y la quinta perfectas, mientras que las segundas, terceras, sextas y sptimas son marcadamente distintas. Resultacurioso darse cuenta de que los intervalos "pitagricos" aparecen ms cerca de los intervalos del Temperamento Igual que de los IntervalosJustos. En una seccin posterior veremos cmo Maria Renold combin lo mejor de estas dos escalas dando lugar a su Escala de las DoceQuintas. Lo que parece obvio es que las diferencias cuantitativas que existen entre los intervalos musicales, como es el caso de las diferenciasclaras entre los intervalos justos y los verdaderos, se deberan trasladar en diferencias cualitativas.

(a)

(b)

Figura 28: Comparacin grfica de las escalas (a) diatnica y (b) cromtica del Temperamento Igual,"pitagrica" y de Intervalos Justos. Las diferencias cuantitativas aparecen en la Tabla 1 de abajo.

Tabla 1

Maria Renold ha dedicado muchos aos de su vida al estudio y la comparacin de las escalas musicales y sus intervalos, as como a una desus cuestiones ms profundamente sentidas como es la frecuencia de concierto correcta. Siguiendo su terminologa, llamaremos intervalosverdaderos a los intervalos "pitagricos" (Tabla 1). Con respecto a las diferencias cualitativas, ella ha constatado lo siguiente [2, p.15]: "Losintervalos que tienen distinta longitud y por tanto cualidades distintas son los ms usados hoy en da para tocar msica [...] Las diferenciascualitativas entre las terceras mayores justa y verdadera es que la primera suena pacfica, brillante y valiente, pero tambin se puedesentir que tiene una agudeza subyacente. En cambio la ltima pulsa un poco pero suena como si radiase luz. Entre las dos tercerasmenores puede experimentarse que la tercera manor justa suena no pulsante y triste, pero con una voluptuosidad subyacente; por elcontrario, la tercera menor verdadera suena excitada. Entre las sptimas mayores se ha encontrado una diferencia destacable peroinesperada. Est comunmente aceptado que una sptima mayor justa 15:8 con 1088.27 cents tiene que resolverse hacia una consonanciacercana, ya sea para arriba o para abajo hacia la sexta mayor, si se quiere satisfacer al oido y liberar la increible tensin producida. Pero lasptima verdadera, apreciablemente mayor situada en 243:128 o 1109.78 cents, aunque obviamente tiene un carcter ligeramente disonante,suena brillante y pacfica, casi en suspensi, y no ejerce compulsin alguna sobre el oido humano que se deba resolver. Se puede disfrutar subrillantez y belleza con equanimidad y alegra, dejndola resonar sin resolver."

6.3.- Los intervalos justos en el monocordeEl monocorde es un "instrumento" sencillo supuestamente desarrollado por Pitgoras para estudiar las frecuencias y los intervalosmusicales. Consiste en una cmara resonante, de una a tres cuerdas de piano, y en algunos casos una barra deslizante o puente mvil quepermite seleccionar la porcinde la cuerda que se quiere tocar. Esto se muestra en la siguiente ilustracin artesanal de Elsie Hamilton [5]:

Figure 29: Ilustracin del monocorde por Elsie Hamilton.

La cuerda tiene una frecuencia caracterstica que est inversamente relacionada con su longitud. Cuando tocamos una cuerda de longitud L,se genera una onda estacionaria con una frecuencia fundamental proporcional a 1/L. Esta onda se propaga al medio colindante como unaonda de presin longitudinal, y si su frecuencia cae en el rango audible (aproximadamente entre 20Hz y 20KHz) puede apreciarse connuestros oidos. Si la cuerda se divide en dos mitades y se toca una de ellas -desplazando el puente mvil a la posicin adecuada paramantener inmvil el resto de la cuerda- se produce una frecuencia doble de la fundamental. Este proceso se puede iterar dividiendo lalongitud de la cuerda en tres, cuatro y ms partes para producir todos los mltiplos enteros de la frecuencia fundamental de la cuerda,tambin llamados armnicos o sobretonos (Figura 30).

Figura 30

Este proceso puede generalizarse para producir frecuencias sonoras que estn relacionadas con la fundamental a travs de cualquiera de losintervalos justos que hemos estudiado en esta seccin (Figura 32): dividiendo la cuerda en tres partesy tocando 2/3 de su longitudproduce una frecuencia 3/2 veces la fundamental, que es una quinta perfecta (tocando 1/3 de la longitud de la cuerda se produce una quintaperfecta pero situada una octava por encima). Dividiendo la cuerda en cuatro partes y tocando 3/4 partes produce una frecuencia que es lacuarta perfecta de la fundamental. De forma similar, una divisin de la cuerda en cinco partes permite generar la sexta mayor (3/5 partes) yla tercera mayor (4/5 partes). Estas marcas en el monocorde con una separacin irregular son las mismas que podemos encontrar en unaguitarra.

Figura 31

7.- Los Modos Auls griegos "Chicos, estudiad vuestros monocordes" (ltimas palabras de Pitgoras)

7.1.-Antecedentes histricos

Cuando empec a estudiar la estructura de las escalas musicales me sent atrado por la simplicidad matemtica del llamado mtodo de"Afinamiento Ptagrico" que he explicado en la seccin 2. Prcticamente en todas partes se atribuye esta escala a nuestro gran maestrogriego Pitgoras, a pesar de que no existe ningn registro escrito que confirme este hecho. Como explica de forma clara Peter L.P. Simpsonen su excelente revisin de los antiguos modos griegos [3], el registro escrito ms antiguo sobre la msica griega en el que la mayora deestudiantes basan sus estudios se conoce como los Elementos Armnicos de Aristgeno, una coleccin de libros que han subrevividoprcticamente intactos. Estos libros contienen un ataque y una crtica a aquellos que Aristgeno llamaba los harmonistas de la escuelapitagrica, o en otras palabras los modalistas (porque harmonia designa modo musical en griego).

Aristgeno bsicamente dice [3] que los modalistas no entendan lo bsico acerca de la msica y que lo hacan prcticamente todo mal. Paracorregir sus errores y poner la ciencia de la msica sobre suelo firme, Aristgeno tira por la borda toda la teora que se llevaba en su tiempo yla reemplaza por algo nuevo. Desafortunadamente, en ese algo nuevo que l introduce no tienen cabida los modos tal y como se entendan deforma tradicional. Segn Aristgeno, la forma de entender la msica pasa por entender el canto, y la forma de entender el canto es empezarpor el menor intervalo consonante, que es la cuarta perfecta. El siguiente intervalo consonante, la quinta perfecta, produce al juntarlo con lacuarta perfecta el ltimo intervalo consonante que es la octava (segn Aristgeno slo existan esos tres intervalos consonantes). Todas laescalas de Aristgeno, incluyendo sus equivalentes de los modos antiguos -ya que utiliza el nombre de los modos para algunas de susescalas- estn constituidas por distintos tipos de tetracordes y sus combinaciones (ver seccin 2).

La crtica principal a estos hechos histricos es la siguiente [3]: no existe ninguna razn para basar las escalas necesariamente en lostetracordes de Aristgeno, ni para construir los tetracordes de forma descendente -como Aristgeno siempre haca- ni para limitar losintervalos consonantes a las cuartas, quintas y octavas. Aristgeno poda, y de hecho lo hizo, apelar a los lmites impuestos por la capacidadde la voz humana, pero no existe razn alguna para construir la msica, o su teora, segn esos lmites. La msica es mucho ms rica en susposibilidades de lo que Aristgeno permiti, pero l excluy cuanquier otra posibilidad desus enseanzas, probablemente porque en realidadno entenda lo que los pitagricos estaban en realidad haciendo.

El hecho es que existen otras escalas Justas aparte de las que hemos discutido hasta ahora. Citando a Maria Renold [2,p.27]: "Aunqueraramente utilizadas en la msica occidental durante los ltimos cuatrocientos o quinientos aos, se conocen desde tiempos antiguos y sehan venido utilizando hasta el momento entre las gentes de Asia, Grecia, las islas de Escocia, Amrica del Norte, etc. Estas escalas, que aqullamamos los siete Modos Aulsde la antigua Grecia, se llaman 'harmonai' por su redescubridora la musicologista [y Fellow del Instituto deArqueologa de la Universidad de Liverpool] Kathleen Schlesinger. Cmo cuidadora de instrumentos musicales antiguosen el MuseoBritnico, ella se di cuenta de que los agujeros para los dedos de los auls griegos parecan ser equidistantes. Gracias a su entrenamientoespecfico supo que esos instrumentos no podan producir las escalas y los intervalos de hoy en da. Por lo tanto esas escalas tenan que serdistintas. Schlesinger estableci los tipos y la forma de esas escalas durante ms de 25 aos de investigacin publicados en 1938 en su libroLos Auls Griegos". Segn Elsie Hamilton, una de sus discpulas, "la Sra. Schlesinger era de la opinin que los Modos nacieron mucho antesincluso de la poca de Pitgoras [...] ella apunta a que podemos remontarnos hasta alrededor del ao 2800 B.C. a las flautas de plata de Uren Caldea, que fueron excavadas bajo la direccin de Sir Leonard Woolley, y en las cuales encontramos orificios a distancias iguales y que,

estando hechas de plata, han resistido el paso del tiempo [5]."

7.2.- Una forma alternativa de estudiar el monocorde

Hay una forma ms simple de estudiar las frecuencias sonoras usando el monocorde que dividir su cuerda en un nmero desigual de partescada vez. Y si lo dividimos en un nmero fijo de partes a ver qu sucede? En la Figura 32 mostramos un ejemplo del monocorde dividido encinco segmentos iguales. La cuerda entera proporciona una frecuencia de referencia que habitualmente es la tnica en la teora musicalmoderna, y a partir de la cual se forman todos los intervalos restantes en orden ascendente (ver Figura 31). Sin embargo, el segmento mspequeo en la cuerda as dividida proporciona otra frecuencia de referencia, en realidad la frecuencia ms alta para un nmero desegmentos dado. Tocando un nmero creciente de segmentos cada vez genera el sonido de fracciones ms y ms pequeas de esa frecuenciams alta, que se conocen como subtonos (Figura 32).

Figura 32

A travs de este sencillo ejemplo podemos empezar a aprecir las posibilidades ilimitadas de esos subtonos. El primer subtono (f/2) formacon la frecuencia (ms alta) de referencia f el intervalo de una octava, aunque en direccin descendente. Tomando tres segmentosobtenemos el siguiente subtono, que forma un intervalo de una quinta perfecta descendente con el segundo subtono ya que (f/3)/(f/2) =2/3. A continuacin encontramos otra octava en f/4. El cuarto subtono f/5 nos permite estudiar el intervalo de una sexta (5/3) con elsegundo subtono, y tambin el de una tercera mayor (5/4). La octava siguiente no se encuentra hasta la frecuencia f/8, por lo tanto lassucesivas octavas descendentes contienen un nmero creciente de intervalos (densamente empaquetados).

El diagrama siguiente de Elsie Hamilton ilustra este hecho hasta los 16 segmentos. Por favor obsrvese lo siguiente: (1) la longitud de cadasegmento no es proporcional al intervalo correspondiente como en nuestros dibujos de colores; (2) las fracciones que se muestrancorresponden a divisiones de la longitud de la cuerda -not a frecuencias; y (3) el nmero de segmento aumenta de derecha a izquierda. Apartir de este diagrama resulta interesante apreciar que las primeras tres octavas (hasta el octavo subtono) contienen la mayora deintervalos de la escala Justa, como se ha explicado en la Figura 32 de arriba en direccin opuesta. Para ser capaz de tocar cualquiera de esosintervalos, necesitaramos un monocorde con almenos dos cuerdas. Si ese fuera el caso, manteniendo una cuerda por ejemplo en el quintosegmento y la otra cuerda en el tercer segmento producira el sonido de una sexta mayor descendente (3/5).

Figure 33: Divisin de un monocorde en 16 segmentos iguales ilustrada por Elsie Hamilton [5]. Los nmeros que se muestran son fracciones de la longitud dela cuerda, la frecuencias correspondentes seran sus valores inversos. Tocando un nmero creciente de segmentos proporciona una secuencia de subtonos16/2, 16/3, 16/4, ... de la frecuencia de referencia mayor 16/1 tambin conocida como arch, hasta alcanzar la frecuencia menor 16/16 al usar la cuerdaentera.

Los Modos Auls antiguos empiezan en la siguiente octava, la que se encuentra entre los subtonos 8 y 16. Siguiendo el mtodo de Maria

Renold's, voy a mostrar como se puede deducir de forma sencilla el primero de esos modos usando exclusivamente la media armnica.

7.3- Deduccin a partir de la media armnica

Seleccionemos la octava contenida entre las frecuencias del 16 subtono (f/16) y el octavo (f/8) de la frecuencia de referencia f o Arch queno debe confundirse con la tnica de la escala que en nuestro caso sera f/16. Como ya hemos visto en la Figura 24, la media armnica de laoctava genera la cuarta nota (en realidad una cuarta perfecta). Ahora si continuamos com media armnicas en lugar de cambiar a la mediaaritmtica, obtenemos la frecuencia de las seis notas restantes tal como sigue::

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

Figura 34: La estructura de las escalas en los antiguos Modos Auls griegos puede obtenerse a partir de lamedia armnica.

Lo que hemos obtenido es lo que los matemticos llaman una serie armnica, excepto por la fraccin ausente 1/14 que sera una novenanota en la escala. Esas son las frecuencias del antiguo Modo Hipodorio de Saturno [2]. Las notas en los Modos Auls a menudo senumeran en trminos del nmero de segmento que produce cada nota that produces each note [2]. La Figura 35 muestra las longitudes deintervalos reales en cents siguiendo esa numeraci u utilizando nuestra convencin de colores (vase la leyenda de colores en la Figura 38ms adelante). podemos observar que el primer intervalo es (1/15)/(1/16) = 16/15 o un semitono cromtico, los siguientes cuatro intervalos15/13, 13/12, 12/11 and 11/10 son "nuevos" para nosotros y son caractersticos de los Modos griegos, y los ltimos dos intervalos tambin nossuenan familiares: 10/9 el tono justo y 9/8 el tono "pitagrico".

Figure 35

Para tocar esta escala en un monocorde, tendramos que dividirlo en 16 segmentos iguales como en la Figura 33 anterior y utilizar slo lasegunda mitad de las divisiones. Por favor obsrvese que, a pesar de estar basados en la serie de subtonos, cuando se lee de izquiera aderecha el Modo Hipodorio de Saturno en realidad es una escala ascendente.

7.4.- Los siete antiguos Modos griegosLos seis Modos griegos restantes se obtienen usando 18, 20, 22, 24 y 28 divisiones de la cuerda, como se ilustra en el siguiente diagramaoriginal de Elsie Hamilton [5]:

Figura 36: Divisiones en un monocorde para tocar los siete Modos Auls griegos.

Podemos observar en este diagrama que cada modo tiene un segmento bsico de longitud distinta, ya que que la longitud total de la cuerdaes la misma. As pues, la frecuencia de referencia o Arch es diferente para cada modo. Por ejemplo si ajustamos la longitud total de lacuerda L de manera que su fundamental sea f0~1/L = 128Hz, entonces el Arch del modo de Saturno sera f=128/(1/16) = 12816 = 2048Hz, pero el modo del Sol tendra una Arch f = 12822 = 2816 Hz. Por favor obsrvese que las notas que se encuentran por debajo (a laizquierda) del 16 subtono usan los subtonos dobles de la octava diatnica (8 a 16) omitiendo los subtonos que se encuentran enmedio:

por ejemplo los cuatro subtonos ms bajos del modo del Sol son 1/22, 1/20, 1/18, 1/16. El diagrama de arriba puede malinterpretarse porqueel primer segmento, el que se encuentra entre la primera divisin y el inicio de la cuerda, parece tener la misma longitud en cada modo y esono es as como acabamos de explicar.

Ahora viene la parte interesante. Cul es la estructura de intervalos de los seis nuevos modos que acabamos de obtener? Si se realizan losclculos matemticos, uno termina dndose cuenta de que todos los modos contienen los mismos intervalos pero en un orden diferente.Esto se ilustra de forma grfica en la Figura 37. El modo central Dorio asociado al Sol era el modo principal en el antiguo sistema musicalgriego. Ntese que este modo tiene dos formas, una usando la divisin 1/14 y la otra usando la divisin 1/15; no todos los modos tienen esasdos formas (vase la Figura 40) pero esas dos divisiones nunca se usaban simultneamente en ningn modo.

Figura 37

Los siete antiguos Modos griegos tienen una particularidad caracterstica: cada uno est formado por dos tetracordes distintos. Esto seilustra en la figura siguiente, donde se muestra la laongitud de cada intervalo en cents. Se puede apreciar que cada modo puede generarse apartir del modo precedente cogiendo el ltimo intervalo e insertndolo al principio, realizando un desplazamiento cclico (excepto en loscasos en queel intervalo 15/13 se reemplaza por el intervalo 15/14 o al revs, Figura 38).

Figure 38: Los antiguos Modos Aul griegos como tetracordes.

Alguno de los anteriores tetracordes le resulta familiar? Como probablemente habr adivinado, se trata del primer tetracorde del ModoHipolidio de Marte. La escala moderna de Intervalos Justos utiliza este tetracorde en realidad dos veces, siguiendo la disposicin tpicapropuesta por Aristgeno (Figura 39). Parece que la escala diatnica moderna ha perdido la pureza o diversidad de intervalos original quesola tener en el antiguo Modo Hipolidio.

Figura 39: Nuestros escala moderna de Intervalos Justos contiene el primer tetracorde del Modo Hipolidioasociado a Marte.

7.5.- Los Modos Auls griegos como subespecies

Para poder tocar los siete modos distintos en un slo instrumento, ste se debera reafinar cada vez porque el nmero de divisiones de lacuerda es distinto en cada modo. Sin embargo, existe una forma de superar esta limitacin aparente. El truco consiste en dividir la cuerda enun nmero de segmentos suficientemente grande (al menos 28), y en "acomodar" cada modo en una porcin distinta de la cuerda. Con estaoperacin, los siete modos comparten el mismo intervalo medio 18/16 (que los antiguos griegos llamaban mese) y tambin tienen la mismafrecuencia de referencia, pero cada modo tiene su propia tnica y, por sorprendente que pueda parecer a primera vista, su estructura deintervalos no se ve alterada! La figura siguiente lo ilustra de forma grfica, reproduciendo la Tabla 5 del libro de Maria Renold [2, p.30].

Figure 40: Los antiguos Modos griegos como especies.

Segn Elsie Hamilton, quien ha adoptado los Modos griegos como base para sus composiciones musicales, "con los siete Modos Planetariosno slo tenemos dos experiencias distintas como en nuestras escalas modernas Mayor y Menor, sino almenos siete, porque cada uno de losModos griegos nos proporciona un "ethos" o atmsfera completamente diferente, que resulta bastante individual y peculiar de ese modo enconcreto; de esta forma nuestra experiencia musical se ve enormemente enriquecida". Otra ventaja es que "el Modo griego est construidosiguiendo la propia Ley Natural (la Serie Armnica) sin ningn compromiso [como suceda en la espiral de quintas de la escala deAristgeno], y a un afinador de pianos le resulta mucho ms fcil afinar un piano a los Modos que afinarlo segn el mtodo ordinario, consus complicaciones de pulsos y dems" [5].

8.- La escala de Doce Quintas

8.1.- La estructura de la escala y las quintas formadasEn 1962, partiendo de la escala C "pitagrica" que hemos presentado en la seccin 2, Maria Renold encontr de odo una escala cromtica dedoce tonos en la cual todas la claves mayores y menores son posibles, y que est hecha por completo de lo que ella llama intervalos genuinospara el oido. A esta escala la llam la escala de las Doce Quintas [2]. La estructura de la escala es muy simple: empezando por las siete notasde la escala C "pitagrica", se inserta un nuevo tono enmedio de cada tono completo que surge de la media geomtrica de las dosfrecuencias extremas del tono completo en cuestin (Figura 41). Esto es equivalente a situar los cinco semitonos extra -que corresponden alas teclas negras del piano- en el centro exacto del tono completo expresado en cents. La figura siguiente muestra los cocientes de intervalosacumulados de la escala de doce notas obtenida siguiendo este mtodo. En la Tabla 2 se compara la longitud de los intervalos resultantes encents con los de las escalas cromticas vistas hasta el momento. Para que quede claro que los cinco nuevos tonos son medias geomtricas ypara diferenciarlos de los tonos ordinarios y de los tonos del tempramento igual, Se los llam Delis, Elis, Gelis, Alis and Belis -en alemn Gessignifica llano y Gis significa agudo, luego Gelis contiene ambos nombres indicando as que esos semitonos no son ni llanos ni agudos [2,p.8].

Figura 41

Table 2

Es importante enfatizar que los cinco tonos que son medias geomtricas se encontraron de oido. Las cualidades de estos nuevos intervalosdifieren de los intervalos de las escalas Justa y de Aristgeno, por lo que Maria Renold los llam intervalos "formados". Segn ella, "estosintervalos formados se armonizan con los intervalos verdaderos consiguiendo armonas bien sonantes y disonancias caractersticas". Losdoce tonos forman "una escala cromtica con un sonido genuino y 24 escalas mayores y menores con un sonido igualmente genuino que sonvlidas pra realizar cualquier trabajo de composicin con instrumentos de afinamiento fijo. Una prueba con cualquier instrumento afinadode esta forma demuestra que este este es el caso, convirtiendo en innecesario afinamiento del Temperamento Igual, con un sonido tan falso einsatisfactorio" [2, p.57].

Los pianos se pueden afinar a la escala de doce quintas. El pblico comentaba que el sonido del piano de Maria Renold con la nuevaafinacin no pareca proceder directamente del propio instrumento "sino que sonaba libremente como si procediera del centro de lahabitacin. Un tono de sonido libre similar se observ en un coro de unas 20 liras afinadas de esta forma; msicos y pblico experimentaronuna plenitud de sonido inspirante que provena del medio de la habitacin [...] Parece que con anterioridad slo eran capaces de crear estetono en la composicin activa de msica los artistas, instrumentistas y directores que tenan un don especial. La escala de doce quintasparece ser capaz de hacer aparecer este tono a travs tan slo de las proporciones de intervalos entre tonos" [2, p.63].

Maria Renold destaca que su escala de doce quintas "slo fue posible despus de descubrir lo que llama la quinta formada. El hecho deque existe una quinta genuina para el oido que es menor que la quinta del Temperamento Igual es un fenmeno que slo se puede descubrirde odo. La quinta formada se puede reconocer por su carcter ligeramente crudo o seco. Difiere de todas las otras quintas que han sidoclasificadas de forma acstica hasta el momento presente" [2, p.61]. La figura siguiente ilustra las doce quintas de esta escala; diez de ellasson quintas perfectas y dos de ellas son quintas formadas -que contienen dos semitonos "pitagricos"en lugar de uno solo:

Figura 42: The fifths in Maria Renold's scale of twelve fifths.

8.2.- Acerca de la frecuencia de afinacin correcta A=432Hz

Maria Renold pone de manifiesto que "conviene tener presente una caracterstica clave de la escala de doce quintas. Mientras que losintervalos y tonos tienen efecto bonito, placentero y armnico sobre el ser humano cuando se afinan a C=256Hz, Gelis=362.04Hz yA=432Hz, se convierten en antisociales y adems causan que las personas se provoquen las unas a las otras si se utiliza la frecuencia deafinacin A=440Hz [de uso comn hoy en da]. Esta observacin hecha a menudo muestra que los intervalos genuinos al odo no son lonico que importa en msica, sino que tonos de determinadas frecuencias tienen determinadas cualidades que pueden tener efectosmayores sobre los seres humanos" [2, p.63]. Este comentario surgi a partir de las experiencias siguientes:

"La primera vez que Maria Renold (violista y violinista de concierto) afin su gran piano Steinway al recin hallado mtodo de afinacin, elnico diapasn de que dispona era a A=440Hz, por lo que el piano se afin segn esta frecuencia. Una vez hecho, fue una ocasin para

celebrar y se toc msica de inmediato con ese instrumento y su sonido absolutamente magnfico. Piezas tanto clsicas como modernassonaban con una belleza nunca antes oda, pero despus de unos momentos de desarroll una atmsfera crecientemente maliciosa entre lospresentes".

"Pareca totalmente improbable que los intervalos de ese nuevo mtodo, que sonaban perfectamente claros y armnicos, pudieran levantarun estado de nimo tan antisocial entre los oyentes. Sin embargo, as era. La solucin slo se encontr cuando se reafin el piano a lafrecuencia C=256Hz sugerida por Rudolf Steiner, la llamada 'C del filsofo'. Cuando se toc ms msica en el piano nuevamente afinado,entonces s fue una verdadera celebracin. El malestar experimentado anteriormente haba desaparecido y tanto los intervalos como lostonos sonaban placenteros y bellos. Todos los presentes se deleitaron con el esplndido sonido y se vieron envueltos por un estado de nimoarmnico que dejaba a la gente libre".

"Para asegurarse de la primera observacin, musicalmente inusual, no se trataba de un error, se repiti el experimento con liras durantemuchos aos y en muchos lugares. El mismo fenmeno siempre tena lugar. Esa observacin slo puede conducir a una conclusin: slopueden ser los tonos basados en la frecuencia de afinacin A=440Hz los que causan ese estado de nimo antisocial" [2, p.69].

Entonces surge de forma natural la pregunta es esa observacin tambin vlida para las dems escalas como el mpliamente extendidoTemperamento Igual? En el siguiente artculo describiremos los experimentos llevados a cabo por Maria Renold para confirmar que enefecto as es.

9.- Referencias[1] Sethares, William A: "Tuning, Timbre, Spectrum, Scale", Springer, 2004.

[2] Renold, Maria: "Intervals, Scales, Tones and the Concert Pitch c = 128 Hz", Temple Lodge, 2004.

[3] Simpson, Peter LP: "The sound of Music: On the Ancient Greek Modes".

[4] Kappraff, Jay: "Beyond Measure, A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number", World Scientific, 2002.

[5] Hamilton, Elsie: "The Modes of Ancient Greece", 1953.

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