UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ – AREQUIPA

FACULTAD DE LA CARRERA DE INGENIERIA DE SISTEMAS E

INFORMATICA

PRESENTACIÓN DEL 1ER AVANCE DEL TRABAJO FINAL

Tema: PRUEBA DEL VALOR Z DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Autores:

Profesor:

Arequipa – Perú

2013

RESUMEN

ÍNDICE

CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO TEÓRICO

1.1 Descripción del Problema

En vista que no se ha realizado proyectos de investigación con respecto al

tema de prueba del valor Z de la distribución normal estándar en el Colegio

Pablo Valery, por ende queremos dar a conocer si los dos alumnos nuevos

del primer grado de secundaria están en la talla promedio o conforman un

nuevo grupo de medidas

1.2 Justificación del Problema

1.3 Interrogantes 1.3.1 Interrogantes General

¿Cuál es el valor Z para los alumnos que tienen tallas entre 1.46 a 1.60?

1.3.2 Interrogantes Específicas

¿Cuál de los alumnos nuevos están en la talla promedio del grupo de los

demás alumnos?

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo General

Dar a conocer si los alumnos nuevos de primero grado de secundaria del colegio Pablo Valery se encuentran dentro del promedio de todos los demás alumnos.

1.4.2 Objetivos Específicos

• Conocer las características de la distribución de probabilidad normal

• Aprender a calcular los valores de Z

Aprender a utilizar en aplicaciones la distribución de probabilidad normal

• Saber determinar la probabilidad de que una observación esté por

encima (o por debajo) de un cierto valor utilizando la distribución de

probabilidad normal o prueba del valor Z

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO

2.1 Antecedentes

2.1.1 Regional

2.2 Bases teóricas

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con

que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o

de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De

Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809),

en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física.

UTILIDAD

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie

(tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo

de individuos, puntuaciones de examen,

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticos muéstrales, por ejemplo : la media.

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan

a la normal.

DISTRIBUCIÓN NORMAL O GAUSSIANA

Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.

Su función de densidad es:

La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros

μ y σ.

0) (σ π2σ

1)(σ)μ,(

2

2

σ2

μ)(

x

exPN

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = )

Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la

moda (Mo )

Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores

N(μ, σ): Interpretación geométrica

Podemos interpretar la media como un factor de

traslación.

Y la desviación típica como un factor de escala,

grado de dispersión,…

N(μ,σ):INTERPRETACIÓN PROBABILISTA

Entre la media y una desviación típica

tenemos siempre la misma probabilidad:

aproximadamente el 68%.

Entre la media y dos desviaciones típicas

aprox. 95%

Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…

a distancia σ, tenemos probabilidad 68%

a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%

a distancia 2’5 σ tenemos probabilidad 99%

PRUEBA DEL VALOR Z

¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica?

Dado que tanto como pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable

tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la

distribución normal reducida o tipificada.

Se define una variable z = 𝑥−𝜇

𝜎

Dónde:

Z = valor estadístico de la curva normal de frecuencias.

X = cualquier valor de una muestra estadística.

𝜇 = promedio o media aritmética obtenido de la muestra estadística, valor

representativo.

𝜎 = desviación estándar.

La nueva variable z se distribuye como una normal con media = 0 y desviación

típica = 1

Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades

delimitadas entre:

TIPIFICACIÓN

Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado z, de

una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en

desviaciones típicas, es decir:

xz

En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: asigna a todo valor de N(μ,

σ), un valor de N(0,1) que deja exactamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes,

para saber cuál de los dos es más extremo.

PASOS PARA REOLVER UN EJERCICIO

1. Calcular el promedio y la desviación estándar de las observaciones de la muestra

en estudio.

2. Del valor del cual se desea obtener una inferencia estadística, calcular la

diferencia que existe con respecto al promedio: X - .

3. Dividir la diferencia calculada entre la desviación estándar obtenida de la

muestra en estudio, que corresponde al valor Z.

4. Localizar el valor Z calculado, en la tabla de probabilidades asociadas con

valores tan extremos como los valores observados de Z en la distribución normal

y obtener la probabilidad de que exista una magnitud de discrepancia entre los

valores X y .

5. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

EJEMPLO

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se

asignará al que tenga mejor expediente académico:

El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la calificación de los

alumnos se comporta como N (6,1).

El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los

alumnos se comporta como N (70,10).

No podemos comparar directamente 8 puntos de A

frente a los 80 de B, pero como ambas

poblaciones se comportan de modo normal,

podemos tipificar y observar las puntuaciones

sobre una distribución de referencia N (0,1).

Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de

compañeros del mismo sistema de estudios que ha

superado en calificación al estudiante A es mayor

que el que ha superado B. En principio A es mejor

candidato para la beca.

110

7080

21

68

B

xz

xz

BBB

A

AAA

CAMBIO DE VARIABLE TIPIFICADA A LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F(X):

Las probabilidades de la variable tipificada (z) están tabuladas para los diferentes

valores de la variable. Para calcular probabilidades, una vez transformada, la variable a

valores de z, se busca en una tabla el área correspondiente.

CARACTERÍSTICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA

(Reducida o estándar)

No depende de ningún parámetro.

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.

La curva f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas y tiene un máximo en

este eje.

Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1.

π2σ

1)(

2

2

σ2

μ)(

dvexF

x v

duezZpzF

zezp

z

2

u

2

z

2

2

π2

1)()(

;π2

1)(

Hay varios tipos de tablas de la distribución normal la que se explica aquí representa las

áreas para los diferentes valores de z desde 0 hasta +.

La tabla consta de:

Margen izquierdo: Los enteros de z y su primer decimal.

Margen superior: segundo decimal

Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes, acumuladas, desde 0 hasta 3.99

EJEMPLO 2

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?

Se busca en la tabla el área correspondiente a z = 2.03

2. Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a

150 libras

Paso 1.-

Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=150

libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:

Pasó 2.- Determinar el valor Z:

Paso 3.- Buscar en la tabla de probabilidades.

Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915

Paso 4.- Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

En este ejemplo no es necesario realizar ningún cómputo adicional ya que el área es la

misma que se representa en la Tabla

50.020

140150

XZ

APLICACION:

En el aula de primero de secundaria se realizó el promedio de las tallas de los alumnos

pero recientemente se añadieron 2 alumnos. se está interesado en saber si las tallas de

los dos alumnos corresponden a esta población y qué tanto difiere del grupo de los

demás alumnos.

Las tallas de los alumnos estudiados se encuentran listados del más bajo al más alto en

la tabla1, y se ha marcado los puntos donde se localizan la media aritmética, la mediana

y la moda. Las tallas de los alumnos que se desea agregar son de tallas 1.46 y 1.60

metros.

Tabla 1

Tabla 2

Alvares Osorio Gittel 1,45

Chau Anda Maria Fernanda 1,45

Quispe Huanca Eddy 1,46

Ochoa Medina Adrian 1,47

Arias Higa Yuriko 1,50

Lloclle Huayhuas Israel 1,51

Diaz Vizcarra Yosmark 1,53

Laura Chillcce Ivonne 1,53

Ochoa Aymara Ernesto 1,53

Ortiz Valdez Renso 1,53 Mediana, Moda, M.A

Rodriguez Huancollo Sergio 1,53

Umpire Llutari Karla 1,53

Lazo Villanueva Manuel 1,56

Cutipa Alvis Jimena 1,56

Qqueso Pumacayo Cristopher 1,57

Revilla Mendoza Mijael 1,58

Tuni Mamani Harold 1,59

Zegarra Ramirez Diana 1,59

Benavides Romero Zelith 1,60

Estadísticos

tallas de los alumnos

N Válidos 19

Perdidos 0

Media 1,5300

Mediana 1,5300

Moda 1,53

tallas de los alumnos

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válidos

1,45 2 10,5 10,5 10,5

1,46 1 5,3 5,3 15,8

1,47 1 5,3 5,3 21,1

1,50 1 5,3 5,3 26,3

1,51 1 5,3 5,3 31,6

1,53 6 31,6 31,6 63,2

1,56 2 10,5 10,5 73,7

1,57 1 5,3 5,3 78,9

1,58 1 5,3 5,3 84,2

1,59 2 10,5 10,5 94,7

1,60 1 5,3 5,3 100,0

Total 19 100,0 100,0

Alvares Osorio Gittel 1,45

Benavides Romero Zelith 1,60

Chau Anda Maria Fernanda 1,45

Diaz Vizcarra Yosmark 1,53

Laura Chillcce Ivonne 1,53

Lazo Villanueva Manuel 1,56

Lloclle Huayhuas Israel 1,51

Ochoa Medina Adrian 1,47

Ochoa Aymara Ernesto 1,53

Ortiz Valdez Renso 1,53

Qqueso Pumacayo Cristopher 1,57

Quispe Huanca Eddy 1,46

Revilla Mendoza Mijael 1,58

Rodriguez Huancollo Sergio 1,53

Tuni Mamani Harold 1,59

Umpire Llutari Karla 1,53

Zegarra Ramirez Diana 1,59

Arias Higa Yuriko 1,50

Cutipa Alvis Jimena 1,56

Elección de la prueba estadística.

El modelo de investigación tiene una muestra. Las mediciones de la tabla anterior son

cuantitativas, de variable continua, por lo tanto, tienen una escala de intervalo. Los

intervalos entre una talla menor y otra mayor y entre todos los valores parecen no diferir

notoriamente y permiten suponer que se distribuyen normalmente.

Planteamiento de la hipótesis.

Hipótesis alterna (Ha). Las tallas corporales de los dos alumnos nuevos (1.46 y 1.60

metros) difieren significativamente del promedio, por lo tanto, no corresponden a la

población.

Hipótesis nula (Ho). Las diferencias de las tallas de los dos alumnos nuevos se deben al

azar, por lo cual no hay diferencias significativas y corresponden a la misma población.

Nivel de significación.

Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se

rechaza Ho.

Zona de rechazo.

Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Aplicación de la prueba estadística.

Tomando en cuenta los paso, se calcula el promedio o media aritmética. De

acuerdo con la siguiente fórmula:

𝑋 = 2(1,45) + +1,46 + 1,47 + 1,50 + 1,51 + 6(1,53) + 2(1,56) + 1,57 + 1,58 + 2(1,59) + 1,60

19

𝑋 = 1,53 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

La desviación estándar se calcula con la ecuación siguiente:

frecuencia x Fx Fx2

2 1,45 2,90 4,21

1 1,46 1,46 2,13

1 1,47 1,47 2,16

1 1,50 1,50 2,25

1 1,51 1,51 2,28

6 1,53 9,18 14,05

2 1,56 3,12 4,87

1 1,57 1,57 2,46

1 1,58 1,58 2,50

2 1,59 3,18 5,06

1 1,60 1,60 2,56

Total 29,07 44,52

𝜎 =√44.52 −

29.072

1918

𝜎 = 0.048

Una vez calculados el promedio y la desviación estándar, se calcula el valor Z.

𝑧1 =𝑋 − 𝑢

𝜎

𝑧1 =1,46 − 1,53

0.048

𝑧1 = −1,45833 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

𝑧2 =1,60 − 1,53

0.048

𝑧2 = −1,45833 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

En la tabla de probabilidades asociadas en valores extremos como los de 2 en la

distribución normal, se busca la localización de los valores Z1 y Z2 calculados, a fin de

obtener la probabilidad de su magnitud de discrepancia con respecto a la media

aritmética.

El primer valor de Z1 es −1,45833 de modo que se localiza el 1.4 y en la intersección

de la columna 0.05, correspondiente a las centésimas, se observa el valor 0.4265. Esta

es la probabilidad de que el valor 1,46 metros pertenezca a la población de tallas

corporales, donde el promedio es 1.53 metros y la desviación estándar 0.048.

El segundo valor de Z2 es 1,45833, de manera que en la tabla se observa esa cifra el

mismo valor 0.4265.

Decisión:

El valor de Z1 la probabilidad es aproximadamente de 0.42. Para este caso, se acepta Ho

y se rechaza Ha. Para el valor de Z2, la probabilidad es igual a Z1, pero de cualquier

manera mayor que el nivel de significancia, el cual se ubica en la zona de rechazo. Se

acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación:

La talla del alumno que tiene 1.46 metros está dentro del promedio, a un nivel de

confianza mayor que 0.05; y también, el otro alumno está a un nivel de confianza

mayor que 0.05, lo cual significa que está dentro de la población de tallas similares.

La siguiente figura contiene tanto el polígono de frecuencias en función de una serie de

clases elaboradas con las observaciones de 19 tallas, como los límites de las

desviaciones estándar con respecto al promedio. Los valores Z de las dos tallas

problema se dibujan con dos flechas, de acuerdo con los valores de talla que

corresponden. La Z1 se encuentra por fuera de -1 desviación estándar. Para ser más

precisos, tiene −1,45833 desviaciones estándar, igual al valor Z; en cambio, el valor

Z2 tiene 1,45833 desviaciones estándar y se encuentra dentro del límite de +2 esviación

estándar. Cabe recordar que +1 y -1 desviaciones estándar se encuentran

aproximadamente en el 68% de las mediciones y -2 a 2 desviaciones estándar se

encuentran aproximadamente en el 95% de las mediciones

Con todo lo anterior se comprende el significado del valor Z en la curva normal de

frecuencias: es el número de desviaciones estándar que se desvían con respecto al

promedio o media aritmética.

Está caracterizada por dos parámetros: La media, μ, y la desviación estándar, σ.

Su función de densidad es:

-3ð 3ð

-3ð

-3ð

X=1.53

-3ð -3ð

Entre la media y una desviación estándar a tenemos siempre la misma probabilidad:

aprox. 68%

4. BIBLIOGRAFIA

Miguel Angel, T. (2009). Mienbro de la Camara Nacional de la Editorial

Mexico,Cuarta edicion. Theory and Problems of Statistics.

Mark, L. (2009).Estadística para la administración.

Escuela Politécnica del Ejercito.(2010) Prueba De la Z Estadística Disponible en:

http://buenastareas.com/ensayos/Prueba-De-La-z-Estadistica/956991.html