R2 b7 función inversa

Bloque 7

Noción de función inversa

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 7

Noción de función inversa En este bloque se aborda el estudio de la función inversa de una

función con base en el apoyo visual que brinda el ambiente gráfico de la calculadora. Este es el primer acercamiento a la lectura y construcción de gráficas que se hace en este libro, se acude a los conocimientos y habilidades previamente desarrollados para realizar conexiones entre las representaciones algebraica, tabular y gráfica de una función.

A lo largo de las hojas de trabajo se identifican propiedades importantes de la funciones inversas, por ejemplo, la simetría entre sus gráficas respecto a la función y=x y la relación entre su dominio y contradominio.

En las actividades que aquí se incluyen se aprovechan los recursos que ofrece la calculadora algebraica para la estudiar las distintas representaciones de una función. Mediante este acercamiento didáctico se pretende propiciar el desarrollo de habilidades cognitivas como la exploración, la experimentación y la formulación de conjeturas a través de la visualización, lo cual permite establecer una mediación entre el cuerpo de conocimientos y el estudiante.

Las hojas de trabajo abordan aspectos que están directamente relacionados con la educación básica, entre los que cabe destacar el uso de tablas, ecuaciones y gráficas en el plano cartesiano, el paso de una a otra de estas formas de representación provee recursos valiosos para la comunicación de ideas matemáticas y la resolución de problemas; lo anterior se orienta al fortalecimiento de las competencias para el uso de tecnología con fines educativos por parte de los futuros profesores.



HOJA DE TRABAJO 62 TABLAS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS

1. En la hoja de trabajo 42 del bloque

5 encontraste un programa que permite obtener los valores de salida que se muestran en la tabla de la derecha. Anótala abajo. ________________________

Valor de entrada

Valor de salida

10.4 4.9

16 10.5

19 13.5

23.5 18

37 31.5

En lo que sigue iniciarás el estudio de la construcción de gráficas en el plano cartesiano, estas gráficas te permitirán representar la relación entre los valores de entrada y salida con los que hasta ahora has trabajado.

2. Localiza en la calculadora el editor para introducir la expresión algebraica con la que construirás la gráfica. De ahora en adelante llamaremos funciones a esas expresiones algebraicas, también toma en cuenta que siempre deberás utilizar la letra x al introducir esas expresiones en la calculadora.

La expresión 𝑦 = 𝑥 − 5 representa la relación entre los valores de entrada y los valores de salida, estos últimos dependen del valor de x.

3. Despliega la gráfica de la función 𝑦 = 𝑥 − 5 en tu calculadora y asegúrate de que sea como la siguiente.

La escala en los ejes cartesianos es 1.

4. En la hoja de trabajo 42 del bloque 5 también encontraste la expresión algebraica que te

permite invertir lo que hace la expresión del inciso (1). Anótala a continuación ____________________ Su tabla de valores es la siguiente.

Valor de entrada 4.9 10.5 13.5 18 31.5 Valor de salida 10.4 16 19 23.5 37

5. Sin borrar la gráfica que hiciste en el inciso (3), construye en la calculadora la gráfica de la

función del inciso (4) y dibújala en el plano cartesiano del inciso (3). Observa las dos gráficas en la misma pantalla y responde. a. ¿Qué semejanzas encuentras entre la función 𝑦 = 𝑥 − 5 y la que la invierte?

_______________________________________________________ b. ¿Qué diferencias encuentras entre las gráficas de la función 𝑦 = 𝑥 − 5 la que la

invierte? _______________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 63 Gráficas de una función lineal y su inversa (1)

1. Construye la siguiente gráfica en la calculadora y anota la función que usaste.

y=____________________

2. Usa la información que te proporcionan la gráfica y la función del inciso anterior para completar la tabla siguiente. Puedes usar la herramienta Trace (Traza) de la calculadora para recorrer la gráfica y desplegar las coordenadas de los puntos por los que pasa el cursor al recorrerla.

x -8 -5 -4 -2 -1 0 1 3 y

1. Reproduce la siguiente gráfica en la calculadora y escribe la función que usaste.

y=____________________

2. Usa la información que te proporcionan la gráfica y la función del inciso anterior para completar la siguiente tabla.

x -4 -1 0 2 3 4 5 7 y

3. ¿Qué relaciones encuentras entre las gráficas, la expresión algebraica y las tablas de

las dos funciones? _______________________________________________ _____________________________________________________________

4. Sin borrar en la calculadora las dos gráficas anteriores, construye la gráfica de la función y=x. Dibújala en el plano cartesiano de abajo.

¿Qué relación observas entre la gráfica de y=x con las otras dos? __________________________ __________________________ __________________________

La función y=x-4 es la función inversa de y=x+4. La gráfica de y=x es el eje de reflexión de las gráficas de una función y su función inversa.




1. Usa la siguiente gráfica para completar la tabla que está a continuación. La escala en

los ejes X y Y es 1.

2. Reproduce en la calculadora la gráfica anterior y anota el programa que usaste. y=

3. Sin borrar lo que construiste en la calculadora, construye la gráfica de la función

inversa de la función del inciso anterior y reprodúcela en el plano del inciso 1. ¿Qué relaciones observas entre las gráficas? ______________________________ ________________________________________________________________

4. Escribe a continuación la función que encontraste para responder el inciso (3).

y= 5. Usa la función del inciso anterior para completar la siguiente tabla. 6. ¿Qué relación observas entre los valores de las tablas de los incisos (1) y (5)? ______

_______________________________________________________________ 5. Sin borrar en la calculadora las gráficas anteriores, construye la gráfica de la función

y =x, y dibújala en el plano del inciso (1). ¿La gráfica de y =x es el eje de reflexión de las otras dos? _________ Describe lo que observas en las gráficas _____________ _______________________________________________________________

x -4 -3 -2 0 1 2 4 5 y

6. ¿Cuál es la función inversa de y =-4x? ________________ Construye las gráficas de ambas funciones en la calculadora.

7. ¿La gráfica de y =x es el eje de reflexión de las gráficas del inciso anterior? _______ Justifica tu respuesta. ______________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

X -2 -1.5 -1 0 0.5 1 2 2.5 Y




1. Completa la siguiente tabla usando la función y =2x+3.

x 6 5.2 4.5 3.1 2.6 1 0 -1.5 -2.2 -3.4 -5.8 -6 y

2. Construye en la calculadora la gráfica de la función anterior y reprodúcela en el

siguiente plano.

3. Con los valores de la tabla del inciso (1) construye a continuación la tabla de la función

inversa de y =2x+3.

x y

4. Construye la función inversa de y =2x+3 y anótala a continuación. Verifica tu respuesta

comprobando en la calculadora si la función que encontraste produce los valores de la tabla del inciso anterior.

y= 5. Construye en la calculadora la gráfica de la función inversa y reprodúcela en el plano

del inciso (2). Observa las relaciones entre las gráficas. ¿La gráfica de la función y=x es eje de reflexión de las dos graficas construidas? _________ Justifica tu respuesta. ________________________________________________________

6. Un estudiante dice que la función inversa de y =2x+3 es y =x÷2 -3. ¿Estás de acuerdo con él? ____________ Justifica tu respuesta _____________________________ ________________________________________________________________

7. Uno de sus compañeros dice que la función inversa de y =2x+3 es y =x -3÷2. ¿Estás de acuerdo con él? ____________ Justifica tu respuesta ______________________ ________________________________________________________________

8. ¿Cuál es la función inversa de 𝑦 = 𝑥−13

? __________________ Explica cómo la encontraste. ______________________________________________________ Comprueba, construyendo las gráficas en la calculadora, que encontraste la función inversa. ¿Qué tuviste que observar en las gráficas para comprobar tu respuesta?



HOJA DE TRABAJO 66 Gráficas de una función cuadrática y su inversa (1)

1. Encuentra la función que produce los valores de salida que se muestran en la tabla de la

izquierda. Después completa la tabla de la derecha con los valores que corresponden a la función inversa.

x y

3.5 12.25 3 9

2.5 6.25 2 4 1 1 0 0

2. Escribe a continuación cada una de las funciones que encontraste en el inciso (1).

y= _________________ y=__________________

3. Construye en la calculadora la gráfica de cada una de esas dos funciones y reprodúcelas en el siguiente plano.

4. ¿Qué diferencias observas entre la gráfica de la función inicial y la de su función inversa? _______________________________________________________ _____________________________________________________________

5. ¿A qué crees que se deban esas diferencias? ____________________________ _____________________________________________________________

6. Construye en la calculadora la gráfica de 𝑦 = 𝑥 y reprodúcela en el plano de arriba.. ¿La función y = x es el eje de simetría de las gráficas que construiste? ______

7. Nota que en la función y = x2 el valor de y es el mismo para ciertos valores de x. Por

ejemplo, para x=1 y x = -1, para x=2 y x=-2, etc. Por esto diremos que este tipo de fuciones no es “uno a uno”; cuando una función no es “uno a uno” su función inversa sólo está definida para determinados valores de x. Construye la gráfica de la función inversa de y = x2 e indica para qué valores de x está definida _________________________________ ________________________________________________________________ 8. ¿Cuál es la función inversa de y=2x2? _________________________________

Comprueba tu respuesta construyendo en la calculadora las gráficas necesarias.

x Y



HOJA DE TRABAJO 67 Gráficas de una función cuadrática y su inversa (2)

1. La siguiente gráfica corresponde a una función cuadrática, construye en la calculadora

la gráfica de su función inversa y reprodúcela en el mismo plano. La escala en ambos ejes cartesianos es 1.

2. ¿Cómo puedes comprobar que la gráfica que construiste corresponde a la de la función

inversa? ______________________________________________ ___________________________________________________________

3. Anota las funciones que usaste. Función inicial

y= _________________ Función inversa

y= _________________

4. Explica con detalle cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa. ____________________________________________________ __________________________________________________________ ¿A qué crees que se deba que la calculadora sólo reproduce una de las ramas de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y=x2+1? Discute tu respuesta con tus compañeros y profesor.

5. Construye la gráfica de la función inversa de la función cuya gráfica es la siguiente y

reprodúcela en el mismo plano. La escala en los ejes cartesianos es 1.

6. Anota las ecuaciones que usaste.

Función inicial y= _________________

Función inversa y= _________________

7. Explica cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa.



HOJA DE TRABAJO 68 Inversa de funciones lineales y cuadráticas

1. Encuentra la función inversa de las funciones que corresponden a las siguientes

gráficas. Construye en el mismo plano sus gráficas y anota su ecuación. La escala en los ejes cartesianos es 1.

2. Comprueba gráficamente que la función que encontraste es la inversa. a)

Función inicial y= _________________

Función inversa

y= _________________

b)

Función inicial

y= _________________


c)

Función inicial

y= _________________


3. Encuentra la función inversa de las siguientes funciones y describa el procedimiento que empleaste en cada caso.

a) y=3x2-4 b) 𝑦 = √2𝑥 + 1 + 3



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Indaga en fuentes matemáticas acerca de la inversa de una función de manera que puedas responder las siguientes preguntas: a) ¿Para qué tipo de funciones existe su función inversa? b) ¿Qué utilidad tiene saber encontrar la función inversa de una función dada? c) ¿Cómo se determina la función inversa de una función lineal? d) ¿Cómo se determina la función inversa de una función cuadrática?

2. Compara en equipo los resultados de tu indagación con la experiencia que

adquiriste al completar las hojas de trabajo de este bloque y redacta un breve ensayo para presentarlo ante tu grupo.

3. Redacta en equipo un breve ensayo acerca de la pertinencia del uso de la calculadora en este bloque de actividades. Presenten su ensayo a su grupo y discútanlo con sus otros compañeros y su profesor.

4. Haz una lista de los contenidos matemáticos que se abordan las hojas de trabajo de este bloque. Relaciona los contenidos de la lista que elaboraste con los que se proponen en los programas de educación básica.

5. Haz lo que se indica a continuación: a) Selecciona algunas hojas de trabajo de este bloque para utilizarlas en una

clase con alumnos de educación básica, haz las adecuaciones que consideres necesarias.

b) Presenta las hojas de trabajo que seleccionaste a tus compañeros y toma nota de las observaciones que hagan a tu trabajo.

c) Realiza una práctica con un grupo de educación básica y elabora un registro de lo sucedido, de manera especial, sobre el tipo de aprendizajes que observaste que lograron.

d) Comparte con los compañeros de grupo tu experiencia en la práctica realizada.

6. Indaga en fuentes bibliográficas acerca de la función “raíz cuadrada”. Selecciona actividades que incluyan el uso de diferentes representaciones (tablas, expresiones algebraicas y gráficas) y organiza una sesión de trabajo con tus compañeros con los materiales que seleccionaste.

7. Realiza en equipo una indagación en las fuentes que consideres pertinentes para responder la siguiente pregunta: ¿Por qué la calculadora muestra solamente una rama de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y=x2? Discutan sus conclusiones con su grupo y su profesor.

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