RAÍCES DEECUACIONES

1)5.10 Encuentre la raíz positiva de f(x) = x^4 – 8x^3 – 35x^2 + 450x–1001, utilizando el método de la falsa posición. Tome como Valores iniciales a xl = 4.5 y xu = 6, y ejecute cinco iteraciones.Calcule los errores tanto aproximado como verdadero, con base en el hecho de que la raíz es 5.60979. Emplee una gráfica para explicar sus resultados y hacer el cálculo dentro de un es = 1.0%.

2)5.12 Dada f(x) = –2x^6 – 1.5x^4 + 10x + 2 Use el método de la bisección para determinar el máximo de Esta función. Haga elecciones iniciales de xl = 0 y xu = 1, y realice Iteraciones hasta que el error relativo aproximado sea menor Que 5%.

3)5.13 La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por V=(gm/c)[1e^ -(c/m)t] donde g = 9.8 m/s2. Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c = 15 kg/s, calcule la masa m de modo que la velocidad sea v = 35 m/s en t = 9s. Utilice el método de la falsa posición para determinar m a un nivel de es = 0.1%.

4)5.19 Desarrolle un subprograma para el método de bisección que minimice las evaluaciones de la función, con base en el seudocódigo que se presenta en la figura 5.11. Determine el número de evaluaciones de la función (n) para el total de iteraciones. Pruebe el programa con la repetición del ejemplo 5.6.

5)6.23 a) Aplique el método de Newton-Raphson a la función f(x)= tanh (x^2 – 9) para evaluar su raíz real conocida en x = 3. Use un valor inicial de x0 = 3.2 y haga un mínimo de cuatro iteraciones.

b) ¿Converge el método a su raíz real? Bosqueja la gráfica con los resultados para cada iteración que obtenga.

6)6.24 El polinomio f(x) = 0.0074x^4 – 0.284x^3 + 3.355x^2 – 12.183x+ 5 tiene una raíz real entre 15 y 20. Aplique el método de Newton- Raphson a dicha función con valor inicial x0 = 16.15. Explique sus resultados.

7)6.25 Emplee el método de la secante con la función del círculo(x + 1) ^2 + (y – 2) ^2 = 16, a fin de encontrar una raíz real positiva. Haga que el valor inicial sea xi = 3 y xi–1 = 0.5. Aproxímese a la solución del primer y cuarto cuadrantes. Cuando resuelva para f(x) en el cuarto cuadrante, asegúrese de tomar el valor negativo de la raíz cuadrada. ¿Por qué diverge la solución?

8)6.26 Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura P6.26) de almacenamiento de agua para un poblado pequeño

de un país en desarrollo. El volumen del líquido que puede contener se calcula con

V= π h^2[3R – h]/3

Donde V = volumen [pie^3], h = profundidad del agua en el tanque[Pies], y R = radio del tanque [pies]. Si R = 3 m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones del método de Newton-Raphson para determinar la respuesta. Encuentre el error relativo aproximado después de cada iteración. Observe que el valor inicial de R convergerá siempre.

RAICES DE PLOLINOMIOS

1) 7.14 En MATLAB, ejecute operaciones idénticas a las del ejemplo7.7, o utilice la librería o paquete de su elección, a fin de encontrar todas las raíces del polinomio ƒ(x) = (x – 4)(x + 2)(x – 1)(x + 5)(x – 7)Obsérvese que es posible usar la función poly para convertir las raíces en un polinomio.

2) 7.17 Un cilindro circular de dos dimensiones se coloca en un flujo de velocidad alta y uniforme. Se desprenden vórtices del cilindro a frecuencia constante, la cual detectan sensores de presión en la superficie posterior del cilindro por medio de calcular qué tan seguido oscila la presión. Dados tres puntos de los datos, use el método de Müller para encontrar el momento en que la presión fue igual a cero.

3) 7.19 Considere el sistema siguiente con tres incógnitas a, u y v:u^2 – 2v^2 = a^2u + v = 2a^2 – 2a – u = 0Encuentre los valores reales de las incógnitas, por medio de a) Solver de Excel, y b) algún paquete de software de manipulación simbólica.

Tiempo 0.60 0.62 0.64Presión 20 50 60

4) 7.20 En el análisis de sistemas de control, se desarrollan funcionesde transferencia que relacionan en forma matemática la dinámica de la entrada de un sistema con su salida. La función de transferencia para un sistema de posicionamiento robotizado está dada por:G (S)=C s/N = [s^3+12.5s^2+50.5S+66]/[S^4+19S^3+122S^2+296S+192] donde G(s) = ganancia del sistema, C(s) = salida del sistema, N(s) = entrada del sistema y s = frecuencia compleja de la transformada de Laplace. Utilice una técnica numérica para obtener las raíces del numerador y el denominador, y factorícelas en la forma siguiente: G(s) =(s+a1 )( s +a2 )( s+ a3)/(s +b1)( s+ b2

)( s +b3)( s+ b4 ) donde ai y bi = las raíces del numerador y el denominador, respectivamente.

5) 9.8 Dadas las ecuaciones siguientes10x1 + 2x2 – x3 = 27–3x1 – 6x2 + 2x3 = –61.5x1 + x2 + 5x3 = –21.5a) Resuelva por eliminación de Gauss simple. Efectúe todos los

pasos del cálculo.b) Sustituya los resultados en las ecuaciones originales a fin comprobar sus respuestas.

6) 9.11 Dadas las ecuaciones2x1 – 6x2 – x3 = –38–3x1 – x2 + 7x3 = –34–8x1 + x2 – 2x3 = –20a) Resuelva por eliminación de Gauss con pivoteo parcial.Efectúe todos los pasos del cálculo.b) Sustituya los resultados en las ecuaciones originales para comprobar sus respuestas.

7) 10.3 a) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente por medio de la descomposición LU sin pivoteo.8x1 + 4x2 – x3 = 11–2x1 + 5x2 + x3 = 42x1 – x2 + 6x3 = 7b) Determine la matriz inversa. Compruebe sus resultados pormedio de verificar que [A][A]–1 = [I].

8) 10.17 Use técnicas iterativas de refinamiento para mejorar x1 =2, x2 = –3 y x3 = 8, que son las soluciones aproximadas de2x1 + 5x2 + x3 = –5

6x1 + 2x2 + x3 = 12x1 + 2x2 + x3 = 3

9) 11.5 Ejecute a mano la descomposición de Cholesky del sistema

Simétrico siguiente:| 8 20 1520 80 5015 50 60||x 1x 2x3|=| 50250100|

REGRESION DE MINIMOS CUADRADOS

1) 17.14 Dados los datos:

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y 17 24 31 33 37 37 40 40 42 41

Use regresión por mínimos cuadrados para ajustar a) una línea recta, b) una ecuación de potencias, c) una ecuación de tasa de crecimiento de saturación, y d) una parábola. Grafique los datos junto con todas las curvas. ¿Alguna de las curvas es superior a las demás? Si así fuera, justifíquelo.

2) 17.17 Use regresión lineal múltiple para ajustar

x1

0 0 1 2 0 1 2 2 1

x2

0 2 2 4 4 6 6 2 1

y 14 21 11 12 23 23 14 6 11

Calcule los coeficientes, el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación.

3) 17.18 Emplee regresión no lineal para ajustar una parábola a los datos siguientes:

x 0.2 0.5 0.8 1.2 1.7 2 2.3

y 500 700 1 000 1 200 2 200 2 650 3 750

4) 17.22 Se hace la prueba a un material para estudiar la falla por fatiga cíclica, en la que se aplica un esfuerzo, en MPa, al material y se mide el número de ciclos que se necesita para hacer que falle. Los resultados se presentan en la tabla siguiente. Al hacerse una gráfica log-log, del esfuerzo versus los ciclos, la tendencia de los datos presenta una relación lineal. Use regresión por mínimos cuadrados para determinar la ecuación de mejor ajuste para dichos datos.

N(ciclos) 1 10 100 1000 10000 100 000 1 000000

Esfuerzo(MPa) 1100 1 000 925 800 625 550 420

INTERPOLACION

1) 17.5 Use la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta ax 6 7 11 15 17 21 23 29 29 37 39 Y 29 21 29 14 21 15 7 7 13 0 3

Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Haga una gráfica de los datos y la línea de regresión. ¿Si otra persona hiciera una medición adicional de x=10, y = 10, usted pensaría, con base en una evaluación visual y el error estándar, que la medición era válida o inválida? Justifique su conclusión.

2) 17.9 Ajuste los datos siguientes con el modelo de potencias (y= axb). Use la ecuación de potencias resultante para hacer el pronóstico de y en x = 9.

x 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20

y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3

3) 17.10 Ajuste a un modelo exponencial a

X 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.3y 800 975 1500 1950 2900 3600

Grafique los datos y la ecuación tanto en papel milimétrico como en semilogarítmico.

4) 17.16 Utilice regresión lineal múltiple para ajustar

x1 0 1 1 2 2 3 3 4 4

x2 0 1 2 1 2 1 2 1 2

y 15.1 17.9 12.7 25.6 20.5 35.1 29.7 45.4 40.2

Calcule los coeficientes, el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación.

5) 18.4 Dados los datos

x 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5

f (x) 2 8 14 15 8 2

a) Calcule f(2.8) con el uso de polinomios de interpolación deNewton de órdenes 1 a 3. Elija la secuencia de puntos más apropiada para alcanzar la mayor exactitud posible para sus estimaciones.b) Utilice la ecuación (18.18) para estimar el error de cada predicción.

6) 18.8 Emplee interpolación inversa con el uso de un polinomio de interpolación cúbico y de bisección, para determinar el valor de x que corresponde a f(x) = 0.23, para los datos tabulados que siguen:

X 2 3 4 5 6 7

f (x)

0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 1.1429

7) 18.9 Utilice interpolación inversa para determinar el valor de x que corresponde a f(x) = 0.85, para los datos tabulados siguientes:

x 0 1 2 3 4 5f (x)

0 0.5 0.8 0.9 0.941176 0.961538

Observe que los valores de la tabla se generaron con la función f(x) = x2/(1 + x2).a) Determine en forma analítica el valor correcto.b) Use interpolación cúbica de x versus y.c) Utilice interpolación inversa con interpolación cuadrática y la fórmula cuadrática.d) Emplee interpolación inversa con interpolación cúbica y bisección. Para los incisos b) a d) calcule el error relativo porcentual verdadero.

DIFERENCIACIÓNE INTEGRACIÓN

1) 21.1 Evalúe la integral siguiente:

∫0

4

(1−e2x )dx

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio;

c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n= 2 y 4; d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con la aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8, y g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para los incisos b) a g), determine el error relativo porcentual de

cada una de las estimaciones numéricas, con base en el resultado del inciso a).

2) 21.12 Determine el valor medio de la funciónf(x) = –46 + 45x – 14x^2 + 2x^3 – 0.075x^4 entre x = 2 y 10, por medio de a) graficar la función y estimar visualmente el valor medio, b) con la ecuación (PT6.4) y la evaluación analítica de la integral, y c) con la ecuación (PT6.4) y una versión de cinco segmentos de la regla de Simpson para estimar la integral. Calcule el error porcentual relativo.

3) 21.14 Evalúe la integral doble siguiente:

∫−1

1

∫0

2

(x2−2 y2+x y3)dxdy

a) en forma analítica; b) con una aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n = 2; y c) con aplicaciones únicas de la regla deSimpson 1/3. Para los incisos b) y c), calcule el error relativo porcentual (et).

4) 21.21 Determine la distancia recorrida para los datos siguientes:t (min)

1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10

V (m/s)

5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5

a) Use la regla del trapecio, b) la mejor combinación de las reglas del trapecio y de Simpson, y c) la integración analítica de polinomios de segundo y tercer orden, determinados por regresión.

5) 22.8 Emplee fórmulas de Gauss- Legendre de dos a seis puntos para resolver

∫−3

311+ x2

dx

Interprete sus resultados a la luz de la ecuación (22.26).

6) 23.9 Para un cohete, se recabaron los datos siguientes de la distancia recorrida versus el tiempo:

t (s) 0 25 50 75 100 125y (km)

0 32 58 78 92 100

Use diferenciación numérica para estimar la velocidad y aceleración del cohete en cada momento.

7) 23.16 Escriba un programa en MATLAB para integrar

∫0

π2

cos (cos x)dx

8) 24.42 Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a través de un tubo (véase la figura P24.42), la tasa de flujo Q (es decir, el volumen de agua que pasa por el tubo por unidad de tiempo) se calcula por medio de Q = ∫vdA, donde v es la velocidad y A es el área de la sección transversal del tubo. (Para entender el significado físico de esta relación, recuerde la estrecha conexión que hay entre la suma y la integración.) Para un tubo circular, A = pr2 y dA = 2pr dr. Por lo tanto,

Q=∫0

r

v (2πr )dr

Donde r es la distancia radial medida hacia fuera del centro del tubo. Si la distribución de la velocidad está dada por

v=2(1− rr0

)16

Donde r0 es el radio total (en este caso, 3 cm), calcule Q con el empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple. Analice los resultados.

ECUACIONESDIFERENCIALES

ORDINARIAS1) 25.1 Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales

siguiente, en el intervalo de x = 0 a 2:dydx

= y x2−1.1 y

Donde y(0) = 1. Grafique la solución.

2) 25.6 Repita los problemas 25.1 a 25.5, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el intervalo de x = 0 a 1:

dydx

=(1+2 x)√ y ; (0) = 1

3) 25.7 Utilice los métodos de a) Euler y b) Heun (sin iteración) para resolver:

dy2

dt 2−0.5 t+ y=0

Donde y(0) = 2 y y’(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 4, con h = 0.1.Compare los métodos por medio de graficar las soluciones.

4) 25.11 Use los métodos de a) Euler, y b) RK de cuarto orden,para resolver:

dxdy

=−2 y+4 e−x

dzdx

=− y z2

3En el rango de x = 0 a 1, con un tamaño de paso de 0.2, cony(0) = 2, y z(0) =4.

5) 25.20 El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (véase la figura P25.20) está descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:

md2 xdt 2

+c dxdt

+kx=0

Donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m), t = tiempo (s), m = 20 kg masa, y c = coeficiente de amortiguamiento (N · s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento crítico), y 200 (sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo de tiempo 0 ≤ t ≤ 15 s. Grafique el desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma curva.

6) 26.1 Dadadydx

=−200000 y+200000e−x−e−x

a) Estime el tamaño de paso requerido para mantener la estabilidad con el uso del método de Euler explícito.b) Si y(0) = 0, utilice el método de Euler implícito para obtener la solución desde x = 0 hasta 2, con un tamaño de paso de 0.1.

7) 26.8 Solucione el problema siguiente de valor inicial, de t = 1.5dydt

=−2 y1+t

Use el método de Adams de cuarto orden. Emplee un tamaño de paso de 0.5 y el método de RK de cuarto orden para pronosticar los valores de inicio si y(0) = 2.

8) 26.13 Considere la barra delgada de longitud l que se mueve en el plano x-y, como se ilustra en la figura P26.13. La barra se fija en uno de sus extremos con un alfiler y con una masa en el otro. Observe que g = 9.81 m/s2 y l = 0.5m. Este sistema se resuelve con:

θ̈−glθ=0

Sea θ (0 )=0 y θ̇ (0 )=0.25 rad/s. Resuelva con cualquiera de los métodos que se estudió en este capítulo. Grafique el ángulo versus el tiempo, y la velocidad angular versus el tiempo. (Recomendación: descomponga la EDO de segundo orden.)

ECUACIONESDIFERENCIALES

PARCIALES

1) 29.1 Use el método de Liebmann para resolver cuál sería la temperatura de la placa cuadrada calentada que se ilustra en la figura 29.4, pero con la condición de frontera superior incrementada a 120º y la frontera izquierda disminuida a 60ºC. Utiliceun factor de relajamiento de 1.2 para iterar a ε s=1%

2) 29.3 Repita el ejemplo 29.1, pero emplee 49 nodos interiores(es decir, Δx = Δy = 5 cm).

3) 29.6 Repita el ejemplo 29.4 para el caso en que tanto las esquinas inferior izquierda y superior derecha están redondeadas en la misma forma que la esquina inferior izquierda de la figura 29.9. Observe que todas las temperaturas de la frontera en los lados superior y derecho están fijas a 100ºC, y todas las de los lados inferior e izquierdo lo están a 50ºC.

4) 29.7 Con excepción de las condiciones de frontera, la placa de la figura 29.7 tiene las mismas características que la que se usó en los ejemplos 23.1 a 23.4. Para dicha placa, simule tanto las temperaturas como los flujos.

5) 30.14 El problema del flujo de calor radial transitivo en unabarra circular en forma no dimensional, está descrita por

∂2u∂r2

+ 1r∂u∂r

=∂u∂ t

Resuelva la ecuación de conducción de calor radial transitiva no dimensional en una barra circular para la distribución de temperatura en distintos tiempos conforme la temperatura de la barra se aproxima al estado estable. Utilice análogos de diferencias finitas exactas de segundo orden para las derivadas, con una formulación de Crank-Nicolson. Escriba un programa de computadora para la solución. Seleccione valores de Δr y Δt parauna exactitud buena. Grafique la temperatura u versus el radio r para distintos tiempos t.

6) 30.15 Resuelva la siguiente EDP:

∂2u∂r2

+b ∂u∂r

=∂u∂ t

Utilice análogos de diferencias finitas exactas de segundo orden para las derivadas, con una formulación de Crank-Nicolson, a fin de integrar en el tiempo. Escriba un programa de cómputo para obtener la solución. Incremente el valor de Δt en 10% para cada paso de tiempo a fin de obtener más rápido la solución de estado estable, y seleccione valores de Δx y Δt para una buena exactitud. Grafique u versus x para valores distintos de t. Resuelva para los valores de b = 4, 2, 0, –2, –4.

7) 32.13 Una barra compuesta y aislada está formada por dos partes sujetas extremo con extremo, ambas con la misma longitud. La parte a tiene conductividad térmica ka, para 0 ≤ x ≤ ½, y la parte b tiene conductividad térmica kb, para ½ ≤ x ≤ 1. Las ecuaciones de conducción de calor transitivas no dimensionales que describen la temperatura u en la longitud x de la barra compuesta son:

∂2u∂ x2

=∂u∂ t0≤ x≤

12

r∂2u∂x2

=∂u∂ t12≤x ≤1

Donde u = temperatura, x = coordenada axial, t = tiempo, y r =ka/kb. Las condiciones iniciales y de frontera son

Resuelva este conjunto de ecuaciones para la distribución de temperatura como función del tiempo. Utilice análogos de diferencias finitas exactas de segundo orden para las derivadas, con formulación de Crank-Nicolson, para integrar en el tiempo. Escriba un programa de computadora para la solución, y seleccione valores de Δx y Δt para una buena exactitud. Grafique la temperatura u versus la longitud x para distintos valores de tiempo t. Genere una curva separada para los valores siguientes del parámetro r = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.

8) 32.14 Resuelva la ecuación de conducción del calor transitiva no dimensional en dos dimensiones, que representa la distribución de temperatura transitiva en una placa aislada. La ecuación gobernante es:

∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=∂u∂ t

Donde u = temperatura, x y y son las coordenadas espaciales y t= tiempo. Las condiciones iniciales y de frontera son:

Resuelva con el empleo de una técnica alternativa de dirección implícita. Escriba un programa de cómputo para implantar la solución. Grafique los resultados con el uso de una rutina graficadora de tres dimensiones en la que el plano horizontal contenga los ejes x y y, y el eje z es la variable dependiente u. Haga varias gráficas en distintos tiempos, incluyendo lo siguiente a) las condiciones iniciales; b) un tiempo intermedio, aproximadamente a la mitad del camino hacia el estado estable; y c) la condición de estado estable.